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VARIABLES ALEATORIAS Y FUNCIÓN DE
DISTRIBUCIÓN
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BIBLIOGRAFIA
Walpole, Ronal E., Myres, Raymond H., Myres,
Sharon L.: Probabilidad y Estadística para
Ingenieros. McGraw Hill-Interamericana.
Canavos G. Probabilidad y Estadística,
Aplicaciones y Métodos. México: Editorial Mc
Graw Hill.
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VARIABLES ALEATORIAS
En muchas situaciones, los resultados de un
fenómeno aleatorio son valores no numéricos.
Ejemplo:
Se prueban tres componentes electrónicos, y se
observa si son defectuoso o no.
S NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD
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VARIABLES ALEATORIAS
Es conveniente que los resultados de un experimento aleatorio estén expresados numéricamente poder responder a preguntas planteadas con respecto al fenómeno en estudio.
Por lo que se requiere que los resultados de la observación se registren como valores numéricos, es decir se asigne un número real a cada uno de los eventos del espacio muestral.
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VARIABLES ALEATORIAS
Ejemplo: Se prueban tres componentes
electrónicos, y se observa si son defectuosos (D)
o no (N).
Se define X: Número de componentes
defectuosos
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VARIABLE ALEATORIA
Definición
Una variable aleatoria es un función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral.
Es el conjunto de todos los posibles valores que puede tomar una variable aleatoria se denomina Rango de la Variable Aleatoria. Si una variable aleatoria se denota por entonces el rango se denota .
X :S / X s x
X
XR
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RANGO DE UNA VARIABLES ALEATORIAS
X: Número de componentes defectuosos
XR 0,1, 2, 3
Eventos de Espacio Muestral
Valores de X
NNN 0
NND 1
NDN 1
DNN 1
DDN 2
DND 2
NDD 2
DDD 3
X NNN 0
X NND X NDN X DNN 1
X DDN X DND X NDD 2
X DDD 3
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VARIABLE ALEATORIA
Ejemplos:
El resultado obtenido al lanzar un dado.
El número de personas que llegan a un local en un periodo de tiempo dado.
El número de piezas defectuosas obtenidas en una muestra de 200 unidades de un proceso productivo.
El tiempo que tardan en ser atendidas las personas que llegan a un banco.
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CLASIFICACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS
Variable Aleatoria Discreta
Si toma sólo un conjunto de valores enteros.
Ejemplos:
El número de caras en diez lanzamientos de
una moneda
Número de llamadas telefónicas por hora que
ingresan a un Call Center.
El número de camiones que llegan por hora al
Puerto del Callao
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CLASIFICACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS
Variable Aleatoria Continua
Si toma cualquier valor dentro de un conjunto o
rango de valores.
Ejemplos:
Peso de recién nacidos
Tiempo de atención en una agencia bancaria
Ingreso mensual
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VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
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FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
La Función de Probabilidad o Función de Densidad de una variable aleatoria discreta esta dado por:
La función de probabilidad asigna a valor x de la variable aleatoria X la probabilidad de que X tome el valor x.
Importante:
Xf x P X x
Xf x 0
X
X
x R
f x 1
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FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
El conjunto de pares de la forma , recibe
el nombre de Distribución de Probabilidad de la
Variable Aleatoria X.
Valores de X (Rango)
Probabilidad de que X tome el valor x
P X x
0 Xf 0 P X 0 1 8
1 Xf 1 P X 1 3 8
2 Xf 2 P X 2 3 8
3 Xf 3 P X 3 1 8
Total X X
X
R R
f x P X x 1
X 0 1 2 3
Xf x 0.125 0.375 0.375 0.125
Distribución de Probabilidad de X
Xx,f x
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FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
La asignación de probabilidades para la variable
aleatoria están en términos de las probabilidades
de los elementos del espacio muestral S.
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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Si X es una variable aleatoria discreta con función de probabilidad , entonces la Función de Distribución o Función de Distribución Acumulada esta dado por:
Expresado en términos de la función de probabilidad
Xf x
X
x a
F a P X a P X x
X X
x a
F a P X a f x
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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Para variable aleatorias discretas se cumple:
P X a 1 P X a
X XP a X b F b F a
X X XP a X b F b F a f a
P X a P X a P X a
P X a 1 P X a
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VALOR ESPERADO Y VARIANZA
Sea X es una variable aleatoria discreta con
función de probabilidad entonces:
La media o valor esperado de X es:
La varianza de X es:
X
X
x R
E X xf x
Xf x
X
2
X
x R
V X x E X f x
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VALOR ESPERADO Y VARIANZA
Ejemplo:
X: Número de componentes electrónicos
defectuosos.
X 0 1 2 3
Xf x 0.125 0.375 0.375 0.125
Distribución de Probabilidad de X
x 3
X
x 0
E X xf x
E X 0 0.125 1 0.375 2 0.375 3 0.125
E X 1.5
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VALOR ESPERADO Y VARIANZA
Ejemplo:
X: Número de componentes electrónicos
defectuosos.
X 0 1 2 3
Xf x 0.125 0.375 0.375 0.125
Distribución de Probabilidad de X
x 3
2
X
x 0
V X x E X f x
2 2
2 2
V X 0 1.5 0.125 1 1.5 0.375
2 1.5 0.375 3 1.5 0.125
V X 0.75
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VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
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FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
La Función de Probabilidad o Función de
Densidad de una variable aleatoria continua es
una función que cumple :
Xf x 0
Xf x dx 1
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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Si X es una variable aleatoria continua con
función de probabilidad , entonces la Función
de Distribución o Función de Distribución
Acumulada esta dado por:
Xf x
a
X XF a P X a f x dx
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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Ejemplo: El contenido de magnesio de una determinada aleación es una variable aleatoria dada por la siguiente función de densidad de probabilidad:
¿Cuál es la probabilidad de que una aleación tenga un contenido de magnesio entre 2.2 y 4.8?
X
x0 x 6
f x 18
0 en otro caso
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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Probabilidad de que una aleación tenga un
contenido de magnesio entre 2.2 y 4.8
Lo cual es equivalente a:
X XP 2.2 X 4.8 F 4.8 F 2.2
4.8 2.2
x xP 2.2 X 4.8 dx dx
18 18
4.8
2.2
xP 2.2 X 4.8 dx
18
P 2.2 X 4.8 0.5055
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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Para variable aleatorias continuas se cumple:
X XP a X b F b F a
P X a P X a
P X a 1 P X a
P a X b P a X b P a X b
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VALOR ESPERADO Y VARIANZA
Sea X es una variable aleatoria continua con
función de probabilidad entonces:
La media o valor esperado de X es:
La varianza de X es:
XE X xf x dx
Xf x
2
XV X x E X f x
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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Ejemplo: El contenido de magnesio de una determinada aleación es una variable aleatoria dada por la siguiente función de densidad de probabilidad:
Calcular, el valor esperado y la varianza
X
x0 x 6
f x 18
0 en otro caso
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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Valor esperado del contenido de magnesio
Varianza del contenido de magnesio
6 6 2
X
0 0
x xE X xf x dx x dx dx
18 18
E X 4
6
2 2
X
0
xV X x E X f x dx x 4 dx
18
V X 2
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PROPIEDADES DEL VALOR ESPERADO
Sea X y Y dos variables aleatorias y c una
constante real, para toda variable aleatoria se
cumple:
E X Y E X E Y
E c c
E cX cE X
E X c E X c
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PROPIEDADES DE LA VARIANZA
Sea X y Y dos variables aleatorias y c una
constante real, para toda variable aleatoria se
cumple:
V X Y V X V Y 2Cov XY
V c 0
2V cX c V X
V X c V X