Università degli studi di GenovaFacoltà di scienze matematiche, fisiche e naturali
METODI DI INTERPOLAZIONE ED ESTRAPOLAZIONE PER IMAGING A RAGGI X NELL’AMBITO DELLA MISSIONE
NASA RHESSI
Candidato: Silvia Allavena Relatori: Prof. Michele Piana Prof. Anna Maria Massone
Flares solari I flares o brillamenti sono
delle forti ed improvvise esplosioni che avvengono sulla superficie del Sole e coinvolgono enormi quantità di energie: ( erg).
Alla base dei flares c’è un’accelerazione di particelle, la cui causa è al momento sconosciuta.
3230 1010
RHESSI(Reuven Ramaty High Energy Solar Spectroscopic Imager)
Obiettivo scientifico della missione: studio dell’accelerazione di elettroni nei flares solari attraverso le radiazioni di raggi X e raggi gamma emesse durante lo sviluppo dei brillamenti.
RHESSI fornisce spettri nella banda dei raggi X e dei raggi gamma ad alta risoluzione di energia .
Struttura di RHESSI
9 coppie di Collimatori rotanti, ognuno è fornito di un set di griglie:
le griglie sono formate da barre di metallo , gli slats, separate da aperture, gli slits;
la somma delle larghezze di uno slat ed uno slit è diversa in ogni set di griglie.
9 rivelatori al germanio
Modulazione del flusso luminoso
Rotazione completa del satellite intorno al proprio asse: durata 4 s.
Mentre lo spacecraft ruota vengono ricevute le informazioni necessarie per l’imaging come rapide variazioni del flusso luminoso recepito.
VisibilitiesEffetto combinato di: 9 diversi set di griglie 9 collimatori Rotazione del satellite intorno al proprio asse.
Le misure fornite da RHESSI, attraverso uncomplicato processo di “data stacking”, sononumeri complessi corrispondenti alla trasformata diFourier spaziale del flusso di radiazione, dettevisibilities.
Le misure fornite da RHESSI, attraverso uncomplicato processo di “data stacking”, sononumeri complessi corrispondenti alla trasformata diFourier spaziale del flusso di radiazione, dettevisibilities.
Scopo della mia tesi
Lo scopo della mia tesi è quello di formulare edimplementare metodi per la ricostruzione diimmagini relative a flares solari a partire dadati nello spazio delle frequenze, le visibilities.
Gli strumenti computazionali utilizzati sono: interpolazione; trasformata di Fourier inversa; estrapolazione.
Campionamento dei dati
Ad ogni punto corrisponde una visibility.Ad ogni collimatore corrisponde un campionamento su una circonferenza.Pochi dati e sparsi dello spazio delle frequenze.
INTERPOLAZIONE
Tecniche di interpolazione
Interpolazione polinomiale lineare.
Interpolazione polinomiale con polinomi di quinto grado, conosciuti come polinomi di Akima.
Interpolazione con funzioni spline: Thin Plate Spline, generalizzazione in due variabili delle spline cubiche.
Interpolazione e IFT
Metodo rapido di imaging:
• Interpolazione cartesiana sul piano delle frequenze delle visibilities .
• Trasformata di Fourier inversa applicata ai dati interpolati, calcolata utilizzando un algoritmo basato sulla FFT.
Interpolazioni
Dati Interpolazione spline
Polinomiale lineare Polinomi di quinto grado
Interpolazioni
Ricostruzione della mappa utilizzando la FFT
Mappa originale Mappa ricostruita
Effetti indesiderati
Il metodo di imaging interpolazione + IFT ha mostratodue svantaggi:
1. Effetti di ringing: le ricostruzioni presentano oscillazioni indesiderate.
2. Banda limitata: abbiamo dati relativi alla trasformata di Fourier del flusso luminoso soltanto all’interno di un disco.
Inversione della trasformata di Fourier da dati limitati
Determinare la funzione a supporto limitato D data l’equazione
che applicando il teorema di convoluzione diventa
trasformata di Fourier inversa della funzione caratteristica sul disco B; operatore integrale di Hilbert-Schmidt compatto
mal posto
)(ˆ)()(ˆ fg B
))(()()())(()( xAfdyyfyxHxfHxgD
BB
)(xf
BH
)()(: 222 RLDLA
gAf
Metodo di Landweber
Utilizziamo questo metodo poiché: è un metodo regolarizzante che permette di risolvere problemi mal posti; esiste una sua variante che permette di risolvere il problema di estrapolazione fuori banda.
E’ un metodo iterativo il cui passo è il seguente
dove : - è l’operatore aggiunto di A - è detto parametro di rilassamento
A
)(1 nnn fAAgAff
Metodo di Landweber proiettato
Permette di esprimere informazioni a priori sullasoluzione cercata tramite dei vincoli che si traducono inuna proiezione della soluzione su un sottospazio chiusoe convesso C:
Il passo iterativo in questo caso èCC ffP
)(1Cn
Cn
CCn fAAgAfPf
Proiezioni utilizzate Proiezione sui positivi: la soluzione che stiamo cercando
rappresenta un flusso luminoso, perciò sappiamo che deve essere positiva.
Tale proiezione si applica nel modo seguente:
Proiezione sul sottospazio delle funzioni a supporto limitato: tale metodo, conosciuto come metodo di Gerchberg-Papoulis, ha la proprietà di estrapolazione fuori banda. Essa si esprime come proiezione su uno spazio limitato D:
Entrambe le proiezioni.
DxseDxsexf
xfPD 0)(
)()(
0)(00)()(
)()(xfsexfsexf
xfP
Dati simulati
Mappa originale Landweber senza vincoli
Dati simulati
Mappa originale Landweber con vincolo di positività
Costruzione del supporto a partire dalla mappa originale
Dati simulati
Mappa originale Landweber con vincolo sul supporto
Dati simulati
Mappa originale Landweber con entrambi i vincoli
Taglio lungo la congiungente dei centri dei foots della mappa simulata
Taglio Landweber Taglio Landweber con positività
Taglio Landweber con supporto Taglio Landweber con pos. e supp.
Taglio della trasformata di Fourier originale sovrapposto alla trasformate delle ricostruzioni
Landweber
Landweber con supporto
Caso reale: flare 23 Agosto 2005
Dati Interpolazione
Caso reale: flare 23 Agosto 2005
Trasformata di Fourier inversa
Landweber con positività
CONCLUSIONI
Interpolazione/estrapolazione: metodo rapido ed affidabile.
Il vincolo di positività permette l’eliminazione degli effetti di ringing.
I vincoli di positività e di supporto permettono un (moderato) effetto di estrapolazione fuori-banda.
PROBLEMI APERTI
Validazione sistematica su dati sintetici e misure reali fornite da RHESSI.
Confronto con altri metodi di ricostruzione di immagini (MEM, CLEAN...).
Utilizzo di altre tecniche di interpolazione.Applicazione di tecniche che utilizzino
conoscenze a priori sulle proprietà statistiche del rumore sul dato.
GRAZIE PER L’ATTENZIONE
In ogni secolo gli esseri umani hanno pensato di aver capito definitivamente l'Universo e, in ogni secolo, si è capito che avevano sbagliato. Da ciò segue che l'unica cosa certa che possiamo dire oggi sulle nostre attuali conoscenze è che sono sbagliate. Isaac Asimov(da Grande come l'universo, Saggi sulla scienza)