Valószínuségszámítás és statisztika afizikában
2019. február 12.
Technikai információk
• Palla Gergely / [email protected] /ELTE TTK Biológiai Fizika Tanszék,Északi Tömb, 3.90. szobaFogadó óra: péntek, 16-18.
• Az eloadás fóliái letölthetok innen:https://pallag.web.elte.hu/valszam/
• Az eloadás fóliái felkerülnek a kurzus moodle oldalára is.
Jegyszerzés
• A tárgyból C típusú kollokviumut hírdetünk meg, ami azt jelenti,hogy az évközi munkával lehet jegyet szerezni, ami egyben agyakorlati és a vizsgajegy.
• Beadandó feladatsorok:
• Rutin feladatsorok: 5 x 20 pont.• Gyakorló feladatsorok: 2 x 50 pont.• Verseny feladatsor: 1 x 200 pont.
• Bónusz/malusz pontok:
v = x [1 + b(1 − p)] (1 − d5)
• x a feladatra kapott alappontszám• p a hallgatók adott feladatra kapott összpontszáma osztva ennek
maximálisan lehetséges értékével• b bónusz faktor, (rutin esetén b = 0, gyakorló esetén b = 1, verseny
esetén b = 2).• d a késés napokban mérve• v a végso pontszám
Jegyszerzés
• Ponthatárok:200 - jeles170 - 199 jó130 - 169 közepes100 - 129 elégséges0 - 99 elégtelen
• Utóvizsga:
• 2 beugró feladat,• egy tétel szóban,• további 4 feladat
megoldása.
• Határidok:1. rutin sor feb.26.2. rutin sor márc.12.3. rutin sor márc.26.1. gyak. sor márc.294. rutin sor ápr.9.5. rutin sor ápr.30.2. gyak. sor máj.10.verseny sor máj.10.
Jegyszerzés
• A beadandó feladatsorok elérhetosége:
• A rutin sorok letolthetok innen:https://pallag.web.elte.hu/valszam/
valamint a kurzus moodle oldaláról.
• A gyakorló sorokat egy online rendszerben kell megoldani:https://hal.hu/valszam/
• A versenyfeladatok letölthetok innen:https://pallag.web.elte.hu/valszam/
https://hal.hu/valszam/
valamint a kurzus moodle oldaláról.
• FONTOS! A félév végén a beadott házik alapján ellenorzo ZH-tiratunk, ahol mindenki egy véletlenszeruen összeállított kérdéssortkap a beadott megoldásai alapján. Ha nem sikerül egy feladatmegoldását legalább a beadott munka szintjén reprodukálni, akkorannak a sornak a pontszáma elvész, amiben a feladat kituzésrekerült. (Emiatt célszeru a beadott munkákról másolatot készíteni,hogy legyen mibol készülni a ZH-ra).
Tematika
• Bevezetés
• Valószínuségi mezo
• Feltételes valószínuség és függetlenség
• Valószínuségi változó és eloszlás
• Eloszlások jellemzése
• Korreláció
• Nevezetes eloszlások
• Normálisból származtatott eloszlások
• Nagy számok törvényei
• Központi határeloszlás tételek
• Statisztika sokaság
• Statisztikai becslések
• Statisztikai próbák
• Regresszió
• Sztochasztikus folyamatok
Tételek
1. Véletlen események, eseménytér, muveletek eseményekkel.Gyakoriság és valószínuség, a valószínuség axiómái. Avalószínuség mértéke és tulajdonságai, a valószínuségi mezofogalma. A valószínuség klasszikus meghatározása.
2. A valószínuség alapveto összefüggései. Teljes eseményrendszer,feltételes valószínuség. A teljes valószínuség tétele, Bayes tétele.Események függetlensége.
3. A valószínuségi változó fogalma, folytonos és diszkrét változók.Valószínuségeloszlás, eloszlásfüggvény és suruségfüggvény.Valószínuségi változók és eloszlások transzformációi.
4. Együttes eloszlás és többváltozós valószínuségeloszlások.Peremeloszlás és feltételes eloszlás. Valószínuségi változókfüggetlensége. Valószínuségi változók összegének és szorzatánakeloszlása.
5. Integrális jellemzok: várható érték, szórás, magasabbmomentumok, medián, kvantilis. Feltételes várható érték. Markov-és Csebisev- egyenlotlenség, relatív szórás.
6. Generátorfüggvény és Karakterisztikus függvény. Kovariancia,korrelációs együttható.
Tételek
7. Nevezetes eloszlások: geometriai eloszlás és egyéb urna modellek,egyenletes-, binomiális-, exponenciális és Poisson–eloszlás.
8. Normális eloszlás és a normálisból származtatott eloszlások:lognormális eloszlás, χ2- és χ-eloszlás, Student- ésCauchy–eloszlás.
9. Nagy számok törvényei. Konvergencia fogalmak. A nagy számokgyenge törvényei. A Bernoulli–tétel és általánosítása. A nagyszámok eros törvényei.
10. Határeloszlás tételek: De Moivre-Laplace–tétel, a centrálishatáreloszlás tétel. Lèvi-stabil eloszlások.
11. Statisztikus sokaság, minta. Torzítatlan becslés, hatásos becslésfogalma. Empirikus eloszlás- és suruségfüggvény. Empirikusvárható érték és szórásnégyzet, korrigált empirikus szórásnégyzet.Maximum likelihood módszer.
12. Paraméterek intervallum becslései (konfidencia–intervallum,konfidencia–szint). Statisztikai próbák: u-próba, t-próba, χ2-próba,függetlenség vizsgálat. Regresszió, fokomponens analízis.
13. Sztochasztikus folyamatok. Markov-tulajdonság. Wiener-folyamat,fehér zaj. Véletlenszám generálás. A Monte-Carlo-módszer alapjai.Markov folyamatok, Fokker-Planck-egyenlet.
Ajánlott irodalom
• Prékopa András: Valószínuségelmélet
• Prékopa András: Valószínuségszámítás muszaki alkalmazásokkal,Muszaki Könyvkiadó, 1962
• Bognár J., Mogyoródi J., Prékopa A., Rényi A., Szász D.,Valószínuségszámítási feladatgyujtemény, Typotex, 2001
• Rényi Alfréd: Valószínuségszámítás, Tankönyvkiadó, 1968
• B. V. Gnedenko: The Theory of Probability, Mir Piblishers, 1976
• Paul R. Halmos: Mértékelmélet, Gondolat 1984
• B. V. Gnedenko, A. N. Kolmogorov: Független valószínuségiváltozók összegeinek határeloszlásai, Akadémiai kiadó, 1951
• Solt György: Valószínuségszámítás példatár
• Lovász László: Kombinatorikai problémák és feladatokhttps://edu.interkonyv.hu/book/2771-lovasz_laszlo_kombinatorikai_problemak_es_feladatok
• Veiter András: Probability theory with simulationshttps://edu.interkonyv.hu/book/2822-vetier_probability_theory_with_simulations
• Jaglom: Nem elemi feladatok elemi tárgyalásbanhttps://edu.interkonyv.hu/book/2713-jaglom_nem_elemi_feladatok_elemi_targyalasban
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Bevezetés
2019. február 12.
¼
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
TÖRTÉNELMI ÁTTEKINTÉS
¼
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Gerolamo Cardano (1526)
Liber de ludo aleae(Könyv a szerencsejátékokról)
¼
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Blaise Pascal és Pierre de Fermat (1654)
Blaise Pascal Pierre de Fermat
Levelezésükben tárgyalták a következo nyereményelosztási problémát:
• Tegyük fel, hogy két játékos egyforma tétet tett be a játék elején, ésegyforma eséllyel gyujtik a pontokat a játék során. A játék végén agyoztes mindent visz.
• Hogyan kell igazságosan elosztani a nyereményt (a mármegszerzett pontok függvényében), ha valamiért nem tudjákbefejezni a játékot?
¼
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
de Méré lovag feladványa
Antoine Gombaud, Chevalier de Méré, francia író,szerencsejátékos kedvenc fogadásai:
I. 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os.
II. 2 kockával dobva 24 dobásból legalább egy 6-ospár.
A II. fogadáson nagy összegeket veszített, ezért Pascalhoz fordultsegítségért. Muveiben késobb leírta az imént tárgyalt nyereményelosztási problémát is:L’honnête homme (A becsületes ember)Discours de la vraie honnêteté (Értekezés az igazi becsületességrol)
¼
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Andrej Nyikolájevics Kolmogorov (1932)
A valószínuségszámítás axiomatikusmegalapozása.(Valószínuségi mezo, valószínuségi mérték, stb.)
¼
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
PÉLDÁK A VALÓSZÍNUSÉGSZÁMÍTÁS ALKALMAZÁSITERÜLETEIRE
¼
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Szerencsejáték
Rulett, póker, lottó, kocka, stb.
¼
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Tozsde, gazdaság
Árfolyam, tozsdeindex, kamat, stb.
¼
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Biztosítás
Balesetbiztosítás, lakásbiztosítás, életbiztosítás, stb.
¼
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Meteorológia
Idojárás elorejelzés, viharok, stb.
¼
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Tömegtermelés
Minoségellenorzés, mintavételezés, stb.
¼
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Sorbanállás
Várakozási ido, sorhossz, torlódás, stb.(Internet, call center, közlekedés, stb.)
¼
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Info-kommunikáció
Kódolás, zajszurés, kódfejtés, stb.
¼
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
AZ ELOADÁSON HASZNÁLT JELÖLÉSEK
¼
Bevezetés
Történelmiáttekintés
Példák
Jelölések
Az eloadás fóliákon használt jelölések
Definíció
A fontosabb definíciók ilyen színu keretet kapnak.
Állítás, tétel
A fontosabb állítások, tételek ilyen színu keretet kapnak.
Példa
A fontosabb példák ilyen színu keretet kapnak.
Kitenkités, érdekesség, máshonnan vett állítás
Ilyen színu keretet kap:
• kitekintés más tárgyak anyaga felé, illetve más tárgyak anyagábólvett definíció, tétel, állítás,
• az itt tárgyalt anyaghoz kapcsolódó érdekesség.
Ezek a részek semmilyen formában nem kerülnek számonkérésre.¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
ESEMÉNYTÉR
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Véletlen kísérlet
Véletlen kísérlet
Definíció: A véletlen kísérlet olyan kísérlet, (folyamat), melynekkimenetelét az általunk figyelembe vett feltételek nem határozzák megegyértelmuen.
Példák
• Kockadobás, kártyahúzás, stb.
• Folyó vízállása délben, lájkolók száma a weblapon éjfélkor, stb.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Véletlen kísérlet
Véletlen kísérlet
Definíció: A véletlen kísérlet olyan kísérlet, (folyamat), melynekkimenetelét az általunk figyelembe vett feltételek nem határozzák megegyértelmuen.
Példák
• Kockadobás, kártyahúzás, stb.
• Folyó vízállása délben, lájkolók száma a weblapon éjfélkor, stb.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Véletlen kísérlet
Véletlen kísérlet
Definíció: A véletlen kísérlet olyan kísérlet, (folyamat), melynekkimenetelét az általunk figyelembe vett feltételek nem határozzák megegyértelmuen.
Példák
• Kockadobás, kártyahúzás, stb.
• Folyó vízállása délben, lájkolók száma a weblapon éjfélkor, stb.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Hiányzó okok elve
/... Be van fejezve a nagy mu, igen.A gép forog, az alkotó pihen.Évmilliókig eljár tengelyén,Míg egy kerékfogát ujítni kell. .../
(Madách Imre, Az ember tragédiája, Elso szín)
• Klasszikusan: mindennek oka van, csak nem ismerjük ezeket azokokat elég pontosan, ezért tunik egy kísérlet kimenetelevéletlennek.
• Kvantumosan: nincsenek hiányzó okok, bizonyos folyamatokvéletlenszeruek és kész.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Elemi esemény
Elemi esemény
Definíció: Valamely kísérlettel kapcsolatban a kísérlet lehetségeskimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük.
Példák
• Kockadobásnál 6 kimenetel lehetséges, kártyahúzásnál 32 (vagy52).
• Folyó vízállása cm-ben, lájkok száma. (Elvileg végtelen sokkimenetel lehetséges).
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Elemi esemény
Elemi esemény
Definíció: Valamely kísérlettel kapcsolatban a kísérlet lehetségeskimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük.
Példák
• Kockadobásnál 6 kimenetel lehetséges, kártyahúzásnál 32 (vagy52).
• Folyó vízállása cm-ben, lájkok száma. (Elvileg végtelen sokkimenetel lehetséges).
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Elemi esemény
Elemi esemény
Definíció: Valamely kísérlettel kapcsolatban a kísérlet lehetségeskimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük.
Példák
• Kockadobásnál 6 kimenetel lehetséges, kártyahúzásnál 32 (vagy52).
• Folyó vízállása cm-ben, lájkok száma. (Elvileg végtelen sokkimenetel lehetséges).
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Eseménytér
Eseménytér
Definíció: Ha a kísérlet lehetséges kimenetelei ω1, ω2, ..., ωn, akkor azelemei események összessége az eseménytér: Ω = ω1, ω2, ..., ωn .
Esemény
Definíció: Az eseménytér egy A ⊂ Ω részhalmazát eseménynek hívjuk.
• Biztos esemény: A = Ω.
• Lehetetlen esemény: A = ∅.
Példák
• Kockadobás: ω1 = 1 , ω2 = 2 , ..., ω6 = 6Ω = 1,2, . . . ,6A esemény pl. páros szám dobása: A = 2,4,6.
• Lájkok száma: 0db,1db, . . .A esemény pl.: több mint 100db.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Eseménytér
Eseménytér
Definíció: Ha a kísérlet lehetséges kimenetelei ω1, ω2, ..., ωn, akkor azelemei események összessége az eseménytér: Ω = ω1, ω2, ..., ωn .
Esemény
Definíció: Az eseménytér egy A ⊂ Ω részhalmazát eseménynek hívjuk.
• Biztos esemény: A = Ω.
• Lehetetlen esemény: A = ∅.
Példák
• Kockadobás: ω1 = 1 , ω2 = 2 , ..., ω6 = 6Ω = 1,2, . . . ,6A esemény pl. páros szám dobása: A = 2,4,6.
• Lájkok száma: 0db,1db, . . .A esemény pl.: több mint 100db.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Eseménytér
Eseménytér
Definíció: Ha a kísérlet lehetséges kimenetelei ω1, ω2, ..., ωn, akkor azelemei események összessége az eseménytér: Ω = ω1, ω2, ..., ωn .
Esemény
Definíció: Az eseménytér egy A ⊂ Ω részhalmazát eseménynek hívjuk.
• Biztos esemény: A = Ω.
• Lehetetlen esemény: A = ∅.
Példák
• Kockadobás: ω1 = 1 , ω2 = 2 , ..., ω6 = 6Ω = 1,2, . . . ,6A esemény pl. páros szám dobása: A = 2,4,6.
• Lájkok száma: 0db,1db, . . .A esemény pl.: több mint 100db.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Eseménytér
Eseménytér
Definíció: Ha a kísérlet lehetséges kimenetelei ω1, ω2, ..., ωn, akkor azelemei események összessége az eseménytér: Ω = ω1, ω2, ..., ωn .
Esemény
Definíció: Az eseménytér egy A ⊂ Ω részhalmazát eseménynek hívjuk.
• Biztos esemény: A = Ω.
• Lehetetlen esemény: A = ∅.
Példák
• Kockadobás: ω1 = 1 , ω2 = 2 , ..., ω6 = 6Ω = 1,2, . . . ,6A esemény pl. páros szám dobása: A = 2,4,6.
• Lájkok száma: 0db,1db, . . .A esemény pl.: több mint 100db.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveletek eseményekkel
Muveletek eseményekkel
A következo alap muveleteket értelmezzük az eseményeken:
• A és B közül legalább az egyik bekövetkezik (vagy): A ∪ B, A + B.
• Mind A mind B bekövetkezik (és): A ∩ B, AB.
• A nem következik be (neg.): A, Ac.
• A maga után vonja C-t: A ⊂ C.
• A bekövetkezik, de B nem: A ∖ B = A ∩ B.
ω 1
ω 9
ω 8
ω 6
ω 5
ω 2
ω 3
ω 7
ω 4
Ω
ω 0
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveletek eseményekkel
Muveletek eseményekkel
A következo alap muveleteket értelmezzük az eseményeken:
• A és B közül legalább az egyik bekövetkezik (vagy): A ∪ B, A + B.
• Mind A mind B bekövetkezik (és): A ∩ B, AB.
• A nem következik be (neg.): A, Ac.
• A maga után vonja C-t: A ⊂ C.
• A bekövetkezik, de B nem: A ∖ B = A ∩ B.
ω 1
ω 9
ω 8
ω 6
ω 5
ω 2
ω 3
ω 7
ω 4
Ω
ω 0
A¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveletek eseményekkel
Muveletek eseményekkel
A következo alap muveleteket értelmezzük az eseményeken:
• A és B közül legalább az egyik bekövetkezik (vagy): A ∪ B, A + B.
• Mind A mind B bekövetkezik (és): A ∩ B, AB.
• A nem következik be (neg.): A, Ac.
• A maga után vonja C-t: A ⊂ C.
• A bekövetkezik, de B nem: A ∖ B = A ∩ B.
ω 1
ω 9
ω 8
ω 6
ω 5
ω 2
ω 3
ω 7
ω 4
Ω
ω 0
B
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveletek eseményekkel
Muveletek eseményekkel
A következo alap muveleteket értelmezzük az eseményeken:
• A és B közül legalább az egyik bekövetkezik (vagy): A ∪ B, A + B.
• Mind A mind B bekövetkezik (és): A ∩ B, AB.
• A nem következik be (neg.): A, Ac.
• A maga után vonja C-t: A ⊂ C.
• A bekövetkezik, de B nem: A ∖ B = A ∩ B.
ω 1
ω 9
ω 8
ω 6
ω 5
ω 2
ω 3
ω 7
ω 4
Ω
ω 0
A
B
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveletek eseményekkel
Muveletek eseményekkel
A következo alap muveleteket értelmezzük az eseményeken:
• A és B közül legalább az egyik bekövetkezik (vagy): A ∪ B, A + B.
• Mind A mind B bekövetkezik (és): A ∩ B, AB.
• A nem következik be (neg.): A, Ac.
• A maga után vonja C-t: A ⊂ C.
• A bekövetkezik, de B nem: A ∖ B = A ∩ B.
ω 1
ω 9
ω 8
ω 6
ω 5
ω 2
ω 3
ω 7
ω 4
Ω
ω 0
A
B
AB
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveletek eseményekkel
Muveletek eseményekkel
A következo alap muveleteket értelmezzük az eseményeken:
• A és B közül legalább az egyik bekövetkezik (vagy): A ∪ B, A + B.
• Mind A mind B bekövetkezik (és): A ∩ B, AB.
• A nem következik be (neg.): A, Ac.
• A maga után vonja C-t: A ⊂ C.
• A bekövetkezik, de B nem: A ∖ B = A ∩ B.
Ω
ω 0
ω 1
ω 2
ω 5
ω 6
ω 4
ω 3
ω 7ω 9
ω 8
A
A¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveletek eseményekkel
Muveletek eseményekkel
A következo alap muveleteket értelmezzük az eseményeken:
• A és B közül legalább az egyik bekövetkezik (vagy): A ∪ B, A + B.
• Mind A mind B bekövetkezik (és): A ∩ B, AB.
• A nem következik be (neg.): A, Ac.
• A maga után vonja C-t: A ⊂ C.
• A bekövetkezik, de B nem: A ∖ B = A ∩ B.
ω 1
ω 9
ω 8
ω 6
ω 5
ω 2
ω 3
ω 7
ω 4
Ω
ω 0
A¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveletek eseményekkel
Muveletek eseményekkel
A következo alap muveleteket értelmezzük az eseményeken:
• A és B közül legalább az egyik bekövetkezik (vagy): A ∪ B, A + B.
• Mind A mind B bekövetkezik (és): A ∩ B, AB.
• A nem következik be (neg.): A, Ac.
• A maga után vonja C-t: A ⊂ C.
• A bekövetkezik, de B nem: A ∖ B = A ∩ B.
ω 9
ω 8
ω 6
ω 5
ω 2
ω 3
ω 7
ω 4
ω 1
Ω
ω 0
C¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveletek eseményekkel
Muveletek eseményekkel
A következo alap muveleteket értelmezzük az eseményeken:
• A és B közül legalább az egyik bekövetkezik (vagy): A ∪ B, A + B.
• Mind A mind B bekövetkezik (és): A ∩ B, AB.
• A nem következik be (neg.): A, Ac.
• A maga után vonja C-t: A ⊂ C.
• A bekövetkezik, de B nem: A ∖ B = A ∩ B.
ω 1
ω 9
ω 8
ω 6
ω 5
ω 2
ω 3
ω 7
ω 4
Ω
ω 0
A B
B
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveleti azonosságok
Muveleti azonosságok„ÉS”
• A ∩ B = B ∩ A
• A ∩ A = A
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
• A ∩ A = ∅• A ∩ ∅ = ∅• A ∩Ω = A
„VAGY”
• A ∪ B = B ∪ A
• A ∪ A = A
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
• A ∪ A = Ω
• A ∪ ∅ = A
• A ∪Ω = Ω
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)• A ∪ (A ∩ B) = A
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)• A ∩ B = A ∪ B
• A ∪ B = A ∩ B
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveleti azonosságokGyakorló példa
Ha adott egy tetszoleges A és B esemény, akkor milyen X eseményreteljesül az alábbi összefüggés?
X ∪ A ∪ X ∪ A = (A ∩ B) ∪ B
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Muveleti azonosságokGyakorló példa
Ha adott egy tetszoleges A és B esemény, akkor milyen X eseményreteljesül az alábbi összefüggés?
X ∪ A ∪ X ∪ A = (A ∩ B) ∪ B
→ Használva a muveleti azonosságokat:
(X ∪ A) ∩ (X ∪ A) = (A ∩ B) ∩ B
X ∪ (X ∩ A) ∪ (A ∩ X)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
X∩(A∪A)
∪(A ∩ A) = (A ∪ B) ∩ B
X ∪ X ∩ (A ∪ A)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
Ω
∪∅ = (A ∩ B) ∪ (B ∩ B)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
∅
X ∪ X = X = A ∩ B
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Teljes eseményrendszer
Egymást kizáró események
Definíció: A és B egymást kizáró események ha A ∩ B = ∅
Teljes eseményrendszer
Definíció: A1,A2, ...,An teljes eseményrendszert alkotnak, ha mindenk = 1, ..., n-re
a) Ak ≠ ∅,
b) Aj ∩ Ak = ∅ ha j ≠ k,
c) A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Teljes eseményrendszer
Egymást kizáró események
Definíció: A és B egymást kizáró események ha A ∩ B = ∅
Teljes eseményrendszer
Definíció: A1,A2, ...,An teljes eseményrendszert alkotnak, ha mindenk = 1, ..., n-re
a) Ak ≠ ∅,
b) Aj ∩ Ak = ∅ ha j ≠ k,
c) A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω.
Szemléltetés:Ω
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Teljes eseményrendszer
Egymást kizáró események
Definíció: A és B egymást kizáró események ha A ∩ B = ∅
Teljes eseményrendszer
Definíció: A1,A2, ...,An teljes eseményrendszert alkotnak, ha mindenk = 1, ..., n-re
a) Ak ≠ ∅,
b) Aj ∩ Ak = ∅ ha j ≠ k,
c) A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω.
Szemléltetés:
A2
A3
A4A5 A6
A1
Ω
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események és halmazok
• Az eseményeket tehát az Ω eseménytér részhalmazaivalmodellezzük, (melyek elemi eseményekbol állnak össze).
• Megfeleltetés az eseményeken értelmezett muveletek és a halmazmuveletek között:
„ÉS”, AB, ←→ metszet, A ∩ B„VAGY”, A + B ←→ unió, A ∪ B„NEM”, A ←→ komplementer, Ac
„DE NEM”, A ∖ B ←→ különbség, A ∖ B
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események és halmazok
• Az eseményeket tehát az Ω eseménytér részhalmazaivalmodellezzük, (melyek elemi eseményekbol állnak össze).
• Megfeleltetés az eseményeken értelmezett muveletek és a halmazmuveletek között:
„ÉS”, AB, ←→ metszet, A ∩ B„VAGY”, A + B ←→ unió, A ∪ B„NEM”, A ←→ komplementer, Ac
„DE NEM”, A ∖ B ←→ különbség, A ∖ B
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események és halmazok
• Az eseményeket tehát az Ω eseménytér részhalmazaivalmodellezzük, (melyek elemi eseményekbol állnak össze).
• Megfeleltetés az eseményeken értelmezett muveletek és a halmazmuveletek között:
„ÉS”, AB, ←→ metszet, A ∩ B„VAGY”, A + B ←→ unió, A ∪ B„NEM”, A ←→ komplementer, Ac
„DE NEM”, A ∖ B ←→ különbség, A ∖ B
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események és halmazok
• Az eseményeket tehát az Ω eseménytér részhalmazaivalmodellezzük, (melyek elemi eseményekbol állnak össze).
• Megfeleltetés az eseményeken értelmezett muveletek és a halmazmuveletek között:
„ÉS”, AB, ←→ metszet, A ∩ B„VAGY”, A + B ←→ unió, A ∪ B„NEM”, A ←→ komplementer, Ac
„DE NEM”, A ∖ B ←→ különbség, A ∖ B
-Mi az összes események halmaza?
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események és halmazok
• Az eseményeket tehát az Ω eseménytér részhalmazaivalmodellezzük, (melyek elemi eseményekbol állnak össze).
• Megfeleltetés az eseményeken értelmezett muveletek és a halmazmuveletek között:
„ÉS”, AB, ←→ metszet, A ∩ B„VAGY”, A + B ←→ unió, A ∪ B„NEM”, A ←→ komplementer, Ac
„DE NEM”, A ∖ B ←→ különbség, A ∖ B
-Mi az összes események halmaza?Az Ω hatványhalmaza, P(Ω).
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események és halmazok
• Az eseményeket tehát az Ω eseménytér részhalmazaivalmodellezzük, (melyek elemi eseményekbol állnak össze).
• Megfeleltetés az eseményeken értelmezett muveletek és a halmazmuveletek között:
„ÉS”, AB, ←→ metszet, A ∩ B„VAGY”, A + B ←→ unió, A ∪ B„NEM”, A ←→ komplementer, Ac
„DE NEM”, A ∖ B ←→ különbség, A ∖ B
-Mi az összes események halmaza?Az Ω hatványhalmaza, P(Ω).
-Ha az elemi események száma n, mennyi az összesesemények száma?
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események és halmazok
• Az eseményeket tehát az Ω eseménytér részhalmazaivalmodellezzük, (melyek elemi eseményekbol állnak össze).
• Megfeleltetés az eseményeken értelmezett muveletek és a halmazmuveletek között:
„ÉS”, AB, ←→ metszet, A ∩ B„VAGY”, A + B ←→ unió, A ∪ B„NEM”, A ←→ komplementer, Ac
„DE NEM”, A ∖ B ←→ különbség, A ∖ B
-Mi az összes események halmaza?Az Ω hatványhalmaza, P(Ω).
-Ha az elemi események száma n, mennyi az összesesemények száma? 2n
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események és halmazok
• Az eseményeket tehát az Ω eseménytér részhalmazaivalmodellezzük, (melyek elemi eseményekbol állnak össze).
• Megfeleltetés az eseményeken értelmezett muveletek és a halmazmuveletek között:
„ÉS”, AB, ←→ metszet, A ∩ B„VAGY”, A + B ←→ unió, A ∪ B„NEM”, A ←→ komplementer, Ac
„DE NEM”, A ∖ B ←→ különbség, A ∖ B
-Mi az összes események halmaza?Az Ω hatványhalmaza, P(Ω).
-Ha az elemi események száma n, mennyi az összesesemények száma? 2n
-Vajon P(Ω) zárt a fenti muveletekre nézve?
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események és halmazok
• Az eseményeket tehát az Ω eseménytér részhalmazaivalmodellezzük, (melyek elemi eseményekbol állnak össze).
• Megfeleltetés az eseményeken értelmezett muveletek és a halmazmuveletek között:
„ÉS”, AB, ←→ metszet, A ∩ B„VAGY”, A + B ←→ unió, A ∪ B„NEM”, A ←→ komplementer, Ac
„DE NEM”, A ∖ B ←→ különbség, A ∖ B
-Mi az összes események halmaza?Az Ω hatványhalmaza, P(Ω).
-Ha az elemi események száma n, mennyi az összesesemények száma? 2n
-Vajon P(Ω) zárt a fenti muveletekre nézve?Igen, szerencsére egy σ-algebrát alkot.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Halmazgyuru
Halmazgyuru
R halmazgyuru, ha minden E,F ∈R esetén
a) E ∪ F ∈R,
b) E ∖ F ∈R, azaz az unió és különbség muveletekre nézve zárt.
Következmény:
• Mivel E ∩ F = F ∖ (F ∖ E), a metszetre nézve is zárt.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Halmazgyuru
Halmazgyuru
R halmazgyuru, ha minden E,F ∈R esetén
a) E ∪ F ∈R,
b) E ∖ F ∈R, azaz az unió és különbség muveletekre nézve zárt.
Következmény:
• Mivel E ∩ F = F ∖ (F ∖ E), a metszetre nézve is zárt.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Halmazalgebra
Halmazalgebra
A halmazalgebra, ha
a) E,F ∈ A esetén E ∪ F ∈ A,
b) E ∈ A esetén Ec ∈ A,
azaz az unió és komplementer muveletekre nézve zárt.
Következmény:
• Mivel E ∖ F = E ∩ Fc = (Ec ∪ F)c, a különbségre nézve is zárt.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Halmazalgebra
Halmazalgebra
A halmazalgebra, ha
a) E,F ∈ A esetén E ∪ F ∈ A,
b) E ∈ A esetén Ec ∈ A,
azaz az unió és komplementer muveletekre nézve zárt.
Következmény:
• Mivel E ∖ F = E ∩ Fc = (Ec ∪ F)c, a különbségre nézve is zárt.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
σ-gyuru, σ-algebra
σ-gyuru
R σ-gyuru, ha
a) E,F ∈R esetén E ∖ F ∈R,
b) Ei, i = 1, 2, ... esetén∞
⋃i=1
Ei ∈R,
σ-algebra
A σ-algebra, ha
a) E ∈ A esetén Ec ∈ A,
b) Ei, i = 1, 2, ... esetén∞
⋃i=1
Ei ∈ A,
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
σ-gyuru, σ-algebra
σ-gyuru
R σ-gyuru, ha
a) E,F ∈R esetén E ∖ F ∈R,
b) Ei, i = 1, 2, ... esetén∞
⋃i=1
Ei ∈R,
σ-algebra
A σ-algebra, ha
a) E ∈ A esetén Ec ∈ A,
b) Ei, i = 1, 2, ... esetén∞
⋃i=1
Ei ∈ A,
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
EseménytérÖsszefoglalás
• A véletlen kísérlet lehetséges kimenetelei az elemi események,ezek halmaza az Ω eseménytér.
• Az összes esemény halmaza az Ω hatványhalmaza, P(Ω).
• A P(Ω) egy σ-algebrát alkot, azaz zárt a „VAGY” (unió), „ÉS”(metszet), „NEM” (komplementer) és „DE NEM” (különbség)muveletekre.
OK, de mi az események VALÓSZÍNUSÉGE?
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
EseménytérÖsszefoglalás
• A véletlen kísérlet lehetséges kimenetelei az elemi események,ezek halmaza az Ω eseménytér.
• Az összes esemény halmaza az Ω hatványhalmaza, P(Ω).
• A P(Ω) egy σ-algebrát alkot, azaz zárt a „VAGY” (unió), „ÉS”(metszet), „NEM” (komplementer) és „DE NEM” (különbség)muveletekre.
OK, de mi az események VALÓSZÍNUSÉGE?
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
HatárértékekVALÓSZÍNUSÉG
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Relatív gyakoriság
• Egy kísérletet egymástól függetlenül megismételhetünk többször is.Pl:
• kockadobás,• folyó vízállásának mérése évrol évre ugyanazon a napon,• stb.
→ Ha adott A esemény (pl. páros dobás) bekövetkezéseinek száma kA
és összesen n kísérlet volt, akkor A relatív gyakorisága kA/n.
• Hogyan néz ki a relatív gyakoriság n függvényében?
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Relatív gyakoriság
• Egy kísérletet egymástól függetlenül megismételhetünk többször is.Pl:
• kockadobás,• folyó vízállásának mérése évrol évre ugyanazon a napon,• stb.
→ Ha adott A esemény (pl. páros dobás) bekövetkezéseinek száma kA
és összesen n kísérlet volt, akkor A relatív gyakorisága kA/n.
• Hogyan néz ki a relatív gyakoriság n függvényében?
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Relatív gyakoriság
• Egy kísérletet egymástól függetlenül megismételhetünk többször is.Pl:
• kockadobás,• folyó vízállásának mérése évrol évre ugyanazon a napon,• stb.
→ Ha adott A esemény (pl. páros dobás) bekövetkezéseinek száma kA
és összesen n kísérlet volt, akkor A relatív gyakorisága kA/n.
• Hogyan néz ki a relatív gyakoriság n függvényében?
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Relatív gyakoriság
• Egy kísérletet egymástól függetlenül megismételhetünk többször is.Pl:
• kockadobás,• folyó vízállásának mérése évrol évre ugyanazon a napon,• stb.
→ Ha adott A esemény (pl. páros dobás) bekövetkezéseinek száma kA
és összesen n kísérlet volt, akkor A relatív gyakorisága kA/n.
• Hogyan néz ki a relatív gyakoriság n függvényében?
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Relatív gyakoriság
• Egy kísérletet egymástól függetlenül megismételhetünk többször is.Pl:
• kockadobás,• folyó vízállásának mérése évrol évre ugyanazon a napon,• stb.
→ Ha adott A esemény (pl. páros dobás) bekövetkezéseinek száma kA
és összesen n kísérlet volt, akkor A relatív gyakorisága kA/n.
• Hogyan néz ki a relatív gyakoriság n függvényében?
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Relatív gyakoriság
• Egy kísérletet egymástól függetlenül megismételhetünk többször is.Pl:
• kockadobás,• folyó vízállásának mérése évrol évre ugyanazon a napon,• stb.
→ Ha adott A esemény (pl. páros dobás) bekövetkezéseinek száma kA
és összesen n kísérlet volt, akkor A relatív gyakorisága kA/n.
• Hogyan néz ki a relatív gyakoriság n függvényében?
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Nagy számok törvénye
kn
n
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 10 100 1000 10000 100000
• A relatív gyakoriság n függvényében egy ingadozó függvény.
• Az ingadozások mértéke azonban csökken n-el, és elég nagy n-re afüggvény „ráhúzódik” egy jól meghatározott értékre.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Nagy számok törvénye
kn
n
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 10 100 1000 10000 100000
• A relatív gyakoriság n függvényében egy ingadozó függvény.
• Az ingadozások mértéke azonban csökken n-el, és elég nagy n-re afüggvény „ráhúzódik” egy jól meghatározott értékre.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Nagy számok törvénye
kn
n
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1 10 100 1000 10000 100000
• A relatív gyakoriság n függvényében egy ingadozó függvény.
• Az ingadozások mértéke azonban csökken n-el, és elég nagy n-re afüggvény „ráhúzódik” egy jól meghatározott értékre.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Mi a valószínuség?(Klasszikusan)
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Mi a valószínuség?(Klasszikusan)
„A valószínuség az eseményekhez rendelt szám, amely körül az adottesemény bekövetkezésének relatív gyakorisága ingadozik.”
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség
A valószínuség klasszikus definíciója
• Véges eseménytér.
• Minden elemi esemény egyforma gyakorisággal következik be.
• Adott A esemény valószínusége:
P(A) ≡ kedvezo esetek számaösszes esetek száma
,
(ahol a „kedvezo esetek száma” az A-ban foglalt elemi eseményekszáma.)
Példa
• Páros dobás valószínusége kockadobás esetén:
P = ∣2, 4, 6∣∣1, 2, 3, 4, 5, 6∣ =
36= 1
2.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség
A valószínuség klasszikus definíciója
• Véges eseménytér.
• Minden elemi esemény egyforma gyakorisággal következik be.
• Adott A esemény valószínusége:
P(A) ≡ kedvezo esetek számaösszes esetek száma
,
(ahol a „kedvezo esetek száma” az A-ban foglalt elemi eseményekszáma.)
Példa
• Páros dobás valószínusége kockadobás esetén:
P = ∣2, 4, 6∣∣1, 2, 3, 4, 5, 6∣ =
36= 1
2.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség
A valószínuség klasszikus definíciója
• Véges eseménytér.
• Minden elemi esemény egyforma gyakorisággal következik be.
• Adott A esemény valószínusége:
P(A) ≡ kedvezo esetek számaösszes esetek száma
,
(ahol a „kedvezo esetek száma” az A-ban foglalt elemi eseményekszáma.)
Példa
• Páros dobás valószínusége kockadobás esetén:
P = ∣2, 4, 6∣∣1, 2, 3, 4, 5, 6∣ =
36= 1
2.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség
A valószínuség klasszikus definíciója
• Véges eseménytér.
• Minden elemi esemény egyforma gyakorisággal következik be.
• Adott A esemény valószínusége:
P(A) ≡ kedvezo esetek számaösszes esetek száma
,
(ahol a „kedvezo esetek száma” az A-ban foglalt elemi eseményekszáma.)
Példa
• Páros dobás valószínusége kockadobás esetén:
P = ∣2, 4, 6∣∣1, 2, 3, 4, 5, 6∣ =
36= 1
2.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
de Méré lovag feladványa
• 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os:
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
de Méré lovag feladványa
• 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os:
• Összes eset: 64.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
de Méré lovag feladványa
• 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os:
• Összes eset: 64.
• Azon esetek, amikor nincs 6-os: 54.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
de Méré lovag feladványa
• 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os:
• Összes eset: 64.
• Azon esetek, amikor nincs 6-os: 54.
• Ezért P = 64−54
64 ≃ 0.5177.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
de Méré lovag feladványa
• 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os:
• Összes eset: 64.
• Azon esetek, amikor nincs 6-os: 54.
• Ezért P = 64−54
64 ≃ 0.5177.
• 2 kockával dobva 24 dobásból legalább egy 6-os pár:
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
de Méré lovag feladványa
• 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os:
• Összes eset: 64.
• Azon esetek, amikor nincs 6-os: 54.
• Ezért P = 64−54
64 ≃ 0.5177.
• 2 kockával dobva 24 dobásból legalább egy 6-os pár:
• Összes eset: 3624
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
de Méré lovag feladványa
• 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os:
• Összes eset: 64.
• Azon esetek, amikor nincs 6-os: 54.
• Ezért P = 64−54
64 ≃ 0.5177.
• 2 kockával dobva 24 dobásból legalább egy 6-os pár:
• Összes eset: 3624
• Azon esetek, amikor nincs 6-os pár: 3524.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
de Méré lovag feladványa
• 1 kockával dobva 4 dobásból legalább egy 6-os:
• Összes eset: 64.
• Azon esetek, amikor nincs 6-os: 54.
• Ezért P = 64−54
64 ≃ 0.5177.
• 2 kockával dobva 24 dobásból legalább egy 6-os pár:
• Összes eset: 3624
• Azon esetek, amikor nincs 6-os pár: 3524.
• Ezért P = 3624−3524
3624 ≃ 0.4914.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Bolyongás számegyenesen:
−3 −2 3210−1
Az origóból indulva n lépést megtéve mi a valószínusége, hogy pontk-ban leszünk?
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Bolyongás számegyenesen:
−3 −2 3210−1
Az origóból indulva n lépést megtéve mi a valószínusége, hogy pontk-ban leszünk?
• pk = p−k; legyen k ⩾ 0
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Bolyongás számegyenesen:
−3 −2 3210−1
Az origóból indulva n lépést megtéve mi a valószínusége, hogy pontk-ban leszünk?
• pk = p−k; legyen k ⩾ 0
• k + n−k2 = n+k
2 jobbra, n−k2 balra n közül,
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Bolyongás számegyenesen:
−3 −2 3210−1
Az origóból indulva n lépést megtéve mi a valószínusége, hogy pontk-ban leszünk?
• pk = p−k; legyen k ⩾ 0
• k + n−k2 = n+k
2 jobbra, n−k2 balra n közül,
• ( nn−k
2) féle módon választható ki. Ezért pk = 1
2n ( nn−k
2)
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
Ha a golyók megkülönböztethetoek:
1 2 3 4 n
0 1 2 3 N
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
Ha a golyók megkülönböztethetoek:
1 2 3 4 n
0 1 2 3 N
a) összes eset: Nn, egy leosztás: n!k1!k2!⋯kN !
, tehátP(n1 = k1, n2 = k2, . . . , nN = kN) = n!
k1!k2!⋯kN !1
Nn (Maxwell-Boltzmann).
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
Ha a golyók megkülönböztethetoek:
1 2 3 4 n
0 1 2 3 N
a) összes eset: Nn, egy leosztás: n!k1!k2!⋯kN !
, tehátP(n1 = k1, n2 = k2, . . . , nN = kN) = n!
k1!k2!⋯kN !1
Nn (Maxwell-Boltzmann).
b) P(ni = k) = 1Nk (1 − 1
N )n−k (nk)
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
És ha a golyók megkülönbözhetetlenek (pl. atomok)?
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
És ha a golyók megkülönbözhetetlenek (pl. atomok)?
0 N
n
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
És ha a golyók megkülönbözhetetlenek (pl. atomok)?
0 N
n
a) összes eset: (N+n−1n ), ezért
P(n1 = k1, n2 = k2, . . . , nN = kn) = 1(
N+n−1n )
= n!(N−1)!(n+N−1)! (Bose-Einstein).
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
És ha a golyók megkülönbözhetetlenek (pl. atomok)?
0 N
n
a) összes eset: (N+n−1n ), ezért
P(n1 = k1, n2 = k2, . . . , nN = kn) = 1(
N+n−1n )
= n!(N−1)!(n+N−1)! (Bose-Einstein).
b) N − 1 cellába kell n − k-t szétosztani: P(ni = k) = (N+n−k−2
n−k )
(N+n−1
n ).
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
És ha a golyók megkülönbözhetetlenek és 1 cellában egyszerremax. csak 1 lehet?
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
És ha a golyók megkülönbözhetetlenek és 1 cellában egyszerremax. csak 1 lehet?
a) összes eset (Nn), tehát P(n1 = k1, n2 = k2, . . . , nN = kn) = 1
(Nn)
(Fermi-Dirac).
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Klasszikus valószínuség számításakombinatorikusan
Statisztikus Fizikában fontosak az ún. betöltési problémák:
• n golyót (könyvet, atomot, stb.) szétosztunk N dobozba (polcra,cellába, stb.).
a) Mi a valószínusége, hogy az 1. dobozban k1 golyó, a 2.-ban k2, ...,N.-ben kN lesz?
b) Mi a valószínusége, hogy egy kiválasztott dobozban k darab golyólesz?
És ha a golyók megkülönbözhetetlenek és 1 cellában egyszerremax. csak 1 lehet?
a) összes eset (Nn), tehát P(n1 = k1, n2 = k2, . . . , nN = kn) = 1
(Nn)
(Fermi-Dirac).
b) P(ni = 0) = 1 − nN , P(ni = 1) = n
N .
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Mi a helyzet, ha az eseménytér nem véges?
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Mi a helyzet, ha az eseménytér nem véges?
→ Relatív gyakoriságokat ilyenkor is lehet mérni.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A relatív gyakoriság tulajdonságai
• A relatív gyakoriság nem negatív és maximum 1: 0 ≤ kA/n ≤ 1
• A biztos esemény relatív gyakorisága 1: kΩ/n = 1.
• Ha A és B egymást kizáró események akkor kA+B/n = kA/n + kB/n.
A valószínuség axiómáit ezen tulajdonságok alapján állítjuk fel.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A relatív gyakoriság tulajdonságai
• A relatív gyakoriság nem negatív és maximum 1: 0 ≤ kA/n ≤ 1
• A biztos esemény relatív gyakorisága 1: kΩ/n = 1.
• Ha A és B egymást kizáró események akkor kA+B/n = kA/n + kB/n.
A valószínuség axiómáit ezen tulajdonságok alapján állítjuk fel.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A relatív gyakoriság tulajdonságai
• A relatív gyakoriság nem negatív és maximum 1: 0 ≤ kA/n ≤ 1
• A biztos esemény relatív gyakorisága 1: kΩ/n = 1.
• Ha A és B egymást kizáró események akkor kA+B/n = kA/n + kB/n.
A valószínuség axiómáit ezen tulajdonságok alapján állítjuk fel.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A relatív gyakoriság tulajdonságai
• A relatív gyakoriság nem negatív és maximum 1: 0 ≤ kA/n ≤ 1
• A biztos esemény relatív gyakorisága 1: kΩ/n = 1.
• Ha A és B egymást kizáró események akkor kA+B/n = kA/n + kB/n.
A valószínuség axiómáit ezen tulajdonságok alapján állítjuk fel.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A valószínuség axiómái (Kolmogorov)
A valószínuség axiómái
Ha adott egy Ω eseménytér, akkor az Ω részhalmazain értelmezett P(A)függvényt valószínuségnek nevezzük, ha
K1 0 ≤ P(A) ≤ 1 ∀A ⊂ Ω,
K2 P(Ω) = 1,
K3 Ha A1,A2, ... véges- vagy végtelen számú, páronként egymástkizáró események, akkor
P(⋃k
Ak) =∑k
P(Ak).
• Ezek alapján a P nem más, mint egy mérték az eseményekσ-algebráján.
• A P-t hívjuk valószínuségeloszlásnak, vagy rövidenvalószínuségnek.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A valószínuség axiómái (Kolmogorov)
A valószínuség axiómái
Ha adott egy Ω eseménytér, akkor az Ω részhalmazain értelmezett P(A)függvényt valószínuségnek nevezzük, ha
K1 0 ≤ P(A) ≤ 1 ∀A ⊂ Ω,
K2 P(Ω) = 1,
K3 Ha A1,A2, ... véges- vagy végtelen számú, páronként egymástkizáró események, akkor
P(⋃k
Ak) =∑k
P(Ak).
• Ezek alapján a P nem más, mint egy mérték az eseményekσ-algebráján.
• A P-t hívjuk valószínuségeloszlásnak, vagy rövidenvalószínuségnek.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A valószínuség axiómái (Kolmogorov)
A valószínuség axiómái
Ha adott egy Ω eseménytér, akkor az Ω részhalmazain értelmezett P(A)függvényt valószínuségnek nevezzük, ha
K1 0 ≤ P(A) ≤ 1 ∀A ⊂ Ω,
K2 P(Ω) = 1,
K3 Ha A1,A2, ... véges- vagy végtelen számú, páronként egymástkizáró események, akkor
P(⋃k
Ak) =∑k
P(Ak).
• Ezek alapján a P nem más, mint egy mérték az eseményekσ-algebráján.
• A P-t hívjuk valószínuségeloszlásnak, vagy rövidenvalószínuségnek.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A valószínuség axiómái (Kolmogorov)
A valószínuség axiómái
Ha adott egy Ω eseménytér, akkor az Ω részhalmazain értelmezett P(A)függvényt valószínuségnek nevezzük, ha
K1 0 ≤ P(A) ≤ 1 ∀A ⊂ Ω,
K2 P(Ω) = 1,
K3 Ha A1,A2, ... véges- vagy végtelen számú, páronként egymástkizáró események, akkor
P(⋃k
Ak) =∑k
P(Ak).
• Ezek alapján a P nem más, mint egy mérték az eseményekσ-algebráján.
• A P-t hívjuk valószínuségeloszlásnak, vagy rövidenvalószínuségnek.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A valószínuség axiómái (Kolmogorov)
A valószínuség axiómái
Ha adott egy Ω eseménytér, akkor az Ω részhalmazain értelmezett P(A)függvényt valószínuségnek nevezzük, ha
K1 0 ≤ P(A) ≤ 1 ∀A ⊂ Ω,
K2 P(Ω) = 1,
K3 Ha A1,A2, ... véges- vagy végtelen számú, páronként egymástkizáró események, akkor
P(⋃k
Ak) =∑k
P(Ak).
• Ezek alapján a P nem más, mint egy mérték az eseményekσ-algebráján.
• A P-t hívjuk valószínuségeloszlásnak, vagy rövidenvalószínuségnek.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Valószínuségi mezo
Valószínuségi mezo
Definíció: Az (Ω,A,P) hármas Kolmogorov-féle valószínuségi mezo, ha
• Ω az elemi események halmaza,
• A az események σ-algebrája Ω felett,
• P az A-n értelmezett (valószínuségi) mérték, melyre P(Ω) = 1.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A valószínuség meghatározása geometriaimódszerekkel
Ω geometriai alakzat (egyenes,görbe, sík, tér egy tartománya) minthalmaz egy A részhalmazánakvéletlen kiválasztása.
P(A) = µ(A)µ(Ω) .
Pl. Tegyük fel, hogy véletlenszeruen választunk két pontot a [0, d]intervallumban. Mi a valószínusége, hogy a kapott három szakaszbólháromszög szerkesztheto?
0 d
x y
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A valószínuség meghatározása geometriaimódszerekkel
• Ha x < y: x, y − x, d − y
x + (y − x) > d − y ⇒ y > d/2x + (d − y) > y − x ⇒ y < x + d/2
(y − x) + (d − y) > x ⇒ x < d/2
• Ha y < x: y, x − y, d − x
y + (x − y) > d − x ⇒ x > d/2y + (d − x) > x − y ⇒ x < y + d/2
(x − y) + (d − x) > y ⇒ y < d/2
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A valószínuség meghatározása geometriaimódszerekkel
• Ha x < y: x, y − x, d − y
x + (y − x) > d − y ⇒ y > d/2x + (d − y) > y − x ⇒ y < x + d/2
(y − x) + (d − y) > x ⇒ x < d/2
• Ha y < x: y, x − y, d − x
y + (x − y) > d − x ⇒ x > d/2y + (d − x) > x − y ⇒ x < y + d/2
(x − y) + (d − x) > y ⇒ y < d/2
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A valószínuség meghatározása geometriaimódszerekkel
• Ha x < y: x, y − x, d − y
x + (y − x) > d − y ⇒ y > d/2x + (d − y) > y − x ⇒ y < x + d/2
(y − x) + (d − y) > x ⇒ x < d/2
• Ha y < x: y, x − y, d − x
y + (x − y) > d − x ⇒ x > d/2y + (d − x) > x − y ⇒ x < y + d/2
(x − y) + (d − x) > y ⇒ y < d/2
d/2
d/2
d
d
x
y
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A VALÓSZÍNUSÉG ALAPVETO ÖSSZEFÜGGÉSEI
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A lehetetlen esemény
Mi a lehetetlen esemény valószínusége?
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
A lehetetlen esemény
Mi a lehetetlen esemény valószínusége?
A lehetetlen esemény valószínusége 0.
A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅P(A) = P(A ∪ ∅) =
K3P(A) + P(∅)
P(∅) = 0
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Teljes eseményrendszer
Egy A1,A2, ...,An teljes eseményrendszerre ⋃i P(Ai) = 1.
• Ha teljes eseményrendszert alkotnak, akkor Ai ∩Ak = ∅, és ⋃i Ai = Ω.
• Mivel P(Ω) = 1, a (K3) miatt ∑i P(Ai) = 1.
Következmény a komplementer esemény valószínuségére vonatkozóan:
Az A valószínusége P(A) = 1 − P(A).
(A és A együtt egy teljes eseményrendszert alkotnak)
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Teljes eseményrendszer
Egy A1,A2, ...,An teljes eseményrendszerre ⋃i P(Ai) = 1.
• Ha teljes eseményrendszert alkotnak, akkor Ai ∩Ak = ∅, és ⋃i Ai = Ω.
• Mivel P(Ω) = 1, a (K3) miatt ∑i P(Ai) = 1.
Következmény a komplementer esemény valószínuségére vonatkozóan:
Az A valószínusége P(A) = 1 − P(A).
(A és A együtt egy teljes eseményrendszert alkotnak)
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Teljes eseményrendszer
Egy A1,A2, ...,An teljes eseményrendszerre ⋃i P(Ai) = 1.
• Ha teljes eseményrendszert alkotnak, akkor Ai ∩Ak = ∅, és ⋃i Ai = Ω.
• Mivel P(Ω) = 1, a (K3) miatt ∑i P(Ai) = 1.
Következmény a komplementer esemény valószínuségére vonatkozóan:
Az A valószínusége P(A) = 1 − P(A).
(A és A együtt egy teljes eseményrendszert alkotnak)
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események uniójának (összegének)valószínusége
Részhalmaz valószínusége
Ha A maga után vonja B-t, azaz A ⊂ B, akkor P(B ∖ A) = P(B) − P(A).
• Mivel A ⊂ B, a B-t felírhatjuk így is: B = A ∪ (B ∖ A).
• Mivel A ∩ (B ∖ A) = ∅, a (K3) miatt P(B) = P(A) + P(B ∖ A).
Események uniójának valószínusége
Bármely tetszoleges A és B eseményreP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Mivel A ∪ B = A ∪ (B ∖ (A ∩ B)) és A ∩ (B ∖ (A ∩ B)) = ∅, a (K3) miattP(A ∪ B) = P(A) + P[B ∖ (A ∩ B)].
• Mivel (A ∩ B) ⊂ B, az elozo állítás szerintP[B ∖ (A ∩ B)] = P(B) − P(A ∩ B), ezt behelyettesítve a fenti állításrajutunk.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események uniójának (összegének)valószínusége
Részhalmaz valószínusége
Ha A maga után vonja B-t, azaz A ⊂ B, akkor P(B ∖ A) = P(B) − P(A).
• Mivel A ⊂ B, a B-t felírhatjuk így is: B = A ∪ (B ∖ A).
• Mivel A ∩ (B ∖ A) = ∅, a (K3) miatt P(B) = P(A) + P(B ∖ A).
Események uniójának valószínusége
Bármely tetszoleges A és B eseményreP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Mivel A ∪ B = A ∪ (B ∖ (A ∩ B)) és A ∩ (B ∖ (A ∩ B)) = ∅, a (K3) miattP(A ∪ B) = P(A) + P[B ∖ (A ∩ B)].
• Mivel (A ∩ B) ⊂ B, az elozo állítás szerintP[B ∖ (A ∩ B)] = P(B) − P(A ∩ B), ezt behelyettesítve a fenti állításrajutunk.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események uniójának (összegének)valószínusége
Részhalmaz valószínusége
Ha A maga után vonja B-t, azaz A ⊂ B, akkor P(B ∖ A) = P(B) − P(A).
• Mivel A ⊂ B, a B-t felírhatjuk így is: B = A ∪ (B ∖ A).
• Mivel A ∩ (B ∖ A) = ∅, a (K3) miatt P(B) = P(A) + P(B ∖ A).
Események uniójának valószínusége
Bármely tetszoleges A és B eseményreP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Mivel A ∪ B = A ∪ (B ∖ (A ∩ B)) és A ∩ (B ∖ (A ∩ B)) = ∅, a (K3) miattP(A ∪ B) = P(A) + P[B ∖ (A ∩ B)].
• Mivel (A ∩ B) ⊂ B, az elozo állítás szerintP[B ∖ (A ∩ B)] = P(B) − P(A ∩ B), ezt behelyettesítve a fenti állításrajutunk.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események uniójának (összegének)valószínusége
Részhalmaz valószínusége
Ha A maga után vonja B-t, azaz A ⊂ B, akkor P(B ∖ A) = P(B) − P(A).
• Mivel A ⊂ B, a B-t felírhatjuk így is: B = A ∪ (B ∖ A).
• Mivel A ∩ (B ∖ A) = ∅, a (K3) miatt P(B) = P(A) + P(B ∖ A).
Események uniójának valószínusége
Bármely tetszoleges A és B eseményreP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Mivel A ∪ B = A ∪ (B ∖ (A ∩ B)) és A ∩ (B ∖ (A ∩ B)) = ∅, a (K3) miattP(A ∪ B) = P(A) + P[B ∖ (A ∩ B)].
• Mivel (A ∩ B) ⊂ B, az elozo állítás szerintP[B ∖ (A ∩ B)] = P(B) − P(A ∩ B), ezt behelyettesítve a fenti állításrajutunk.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események uniójának (összegének)valószínusége
Részhalmaz valószínusége
Ha A maga után vonja B-t, azaz A ⊂ B, akkor P(B ∖ A) = P(B) − P(A).
• Mivel A ⊂ B, a B-t felírhatjuk így is: B = A ∪ (B ∖ A).
• Mivel A ∩ (B ∖ A) = ∅, a (K3) miatt P(B) = P(A) + P(B ∖ A).
Események uniójának valószínusége
Bármely tetszoleges A és B eseményreP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Mivel A ∪ B = A ∪ (B ∖ (A ∩ B)) és A ∩ (B ∖ (A ∩ B)) = ∅, a (K3) miattP(A ∪ B) = P(A) + P[B ∖ (A ∩ B)].
• Mivel (A ∩ B) ⊂ B, az elozo állítás szerintP[B ∖ (A ∩ B)] = P(B) − P(A ∩ B), ezt behelyettesítve a fenti állításrajutunk.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események uniójának (összegének)valószínusége
Részhalmaz valószínusége
Ha A maga után vonja B-t, azaz A ⊂ B, akkor P(B ∖ A) = P(B) − P(A).
• Mivel A ⊂ B, a B-t felírhatjuk így is: B = A ∪ (B ∖ A).
• Mivel A ∩ (B ∖ A) = ∅, a (K3) miatt P(B) = P(A) + P(B ∖ A).
Események uniójának valószínusége
Bármely tetszoleges A és B eseményreP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
• Mivel A ∪ B = A ∪ (B ∖ (A ∩ B)) és A ∩ (B ∖ (A ∩ B)) = ∅, a (K3) miattP(A ∪ B) = P(A) + P[B ∖ (A ∩ B)].
• Mivel (A ∩ B) ⊂ B, az elozo állítás szerintP[B ∖ (A ∩ B)] = P(B) − P(A ∩ B), ezt behelyettesítve a fenti állításrajutunk.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események uniójának valószínusége
Szemléltetés:
A B
A B
A B
A B
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események uniójának valószínusége
• Fontos következmény:
Tetszoleges A1,A2, ...,An eseményre P(n⋃i=1
Ai) ≤n∑i=1
P(Ai).
Bizonyítás: indukcióval.
• 2 eseményre igaz. Tegyük fel, hogy n-re igaz.
P(n+1
⋃i=1
Ai) = P([n
⋃i=1
Ai] ∪ An+1) ≤
P(n
⋃i=1
Ai) + P(An+1) ≤
n
∑i=1
P(Ai) + P(An+1).
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Események uniójának valószínusége
• Fontos következmény:
Tetszoleges A1,A2, ...,An eseményre P(n⋃i=1
Ai) ≤n∑i=1
P(Ai).
Bizonyítás: indukcióval.
• 2 eseményre igaz. Tegyük fel, hogy n-re igaz.
P(n+1
⋃i=1
Ai) = P([n
⋃i=1
Ai] ∪ An+1) ≤
P(n
⋃i=1
Ai) + P(An+1) ≤
n
∑i=1
P(Ai) + P(An+1).
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Három esemény uniójának valószínusége
Három esemény uniójának valószínusége
Bármely tetszoleges A,B,C eseményekre
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C)+ P(A ∩ B ∩ C).
Bizonyítás:Alkalmazva a 2 esemény összegére vonatkozó állítást:
P(A ∪ B ∪ C) = P((A ∪ B) ∪ C) =P(A ∪ B) + P(C) − P((A ∪ B) ∩ C) =P(A) + P(B) − P(A ∩ B) + P(C) − P[(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)] =P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C)+ P((A ∩ C) ∩ (B ∩ C)
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶A∩B∩C
).
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Három esemény uniójának valószínusége
Három esemény uniójának valószínusége
Bármely tetszoleges A,B,C eseményekre
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C)+ P(A ∩ B ∩ C).
Bizonyítás:Alkalmazva a 2 esemény összegére vonatkozó állítást:
P(A ∪ B ∪ C) = P((A ∪ B) ∪ C) =P(A ∪ B) + P(C) − P((A ∪ B) ∩ C) =P(A) + P(B) − P(A ∩ B) + P(C) − P[(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)] =P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C)+ P((A ∩ C) ∩ (B ∩ C)
´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶A∩B∩C
).
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
n esemény uniójának valószínusége
A1,A2, ...,An tetszoleges esemény uniójának valószínusége:
S1 ∶=n
∑i=1
P(Ai)
S2 ∶= ∑1≤i<j≤n
P(Ai ∩ Aj)
S3 ∶= ∑1≤i<j<k≤n
P(Ai ∩ Aj ∩ Ak)
⋮Sn ∶= P(A1 ∩ A2⋯∩ An)
→ P(n
⋃i=1
Ai) = S1 − S2 + S3 − ... + (−1)n−1Sn.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
Bizonyítás: indukcióval
• Tegyük fel, hogy n-re igaz. Ilyenkor
P(A1 ∪ . . .An ∪ An+1) = P(A1 ∪ . . .An) + P(An+1)−P[(A1 ∩ An+1) ∪ ... ∪ (An ∩ An+1)]
• A jobb oldalon a II. és III. kifejezésekre alkalmazva az indukciósfeltevést a tagok összevonhatók:
SII1 + P(An+1) = SI
1
SII2 + SIII
1 = SI2
SII3 + SIII
2 = SI3
⋮SIII
n = SIn+1
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
Bizonyítás: indukcióval
• Tegyük fel, hogy n-re igaz. Ilyenkor
P(A1 ∪ . . .An ∪ An+1)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
I
= P(A1 ∪ . . .An)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
II
+P(An+1)
−P[(A1 ∩ An+1) ∪ ... ∪ (An ∩ An+1)]´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶
III
• A jobb oldalon a II. és III. kifejezésekre alkalmazva az indukciósfeltevést a tagok összevonhatók:
SII1 + P(An+1) = SI
1
SII2 + SIII
1 = SI2
SII3 + SIII
2 = SI3
⋮SIII
n = SIn+1
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
Példa
Tegyük fel, hogy n számozott golyót húzunk ki egy urnából. Mi avalószínusége, hogy a golyók sorrendjében egyik golyó sem a rajta lévoszámnak megfelelo helyen van?
• Ha Ai az az esemény, hogy az i-vel számozott golyó az i-edik helyenvan, akkor mi az 1 − P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An) valószínuséget keressük.→ Az iménti általános szabállyal lehet P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An)-tmeghatározni!
• Határozzuk meg S1-et:Összesen n! féle sorrend lehetséges, ha az i golyó az i. helyen van,az (n − 1)! módon történhet, így
P(Ai) =(n − 1)!
n!= 1
n, → S1 = n ⋅ 1
n= 1.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
Példa
Tegyük fel, hogy n számozott golyót húzunk ki egy urnából. Mi avalószínusége, hogy a golyók sorrendjében egyik golyó sem a rajta lévoszámnak megfelelo helyen van?
• Ha Ai az az esemény, hogy az i-vel számozott golyó az i-edik helyenvan, akkor mi az 1 − P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An) valószínuséget keressük.→ Az iménti általános szabállyal lehet P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An)-tmeghatározni!
• Határozzuk meg S1-et:Összesen n! féle sorrend lehetséges, ha az i golyó az i. helyen van,az (n − 1)! módon történhet, így
P(Ai) =(n − 1)!
n!= 1
n, → S1 = n ⋅ 1
n= 1.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
Példa
Tegyük fel, hogy n számozott golyót húzunk ki egy urnából. Mi avalószínusége, hogy a golyók sorrendjében egyik golyó sem a rajta lévoszámnak megfelelo helyen van?
• Ha Ai az az esemény, hogy az i-vel számozott golyó az i-edik helyenvan, akkor mi az 1 − P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An) valószínuséget keressük.→ Az iménti általános szabállyal lehet P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An)-tmeghatározni!
• Határozzuk meg S1-et:Összesen n! féle sorrend lehetséges, ha az i golyó az i. helyen van,az (n − 1)! módon történhet, így
P(Ai) =(n − 1)!
n!= 1
n, → S1 = n ⋅ 1
n= 1.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
Példa
• Határozzuk meg S2-t:Az, hogy pont i és j van a helyén:
P(Ai ∩ Aj) =(n − 2)!
n!= 1
n(n − 1) .
Mivel összesen (n2) féle pár van,
S2 = (n2) 1
n(n − 1) = 12!.
• Hasonló módon, a 3-as metszetekre
P(Ai ∩ Aj ∩ Ak) = (n − 3)!n!
= 1n(n − 1)(n − 2) ,
S3 = (n3) 1
n(n − 1)(n − 2) = 13!.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
Példa
• Határozzuk meg S2-t:Az, hogy pont i és j van a helyén:
P(Ai ∩ Aj) =(n − 2)!
n!= 1
n(n − 1) .
Mivel összesen (n2) féle pár van,
S2 = (n2) 1
n(n − 1) = 12!.
• Hasonló módon, a 3-as metszetekre
P(Ai ∩ Aj ∩ Ak) = (n − 3)!n!
= 1n(n − 1)(n − 2) ,
S3 = (n3) 1
n(n − 1)(n − 2) = 13!.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
Példa
• Ez alapján
P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An) = 1 − 12!+ 1
3!−⋯ + (−1)n−1 1
n!=
n
∑k=1
(−1)k−1 1k!,
és a keresett valószínuség
1 − P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An) = 1 −n
∑k=1
(−1)k−1 1k!
=n
∑k=0
(−1)k 1k!Ð→n→∞
e−1.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Általánosítás
Példa
• Ez alapján
P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An) = 1 − 12!+ 1
3!−⋯ + (−1)n−1 1
n!=
n
∑k=1
(−1)k−1 1k!,
és a keresett valószínuség
1 − P(A1 ∪ A2 ∪ ⋅ ⋅ ⋅ ∪ An) = 1 −n
∑k=1
(−1)k−1 1k!
=n
∑k=0
(−1)k 1k!Ð→n→∞
e−1.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Határértéktételek
Határértéktételek
H I. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊃ An+1
minden n-re, valamint∞
⋂i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
H II. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊂ An+1
minden n-re, valamint∞
⋃i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
Biz.I.: Legyen Bk = Ak ∖ Ak+1. Ekkor A,B1,B2, ... páronként kizárjákegymást:
Eloszlásfüggvény ¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Határértéktételek
Határértéktételek
H I. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊃ An+1
minden n-re, valamint∞
⋂i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
H II. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊂ An+1
minden n-re, valamint∞
⋃i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
Biz.I.: Legyen Bk = Ak ∖ Ak+1. Ekkor A,B1,B2, ... páronként kizárjákegymást:
Eloszlásfüggvény ¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Határértéktételek
Határértéktételek
H I. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊃ An+1
minden n-re, valamint∞
⋂i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
H II. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊂ An+1
minden n-re, valamint∞
⋃i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
Biz.I.: Legyen Bk = Ak ∖ Ak+1. Ekkor A,B1,B2, ... páronként kizárjákegymást:
Ak−1
Eloszlásfüggvény ¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Határértéktételek
Határértéktételek
H I. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊃ An+1
minden n-re, valamint∞
⋂i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
H II. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊂ An+1
minden n-re, valamint∞
⋃i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
Biz.I.: Legyen Bk = Ak ∖ Ak+1. Ekkor A,B1,B2, ... páronként kizárjákegymást:
Ak
Eloszlásfüggvény ¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Határértéktételek
Határértéktételek
H I. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊃ An+1
minden n-re, valamint∞
⋂i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
H II. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊂ An+1
minden n-re, valamint∞
⋃i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
Biz.I.: Legyen Bk = Ak ∖ Ak+1. Ekkor A,B1,B2, ... páronként kizárjákegymást:
Ak+1
Eloszlásfüggvény ¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Határértéktételek
Határértéktételek
H I. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊃ An+1
minden n-re, valamint∞
⋂i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
H II. Ha A1,A2, ... olyan események végtelen sorozata, hogy An ⊂ An+1
minden n-re, valamint∞
⋃i=1
Ai = A, akkor limn→∞
P(An) = P(A).
Biz.I.: Legyen Bk = Ak ∖ Ak+1. Ekkor A,B1,B2, ... páronként kizárjákegymást:
Ak+1
Ak+1Ak \
Ak−1 Ak\
Eloszlásfüggvény ¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Határértéktételek
Ez alapján
A1 = A ∪ [∞
⋃k=1
Bk] .
A K3 miatt
P(A1) = P(A) +∞
∑k=1
P(Bk) = P(A) + limn→∞
n−1
∑k=1
P(Bk).
Kihasználva, hogy P(Bk) = P(Ak) − P(Ak+1) ezt kapjuk:
P(A1) = P(A) + limn→∞
(P(A1) − P(An)) = P(A) + P(A1) − limn→∞
P(An).
Egyszerusítve P(A1)-el az állítást kapjuk vissza.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Határértéktételek
Ez alapján
A1 = A ∪ [∞
⋃k=1
Bk] .
A K3 miatt
P(A1) = P(A) +∞
∑k=1
P(Bk) = P(A) + limn→∞
n−1
∑k=1
P(Bk).
Kihasználva, hogy P(Bk) = P(Ak) − P(Ak+1) ezt kapjuk:
P(A1) = P(A) + limn→∞
(P(A1) − P(An)) = P(A) + P(A1) − limn→∞
P(An).
Egyszerusítve P(A1)-el az állítást kapjuk vissza.
¼
Valószínuségimezo
EseménytérVéletlen kísérlet
Véletlen esemény
Eseménytér
Muveletek
Teljeseseményrendszer
Eseményalgebra
ValószínuségRelatív gyakoriság
Klasszikusvalószínuség
Valószínuségi mezo
Geometriaivalószínuség
AlapösszefüggésekKomplementervalószínusége
Unió valószínusége
Határértékek
Határértéktételek
Ez alapján
A1 = A ∪ [∞
⋃k=1
Bk] .
A K3 miatt
P(A1) = P(A) +∞
∑k=1
P(Bk) = P(A) + limn→∞
n−1
∑k=1
P(Bk).
Kihasználva, hogy P(Bk) = P(Ak) − P(Ak+1) ezt kapjuk:
P(A1) = P(A) + limn→∞
(P(A1) − P(An)) = P(A) + P(A1) − limn→∞
P(An).
Egyszerusítve P(A1)-el az állítást kapjuk vissza.
¼