bE!A UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA Casa abietia al ipmpo UNIDAD IZTAPALAPA División de Ciencias Básicas e Ingeiiiería
M.C. Rub& Becerril Fonseca
Dr . Hcrac io Tapia Recil.las
Area de AlgLbra
DEPTl;. DE MATEMPATICAS
84.0401.LI.01.0U6.92
N O T A S
S O B R E
C U R V A S H I P E R E L I P T I C A S
M. C. Rubén Becerr i 1 Fonseca Dr. Horacio Tapia Recillas
Area de Algebra
Departamento de Matemáticas
Universidad Autónoma Metropolitana
Iztapalapa
1992
I N D I C E
Pag . CAPITULO I
$1.- DEFINICION DE SUPERFICIE DE RIEMANN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
$2.- PROPIEDADES BASICAS DE FUNCIONES HOLOMORFAS . . . . . . . . . . 15
$3.- CUBIERTAS WUIIFICADAS Y NO RAMIFICADAS . . . . . . . . . . . . . . . 19
$4.- LEVANTAMIENTO DE FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
$5.- FORMAS DIFERENCIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
$6.- GAVILLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
$7.- GRUPOS DE COHOMOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
CAPITULO I1
$1.- EL TEOREMA DE RIEMANN-ROCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
$2.- EL ESPACIO VECTORIAL L(D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
$3.- LOS "ECOS DE WEIERSTRASS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
$4.- LA FORMULA DE RIEMANN-HURWITZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
CAPITULO I11
$1.- SUPERFICIES DE RIEMANN HIPERELIPTICAS . . . . . . . . . . . . . . . . 73
$2.- DIVISORES ESPECIALES SOBRE SUPERFICIES COMPACTAS . . . . . 78
$3.- REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
I N T R O D U C C I O N
Las presentes notas son resultado parcial de un seminario sobre Curvas Hiperelipticas realizado como parte de las actividades del
Area de Algebra del Departamento de Matemáticas de la Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa. Dicho seminario se llevó a cabo
bajo la dirección del Dr. Horacio Tapia Recillas y los principales
participantes fueron el M.C. Rubén Becerril Fonseca y el M.C. Jorge
Valle Can. Algunos colegas de otras instituciones que colaboraban
en el Seminario Interinstitucional de Geometria Algebraica, también
nos acompañaron en algunas ocasiones.
Uno de los propósitos del seminario fué el de estudiar algunas
cuestiones sobre puntos de Weierstrass en curvas algebriacas (en
característica O) y temas afínes. Otro de los propósitos fué el
de recopilar resultados básicos sobre curvas hiperelípticas que se
encuentran diseminados en la literatura. Con esta idea surgieron
las presentes notas cuya escritura estuvo a cargo del M.C. Rubén
Becerri 1.
Las notas se han dividido en tres capítulos. En el capítulo I se dá el material básico general en el estudio de Superficies de
Riemann compactas. En la sección 1 se recuerda la definición de
Superficie de Riemann y se dan algunos ejemplos para ilustrar este
concepto. En seguida se estudian algunas cuestiones relevantes
sobre funciones, gavillas, divisores y cohomologia, que son
necesarias para dar uno de los resultados más importantes en el
estudio de Superficies de Riemann: el Teorema de Riemann-Roch. En
el capítulo I1 se enuncia este importante resultado y se ven
varias de sus consecuencias. Esta herramienta y resultados
básicos de Superficies de Riemann son usados en el estudio de
puntos de Weierstrass, sucesiones de huecos y Superficies Hiperelipticas que se ven en el capítulo 111.
Hubo muchas cuestiones muy importantes en el estudio de
Superficies Hiperelípticas que no se abordaron por varios motivos,
pero esperamos que este material sirva como una pequeña
introducción y motivación al estudio de este facinante mundo de
las Superficies de Riemann o Curvas Algebraicas.
R. Becerril F. H. Tapia R.
C A P I T U L O I
f 1. LA DEFINICION DE SUPERFICIE DE RIEMANN
Uno de los principales elementos en estas notas es la "Superficie
de Riemann". En esta sección se dá la definición de este concepto y se ilustra con algunos ejemplos.
1. DEFINICION
Una Van¿edad S es un espacio topológico Hausdorff , tal que
para cada x E S existe alguna vecindad abierta 'U de x, algún
entero n 2 O y un abierto Y de IR" tal que 'U es homeomorfo
a V .
EJEMPLOS
- 1 . IRn es una variedad.
2. Si 'U es un abierto de IR", 'U es una variedad. En
particular puede tomarse 'U = B ( 0 , r ) .
3. Sea S una variedad. S i 'U c S es un abierto, entonces 'U
es una variedad.
- 4. La esfera s = { ( x , y) E IR : x + y' = 1 } es una variedad. 1 2 2
La topología de S1 es la inducida por la de IR2.
(a) si ( x , y) E S' cumple con O < y, la función xt.-,(x,
d l - X 5
-
1 es un homeomorfisrno de I-l l 11 a 5 n { ( x , y ) : O < y }.
(b) Si ( x , y) E S' con y < O, la función x t.-, (x,-dl-x 1 es -
2
1
un homeomorfismo de 1-1.11 a S'n { (x ,y ) : y < O)
(c) P a r a resolver los casos en que x < O 6 O < x se procede
en forma análoga.
5. Enseguida fijamos nuestra atención en el entero n que
aparece en nuestra definición. Observese que n depende del punto
x. Por ejemplo si s c IR^ es el conjunto:
s = { (x , y, 2 ) : 2 = o } u t ( x , y, 2 ) : x = o , 2 = 1 } = S'W c2
entonces podemos escoger n = 2 para los puntos en Si y n = l
para los puntos en Sz (ver figura 1).
I 5 2
fig. 1
De hecho tenemos un resultado más general que vemos en el
siguiente ejemplo:
5. Sea t Sa}aEh una colección de variedades, entonces la suma
topológica Sa es una variedad. a€ A
OBSERVACION
Aunque pueden aparecer n's diferentes en distintos puntos de
una variedad S, tenemos exactamente un n en un punto dado x.
Esto nos conduce a la siguiente
2
2. DEFINICION
Sea S una variedad.
a. Dado x E S , el número n de la definición 1 se llama Ya
d¿merid¿czn& s en x. ,
- b. S tLenedimena¿an n, n-dunenacanae o ea una n-uafwdad si
tiene dimensión n en cada punto.
3. DEFINICION
a. Sea S una 2-variedad. Una Gahta carpkp sobre S es un
homeomorfismo p:'U - Y, donde 'U c S es un abierto y 1/ c C es
un abierto.
b. Decimos que, dos cartas complejas 'p :'U - If I = 1,2 son
Holomorficamente c a m p L U a si las funciones:
I 1 1 '
son holomorfismos, o equivalentemente, si alguna de las dos es un
biholomorfismo (ver figura 2 ) .
fig. 2
3
c. Un d . t -5~ E- sobre S es un sistema U = { 'Ui,pi)iEI de
cartas, las cuales son holomorficamente compatibles y además los
conjuntos abiertos 'U forman una cubierta abierta de S.
- d. Decimos que dos atlas U, U sobre S son
i , . .
si cada carta de U es holomorficamente compatible 9
con cada carta de U .
OBSERVACIONES
- 1. Si q:'U - Y es una carta compleja, 'U1 es un abierto de 'U
y If1 = q('U1), entonces q , U 1 - Y es una carta que es
holomorficamente compatible con la carta original.
2. Ya que la composición de de dos funciones biholomorfas es una
función biholomorfa, se ve que la noci6n de equivalencia analitica
de atlas complejos es una relación de equivalencia.
1
4. DEFINICION
Por una BatruLctUhcr EanpF.+ sobre una 2-variedad entendemos
una clase de equivalencia de atlas analíticamente equivalentes
sobre S.
Luego, una estructura compleja sobre S puede ser dada al
elegir un atlas complejo. Cada estructura sobre .S contiene
un único atlas maximo U*. Si U es un atlas arbitrario en ,
entonces 'U* consiste de todas las cartas complejas sobre S que
son holomorficamente compatibles con cada carta de 'U.
5. DEFINICION
Una Yupm&cLe de X i e n a n n es una pareja (M, 1, donde M es
4
una 2-variedad conexa y es una estructura compleja sobre M.
Usualmente escribimos M en lugar de (M,C 1 cuando es
claro cual estructura compleja 1 tenemos. Algunas veces también
escribimos ( M , U 1 donde U es un representante de .
CONVENCION
Si M es una Superficie de Riemann, entonces por una carta
sobre M siempre entenderemos una carta compleja perteneciente al
atlas maximo de la estructura compleja sobre M.
OBSERVACION
Localmente una Superficie de Riemann M no es otra cosa que
un conjunto abierto en el plano complejo, sin embargo, dado
cualquier punto de M, este está contenido en diferentes cartas y
ninguna de estas se distingue de las otras. Por esta razón sólo se transportan a las Superficies de Riemann aquellas nociones de
análisis complejo en el plano que permanecen invariantes bajo
funciones biholomorfas, es decir, aquellas que no dependen de la elección de una carta particular.
EJEMPLOS DE SUPERFICIES DE RIEMANN
- 1. &e Yeana l&mlpk& c.
Su estructura compleja está definida por el atlas cuya única
carta es la función identidad C. - C .
2. lhninkm.
Si M es una Superficie de Riemann y D c M es un dominio,
entonces D es una Superficie de Riemann.
3. Pa de ~ienmnn P'.
5
1 Sea P : = C u { OD 1.. donde m es un símbolo que no está
contenido en C. Introducimos la siguiente topología sobre P1:
Los conjuntos abiertos son los conjuntos abiertos usuales de @,
junto con los conjuntos de la forma V u { o) } , donde V c C es
el complemento de un conjunto compacto X c C. Con esta topología
P' es un espacio topológico Hausdorff homeomorfo a la esfera S2.
Pongamos
U1:= P'-{ w 1 = c U,:= P1-{01 = c*u { m }=(C-{01)u{m}
( p i : ' u I - como sigue: Q es el mapeo 1
Definimos los mapeos
identidad y 1 * - z S I Z E C
o S I Z = a , 1 S,(d : =
Claramente estos mapeos son homeomorfismos y así P1 es una
2-variedad. Ya que 'u1 y U2 son conexos y tienen intersección
no vacía, P' es conexo.
La estructura compleja sobre P1 está definda por el atlas
consistente de las dos cartas { U i , ( p i } , i = 1,2. Debemos probar
que las dos cartas son holomorficamente compatibles. Pero
observemos que
y el mapeo
es b i ho 1 omorf o.
-1 * * 1 (p,o(p, : C - c , z -
z
6
OBSERVACION
La notación P' viene del hecho que podemos considerar a P'
como el espacio proyectivo de dimensión 1 sobre C .
3. 8t Twla.
E C linealmente independientes sobre IR # Y Consideremos
y definamos el conjunto:
r :=nul+ Zw ={ nu + mu
r se llama la retícula generada por w y o (ver figura 3).
: n,m E P } 2 1 2
1 2
fig. 3
Definimos la siguiente relación en C (que resulta ser de
equivalencia): z , Z'E C son equivalentes mod r si z-z' E r. El conjunto de todas las clases de equivalencia se denota por C/r.
Sea n:@ - C/r la proyección canónica, es decir, la función que manda a cada punto z E C a su clase de equivalencia mod r. Introducimos ahora la topología cociente sobre C/T. Un subconjunto 'u de @/r es abierto si n-'(U) es abierto en @. Con esa
7
topología C/T es un espacio topológico Hausdorff y el mapeo
cociente K : C 4 ic/T es continuo. Puesto que C es conexo,
también lo es C / r . Como C/r es la imágen bajo K del
parale 1 ogramo
P:= {Awl + pw : A, p E io.11 } 2
el cual es compacto, entonces C/T también es compacto.
El mapeo K es abierto. Para ver esto tenemos que verificar que
V = K ( K ( V ) ) es abierto si V c Q: es abierto. Pero A - 1
A
V = U ( w + V ) Gr
A
y como cada conjunto w + V es abierto, también lo es V .
La estructura compleja sobre C/T se define de la siguiente
forma: sea V c ic un abierto tal que ningún par de puntos en V
sean equivalentes bajo r. Entonces U:= K ( V ) es abierto y
4 U es un homeomorfismo. Su inversa (p:'U - V es una carta "IV compleja sobre C/T. Sea U el conjunto de todas las cartas
obtenidas de esta forma. Tenemos que demostrar que cualquier par
de cartas {Ui, 'pi) pertenecientes a U son holomorf icamente
compatibles. Consideremos la función
$ := cp20qi1:ql í~ln <u2) - cp 2 1 (U n u2)
Para cada z E cpl(UlnU2) se tiene n ( $ ( z ) ) = cp;'(z) = K ( Z ) de
donde obtenemos que $(z)-z E r. Como r es discreto y + es
continua, esto implica que $(z)-z es constante sobre cada
componente conexa de cpl(Uln U2). Luego $ es holomorfa.
Similarmente $-' es holomorfa.
Ahora ic/r tiene la estructura compleja definida por el
atlas complejo U.
8
OBSERVACION
Si consideramos a S1 como subconjunto de C entonces
podemos definir una aplicación de C/r en S'x S' por
Awl+ p'wz- (exp(2niA1, exp(2nip) 1
y es fácil verificar que es un homeomorfismo.
6. DEFINICIONES
a. Sea M una Superficie de Riemann y Y c M un
subconjunto abierto. Una función f:Y - C se llama H-,
si para cada carta {U,+ } sobre M, la función
fo+-':+ ( U n Y)<
es holomorfa, en el sentido usual, sobre $(U n Y) c C .
b. El conjunto de todas las funciones holomorfas sobre
será denotado por O( Y).
Y
OBSERVACIONES
- 1. La suma y producto de dos funciones holomorfas es una función
holomorfa. Las funciones constantes también son funciones
holomorfas . Luego O ( Y ) es una C-álgebra.
2. Por supuesto, la condición de la definición no necesita ser
verificada para todas las cartas en un atlas maximo sobre M,
pues basta para una familia de cartas que cubren a Y, luego
automaticamente se cumplirá para las otras cartas.
3. Cada carta +:U - U sobre M es, en particular, una
función con valores complejos sobre U. Trivialmente es holomorfa.
Llamamos a $ una coordenada local o parámetro uniformizante y a
9
{U,* } una Vec¿ndad de cualquier punto a E U. En este
contexto generalmente usamos la letra z en lugar de i(r.
7. TEOREMA (Teorema de las Singularidades Removibles de Riemann)
Sea U un subconjunto abierto de una Superficie de Riemann y
sea a E V. Supongase que la función f E O(U-{a}) es acotada en
alguna vecindad de a. Entonces puede extenderse f de manera única
a una función 7 E O ( U 1.
D E M O S T R A C I O N
Se sigue directamente del Teorema de Singularidades
Removibles de Riemann en el plano complejo.,
8. DEFINICION
Sean M , N Superficies de Riemann. Una función continua
f : M 4 N se llama im.hnm& si para cada par de cartas
#:Ul+ lf sobre M y *2:U2- V sobre N con f ( U 1 ) c 'u2, 1 2
la función
*,of.*;': vi- v 2
es holomorfa en el sentido usual
9. TEOREMA (Teorema de Identidad)
Sean M , N Superficies de Riemann. Si f 1 , f 2 : M - N son dos
A c M que tiene mapeos holomorfos que coinciden sobre un conjunto
un punto de acumulación a E M. Entonces fl= f 2 (idénticas).
DEMOSTRAC I ON.
10
Sea G = { x E M : existe una vecindad abierta W de x tal que
’ Po; definición C es abierto. Se afirma que G es cerrado. En efecto, sea b E aC (la frontera de C), entonces fl(b)= f 2 ( b )
ya que fl y f son continuas ( pues existe una sucesión {bu) c
C con bu--. b I . Escogemos cartas (p:U - V sobre M y *: Ul 2
--D V sobre N con b E U y f i ( U 1 c U1. También podemos 1
suponer que U es conexo. Las funciones
gi:= $ofiocp-l:v - v 1 c c
son ho lomorf as.
Ya que U n G # 0 , (b está en la frontera de G) el teorema de identidad para funciones holomorfas sobre dominios en C implica
que glig2. Luego f = f . Por lo tanto b E C y así G es cerrado..
1 IU 21%
10. DEFINICION
Sea M una Superficie de Riemann e Y c M un abierto. Una
@ciaa & Y es una función holomorfa f:Y’- * e, ,
donde Y’c Y es un conjunto abierto, tal que lo siguiente es
válido:
- a. Y-Y’ consta de puntos aislados.
- b. Para cada punto p E Y-Y’ se tiene e i m If(x)l = + w
X+P Los puntos de Y-Y’ se llaman los p a t h de f.
El conjunto de todas las funciones meromorfas sobre Y se denota
por M (Y).
OBSERVACIONES
- 1. Sea (21,~) una vecindad coordenada de un polo p de f tal
que z(p)=O. Entonces f puede ser expandida en una serie de
11
Lauren t
v c en una vecindad de p.
[ Lo que realmente está pasando es que f o z es meromorfa con
un polo en O (= z(p)) y realmente es esta función la que se está
-1
desarrollando en serie de Laurent en una vecindad V de cero, es
decir, lo que se tiene es lo siguiente: + Q i
pero u = z(q) con q en una vecindad de p, o sea, q E z-'(V)
y como u = z(q) se tiene que + Q i
o sea + O D
- 2. M ( Y ) tiene estructura natural de C-álgebra.
EJEMPLO
Sea n 2 1 y considerese el polinimio n n- 1 F ( z ) = z + c z + . . .+ c z + c CkE C
n- 1 1 o '
entonces F define una función holomorfa F:C - C.
Ahora, si pensamos a C como subconjunto de E", entonces tenemos
12
11. TEOREMA
Sea M una superficie de Riemann y f E M (MI. Para cada polo
p de f, se define f(p) = OO. Entonces f: M - lP' es un mapeo
holomorfo. Viceversa, si f:M - P1 es un mapeo holomorfo,
entonces, o bien f i a0 , o bien f-'(w) consiste de puntos
aislados y f:M-f-'( a, I - C es una función holomorfa sobre M.
[Desde ahora, identificaremos una función f E M (MI con la
correspondiente función holomorfa 1 f:M - P . I
DEMOSTRACIÓN
a. Sea f E M (MI y P = { polos de f } . Entonces f induce una
función f:M - P la cual es claramente continua. Supongase que
cp:u - v y *:u - v# son cartas sobre M y P'
respectivamente con f ( ' U I c 2'. Tenemos que probar que
1
g : = *ofocp-l:v - v8
es holomorfa.
Ya que f es holomorfa sobre M-P, se sigue que g es holomorfa
sobre V-(B(P). Por lo tanto, por el teorema 7 g es holomorfa
sobre V.
d. El recíproco se sigue del teorema 9..
OBSERVACION
De los teoremas 9 y 11 se sigue que el Teorema de Identidad
13
también es válido para funciones meromorfas sobre una Superficie
de Riemann. Luego, cualquier función f E A (MI que no sea
identicamente cero, tiene ceros aislados. Esto implica que M (MI
es un campo.
14
f 2. PROPIEDADES ELEMENTALES DE LAS FUNCIONES HOLOMORFAS
En esta sección observaremos algunas propiedades topológicas
elementales de las funciones holomorfas entre las Superficies de
Riemann.
12. TEOREMA
Sean M , N Superficies de Riemann, f:M- N una función no
constante y holomorfa. Sea a E M y b = f(a). Entonces existe un
cartas cp : U - V sobre M y $ :<u' - V' siguientes propiedades:
entero k 2 1 y sobre N con las
a. a E U, cp a) = O ; b E U', +(b) = O
d. f(U 1 c u'
c. La función F := $ofocp-':V - V' está dada por
V Z € V k F(z) = z
DEMOSTRACION
Primero observese que existen cartas (p :<u - Y sobre M y $:<u' - V' sobre N tal que las propiedades (a) y (b) son satisfechas si uno reemplaza {U,cp } por {Ul,cpl).
Se sigue del teorema 9 que la función
1 1 1
fl:= $ofocp;l :Y 1 - Y' es no constante.
Ya que f(0) = O , existe un k z 1 tal que fl(z)= zkg(z), donde
g es una función holomorfa sobre V con g(0) * O. Por tanto existe una vecindad de O y una función holomorfa h sobre esta
vecindad tal que hk = g. La correspondencia z w zh(z) define
1
2 = una función biholomorfa a:V - V de una vecindad abierta 2
15
Y1 de O sobre una vecindad abierta Y de O. Sea 'u :=
c p ; ' ( ~ ' ~ ) . Ahora reemplazamos la carta {u1,cpl} por la carta
{ U , q } donde cp = aocpl. Luego, por construcción, la función F =
Jiofocp-' satisface ~ ( 2 ) = z .. k
OBSERVACION
El número k del teorema 12 puede caracterizarse de la siguiente manera: para cada vecindad U. de a existen vecindades
'u c 'uo de a y W de b=f(a) tal que el conjunto f - ' (y) n U contiene exactamente k elementos para cada punto y E W, y # b.
con la cual el mapeo f El número k se llama la mu&&whd
toma el valor b en el punto a o simplemente se dice que f
tiene mLLetcpRcccdad
. . .
k en el punto a. . . .
EJEMPLO
k-1 k Sea f(z)=co+clz+. . .+c z +z un polinomio de grado k.
Si se considera a f como un mapeo holomorfo f : F " - IP' donde
f ( m ) = m, usando una carta sobre m, puede verificarse fácilmente
que 03 se toma con multiplicidad k.
k- 1
13. COROLARIO
Sean M,N Superficies de Riemann y sea f : M 4 N un mapeo
holomorfo no constante. Entonces f es abierto, es decir, la
imágen bajo f de cada conjunto abierto es abierta.
DEMOSTRACION
Del teorema 12 se ve que si U es una vecindad de un punto
a E M entonces f ( U ) es una vecindad del punto f ( a ) . Esto
implica que f e s abierta..
16
14. COROLARIO
Sean M , N Superficies de Riemann y sea f : M + N un mapeo
holomorfo inyectivo. Entonces f es un mapeo biholomorfo de M
sobre f ( M ) .
DEMOSTRACION
Al ser f inyectiva, en la descripción local de f del
teorema 12 se tiene, en todos los puntos, k=l. Por lo tanto el
mapeo inverso f - ' : f ( M ) + M es holomorfo..
15. TEOREMA
Sean M , N Superficies de Riemann. Supongase que M es
compacta y que f : M 4 N es un mapeo holomorfo no constante.
Entonces N es compacta y f es sobre.
DEMOSTRACION
Por el corolario 13 f ( M ) es abierto. Como M es compacto,
f ( M ) es compacto y en consecuencia cerrado. Al ser N conexo y
f ( M ) f 0 se tiene que f ( M ) = N. Así f es sobre y N
compacto.
16. COROLARIO
Toda función holomorfa sobre una Superficie de Riemann
compacta es constante.
DEMOSTRACION
Esto es consecuencia del teorema anterior ya que C no es
17
compact o.
17. COROLARIO
Toda función meromorfa f sobre lf" es racional, es decir,
puede escribirse como el cociente de dos polinomios.
DEMOSTRACION
La función solo tiene un número finito de polos, pues en caso
contrario estos tendrían un punto límite y por el Teorema de
Identidad f debería ser identicamente igual a m. Podemos
suponer que m no es un polo,en caso contrario se considera l/f.
Sean a , a . . , a E C los polos de f y 1 2" n
-1
la parte principal de f en el polo a para u = 1,2 ,..., n. La función g : = f-(hl+. . .+hn) es holomorfa sobre IP1 y por el
corolario 16 es constante. De esto se sigue que f es racional..
U'
18
rf 3. CUBIERTAS RAMIFICADAS Y NO RAMIFICADAS
Otro concepto necesario en el estudio de Superficies de Riemann,
es el de "cubierta*. En esta sección se recordará este concepto y
en particular se verán algunas propiedades de cubiertas
ramif icadas y no ramif icadas.
18. DEFINICION
Sean X,Y espacios topológicos y p:X _j Y una función
continua. Para y E Y, el conjunto p-l(y) se llama la &&ut de
p sobre y. Si x E p-'(y), se dice que el punto x se encwntruZ
& y. Si p:X 4 Y y q:Z + Y son funciones continuas,
decimos que el mapeo f:X + Z pmxmwa &thu si p = qof. Esto
significa que cualquier punto x E X, que se encuentre sobre el
punto y, es mapeado a un punto que también se encuentra sobre y.
En otras palabras, el siguiente diagrama es conmutativo,
Z
I. X - S Y
P
19. DEFINICION
Un subconjunto A de un espacio topológico es llamado
dhmeta si cada punto a E A tiene una vecindad V tal que
VnA = {a).
Una función p:X + Y entre espacios topológicos X,Y se
llama áhumtu si la fibra p-'(y) de cada punto y E Y es un
19
subconjunto discreto de X.
20. TEOREMA Sean M,N Superficies de Riemann, y p:M 4 una función
holomorfa no constante, entonces p es abierta y discreta.
DEMOSTRACION
Ya sabemos que p es abierta. Si la fibra de algún punto
b E Y no fuese discreta, por el Teorema de Identidad, p debería
ser identicamente igual a b.
Si p:M 4 es una función holomorfa no constante, diremos
& N. que M es un damuua . .
Una función holomorfa (meromorfa) f:M + C (f:M 4')
también puede ser considerada como una función multivaluada sobre
: j E J), entonces los N. Si y E N y la fibra p-'(y) =
valores y,), j E J son los diferente valores de esta funcibn {y,
J
multivaluada en el
p-l(y) sea un solo
punto
punto o
P
y. Por supuesto, podría suceder que
vacío.
f x-2
Como un ejemplo supongase M = C, N = c*=c-{o) y p = ~ x p : ~
4* Entonces la función identidad 1d:C + C corresponde al logaritmo multivaluado sobre C*, pues el conjunto Exp-'(b), donde
b E C , consiste de exactamente los distintos valores del logaritmo
de b. El siguiente diagrama ilustra lo anterior
*
20
21. DEFINICION
Sean M,N Superficies de Riemann y p:M + N una función
holomorfa no constante. Un punto x E M se llama puntCr ruuna a
f x lnhdemxd&acm * de p si no existe una vecindad V de x
tal que
,
9
sea inyectiva. La funcibn p es llamada @n&m
si no tiene puntos de ramificación. . . IV m m -
22. TEOREMA
Sean M,N Superficies de Riemann. Una función holomorfa no
constante p:M + N no tiene puntos de ramificación s í y sólo si
p es un homeomorfismo local, es decir, cada punto x E M tiene
una
vecindad U la cual es mapeada homeomorficamente por p sobre un
conjunto abierto V en N
DEMOSTRACION
Sea p:M 4 N sin puntos de ramificación y x E M arbitrario. Ya que x no es punto de ramificación, existe una vecindad abierta U de x tal que p es inyectiva. Como p es
continua y abierta, p mapea el conjunto U homeomorficamente
sobre el conjunto abierto V : = p(U).
IU
Recíprocamente, supongase que p:M + N es un homeomorfismo
local. Entonces para cualquier x E M existe una vecindad abierta U de x la cual es mapeada homeomorficamente por p sobre un
es inyectiva y x no conjunto abierto en N. En particular es punto de ramificación de
IU p..
21
EJEMPLOS
1. Sea k zr 2 un número natural, p :C + C la función
definida por pk(z) = z . Entoces O E Q: es un punto de
ramificación de p y la función p :C + C es no ramificada.
k - k
k k
2. Sea p:M N una función holomorfa no constante, x E M, y
:= p(x). Entonces x es un punto de ramificación de p
precisamente si la función p toma el valor y en el punto x
con multiplicidad 2 2. Por el teorema 12, la función p se
comporta, cerca de x, igual que la función p,, del ejemplo
anterior, cerca del origen.
* 3. La función Exp:Q: Q: es una función holomorfa no
ramificada, pues Exp es inyectiva sobre cada subconjunto U c Q:
que no contenga dos puntos que difieran por un múltiplo entero de
2ni.
22
4. LEVANTAMIENTO DE FUNCIONES
Habiendo introducido el concepto de cubierta, es interesante saber como son las funciones holomorfas en cubiertas de una Superficie
de Riemann. En esta sección se tratá este tema.
21. DEFINICION
Sean X,Y,Z espacios topológicos y p:Y X, f:Z __IX funciones continuas. Entonces por un & f
n . q x c h a p entenderemos una función continua g:Z _j Y que f = peg, es decir el siguiente diagrama conmuta:
can tal
Y
22. TEOREMA (unicidad del levantamiento)
Sean X,Y espacios Hausdorff y p:Y +X un homeomorfismo local. Supongase que Z es un espacio topológico conexo y que f:Z' __j X es una función continua. Si g ,g : Z +Y son dos
levantamientos de f y gl(zo) = g2(zo) para algún punto z E Z
ent once s
1 2
O - g1 = g2.
DEMOSTRACION
Sea T : = { z E 2 : gl(z) = g,(z)). El conjunto T es cerrado
ya que es la preimagen de la diagonal A c Y x Y bajo la función
(g,,g ):Z + Y x Y. 2
Ce afirma T es abierto.
Sea z E T y sea gl(z) = g2(z) := y. Ya que p es un
homeomorfismo local, existe una vecindad V de y la cual es
23
mapeada por p homeomorficamente sobre una vecindad U de p(y)
son continuas, existe una vecindad W de 81, g2 = f ( z ) . Ya que
z con gi(W) c V. Sea ahora (p :U -4 la inversa de
y observese que (p es continua. Ya que pog, = f, se tiene que
gilw = ( p o ( f l , ) para i = 1.2. Luego, glIw= g21w y W c T. Por
lo tanto T es abierto. Ya que Z es conexo y T es no vacío,
PIV - u
- entonces T = 2 y así gl - g2.=
23. TEOREMA Sean M,N y T Superficies de Riemann, p:T _.) N una función
holomorfa no ramificada y f:M 4 N cualquier función holomorfa.
Entonces todo levantamiento g:M _j T de f es holomorfo.
DEMOSTRACION
Sea c E M un punto arbitrario, b : = g(c) y a : = p(b) =
f(c). Existen vecindades abiertas V de b y U de a tal que
+ es biholomorfa. Sea (p = p :U +V. Ya que g es
continua, hay una vecindad abierta W de c tal que g(W) c V.
Pero f = pog implica g l w = ( p o ( f I w ) y así g es holomorfa en el
-1
IV
punto C..
CONSECUENCIA
Sean M,N y T Superficies de Riemann y p:T - N, q:M 4
funciones holomorfas no ramificadas. Entonces cada función
continua que preserva fibras f:T - M es holomorfa. En efecto,
f es un levantamiento de p con respecto a q.
LEVANTAMIENTO DE CURVAS
Sean X,Y espacios Hausdorff y p:Y + X un homeomorfismo
24
local. Estamos particularmente interesados en el levantamiento de
curvas u: [o, 11 -+ X. El teorema de unicidad de levantamientos nos asegura que un levantamiento ti: [0,1l + Y de u, si existe, está
determinado de manera única una vez que se ha especificado el
levantamiento del punto inicial.
FUNCIONES DE RECUBRIMIENTO
Una propiedad que garantiza la existencia de levantamientos
es la siguiente:
24. DEFINICION
Sean X,Y espacios topológicos. La función p:Y + X se llama , . . una&m&m&mm&ummh o simplemente un si se
satisface la siguiente condición:
Cada punto x E X tiene una vecindad abierta U tal que su
preimagen p-'(U) puede ser representada como:
p-'(u) = u VJ JEJ
donde los V ' s , JEJ son subconjuntos abiertos ajenos de Y y
todas las funciones p: V U son homeomorfismos. En particular, J
I J p es un homeomorfismo local.
EJEMPLOS
- 1 . Sea D = { z E C : IzI < 1 } y p:D C la inyección
canónica. Entonces p es un homeomorfismo local pero no es un
recubrimiento, pues ningún punto a E C con 1.1 = 1 tiene una
vecindad con la propiedad requerida en la definición.
25
* k 2. Sea k 2 2 un número natural y p : @ + @ , ZH z . Entonces pk es un recubrimiento pues, supongase que a E 9: es
arbitrario y escogemos b E @* con pk(b) = a. Ya que p es un
homeomorfismo local, existen vecindades abiertas VO de b y U
de a tal que p V+ U es un homeomorfismo.
Ent o nces
k
k
kl O
k- 1 p,l(U) = vo u wvo u . . . u w vo
donde w es una raíz k-ésima primitiva de la unidad, digamos
J w = Expr:]. Es claro que los conjuntos v = w vos j=o , . . . ,k-i J
son ajenos por parejas y cada p V _j U es un homeomorfismo. kl J
* 3. La función Exp:C + C es un recubrimiento.
En efecto, sea a E @* y b E @ con Exp(b) = a. Ya que Exp
es un homeomorfismo local, existen vecindades abiertas Vo de b
y U de a tal que ExplVo+ U es un homeomorfismo. Entonces
Exp-'(U) = u V , donde V = 2nin + Vo n n
nEZ
Claramente los V son disjuntos a pares y cada función
Exp + U es un homeomorfismo.
n
Ivn
NOTA
El concepto de recubrimiento se utiliza en el contexto de
espacios arco-conexos y localmente arco-conexos. Estas propiedades
las satisfacen las Superficies de Riemann.
25. DEFINICIÓN
26
Decimos que una función continua p:Y -+ X tiene la
PlLaPiedadde- de CUIAWA si la siguiente condición es
válida: Para cada curva u: [o, 11 4 X y cada punto y E Y con
p(yo) = u(o) , existe un levantamiento Q: [o,il -+ Y de u tal
que Q ( o ) = y o .
26. TEOREMA
Todo recubrimiento p:Y _j X de espacios topologicos X, Y
tiene la propiedad de levantamiento de curvas.
DEMOSTRACION
Sea u:[0,11 + X una curva y sea yo E Y con p(yo) =
~(0). De la compacidad de [o, 11, existe una partición
O = t < t l < . . . < t = 1 O n
y conjuntos abiertos U c X, k=l,. . . ,n con las siguientes
propiedades
k
b. p-l(Uki = u Vk J E J k J
son - k donde los Vk c Y son abiertos y p
homeomorfismos. Ahora probaremos por inducción sobre k=O,l, . . . , n J
J Ivk
la existencia de un levantamiento U -+ X con Q(o1 = yo.
Para k=O es trivial, luego supongase que k Z 1 y que
IIO,tkl .
+ X ya ha sido construido y sea Q(t ) =- Q 1 k-1 e y,-,* I O' tk,l
E 'k-1 - 'k. Ya que p(yk_,) = u(tk-l) E Uk existe jeJk tal que
Vk . Sea (p:U + V el homeomorfismo inverso de p
J J k J Ivk k
27
Si se define
se obtiene una extensión continua del levantamiente Q al
intervalo [O, tk1..
OBSERVACION Sean X, Y son espacios Hausdorff, p:Y -+ X es un
recubrimiento, y xo E X, y E Y son puntos tales que p(yo) = x . Entonces por el teorema anterior y la unicidad del levantamiento, para cada curva u: [O, 11 - X con u(o) = xo existe exactamente
un levantamiento U: [0,11 4 Y tal que Q ( o ) = yo. Cuando la curva es cerrada, el levantamiento Q no necesariamente es
cerrado. Un ejemplo de esto es el siguiente: Sea X = Y = U2
* * 2 p:e 4 , zl-+ z
x = yo = 1. Definimos la curva u:[O,lI _j C por u(t) =
e , u es cerrada, U(t) : = e define un levantamiento
Q: [0,1] -+ C de u con respecto a p en el punto inicial 1
Snit ni t
y punto final -1 .
27. TEOREMA Sean X, Y espacios Hausdorff con X arco-conexo y p:Y -+ X
es un recubrimiento. Entonces para cualesquiera dos puntos
en X los conjuntos p-l( xo 1, p-l( x1 1 tienen la misma cardinalidad. En particular, si Y es no vacío, entonces p es
suprayectivo.
xo’
DEMOSTRACION Construimos una función 9: p-l(xo)-p-l(xl) de la siguiente
forma: escogemos una curva u: [O, 11 -+ X que una x con x . O 1
28
Si y E p-'(x 1 es un punto arbitrario, entonces existe exactamente
un levantamiento Q:[0,11 -+ Y de u tal que Q ( o ) = y . Pongamos
q ( y ) : = O ( 1 ) E p-'(xl). La unicidad de los levantamientos implica que la función construida es biyectiva..
28. DEFINICION Con las notaciones del teorema anterior, la cardinalidad de , . .
p-líx), x E X, es llamada el nunuma de hajacL dee P y bien puede ser finito o infinito.
FUNCIONES O MAPEOS PROPIOS
Un espacio topológico Hausdorff se llama eaCaemente CQmClCCCtO
si cada punto en él tiene una vecindad compacta. Si X, Y son espacios localmente compactos, una función f:X
_j Y se llama FMap¿a si f-'(K) es compacto para todo K c Y compacto (por ejemplo, esto siempre es cierto si X es compacto).
Un mapeo propio es cerrado. Esto se sigue del hecho que en un espacio localmente compacto un subconjunto es cerrado precisamente
si su intersección con cada conjunto compacto es compacto.
29. LEMA Sean X, Y espacios localmente compactos y p:Y + X una
función propia y discreta. Entonces
- i. Para todo x E X , p-'(x) es un conjunto finito.
- ii. Si x E X y V es una vecindad de p-'(x),. existe una
vecindad U de x con p-'(x) c V.
DEMOSTRACION
- i Se sigue del hecho que p-'(x) es un subconjunto compacto y
discreto de Y. - i i Se puede suponer que V es abierto y así Y-V es cerrado.
Entonces p(Y-V) = A es cerrado y x @ A, y por lo tanto U := X-A
29
es una vecindad abierta de x tal que p-'(U) c V..
30. TEOREMA Sean X, Y espacios localmente compactos y p:Y _j X un
homeomorfismo local propio, entonces p es un recubrimiento.
DEMOSTRACION Sea E X y p-'(x) = {y,, . . . , y n) donde y, f y, si i f J.
Ya que p es un homeomorfismo local, para cada j=l, . . . , nexiste una vecindad abierta W de yJ y una vecindad abierta UJ de x tal que p W + U es un homeomorfismo. Podemos suponer que los W
son ajenos a pares. Ahora W u. . . uW es una vecindad de p-' (XI. 1 n
Luego, por (ii) del lema anterior, existe una vecindad abierta U
c U n . . . n U de x con p-'(U) c Wlu.. .uW . Si V : = W n 1 n n J J
p-l(U), entonces los V son conjuntos abiertos ajenos con
J
I J J J
J
y todas las funciones p V J U, j=l, ..., n son homeomorfismos.. I
FUNCIONES HOLOMORFAS PROPIAS
Sean M, N Superficies de Riemann y f:M 4 N una función
holomorfa, no constante y propia. Entonces A = {puntos de
ramificación de f} es un conjunto cerrado y discreto. Ya que f es
propia, B : = f(A) también es cerrado y discreto. B se llama
conjunto de oabzea clL¿ticaa de f.
-f -1 Sea N':= N-B, My:= M-f (B) c M-A. Entonces M'- N' es
un recubrimiento holomorfo propio no ramificado, luego tiene un
número bien definido de n ho.ias. Esto significa que cada valor c
E Y' es tomado exactamente n veces.
Para ser capaces de probar que esta afirmación también es
válida para los valores críticos b E B, tenemos que considerar
las multiplicidades.
30
Para x E M denotamos por uP(x,f) la multiplicidad con la
cual f toma el valor f ( x ) en el punto x. Entonces diremos
que f toma el valor c E Y, contando multiplicidades, m veces
si
m = a(x,f)
-1 L
x€p ( c )
31. TEOREMA Sean M,N Superficies de Riemann y f:M N una función
holomorfa, no constante y propia. Entonces existe un número natural
n tal que f toma el valor c E Y, n veces, contando multiplicidades.
DEMOSTRACION Usando la notación anterior al teorema, sea n el número de
hojas del recubrimiento no ramificado f + N'. Sea b E B un
k := df,x 1. Existen valor crítico,
vecindades ajenas U de x y VJ de b tal que para cada c E
J Vj-(b} el conjunto p-'(c) n U consiste de exactamente k
puntos (j=l, . . . , r). Por el lema anterior, podemos hallar una
vecindad V c VI n . . . n V de b tal que p-'(V) c Ulu.. .u U . Entonces para cada punto c E V n N' tenemos que p-'(c) consiste
I M' f-'(b) = {xl , . . . , x } ,
J J
1 J
J
de kl+. . . +kr puntos. Por otro lado, para c E N' la
cardinalidad de p-l(c) es igual a n y así kl+. . . +k = n. r
32. DEFINICION Y OBSERVACION
Una función holomorfa no constante será llamada un
ha .hnm@ de n haja6, donde n es el entero hallado . .
en el teorema anterior.
Observese que se permite que las cubiertas holomorfas tengan
31
puntos de ramificación.
33. COROLARIO
Si M,N son Superficies de Riemann con M compacta y
f:M N es una función holomorfa no constante, entonces existe
un número natural n tal que f toma cada valor c E N,
contando multiplicidades, n veces.
DEMOSTRACION
La función f es propia, ahora se aplica el teorema anterior..
32
f 5. FORMAS DIFERENCIALES
Las Formas Diferenciales son un concepto básico en el estudio de la geometria de una Superficie de Riemann. En esta sección se
recuerda la definición, se dan algunas propiedades básicas y se ilustra con algunos ejemplos.
Sea 'u un subconjunto abierto de C . Identificamos C con IR2
al escribir z = x + iy, donde x, y son las coordenadas estandar
de IR2. Denotemos por &('u) la C-álgebra de todas las funciones
f : ' u -+ C de clase Cm con respecto a las coordenadas x, y. Junto
con las derivadas parciales (a/ax) y (a/ay), también consideramos
los operadores diferenciales
a l a a a l a a az ax ay a: ax ay
-:= ;(- + I-). - $- - i-1,
Por medio de cartas complejas puede definirse la noción de
función diferenciable sobre cualquier superficie de Riemann M.
Para cualquier subconjunto abierto Y c M, & ( Y ) consiste de todas
las funciones f:Y -+ C tal que para toda carta z:U _j V c C
sobre M con U c Y existe una función 7 E &(VI con f = foz .
Claramente la función ? está determinada de manera única por f ,
pues f = f o @ , donde # : V 4 U es la inversa de z:U _j V.
N
1 %
N
Junto con los mapeos restricción natural se obtiene la gavilla
€ (ver A 6 ) de funciones diferenciables sobre la superficie de Riemann M. En lo que sigue diferenciable significará clase Cw.
Si {? . l , z ) , donde 2 = x + iy, es una vecindad coordenada
sobre M, entonces los operadores diferenciales
33
a a a -, -, - : &('U) + €(U) ax ay az az
; -
pueden definirse de manera obvia.
Supongase que a es un punto en M. Entonces la fibra Ea consiste de
todos los gérmenes de funciones diferenciables en el punto a.
Denotamos por m c € el subespacio vectorial de todos los gérmenes
de funciones que se anulan en a y por m c m el subespacio
vectorial de gérmenes de funciones que se anulan hasta el segundo
a 1 2 a a
orden. Se dice que un gérmen de función Q E m se anula hasta el
segundo orden si puede representarse por una función f tal que,
a
con respecto a una vecindad coordenada { U , z = x+iy) de a, se
tiene
Esta definición es independiente de la vecindad coordenada.
34. DEFINICION m
m EI espacio vectorial cociente T(')= 2 se llama el eapuch
2 a
txhmpde de M en el punto a. Si 21 es una vecindad abierta de a y
d f E T'l' a a
de f es e.1 elemento f E € ( U ) , entonces la cii&mwd
d f : = ( f - f ( a ) ) mod m2. a a
Observe que la función f - f ( a ) se anula en el punto a y así
representa a un elemento de m . Por definición su clase de
equivalencia módulo m es d f .
a 2
a
34
35. TEOREMA
Sea M una superficie de Riemann, a E M y {U,z) una vecindad
y d y coordenada de a,donde z = x+iy. Entonces los elementos dax a
forman una base del espacio cotangente T") . También d a z y d a a
es una base de
una vecindad de a, entonces
T") a
. Si f es una función que es diferenciable en
ar ar d f = -(a)dax + -(a)d a y ax ay
a
36. DEFINICION
Sea Y un subconjunto abierto en una superficie de Riemann M.
Por una cU&mmud * de @ m, o simplemente una l-&wnu,
sobre Y entendemos un mapeo
EJEMPLOS
- 1. Sea f E € ( Y ) . Entonces el mapeo df definido por
(df)(a) : = d f a
para todo a E Y es una 1-forma;
2. Sea w una 1-forma sobre Y y f:Y + C una función. Entonces
el mapeo fw definido por (fw)(a) := f(a)w(a) también es una
35
1-f orma.
37. DEFINICION
Sea Y un subconjunto abierto de una superficie de Riemann M.
Una 1-forma w sobre Y se llama (resp. itdhun&) si,
con respecto a toda carta { U , z ) , w puede escribirse en la forma
w = f dz + g dS sobre U n Y, donde f,g E s(UnY).
respectivamente,
o = f dz sobre ‘U n Y, donde f E O( ’unY) .
NOTAC I ON
Para cualquier subconjunto abierto ‘U de una superficie de
Riemann M denotaremos por €‘”(U) el espacio vectorial de
1-formas diferenciables sobre U y por n ( U ) el espacio vectorial
de 1-formas holomorfas. Estos espacios son gavillas con los mapeos
restricción natural (ver A 6).
38. DEFINICION
Una 1-forma w sobre un subconjunto abierto de una superficie
de Riemann se llama forma diferencial hoiomorfa sobre Y si existe
un subconjunto abierto Y ’ c Y tal que:
(i) w es una 1-forma holomorfa sobre Y’,
(ii) Y-Y’ consiste solamente de puntos aislados,
(iii) w tiene un polo en todo punto a E Y-Y’.
Si M(’)(Y) denota el conjunto de las 1-formas meromorfas
sobre Y, con las operaciones naturales y los mapeos restricción
36
es una gavilla de espacios vectoriales sobre M. Las 1) natural ,
1-formas meromorfas sobre M también se llaman d¿@mdah
Una diferencial abeliana se dice que es de la primer
clase si es holomorfa en todas partes, de la segunda clase si su
residuo es cero en cada uno de sus polos y de la tercer clase en
cualquier otro caso
39. DEFINICION (el "pull-back" de formas diferenciales)
Sea F:M + N un mapeo holomorfo entre dos superficies de
Riemann. Para todo conjunto abierto U c N el mapeo F induce un
homomorfismo
F*: €('U) &(F-'('U)), F*(f) := foF.
Generalizando, se puede definir mapeos correspodientes para
formas diferenciales
F*: &'"('U) -+ €(l)(F-l('U))
Localmente una 1-forma puede escribirse como una suma finita
J' gJ son diferenciables. Ponemos fjdgj, donde las funciones f
F*(C fJdgJ> = (FffJ)d(F*gJ).
Es fácil verificar que esta definición es independiente de la
representación local escogida.
37
f 6 , GAVILLAS
Las "gavillas" son otra herramienta Útil en el estudio de las Superficies de Riemann. En esta sección se recuerda su
definición, se dan algunas propiedades básicas y algunos ejemplos.
40. DEFINICION
Sea X un espacio topológico y 2 un sistema de conjuntos
abiertos en X. Una 7'- de ~ y u ~ p a b ahe&m~& & X es
una pareja ( X , p ) que consta de:
a. Una familia 3 = (3(U))UEQ de grupos abelianos.
b. Una familia p = ( p v ) u , v E , u c v , de homomorfismos de grupos,
donde V es abierto en U con las siguientes propiedades:
U
v U € Q U pu = Id3(U)
U P;"P; - para W c V c U - P"
OBSERVACION
Generalmente escribiremos 3 en lugar de (3 .p) . Los
U . . * En lugar se llaman rCebfhCCCCOn
PV homomorf i smos
de p t ( Í 1 para f 3(U) se escribe f . Análogo a pregavillas
de grupos abelianos pueden definirse pregavillas de espacios
vectoriales,anillos,conjuntos, etc.
I "
EJEMPLO
Sea X un espacio topológico. Para cualquier conjunto
abierto U c X sea E(U) el espacio vectorial de todas las
funciones continuas f:ü + C. si v c U, sea p::g(~) + G ( V )
38
el mapeo restricción usual. Entonces ( i J , p ) es una pregavilla de
espacios vectoriales sobre X.
41. DEFINICION
Una pregavilla 9 sobre un espacio topológico X se llama
una !i?aa¿tYu si para cada conjunto U c X y cada familia de
subconjuntos abiertos Ul c U, i E I tal que U = u Ui , las 1EI
siguientes condiciones (llamadas condiciones de gavillas) son
satisfechas
(I) Si f,g E 9(U) son tales que f - V i E I , IU, - glui entonces f = g.
(11) Si f l E 9(U1) , i E I son tales que
entonces existe f E 3(U) tal que f = fl V i E I. I ui
OBSERVACION
El elemento f, cuya existencia es asegurada por (11) es, por
(I), determinado de manera única.
EJEMPLOS
- 1. Para cada espacio topológico X, la pregavilla iJ definida
anteriormente es una gavilla.
- 2. Sea M una Superficie de Riemann y O(U) el anillo de
funciones holomorfas definidas sobre el conjunto abierto U c M.
39
Tomando el mapeo restricción usual O(U) + O(V) para V c U , se
obtiene la gavilla O de funciones holomorfas sobre M. La
gavilla M de funciones meromorfas sobre M se define
aná 1 ogamen t e.
3. Sea M una Superficie de Riemann y R ( U ) (respectivamente
M (U) 1 el espacio vectorial de las 1-formas holomorfas (resp.
meromorfas sobre U. Junto con los mapeos restricción natural,
R (resp. es una gavilla de espacios vectoriales.
( 1 )
" 1 )
40
f 7. GRUPOS DE COHOMOLOGIA
Otro concepto, que junto con el de Gavilla ayuda a comprender mejor
la estructura de una Superficie de Riemann, es el de Grupo de
Cohomologia. En esta sección se recuerda su definición y algunas
propiedades básicas.
42. DEFINICION
Sea X un espacio topológico y 9 una gavilla de grupos
una cubierta abierta de X. abelianos sobre X. Sea U =
Para q = O, 1,2,. . se define el q-ésimo ~/u<ea cacadena de 3 , { ui } 1E I
con respecto a U, como
Los elementos de Cq(91,3) se llaman q-cacadena6 . Luego Una
q-cocadena es una familia 9+ 1 1 , (i o,...,i le1
io,. . . , i q 4 (f
tal que
para todo
&(U n . . . n 1 io,. . . , i q io i q
f
q+l (io,. . . iq) E I
La ad,:ión de cocadenas se define componen-e a componente.
También se definen los cywmdma ca&uhaa
como
41
donde
:= f - fi E 3(Ui n UJ) gi,J J
(se sobreentiende que se restringen fi,f, a la intersección
Ui n U y se toma su diferencia). J
I = sea '( (f i J i , JEI (b) Para (fij)i,jc~ E C 1 ( U , 3 )
1 donde (giJk i,J,kEI
E 3(Ui n U n Uk) giJk i J - fIk - fJk J = f
(los términos del lado derecho se restringen a su dominio común
Ui n U n Uk. 1 J Estos operadores cofrontera son homomorfismos.
los elementos de Z1( l l ,3 ) se llama l-c¿.&u. Luego por
definición, una cocadena (f E C 1 ( U , 9 ) es un l-COCiC~O
prec i sament e si i J
fik = f + f sobre Ui n U n Uk ( * I i J jk J
f = -f i J J i
fii = o ,
Los elementos de B 1 ( l l , 3 ) son llamados 1--. En
particular cada cofrontera es un cociclo. Una cofrontera también
se llama un cac¿cea de6camplLeata. Así que un 1-cociclo (fiJ) E
Z1(U,3) ( g , ) E
C O ( U , Y F ) tal que
se descompone si y sólo si hay una O-cocadena
42
f = 8, - gJ iJ
43. DEFINICION
El grupo cociente
sobre
H'( U, 3) : = S1(U, 3)/g'(U, 3)
se llama el T a i m a 9w.p de E- ' con coeficientes en 9
con respecto a la cubierta U. Sus elementos se llaman clases de
cohomología y dos cociclos que pertenecen a la misma clase de
cohomología se dicen cahamatagaa. Luego dos ciclos son cohomólogos 9
precisamente si su diferencia es una cofrontera.
Los grupos H 1 ( U , 3 ) dependen de la cubierta 21. Para poder
tener grupos de cohomología que dependan s610 de X y 9, tenemos
que usar cubiertas cada vez más finas y tomar un límite.
s
Decimos que la cubierta abierta B = {VkIkEK es nux @nu que
'L la cubierta
está contenido en al menos un
U = {Ui), lo cual se denota por 8 c 21 , si cada Ui. Existe entonces un mapeo
7 : K _j I tal que
tl L E K 'k u7Ckl
Por medio del mapeo 7 podemos definir el mapeo
ta : Z1(U,3) + Z1(B ,3)
de la siguiente forma: para ( f E Z1(91,3) sea tL(fl,) = (girl) iJ
donde
b
Este mapeo manda cofronteras en cofronteras y entonces nos induce H'(21,d) 4 H'(5,b) un homomorfismo en los grupos de cohomología
el cual también denotamos por
44. LEMA
t:.
El mapeo
ta B : H ' ( l l , 3 ) + H ' ( 8 , S )
es independiente del mapeo refinante T :K 4 I.
45. LEMA
El mapeo to : H ' ( l l , 3 ) + H ' ( 8 , 3 ) es inyectivo. B
46. DEFINICION (De H 1 ( X , 3))
Si se tienen tres cubiertas abiertas tales que
E c % c 21. entonces
tBota = ta c B C
y podemos definir la siguiente relación de equivalencia - sobre
la unión ajena de los H 1 ( 2 1 , 3 ) , donde 21 corre sobre todas las
cubiertas de X. Dos clases de cohomología 5 E H 1 ( 2 1 , 3 ) y
I) E H ' ( l l ' , 3 ) se dicen equivalentes, < - I ) , si hay una cubierta
abierta 8 con 8 c 21 , 8 c 21' y tal que t;(c) = tiin). El
conjunto de clases de equivalencia es el llamado 2eUnite .fn.&dha
de los grupos de cohomología y se llama €e Y n h u n 9aup.a H ' ( l l , 3 )
e n e a g . c m u h . 3 . E n & t?- * d e x can- . .
s í mbo los:
La adición en H ' ( X , 3 ) se define por medio de representantes
como sigue: supongase que los elementos &,<c. E H 1 ( X , 3 ) son
representados por < E H ' ( l l , 3 ) respectivamente 1) E H 1 ( l l ' , 9 ) . Sea
44
B un refinamiento común de U y U', entonces (1: + 9 E H1(X,Y)
se define como la clase de equivalencia de ti(c) + ti(v) E
H'(B, 9 ) .
Se verifica que esta condición no depende de los
representantes y así H ' ( X , 3 ) es un grupo abeliano. Si 3 es una
gavilla de espacios vectoriales, entonces de manera natural
H 1 ( U , 3 ) y H ' ( X , 3 ) también son espacios vectoriales.
EL O-ESIMO GRUPO DE COHOMOLOGIA
Sea 3 una gavilla de grupos abelianos sobre el espacio
una cubierta abierta de X. Ponemos {"i } i E I
topológico X y U =
6 Z0(91,3) := Ker(CoUl,3) + C ' ( U , 3 ) )
B0(21,3) : = O
H 0 ( 9 1 , 3 ) : = Z0(U,3)/k0(S,3) = Z0(U,3)
De la definición de O se sigue que una O-cocadena (fi) E
- - J
f i lüinü C0(21,3) pertenece a Z O ( l l . 3 ) precisamente si
f V i , ~ E I. Por el axioma I1 de gavillas, los elementos
f i se juntan para obtener un elemento global f E 3(X) y así hay
un isomorfismo natural
A J p i n u J
H 0 ( U , 3 ) = Z0(U,3) Z 3(X)
Así los grupos H 0 ( 2 1 , 3 ) son independientes de la cubierta 21
y podemos definir
47. TEOREMA
Sea M una Superficie de Riemann compacta. Entonces
45
48. DEFINICION
Sea M una Superficie de Riemann compacta. El número
g : = dim H1(M,3) ,
se llama el paww de M
49. TEOREMA
Para la Esfera de Riemann IF1 se tiene
H'(P',O) = O
y por lo tanto es de género cero.
46
C A P I T U L O I1
En el capítulo anterior se desarrolló la herramienta minima para el estudio de Superficies de Riemann compactas. En este capítulo se usará esa herramienta para obtener resultados mas detallados.
En la sección 1 se recuerda uno de los resultados más importantes en el estudio de Superficies de Riemann, El Teorema de
Riemann-Roch, y se dan algunas de sus consecuencias.
f 1. EL TEOREMA DE RIEMANN-ROCH
DI VI SORES
Sea M una Superficie de Riemann. Un I)¿.e¿am sobre M es un
mapeo
tal que para cualquier subconjunto compacto K c M hay sólo un número finito de puntos x E K tales que D(x) f O . Con respecto a
la adición, el conjunto de todos los divisores sobre M es un grupo abelian0 el cual denotamos por Div(M1. También hay un orden parcial sobre Div(M) definido como sigue: dados D,D’ E Div(M1, ponemos D s D’ si D(x) 1 D’(x) tl x E M.
DIVISORES DE FUNCIONES MEROMORFAS
Sea M una Superficie de Riemann y Y un subconjunto
abierto de M. Para una función meromorfa f E M ( Y ) y a E Y se
define
47
O si f es holomorfa y no cero en a
k si f tiene un cero de orden k en a
-k si f tiene un polo de orden k en a
m si f es identicamente cero en una I vecindad de a
ord (f) := a
Tenemos entonces que para cualquier función meromorfa f E
M ( Y ) - ( 0 ) , el mapeo x H ord (f) es un divisor sobre M,
llamado €¿! DD¿wacyL de f,el cual será denotado por (f). #
Decimos que la función f es un mut.?2.pla del divisor D si
(f) = D. Entonces f es holomorfa si y sólo si (f) Z O.
Podemos definir el orden de una 1-forma meromorfa w E d l ) ( Y )
en un punto a E Y como sigue: sea (U,z) una vecindad coordenada
de a, de tal manera que sobre U n Y la diferencial w se representa como w = fdz , donde f es una función meromorfa. Se define ord (w) = ord (f). Puede verificarse fácilmente que esta
a definición es independiente de la elección de la carta coordenada
elegida. Para 1-formas w E M(')(M) - {O) el mapeo x w ord (u)
es otra vez un divisor sobre M que denotamos por (u). X
Para f,g E &(MI - {O) y w E MVM) - {O) se tienen las
siguientes relaciones:
1 (fg) = (f) + (g) , (7) = -(f) , ( f w ) = (f) + (u) Un divisor D E Div(M) se llama un PltLncipae si
existe una función f E M(M) - {O) tal que D = (f). Decimos que los divisores D,D' E Div(M) son linealmente si su
diferencia D - D' es un divisor principal.
9
Por un DD¿wacyL entendemos el divisor (w) de una 1-forma meromorfa w E &(')(MI - {O) . Cualesquiera dos divisores
E MVM) - (01 entonces canónicos son equivalentes pues si @I , O2
48
existe una función f E A(M) -{O) tal que u1 = fuz y así (u1) - (us) = (f).
EL GRADO DE UN DIVISOR Sea M una Superficie de Riemann compacta. Entonces para cada
D E Div(M) hay sólo un número finito de puntos x E M tales que
D(x) f O . Se define la función
llamado €2 9 4 . como
gr(D1 : = C D(x) XEM
El función gr es un homomorfismo de grupos. Observese que gr(f) = O para cualquier divisor principal (f) sobre una
Superficie de Riemann compacta ya que una función meromorfa tiene
tantos ceros como polos. Por lo tanto divisores equivalentes tienen
el mismo grado.
LAS GAVILLAS OD
Sea D un divisor sobre la Superficie de Riemann M. Para
cualquier conjunto abierto U c M se define OD(U) como el
conjunto de todas aquellas funciones meromorfas sobre U que son
múltiplos del divisor -D, es decir,
OD(U) : = { f E M(U) : ord (f) L -D(x) V x E U } X
(este conjunto también se denota por L(D))
Junto con los mapeos restricción natural OD es una gavilla . En el caso especial del divisor cero, D = O, se tiene OD = o. si
D, D’ E Div(M) son divisores equivalentes, entonces OD Y OD,
son isomorfos. Podemos definir un isomorfismo como sigue:
Tomemos ici E M(M) - ( 0 ) tal que D - D’ = (+l. Entonces el
homomorfismo de gavillas es el inducido por la multiplicación por #, es
49
decir,
OD-+ OD, # f H i ( r f
es un isomorfismo.
1. TEOREMA
Sea M una Superficie de Riemann compacta y D E Div(M) un
divisor con gr(D) < O. Entonces Ho(M.OD) = O.
DEMOSTRACION
Supongase que existe f E HO(M,O~) con f * O , entonces ( f )
t -D y se tiene
gr(f) t -gr(D) > O
y esto contradice el hecho que gr(f) = O.
2. TEOREMA ( RI EMANN-ROCH
Sea D un divisor sobre una Superficie de Riemann compacta
M de género g. Entonces Ho(M,OD) y H1(M,OD) son espacios
vectoriales de dimensión finita y además
dim Ho(M,OD) - dim H~(M,OD) = 1 - g + gr(D)
3. DEFINICION (INDICE DE ESPECIALIDAD)
Al número
UD) := dim H1(M,OD)
se le llama el indice de especialidad del divisor D. Luego el #
Teorema de Riemann-Roch puede escribirse en la forma
dim Ho(M.OD) = 1 - g + gr(D) + ¿(Dl
y en caso que gr(D) < 0 se tiene
i(D) = g - 1 - gr(D)
50
4. TEOREMA
Sea M una Superficie de Riemann compacta de género g y a
un punto de M. Entonces existe una función meromorfa no constante
f sobre M que tiene un polo de orden .C g + 1 en a y que
es holomorfa en cualquier otro lado.
DEMOSTRACION
Sea D : M + Z , el divisor definido por
D(x) = O V x f a D(a) = g + 1 Y
Por el Teorema de Riemann-Roch tenemos
dim Ho(M,OD) 2 1 - g + gr(D) = 2
5. COROLARIO
Sea M una Superficie de Riemann compacta de género g.
Entonces existe un mapeo cubriente holomorfo
lo más g + 1 ramas.
f :M + IP' con a
DEMOSTRACION
La función de teorema anterior cumple lo pedido..
6. COROLARIO
Toda Superficie de Riemann de género cero es isomorfa a la
esfera de Riemann.
DEMOSTRACION
Se sigue del hecho que un mapeo cubriente de una rama es
biholomorfo. . 51
7. DEFINICION (gavillas Q D l
Sea M una Superficie de Riemann compacta. Para cualquier
divisor D E Div(M) denotamos por L! la qad..!h de l-&ftmcm D
e que ac2n mué.t+tm úe -D. Luego para cualquier conjunto
abierto U c M el conjunto R (U) consiste de todas las formas
diferenciales w E M"'(U) tales que ord (w) L -D(x) V x E U.
En particular no= R es la gavilla de todas las 1-formas
D
X
holomorfas.
Sea w E M"'(M) una 1-forma meromorfa no trivial sobre M,
por ejemplo w = df , donde f E A(M) es una función meromorfa no
constante. Sea K el divisor de w. Entonces para un divisor
arbitrario D E Div(M) la multiplicación por w induce un
isomorfismo
o ;aD, f + f w D+K
8. TEOREMA
Sea M una Superficie de Riemann compacta de género g y
D E Div(M) entonces
dim H1(M,OD) = dim Ho(M.R
en particular para D = O se tiene
g = dim H'(M,O) = dim Ho(M,Q)
Este teorema nos dice que el género de una Superficie de
Riemann compacta M es igual al número de 1-formas holomorfas
linealmente independientes sobre M.
52
Podemos reformular el Teorema de Riemann-Roch como:
dim Ho(M,O - - dim Ho(M,RD) = 1 - g - gr(D)
9. TEOREMA
El divisor de una 1-forma meromorfa no nula w sobre una
Superficie de Riemann compacta de género g satisface
gr(o) = 2g - 2
DEMOSTRACION
Sea K = (o) . Por el Teorema de Riemann-Roch
dim Ho(M,OK) - dim H1(M,OK) = 1 - g + gr(K)
y como R = O se tiene K
1 - g + gr(K) = dim Ho(M,R) - dim H 1 ( M , R ) = g - 1-¤
10. TEOREMA
Sea M una Superficie de Riemann compacta de género g y
D E Div(M) . Entonces
H1(M,OD) = O cuando gr(D) > 2g -2.
DEMOSTRACION
Si gr(D) > 2g - 2 entonces gr(K-D) < O .
Como R = tiene H O ( M , O = O , pero - D K-D
HO(M,O = H'(M,R 1 = H'(M,o~) K-D -D
53
f 2. EL ESPACIO VECTORIAL L(DL
Asociado a un divisor sobre una Superficie de Riemann, se tiene un espacio vectorial de funciones, el cuál proporciona información
sobre los polos y ceros de funciones con respecto a este divisor.
En esta sección se recuerda la definición de este espacio y se dan
algunas de sus propiedades.
11. LEMA
Sea R un dominio que no sea un campo. Si R es
Noetheriano, local y su ideal maximal es principa1,entonces existe
un elemento irreducible t E R tal que cada z E R no nulo
puede escribirse de forma única como z = ut" , u E R*,
n E H u {O), (R denota el grupo de unidades de R).
DEMOSTRACION
Sea 3R el ideal maximal de R y t un generador de R.
Supongase que tenemos ut" = vtm , u,v E R*, n z m. Entonces
tn-m = u-lv E R* , y por lo tanto n = m y u = v. Debemos
probar ahora que todo z E R posee una expresión del tipo que se
nos pide. Podemos suponer que z no es invertible, pues en caso
contario se tendría lo pedido. Se tiene entonces z . = zlt para
un cierto z E R . S ~ z es invertible se termina la
demostración, si no, tendremos z = z2t. Continuando de esta
manera obtenemos una sucesión infinita z = z t . Como R es noetheriano, la cadena de ideales (21) c ( Z J c . . . ha de
poseer un elemento maximal y por lo tanto z = vz para algún
v E R*, por consiguiente z = vtz y así vt = 1. Esto es una contradicción con el hecho que t no es invertible, por lo tanto,
1 1 '
1
1 1+1
n+ 1 n
n n
54
en algún momento se tiene = utn con u e R* y n e í~ u {O).
12. DEFINICION ,
El elemento t del lema anterior se llama un pahamethcr de
Observamos que cualquier otro parámetro de uniformización de *
R es de la forma ut con u E R ,
13. DEFINICION
Sea M una Superficie de Riemann compacta y p E M. Se
define .el an¿eea eaCae de M en p , denotado por O (MI como el
anillo de gérmenes de funciones regulares sobre M cerca de p.
Es decir, un elemento de O (MI es una pareja ( U , f ) donde U
es un abierto de M que contiene a p, f es una función
racional sobre M y al escribir f = g/h sobre U se tiene
h(p1 f O.
P
P
14. LEMA
El anillo local O (MI es un dominio local noetheriano. Su
ideal maximal Sn es el conjunto de todos los gérmenes de
funciones regulares que se anulan en p.
P
DEMOSTRACION
Si f ( p ) f O , entonces l/f es regular en alguna vecindad
de p y por lo tanto f es invertible.,
15. LEMA
55
Sean D, D1, D E Div(M) entonces 2
( a ) Si D1 5 D2 se tiene L(D1) c L(D2) y además
dim (L(D2)/L(D1 1) s gr(D2-D1 1
( b ) Si p E M entonces dim (L(D+p)) = dim (L(D)) + 1
DEMOSTRACION
( a ) La primer afirmación es trivial.
Supongamos que D2 = D1 + p, + . . . + ps. Entonces se tienen
las inclusiones
L(D1) c L(Dl+pl) c . . , c L(Dl+pl+. . .+ps)
Entonces es suficiente probar que dim (L(Dl+p)/L(D)) 1.
Sea t un parámetro de uniformización de O (MI y sea r = P n el coeficiente de p en D1. Definimos P
Como ord (f) h -r-1 , cp está bien definida. Se comprueba P
facilmente que cp es una aplicación lineal. Tenemos
r + l híp)
Kercp={ f : (p(f) = O } = { f : f(p) = o } = g(p) + l
= { f : h(p)"'f(p) = O } = L(D)
(t = ' con h(p) = O, g(p) # O )
y así (p induce una aplicación inyectiva g
- cp :L(D~+~)/L(D~) --+ c
de donde obtenemos la conclusión.
( b ) Es una consecuencia inmediata de ( a ) . .
56
f 3. LOS HUECOS DE WEIERSTRASS
En esta sección se verá un poco más la fuerza que tiene el Teorema de Riemann-Roch al estudiar los "Huecos de Weierstrass" asociados
a un punto sobre una Superficie de Riemann compacta.
16. TEOREMA (Teorema de los "huecos" de WEIERSTRASS: THW) Sea M una Superficie de Riemann compacta género positivo g
y sea p E M arbitrario. Entonces hay g enteros, n ..,n con 1' - 9
c n < 2 g l = n < n2 < . . . 9 1
tal que no existe una función f E M ( M I holomorfa, excepto en p
y con polo de orden n en p. J
DEMOSTRACION
Si definimos la sucesión de divisores por medio de las
re 1 ac i ones :
D = O y D , = D + p para j r l O J-1
debemos demostrar que existen los enteros positivos n tal que no existe una función f E L(D 1 - L(Dn I .
J n J J-1
Puesto que estamos en el caso que g > O, 1 es uno de los enteros que buscamos.
De la relación
O 5 ho(DJ) - ho(D 4 1 V J J-1
se deduce que el entero k es uno de la lista buscada sí y sólo
si ho(DkI - ho(D 1 = 1 k-1
Del Teorema de Riemann-Roch se tiene
ho(DJ) = j - 1 + ho(K-D J
57
ho(D = j - 1 + 1 +ho(K-D 1 J-1 J-1
de donde obtenemos
ho(DJ) - ho(D ) = 1 + ho(K-DJ) - ho(K-D 1-1 J-1
I
entonces, para todo k h 1
ho(Dk) - ho(Do) = k + ho(K-Dk) - g
o bien
ho(Dk) - 1 = k + ho(K-Dk) - g
El número a la derecha de la última igualdad nos dá el número
de enteros que no son los n ' s y que son menores o iguales que k. Tomemos ahora k = 2g - 1, luego gr(Dkl = 2g - 1 y se tiene
que ho(K-Dk) = O,
J
y entonces
k - # {"n ' s " s k } = k - g es decir, hay precisamente g, "n ' s i ' y todos ellos son 5 2g -1..
J
J
17. DEFINICIONES Los enteros que aparecen en el Teorema anterior se llaman &a
huecacs de Weierstrass en p. El complemento con respecto a iN de los
huecos en p se llaman eoA n~ fuecm en p.
OBSERVACIONES
1. Los no huecos en p forman un semigrupo pues si a a J ' k
son dos no huecos entonces existen funciones fl,fe E A (MI
-
holomorfas en M - {p) con polo de orden a CY en P J' k
respectivamente y por lo tanto
M - {p) y tiene polo de orden a +a en p.
2- Hay exactamente g no huecos en (2.3,. . . ,2g} con 2g
flf2 E M (MI es holomorfa en
1 2
siempre un no hueco.
3. Si M tiene género g = O , el THW vale para este caso pues
58
siempre hay una función con polo (simple) y así no hay huecos.
NOTAC I ON
l = n < n 2 < . . . < n < 2g 1 9
Y
1 < al < as < . . . < a = 2g 9
denoterán respectivamente los huecos y los primeros g no huecos
en algún punto p.
18. PROPOSICION
Para todo entero j , O < j < g se tiene
a + a Z 2 g J 9-J
DEMOSTFUCION
Supongamos que para algún j se tiene a + a < 2g.
Entonces para cada k 5 j se cumple a + a < 2g. Luego,
sin contar tenemos cuando menos j no huecos entre a
a a ni a a . Se tienen por lo menos
J 9-J
k 4- J
9- J y aJ
9-J J
( g - j) + j + 1 = g + 1
no huecos 5 2g.
19. PROPOSICION
a = 2 ssi a + a = 2 g v o < j < g . 1 J g - J
DEMOSTRACION
s. Si suponemos a = 2, del hecho que los "no huecos" es un 1
59
semigrupo aditivo se ttiene que a = 2j V j y obviamente J
a + a = 2g. J 9-2
b. Se supone ahora que a + a = 2g V O < j < g.
observamos que a, 2a, 3a, .. . , [ ig 3 al son "no huecos", pero si
sucede que a > 2 entonces en este número hay a lo más sg < g "no
huecos" luego debe haber otro "no hueco" I 2g. Sea a el primer "no
J 4-1
a 1
1
hueco" que no aparece en la enumeración previa, entonces existe un
entero r, con 1 5 r 5 [ ;g ] < g que cumple 1
ra < a < (r+l) al. 1
En consecuencia, tenemos los siguientes "no huecos"
a a = 2al, . . . , a = ra a = a 1' 2 r 1' r+l
y por nuestra suposición
a = 2g-al, . . . , a = 2g -ra1* a9++l) = 2g-a
[ observese que s i r+l = g, entonces a = 2g y la última igualdad g-1 9-r
se lee a = O, la cual podemos adicionar consistentemente a
nuestros datos I. O
Estos son todos los "no huecos" que son z a y que son g-(r+l)
también 5 2g. En consecuencia
2g > 2g+(al-a) = a +a
y al considerar la lista de "no huecos"
= a +2g-a = 2g-ía-al) > 2g-ral = a 1 g-(r+l) 1 9-r
a = a a = 2g-a 1 1 g-(r+l)
a = 2a 2 1
a = 2g-ra 9-r
a = ra a = 2g-2al r 1 9-2
a = a r+l
a = 2g-al g-1
60
vemos que hay un "no hueco" < 2g, mayor que a y que no está
en la lista de la derecha..
9-r
20. COROLARIO 9-1
z g(g-1) con igualdad ssi a = 2. E OLJ 1 Se tiene J =1
DEMOSTRACION 9-1
+ a 2g(g-1) 4-2+ OL2 + ag-l 1 2 Ea, = a + a + a + a + . . . + a
1 g-1 2 9-2 J=l
Además, si a = 2 hay igualdad y si al> 2 hay desigualdad
estricta.
1
OBSERVACIONES IMPORTANTES
- 1. Hemos visto que j 2 1 es un ''hueco" en p E M
ss i
ss i
esto es, ssi existe sobre M una u E i2( (j-1)p) - n( jp), donde
ho(jp) - ho((j-l)p) = O
ho(K-(j-l)p) - ho(K-jP) = 1
R(rp) : = { w : (u) 2 rp } = { w : ord w = r }
ssi existe sobre M una diferencial abeliana de la primera clase
con un cero de orden j-1 en p. En consecuencia los posibles
ordenes en p de diferenciales abelianas de la primera clase son
precisamente
P
O = n-1 < n-1 < . . . < n-1 s 2g-2 1 2 9
donde los n ' s son los ''huecos" en p.
2. Dado un punto p sobre una superficie de Riemann M de
género g > O , existe una diferencial w E que no se anula
en p, esto es ord (w) = O.
J
P
61
21. DEFINICION
Dado p E M
o. si escribimos
en es,e caso se (
se define el peaa de p, denotado t ( p ) , como
1 ce que el peso está tomaL-, con respecto a H ( I .
22. DEFINICION
Un punto p E M se llama un punta de Weie/Latruzd6 si t(p) >O.
Algunas preguntas que surgen de manera inmediata son: ¿existen
puntos de Weierstrass sobre una Superficie de Riemann M? Si la respuesta es afirmativa, ¿cuántos hay?
La primera pregunta la respondremos afirmativamente (si la
superficie es de género g L 2) y, para la segunda veremos que
siempre hay un número finito de estos puntos.
Para poder responder las preguntas necesitamos hacer un
trabajo extra que iniciaremos con el concepto que vamos a explicar
a cont i nuac i ón:
Sea A un espacio vectorial de dimensión finita de funciones
holomorfas sobre un dominio D C ic . Supongamos que dim(A)=n L 1.
Sea z E D. Por una &aae de A adaphda a z entenderemos una base
{gl,. . . ,# } de A que cumpla n
ord 9 < ordz $ < . . . < or$ $ 2 1
Dicha base puede construirse de la siguiente manera:
62
Sea p = min { ordz# } 'EA
y escogemos A con ord 4~ = . A continuación consideramos
1
z 1 pl
el espacio vectorial (de dimensión n-1)
Al= { q5 E A : ordz+ > p, }
en forma similar a pl (solamente que se y se escoge
considerará el espacio A I . Por inducción se puede construir la
base adaptada a z.
p2
1
23. PROPOS I C I ON
Sea {#l,. . . ,#,} cualquier base de A. Considerese la función
holomorfa (el Wronskiano)
O(z) := det
entonces ord Q = t(z).
DEMOSTRACION
+p) . . . 'n(z)
. . .
Escribiremos, por brevedad, el Wronskiano en la forma
O(z) = det[$l,. . . .@ ,I
Para probar la proposición necesitamos una propiedad del
Wronskiano que es una consecuencia inmediata de las propiedades de
los determinantes y la enunciamos a continuación:
'n det[f+l,. . . ,f$nl = fndet[#l,. . . ,
Se prueba ahora la proposición haciendo inducción sobre n. La
63
afirmación es obviamente cierta en el caso n = 1. Supondremos
ahora que la proposición es cierta para n = k. Explícitamente se
está suponiendo que 9
ordzdet[Ól,. . . , $ k l = 1 ( p , - j + 1 ) J = l
= ord $ . Considerse ahora det[gl,. . , @ k + l l . Es claro c(J Z J
donde
de la observación precedente que
El lado derecho de la igualdad es simplemente
+:*‘de t [ ( $2/$1 1 ’ , . . . , ( $k+l/+l 1 ’ 1
La hipótesis de inducción nos dice que (si ponemos
k k
k + l k + l
con tal que para cada j, p -(j-l)-pl h O. Ya que {$,} es una
base adaptada a z, esta desigualdad siempre se satisface y en J
consecuencia tenemos: k + l
ordzdet [ $1, . . . , $k+l I = C (p,-j+l) J = 1
24. COROLARIO
Sea A un espacio vectorial de dimensión finita de funciones
holomorfas sobre D c C . El conjunto de puntos z E D con peso
positivo con respecto a A es discreto.
64
25. COROLARIO
Bajo las hipótesis del corolario anterior, para un conjunto
abierto denso en D, la base {#l,. . . , # 1 de A adaptada a z
tiene la propiedad
n
ord 4 = j - 1. Z J
DEMOSTRACION
Por hipátesis se tiene ord # = pj. Por el corolario n
anterior tenemos que ~ ( z ) = (p,- j+ l ) = O para un conjunto Z J
J J=l
abierto denso. Ya que, como hemos observado anteriormente,
= j -1 para cada j sobre este conjunto pJ
se tiene
denso. , De paso hemos demostrado parte de la siguiente
PJ" 3-1
abierto
26. PROPOS I C I ON
Un punto p sobre una superficie de Riemann M de género
g z 2 es un punto de Weierstrass ssi existe una diferencial
holomorfa sobre M con un cero de orden h g en p. Esta
condición es equivalente a cualquiera ( y en consecuencia a ambas)
de las siguientes:
- i. ho(K - gp) > O.
- ii. ho(gp) h 2
es un "hueco" 1.
(esto es, al menos uno de los enteros 2, ....g no
65
DEMOSTRACION
El primer ssi es consecuencia inmediata de la proposición
anterior. Que la condición sea equivalente a (ii) es fácil pues
dice que al menos uno de los enteros 2,. . . ,g no es un "hueco",
entonces debe haber al menos un "hueco" en g+l, . . . ,2g-1 y esto
dice que, si por ejemplo, g+j es un hueco entonces
ho((g+j)p) - ho((g+j-l)p) = O
o sea
ho(K - (g+j-l)p) - ho(K - (g+j)p) = 1
es decir, existe una diferencial holomorfa con orden en p igual
a g+j-1 h g. Esto es lo mismo que ho(K - gp) > 0..
27. TEOREMA Sobre una superficie de Riemann compacta M de género g , el
número de puntos de Weierstrass, contados según sus pesos, es
(g-l)g(g+l) = 1 t(p) Pen
DEMOSTRACION
Se dará mas adelante.
28. COROLARIO
En una superficie de Riemann compacta de género g 2 2
siempre hay puntos de Weierstrass.
29. TEOREMA
Sea M una superficie de Riemann compacta de género g h 2. Entonces el peso de un punto con respecto a las diferenciales
abelianas holomorfas es IS g(g-1112. Esta cota es alcanzada solo
66
por los puntos cuya sucesión de "no-huecos" se inicia con 2.
DEMOSTRAC I ON
Seam 2 s al < a2 < . . . < a = 2g los primeros "no-huecos"
en p. Seam entonces 1 = n < n < . . . < n < 2g los g "huecos" 1 2 9
en p. Se tiene
4
9 2 9 9 2 9 - 1 2 9 - 1 9 - 1
t(p) = ( n J - j ) = j - C aJ - C j = C j - OLJ J = l J = l J = l J = l J = g + l J = l
3 1 2
= -g(g-l) - g(g-1) = $g-l)
cumpliendose la igualdad ssi a = 2.. 1
30. COROLARIO
Sea W el número de puntos de Weierstrass s o b e una
superficie de género g Z 2 , entonces:
2 g + 2 = w = (g-l)g(g+l) = g3- g.
DEMOSTRACION
Sea 1 = t = mínimo peso de un punto de U, y sea también O
g(g-1) = tl = máximo peso de un punto de U. Entonces 1 2
r(p) = (g-l)g(g+l) = t l W = -g(g-l)W
y se tiene la primera desigualdad. Para la segunda se considera
t(p) = (g-l)g(g+l) = t w = u.. O
OBSERVACION
La primera igualdad se alcanza ssi cada punto de Weierstrass tiene como sucesión de "huecos" 1,3, . . . , 2g-1. Cuando se tiene esta situación se dice que es una superficie de Riemann hiperelíptica.
Estas superficies serán consideradas en el capítulo 111.
67
S 4. LA FORMULA DE RIEMANN-HURWITZ
En muchas situaciones es necesario determinar el género de una
Superficie de Riemann cuando es cubierta de otra Superficie de
Riemann. En esta sección se dá un resultado en esta dirección.
Sean M,N superficies de Riemann compactas y f:M + N una
función holomorfa no constante. Para x E M sea a(f,x) la
multiplicidad con la cual f toma el valor f ( x ) en el punto x.
El número b(f,x) = df,x) - 1 se llama el oltden de
de f en el punto x. Observese que b(f,x) = O ssi ’ . .
f no es ramificada en x. Ya que M es compacta, hay solamente
un número finito de puntos x E M tal que b(f,x) * O. En
consecuencia el número
b(f) : = b(f,x) X E M ’
que se llama el ariden tatae de ’ está bien definido.
31. TEOREMA(fórmu1a de Riemann-Hurwitz)
Sea f:M + N un recubrimiento holomorfo (ramificado), con n
hojas, entre superficies de Riemann compactas con orden total de
ramificación b = b(f). Sea g el género de M y g’. el género
de N. Entonces 2g - 2 = b + n(2g’ - 2 )
DEMOSTRACION
Sea w una 1-diferencial meromorfa no nula sobre N.
Entonces gr(w) = 2g’- 2, y como f w es una 1-diferencial
meromorfa no nula sobre M entonces gr(f w) = 2g - 2.
68
Sea x E M, f(x) = y. Entónces existe una vecindad
coordenada {'U, z} de x (resp. {U' ,;} de y ) tal que z(x) = O
(resp. s ( y ) = O 1 y tal que, con respecto a estas coordenadas,
podemos escribir a f como z = z donde k = a(f,x). 4" k
k Sobre 'U' w = #(z Ids. Entonces sobre 'U se tiene
k-1 f*w = #(zk)dzk = kz #(zk)dz
esto implica
ord ( f * w ) = b(f,x) + a(f,x)ord (u) X Y
(esta última igualdad se sigue de las igualdades siguientes:
k-1 k-1 = ord z = b(f,x); X
ord w = ord # y :. ord #(zk) = kaord (u) Y Y Y Y
a(f,x) = n tl y E M se tiene entonces E- 1 Ya que
X€f ( y )
b(f,x) + n-ord (u) Y
ord*(f w) = E-, XEf ( y )
E- 1 X xef ( y )
32. COROLARIO
Con las notaciones anteriores podemos darnos cuenta que b
siempre es par.
33. COROLARIO
Supongamos que la cubierta f no es ramificada,es decir, b=O
y mantengamos las demás hipótesis del teorema anterior, entonces
- i. g = O implica n = 1 y también g' = O.
- ii. g = 1 implica g' = 1 y n es arbitrario.
69
- iii. g > 1 implica
(a) g = g’ para n = 1.
(b) g > g’ > 1 para n > 1 y además n divide a g - 1..
34. COROLARIO
Con las hipótesis de teorema anterior se tiene
- i. g = O implica g’ = O.
- ii. Si 1 s g = g’ entonces sucede alguna de las dos cosas
siguientes
(a) n = O y por lo tanto b = O o bien
(b) g = 1 y por lo tanto b = 0..
A continuación se definiráel determinante Wronskiano para las
1-diferenciales y veremos algunas de sus propiedades que nos serán de gran utilidad posteriormente.
Sea como siempre M una superficie de Riemann compacta de
género g h 1 y wl,. . . ,u una base de R(M). Para cualquier
vecindad coordenada {U,z) podemos definir el W a a m k h a a (el cual
es una función holomorfa sobre U ) , que denotaremos aZ(w1,. . . ,w 1,
como sigue: sobre esa vecindad escribimos w = fldz y entonces
g
(I
1
ponemos
o (u1, . . . ’ O 1 := 4(f1,. . . ’ f 1 z 9 9
donde el término de la derecha es el wronskiano que se definió
anteriormente y las derivadas de las funciones se toman con fl
respecto a z .
El comportamiento del wronskiano cuando se cambian las
coordenadas nos lo dá el siguiente:
70
35. TEOREMA .-.
Supongase que { 'U,z) y { U , ; ) son dos vecindades coordenadas .-.
sobre M. Entonces sobre 'U n u se tiene
1 donde N = ;g(g+l).
DEMOSTRACION .-. .-.
dz
dz Ponemos 9 : = -- E O('U n U). Definimos también las funciones
.-.
fk y Fk sobre U n U por medio de las relaciones
w = fkdz = Fkd;
y se tiene fk = Ik?k. Por inducción sobre m y utilizando la k
regla de la cadena puede demostrarse sin dificultad que
donde las @m son funciones holomorfas sobre U n '% y son
independientes de k. En consecuencia se tiene P
dmf m + í dm? dzm =O, . . . ,g-1 = det (* . . . , g - 1
det (d)
k=1, . . . , g k=l,. . . , g
1
2 Y Ya que 1 + 2 + . . . + g = -g(g+l) se sigue el resultado..
NOTA .-. .-. Si wl,. . . ,u es otra base de R(M), existen constantes c E
'k 4 - C con det(c ) = c f O tal que w = cc,w , y
'k ' k k
71
C A P I T U L O I11
En el capitulo anterior se dieron algunos resultados básicos sobre
Superficies de Riemann compactas. En este capitulo se estudiaran
algunos resultados sobre un tipo particular de Superfies de
Riemann: las superficies "hiperelipticas".
f 1. SUPERFICIES DE RIEMANN HIPERELIPTICAS
Antes de dar la definición de una superficie de Riemann
hipereliptica daremos una definición equivalente de los punto de
Weierstrass y demostraremos algunas propiedades que se quedaron
pendientes en el capitulo anterior.
1. DEFINICION
Sea M una superficie de Riemann compacta de género g L 1. Un
punto p E M se llama de W e i m m ú a m si para una base
{u1,. . . ,w } de R(M) y una vecindad coordenada {U,z) de p, el
determinante wronskiano O (ul,. . . ,w 1 tiene un cero en p. El
orden de este cero es llamado el peaa del punto de Weierstrass y se denotará por t(p).
9
Z 9
NOTAS
- 1 . Esta definición no tiene ambigüedad debido al último teorema
del capitulo anterior.
72
2. Esta definición es equivalente a la definición 22, A3,II.
2. TEOREMA
Sea M una superficie de Riemann de género g y sea p E M.
Entonces existe una función meromorfa no constante f E M(M) la
cual tiene un polo de orden 5 g en p y es holomorfa en M-{p) s í
y sólamente si p es un punto de Weierstrass s í y sólamente si
existe w E S X M ) con ord w 5 g-1. P
DEMOSTRACION
Ver teorema 26, A3,II.
3. TEOREMA
Sobre una superficie de Riemann compacta de género g , el
número de puntos de Weierstrass, contados según sus
multiplicidades es
DEMOSTRACION
Sea una cubierta de M por vecindades zi)iEI
= dz --I es hoiomorfa y J
coordenadas. Sobre 'Uin'U J la función 'iJ dz
no tiene ceros. Con respecto a una base fija E R(M) sea O1, - * 9
ai - - az (u1,. . . ,w 1 E O W i ) (el wronskiano) 9 i
por el teorema 35, Á4,II se tiene
(1) 1 ai = \k" O sobre 'Ui& donde N = ;g(g+l) i J J J '
73
Tomando D(x) := ord (ai) para x E Ui, se define el divisor
sobre M correspondiente a los puntos de Weierstrass Junto con sus
X
respectivos pesos, es decir,
D = t(p)p
por lo tanto gr(D) = 7(p) y la demostración estará completa
una vez que se pruebe que gr(D) = (g-l)g(g+l).
Pen
PEn
Sea D1 el divisor de w . Entonces gr(D1) = 2g-2. Si 1
w = flldzi sobre U entonces 1 i'
Dl(x) = ord (fli) V x E U1.
Además
fll = 9 f sobre U1nU 1J 1J J
(2)
De (1) y (2) se sigue
0 f-N = IJl f-N sobre U n'u i 11 J 1J 1 J
y existe entonces una función meromorfa global f E M(M) tal que
Para el divisor de f se tiene
(f) = D - N*DI
y puesto que gr(f) = O se sigue que
gr(D) = N-gr(D1) = ;g(g+1)(2g-2) 1 (g-l)g(g+l)
4. DEFINICION *
Una superficie de Riemann compacta M se llama hQxmd¿pt¿ca
si existe un divisor efectivo D sobre M tal que
74
gr(D) 7 2 y ho(D) h 2
Equivalentemente, M es hiperelíptica s í y sólamente si M
admite una función meromorfa no constante con exactamente dos
polos.
Si M tiene una función con las características anteriores
entonces cada punto de ramificación tiene número u orden de
ramificación 1 y , por lo tanto, el género y el orden total de
ramificación b (que en este caso es igual al número de puntos de
ramificación) de f están relacionados por (usando la fórmula de
Riemann-Hurwi tz)
b = 2g+2
OBSERVACIONES
- 1. Podemos por lo tanto describir una superficie de Riemann
hiperelíptica de género g como una cubierta doble de la esfera de
Riemann la cual es ramificada en 2g+2 puntos.
2. Algunos autores restringen el término i@e-diptica a ,
superficies de género g L 2 que satisfacen la condición antes
menc i onada.
5. COROLARIO
Toda Superficie de Riemann compacta M de género g h 2
admite un recubrimiento holomorfo teniendo a lo más
g hojas (es decir, es de a lo más grado g). En particular, toda
f :M + P'
superficie de Riemann de género g = 2 es hiperelíptica.
75
6. PROPOCICION
Toda superficie de género g 5 2 es hiperelíptica.
DEMOSTRACION Sea D un divisor efectivo de grado 2. Por el teorema de
Riemann-Roch se tiene
ho(D) = 2 + 1 - g + ho(Z-D)
en consecuencia, ho(D) h 2 para g I 1 y solo resta considerar
el caso g = 2.
lo demostración para el caso g = 2.
Sea p un punto de Weierstrass sobre una superficie de
género 2. Entonces hay una función no constante f E L(2p).
2O demostración para el caso g = 2.
Sea w f O una diferencial holomorfa, entonces puesto que
gr(w) = 2g-2 = 2, (u) = pq y como i(p+q) = 1 se deduce que
hO(p+q) = 2..
OBSERVACION S
Las superficies de género 1 también se llaman .e&+¿hm. Las
superficies de género cero admiten, por supuesto, funciones de
grado 1, luego, las superficies hiperelípticw son aquellas que
admiten funciones del menor grado posible.
1 Sean M una superficie hiperelíptica, f: M -+ P de grado 2 y
p E M un punto de ramificación de f. Entonces f es localmente 2+1
en p. Supongase que f(p) = 03 entonces f tiene un polo de orden 2 en p y por lo tanto p es un punto de Weierstrass. Si sucede que
76
f(p) f m entonces ------ tiene un polo de orden 2 en p y por
lo tanto p es un punto de Weierstrass. Por consiguiente la
sucesión de "huecos" de Weierstrass en cualesquiera de los 2g+2
puntos de ramificación es
f-f(p)
1,3,. . . ,2g-1
y así el peso de cada uno de estos puntos es
Luego, estos 2g+2 puntos contribuyen en g(g2-1) a la suma de los pesos de los puntos de Weierstrass. Ya que la suma de los pesos
de todos los puntos de Weierstrass es precisamente g(g -1) no hay
otros puntos de Weierstrass. En consecuencia se tiene el siguiente
2
7. TEOREMA
Una superficie de Riemann compacta M es una hiperelíptica si y sólo si todo punto de ramificación es un punto de Weierstrass, s í y sólamente si todo punto de Weierstrass tiene como sucesión de
"huecos" 1,3, . . . , 2g-1, si y sólo si todo punto de Weierstrass
tiene peso igual a -g(g-l).. 1
2
En las siguientes lineas se darán otras formulaciones
equivalentes a la definición de Superficie de Riemann
hiperel ipt ica.
77
f 2. DIVISORES ESPECIALES SOBRE SUPERFICIES COMPACTAS
Por el resto de este capíitulo, M denotará una superficie de Riemann compacta de género g positivo , Div(M) denotará el grupo de divisores sobre M y Z el divisor canónico (usualmente efectivo).
INDICE DE CLIFFORD. DIVISORES ESPECIALES
se define por medio de la relación:
c(D) = gr(D)-2ho(D)+2
La afirmación que c(D) y gr(D) tienen la misma paridad es
trivial. Este hecho será usado mas adelante.
eopec¿ae si
existe D* E Div(M), D* 2 O, tal que D + D = Z. Al divisor D
lo llamaremos un dhhm * de D.
Diremos que D E Div(M), D h O es d&w&aa . . * ff
8 . PROPOSICION
El índice de Clifford depende sólo de la clase de divisores ,
También se tiene la 3- de B M - N a e t i w ~ :
DEMOSTRACION
La primera afirmación se sigue de la definición del índice de
Clifford.
La segunda afirmación se deduce de aplicar el Teorema de
Riemann-Roch:
78
c(2-D) = gr(2-D) - 2ho(Z-D) f 2 = 2g - 2 - gr(D) - 2¿(D) + 2=
= 2g - 2 - gr(D) - 2[h0(D) - gr(D) + g - 11 + 2 =
= gr(D) - 2h0(D) + 2 = c(D).
OBSERVACION
Podemos utilizar nuevamente el Teorema de Riemann-Roch y
escribir la segunda parte de la proposición anterior de otras dos
formas equivalentes:
2i(D) + gr(D) = 2UZ-Dl + gr(2-Dl
i(D) - ¿(Z-D) = g - 1- gr(D) Para el caso particular gr(D) = g - 1, la última fórmula se
convierte en:
9. DEFINICION (MCD DE DIVISORES) , .
Si Dl y D son divisores efectivos, el m.u.a¿ma c ~ m u n 2
címaaa de D1 y D2, lo cual escribimos (D1,D2) es el único . .
divisor efectivo D que satisface:
a. D 5 D1, D 5 D2, Y
* b. Si D es un divisor efectivo que cumple D*S D1 y D*s D2,
* entonces D I D.
Se verifica fácilmente que
si D = aJ(p)p p€S
79
10. PROPOSICION
Sean D1 y D2 divisores efectivos y D = (Dl,D2).
Entonces
ho(D1) + ho(D2) - ho(D) ho(D1 + D2 -D)
DEMOSTRACION
Observamos en primer lugar que D 5 D1+ Dz- D y así se
obtiene L(D 1 c L(D 1+ D -lD). De esta última afirmación
deducimos facilmente que
J
J
donde v indica el espacio generado.
Afirmamos que L(D1) n L(D2) = L(D)
En efecto, si D = a (PIP, y si tomamos f E L(D1) n L(D2) J Pen
con un polo de orden a h 1 en p se cumple que a S a ( p ) j = J
1,2, y en consecuencia a 5 min{al(p),a2(p)) y así f E L(D).
Con lo que queda establecido que L(D1) n L(D2) c L(D).
J ' La inclusion contraria se sigue del hecho que D 5 D
j=l, 2.
Para obtener la proposición usamos un poco de álgebra lineal
y las inclusiones verificadas anteriormente:
ho(D1) + ho(D2) - ho(D) = dim (L(D1)vL(D21)
5 dim (L(D1+D2-D) 1 = ho(D1+D2-D). . 11. COROLARIO 1
Con las hipótesis y notaciones de la proposición
80
12. COROLARIO 2
Si D es un divisor especial con divisor complementario D*,
entonces c(D) h c((D,D 1 ) .
DEMOSTRACION
Se sigue fácilmente del corolario 1 y de la fórmula de
Brill-N0ether.i
13. TEOREMA (Clifford)
Sea D un divisor especial sobre M, entonces
- i. c(D) h O
- ii. Si gr(D) = O o gr(D) = 2g-2, entonces c(D) = O.
- iii. Si c(D) = O, entonces gr(D) = O o gr(D) = 2g-2 a menos
que M sea hipereliptica.
DEMOSTRACION
Primeramente recordamos que c(D) = C(D*) y gr(D)+ gr(D*) =
2g-2, donde D es un divisor complementario de D, así que basta 4f
demostrar el teorema para divisores especiales de grado 5 g-1.
Procedamos a demostrar (ii)
Si gr(D) = O , entonces ho(D) = 1.
Procedamos por inducción para demostrar ( i )
Si gr(D) = O , ya se probó. Consideremos ahora el caso que
gr(D) = 1, entonces ho(D) = 1
81
y así
c(D) = gr(D) - 2h0(D) + 2 = 1 Tomemos ahora un divisor D tal que 1 < gr(D1 5 g-1 y
supongamos que c(D) < O y así ho(D) > igr(D) + 1 > 2. Tenemos pues una función no constante en L(D). Sea D* un divisor
complementario. Reemplazando D por un divisor equivalente (el cual tiene el mismo índice de Clifford), podemos suponer que
(D,D*) z D (Verifiquemos que podemos hacer lo que mencionamos
anteriormente: Debemos probar que existe p E M que aparece en D. con multiplicidad menor que en un divisor efectivo equivalente a D. Sea w una diferencial holomorfa tal que (w) = D + D . Sea f E L(D) - C . Entonces para todo c E C , (f-c) + D es efectivo y
equivalente a D. Eligiendo adecuadamente a c (por ejemplo, que
f-l(c) contenga un punto que no está en D*) entonces (f-c) + D contendrá un punto que no está en D*, y, obviamente, (f-c) + D y
D* son complementarios).
Si (D,D*)*D, entonces por el corolario 2 c((D,D*)) < O. Además (D,D*)
*
se tiene la relación es especial, aplicamos ahora inducción.
05 gr((D,D*)) < gr(D), y el divisor
Nos resta probar (iii).
Se ha visto que si O < gr(D) < 2g-2 y además c(D) = O,
necesariamente debemos tener 1 < gr(D) < 2g-3, y así
ho(D) = -gr(D) + 1 1 2
Si gr(D) = 2, entonces h0(D)=2 y así la superficie es
hiperel ípt ica.
Puesto que gr(D) es par, podemos suponer que gr(D) B 4.
Sea D de su clase de equivalencia tal que
esto puede hacerse ya que ho(D) z 3. Todo lo que queremos es una
función en L(D) que se anule en algún punto de D y en un punto
82
que no esté en D*. Sea f tal función. Entonces (f) + D es
efectivo, equivalente a D y satisface ( a ) . *
Hemos construido un divisor especial (D,D 1 que cumple
O < gr (D,D*) < gr(D) y c(D,D*) = O
de donde se deduce la relación
2 5 gr (D,D*) 5 gr(D) - 2
Al aplicar inducción vemos que podemos encontrar un divisor
de grado 2 con índice de Clifford cero, pero esto quiere decir que
la superficie es hipere1íptica.i
Antes de ver algunas consecuencias del Teorema de Clifford
tenemos la siguiente
OBSERVACION
Si D E Div(M) es arbitrario y O 5 gr(D) 5 2g-2 , entonces
c(D) 2 gr(D) a menos que ho(D) = 2. En el Último caco, ya que hay una función no constante f E L(D), tenemos que Dl = (f) + D
es efectivo y equivalente a D.
14. COROLARIO 1
Si D es un divisor tal que O I gr(D) I 2g-2, entonces
c(D) h O y c(D) = O solo si D - 2 a menos que M sea
hiperel ípt ica.
83
DEMOSTRACION
si ho(D) s 1 , entonces c(D) 2 gr(D) 2 O.
entonces existe D divisor especial, 1' Supongamos ho(D) = 2,
tal que gr(D) = gr(D1), D - D1 y c(D) = c(D1) 1 O (por el
Teorema de Clifford), además
~(2-D) = c(D) = c(D1) = c(Z-D1) =O
luego, c(D) = O solo si 2-D - O a menos que M sea
hipere1íptica.i
15. COROLARIO 2
Sea D un divisor sobre M tal que O I gr(D) 5 2g-2 . Entonces
c(D) h O y si c(D) = O entonces D es principal o M es
hiperel ípt ica.
CMOSTRAC I ON
La observación hecha anteriormente nos muestra que c(D) <
gr(D) s í y sólo si ho(D) h 2. Si ho(D) h 2 entonces D es
equ valente a un divisor efectivo D1 del mismo grado. Sabemos
que podemos suponer gr(D) 5 g-1. Ahora D1 es especial. El hecho
que c(D1) = c(D) h O se sigue del Teorema de Clifford. Si D no
es principal ni canónico (de hecho sólo estamos interesados en el
primer caso por la suposición gr(D) 5 g-1) tenemos que c(D) = O
implica 1 ho(D) = 1 + ;gr(D).
S i gr(D) > O tenemos nuevamente ho(D) 2 2 y como D es
equivalente a un divisor especial, el Teorema de Clifford implica
que M es hiperelíptica.
84
Si gr(D) = O entonces ho(D) = 1 y por lo tanto D es
principal.
16. COROLARIO 3
Seas D E Div(M) y O gr(D) 5 2g-2, entonces 1 i(D) 5 g - ;gr(D)
y cuando hay igualdad tenemos tres posibilidades: D es
principal, D es canónico o bien M es hiperelíptica.
17. COROLARIO 4
Sea M con género g > 4. Sean D1, D2 dos divisores de
grado 3 que no son linealmente equivalentes y tal que ho(Dl) =
ho(D2) = 2. Entonces M es hiperelíptica.
DEMOSTRACION
E L(D,), j=1,2.
Podemos suponer que cada función es de grado 3 pues de otra forma
se tiene la conclusión. Ya que D1 y D2 no son linealmente
equivalentes entonces fl f Cf2 para todo c E C. Más aún,
f, Escojamos funciones no constantes
tenemos que fl;F Aof2 para cualquier transformación de Mobius A fl = Aof2, (se entiende que Aofl =
necesariamente el divisor de polos de fl es equivalente al divisor de polos de f (esto es porque el divisor de polos de
es equivalente al divisor de polos de Aof2). Luego, tenemos cuatro
funciones linealmente independientes en
af2 + b cf2 + do 1. Pues si tuvieramos
f2 2
L(Dl+D2), a saber,
1, fl, f2. flf2
se tiene entonces
85
1 ho(D1+D2) 4 = -g;(D1+D2) + 1
Y
O 4 c(D1+D2) = gr(D1+D2) - 2ho(D1+D2) +
por lo tanto c(D1+D2) = O y puesto que
2 = 8 - 2ho(D1+D2) 5 O
gr(D1+D2) = 6 < 2g-2, el
Teorema de Clifford implica que M es hipere1íptica.i
18. PROPOSICION
Sea B el divisor de polos de una función meromorfa sobre u
superficie de Riemann compacta, y sea D un divisor arbitrario
sobre M. Entonces
2h0(D) 5 ho(D+B) + ho(D-B)
DEMOSTRACION
Si B = O, el resultado se reduce a la igualdad trivial.
Suponemos pues que B f O. Se tiene una función no constante f
sobre M con divisor polar B. Podemos hallar divisores
tales que B1p B2
B - B1 - B2 A
y que no tengan puntos en común (por ejemplo, podemos elegir
B1 = (f-'(O)), B2 = (f-'(l)).
Afirmamos que
L(D) n L(D+B1-B2) = L(D-B2) . ( a )
En efecto, es claro que L(D-B2) c L(D) n L(D+B1-B2). Para
ver la inclusion contraria tomemos f E L(D) n L(D+B1-B2). Sean
D1 = (f)+D y D2 = (f)+D+B1-B2, entonces D1 y D son divisores
efectivos y además Dl = B2+D2-Bl. Ya que B1 y B no tienen
2
2
86
puntos en común, D1 es efectivo solo si Dz es un múltiplo de
Bl. Luego,
DI-B2 = D3,
( a ) .
= B1+D3 y D1 = B2+D, y en particular (f)+D-B2 =
f E L(D-B2). Esto concluye la demostración de D2
o sea,
Enseguida observamos que L(D) c L(D+B1l y L(D+B1-B2) y de
esto se sigue que
ho(D)+ho(D+B1-B2)-ho(D-B2) = dim(L(D) v L(D+B1-B2) 1 1 ho(D+Bl 1
y puesto que B1- B2 se tiene la proposici6n.i
19. COROLARIO 1
Con las hipótesis de la proposición anterior, se tiene
2c(D) 2 c(D+B) + c(D-B)
20. COROLARIO 2
y D2 Sea M como de costumbre de género g z 4 y sean
divisores efectivos de M que no son linealmente equivalentes tales
que
3 5 gr(D1l 5 gr(D,) 5 g-1
Y
c(D1l = 1 = c(D2)
D1 = D2 * Entonces, a menos que (un divisor complementario
de D1), M es hiperelíptica.
DEMOSTRACION
De la definición del índice de Clifford
2h0(D1) = 1 + gr(D2) 2 4
87
luego,
(I): D no es el divisor polar de una función:
ho(D1) = 2, ho(D2) 2 2 y tenemos dos posibilidades:
1
Entonces hay al menos un q E D2 tal que ho(D2-q) = ho (D2 I .
D3 = D2-q. Observamos que Sea
2 I gr(D3) 5 g-2
Y
c(D3) = gr(D3) - 2h0(D3) + 2 = gr(D2) - 1 - 2h0(D2) + 2 =
= c(D2) - 1 = O
y entonces M es hiperelíptica.
( 1 1 ) : D2 es el divisor polar de alguna función:
En este caso aplicamos los cor.1 y 2 al Teorema de Clifford
para obtener
2 = 2c(D1) 2 c(D1+D2) + c(D1-D2) = O Recordando que el grado y el índice de Clifford de un divisor
tienen la misma paridad, Dl y D2 tienen grado impar y así
Di+D2 y D1-D2 tienen grado par y consecuentemente, índice de
Clifford par. Por lo tanto c(D1+D2) = O o c(D1-D2) = O .
Si c(D1+D2) = O, entonces por el corolario 1 al Teorema de
Clifford, M es hiperelíptica a menos que D1+D2 - 2.
Si c(Dl-D2) = O, por el corolario 2 al Teorema de Clifford,
M es hiperelíptica a menos que D1-D2 sea principal, en este
último caso D1 - D2 lo cual es contrario a la hip6tesis.i
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R E F E R E N C I A S
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