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Unité 2: Représentation interne des informations
Objectifs:À la fin de cette unité,
- vous saurez comment les caractères et les nombres entiers positifs et négatifs sont représentés dans la mémoire d'un ordinateur.
- vous saurez comment on effectue les opérations arithmétiques addition et soustraction avec des entiers binaires.
- vous saurez comment effectuer la multiplication et la division binaire
Pour y arriver, vous devrez maîtriser les objectifs suivants :
- effectuer ces opérations arithmétiques sur des entiers dans n'im-porte quelle base, en particulier en binaire et en hexadécimal;
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Unité 2: Représentation interne des informations
3.1 IntroductionTypes d’information traitées par l’ordinateur :
Nombres, instructions, images, séquences d’images animées, sons, etc., toujours représentées sous forme binaire. Une information élémentaire correspond donc à un chiffre binaire 0 ou 1 appelé bit.
Avantages du binaire :
• facile à réaliser techniquement à l’aide de bistables (systèmes à deux états d’équilibre).
•opérations fondamentales simples à effectuer, sous forme de circuits logiques.
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Unité 2: Représentation interne des informations
3.1 IntroductionTypes d’information traités : instructions et données.
• Les instructions sont écrites en langage machine et représentent les opérations (e.g. addition, multiplication, etc.) effectuées par l’ordinateur. Elles sont composées de plusieurs champs :
- Le code de l’opération à effectuer (opcode)
- Les opérandes impliqués dans l’opération.
• Les données sont les opérandes sur lesquelles portent les opérations. On distingue les données numériques et les données non numériques (e.g. texte).
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Unité 2: Représentation interne des informations
Le binaire
0 0 101010 31 1 1111
1 1 111011 32 10 0000 2 1012 1100 6311 1111
3 11 131101 64 100 0000
4 100 141110 127 111 1111 5101 15 1111 1281000 00006 110 16 1 00002551111 1111
7 111 171 0001 2561 0000 0000
8 1000 181 0010
9 1001 191 0011
201 0100
241 1000
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Unité 2: Représentation interne des informations
Le binaire
En décimal, avec n chiffres, on obtient 10n combinaisons possibles, i.e. on peut compter de 0 à 10n-1.
Exemple : Avec 3 chiffres, on a 103 = 1000 combinaisons possibles et on peut compter de 000 à 999.
En binaire, avec n bits, on obtient 2n combinaisons possibles, i.e. on peut compter de 0 à 2n-1
Exemple : avec 8 bits, on a 28 = 256 combinaisons possibles et on peut compter de 00000000 à 11111111, i.e. de 0 à 255.
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3.2 Données non numériquesASCII 7 bits ->128 caractères :
26 lettres majuscules A - Z
26 lettres minuscule a - z
10 chiffres 0 à 9
33 caractères de ponctuation
sp,! ” #$%& ’ ()*+,-. /< = >?@ [ ] ^_` { | } ~
33 caractères de contrôle :
null, etx, bel, bs, ht, lf, vt, ff, cr, …, del
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3.2 Données non numériquesASCII étendu Aussi connu sous le nom de ISO-
8859-1 ou ISO latin 1. Définit les caractères ASCII 128 à 256
8 bits -> 256 caractèrescaractères internationaux
caractères semi-graphiques
Dans les deux cas, les caractères sont représentés dans l’ordinateur par un nombre binaire de 8 bits indiquant l’indice i.e. la position du caractère dans la table ASCII.
Dans le cas de l ’ASCII simple, le nombre doit être inférieur à 128.
Unité 2: Représentation interne des informations
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3.2 Données non numériquesPar exemple :
‘A’ = 6510 = 0100 00012
‘B’ = 6610 = 0100 0010
...
‘a’ = 9710 = 0110 0101
‘ ‘ = 3210 = 0010 0000
‘0’ = 4810 = 0011 0000
‘1’ = 4910 = 0011 0001
‘2’ = 5010 = 0011 0010
…
‘9’ = 5710 = 0011 1001
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3.2 Données non numériquesLes codes ISO 8859-1 à 8859-11 définissent les caractères entre 128 et 255 pour couvrir les besoins de la majorité des pays d’Europe.
UNICODE 16 bits -> 65 536 caractèresCode qui se veut universel et qui contient, en plus de tous les caractères européens, 42 000 caractères asiatiques. Le code ASCII est contenu dans les 128 premiers caractères d’UNICODE.
UNICODE est supporté par Windows NT, Windows 2000, Java, et certains systèmes UNIX, MacOS > 8.5, etc.
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3.2 Données non numériquesISO/IEC 10646 Deux formats : 16 bits (UCS-2)
ou 32 bits (UCS-4)
UCS-2 équivalent à UNICODE 2.0
UCS-4 inclut :– Caractères musicaux
– Symboles mathématiques
– Écritures anciennes telles que les hiéroglyphes.
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3.3 Données numériques3.3.1 Entiers positifs ou nuls
3.3.2 Entiers négatifs
Unité 2: Représentation interne des informations
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3.3 Données numériques3.3.1 Entiers positifs ou nuls
Systèmes de numération
Représentation pondérée d’un nombre N dans une base B :
N = anBn + an-1Bn-1 + … + a1B + a0 =
où an = 0, 1, … B-1
Les bases B les plus usitées sont :
B = 10, décimal
B = 2, binaire
B = 16, hexadécimal
B = 8, octal
Unité 2: Représentation interne des informations
aiBi
i=0
n
∑
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3.3 Données numériques
3.3.1 Entiers positifs ou nulsSystèmes de numération
Représentation pondérée dans une base B
Exemples :
154210 = 1 103 + 5 102 + 4 101 + 2 100
15428 = 1 83 + 5 82 + 4 81 + 2 80 = 86610
1 01102 = 1 24 + 0 23 + 1 22 + 1 21 + 0 20 = 2210
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3.3 Données numériques3.3.1 Entiers positifs ou nuls
Décimal Binaire Octal Hexadécimal
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
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3.3 Données numériques3.3.1 Entiers positifs ou nuls
Décimal Binaire Octal Hexadécimal
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
16 1 0000 20 10
17 1 0001 21 11
18 1 0010 22 12
19 1 0011 23 13
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3.3 Données numériques3.3.1 Entiers positifs ou nuls
Remarques
10B = B quel que soit B :
102 = 2, 107 = 7, 108 = 8, 1016 = 1610
Ajouter un 0 à droite (décalage à gauche) = multiplication par B
Enlever le chiffre de droite (décalage à droite ) =
division entière par B
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3.3 Données numériques3.3.1 Entiers positifs ou nuls
Représentation hexadécimale
Comme 16 = 24, on peut toujours représenter un nombre binaire en regroupant les bits en groupes de 4 et en écrivant la notation hexadécimale 0 - F pour chacun de ces groupes :
Exemple :
111 1100 11112 = 7CF16
Pour indiquer qu’un nombre est en hexadécimal, on utilise le posfixe h ou H, ou le préfixe $, ou encore, en notation C/C++, le préfixe 0x.
7CFh ou 7CFH, $7CF, 0x7CF
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3.3 Données numériquesEntiers positifs ou nuls
Addition binaire
Unité 2: Représentation interne des informations
190+141
331
1011 1110+1000 1101
1 0100 1011
111
173+44217
1010 1101+0010 1100
1101 1001
1111
111
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3.3 Données numériquesEntiers positifs ou nuls
Addition hexadécimale
Unité 2: Représentation interne des informations
190+141
331
BE+8D
1 4B
11
173+44217
AD+2C
D9
11
1
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3.3 Données numériquesEntiers positifs ou nuls
Soustraction binaire à la main 1 1 1 1
10110100- 10000111
00101101
Quand le chiffre du bas est supérieur à celui du haut, on emprunte 2 au chiffre de gauche suivant et on ajoute ce 2 au chiffre du haut. On fait la soustraction. L’emprunt soustrait 1 au chiffre de gauche.
Voyez l’animation sur le site Web:
http://www.ift.ulaval.ca/~marchand/ift17583/Arithm.html
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3.3 Données numériques3.3.2 Entiers négatifs
Notation signe et grandeur
Sur 8 bits, on pourrait garder 1 bit pour le signe et 7 bits pour la grandeur. C’est la notation signe et grandeur que nous utilisons en arithmétique ordinaire.
Par exemple, avec la notation signe et grandeur sur 8 bits, on aurait :
+5 = 0000 0101
et -5 = 1000 0101
Unité 2: Représentation interne des informations
signegrandeur
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3.3 Données numériques3.3.2 Entiers négatifs
Compléments à 1 et à 2
Une autre possibilité est d’utiliser le complément à 1 ou le complément à 2.
Complément à 1 sur 8 bits :
Le complément à 1 est obtenu en inversant tous les bits du nombre :
+5 = 0000 0101
et -5 = 1111 1010
Dans le cas du complément à 1, +5 + (-5) = 1111 1111 = -0
Unité 2: Représentation interne des informations
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3.3 Données numériques3.3.2 Entiers négatifs
Complément à 2 :
Le complément à 2 est obtenu en additionnant 1 au complément à 1 :
+5 = 0000 0101
et -5 = 1111 1011 (1111 1010 + 1)
Dans le cas du complément à 2, +5 + (-5) = 0000 0000.
Les micro-ordinateurs actuels utilisent tous le complément à 2 sur 8, 16 ou 32 bits pour représenter les nombres négatifs.
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3.3 Données numériques3.3.2 Entiers négatifs
La représentation en complément à 2 va de -2n-1 à 2n-1-1
Avec des motifs de 8 bits :
Nombres positifs
0000 0000 à 0111 1111 ou encore 0016 à 7F16 = 0 à 127
Nombres négatifs
1000 0000 à 1111 1111 ou encore 8016 à FF16 = -128 à -1
Avec des motifs de 16 bits :
Nombres positifs
0000 à 7FFF = 0 à 32767
Nombres négatifs
8000 à FFFF = -32768 à -1
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3.3 Données numériques3.3.2 Entiers négatifs
Avec des motifs de 32 bits :
Nombres positifs
0000000016 à 7FFFFFFF16 = 0 à 2 147 483 647
Nombres négatifs
8000000016 à FFFFFFFF16 = -2 147 483 648 à -1
Unité 2: Représentation interne des informations
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3.3 Données numériques3.3.2 Entiers négatifs
Complément à 10
Pour illustrer le principe du complément à 2, on pourrait faire la même chose en base 10.
Sur 4 digits, les nombres 0 à 4999 seraient positifs et les nombres 5000 à 9999 seraient négatifs. Le complément à 10 d’un nombre N s’obtiendrait en faisant 10000 - N ou 9999 - N + 1 :
Ainsi, le complément à 10 de 1000 serait 9000, et
1000 + 9000 = (1)0000.
Unité 2: Représentation interne des informations
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3.3 Données numériques3.3.2 Entiers négatifs
Complément à 16
De la même façon, en notation hexadécimale, on peut utiliser le complément à 16 pour représenter les nombres négatifs.
Sur 8 bits, on l’obtient en soustrayant le nombre de FF16 et en ajoutant 1 au résultat :
5 = 0516
-5 = FF16 - 0516 + 0116 = FA16 + 0116 = FB16 = 1111 10112
Remarquez que c’est le même résultat qu’en complément à 2.
Sur 16 bits : 5 = 000516
-5 = FFFF16 - 000516 + 000116 = FFFB16
Unité 2: Représentation interne des informations
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3.3 Données numériques3.3.2 Entiers négatifs
Soustraction
L’ordinateur effectue la soustraction en additionnant le complément à 2 sur des motifs de 8 bits, 16 bits, 32 bits, etc.
5 - 4 = 5 + (-4)
4 - 5 = 4 + (-5)
Unité 2: Représentation interne des informations
111110000 0101
+1111 1100(1) 0000 0001
0000 0100+1111 1011
1111 1111
retenue
0000 0101-0000 01000000 0001
ou
0000 0100-0000 0101
(1)1111 1111empruntou
1
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3.3 Données numériques3.3.2 Entiers négatifs
Soustraction en hexadécimal avec ou sans le complément à 16 :
Sur 16 bits :5 - 4 = 5 + (-4)
4 - 5 = 4 + (-5)
Unité 2: Représentation interne des informations
1110005
+FFFC(1)0001
0004+FFFBFFFF
0005-00040001
ouretenue
ou
0004-0005
(1)FFFF
111
emprunt
1
1
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3.3 Données numériques3.3.2 Entiers négatifs
Attention! Pour les nombres dont le bit le plus significatif est 1, il y a deux interprétations possibles.
Par exemple, sur 8 bits,
1001 0000 peut représenter
+144 si on le considère comme un nombre non signé
ou -112 si on le considère comme un nombre en complément à 2.
C’est lors de la déclaration d’une variable en mémoire qu’on détermine si le processeur doit la traiter comme signée ou non signée.
char a; // a est considéré comme signé en complément à 2
unsigned char b; // a est considéré comme non signé
Unité 2: Représentation interne des informations
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3.2 Données non numériquesEndianisme
Quand un nombre est représenté sur plusieurs octets, il peut être écrit en mémoire de deux façons :
L’octet de poids fort à l’adresse basse : big-endian
L’octet de poids faible à l’adresse basse : little-endian
Par exemple, le nombre décimal 62 090 s’écrit F28A en hexadécimal.
En little-endian, la mémoire contiendra 8A F2, tandis qu’en big-endian, elle contiendra F2 8A
Unité 3: Représentation interne des informations
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3.3 Données numériques3.3.1 Entiers positifs ou nuls
Multiplication
La multiplication binaire s’effectue comme la multiplication décimale ordinaire, mais est beaucoup plus simple, puisqu’il n’y a que des 1 et des 0.
Unité 3: Représentation interne des informations
1 1011 11011101100000 11011
11011 101011111
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3.3 Données numériques3.3.1 Entiers positifs ou nuls
Multiplication
On peut également effectuer cette opération en hexadécimal :
Unité 3: Représentation interne des informations
1B 0D
1 8F0D 15F
On utilise à cette fin la table de multiplication hexadécimale du supplément (Appendice 5).
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3.3 Données numériques3.3.1 Entiers positifs ou nuls
Division
La division binaire s’effectue comme la division décimale ordinaire, mais elle est beaucoup plus simple, puisque les facteurs sont 1 ou 0.
Résultat : 10112, reste 00112
Unité 3: Représentation interne des informations
101111 / 0100100 10011 0 111 100 1 0111 100 1 011
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3.3 Données numériques3.3.1 Entiers positifs ou nulsDivisionL’ordinateur effectue cette division au moyen de décalages d’un registre à l’autre. Pour simplifier, utilisons des registres de 6 bits.Initialement le registre R contient des 0 et le registre D contient le dividende.
On décale D vers R un bit à la fois. Chaque fois que R ≥ Diviseur, on soustrait le diviseur de R et on met 1 à la suite du quotient, sinon, on met 0 à la suite du quotient. On effectue 6 décalages de D. À la fin, R contient le reste.Voyez l’animation sur le site du cours :
http://www.ift.ulaval.ca/~marchand/ift17583/Arithm.html
Unité 3: Représentation interne des informations
0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1R D
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3.3 Données numériques3.3.1 Entiers positifs ou nuls
Division (101111 / 100) sur 6 bits
R D Décalage no.0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 10 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 Q = 0 10 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 Q = 0 0 20 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 Q = 0 0 0 30 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 Q = 0 0 0 1 40 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 Q = 0 0 0 1 0 50 0 0 1 0 00 0 0 0 1 10 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 Q = 0 0 0 1 0 1 60 0 0 1 0 00 0 0 0 1 1
Q = 0 0 0 1 0 1 1 7
Unité 3: Représentation interne des informations
©Pierre Marchand, 2001 37
3.3 Données numériques3.3.1 Entiers positifs ou nuls
Division
On peut également effectuer la division binaire en hexadécimal. Il faut ici aussi utiliser la table de multiplication hexadécimale.
Exemple :
Réponse : 7CB16 / 1C16 = 4716 reste 7.
Unité 3: Représentation interne des informations
7CB / 1C70 470CB C4 07