Variables didactiques
et erreurs types
premier apprentissage des nombres
(maternelle/CP)
1. Lesproblèmesd’équipotence
a. Variablesdidactiques
- placesrespectivesdescollections
- organisationdesobjetsenjeu
- nombred’objetsdelacollectionderéférence
- conditionderéalisationdelatâche
2. Lesproblèmesderepérages
a. Variablesdidactiques
- naturedesboîtes:sont-ellestoutesidentiquesounon?
- modalités de repérage: peut-on désigner du doigt? Peut-on écrire sur
lesboîtes?
3. Problèmesdemodificationdequantités
a. Variablesdidactiques
- latailledesnombres
- lefaitquelesobjetssoientdisponiblesentotalité,partiellementoupas
dutout
numération décimale
1. Comparaisondesnombresentiers
a. Erreursfréquentes
- erreursdutype46>203: l’élèvecompare4et2«degauche»sansse
soucierdelavaleurqu’ilsreprésentent(4dizaineset2centimes)
- erreursdutype23<17:l’élève(auCP)n’apascomprisleplusgranddes
deuxnombres23et17,maiséchouesiildoitcoderlacomparaison
- symbolisme de la comparaison non maitrisée (signes > et <): l’élève
réussit,sionluidemanded’entourerleplusgranddesdeuxnombres23
et17,maiséchoues’ildoitcoderlacomparaison
- comparaisondesnombresàpartirdeschiffresdesunités:123<56car3
<6
2. Problèmespourécrirelasuitedesnombres
a. Erreursfréquentes(suitedesnombresdeunenun)
- après 29, l’élève écrit 39: l’élève fait «avancer de un» le chiffre des
dizainesmaispasceluidesunités
o ilaretenuquepouraugmenterde1unnombrequiseterminepar
9,onaugmentede1lechiffresituéàdroitede9sansavoirperçu
quelechiffredesunitéspasseàzéro
- après29,l’élèveécrit210:pourlui«après9ilya10»
- après310,l’élèveécrit320:ilneconsidèrepaslezérocommeunchiffre
commelesautres
3. Problèmespourplacerourepérerdesnombressurunelignegraduée
a. Erreursfréquentespourplacerlesnombres
- l’élèvenetientpascomptedupaschoisi:deunenun,dedixendix,etc.
- l’élèvenetientpascomptedesrelationsentrelesnombres
4. Apprentissagedelacorrespondanceoralchiffré
a. Erreursfréquentespourlireetécrirelesnombres
- 76traduitpar616ou6016,l’élèvetraduitcequ’ilentend/cequ’illit
o 1ercas:«soixante»appelle6et«seize»appelle16
o 2ecas:«soixante»appelle60et«seize»appelle16
- 2050traduitpar250oupar200050
o 1er cas: l’élève écrit le 2 et le 50 en ne tenant pas compte du
«mille»,qu’ilnesaitpascommentécrire
o 2ecas:écrituredechaquetermeentendu
Fractions et nombres décimaux
1. Fractionsetnombresdécimauxpourexprimerunemesure
a. Introductiondesfractionsàpartird’unebandeunité
i. Variablesdidactiques
- rapportentrelalongueurdusegmentetcelledelabandeunité(variable
principale)
- nombredebandesunitédisponiblespour l’élève, le rapportétantplus
facile à gérer lorsque les bandesdes unités peuvent êtremises bout à
bout
- possibilitédeplierlesbandesdedifférentesfaçonscarlatâcheestainsi
facilitée
- longueur de la bande unité: plus celle-ci est longue, plus les parts
obtenuesparpartageen2,3,4ou5peuventêtredistinguées lesunes
desautres
2. Désignationdesfractionsetdesnombresdécimaux
a. Désignationdesfractions
i. Erreursfréquentesdansl’écrituredesfractions
- non différenciation de 4/3 et 3/4: l’élève inverse la fonction du
dénominateuretcelledunumérateur
- impossibilitédedonnerdusensauxfractionssupérieuresà1:difficilede
concevoir ce que peut représenter 4/3 d’une tarte (qui ne peut être
découpéequ’en3tiers)
- difficultéàconcevoirque2/3=4/6:4et6>2et3donc,pourcertains
élèves,4/6>2/3
b. Désignationdesnombresdécimaux
i. Erreursfréquentesdansl’écrituredesnombresdécimaux
- confusion entre écriture décimale et écriture fractionnaire: l’écriture
fractionnaire, comme l’écriture décimale, signale seulement une
séparationentredeuxnombresentiers,d’oùl’égalité2/10:2,10
- écriture décimale conçue comme représentant deux nombres entiers
séparés par une virgule: par exemple-> 1,8 + 2,6 = 3,14: traitement
séparé des nombres entiers «avant la virgule» et ceux «après la
virgule»
- mauvaisemaîtrisedelasignificationdeschiffresd’uneécritureàvirgule
en fonctiondu rangqu’ils occupent: confusiondesmots«dizaine»et
«dixième»parexemple
- lesmotsdizaine,dixième…désignentdesrangsplusquedesvaleurs
c. comparaisondesnombresdécimaux
i. erreursrelativesàlacomparaisondenombresdécimaux
Ellessontfréquentesaucycle3:
- nonpriseencomptedelavirgule:«lenombreleplusgrandestceluiqui
estécritavecleplusdechiffres»
- les parties entières étant égales, comparaison des parties «après la
virgule»commes’ils’agissaitdenombresentiers
- toutnombrepossèdeunsuccesseur
- entreunnombreentier etunnombreécrit avecdeux chiffres après la
virgule,onnepeutplacerqu’unnombrequiaunchiffreaprèslavirgule:
parexemple3<3,1<3,09
- «plus on se déplace vers la droite, plus les chiffres ont une valeur
faible»
Addition et soustraction
1. Variablesdidactiques
- latailledesnombres,latailledeleurécart
- laconfigurationdesnombres
o lesnombres«ronds»rendentlecalculplusfacile
o lesnombresdécimauxrendentlecalculplusdifficile
- lamiseàdispositionounond’outilsdecalcul
multiplication et division
1. Variablesdidactiques
a. Problèmeàrésoudreparunemultiplicationouunedivision
- type de problème: les problèmes du type «proportion simple» sont,
parexemple,souventmieuxréussisquelesproblèmesdutype«produit
demesure»
- typedenombresutilisés
- tailledesnombresenjeu:rendpossibleounontelleoutelleprocédure
surtoutpourladivision
- outilsdecalculdisponibleounon
b. problèmededivision
3autresvariablesdidactiquess’ajoutent:
- valeurduquotient:plusoumoins facileàcalculerselonqu’ilauunou
plusieurschiffres…
- existenceounond’unrestenonnul
- réponseàinterpréteràpartird’untermedeladivision
o La réponse peut être fournie: soit par le quotient entier, par le
quotientaugmentédeun,parlereste,parlequotientetlereste
2. erreurscaractéristiques
a. problèmesnefaisantintervenirquedesnombresentiers
- erreursdans lechoixde laprocédurederésolution:ellespeuventêtre
influencéespardestermesdel’énoncéouparuncontextedifférent
- erreursdansl’exécutiondelaprocédurechoisieoudansl’interprétation
descalculseffectués
- erreursdanslecalcul
Organisation et gestion de données
1. Variablesdidactiques
a. Problèmesdemiseenrelationtexte/tableau
- lacomplexitédutexteetladispersiondesdonnéesdansletexte
- le nombre de catégories qui détermine le nombre d’entrées dans le
tableau
- laquantitédedonnées
- lafamiliaritéplusoumoinsgrandedel’élèveaveclecontexte
b. problèmesdemiseenrelationtexte/graphique
- typedegraphique:paslemêmeniveaudedifficultédelecture
- éléments du graphique: la signification des axes, l’échelle choisie sur
chaqueaxe,graduationdesaxes,leslignesderappel
- variablesrelativesàlamiseenœuvredelaproportionnalité
Géométrie plane
1. Reconnaîtreunconceptgéométriqueàpartird’unereprésentation
a. Variablesdidactiques
- laprésenceounond’instruments
- lefaitquelafigureàreconnaîtresoitisoléeounon
- lefaitquelafigureàreconnaîtresoitenpositionprototypiqueounon
b. Erreursetdifficultés
- l’élève ne dispose pas d’images mentales des figures qu’il doit
reconnaître
- ilnereconnaîtlesfiguresquelorsqu’ellessontenpositionprototypique
- il ne contrôle pas toutes les propriétés et a des difficultés à utiliser
certainsinstrumentsdanslecadred’unereconnaissanceinstrumentée
- il rencontredesdifficultéspour isolerunefigure surtoutsicette figure
n’estpasenpositionprototypique
- il peut avoir des difficultés dues à une mauvaise connaissance du
vocabulaire(termeinconnuouconfonduavecunautre)
- ilpeut fairedeserreursparcequ’il yaconfusionentre lesobjetsde la
géométrieetleurreprésentation
2. Construirelareprésentationd’unconceptgéométrique
a. Variablesdidactiques
- lefaitd’avoirunefigureàcompléterouàconstruiretotalement
- lefaitque ledébutde laconstructionsoitenpositionprototypiqueou
non,danslecasd’unefigureàcompléter
- lanaturedelafigureàconstruire
b. Difficultéseterreurs
- l’élèven’arrivepasàmobiliserd’imagesmentalesanticipatrices
- l’utilisationdesinstruments
- difficultésdevocabulaire
- confusionentrelesobjetsdelagéométrie
3. Problèmesdeconstructiond’unefigure
a. Variablesdidactiques
- letypedesupport
- lesinstrumentsdontdisposentlesélèves
- laspécificitédesdessinsàréaliser
- latailledel’espacedanslaquellelafigureestàréaliser
b. Difficultéseterreurs
- l’élèveneconnaîtpaslespropriétés
- siunschémaestnécessaire,l’élèvenes’autorisepasàledessinercaril
pensequ’ilfautimmédiatementfaireunefigureprécise
- difficultésàréaliserleschéma
- difficultésàlireleschéma
4. Problèmesdereproductiond’unefigureàl’échelle1
a. Variablesdidactiques
- lesupportdelareproduction
- lesfiguresdebase
- lesliensentrelesdifférentesfiguresdebase
- lachronologiedelaconstruction
b. Difficultéseterreurs
- àrepérerdesfiguresetdespropriétésdebasedansunefigurecomplexe
- àidentifierlesliensentrelesfiguresdebase
- àétablirunechronologiedestracés
- àexécuterdestracésgéométriques
5. Problèmes de reproduction d’une figure avec agrandissement ou
réduction
a. Variablesdidactiques
- lanatureducoefficientd’agrandissement
- lesrelationsentrelesdifférentesmesuresdelafigureàagrandir
- lapossibilitédedisposerd’unerèglegraduée
- laprésencederelationsgéométriquesdanslafigure
b. Difficultéseterreurs
- l’élèvenevoitpaslesrelationsentrelesdifférentsélémentsdelafigure
- l’élèveesttentéd’utiliserlemodèleadditif
- l’élèvepeutplacerapproximativementcertainspointsquimanquent
6. Problèmesdedescriptiond’unefigure
a. Variablesdidactiques
- Cf:constructiondefigure
b. Difficultéseterreurs
- auniveauduvocabulaire
- auniveaudelaconnaissancedespropriétésquicaractérisentlesfigures
debasedesobjetsàdécrire
- auniveaudel’effortdedécentrationqu’obligetoutedescription:ilfaut
semettreàlaplacedel’autre
- auniveaudelanominationdecertainspointsdelafigure,quiaudépart
nesontpascodées
- auniveaudusensquel’élèvedonneàl’activitédedescriptionquiluiest
proposé
o êtrecomprisdesoninterlocuteur?
o montrer (à l’enseignant) ce qu’il sait, sans se soucier d’être
comprisdesoninterlocuteur?
7. Lasymétrieaxiale
a. Variablesdidactiques
- lesoutilsdontdisposel’élève:
o lepapiercalque
o ungéomiroir
o pasd’outilsetnepeutpasplierlafeuille
- lesupportsurlequelestreprésentéelafigure:
OU
Papierquadrillé
L'axenecorrespondpasàunelignedu
quadrillageSOIT
L'axedesymétriecorrespondàuneligneduquadrillage
Papierblanc
- lescaractéristiquesdelafigure
o l’orientationdel’axe(quandilexiste)
o lenombred’axesdesymétrie
o lafamiliaritédel’élèveaveclafigure
- lesfiguresdebasequiconstituentlafigure
o la figure est composée de deux éléments isolés qui sont
symétriques
o la figure est composée de deux éléments superposables non
symétriques
o la figure peut-être partagée par une droite en deux parties
superposables
8. Tracerlesymétriqued’unefigureparrapportàunaxe
a. Difficultéseterreurs
- setromperdansledénombrementdescarreaux
- construirelesymétriqued’unpointcorrectementpuisplacerl’imagede
lafigureenlatranslatant
- suivreleslignesduquadrillagepourtracerlesymétriqued’unpointdans
lecasd’unaxeportéparlesdiagonalesdescarreauxduquadrillage
- tracerlesymétriquedetouslespoints,maissetromperenjoignantses
points
b. Variablesdidactiques
- consignesdonnéesauxélèves
- matérielmisàdispositiondesélèves
- l’axe
- lafigure
- l’espaceréservéauxélèvespourrépondre
Repéragedans l’espace
Ètude de solides
1. Repéragedansl’espace
a. Variablesdidactiques
i. Dimensionsdel’espace
- lesdimensionsdel’espacepeuventêtre1,2ou3
o chercher à repérer un objet parmi d’autres objets identiques
(dimension1)
o décrireuntrajet(dimension2)
o indiquerlapositiond’unobjetparrapportàsoi(dimension3)
ii. Naturedel’espace
- microespace
- mesoEspace
- macroExpace
iii. Présencederepèresfixes
- dansl’espacedeclasse:porte,bureauetc.
- dansl’espaced’unefeuillerectangulaire:orientationportrait/paysage
- dansunquadrillage:systèmedecoordonnées
o leslignesetcolonnessontidentifiées
o leslignesetcolonnesnesontpasnommées
iv. Moyendecommunication
- unmessageoralouécrit
- unschémaàmainlevée,unplanouunecarteàl’échelle
v. Placedeslocuteurs(émetteuretrécepteur)
b. Difficultésrencontréesparlesélèves
- difficultésàsedécentrerdanslecasdel’utilisationderepèrerelatif
- difficultéàrendrecongruentel’orientationd’unplanetcelledel’espace
danslequelontravaille
- difficultéliéeauquadrillage
2. Lepolyèdre
a. Identifierlespropriétésdupolyèdre
L’élèveale
polyèdreenmain
L’élèven’apaslepolyèdreenmain,
maisillevoit
L’élèveaseulementledessinen
perspectivedupolyèdre
Variables,erreursetdifficultés
Lafamiliaritéqu’al’élèveavecle
solide
Lenombredefaces,sommets,
arêtes
Lanaturedesfaces
Difficulté:les
facesnesontpastoutesvisiblesd’unseulcoup
d’œil
Onretrouvelesmêmesvariables
queprécédemment+ilnepeutpasmanipulerlepolyèdre
Onretrouvelesmêmesvariables
queprécédemment
Difficulté:identifierla
naturedesfaceslatérales
b. Reconnaîtreunpatrond’unpolyèdre
i. Variablesdidactiques
- lanaturedusolide
- laprésenceounondusolide
ii. Erreursetreconnaissance
- l’élèvepensequelepatrond’unsolideatoujourslamêmeforme
- l’élèvenes’assurepasquetouteslesfacesdusolidesoientreprésentées
- l’élève n’arrive pas mentalement à calculer les côtés des différents
polyèdres de même dimension, ni le fait que les deux faces ne se
superposerontpasaumomentdupliage
grandeurs et mesures
1. Compétencesrelativesauxlongueurs:comparersansmesurer
Savoircomparer
deslongueursd’objets
«rectilignes»sansinstrument
demesure
Savoircomparerleslongueursdelignesbriséesetdespérimètres
Savoircomparerdeslongueursdelignescourbesetdespérimètresavecungabarit
Difficultés/Erreurs
Élèvesnon-conservantsDifficultésdemanipulationentrainantdesproblèmesdeprécision
L’élèvenevoitpaslelienentrelecompasetlacomparaisondelongueurscarcompas=cercle.L’élèveappliquedesthéorèmesenacte
Problèmes demanipulationDifficultés àmémoriser lenombre dereports
Difficultésdemanipulation
2. Compétencesrelativesàlamesuredelongueurs
Savoirmesurerdeslongueursd’objets«rectilignes»avecledoubledécimètre
Savoirmesurerlalongueurd’unelignebriséeoulepérimètred’unefigureavecundouble
décimètre
Savoirmesurerlepérimètre
d’unpolygonepar
lecalcul
Savoirmesurerlepérimètred’uncercle
Variablesdidactiqu
es
Naturedurapportentrelalongueuràdétermineretlesunités(cm/mm)
Lamesuredechaquesegment(nombreentier?)
Lenombredesegments
quiconstituentlaligne
Lesmêmes+naturesdupolygones
x
Difficultés/Erreurs
L’élèveplacedirectementl’extrémitéde
l’objetsurledébutdelarègle(etnonà
zéro)
L’élèven’arrivepas
L’élèveneperçoitpaslelienentrel’additionetlessegments
Nombresdécimaux:
Mauvaise
mémorisationdelaformule
Confusionavecla
formuledel’airedu
Défautde
mémorisationdel’ordredesunités
Méconnaissa
ncedesrelations
àdonnerunrésultatlorsquece
n’estpasunnombreentier
Erreursàlalecture
desmm
L’élèvepeutsetrouverbloqué
Surcharge
cognitive:oublied’ajouterdes
longueursobtenuesparlesreportssuccessifsou
erreursdecalcul
Difficultésdemanipulation
difficultésàadditionner
Plusilyadessegments,
pluslerisqued’oublisetd’erreursest
élevé
rectangle/carré
entrelesdifférentesunités
Silenombrededépartoulerésultatestunnombredécimal,
erreursliéesàl’écrituredécimaledesnombresetàlamaîtrise
descalculs(xou/par10,100etc.)