Download - UVS Kombinatorika
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
1/78
KOMBINATORIKA
Pripremila:dr.sc. Snjeana Brai,Prirodoslovno matematiki fakultet,Split
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
2/78
U svakodnevnom ivotu esto ujemorijei:kombiniratiilinapraviti neku
kombinaciju.
Koristimo ih u razliitim situacijama
i za razliita podruja.
Uvod
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
3/78
Npr.
slikar govori o kombinaciji boja;
sportai govore o dobro smiljenoj iuvjebanoj kombinaciji dodavanja lopte.
(ko je postignut nakon dobre kombinacije)
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
4/78
Kombincija(ega)
vezivanje srodnih ili razliitih pojmova,osoba, predmeta...(njih dvoje su dobra kombinacija);
Rije kombinacijadolazi od latinske
rijeicombinare = slagati.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
5/78
Kombinatorika
matematika disciplina koja se baviprebrajanjem elemenata konanihskupova i njihovih podskupova.
Naziv potjee od
Leibniza(1666).
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
6/78
esto se u praksi s njim susreemo,npr. prebrojiti ovce u stadu, jabukeu koari, sve stranice neke knjige...
Od davnina su se matematiaribavili problemom prebrojavanja
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
7/78
Primjeri iz svakodnevnog
ivota
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
8/78
ifrakoja se sastoji od tri znamenke
aotvara bravu na torbi
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
9/78
ili mnogo sloenijaifra koja otvarasef, primjeri su primjenekombinatorike u svakodnevnom ivotu.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
10/78
Dizajn EAN koda omoguava jednostavnopraenje koliine proizvoda, jednostavnu
provedbu inventure te olakava promjenucijene. Postoje dva dijela koda:barkod(bar-deblja crta, engl.) iEAN brojkoji ima
13 znamenaka.
Univerzalni kod proizvodapojavljuje se na gotovo svimproizvodima koje nalazimou trgovinama.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
11/78
JMBG.
0612970315603
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
12/78
Registracijske tablicena automobilima:
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
13/78
Na koliko naina moemo izmeu 5
prijatelja odabrati dvojicu za zajednikiodlazak u kino?
Na koliko se naina moe izvui 7brojeva od moguih 49 u igri LOTO?
Neki tipini kombinatorni problemi:
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
14/78
Na koliko se naina moe na ahovskuplou postaviti osam topova koji se
meusobno ne napadaju?
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
15/78
MAGINI KVADRAT
Jedan od najstarijih i najpopularnijihproblema zabavne matematike.
Magini kvadrat reda nje kvadratna
tablica tipa nn u koju su upisanibrojevi 1,2,...,ntako da je sumabrojeva u stupcima, retcima i objema
dijagonalama jednaka.
Ta se vrijednost zovemagina suma.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
16/78
2 7 6
9 5 1
4 3 8
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Odmah se vidi da ne postoji maginikvadrat reda2.No, za sve ostale vrijednostiodnmagini kvadrati se mogu konstruirati.
Kombinatorni problem:odrediti za kojeprirodne brojeve nmagini kvadrati
postoji, te nai opi algoritam njihovekonstrukcije.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
17/78
Kombinatorika izgleda kao zabava,ali ona nije samo zabava.
Kako svoje korijene vue iz zabavnematematike (zagonetaka, igara), a naroitoiz poetaka teorije vjerojatnosti, dugo je
vremena bila na granici izmeu znanosti irazbibrige.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
18/78
No, danas je ona iznimno vana ikorisna matematika disciplina i velikje njezin utjecaj i na druge znanosti.
Tome nesumnjivo doprinosi i razvojraunala jer osnovu za njihove
programe esto ine kombinatornialgoritmi.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
19/78
Meutim, ve i manji skupovi mogunam zadati probleme ako se elementiskupa na neki nain grupiraju, a mitrebamo izbrojiti koliko ima takvihgrupa.Tada brojanje moe biti pravavjetina.
Ponekad je lako navesti elemente skupai prebrojiti ih ak i ako ih je puno-trebat e samo vie vremena.
Osnovna pravila prebrojavanja
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
20/78
Ako elementi skupa ine nekupravilnu konfiguraciju, nije nunoefektivno ih odrediti, ve brojelemenata tog skupa moemo
odrediti sluei se nekimmetodama prebrojavanja.
Kombinatorika upravo pronalazi iistrauje te metode.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
21/78
Razlikujemo tri osnovne metode ili
pravila prebrojavanja:
pravilo jednakosti,
pravilo zbroja, pravilo umnoka,
ovisno o tome znamo li direktno
odrediti broj elemenata nekog skupa,njegove dijelove ili njegove faktore.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
22/78
1. Pravilo jednakosti
Neka suSiTkonani skupovi. Tada je|S|=|T|ako i samo ako postoji bijekcijameu skupovimaSiT.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
23/78
2. Pravilo zbroja
Neka je n
N, te neka sukonani meusobno disjunktni skupovi.
Tada je konaan
skup i
S1,S2, ,Sn
i 1
nSi S1 S2 Sn
i1
n
Si i1
n
|Si |.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
24/78
Primjer 1.
Na koliko se naina moe izmeu5mukaraca,7 ena,3 djeakai4djevojiceizabrati jedna osoba?
753 4
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
25/78
3. Pravilo umnoka
Neka je n
N, te neka sukonani skupovi. Tada je Kartezijev
produkt
konaan skup i
S1,S2, ,Sn
i 1
n
Si S1 S2 Sn
i1
nSi
i 1
n|Si |.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
26/78
Primjer 2.
Iz gradaAu gradBvode4ceste, a izgradaBu gradCvodi5cesta.
Na koliko se naina moe tim cestamadoi iz gradaA, preko gradaB,u gradC?
A B C
T
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
27/78
Terem o uzastopnomprebrojavanju
Neka je n
N, te konaniskupovi. Ako za
vrijedi:-prvu komponentu moemo birati na p1naina
-za bilo koju odabranu prvukomponentu, drugu moemo birati nap2naina, itd...
Tada e
S1,S2, ,SnS S1 S2 Sn
|S|
p1
p2
pn.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
28/78
Primjer 3. Netko eli poslati svakome odsvojih 5 prijatelja po jednu od 20
razliitih razglednica. Na koliko tonaina moe uiniti?
p1=20,p2=19,p3=18,p4=17,p5=16
2019 18 17 16
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
29/78
Kombinacije,varijacije,permutacije
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
30/78
Primjer 4.Na jednoj proslavi sretnu se 4 prijatelja isvi se meusobno rukuju tono jednom.
Koliko je bilo rukovanja?
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
31/78
Da su2 prijatelja bilo bi 1 rukovanje.Ako su 3 prijatelja, prvi e se rukovati sdrugim i treim, te jo drugi s treim, paimamo 2+1=3 rukovanja.
Za etvoricu prijatelja imamo3+2+1=6 rukovanja.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
32/78
Poveavanjem broja prijatelja naglosepoveava i broj rukovanja, pa brojanjepostaje sve sloenije.
Stoga bi se lako moglo dogoditi da sepreskoi neki element te ne uzmu u
obzir svi mogui sluajevi.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
33/78
Ali zato se moemo pomoi neimdrugim. Naime, moemo uoiti izvjesnepravilnosti i zakonitosti.
Za5prijatelja, broj rukovanja je1+2+3+4=10.
Za6prijatelja, broj rukovanja je1+2+3+4+5=15...
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
34/78
Lako se pokae da je zanprijatelja brojrukovanja jednak
1+2+...+(n-1)=n(n-1)/2.
Iz tih pravilnosti je, dakle, proizala
opa formula po kojoj se mogu rijeitisvi zadatci tog tipa.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
35/78
Generalizirajmo:
Ako prijatelje oznaimo s1,2,...,n, ondana problem glasi:
Koliko ima razliitih dvojkii jpriemu poredak nije bitan jer jei jij iisto rukovanje (rukovanje istih ljudi).
To je stoga ekvivalentno problemu:Koliko ima svih dvolanih podskupovaskup od n elemenata?
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
36/78
Openito,r-kombinacijan-lanog skupa
S je svaki r-lani podskup od S.Broj svih r-kombinacijaiznosi
Dakle, kad god iz nekog skupa koji iman
elemenata odabiremorrazliitih, a danam pritom njihov poredak nije vaan,broj naina da to uinimo jednak je
broju svihr-kombinacija n-lanog skupa.
rn
nr
n!
r!n r!
nn 1...n r 1
12...r
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
37/78
Z1.Na koliko je naina mogue formiratitrolanu delegaciju iz drutva od 70
ljudi?
ZADATCI
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
38/78
kombinacije bez ponavljanja
70
3
70
3
n
r
==
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
39/78
Z2.U nekom hotelu je 176 gostiju.Gazda je odluio 11 gostiju poastiti
bocom dobrog vina. Na koliko nainamoe odabrati te goste?
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
40/78
17611
176
11
nr
==
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
41/78
Z3.Od 19 uenika samo njih 8 moemoposlati na izlet. Na koliko naina to
moemo napraviti?
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
42/78
198
198
nr
==
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
43/78
Vratimo se naim prijateljima.
Nakon ugodne veeri zakljuili su dase trebaju ee druiti.
Dogovorili su se da svaki prijateljzasebno doe u kuni posjet svakomod preostalih prijatelja.
Koliko su posjeta dogovorili?
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
44/78
Oznaimo prijatelje s1,2,3i4.Sadana problem glasi:
Koliko ima razliitih dvojkii jpriemu je poredak bitan jer sui jij i
posjeti u razliitim kuama, tj.razliiti posjeti.
To je stoga ekvivalentno problemu:
Koliko se ureenih parova moenainiti od razliitih elemenataetverolanog skupa?
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
45/78
Openito,r-varijacija(ilir-permutacija)n-
lanog skupa S je svaka ureena r-torkameusobno razliitih elemenata iz S.Broj svih r-varijacijaiznosi
Dakle, kad god iz nekog skupa koji imanelemenata treba odabrati razliitihr,a da nam je pritom poredak vaan, radise or-varijacijama n-lanog skupa.
Vrn nn 1 n r 1.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
46/78
U naem sluaju je n=4, r=2, pa je
dogovoreno ukupno 43=12 posjeta.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
47/78
Z4.Na koliko je naina mogue izabratipredsjednika,potpredsjednika i tajnika
drutva koje ima 70 lanova, akojedna osoba smije obnaati samo jednufunkciju?
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
48/78
3
70
3
70
n
r
=
=
70 69 68
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
49/78
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
50/78
7 6 5 4
n=7
r=4
7654
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
51/78
Z6.Koliko ima injekcija s n-lanog
skupa u m-lani, nm?
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
52/78
m m-1 ... m-n+1
m(m-1)...(m-n+1)
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
53/78
Ako dopustimo ponavljanje elemenataureene r-torke dolazimo do sljedeegpojma:
r-varijacija(r-permutacija)sponavljanjem n-lanog skupa S je svaka
ureena r-torka elemenata iz S.
Broj svih r-varijacija s ponavljanjemn-
lanog skupa je
Vrn
nr
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
54/78
Primjer.
Koliko ima peteroznamenkastih brojevaako je doputeno da se znamenkeponavljaju?
Rj. 91010 1010
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
55/78
Primjer.
Koliko ima svih funkcija s m-lanogskupa u n-lani skup?
Rj. Onoliko koliko ima ureenih m-torki elemenata iz n-lanog skupa
nm
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
56/78
Svaka n-varijacija n-lanog skupa nazivasepermutacija(lat.permutare= promijeniti)tog skupa. Broj svih permutacija je
n n!
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
57/78
Z7.Sedam prijatelja kupilo je 7 karataza kino. Na koliko ih naina oni mogu
meusobno podijeliti?
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
58/78
Permutacije bez ponavljanja
7
7
7
7 7!
n
r
=
=
=
7 6 5 4 3 2 1
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
59/78
Z8.Na koliko naina moe 9 ljudi sjestina 9 stolica (po jedan na svaku)?
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
60/78
Permutacije bez ponavljanja
9!
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
61/78
Z9.Kada bismo htjeli 10 knjigaispremjetati na polici na sve moguenaine, vidjeli bismo da je to golemposao jerse tih 10 knjiga moeporedati, ni manje ni vie, nego na
10!=3 628 800razliitihnaina.
N kd bi k d ih k ji bil
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
62/78
No, kada bi neke od tih knjiga bileiste, razmjetaja bi bilo znatno manje.
Npr. ako od tih 10 knjiga imamo trirazliite i to2 K1, 3 K2 i 5 K3,tada se ukupni broj svih razmjetajatreba podijeliti s brojem razmjetajaistih knjiga (jer razmjetaji istih knjigasu isti razmjetaji).
Broj razmjetaja je stoga:10!
2!3!
5!
2520.
Tk jtj i t ij
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
63/78
Takve razmjetaje nazivamopermutacijes ponavljanjem.
Npr. Koliko se desetslovnih rijei moenainiti od rijeiMATEMATIKA?
10!2!2!3!
151200.
A koliko se devetslovnih rijei moenainiti od rijeiDUBROVNIK?
9! = 362880.
Oit j llk ib jitiklik
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
64/78
No, ako dijelovi nisu meusobnodisjunktni, to nije tako lako.
1,S2, ,Sn
Odgovor na to pitanje daje namFUI- formula ukljuivanja,
iskljuivanja
i 1
n
Si
Oito je vrlo lako izbrojiti koliko
elemenata ima cjelina ako su
dijelovi meusobnodisjunktni (pravilo zbroja).
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
65/78
Formula ukljuivanja-iskljuivanja
Ponekad je lake prebrojiti elementenekog skupa indirektno. Na primjer,ako elimo izbrojiti sve prirodne
brojeven 1000koji nisu djeljivi s20,izbrojit emo one koji su djeljivi s20(jer ih je manje) i taj broj oduzeti od
1000(od ukupnog broja ).
Dakle,|A| |S| |Ac | 1000 100020
950.
B
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
66/78
Za imamo
ili ekvivalentno
Openito, za
tj.
,B
|A B | |A| |B | |A B |
|Ac Bc | |S| |A| |B | |A B |
A1, ,An S, Aic
S Ai,
|A1 An| i1
n
|Ai| 1ijn
|Ai Aj| 1n1|A1 An|
|A1c
Anc | |S| |A1 An |
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
67/78
Primjer.
Na koliko naina moemomrazliitihpredmeta staviti u n (nm)razliitihkutija tako da nijedna ne bude prazna?
ili ekvivalentno
Koliko ima surjekcija sa m-lanog skupa
u n-lani skup?
Nekasudaniskupovi
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
68/78
x1, ,xm i Y y1, ,yn , n,m N.
Neka su dani skupovi
Oznaimo sSi f F y i fX .
Stoga jeSic
f F y i fX ,
pa je broj svih surjekcija jednak i 1
n
Sic
|F| i 1
n
|Si | 1 ijn
|Si Sj | 1n|S1 Sn |
nm n1
n 1m n2
n 2m 1n nn 1m
k 0
nn
k n km 1k.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
69/78
Prijatelji na
rastanku
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
70/78
Bilo je ve prilino kasno kada su se
nai prijatelji odluili rastati. Kako sena svakoj zabavi obino obilno popije,ustali su teturajui i krenuli da s
vjealica uzmu svoje eire. Pokazalose da je svaki od njih uzeo pogreaneir.
Na koliko su nainamogli to uiniti ?
Id t
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
71/78
Idemo postepeno.
Ako sudvojica, oznaimo ih sa A i B, anjihove eire saaib, onda moe bitisamo ovaj sluaj: Ab, Ba.
Ako sutrojicaA, B, C, onda su dva sluaja: AbBcCa
AcBaCb.
Kako bi bilo za njih etvoricu: A, B, C i D?
AkojeAuzeoeirb imamosljedeetri
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
72/78
Ako jeAuzeo eirb, imamo sljedee trimogunosti :
AbBa Cd Dc AbBc Cd Da AbBd Ca Dc.
Ako jeAotiao sa eirom c, opet imamotri mogunosti.
I napokon, da jeAotiao sa eirom d,bilo bi opet tri mogunosti.
Ukupno, dakle, ima33=9 mogunosti.
Ovajproblem sepopularnozovederanman
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
73/78
Radilo se o problemu zamjene pisama.
Ovaj problem su, ali udrugom obliku, rijeiliL. Euler i N. Bernoulli.
Ovaj problem se popularno zovederanmanilitotalna zbrka. Ve zan=5imamo44
mogunosti i ovako nabrajajui bio bi tekorijeiv. Ope rjeenje se dobije preko FUI-a:
n n! 1 11!
12!
13!
. . . 1n 1n!
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
74/78
Elemente kombinatorike poznavale sui stare matematike (indijska, kineska,arapska itd.).
Indijski matematiar Baskara, roen1114. godine doao do mnogih formula(bez dokaza) koje su pokazivale razvijen
smisao za kombinatorne probleme.
Kombinatorikeimaiu
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
75/78
Kombinatorike ima i uprikazivanju njihovog
bogaVine.
Ve prema tome kako su i kojim redom bilirasporeeni ti predmeti u rukama,postojala su i razliita imena (koliko ih je?)tog boanstva.
To je boanstvo s etiri ruke.
U jednoj ruci dri batinu, udrugoj plou, u treoj lotosovcvijet, a u etvrtoj koljku.
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
76/78
Sljedei primjer je rije
ABRACADABRA,u kojoj dolazi do izraaja srednjovjekovnamistika jer je ta rije, kako se vjerovalo,
imala udesno svojstvo-njome su se, naimemogle lijeiti mnoge bolesti, a naroitotrodnevna groznica.
Kombinatorna strana te prie je u nainupisanja i itanja te rijei. Prema receptulijenikaSerenusa Saunonicusatrebalo jetu rije napisati ovako:
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
77/78
A b r a c a d a b r a
A b r a c a d a b r
A b r a c a d a b
A b r a c a d a
A b r a c a d
A b r a c a
A b r a c
A b r a
A b r
A b
A
I onda je
proitati,poinjui odsvakog velikogAdo gornjegau desnomvrhu, iduidesno i/ili
ukoso desno.
Na taj senain ta rijemoe proitati
1024puta.
Z i jbl ik l i
-
7/23/2019 UVS Kombinatorika
78/78
Zaista je bolesniku morala proitrodnevna groznica dok je pronalazio
sve mogue naine da ita ovuarobnu rije.
A moda bi i mnoga naa djecaozdravila od matematike averzijekada bi vidjela njezino zabavno lice.