![Page 1: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/1.jpg)
Valószínuségszámítás és statisztika afizikában
2019. február 12.
![Page 2: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/2.jpg)
Technikai információk
• Palla Gergely / [email protected] /ELTE TTK Biológiai Fizika Tanszék,Északi Tömb, 3.90. szobaFogadó óra: péntek, 16-18.
• Az eloadás fóliái letölthetok innen:https://pallag.web.elte.hu/valszam/
• Az eloadás fóliái felkerülnek a kurzus moodle oldalára is.
![Page 3: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/3.jpg)
Jegyszerzés
• A tárgyból C típusú kollokviumut hírdetünk meg, ami azt jelenti,hogy az évközi munkával lehet jegyet szerezni, ami egyben agyakorlati és a vizsgajegy.
• Beadandó feladatsorok:
• Rutin feladatsorok: 5 x 20 pont.• Gyakorló feladatsorok: 2 x 50 pont.• Verseny feladatsor: 1 x 200 pont.
• Bónusz/malusz pontok:
v = x [1 + b(1 − p)] (1 − d5)
• x a feladatra kapott alappontszám• p a hallgatók adott feladatra kapott összpontszáma osztva ennek
maximálisan lehetséges értékével• b bónusz faktor, (rutin esetén b = 0, gyakorló esetén b = 1, verseny
esetén b = 2).• d a késés napokban mérve• v a végso pontszám
![Page 4: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/4.jpg)
Jegyszerzés
• Ponthatárok:200 - jeles170 - 199 jó130 - 169 közepes100 - 129 elégséges0 - 99 elégtelen
• Utóvizsga:
• 2 beugró feladat,• egy tétel szóban,• további 4 feladat
megoldása.
• Határidok:1. rutin sor feb.26.2. rutin sor márc.12.3. rutin sor márc.26.1. gyak. sor márc.294. rutin sor ápr.9.5. rutin sor ápr.30.2. gyak. sor máj.10.verseny sor máj.10.
![Page 5: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/5.jpg)
Jegyszerzés
• A beadandó feladatsorok elérhetosége:
• A rutin sorok letolthetok innen:https://pallag.web.elte.hu/valszam/
valamint a kurzus moodle oldaláról.
• A gyakorló sorokat egy online rendszerben kell megoldani:https://hal.hu/valszam/
• A versenyfeladatok letölthetok innen:https://pallag.web.elte.hu/valszam/
https://hal.hu/valszam/
valamint a kurzus moodle oldaláról.
• FONTOS! A félév végén a beadott házik alapján ellenorzo ZH-tiratunk, ahol mindenki egy véletlenszeruen összeállított kérdéssortkap a beadott megoldásai alapján. Ha nem sikerül egy feladatmegoldását legalább a beadott munka szintjén reprodukálni, akkorannak a sornak a pontszáma elvész, amiben a feladat kituzésrekerült. (Emiatt célszeru a beadott munkákról másolatot készíteni,hogy legyen mibol készülni a ZH-ra).
![Page 6: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/6.jpg)
Tematika
• Bevezetés
• Valószínuségi mezo
• Feltételes valószínuség és függetlenség
• Valószínuségi változó és eloszlás
• Eloszlások jellemzése
• Korreláció
• Nevezetes eloszlások
• Normálisból származtatott eloszlások
• Nagy számok törvényei
• Központi határeloszlás tételek
• Statisztika sokaság
• Statisztikai becslések
• Statisztikai próbák
• Regresszió
• Sztochasztikus folyamatok
![Page 7: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/7.jpg)
Tételek
1. Véletlen események, eseménytér, muveletek eseményekkel.Gyakoriság és valószínuség, a valószínuség axiómái. Avalószínuség mértéke és tulajdonságai, a valószínuségi mezofogalma. A valószínuség klasszikus meghatározása.
2. A valószínuség alapveto összefüggései. Teljes eseményrendszer,feltételes valószínuség. A teljes valószínuség tétele, Bayes tétele.Események függetlensége.
3. A valószínuségi változó fogalma, folytonos és diszkrét változók.Valószínuségeloszlás, eloszlásfüggvény és suruségfüggvény.Valószínuségi változók és eloszlások transzformációi.
4. Együttes eloszlás és többváltozós valószínuségeloszlások.Peremeloszlás és feltételes eloszlás. Valószínuségi változókfüggetlensége. Valószínuségi változók összegének és szorzatánakeloszlása.
5. Integrális jellemzok: várható érték, szórás, magasabbmomentumok, medián, kvantilis. Feltételes várható érték. Markov-és Csebisev- egyenlotlenség, relatív szórás.
6. Generátorfüggvény és Karakterisztikus függvény. Kovariancia,korrelációs együttható.
![Page 8: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/8.jpg)
Tételek
7. Nevezetes eloszlások: geometriai eloszlás és egyéb urna modellek,egyenletes-, binomiális-, exponenciális és Poisson–eloszlás.
8. Normális eloszlás és a normálisból származtatott eloszlások:lognormális eloszlás, χ2- és χ-eloszlás, Student- ésCauchy–eloszlás.
9. Nagy számok törvényei. Konvergencia fogalmak. A nagy számokgyenge törvényei. A Bernoulli–tétel és általánosítása. A nagyszámok eros törvényei.
10. Határeloszlás tételek: De Moivre-Laplace–tétel, a centrálishatáreloszlás tétel. Lèvi-stabil eloszlások.
11. Statisztikus sokaság, minta. Torzítatlan becslés, hatásos becslésfogalma. Empirikus eloszlás- és suruségfüggvény. Empirikusvárható érték és szórásnégyzet, korrigált empirikus szórásnégyzet.Maximum likelihood módszer.
12. Paraméterek intervallum becslései (konfidencia–intervallum,konfidencia–szint). Statisztikai próbák: u-próba, t-próba, χ2-próba,függetlenség vizsgálat. Regresszió, fokomponens analízis.
13. Sztochasztikus folyamatok. Markov-tulajdonság. Wiener-folyamat,fehér zaj. Véletlenszám generálás. A Monte-Carlo-módszer alapjai.Markov folyamatok, Fokker-Planck-egyenlet.
![Page 9: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/9.jpg)
Ajánlott irodalom
• Prékopa András: Valószínuségelmélet
• Prékopa András: Valószínuségszámítás muszaki alkalmazásokkal,Muszaki Könyvkiadó, 1962
• Bognár J., Mogyoródi J., Prékopa A., Rényi A., Szász D.,Valószínuségszámítási feladatgyujtemény, Typotex, 2001
• Rényi Alfréd: Valószínuségszámítás, Tankönyvkiadó, 1968
• B. V. Gnedenko: The Theory of Probability, Mir Piblishers, 1976
• Paul R. Halmos: Mértékelmélet, Gondolat 1984
• B. V. Gnedenko, A. N. Kolmogorov: Független valószínuségiváltozók összegeinek határeloszlásai, Akadémiai kiadó, 1951
• Solt György: Valószínuségszámítás példatár
• Lovász László: Kombinatorikai problémák és feladatokhttps://edu.interkonyv.hu/book/2771-lovasz_laszlo_kombinatorikai_problemak_es_feladatok
• Veiter András: Probability theory with simulationshttps://edu.interkonyv.hu/book/2822-vetier_probability_theory_with_simulations
• Jaglom: Nem elemi feladatok elemi tárgyalásbanhttps://edu.interkonyv.hu/book/2713-jaglom_nem_elemi_feladatok_elemi_targyalasban
![Page 10: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/10.jpg)
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Bevezetés
2019. február 12.
¼
![Page 11: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/11.jpg)
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
TÖRTÉNELMI ÁTTEKINTÉS
¼
![Page 12: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/12.jpg)
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Gerolamo Cardano (1526)
Liber de ludo aleae(Könyv a szerencsejátékokról)
¼
![Page 13: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/13.jpg)
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Blaise Pascal és Pierre de Fermat (1654)
Blaise Pascal Pierre de Fermat
Levelezésükben tárgyalták a következo nyereményelosztási problémát:
• Tegyük fel, hogy két játékos egyforma tétet tett be a játék elején, ésegyforma eséllyel gyujtik a pontokat a játék során. A játék végén agyoztes mindent visz.
• Hogyan kell igazságosan elosztani a nyereményt (a mármegszerzett pontok függvényében), ha valamiért nem tudjákbefejezni a játékot?
¼
![Page 14: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/14.jpg)
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
de Méré lovag feladványa
Antoine Gombaud, Chevalier de Méré, francia író,szerencsejátékos kedvenc fogadásai:
I. 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os.
II. 2 kockával dobva 24 dobásból legalább egy 6-ospár.
A II. fogadáson nagy összegeket veszített, ezért Pascalhoz fordultsegítségért. Muveiben késobb leírta az imént tárgyalt nyereményelosztási problémát is:L’honnête homme (A becsületes ember)Discours de la vraie honnêteté (Értekezés az igazi becsületességrol)
¼
![Page 15: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/15.jpg)
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Andrej Nyikolájevics Kolmogorov (1932)
A valószínuségszámítás axiomatikusmegalapozása.(Valószínuségi mezo, valószínuségi mérték, stb.)
¼
![Page 16: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/16.jpg)
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
PÉLDÁK A VALÓSZÍNUSÉGSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSITERÜLETEIRE
¼
![Page 17: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/17.jpg)
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Szerencsejáték
Rulett, póker, lottó, kocka, stb.
¼
![Page 18: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/18.jpg)
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Tozsde, gazdaság
Árfolyam, tozsdeindex, kamat, stb.
¼
![Page 19: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/19.jpg)
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Biztosítás
Balesetbiztosítás, lakásbiztosítás, életbiztosítás, stb.
¼
![Page 20: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/20.jpg)
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Meteorológia
Idojárás elorejelzés, viharok, stb.
¼
![Page 21: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/21.jpg)
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Tömegtermelés
Minoségellenorzés, mintavételezés, stb.
¼
![Page 22: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/22.jpg)
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Sorbanállás
Várakozási ido, sorhossz, torlódás, stb.(Internet, call center, közlekedés, stb.)
¼
![Page 23: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/23.jpg)
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Info-kommunikáció
Kódolás, zajszurés, kódfejtés, stb.
¼
![Page 24: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/24.jpg)
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
AZ ELOADÁSON HASZNÁLT JELÖLÉSEK
¼
![Page 25: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/25.jpg)
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Az eloadás fóliákon használt jelölések
Definíció
A fontosabb definíciók ilyen színu keretet kapnak.
Állítás, tétel
A fontosabb állítások, tételek ilyen színu keretet kapnak.
Példa
A fontosabb példák ilyen színu keretet kapnak.
Kitenkités, érdekesség, máshonnan vett állítás
Ilyen színu keretet kap:
• kitekintés más tárgyak anyaga felé, illetve más tárgyak anyagábólvett definíció, tétel, állítás,
• az itt tárgyalt anyaghoz kapcsolódó érdekesség.
Ezek a részek semmilyen formában nem kerülnek számonkérésre.¼
![Page 26: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/26.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
ESEMÉNYTÉR
¼
![Page 27: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/27.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Véletlen kísérlet
Véletlen kísérlet
Definíció: A véletlen kísérlet olyan kísérlet, (folyamat), melynekkimenetelét az általunk figyelembe vett feltételek nem határozzák megegyértelmuen.
Példák
• Kockadobás, kártyahúzás, stb.
• Folyó vízállása délben, lájkolók száma a weblapon éjfélkor, stb.
¼
![Page 28: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/28.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Véletlen kísérlet
Véletlen kísérlet
Definíció: A véletlen kísérlet olyan kísérlet, (folyamat), melynekkimenetelét az általunk figyelembe vett feltételek nem határozzák megegyértelmuen.
Példák
• Kockadobás, kártyahúzás, stb.
• Folyó vízállása délben, lájkolók száma a weblapon éjfélkor, stb.
¼
![Page 29: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/29.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Véletlen kísérlet
Véletlen kísérlet
Definíció: A véletlen kísérlet olyan kísérlet, (folyamat), melynekkimenetelét az általunk figyelembe vett feltételek nem határozzák megegyértelmuen.
Példák
• Kockadobás, kártyahúzás, stb.
• Folyó vízállása délben, lájkolók száma a weblapon éjfélkor, stb.
¼
![Page 30: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/30.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Hiányzó okok elve
/... Be van fejezve a nagy mu, igen.A gép forog, az alkotó pihen.Évmilliókig eljár tengelyén,Míg egy kerékfogát ujítni kell. .../
(Madách Imre, Az ember tragédiája, Elso szín)
• Klasszikusan: mindennek oka van, csak nem ismerjük ezeket azokokat elég pontosan, ezért tunik egy kísérlet kimenetelevéletlennek.
• Kvantumosan: nincsenek hiányzó okok, bizonyos folyamatokvéletlenszeruek és kész.
¼
![Page 31: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/31.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Elemi esemény
Elemi esemény
Definíció: Valamely kísérlettel kapcsolatban a kísérlet lehetségeskimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük.
Példák
• Kockadobásnál 6 kimenetel lehetséges, kártyahúzásnál 32 (vagy52).
• Folyó vízállása cm-ben, lájkok száma. (Elvileg végtelen sokkimenetel lehetséges).
¼
![Page 32: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/32.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Elemi esemény
Elemi esemény
Definíció: Valamely kísérlettel kapcsolatban a kísérlet lehetségeskimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük.
Példák
• Kockadobásnál 6 kimenetel lehetséges, kártyahúzásnál 32 (vagy52).
• Folyó vízállása cm-ben, lájkok száma. (Elvileg végtelen sokkimenetel lehetséges).
¼
![Page 33: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/33.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Elemi esemény
Elemi esemény
Definíció: Valamely kísérlettel kapcsolatban a kísérlet lehetségeskimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük.
Példák
• Kockadobásnál 6 kimenetel lehetséges, kártyahúzásnál 32 (vagy52).
• Folyó vízállása cm-ben, lájkok száma. (Elvileg végtelen sokkimenetel lehetséges).
¼
![Page 34: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/34.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Eseménytér
Eseménytér
Definíció: Ha a kísérlet lehetséges kimenetelei ω1, ω2, ..., ωn, akkor azelemei események összessége az eseménytér: Ω = ω1, ω2, ..., ωn .
Esemény
Definíció: Az eseménytér egy A ⊂ Ω részhalmazát eseménynek hívjuk.
• Biztos esemény: A = Ω.
• Lehetetlen esemény: A = ∅.
Példák
• Kockadobás: ω1 = 1 , ω2 = 2 , ..., ω6 = 6Ω = 1,2, . . . ,6A esemény pl. páros szám dobása: A = 2,4,6.
• Lájkok száma: 0db,1db, . . .A esemény pl.: több mint 100db.
¼
![Page 35: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/35.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Eseménytér
Eseménytér
Definíció: Ha a kísérlet lehetséges kimenetelei ω1, ω2, ..., ωn, akkor azelemei események összessége az eseménytér: Ω = ω1, ω2, ..., ωn .
Esemény
Definíció: Az eseménytér egy A ⊂ Ω részhalmazát eseménynek hívjuk.
• Biztos esemény: A = Ω.
• Lehetetlen esemény: A = ∅.
Példák
• Kockadobás: ω1 = 1 , ω2 = 2 , ..., ω6 = 6Ω = 1,2, . . . ,6A esemény pl. páros szám dobása: A = 2,4,6.
• Lájkok száma: 0db,1db, . . .A esemény pl.: több mint 100db.
¼
![Page 36: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/36.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Eseménytér
Eseménytér
Definíció: Ha a kísérlet lehetséges kimenetelei ω1, ω2, ..., ωn, akkor azelemei események összessége az eseménytér: Ω = ω1, ω2, ..., ωn .
Esemény
Definíció: Az eseménytér egy A ⊂ Ω részhalmazát eseménynek hívjuk.
• Biztos esemény: A = Ω.
• Lehetetlen esemény: A = ∅.
Példák
• Kockadobás: ω1 = 1 , ω2 = 2 , ..., ω6 = 6Ω = 1,2, . . . ,6A esemény pl. páros szám dobása: A = 2,4,6.
• Lájkok száma: 0db,1db, . . .A esemény pl.: több mint 100db.
¼
![Page 37: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/37.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Eseménytér
Eseménytér
Definíció: Ha a kísérlet lehetséges kimenetelei ω1, ω2, ..., ωn, akkor azelemei események összessége az eseménytér: Ω = ω1, ω2, ..., ωn .
Esemény
Definíció: Az eseménytér egy A ⊂ Ω részhalmazát eseménynek hívjuk.
• Biztos esemény: A = Ω.
• Lehetetlen esemény: A = ∅.
Példák
• Kockadobás: ω1 = 1 , ω2 = 2 , ..., ω6 = 6Ω = 1,2, . . . ,6A esemény pl. páros szám dobása: A = 2,4,6.
• Lájkok száma: 0db,1db, . . .A esemény pl.: több mint 100db.
¼
![Page 38: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/38.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveletek eseményekkel
Muveletek eseményekkel
A következo alap muveleteket értelmezzük az eseményeken:
• A és B közül legalább az egyik bekövetkezik (vagy): A ∪ B, A + B.
• Mind A mind B bekövetkezik (és): A ∩ B, AB.
• A nem következik be (neg.): A, Ac.
• A maga után vonja C-t: A ⊂ C.
• A bekövetkezik, de B nem: A ∖ B = A ∩ B.
ω 1
ω 9
ω 8
ω 6
ω 5
ω 2
ω 3
ω 7
ω 4
Ω
ω 0
¼
![Page 39: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/39.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveletek eseményekkel
Muveletek eseményekkel
A következo alap muveleteket értelmezzük az eseményeken:
• A és B közül legalább az egyik bekövetkezik (vagy): A ∪ B, A + B.
• Mind A mind B bekövetkezik (és): A ∩ B, AB.
• A nem következik be (neg.): A, Ac.
• A maga után vonja C-t: A ⊂ C.
• A bekövetkezik, de B nem: A ∖ B = A ∩ B.
ω 1
ω 9
ω 8
ω 6
ω 5
ω 2
ω 3
ω 7
ω 4
Ω
ω 0
A¼
![Page 40: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/40.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveletek eseményekkel
Muveletek eseményekkel
A következo alap muveleteket értelmezzük az eseményeken:
• A és B közül legalább az egyik bekövetkezik (vagy): A ∪ B, A + B.
• Mind A mind B bekövetkezik (és): A ∩ B, AB.
• A nem következik be (neg.): A, Ac.
• A maga után vonja C-t: A ⊂ C.
• A bekövetkezik, de B nem: A ∖ B = A ∩ B.
ω 1
ω 9
ω 8
ω 6
ω 5
ω 2
ω 3
ω 7
ω 4
Ω
ω 0
B
¼
![Page 41: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/41.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveletek eseményekkel
Muveletek eseményekkel
A következo alap muveleteket értelmezzük az eseményeken:
• A és B közül legalább az egyik bekövetkezik (vagy): A ∪ B, A + B.
• Mind A mind B bekövetkezik (és): A ∩ B, AB.
• A nem következik be (neg.): A, Ac.
• A maga után vonja C-t: A ⊂ C.
• A bekövetkezik, de B nem: A ∖ B = A ∩ B.
ω 1
ω 9
ω 8
ω 6
ω 5
ω 2
ω 3
ω 7
ω 4
Ω
ω 0
A
B
¼
![Page 42: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/42.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveletek eseményekkel
Muveletek eseményekkel
A következo alap muveleteket értelmezzük az eseményeken:
• A és B közül legalább az egyik bekövetkezik (vagy): A ∪ B, A + B.
• Mind A mind B bekövetkezik (és): A ∩ B, AB.
• A nem következik be (neg.): A, Ac.
• A maga után vonja C-t: A ⊂ C.
• A bekövetkezik, de B nem: A ∖ B = A ∩ B.
ω 1
ω 9
ω 8
ω 6
ω 5
ω 2
ω 3
ω 7
ω 4
Ω
ω 0
A
B
AB
¼
![Page 43: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/43.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveletek eseményekkel
Muveletek eseményekkel
A következo alap muveleteket értelmezzük az eseményeken:
• A és B közül legalább az egyik bekövetkezik (vagy): A ∪ B, A + B.
• Mind A mind B bekövetkezik (és): A ∩ B, AB.
• A nem következik be (neg.): A, Ac.
• A maga után vonja C-t: A ⊂ C.
• A bekövetkezik, de B nem: A ∖ B = A ∩ B.
Ω
ω 0
ω 1
ω 2
ω 5
ω 6
ω 4
ω 3
ω 7ω 9
ω 8
A
A¼
![Page 44: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/44.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveletek eseményekkel
Muveletek eseményekkel
A következo alap muveleteket értelmezzük az eseményeken:
• A és B közül legalább az egyik bekövetkezik (vagy): A ∪ B, A + B.
• Mind A mind B bekövetkezik (és): A ∩ B, AB.
• A nem következik be (neg.): A, Ac.
• A maga után vonja C-t: A ⊂ C.
• A bekövetkezik, de B nem: A ∖ B = A ∩ B.
ω 1
ω 9
ω 8
ω 6
ω 5
ω 2
ω 3
ω 7
ω 4
Ω
ω 0
A¼
![Page 45: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/45.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveletek eseményekkel
Muveletek eseményekkel
A következo alap muveleteket értelmezzük az eseményeken:
• A és B közül legalább az egyik bekövetkezik (vagy): A ∪ B, A + B.
• Mind A mind B bekövetkezik (és): A ∩ B, AB.
• A nem következik be (neg.): A, Ac.
• A maga után vonja C-t: A ⊂ C.
• A bekövetkezik, de B nem: A ∖ B = A ∩ B.
ω 9
ω 8
ω 6
ω 5
ω 2
ω 3
ω 7
ω 4
ω 1
Ω
ω 0
C¼
![Page 46: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/46.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveletek eseményekkel
Muveletek eseményekkel
A következo alap muveleteket értelmezzük az eseményeken:
• A és B közül legalább az egyik bekövetkezik (vagy): A ∪ B, A + B.
• Mind A mind B bekövetkezik (és): A ∩ B, AB.
• A nem következik be (neg.): A, Ac.
• A maga után vonja C-t: A ⊂ C.
• A bekövetkezik, de B nem: A ∖ B = A ∩ B.
ω 1
ω 9
ω 8
ω 6
ω 5
ω 2
ω 3
ω 7
ω 4
Ω
ω 0
A B
B
¼
![Page 47: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/47.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveleti azonosságok
Muveleti azonosságok„ÉS”
• A ∩ B = B ∩ A
• A ∩ A = A
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
• A ∩ A = ∅• A ∩ ∅ = ∅• A ∩Ω = A
„VAGY”
• A ∪ B = B ∪ A
• A ∪ A = A
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
• A ∪ A = Ω
• A ∪ ∅ = A
• A ∪Ω = Ω
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)• A ∪ (A ∩ B) = A
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)• A ∩ B = A ∪ B
• A ∪ B = A ∩ B
¼
![Page 48: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/48.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveleti azonosságokGyakorló példa
Ha adott egy tetszoleges A és B esemény, akkor milyen X eseményreteljesül az alábbi összefüggés?
X ∪ A ∪ X ∪ A = (A ∩ B) ∪ B
¼
![Page 49: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/49.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveleti azonosságokGyakorló példa
Ha adott egy tetszoleges A és B esemény, akkor milyen X eseményreteljesül az alábbi összefüggés?
X ∪ A ∪ X ∪ A = (A ∩ B) ∪ B
→ Használva a muveleti azonosságokat:
(X ∪ A) ∩ (X ∪ A) = (A ∩ B) ∩ B
X ∪ (X ∩ A) ∪ (A ∩ X)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
X∩(A∪A)
∪(A ∩ A) = (A ∪ B) ∩ B
X ∪ X ∩ (A ∪ A)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
Ω
∪∅ = (A ∩ B) ∪ (B ∩ B)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
∅
X ∪ X = X = A ∩ B
¼
![Page 50: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/50.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Teljes eseményrendszer
Egymást kizáró események
Definíció: A és B egymást kizáró események ha A ∩ B = ∅
Teljes eseményrendszer
Definíció: A1,A2, ...,An teljes eseményrendszert alkotnak, ha mindenk = 1, ..., n-re
a) Ak ≠ ∅,
b) Aj ∩ Ak = ∅ ha j ≠ k,
c) A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω.
¼
![Page 51: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/51.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Teljes eseményrendszer
Egymást kizáró események
Definíció: A és B egymást kizáró események ha A ∩ B = ∅
Teljes eseményrendszer
Definíció: A1,A2, ...,An teljes eseményrendszert alkotnak, ha mindenk = 1, ..., n-re
a) Ak ≠ ∅,
b) Aj ∩ Ak = ∅ ha j ≠ k,
c) A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω.
Szemléltetés:Ω
¼
![Page 52: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/52.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Teljes eseményrendszer
Egymást kizáró események
Definíció: A és B egymást kizáró események ha A ∩ B = ∅
Teljes eseményrendszer
Definíció: A1,A2, ...,An teljes eseményrendszert alkotnak, ha mindenk = 1, ..., n-re
a) Ak ≠ ∅,
b) Aj ∩ Ak = ∅ ha j ≠ k,
c) A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω.
Szemléltetés:
A2
A3
A4A5 A6
A1
Ω
¼
![Page 53: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/53.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események és halmazok
• Az eseményeket tehát az Ω eseménytér részhalmazaivalmodellezzük, (melyek elemi eseményekbol állnak össze).
• Megfeleltetés az eseményeken értelmezett muveletek és a halmazmuveletek között:
„ÉS”, AB, ←→ metszet, A ∩ B„VAGY”, A + B ←→ unió, A ∪ B„NEM”, A ←→ komplementer, Ac
„DE NEM”, A ∖ B ←→ különbség, A ∖ B
¼
![Page 54: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/54.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események és halmazok
• Az eseményeket tehát az Ω eseménytér részhalmazaivalmodellezzük, (melyek elemi eseményekbol állnak össze).
• Megfeleltetés az eseményeken értelmezett muveletek és a halmazmuveletek között:
„ÉS”, AB, ←→ metszet, A ∩ B„VAGY”, A + B ←→ unió, A ∪ B„NEM”, A ←→ komplementer, Ac
„DE NEM”, A ∖ B ←→ különbség, A ∖ B
¼
![Page 55: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/55.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események és halmazok
• Az eseményeket tehát az Ω eseménytér részhalmazaivalmodellezzük, (melyek elemi eseményekbol állnak össze).
• Megfeleltetés az eseményeken értelmezett muveletek és a halmazmuveletek között:
„ÉS”, AB, ←→ metszet, A ∩ B„VAGY”, A + B ←→ unió, A ∪ B„NEM”, A ←→ komplementer, Ac
„DE NEM”, A ∖ B ←→ különbség, A ∖ B
¼
![Page 56: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/56.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események és halmazok
• Az eseményeket tehát az Ω eseménytér részhalmazaivalmodellezzük, (melyek elemi eseményekbol állnak össze).
• Megfeleltetés az eseményeken értelmezett muveletek és a halmazmuveletek között:
„ÉS”, AB, ←→ metszet, A ∩ B„VAGY”, A + B ←→ unió, A ∪ B„NEM”, A ←→ komplementer, Ac
„DE NEM”, A ∖ B ←→ különbség, A ∖ B
-Mi az összes események halmaza?
¼
![Page 57: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/57.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események és halmazok
• Az eseményeket tehát az Ω eseménytér részhalmazaivalmodellezzük, (melyek elemi eseményekbol állnak össze).
• Megfeleltetés az eseményeken értelmezett muveletek és a halmazmuveletek között:
„ÉS”, AB, ←→ metszet, A ∩ B„VAGY”, A + B ←→ unió, A ∪ B„NEM”, A ←→ komplementer, Ac
„DE NEM”, A ∖ B ←→ különbség, A ∖ B
-Mi az összes események halmaza?Az Ω hatványhalmaza, P(Ω).
¼
![Page 58: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/58.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események és halmazok
• Az eseményeket tehát az Ω eseménytér részhalmazaivalmodellezzük, (melyek elemi eseményekbol állnak össze).
• Megfeleltetés az eseményeken értelmezett muveletek és a halmazmuveletek között:
„ÉS”, AB, ←→ metszet, A ∩ B„VAGY”, A + B ←→ unió, A ∪ B„NEM”, A ←→ komplementer, Ac
„DE NEM”, A ∖ B ←→ különbség, A ∖ B
-Mi az összes események halmaza?Az Ω hatványhalmaza, P(Ω).
-Ha az elemi események száma n, mennyi az összesesemények száma?
¼
![Page 59: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/59.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események és halmazok
• Az eseményeket tehát az Ω eseménytér részhalmazaivalmodellezzük, (melyek elemi eseményekbol állnak össze).
• Megfeleltetés az eseményeken értelmezett muveletek és a halmazmuveletek között:
„ÉS”, AB, ←→ metszet, A ∩ B„VAGY”, A + B ←→ unió, A ∪ B„NEM”, A ←→ komplementer, Ac
„DE NEM”, A ∖ B ←→ különbség, A ∖ B
-Mi az összes események halmaza?Az Ω hatványhalmaza, P(Ω).
-Ha az elemi események száma n, mennyi az összesesemények száma? 2n
¼
![Page 60: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/60.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események és halmazok
• Az eseményeket tehát az Ω eseménytér részhalmazaivalmodellezzük, (melyek elemi eseményekbol állnak össze).
• Megfeleltetés az eseményeken értelmezett muveletek és a halmazmuveletek között:
„ÉS”, AB, ←→ metszet, A ∩ B„VAGY”, A + B ←→ unió, A ∪ B„NEM”, A ←→ komplementer, Ac
„DE NEM”, A ∖ B ←→ különbség, A ∖ B
-Mi az összes események halmaza?Az Ω hatványhalmaza, P(Ω).
-Ha az elemi események száma n, mennyi az összesesemények száma? 2n
-Vajon P(Ω) zárt a fenti muveletekre nézve?
¼
![Page 61: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/61.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események és halmazok
• Az eseményeket tehát az Ω eseménytér részhalmazaivalmodellezzük, (melyek elemi eseményekbol állnak össze).
• Megfeleltetés az eseményeken értelmezett muveletek és a halmazmuveletek között:
„ÉS”, AB, ←→ metszet, A ∩ B„VAGY”, A + B ←→ unió, A ∪ B„NEM”, A ←→ komplementer, Ac
„DE NEM”, A ∖ B ←→ különbség, A ∖ B
-Mi az összes események halmaza?Az Ω hatványhalmaza, P(Ω).
-Ha az elemi események száma n, mennyi az összesesemények száma? 2n
-Vajon P(Ω) zárt a fenti muveletekre nézve?Igen, szerencsére egy σ-algebrát alkot.
¼
![Page 62: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/62.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Halmazgyuru
Halmazgyuru
R halmazgyuru, ha minden E,F ∈R esetén
a) E ∪ F ∈R,
b) E ∖ F ∈R, azaz az unió és különbség muveletekre nézve zárt.
Következmény:
• Mivel E ∩ F = F ∖ (F ∖ E), a metszetre nézve is zárt.
¼
![Page 63: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/63.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Halmazgyuru
Halmazgyuru
R halmazgyuru, ha minden E,F ∈R esetén
a) E ∪ F ∈R,
b) E ∖ F ∈R, azaz az unió és különbség muveletekre nézve zárt.
Következmény:
• Mivel E ∩ F = F ∖ (F ∖ E), a metszetre nézve is zárt.
¼
![Page 64: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/64.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Halmazalgebra
Halmazalgebra
A halmazalgebra, ha
a) E,F ∈ A esetén E ∪ F ∈ A,
b) E ∈ A esetén Ec ∈ A,
azaz az unió és komplementer muveletekre nézve zárt.
Következmény:
• Mivel E ∖ F = E ∩ Fc = (Ec ∪ F)c, a különbségre nézve is zárt.
¼
![Page 65: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/65.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Halmazalgebra
Halmazalgebra
A halmazalgebra, ha
a) E,F ∈ A esetén E ∪ F ∈ A,
b) E ∈ A esetén Ec ∈ A,
azaz az unió és komplementer muveletekre nézve zárt.
Következmény:
• Mivel E ∖ F = E ∩ Fc = (Ec ∪ F)c, a különbségre nézve is zárt.
¼
![Page 66: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/66.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
σ-gyuru, σ-algebra
σ-gyuru
R σ-gyuru, ha
a) E,F ∈R esetén E ∖ F ∈R,
b) Ei, i = 1, 2, ... esetén∞
⋃i=1
Ei ∈R,
σ-algebra
A σ-algebra, ha
a) E ∈ A esetén Ec ∈ A,
b) Ei, i = 1, 2, ... esetén∞
⋃i=1
Ei ∈ A,
¼
![Page 67: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/67.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
σ-gyuru, σ-algebra
σ-gyuru
R σ-gyuru, ha
a) E,F ∈R esetén E ∖ F ∈R,
b) Ei, i = 1, 2, ... esetén∞
⋃i=1
Ei ∈R,
σ-algebra
A σ-algebra, ha
a) E ∈ A esetén Ec ∈ A,
b) Ei, i = 1, 2, ... esetén∞
⋃i=1
Ei ∈ A,
¼
![Page 68: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/68.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
EseménytérÖsszefoglalás
• A véletlen kísérlet lehetséges kimenetelei az elemi események,ezek halmaza az Ω eseménytér.
• Az összes esemény halmaza az Ω hatványhalmaza, P(Ω).
• A P(Ω) egy σ-algebrát alkot, azaz zárt a „VAGY” (unió), „ÉS”(metszet), „NEM” (komplementer) és „DE NEM” (különbség)muveletekre.
OK, de mi az események VALÓSZÍNUSÉGE?
¼
![Page 69: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/69.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
EseménytérÖsszefoglalás
• A véletlen kísérlet lehetséges kimenetelei az elemi események,ezek halmaza az Ω eseménytér.
• Az összes esemény halmaza az Ω hatványhalmaza, P(Ω).
• A P(Ω) egy σ-algebrát alkot, azaz zárt a „VAGY” (unió), „ÉS”(metszet), „NEM” (komplementer) és „DE NEM” (különbség)muveletekre.
OK, de mi az események VALÓSZÍNUSÉGE?
¼
![Page 70: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/70.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
HatárértékekVALÓSZÍNUSÉG
¼
![Page 71: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/71.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Relatív gyakoriság
• Egy kísérletet egymástól függetlenül megismételhetünk többször is.Pl:
• kockadobás,• folyó vízállásának mérése évrol évre ugyanazon a napon,• stb.
→ Ha adott A esemény (pl. páros dobás) bekövetkezéseinek száma kA
és összesen n kísérlet volt, akkor A relatív gyakorisága kA/n.
• Hogyan néz ki a relatív gyakoriság n függvényében?
¼
![Page 72: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/72.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Relatív gyakoriság
• Egy kísérletet egymástól függetlenül megismételhetünk többször is.Pl:
• kockadobás,• folyó vízállásának mérése évrol évre ugyanazon a napon,• stb.
→ Ha adott A esemény (pl. páros dobás) bekövetkezéseinek száma kA
és összesen n kísérlet volt, akkor A relatív gyakorisága kA/n.
• Hogyan néz ki a relatív gyakoriság n függvényében?
¼
![Page 73: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/73.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Relatív gyakoriság
• Egy kísérletet egymástól függetlenül megismételhetünk többször is.Pl:
• kockadobás,• folyó vízállásának mérése évrol évre ugyanazon a napon,• stb.
→ Ha adott A esemény (pl. páros dobás) bekövetkezéseinek száma kA
és összesen n kísérlet volt, akkor A relatív gyakorisága kA/n.
• Hogyan néz ki a relatív gyakoriság n függvényében?
¼
![Page 74: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/74.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Relatív gyakoriság
• Egy kísérletet egymástól függetlenül megismételhetünk többször is.Pl:
• kockadobás,• folyó vízállásának mérése évrol évre ugyanazon a napon,• stb.
→ Ha adott A esemény (pl. páros dobás) bekövetkezéseinek száma kA
és összesen n kísérlet volt, akkor A relatív gyakorisága kA/n.
• Hogyan néz ki a relatív gyakoriság n függvényében?
¼
![Page 75: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/75.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Relatív gyakoriság
• Egy kísérletet egymástól függetlenül megismételhetünk többször is.Pl:
• kockadobás,• folyó vízállásának mérése évrol évre ugyanazon a napon,• stb.
→ Ha adott A esemény (pl. páros dobás) bekövetkezéseinek száma kA
és összesen n kísérlet volt, akkor A relatív gyakorisága kA/n.
• Hogyan néz ki a relatív gyakoriság n függvényében?
¼
![Page 76: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/76.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Relatív gyakoriság
• Egy kísérletet egymástól függetlenül megismételhetünk többször is.Pl:
• kockadobás,• folyó vízállásának mérése évrol évre ugyanazon a napon,• stb.
→ Ha adott A esemény (pl. páros dobás) bekövetkezéseinek száma kA
és összesen n kísérlet volt, akkor A relatív gyakorisága kA/n.
• Hogyan néz ki a relatív gyakoriság n függvényében?
¼
![Page 77: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/77.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Nagy számok törvénye
kn
n
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 10 100 1000 10000 100000
• A relatív gyakoriság n függvényében egy ingadozó függvény.
• Az ingadozások mértéke azonban csökken n-el, és elég nagy n-re afüggvény „ráhúzódik” egy jól meghatározott értékre.
¼
![Page 78: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/78.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Nagy számok törvénye
kn
n
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 10 100 1000 10000 100000
• A relatív gyakoriság n függvényében egy ingadozó függvény.
• Az ingadozások mértéke azonban csökken n-el, és elég nagy n-re afüggvény „ráhúzódik” egy jól meghatározott értékre.
¼
![Page 79: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/79.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Nagy számok törvénye
kn
n
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 10 100 1000 10000 100000
• A relatív gyakoriság n függvényében egy ingadozó függvény.
• Az ingadozások mértéke azonban csökken n-el, és elég nagy n-re afüggvény „ráhúzódik” egy jól meghatározott értékre.
¼
![Page 80: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/80.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Mi a valószínuség?(Klasszikusan)
¼
![Page 81: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/81.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Mi a valószínuség?(Klasszikusan)
„A valószínuség az eseményekhez rendelt szám, amely körül az adottesemény bekövetkezésének relatív gyakorisága ingadozik.”
¼
![Page 82: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/82.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség
A valószínuség klasszikus definíciója
• Véges eseménytér.
• Minden elemi esemény egyforma gyakorisággal következik be.
• Adott A esemény valószínusége:
P(A) ≡ kedvezo esetek számaösszes esetek száma
,
(ahol a „kedvezo esetek száma” az A-ban foglalt elemi eseményekszáma.)
Példa
• Páros dobás valószínusége kockadobás esetén:
P = ∣2, 4, 6∣∣1, 2, 3, 4, 5, 6∣ =
36= 1
2.
¼
![Page 83: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/83.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség
A valószínuség klasszikus definíciója
• Véges eseménytér.
• Minden elemi esemény egyforma gyakorisággal következik be.
• Adott A esemény valószínusége:
P(A) ≡ kedvezo esetek számaösszes esetek száma
,
(ahol a „kedvezo esetek száma” az A-ban foglalt elemi eseményekszáma.)
Példa
• Páros dobás valószínusége kockadobás esetén:
P = ∣2, 4, 6∣∣1, 2, 3, 4, 5, 6∣ =
36= 1
2.
¼
![Page 84: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/84.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség
A valószínuség klasszikus definíciója
• Véges eseménytér.
• Minden elemi esemény egyforma gyakorisággal következik be.
• Adott A esemény valószínusége:
P(A) ≡ kedvezo esetek számaösszes esetek száma
,
(ahol a „kedvezo esetek száma” az A-ban foglalt elemi eseményekszáma.)
Példa
• Páros dobás valószínusége kockadobás esetén:
P = ∣2, 4, 6∣∣1, 2, 3, 4, 5, 6∣ =
36= 1
2.
¼
![Page 85: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/85.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség
A valószínuség klasszikus definíciója
• Véges eseménytér.
• Minden elemi esemény egyforma gyakorisággal következik be.
• Adott A esemény valószínusége:
P(A) ≡ kedvezo esetek számaösszes esetek száma
,
(ahol a „kedvezo esetek száma” az A-ban foglalt elemi eseményekszáma.)
Példa
• Páros dobás valószínusége kockadobás esetén:
P = ∣2, 4, 6∣∣1, 2, 3, 4, 5, 6∣ =
36= 1
2.
¼
![Page 86: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/86.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
de Méré lovag feladványa
• 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os:
¼
![Page 87: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/87.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
de Méré lovag feladványa
• 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os:
• Összes eset: 64.
¼
![Page 88: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/88.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
de Méré lovag feladványa
• 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os:
• Összes eset: 64.
• Azon esetek, amikor nincs 6-os: 54.
¼
![Page 89: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/89.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
de Méré lovag feladványa
• 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os:
• Összes eset: 64.
• Azon esetek, amikor nincs 6-os: 54.
• Ezért P = 64−54
64 ≃ 0.5177.
¼
![Page 90: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/90.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
de Méré lovag feladványa
• 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os:
• Összes eset: 64.
• Azon esetek, amikor nincs 6-os: 54.
• Ezért P = 64−54
64 ≃ 0.5177.
• 2 kockával dobva 24 dobásból legalább egy 6-os pár:
¼
![Page 91: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/91.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
de Méré lovag feladványa
• 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os:
• Összes eset: 64.
• Azon esetek, amikor nincs 6-os: 54.
• Ezért P = 64−54
64 ≃ 0.5177.
• 2 kockával dobva 24 dobásból legalább egy 6-os pár:
• Összes eset: 3624
¼
![Page 92: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/92.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
de Méré lovag feladványa
• 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os:
• Összes eset: 64.
• Azon esetek, amikor nincs 6-os: 54.
• Ezért P = 64−54
64 ≃ 0.5177.
• 2 kockával dobva 24 dobásból legalább egy 6-os pár:
• Összes eset: 3624
• Azon esetek, amikor nincs 6-os pár: 3524.
¼
![Page 93: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/93.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
de Méré lovag feladványa
• 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os:
• Összes eset: 64.
• Azon esetek, amikor nincs 6-os: 54.
• Ezért P = 64−54
64 ≃ 0.5177.
• 2 kockával dobva 24 dobásból legalább egy 6-os pár:
• Összes eset: 3624
• Azon esetek, amikor nincs 6-os pár: 3524.
• Ezért P = 3624−3524
3624 ≃ 0.4914.
¼
![Page 94: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/94.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Bolyongás számegyenesen:
−3 −2 3210−1
Az origóból indulva n lépést megtéve mi a valószínusége, hogy pontk-ban leszünk?
¼
![Page 95: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/95.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Bolyongás számegyenesen:
−3 −2 3210−1
Az origóból indulva n lépést megtéve mi a valószínusége, hogy pontk-ban leszünk?
• pk = p−k; legyen k ⩾ 0
¼
![Page 96: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/96.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Bolyongás számegyenesen:
−3 −2 3210−1
Az origóból indulva n lépést megtéve mi a valószínusége, hogy pontk-ban leszünk?
• pk = p−k; legyen k ⩾ 0
• k + n−k2 = n+k
2 jobbra, n−k2 balra n közül,
¼
![Page 97: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/97.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Bolyongás számegyenesen:
−3 −2 3210−1
Az origóból indulva n lépést megtéve mi a valószínusége, hogy pontk-ban leszünk?
• pk = p−k; legyen k ⩾ 0
• k + n−k2 = n+k
2 jobbra, n−k2 balra n közül,
• ( nn−k
2) féle módon választható ki. Ezért pk = 1
2n ( nn−k
2)
¼
![Page 98: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/98.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
¼
![Page 99: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/99.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
Ha a golyók megkülönböztethetoek:
1 2 3 4 n
0 1 2 3 N
¼
![Page 100: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/100.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
Ha a golyók megkülönböztethetoek:
1 2 3 4 n
0 1 2 3 N
a) összes eset: Nn, egy leosztás: n!k1!k2!⋯kN !
, tehátP(n1 = k1, n2 = k2, . . . , nN = kN) = n!
k1!k2!⋯kN !1
Nn (Maxwell-Boltzmann).
¼
![Page 101: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/101.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
Ha a golyók megkülönböztethetoek:
1 2 3 4 n
0 1 2 3 N
a) összes eset: Nn, egy leosztás: n!k1!k2!⋯kN !
, tehátP(n1 = k1, n2 = k2, . . . , nN = kN) = n!
k1!k2!⋯kN !1
Nn (Maxwell-Boltzmann).
b) P(ni = k) = 1Nk (1 − 1
N )n−k (nk)
¼
![Page 102: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/102.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
És ha a golyók megkülönbözhetetlenek (pl. atomok)?
¼
![Page 103: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/103.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
És ha a golyók megkülönbözhetetlenek (pl. atomok)?
0 N
n
¼
![Page 104: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/104.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
És ha a golyók megkülönbözhetetlenek (pl. atomok)?
0 N
n
a) összes eset: (N+n−1n ), ezért
P(n1 = k1, n2 = k2, . . . , nN = kn) = 1(
N+n−1n )
= n!(N−1)!(n+N−1)! (Bose-Einstein).
¼
![Page 105: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/105.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
És ha a golyók megkülönbözhetetlenek (pl. atomok)?
0 N
n
a) összes eset: (N+n−1n ), ezért
P(n1 = k1, n2 = k2, . . . , nN = kn) = 1(
N+n−1n )
= n!(N−1)!(n+N−1)! (Bose-Einstein).
b) N − 1 cellába kell n − k-t szétosztani: P(ni = k) = (N+n−k−2
n−k )
(N+n−1
n ).
¼
![Page 106: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/106.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
És ha a golyók megkülönbözhetetlenek és 1 cellában egyszerremax. csak 1 lehet?
¼
![Page 107: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/107.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
És ha a golyók megkülönbözhetetlenek és 1 cellában egyszerremax. csak 1 lehet?
a) összes eset (Nn), tehát P(n1 = k1, n2 = k2, . . . , nN = kn) = 1
(Nn)
(Fermi-Dirac).
¼
![Page 108: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/108.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
És ha a golyók megkülönbözhetetlenek és 1 cellában egyszerremax. csak 1 lehet?
a) összes eset (Nn), tehát P(n1 = k1, n2 = k2, . . . , nN = kn) = 1
(Nn)
(Fermi-Dirac).
b) P(ni = 0) = 1 − nN , P(ni = 1) = n
N .
¼
![Page 109: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/109.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Mi a helyzet, ha az eseménytér nem véges?
¼
![Page 110: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/110.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Mi a helyzet, ha az eseménytér nem véges?
→ Relatív gyakoriságokat ilyenkor is lehet mérni.
¼
![Page 111: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/111.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A relatív gyakoriság tulajdonságai
• A relatív gyakoriság nem negatív és maximum 1: 0 ≤ kA/n ≤ 1
• A biztos esemény relatív gyakorisága 1: kΩ/n = 1.
• Ha A és B egymást kizáró események akkor kA+B/n = kA/n + kB/n.
A valószínuség axiómáit ezen tulajdonságok alapján állítjuk fel.
¼
![Page 112: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/112.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A relatív gyakoriság tulajdonságai
• A relatív gyakoriság nem negatív és maximum 1: 0 ≤ kA/n ≤ 1
• A biztos esemény relatív gyakorisága 1: kΩ/n = 1.
• Ha A és B egymást kizáró események akkor kA+B/n = kA/n + kB/n.
A valószínuség axiómáit ezen tulajdonságok alapján állítjuk fel.
¼
![Page 113: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/113.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A relatív gyakoriság tulajdonságai
• A relatív gyakoriság nem negatív és maximum 1: 0 ≤ kA/n ≤ 1
• A biztos esemény relatív gyakorisága 1: kΩ/n = 1.
• Ha A és B egymást kizáró események akkor kA+B/n = kA/n + kB/n.
A valószínuség axiómáit ezen tulajdonságok alapján állítjuk fel.
¼
![Page 114: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/114.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A relatív gyakoriság tulajdonságai
• A relatív gyakoriság nem negatív és maximum 1: 0 ≤ kA/n ≤ 1
• A biztos esemény relatív gyakorisága 1: kΩ/n = 1.
• Ha A és B egymást kizáró események akkor kA+B/n = kA/n + kB/n.
A valószínuség axiómáit ezen tulajdonságok alapján állítjuk fel.
¼
![Page 115: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/115.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A valószínuség axiómái (Kolmogorov)
A valószínuség axiómái
Ha adott egy Ω eseménytér, akkor az Ω részhalmazain értelmezett P(A)függvényt valószínuségnek nevezzük, ha
K1 0 ≤ P(A) ≤ 1 ∀A ⊂ Ω,
K2 P(Ω) = 1,
K3 Ha A1,A2, ... véges- vagy végtelen számú, páronként egymástkizáró események, akkor
P(⋃k
Ak) =∑k
P(Ak).
• Ezek alapján a P nem más, mint egy mérték az eseményekσ-algebráján.
• A P-t hívjuk valószínuségeloszlásnak, vagy rövidenvalószínuségnek.
¼
![Page 116: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/116.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A valószínuség axiómái (Kolmogorov)
A valószínuség axiómái
Ha adott egy Ω eseménytér, akkor az Ω részhalmazain értelmezett P(A)függvényt valószínuségnek nevezzük, ha
K1 0 ≤ P(A) ≤ 1 ∀A ⊂ Ω,
K2 P(Ω) = 1,
K3 Ha A1,A2, ... véges- vagy végtelen számú, páronként egymástkizáró események, akkor
P(⋃k
Ak) =∑k
P(Ak).
• Ezek alapján a P nem más, mint egy mérték az eseményekσ-algebráján.
• A P-t hívjuk valószínuségeloszlásnak, vagy rövidenvalószínuségnek.
¼
![Page 117: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/117.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A valószínuség axiómái (Kolmogorov)
A valószínuség axiómái
Ha adott egy Ω eseménytér, akkor az Ω részhalmazain értelmezett P(A)függvényt valószínuségnek nevezzük, ha
K1 0 ≤ P(A) ≤ 1 ∀A ⊂ Ω,
K2 P(Ω) = 1,
K3 Ha A1,A2, ... véges- vagy végtelen számú, páronként egymástkizáró események, akkor
P(⋃k
Ak) =∑k
P(Ak).
• Ezek alapján a P nem más, mint egy mérték az eseményekσ-algebráján.
• A P-t hívjuk valószínuségeloszlásnak, vagy rövidenvalószínuségnek.
¼
![Page 118: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/118.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A valószínuség axiómái (Kolmogorov)
A valószínuség axiómái
Ha adott egy Ω eseménytér, akkor az Ω részhalmazain értelmezett P(A)függvényt valószínuségnek nevezzük, ha
K1 0 ≤ P(A) ≤ 1 ∀A ⊂ Ω,
K2 P(Ω) = 1,
K3 Ha A1,A2, ... véges- vagy végtelen számú, páronként egymástkizáró események, akkor
P(⋃k
Ak) =∑k
P(Ak).
• Ezek alapján a P nem más, mint egy mérték az eseményekσ-algebráján.
• A P-t hívjuk valószínuségeloszlásnak, vagy rövidenvalószínuségnek.
¼
![Page 119: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/119.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A valószínuség axiómái (Kolmogorov)
A valószínuség axiómái
Ha adott egy Ω eseménytér, akkor az Ω részhalmazain értelmezett P(A)függvényt valószínuségnek nevezzük, ha
K1 0 ≤ P(A) ≤ 1 ∀A ⊂ Ω,
K2 P(Ω) = 1,
K3 Ha A1,A2, ... véges- vagy végtelen számú, páronként egymástkizáró események, akkor
P(⋃k
Ak) =∑k
P(Ak).
• Ezek alapján a P nem más, mint egy mérték az eseményekσ-algebráján.
• A P-t hívjuk valószínuségeloszlásnak, vagy rövidenvalószínuségnek.
¼
![Page 120: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/120.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Valószínuségi mezo
Valószínuségi mezo
Definíció: Az (Ω,A,P) hármas Kolmogorov-féle valószínuségi mezo, ha
• Ω az elemi események halmaza,
• A az események σ-algebrája Ω felett,
• P az A-n értelmezett (valószínuségi) mérték, melyre P(Ω) = 1.
¼
![Page 121: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/121.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A valószínuség meghatározása geometriaimódszerekkel
Ω geometriai alakzat (egyenes,görbe, sík, tér egy tartománya) minthalmaz egy A részhalmazánakvéletlen kiválasztása.
P(A) = µ(A)µ(Ω) .
Pl. Tegyük fel, hogy véletlenszeruen választunk két pontot a [0, d]intervallumban. Mi a valószínusége, hogy a kapott három szakaszbólháromszög szerkesztheto?
0 d
x y
¼
![Page 122: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/122.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A valószínuség meghatározása geometriaimódszerekkel
• Ha x < y: x, y − x, d − y
x + (y − x) > d − y ⇒ y > d/2x + (d − y) > y − x ⇒ y < x + d/2
(y − x) + (d − y) > x ⇒ x < d/2
• Ha y < x: y, x − y, d − x
y + (x − y) > d − x ⇒ x > d/2y + (d − x) > x − y ⇒ x < y + d/2
(x − y) + (d − x) > y ⇒ y < d/2
¼
![Page 123: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/123.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A valószínuség meghatározása geometriaimódszerekkel
• Ha x < y: x, y − x, d − y
x + (y − x) > d − y ⇒ y > d/2x + (d − y) > y − x ⇒ y < x + d/2
(y − x) + (d − y) > x ⇒ x < d/2
• Ha y < x: y, x − y, d − x
y + (x − y) > d − x ⇒ x > d/2y + (d − x) > x − y ⇒ x < y + d/2
(x − y) + (d − x) > y ⇒ y < d/2
¼
![Page 124: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/124.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A valószínuség meghatározása geometriaimódszerekkel
• Ha x < y: x, y − x, d − y
x + (y − x) > d − y ⇒ y > d/2x + (d − y) > y − x ⇒ y < x + d/2
(y − x) + (d − y) > x ⇒ x < d/2
• Ha y < x: y, x − y, d − x
y + (x − y) > d − x ⇒ x > d/2y + (d − x) > x − y ⇒ x < y + d/2
(x − y) + (d − x) > y ⇒ y < d/2
d/2
d/2
d
d
x
y
¼
![Page 125: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/125.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A VALÓSZÍNUSÉG ALAPVETO ÖSSZEFÜGGÉSEI
¼
![Page 126: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/126.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A lehetetlen esemény
Mi a lehetetlen esemény valószínusége?
¼
![Page 127: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/127.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A lehetetlen esemény
Mi a lehetetlen esemény valószínusége?
A lehetetlen esemény valószínusége 0.
A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅P(A) = P(A ∪ ∅) =
K3P(A) + P(∅)
P(∅) = 0
¼
![Page 128: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/128.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Teljes eseményrendszer
Egy A1,A2, ...,An teljes eseményrendszerre ⋃i P(Ai) = 1.
• Ha teljes eseményrendszert alkotnak, akkor Ai ∩Ak = ∅, és ⋃i Ai = Ω.
• Mivel P(Ω) = 1, a (K3) miatt ∑i P(Ai) = 1.
Következmény a komplementer esemény valószínuségére vonatkozóan:
Az A valószínusége P(A) = 1 − P(A).
(A és A együtt egy teljes eseményrendszert alkotnak)
¼
![Page 129: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/129.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Teljes eseményrendszer
Egy A1,A2, ...,An teljes eseményrendszerre ⋃i P(Ai) = 1.
• Ha teljes eseményrendszert alkotnak, akkor Ai ∩Ak = ∅, és ⋃i Ai = Ω.
• Mivel P(Ω) = 1, a (K3) miatt ∑i P(Ai) = 1.
Következmény a komplementer esemény valószínuségére vonatkozóan:
Az A valószínusége P(A) = 1 − P(A).
(A és A együtt egy teljes eseményrendszert alkotnak)
¼
![Page 130: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/130.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Teljes eseményrendszer
Egy A1,A2, ...,An teljes eseményrendszerre ⋃i P(Ai) = 1.
• Ha teljes eseményrendszert alkotnak, akkor Ai ∩Ak = ∅, és ⋃i Ai = Ω.
• Mivel P(Ω) = 1, a (K3) miatt ∑i P(Ai) = 1.
Következmény a komplementer esemény valószínuségére vonatkozóan:
Az A valószínusége P(A) = 1 − P(A).
(A és A együtt egy teljes eseményrendszert alkotnak)
¼
![Page 131: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/131.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események uniójának (összegének)valószínusége
Részhalmaz valószínusége
Ha A maga után vonja B-t, azaz A ⊂ B, akkor P(B ∖ A) = P(B) − P(A).
• Mivel A ⊂ B, a B-t felírhatjuk így is: B = A ∪ (B ∖ A).
• Mivel A ∩ (B ∖ A) = ∅, a (K3) miatt P(B) = P(A) + P(B ∖ A).
Események uniójának valószínusége
Bármely tetszoleges A és B eseményreP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Mivel A ∪ B = A ∪ (B ∖ (A ∩ B)) és A ∩ (B ∖ (A ∩ B)) = ∅, a (K3) miattP(A ∪ B) = P(A) + P[B ∖ (A ∩ B)].
• Mivel (A ∩ B) ⊂ B, az elozo állítás szerintP[B ∖ (A ∩ B)] = P(B) − P(A ∩ B), ezt behelyettesítve a fenti állításrajutunk.
¼
![Page 132: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/132.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események uniójának (összegének)valószínusége
Részhalmaz valószínusége
Ha A maga után vonja B-t, azaz A ⊂ B, akkor P(B ∖ A) = P(B) − P(A).
• Mivel A ⊂ B, a B-t felírhatjuk így is: B = A ∪ (B ∖ A).
• Mivel A ∩ (B ∖ A) = ∅, a (K3) miatt P(B) = P(A) + P(B ∖ A).
Események uniójának valószínusége
Bármely tetszoleges A és B eseményreP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Mivel A ∪ B = A ∪ (B ∖ (A ∩ B)) és A ∩ (B ∖ (A ∩ B)) = ∅, a (K3) miattP(A ∪ B) = P(A) + P[B ∖ (A ∩ B)].
• Mivel (A ∩ B) ⊂ B, az elozo állítás szerintP[B ∖ (A ∩ B)] = P(B) − P(A ∩ B), ezt behelyettesítve a fenti állításrajutunk.
¼
![Page 133: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/133.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események uniójának (összegének)valószínusége
Részhalmaz valószínusége
Ha A maga után vonja B-t, azaz A ⊂ B, akkor P(B ∖ A) = P(B) − P(A).
• Mivel A ⊂ B, a B-t felírhatjuk így is: B = A ∪ (B ∖ A).
• Mivel A ∩ (B ∖ A) = ∅, a (K3) miatt P(B) = P(A) + P(B ∖ A).
Események uniójának valószínusége
Bármely tetszoleges A és B eseményreP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Mivel A ∪ B = A ∪ (B ∖ (A ∩ B)) és A ∩ (B ∖ (A ∩ B)) = ∅, a (K3) miattP(A ∪ B) = P(A) + P[B ∖ (A ∩ B)].
• Mivel (A ∩ B) ⊂ B, az elozo állítás szerintP[B ∖ (A ∩ B)] = P(B) − P(A ∩ B), ezt behelyettesítve a fenti állításrajutunk.
¼
![Page 134: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/134.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események uniójának (összegének)valószínusége
Részhalmaz valószínusége
Ha A maga után vonja B-t, azaz A ⊂ B, akkor P(B ∖ A) = P(B) − P(A).
• Mivel A ⊂ B, a B-t felírhatjuk így is: B = A ∪ (B ∖ A).
• Mivel A ∩ (B ∖ A) = ∅, a (K3) miatt P(B) = P(A) + P(B ∖ A).
Események uniójának valószínusége
Bármely tetszoleges A és B eseményreP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Mivel A ∪ B = A ∪ (B ∖ (A ∩ B)) és A ∩ (B ∖ (A ∩ B)) = ∅, a (K3) miattP(A ∪ B) = P(A) + P[B ∖ (A ∩ B)].
• Mivel (A ∩ B) ⊂ B, az elozo állítás szerintP[B ∖ (A ∩ B)] = P(B) − P(A ∩ B), ezt behelyettesítve a fenti állításrajutunk.
¼
![Page 135: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/135.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események uniójának (összegének)valószínusége
Részhalmaz valószínusége
Ha A maga után vonja B-t, azaz A ⊂ B, akkor P(B ∖ A) = P(B) − P(A).
• Mivel A ⊂ B, a B-t felírhatjuk így is: B = A ∪ (B ∖ A).
• Mivel A ∩ (B ∖ A) = ∅, a (K3) miatt P(B) = P(A) + P(B ∖ A).
Események uniójának valószínusége
Bármely tetszoleges A és B eseményreP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Mivel A ∪ B = A ∪ (B ∖ (A ∩ B)) és A ∩ (B ∖ (A ∩ B)) = ∅, a (K3) miattP(A ∪ B) = P(A) + P[B ∖ (A ∩ B)].
• Mivel (A ∩ B) ⊂ B, az elozo állítás szerintP[B ∖ (A ∩ B)] = P(B) − P(A ∩ B), ezt behelyettesítve a fenti állításrajutunk.
¼
![Page 136: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/136.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események uniójának (összegének)valószínusége
Részhalmaz valószínusége
Ha A maga után vonja B-t, azaz A ⊂ B, akkor P(B ∖ A) = P(B) − P(A).
• Mivel A ⊂ B, a B-t felírhatjuk így is: B = A ∪ (B ∖ A).
• Mivel A ∩ (B ∖ A) = ∅, a (K3) miatt P(B) = P(A) + P(B ∖ A).
Események uniójának valószínusége
Bármely tetszoleges A és B eseményreP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Mivel A ∪ B = A ∪ (B ∖ (A ∩ B)) és A ∩ (B ∖ (A ∩ B)) = ∅, a (K3) miattP(A ∪ B) = P(A) + P[B ∖ (A ∩ B)].
• Mivel (A ∩ B) ⊂ B, az elozo állítás szerintP[B ∖ (A ∩ B)] = P(B) − P(A ∩ B), ezt behelyettesítve a fenti állításrajutunk.
¼
![Page 137: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/137.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események uniójának valószínusége
Szemléltetés:
A B
A B
A B
A B
¼
![Page 138: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/138.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események uniójának valószínusége
• Fontos következmény:
Tetszoleges A1,A2, ...,An eseményre P(n⋃i=1
Ai) ≤n∑i=1
P(Ai).
Bizonyítás: indukcióval.
• 2 eseményre igaz. Tegyük fel, hogy n-re igaz.
P(n+1
⋃i=1
Ai) = P([n
⋃i=1
Ai] ∪ An+1) ≤
P(n
⋃i=1
Ai) + P(An+1) ≤
n
∑i=1
P(Ai) + P(An+1).
¼
![Page 139: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/139.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események uniójának valószínusége
• Fontos következmény:
Tetszoleges A1,A2, ...,An eseményre P(n⋃i=1
Ai) ≤n∑i=1
P(Ai).
Bizonyítás: indukcióval.
• 2 eseményre igaz. Tegyük fel, hogy n-re igaz.
P(n+1
⋃i=1
Ai) = P([n
⋃i=1
Ai] ∪ An+1) ≤
P(n
⋃i=1
Ai) + P(An+1) ≤
n
∑i=1
P(Ai) + P(An+1).
¼
![Page 140: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/140.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Három esemény uniójának valószínusége
Három esemény uniójának valószínusége
Bármely tetszoleges A,B,C eseményekre
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C)+ P(A ∩ B ∩ C).
Bizonyítás:Alkalmazva a 2 esemény összegére vonatkozó állítást:
P(A ∪ B ∪ C) = P((A ∪ B) ∪ C) =P(A ∪ B) + P(C) − P((A ∪ B) ∩ C) =P(A) + P(B) − P(A ∩ B) + P(C) − P[(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)] =P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C)+ P((A ∩ C) ∩ (B ∩ C)
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶A∩B∩C
).
¼
![Page 141: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/141.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Három esemény uniójának valószínusége
Három esemény uniójának valószínusége
Bármely tetszoleges A,B,C eseményekre
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C)+ P(A ∩ B ∩ C).
Bizonyítás:Alkalmazva a 2 esemény összegére vonatkozó állítást:
P(A ∪ B ∪ C) = P((A ∪ B) ∪ C) =P(A ∪ B) + P(C) − P((A ∪ B) ∩ C) =P(A) + P(B) − P(A ∩ B) + P(C) − P[(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)] =P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C)+ P((A ∩ C) ∩ (B ∩ C)
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶A∩B∩C
).
¼
![Page 142: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/142.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
n esemény uniójának valószínusége
A1,A2, ...,An tetszoleges esemény uniójának valószínusége:
S1 ∶=n
∑i=1
P(Ai)
S2 ∶= ∑1≤i<j≤n
P(Ai ∩ Aj)
S3 ∶= ∑1≤i<j<k≤n
P(Ai ∩ Aj ∩ Ak)
⋮Sn ∶= P(A1 ∩ A2⋯∩ An)
→ P(n
⋃i=1
Ai) = S1 − S2 + S3 − ... + (−1)n−1Sn.
¼
![Page 143: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/143.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
Bizonyítás: indukcióval
• Tegyük fel, hogy n-re igaz. Ilyenkor
P(A1 ∪ . . .An ∪ An+1) = P(A1 ∪ . . .An) + P(An+1)−P[(A1 ∩ An+1) ∪ ... ∪ (An ∩ An+1)]
• A jobb oldalon a II. és III. kifejezésekre alkalmazva az indukciósfeltevést a tagok összevonhatók:
SII1 + P(An+1) = SI
1
SII2 + SIII
1 = SI2
SII3 + SIII
2 = SI3
⋮SIII
n = SIn+1
¼
![Page 144: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/144.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
Bizonyítás: indukcióval
• Tegyük fel, hogy n-re igaz. Ilyenkor
P(A1 ∪ . . .An ∪ An+1)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
I
= P(A1 ∪ . . .An)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
II
+P(An+1)
−P[(A1 ∩ An+1) ∪ ... ∪ (An ∩ An+1)]´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
III
• A jobb oldalon a II. és III. kifejezésekre alkalmazva az indukciósfeltevést a tagok összevonhatók:
SII1 + P(An+1) = SI
1
SII2 + SIII
1 = SI2
SII3 + SIII
2 = SI3
⋮SIII
n = SIn+1
¼
![Page 145: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/145.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
Példa
Tegyük fel, hogy n számozott golyót húzunk ki egy urnából. Mi avalószínusége, hogy a golyók sorrendjében egyik golyó sem a rajta lévoszámnak megfelelo helyen van?
• Ha Ai az az esemény, hogy az i-vel számozott golyó az i-edik helyenvan, akkor mi az 1 − P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An) valószínuséget keressük.→ Az iménti általános szabállyal lehet P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An)-tmeghatározni!
• Határozzuk meg S1-et:Összesen n! féle sorrend lehetséges, ha az i golyó az i. helyen van,az (n − 1)! módon történhet, így
P(Ai) =(n − 1)!
n!= 1
n, → S1 = n ⋅ 1
n= 1.
¼
![Page 146: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/146.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
Példa
Tegyük fel, hogy n számozott golyót húzunk ki egy urnából. Mi avalószínusége, hogy a golyók sorrendjében egyik golyó sem a rajta lévoszámnak megfelelo helyen van?
• Ha Ai az az esemény, hogy az i-vel számozott golyó az i-edik helyenvan, akkor mi az 1 − P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An) valószínuséget keressük.→ Az iménti általános szabállyal lehet P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An)-tmeghatározni!
• Határozzuk meg S1-et:Összesen n! féle sorrend lehetséges, ha az i golyó az i. helyen van,az (n − 1)! módon történhet, így
P(Ai) =(n − 1)!
n!= 1
n, → S1 = n ⋅ 1
n= 1.
¼
![Page 147: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/147.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
Példa
Tegyük fel, hogy n számozott golyót húzunk ki egy urnából. Mi avalószínusége, hogy a golyók sorrendjében egyik golyó sem a rajta lévoszámnak megfelelo helyen van?
• Ha Ai az az esemény, hogy az i-vel számozott golyó az i-edik helyenvan, akkor mi az 1 − P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An) valószínuséget keressük.→ Az iménti általános szabállyal lehet P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An)-tmeghatározni!
• Határozzuk meg S1-et:Összesen n! féle sorrend lehetséges, ha az i golyó az i. helyen van,az (n − 1)! módon történhet, így
P(Ai) =(n − 1)!
n!= 1
n, → S1 = n ⋅ 1
n= 1.
¼
![Page 148: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/148.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
Példa
• Határozzuk meg S2-t:Az, hogy pont i és j van a helyén:
P(Ai ∩ Aj) =(n − 2)!
n!= 1
n(n − 1) .
Mivel összesen (n2) féle pár van,
S2 = (n2) 1
n(n − 1) = 12!.
• Hasonló módon, a 3-as metszetekre
P(Ai ∩ Aj ∩ Ak) = (n − 3)!n!
= 1n(n − 1)(n − 2) ,
S3 = (n3) 1
n(n − 1)(n − 2) = 13!.
¼
![Page 149: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/149.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
Példa
• Határozzuk meg S2-t:Az, hogy pont i és j van a helyén:
P(Ai ∩ Aj) =(n − 2)!
n!= 1
n(n − 1) .
Mivel összesen (n2) féle pár van,
S2 = (n2) 1
n(n − 1) = 12!.
• Hasonló módon, a 3-as metszetekre
P(Ai ∩ Aj ∩ Ak) = (n − 3)!n!
= 1n(n − 1)(n − 2) ,
S3 = (n3) 1
n(n − 1)(n − 2) = 13!.
¼
![Page 150: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/150.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
Példa
• Ez alapján
P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An) = 1 − 12!+ 1
3!−⋯ + (−1)n−1 1
n!=
n
∑k=1
(−1)k−1 1k!,
és a keresett valószínuség
1 − P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An) = 1 −n
∑k=1
(−1)k−1 1k!
=n
∑k=0
(−1)k 1k!Ð→n→∞
e−1.
¼
![Page 151: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/151.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
Példa
• Ez alapján
P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An) = 1 − 12!+ 1
3!−⋯ + (−1)n−1 1
n!=
n
∑k=1
(−1)k−1 1k!,
és a keresett valószínuség
1 − P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An) = 1 −n
∑k=1
(−1)k−1 1k!
=n
∑k=0
(−1)k 1k!Ð→n→∞
e−1.
¼
![Page 152: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/152.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Határértéktételek
Határértéktételek
H I. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊃ An+1
minden n-re, valamint∞
⋂i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
H II. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊂ An+1
minden n-re, valamint∞
⋃i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
Biz.I.: Legyen Bk = Ak ∖ Ak+1. Ekkor A,B1,B2, ... páronként kizárjákegymást:
Eloszlásfüggvény ¼
![Page 153: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/153.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Határértéktételek
Határértéktételek
H I. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊃ An+1
minden n-re, valamint∞
⋂i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
H II. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊂ An+1
minden n-re, valamint∞
⋃i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
Biz.I.: Legyen Bk = Ak ∖ Ak+1. Ekkor A,B1,B2, ... páronként kizárjákegymást:
Eloszlásfüggvény ¼
![Page 154: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/154.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Határértéktételek
Határértéktételek
H I. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊃ An+1
minden n-re, valamint∞
⋂i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
H II. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊂ An+1
minden n-re, valamint∞
⋃i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
Biz.I.: Legyen Bk = Ak ∖ Ak+1. Ekkor A,B1,B2, ... páronként kizárjákegymást:
Ak−1
Eloszlásfüggvény ¼
![Page 155: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/155.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Határértéktételek
Határértéktételek
H I. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊃ An+1
minden n-re, valamint∞
⋂i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
H II. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊂ An+1
minden n-re, valamint∞
⋃i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
Biz.I.: Legyen Bk = Ak ∖ Ak+1. Ekkor A,B1,B2, ... páronként kizárjákegymást:
Ak
Eloszlásfüggvény ¼
![Page 156: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/156.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Határértéktételek
Határértéktételek
H I. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊃ An+1
minden n-re, valamint∞
⋂i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
H II. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊂ An+1
minden n-re, valamint∞
⋃i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
Biz.I.: Legyen Bk = Ak ∖ Ak+1. Ekkor A,B1,B2, ... páronként kizárjákegymást:
Ak+1
Eloszlásfüggvény ¼
![Page 157: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/157.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Határértéktételek
Határértéktételek
H I. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊃ An+1
minden n-re, valamint∞
⋂i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
H II. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊂ An+1
minden n-re, valamint∞
⋃i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
Biz.I.: Legyen Bk = Ak ∖ Ak+1. Ekkor A,B1,B2, ... páronként kizárjákegymást:
Ak+1
Ak+1Ak \
Ak−1 Ak\
Eloszlásfüggvény ¼
![Page 158: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/158.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Határértéktételek
Ez alapján
A1 = A ∪ [∞
⋃k=1
Bk] .
A K3 miatt
P(A1) = P(A) +∞
∑k=1
P(Bk) = P(A) + limn→∞
n−1
∑k=1
P(Bk).
Kihasználva, hogy P(Bk) = P(Ak) − P(Ak+1) ezt kapjuk:
P(A1) = P(A) + limn→∞
(P(A1) − P(An)) = P(A) + P(A1) − limn→∞
P(An).
Egyszerusítve P(A1)-el az állítást kapjuk vissza.
¼
![Page 159: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/159.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Határértéktételek
Ez alapján
A1 = A ∪ [∞
⋃k=1
Bk] .
A K3 miatt
P(A1) = P(A) +∞
∑k=1
P(Bk) = P(A) + limn→∞
n−1
∑k=1
P(Bk).
Kihasználva, hogy P(Bk) = P(Ak) − P(Ak+1) ezt kapjuk:
P(A1) = P(A) + limn→∞
(P(A1) − P(An)) = P(A) + P(A1) − limn→∞
P(An).
Egyszerusítve P(A1)-el az állítást kapjuk vissza.
¼
![Page 160: Valószínuségszámítás és statisztika a fizikábanpallag.web.elte.hu/valszam/Eloadas_01.pdf · Valószínuségszámítás˝ és statisztika a fizikában 2019. február 12. Technikai](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022071117/6002d329e02e2c4fa34efd7c/html5/thumbnails/160.jpg)
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Határértéktételek
Ez alapján
A1 = A ∪ [∞
⋃k=1
Bk] .
A K3 miatt
P(A1) = P(A) +∞
∑k=1
P(Bk) = P(A) + limn→∞
n−1
∑k=1
P(Bk).
Kihasználva, hogy P(Bk) = P(Ak) − P(Ak+1) ezt kapjuk:
P(A1) = P(A) + limn→∞
(P(A1) − P(An)) = P(A) + P(A1) − limn→∞
P(An).
Egyszerusítve P(A1)-el az állítást kapjuk vissza.
¼