UNIVERSITA’ DI MILANO-BICOCCAUNIVERSITA’ DI MILANO-BICOCCALAUREA MAGISTRALE IN LAUREA MAGISTRALE IN
BIOINFORMATICABIOINFORMATICA
Corso di
BIOINFORMATICA: TECNICHE DI BASE
Prof. Giancarlo Mauri
Lezione 1-2
Introduzione agli algoritmi
2
Informatica e biologia
FISICAFISICA
XXI Secolo
BIOLOGIABIOLOGIA
INFORMATICAINFORMATICA
INFORMATICAINFORMATICA
XX Secolo
3
Informatica e biologia: amore o interesse?
Biologia
Informatica
Bioinspired computing:
Reti neurali
Progr. evolutiva
DNA Computing
Ant computing
…
Bioinformatica:
Databases di sequenze
Analisi di sequenze
Folding di Proteine
Simulazione di processi biologici
…
4
Perché la bioinformatica?
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“Every attempt to employ mathematical methods in the study of biological
questions must be considered profoundly irrational and contrary to the
spirit of biology.”
“If mathematical analysis should ever hold a prominent place in biology –
an aberration which is happily almost impossible – it would occasion a
rapid and widespread degeneration of that science.”
Auguste Comte, Pilosophie Positive, 1830
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6
Perché i computer in biologia
Le esigenze: Gestione di grandi banche dati di sequenze
non omogenee distribuite e accessibili via rete
Analisi dei dati (data mining)
Gli obiettivi: Ricerca
Genomica comparata Genomica funzionale Proteomica …
Riduzione del “time to market” per l’industria farmaceutica
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Le fasi
Generare i dati Assemblaggio dei frammenti di DNA
Estrarre un significato dai dati Capire la struttura del DNA nel nucleo (identificazione di geni)
Capire come questa struttura governa la trascrizione del DNA
Capire l’espressione genica
Capire l’evoluzione
Capire le proteine Predizione della struttura delle proteine
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Le fasi
Usare la conoscenza Riparazione o sostituzione dei geni
Progettazione di farmaci con un reale impatto sulla malattia senza alterare il delicato equilibrio dell’organismo
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Livelli di Astrazione
Sequenze Motivi Geni e genoma Evoluzione - Alberi filogenetici
Espressione Tecniche per l’analisi di dati da microarrays
Proteoma Struttura e funzione delle proteine
Sistema Reti regolatorie Feedback e controllo
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Le principali sfide computazionali
Assemblaggio di sequenze
Analisi di sequenze Mappaggio dei geni Confronto di sequenze (allineamento …) Ricerca di segnali
Memorizzazione e recupero dell’informazione Organizzazione di dati di espressione genica
Ricostruzione di alberi evolutivi
Classificazione delle proteine
Inferenza di reti regolatorie
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Tecniche algoritmiche
Il software per la bioinformatica richiede tecniche algoritmiche sofisticate programmazione dinamica algoritmi probabilistici/approssimati data mining algoritmi di apprendimento gestione di “Very Large DataBases” progetto di GUI ottimizzazione combinatoria inferenza statistica …….
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Il gergo
…DEL BIOLOGO MOLECOLARE
NucleotidiNucleotidi Lettere, Simboli Lettere, Simboli
…DELL’INFORMATICO
SequenzeSequenze Stringhe, Parole Stringhe, Parole
OligonucleotidiOligonucleotidi Motivi Motivi
ProgrammiProgrammi Algoritmi Algoritmi
MutazioniMutazioni Mismatches Mismatches
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Gli algoritmi
AlgoritmoAlgoritmo
(dal nome del matematico persiano Mohammed ibn-Musa al-Khowarismi - IX secolo d.C.)
SuccessioneSuccessione
finita
non ambigua
deterministica
eseguibile
di istruzioni la cui esecuzione permette di portare a termine un compito assegnato o di risolvere un problema
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Gli algoritmi
L’algoritmo deve essere
comprensibile al suo esecutore
corretto
efficiente
Dati inizialiDati iniziali
ManipolazioneManipolazione(algoritmo)(algoritmo)
RisultatiRisultati
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Gli algoritmi
Esempi di problemi
Calcolare la potenza n-esima di a
Disporre in ordine crescente n interi assegnati
Stabilire se, data una formula del calcolo proposizionale con n variabili, esiste una n-upla di valori booleani che la renda vera
Stabilire se un polinomio in n variabili a coefficienti interi ammette radici intere
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Gli algoritmi
Questione logica
Dato un problema P, esiste almeno un algoritmo di soluzione di P? Esempio di problema indecidibile: 10° problema di Hilbert
Questione Computazionale
Dato un problema decidibile P, esiste almeno un buon algoritmo di soluzione per P?
Che consuma poche “risorse”
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Complessità degli algoritmi
Quanto costa risolvere un problema?
Analisi degli Algoritmi
E’ possibile diminuire questo costo?
Disegno di algoritmi efficienti
Determinazione di estremi inferiori di complessità
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Complessità degli algoritmi
Algoritmo A1
Problema: calcolo di an Algoritmo A2
begin x:=a; y:=1;u:=0; z:=n;while z > 0 do begin
u:=z mod 2; z:=z div 2; if u = 1 then
y:=x*y; x:=x*x;
endend
begin x:=1;z:=n;while z > 0 dobegin
x:=x*a;z:=z-1;
endend
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n = bi ⋅2i−1
i=1
log2n
∑
e la proprietà delle potenze
ak+j = akaj
Complessità degli algoritmi
A1 sfrutta la definizione di potenza come iterazione del prodotto
A2 sfrutta la rappresentazione binaria di n
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Complessità degli algoritmi
Il confronto di efficienza tra A1 e A2 avviene scegliendo: il criterio di confronto
Tempo di computazione Occupazione di memoria
il metodo di confronto Empirico: tempo di calcolo su macchina reale che dipende da
macchina dati iniziali
Ideale: numero di istruzioni eseguite in funzione della dimensione dei dati iniziali
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Complessità degli algoritmi
Analisi di A1
Conteggio delle operazioni aritmetiche nel caso peggiore
Tp1(n) = 2
z≠0∑ =2n
begin x:=1;z:=n;while z > 0 do begin x:=x*a; z:=z-1; end
endNB: Ogni esecuzione di repeatdecrementa z di 1 => n esecuzioniper avere z=0
NB: Ogni esecuzione di repeatdecrementa z di 1 => n esecuzioniper avere z=0
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Complessità degli algoritmi
Analisi di A2
Conteggio delle operazioni aritmetiche nel caso peggiore
begin x:=a; y:=1;u:=0; z:=n;while z > 0 do begin
u:=z mod 2; z:=z div 2; if u = 1 then
y := x * y; x:=x*x;
endend
Tp2(n) = 4=4([log2
z ≠0∑ n]+1)
NB: ogni esecuzione dimezza z =>[log n ]+1 esecuzioni per avere z=0
NB: ogni esecuzione dimezza z =>[log n ]+1 esecuzioni per avere z=0
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Complessità degli algoritmi
Confronto di efficienza tra A1 e A2
Per n < 8, è più efficiente A1
Per n > 8 , è più efficiente A2
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Complessità degli algoritmi
L’efficienza di un algoritmo è misurata dalla complessità in tempo e spazio
La complessità è funzione della dimensione dell’input n
O(nk): tempo polinomiale rispetto alla dimensione dell’input (fattibile)
O(kn): tempo esponenziale rispetto alla dimensione dell’input (infattibile)
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Complessità degli algoritmi
Dim.Comp.
20 50 100 200 500 1000
1000n 0,02’’ 0,05’’ 0,1’’ 0,2’’ 0,5’’ 1’’
1000 nlogn 0,09’’ 0,3’’ 0,6’’ 1,5’’ 4,5’’ 10’
100 n2 0,04’’ 0,25’’ 1’’ 4’’ 25’’ 2’
10 n3 0,02’’ 1’’ 10’’ 1’’ 21’ 2,7 h.
nlogn 0,4’’ 1,1 h. 220 g. 125 102 a. 5 1010 a.
2n/3 0,0001” 0,1’’ 2,7 h 3 106 a.
2n 1’’ 35 a. 3 106 a.
3n 58’ 2 1011 a.
1 operazione ≡ 10 –6 secondi
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Complessità degli algoritmi
I problemi si possono dividere in
trattabilihanno almeno un algoritmo di soluzione di complessità polinomiale
intrattabilinon hanno algoritmi di soluzione di complessità polinomiale
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Un po’ di gergo
Def: Problema di decisione Def: Problema di decisione L’output di è YES o NO
nella classe Pnella classe P risolto da un algoritmo polinomiale (efficiente in tempo)
nella classe NPnella classe NPSi verifica, tramite un certificato, in tempo polinomiale se una istanza di ammette risposta YES
NP-CompletoNP-CompletoOgni altro problema in NP può essere risolto tramite un algoritmo polinomiale che risolve , e è nella classe NP
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Un po’ di gergo
Def: Problema di ottimizzazione Def: Problema di ottimizzazione Tra l’insieme delle soluzioni possibili, si sceglie quella di costo minimo (o di beneficio massimo). Esempio: allineamento di minimo costo tra due sequenze
Algoritmo di approssimazione per Algoritmo di approssimazione per Un algoritmo A è di approssimazione per , se per ogni input I di , A produce in tempo polinomiale una soluzione S tale che il valore della funzione costo c su S verifichi la relazione:
c(S) ≤ (|I|) x OPTP(I) ( ≥ 1)
Esempio: algoritmo 2-approssimante se =2