M - Matematika - třída 2ODK -celý ročník
Obsahuje učivo celého školního roku 2006/2007.
Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
VARIACE
1
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Iracionální rovnice±
Iracionální rovnice
Iracionální rovnicí nazýváme takovou rovnici, která má neznámou pod odmocninou.
Při řešení iracionálních rovnic používáme zpravidla neekvivalentní úpravy (tj. takové úpravy, po jejichž provedení se může změnit řešení rovnice), proto musíme vždy provést zkoušku.
Mezi neekvivalentní úpravy, které budeme u těchto typů příkladů používat, patří nejčastěji umocnění rovnice na druhou. Umocnění rovnice provedeme tak, že umocníme levou i pravou stranu rovnice.
Pozn.: Umocněním obou stran rovnice na druhou dostaneme rovnici, pro kterou platí: Každý kořen původní rovnice je i kořenem této nové rovnice. Obráceně to ale neplatí!
Ukázkové příklady:
Příklad 1:
Řešte rovnici:
101022 -=+- xxx
Řešení:
Umocněním rovnice na druhou dostaneme:x
2 - 2x + 10 = (x - 10)
2
x2 - 2x + 10 = x
2 - 20x + 100
po úpravě:x = 5
Zkouška:
5105.252 =+-=LP = 5 - 10 = -5L ¹ P
Daná rovnice tedy nemá řešení.
Příklad 2:
Řešte rovnici:
57 -=+ xx
Řešení:
Umocněním dostaneme rovnici:x + 7 = (x - 5)
2
Po úpravěx + 7 = x
2 - 10x + 25
Dostali jsme kvadratickou rovnici, u níž zjistíme, že má kořeny 2 a 9.
Zkouška:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 1 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
)2()2(
352)2(
3972)2(
PL
P
L
¹
-=-=
==+=
Kořen 2 tedy není řešením.
)9()9(
459)9(
41679)9(
PL
P
L
=
=-=
==+=
Kořen 9 tedy je řešením zadané iracionální rovnice.
Příklad 3:
Řešte rovnici:
11355 -=- xx
Řešení:
Umocněním dostaneme rovnici:(5 - 5x) = (3x - 11)Po úpravě:x = 2
Zkouška:
52.55 -=-=L
Dále řešit nemusíme, protože v oboru reálných čísel neexistuje druhá odmocnina ze záporného čísla. Závěr tedy je, že iracionální rovnice nemá řešení.
Příklad 4:
Řešte rovnici:
739 =++ xx
Řešení:
Umocněním rovnice na druhou dostaneme:
499969 =++++ xxxx
Po ekvivalentních úpravách:
xxx 52093 -=+
Umocníme ještě jednou a dostaneme:9x
2 + 81x = 400 - 200x + 25x
2
Po úpravě:16x
2 - 281x + 400 = 0
Kořeny této rovnice jsou čísla 16 a 25/16
Zkouškou se přesvědčíme, že kořenem zadané iracionální rovnice je pouze číslo 25/16.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 2 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Příklad 5:
Řešte rovnici:
592 =+x
Kromě běžného, už uvedeného, postupu můžeme zde použít i následující úvahu:Výraz na levé straně rovnice je definován pro libovolné reálné číslo a je pro libovolné reálné číslo nezáporný, proto rovnice x
2 + 9 = 25 je ekvivalentní s rovnicí původní. Rovnice x
2 + 9 = 25 má dvě řešení, a to x1 = 4 a x2
= -4. Tato řešení jsou tedy i řešeními rovnice původní. S ohledem na to, že jsme provedli pouze ekvivalentní úpravy, nemusíme v podstatě ani dělat zkoušku. Pro nezáporná čísla u, v je totiž u = v právě tehdy, když platí u
2 = v
2.
Iracionální rovnice - procvičovací příklady±
1.
4Výsledek:
1197
2.
20Výsledek:
1178
3. Řešte rovnici:
( )( ) ( ) 01.1.3 =---+ xxxx
1Výsledek:
1194
4. Řešte rovnici:
P = {0; 3}Výsledek:
1186
5.
-0,5Výsledek:
1191
6.
Nemá řešeníVýsledek:
1187
7.
-5/3Výsledek:
1190
8.
5Výsledek:
1189
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 3 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
9. Řešte rovnici:
-1Výsledek:
1185
10.
9Výsledek:
1184
11.
9Výsledek:
1195
12. Řešte rovnici:
( )( ) 0375.1 =---+ xxx
-3Výsledek:
1193
13.
Nemá řešeníVýsledek:
1182
14.
P = {9; -1/3}Výsledek:
1192
15.
23±Výsledek:
1179
16.
8Výsledek:
1183
17.
P = {8; 4}Výsledek:
1196
18.
P = {0; 2}Výsledek:
1181
19.
2,5Výsledek:
1188
20.
3Výsledek:
1180
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 4 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Planimetrie±
Planimetrie
Planimetrie je geometrie zabývající je rovinnými útvary (= rovinná geometrie).
Základní geometrické prvky a útvary:
Bod - nejmenší geometrický útvarZnázorňujeme:
Přímka - rovná čára spojující dva body; každými dvěma body je jednoznačně určena právě jedna přímka. Přímku značíme buď malým písmenem (např. p) nebo dvěma body (např. «AB)Znázorňujeme:
Pozn.: Dvěma body může být dána i polopřímka nebo úsečka Polopřímka: Znázorňujeme:
Zapisujeme: ®AB Úsečka: Znázorňujeme:
Zapisujeme: AB Pozn.: Potřebujeme-li vyjádřit délku (velikost) úsečky AB, pak zapisujeme |AB| = 20 cmPozn.: Platí, že ®AB ¹ ®BA
Rovina - geometrický útvar, který je určen třemi nekolineárními body, případně přímkou a bodem, který na této přímce neleží. Znázorňujeme:
nebo Zapisujeme: «ABC nebo «pC
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 5 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Pozn.: Obdobným způsobem vyjadřujeme i polorovinu. Zapisujeme: ®ABC nebo ®pC
Úhel - je část roviny, která je ohraničena dvěma polopřímkami se společným počátečním bodem. Znázorňujeme:
Zapisujeme: |úhel ABC| = aÚhel může být:• nulový (velikost 0°)• ostrý (velikost 0° < a < 90°)• pravý (velikost 90°)• tupý (velikost 90° < a < 180°)• přímý (velikost 180°)• plný (velikost 360°)Jiné dělění:• úhel konvexní (velikost 0° < a < 180°)• úhel konkávní (někdy též nekonvexní) (velikost 180° < a < 360°)
Dvojice úhlů v rovině:1. Dvojice úhlů vrcholových (oba úhly mají stejnou velikost)
2. Dvojice úhlů vedlejších (jejich součet je 180°)
3. Dvojice úhlů souhlasných (mají stejnou velikost)
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 6 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
4. Dvojice úhlů střídavých (mají stejnou velikost)
Rovinné útvary
I. Trojúhelník
Trojúhelník je nejjednodušší rovinný útvar, má tři vrcholy, tři strany, tři vnitřní úhly a tři vnější úhly.• Součet všech vnitřních úhlů v trojúhelníku je vždy 180°.• Součet vnitřního úhlu a vnějšího úhlu při stejném vrcholu je 180°.• Vnější úhel má vždy stejnou velikost jako součet obou vnitřních úhlů při zbývajících dvou vrcholech.• Pro každý trojúhelník musí platit trojúhelníková nerovnost (součet každých dvou stran musí být vždy větší
než strana třetí).• Strany v trojúhelníku značíme podle jejich protějších vrcholů.• Každý trojúhelník má tři výšky (kolmice spuštěná z vrcholu k protější straně); průsečík výšek se nazývá
orthocentrum.• Každý trojúhelník má tři těžnice (úsečka spojující vrchol se středem protější strany); průsečík těžnic se
nazývá těžiště; těžiště rozděluje těžnici na dva úseky, které jsou v poměru 1 : 2, větší díl je blíže k vrcholu.• Každý trojúhelník má tři střední příčky (úsečka spojující dva středy stran); střední příčka je vždy
rovnoběžná s jednou stranou trojúhelníka a má vůči ní poloviční velikost.• Každý trojúhelník má střed kružnice opsané (průsečík os stran); kružnice opsaná prochází všemi vrcholy
trojúhelníka.• Každý trojúhelník má střed kružnice vepsané (průsečík os vnitřních úhlů); kružnice vepsaná se dotýká
všech tří stran.• obvod trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c• obsah trojúhelníka se vypočte podle vzorce S = (1/2).a.va
• obsah trojúhelníka se může též vypočítat podle vzorce S = (1/2).a.b.sing• pro obsah trojúhelníka platí též Heronův vzorec:
2
)).().(.(
cbas
csbsassS
++=
---=
Rozdělení a vlastnosti trojúhelníků:
A. Obecný trojúhelník• nemá žádné specifické vlastnosti, platí pro něj vlastnosti výše uvedenéB. Ostroúhlý trojúhelník
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 7 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
• trojúhelník, který má všechny vnitřní úhly ostréC. Pravoúhlý trojúhelník• trojúhelník, který má jeden vnitřní úhel pravý a zbývající dva vnitřní úhly ostré• zvláštní význam má rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, který má jedem vnitřní úhel velikosti 90° a
zbývající dva vnitřní úhly shodné - velikosti 45°.• u pravoúhlého trojúhelníka nazýváme nejdelší stranu (proti pravému úhlu) přepona a zbývající dvě strany
odvěsny• u pravoúhlého trojúhelníka je střed kružnice opsané vždy středem přepony; tato vlastnost vyplývá z
Thaletovy věty• pro výpočet obsahu pravoúhlého trojúhelníka, který má odvěsny a, b a přeponu c, platí vzorec S =
(1/2).a.b; je to proto, že odvěsny jsou v tomto typu trojúhelníka zároveň výškami• v pravoúhlém trojúhelníku platí Pythagorova věta c
2 = a
2 + b
2 (při označení přepony písmenem c)
• v pravoúhlém trojúhelníku, kde c je přepona, platí též goniometrické funkce:
c
a
přepona
protilehlá==asin
c
b
přepona
přilehlá==acos
b
a
přilehlá
protilehlátg ==a
a
b==
protilehlá
přilehlácotga
D. Tupoúhlý trojúhelník• má jeden vnitřní úhel tupý a zbývající dva vnitřní úhly ostré• dvě výšky tohoto trojúhelníka leží mimo trojúhelník; mimo trojúhelník leží i orthocentrumE. Rovnoramenný trojúhelník• má dvě strany shodné - nazývají se ramena, a zbývající strana se nazývá základna• vnitřní úhly při základně jsou shodné• trojúhelník je osově souměrný, osa souměrnosti půlí základnu• výška spuštěná z hlavního vrcholu (tj. z vrcholu proti základně) je kolmá k základně• střed kružnice opsané i vepsané leží na ose souměrnosti• výška spuštěná z hlavního vrcholu je zároveň i těžnicí• na ose souměrnosti leží i těžiště• rovnoramenný trojúhelník může být i ostroúhlý i tupoúhlý, ale i pravoúhlý• obvod rovnoramenného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 2a + cF. Rovnostranný trojúhelník• má všechny strany stejně dlouhé• má všechny vnitřní úhly stejně velké a mají velikost 60°• má všechny vnější úhly stejně velké a mají velikost 120°• je osově souměrný - má tři osy souměrnosti• střed kružnice opsané je zároveň i středem kružnice vepsané a zároveň i orthocentrem a těžištěm• výšky jsou zároveň i těžnice• obvod rovnostranného trojúhelníka se vypočte podle vzorce o = 3.a• výška se vypočte podle vzorce v = a.Ö3/2
II. Čtyřúhelník
A. Obecný čtyřúhelník• má čtyři strany, čtyři vrcholy, ale jinak žádné specifické vlastnosti• čtyřúhelníky zpravidla značíme ABCD, jejich strany pak a, b, c, d a úhlopříčky |AC| = e, |BD| = f• součet všech vnitřních úhlů ve čtyřúhelníku je 360°B. Rovnoběžník• čtyřúhelník, který má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné• obvod rovnoběžníka se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b)• obsah rovnoběžníka se vypočte podle vzorce S = a . va
• každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné• součet dvou sousedních vnitřních úhlů je 180°• úhlopříčky se navzájem půlí• je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček
a) čtverec• má všechny strany stejně dlouhé, všechny vnitřní úhly shodné - velikosti 90°
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 8 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
• úhlopříčky čtverce jsou shodné, půlí se a jsou navzájem kolmé• průsečík úhlopříček je středem kružnice opsané i středem kružnice vepsané• je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček• je osově souměrný, má čtyři osy souměrnosti (2 osy stran a 2 prodloužené úhlopříčky)• obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a• obsah se vypočte podle vzorce S = a
2 nebo také S = u
2/2
• úhlopříčka se vypočte podle vzorce u = a.Ö2b) obdélník• má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné• má všechny vnitřní úhly pravé• úhlopříčky obdélníka jsou shodné, navzájem se půlí• průsečík úhlopříček je střed kružnice opsané• je středově souměrný podle středu úhlopříček• je osově souměrný - má dvě osy souměrnosti, kterými jsou osy stran• obvod se vypočte podle vzorce o = 2.(a + b)• obsah se vypočte podle vzorce S = a.b• pro výpočet délky úhlopříčky platí Pythagorova větac) kosočtverec• má všechny strany stejně dlouhé• každé dva protější vnitřní úhly jsou shodné• každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180°• úhlopříčky se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé• je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček• je osově souměrný, má dvě osy souměrnosti, které jsou prodlouženými úhlopříčkami• obvod se vypočte podle vzorce o = 4.a• obsah se vypočte podle vzorce S = a.va nebo také S = u1.u2/2• lze vepsat kružnici - středem je průsečík úhlopříčekd) kosodélník• má každé dvě protější strany rovnoběžné a shodné• má každé dva protější vnitřní úhly shodné• každé dva sousední vnitřní úhly mají součet velikostí 180°• úhlopříčky se navzájem půlí• je středově souměrný - střed souměrnosti je průsečík úhlopříček
C. Lichoběžník• čtyřúhelník, který má dvě protější strany rovnoběžné a zbývající dvě protější strany různoběžné;
rovnoběžné strany nazýváme základny, zbývající dvě strany nazýváme ramena• obvod lichoběžníka se vypočte podle vzorce o = a + b + c + d• obsah lichoběžníka se vypočte podle vzorce
( )2
.caS
v+=
a) rovnoramenný lichoběžník• má obě ramena shodná• má oba vnitřní úhly při každé základně shodné• úhlopříčky jsou shodné• je osově souměrný - má jednu osu souměrnosti, kterou je osa obou základenb) pravoúhlý lichoběžník• má právě dva vniřní úhly pravé• jedno rameno je kolmé k oběma základnám
III. Pravidelný pětiúhelník• má všechny strany shodné• má všechny vnitřní úhly shodné• postup konstrukce:
• sestrojíme kružnici se středem S a v ní navzájem dva kolmé průměry AB a CD• najdeme střed K úsečky SB
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 9 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
• sestrojíme úsečku KC• obloukem kružnice o středu K a poloměru KC protneme průměr AB a získáme tak bod L• úsečka LC je pak délkou strany pravidelného pětiúhelníka; tuto úsečku naneseme kružítkem na
původní kružnici a získáme tak vrcholy hledaného pravidelného pětiúhelníka
IV. Pravidelný šestiúhelník• má všechny stany shodné• je středově souměrný• je osově souměrný- má 6 os souměrnosti• sestrojíme-li všechny úsečky spojující střed s vrcholy, rozdělíme pravidelný šestiúhelník na 6 shodných
rovnostranných trojúhelníků• každý vnitřní úhel má velikost 120°• lze opsat i vepsat kružnici• postup konstrukce:
• sestrojíme kružnici se středem S a poloměrem r• na kružnici zvolíme libovolný bod A• z bodu A postupně naneseme na kružnici poloměr r a získáme tak zbývajících pět vrcholů hledaného
šestiúhelníka
V. Pravidelný osmiúhelník• má všechny strany shodné• je středově souměrný• je osově souměrný - má čtyři osy souměrnosti• lze opsat i vepsat kružnici
VI. Kruh, kružnice a jejich části
Základní pojmy:
Kružnici označujeme k, kruh označujeme K. Často zapisujeme k(S; r) nebo K(S; r), což znamená kružnice (resp. kruh) o středu S a poloměru r.
Kružnice je množina bodů, které mají od jednoho pevného bodu stejnou vzdálenost. Tento pevný bod nazýváme střed a konstantní vzdálenost bodů od středu nazýváme poloměr kružnice.
Kruh je množina všech bodů, které mají od jednoho pevného bodu vzdálenost, která je menší nebo rovna poloměru obvodové kružnice. Jinými slovy lze též vyjádřit, že kruh je část roviny, která je ohraničena kružnicí.
Poloměr označujeme nejčastěji r. Dvě délky poloměru tvoří průměr kružnice - označujeme d.
Tětiva kružnice je úsečka, jejíž krajní body leží na kružnici. Nejdelší tětivou kružnice je její průměr.
Přímka a kružnice mohou mít několik vzájemných poloh:1. Přímka a kružnice nemají žádný společný bod, pak přímku nazýváme vnější přímkou kružnice.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 10 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
2. Přímka a kružnice mají právě jeden společný bod, pak přímku nazýváme tečnou.3. Přímka a kružnice mají dva společné body, pak přímku nazýváme sečna. Část přímky, která v tomto
případě leží uvnitř kružnice, nazýváme už zmíněnou tětivou.
Tečna je vždy kolmá na poloměr.
Osa tětivy vždy prochází středem kružnice.
Úhel a nazýváme obvodový úhel; úhel w nazýváme středový úhel. Platí pravidlo, že úhel středový je dvojnásobkem úhlu obvodového.
KružnicePro výpočet délky kružnice platí vzorce:l = 2.p.r nebo l = p.d
KruhPro výpočet obvodu kruhu platí vzorce:o = 2.p.r nebo o = p.d
Pro výpočet obsahu kruhu platí vzorce:S = p.r
2 nebo S = p.d
2/4
Kruhový oblouk
Pro délku kruhového oblouku a platí:
ap
.180
.ra =
nebo a
p.
360
.da =
Soustředné kružnice
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 11 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Jedná se u dvě nebo více kružnic, které mají stjný střed, ale různý poloměr.
Kruhová výsečJedná se o rovinný útvar.
Pro obsah kruhové výseče S platí:
ap
.360
.rS
2
= nebo
ap
.1440
.dS
2
=
Kruhová úsečJedná se opět o rovinný útvar.
MezikružíRovinný útvar.
Obsah mezikruží:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 12 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
S = p . (R2 - r
2)
Shodnost trojúhelníků, důkazy±
Shodnost trojúhelníků
O dvou útvarech říkáme, že jsou shodné, lze-li je v rovině přemístit tak, že se kryjí.
Shodnost rozlišujeme:1. Útvary přímo shodné (posunutím v rovině se navzájem kryjí)2. Útvary nepřímo shodné (nelze je posouváním ztotožnit, ale lze je ztotožnit převrácením)
Uvedené vlastnosti platí analogicky i v prostoru. Můžeme ztotožnit tělesa - např. krychle, kvádry, apod.; nelze ale ztotožnit např. levou a pravou ruku. Proto i zde hovoříme o nepřímé shodnosti, někdy též tzv. zrcadlení.
Věty o shodnosti trojúhelníků:
Věta sss.
Pro každé dva trojúhelníky ABC, A´B´C´platí: Shodují-li se trojúhelníky ve všech třech stranách, jsou shodné.
Věta sus:
Shodují-li se dva trojúhelníky ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném, pak jsou shodné.
Věta usu:
Shodují-li se dva trojúhelníky v jedné straně a v obou úhlech k této straně přilehlých, pak jsou shodné.
Věta Ssu:
Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se ve dvou stranách a v úhlu ležícím proti větší z nich.
Pozn.: Každá matematická věta se skládá ze dvou částí - z předpokladu a z tvrzení. Po vyslovení každé matematické věty by měl následovat její důkaz. V tom se také matematická věta liší od definice. Definice je obecně platné tvrzení, které už nedokazujeme.
Pro důkazy matematických vět používáme obvykle 3 typy důkazů:
1. Přímý důkaz - na základě předpokladu uvedeného v matematické větě a na základě obecně platných vlastností vyplývajících z definic nebo z jiných už dokázaných vět, vyvozujeme tvrzení vyslovené matematické věty.
2. Nepřímý důkaz (důkaz sporem) - předpokládáme, že platí negace tvrzení stanoveného v matematické větě. Na základě obecně platných definic nebo už dokázaných matematických vět dojdeme ke sporu, tj. k závěru, který neplatí. V důsledku toho pak vyslovíme závěr, že negace původně stanoveného tvrzení neplatí a musí tedy platit původní tvrzení.
3. Důkaz matematickou indukcí - s tímto typem důkazu se seznámíme později; založen je na tom, že dokážeme, že věta platí pro n = 1, pak pro libovolné n + 1 a v závěru na základě získaných poznatků větu dokážeme.
Důkazové úlohy:
Příklad 1:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 13 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Nad stranami AC a BC rovnostranného trojúhelníka ABC jsou sestrojeny rovnostranné trojúhelníky ACD a BCE tak, že každý z nich leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že trojúhelník AEC je shodný s trojúhelníkem DBC.
Řešení:
|AC| = |CD| .. vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka|BC| = |CE| .. vyplývá z předpokladu věty a z vlastností rovnostranného trojúhelníka|AC| = |BC| .. vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka ... (1)
Z uvedených tří vlastností vyplývá, že |CD| = |CE| ... (2)
úhel g = 60° .. vyplývá z vlastností zadaného rovnostranného trojúhelníka
|úhel DCB| = g + 60°|úhel ACE| = g + 60°
Z uvedených dvou vlastností vyplývá, že |úhel DCB| = |úhel ACE| ... (3)
Ze závěrů (1), (2), (3) vyplývá, že trojúhelníky jsou tedy shodné podle věty sus. CBD
Příklad 2:
Je dán čtverec ABCD. Veďte v něm dvě libovolné příčky k sobě kolmé, z nichž jedna protíná strany AD a BC v bodech P a Q a druhá protíná strany AB a CD v bodech U a V. Dokažte, že platí |PQ| = |UV|
Řešení:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 14 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
D BCE je shodný s D ABF (Ssu)
Odtud vyplývá, že: |EC| = |FB| = |UV| = |PQ|
Závěr: |PQ| = |UV| CBD
Shodnost trojúhelníků - procvičovací příklady±
1. Na ose o ostrého úhlu AVB zvolte bod S uvnitř úhlu AVB a sestrojte kružnici k(S; r) tak, aby r > SV. Dokažte, že platí |MN| = |PQ|, kde M, N jsou body, ve kterých přímka AV protíná kružnici k a P, Q body, ve kterých přímka VB protíná kružnici k.Výsledek:
1257
2. Je dána kružnice k(S; r) a bod P, který leží vně kružnice k. Veďte bodem P ke kružnici k tečny t1, t2 a označte jejich dotykové body T1 a T2. Dokažte, že |PT1| = |PT2| a |úhel SPT1| = |úhel SPT2|.Výsledek:
1256
3. Je dán rovnoramenný trojúhelník ABC a bod D, který je středem jeho základny AB. Bodem D jsou vedeny kolmice k ramenům AC a BC trojúhelníka ABC a jejich paty označeny M, N. Dokažte, že D DMC je shodný s D DNC.Výsledek:
1259
4. Rovnoramenný trojúhelník ABC má při základně AB úhel 30°. Dokažte, že osy ramen tohoto trojúhelníka rozdělují jeho základnu AB na tři stejné díly.Výsledek:
1258
5. Nad stranami AB a AC ostroúhlého trojúhelníka ABC jsou sestrojeny čtverce ABPQ a ACRT tak, že leží vně trojúhelníka ABC. Dokažte, že |CQ| = |BT|.Výsledek:
1255
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 15 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Podobnost trojúhelníků±
Podobnost trojúhelníků
Definice:Trojúhelníky ABC, A´B´C´jsou podobné, jestliže pro jejich strany platí:a´= k . ab´= k . bc´= k . cČíslo k nazýváme koeficientem (poměrem) podobnosti. Koeficient podobnosti je vždy větší než nula.
Je-li k > 1, hovoříme o tzv. zvětšení, je -li 0 < k < 1, hovoříme o tzv. zmenšení.
Pozn.: Pokud by bylo k = 1, nastala by shodnost. Shodnost je tedy zvláštní případ podobnosti.
Věty o podobnosti trojúhelníků:
Věta sss:
Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže jejich poměry každých dvou odpovídajících si stran jsou shodné.
Věta sus:
Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují v jednom úhlu a poměry odpovídajících si stran, které svírají uvedený úhel, jsou shodné.
Věta uu:
Dva trojúhelníky jsou podobné, jestliže se shodují ve dvou odpovídajících si úhlech.
Poznámka:Pro podobné útvary tedy platí:- odpovídající si úsečky jsou ve stejném poměru- odpovídající si úhly jsou shodné
Důkazové úlohy:
Příklad 1:
Věta: Jestliže dva libovolné trojúhelníky ABC, A´B´C´jsou rovnostranné, pak jsou podobné.
Důkaz:
Vnitřní úhly při vrcholech A, B, C mají velikost 60° ... vyplývá z vlastností rovnostranného trojúhelníkaVnitřní úhly při vrcholech A´, B´, C´ mají velikost 60° ... vyplývá z vlastností rovnostranného
trojúhelníkaVnitřní úhel při vrcholu A je tedy shodný s vnitřním úhlem při vrcholu A´, vnitřní úhel při vrcholu B je shodný s vnitřním úhlem při vrcholu B´. Oba trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty uu. CBD
Příklad 2:
Věta: Jestliže dva pravoúhlé trojúhelníky jsou rovnoramenné, pak jsou podobné.
Důkaz:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 16 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Vnitřní úhly při vrcholech A, A´mají velikost 90° a jsou tedy shodné (vyplývá z předpokladu)|AB| = |AC| ... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka|A´B´| = |A´C´| ... vyplývá z předpokladu a z vlastností rovnoramenného trojúhelníka
k==CA
C´A´
BA
B´A´
Trojúhelníky jsou tedy podobné podle věty sus. CBD
Výpočtové úlohy:
Příklad 3:
Les tvaru trojúhelníka ABC je na mapě v měřítku 1 : 50 000 zakreslen jako trojúhelník A´B´C´ o stranách délek 3,2 cm, 4,8 cm 5,4 cm. Určete skutečné velikosti stran trojúhelníka.
Řešení:
|A´B´| = 3,2 cm|B´C´| = 4,8 cm|A´C´| = 5,4 cmk = 1 : 50 000|AB| = ? [cm]|BC| = ? [cm]|AC| = ? [cm]------------------------------|AB| = (1/k) . |A´B´||AB| = 3,2 . 50 000 cm = 160 000 cm = 1,6 km|BC| = 4,8 . 50 000 cm = 240 000 cm = 2,4 km|AC| = 5,4 . 50 000 cm = 270 000 cm = 2,7 km
Rozměry lesa jsou 1,6 km, 2,4 km, 2,7 km.
Podobnost trojúhelníků - procvičovací příklady±
1. Jsou dány dva podobné trojúhelníky , jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obsahy.
k2Výsledek:
1269
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 17 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
2. Jsou dány trojúhelníky ABC a A´B´C´a platí:a = 6 b = 8 c = 9 a´= 5 b´= 6 2/3 c´= 7 1/2Rozhodněte, zda jsou trojúhelníky podobné.
Jsou podobné.Výsledek:
1273
3. Nepřátelská pozorovatelna je vzdálena 4 200 metrů a je položena o 180 metrů výše než postavení dělostřelecké baterie. Jak daleko lze umístit dělo za krytem, aby nebylo vidět z nepřátelské pozorovatelny? Kryt před baterií je 15 metrů vysoký.
350 mVýsledek:
1263
4. Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že:|EF| = 5 cm|MN| = 7 cm|EG|= 6 cm|NK| = 4 cmVypočtěte délku strany |MK|.
8,4 cmVýsledek:
1272
5. Trojúhelníkové pole o rozměrech 162,5 m, 117,5 m a 180 m je na mapě zakresleno jako trojúhelník se stranami 6,5 mm, 4,7 mm, 7,2 mm. Určete měřítko mapy.
1 : 25 000Výsledek:
1260
6. Přímá cesta rovnoměrně stoupá na každých dvou metrech o 46 cm. O kolik metrů stoupne cesta na vzdálenosti 270 metrů?
62,1 mVýsledek:
1262
7. Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A´B´C´jsou podobné, je-li zadáno:a = 5/3b = 11/6vnitřní úhel při vrcholu C je 70°a´= 5/2b´= 11/4vnitřní úhel při vrcholu C´je 70°
Jsou podobnéVýsledek:
1264
8. Trojúhelníky EFG a MNK jsou podobné a platí, že:|EF| = 5 cm|MN| = 7 cm|EG|= 6 cm|NK| = 4 cmVypočtěte délku strany |FG|.
2,86 cmVýsledek:
1271
9. Rozhodněte, zda trojúhelníky ABC, A´B´C´jsou podobné, je-li zadáno:a = 2,5b = 7vnitřní úhel při vrcholu C je 90°a´= 5b´= 13,9vnitřní úhel při vrcholu C´je 90°
Nejsou podobnéVýsledek:
1265
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 18 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
10. Školní budova vrhá na rovinu dvora stín 16 m dlouhý a v téže době vrhá svislá tyč stín 132 cm dlouhý. Určete výšku budovy.
12,12 mVýsledek:
1261
11. Jsou dány dva podobné trojúhelníky , jejichž koeficient podobnosti je k. Určete, v jakém poměru jsou jejich obvody.
kVýsledek:
1268
12. Dokažte, že trojúhelník ABC a trojúhelník A´B´C, který má vrcholy ve středech stran trojúhelníka ABC, jsou trojúhelníky podobné.Výsledek:
1270
13. Dva rovnoramenné trojúhelníky mají základny c, c´ a výšky v, v´. Dokažte, že jsou trojúhelníky podobné, platí-li c : v = c´: v´Výsledek:
1266
14. Z vrcholu pahorku 80 metrů vysokého je vidět na vodorovné rovině za sebou dvě tyče pod hloubkovými úhly 62° a 42°. Určete vzdálenost obou tyčí.
46,3 mVýsledek:
1267
Eukleidovy věty±
Eukleidovy věty
1. Věta o výšce
Pata výšky C´rozdělí stranu c na dvě části: ca, cb.Tvrzení: Trojúhelník AC´C je podobný s trojúhelníkem CC´B. Důkaz je zřejmý podle věty uu, neboť oba trojúhelníky obsahují úhly alfa a beta.
Pozn.: Dva úhly, které mají na sebe kolmá ramena, jsou shodné.
Z podobnosti trojúhelníků vyplývá:
baa
b
ccvv
c
c
v.2 =Þ=
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 19 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Rovněž by se dalo vyjádřit se stejným závěrem:
bab
a
ccvv
c
c
v.2 =Þ=
Vzniklý závěr nazýváme Eukleidovou větou o výšce a můžeme ji slovně vyjádřit následující větou:Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou úseky strany c.
Každou větu je nutno dokázat - důkaz už byl ale vlastně proveden výše.
2. Věta o odvěsně
Trojúhelník AC´C je podobný s trojúhelníkem ACB. Podobnost lze odůvodnit opět podle věty uu, neboť v obou trojúhelnících jsou opět úhly alfa i beta.
Z podobnosti trojúhelníků vyplývá:
ccbc
b
b
cb
b .2 =Þ=
Rovněž by se dalo vyjádřit:
ccac
a
a
ca
a .2 =Þ=
Vzniklé vzorce jsou matematickým vyjádřením Eukleidových vět o odvěsně. Protože každý pravoúhlý trojúhelník má dvě odvěsny, jsou vždy i dvě Eukleidovy věty o odvěsnách. Opět můžeme napsat matematickou větu:Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou přepona a úsek přilehlý k dané odvěsně.
Důkaz i této věty už byl vlastně proveden výše.
Ukázkové příklady
Příklad 1 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o výšce:
Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku o délce x = Ö10
Řešení:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 20 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např. 2 . 52. Rovnost x = Ö10 upravíme do tvaru x
2 = 10, resp. x
2 = 2 . 5
3. Zvolíme-li x = v, ca = 2, cb = 5, pak můžeme snadno použít větu o výšce.4. Protože platí ca + cb = c, zjistíme, že přepona bude dlouhá 2 + 5 = 75. Narýsujeme úsečku AB o délce 7.6. Vyznačíme bod C´ a to tak, že je vzdálen od bodu A o délku 5.7. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB.8. V bodě C´vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X.9. Délka úsečky C´X pak odpovídá hledané x = Ö10
Příklad 2 - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o odvěsně:
Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku o délce x = Ö10
Řešení:
1. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např. 2 . 52. Rovnost x = Ö10 upravíme do tvaru x
2 = 10, resp. x
2 = 2 . 5
3. Zvolíme-li x = a, ca = 2, c = 5, pak můžeme snadno použít větu o odvěsně a.4. Narýsujeme úsečku AB o délce 5.5. Vyznačíme bod C´ a to tak, že je vzdálen od bodu B o délku 2.6. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB.7. V bodě C´vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X.8. Délka úsečky XB pak odpovídá hledané x = Ö10
Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná±
Střední geometrická úměrná
Vraťme se zpět k Eukleidově větě o výšce:
v2 = ca . cb
neboli
ba ccv .=
Výška v pravoúhlém trojúhelníku je střední geometrickou úměrnou obou úseků. Eukleidovy věty proto využíváme ke konstrukci algebraických výrazů - zejména odmocnin.
Příklad 1:
Je dán kruh o poloměru r. Rozdělte jej kružnicí s ním soustřednou na dvě části, jejichž obsahy se sobě rovnají.
Řešení:
Označme poloměr zadaného kruhu r a poloměr kledané soustředné kružnice r1. Pak má platit:
2
22
1
rr =
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 21 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
rr
r .2
1 =
Hledaný poloměr je tedy střední geometrickou úměrnou
Čtvrtá geometrická úměrná
Platí-li pro čtyři úsečky o délkách a, b, c, x vztah
x
c
b
a=
pak úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, b, c v tomto pořadí.
Příklad 2:
Narýsujte čtvrtou geometrickou úměrnou úseček 3 cm, 5 cm, 2Ö2 cm
Řešení:
Ze zadání musí platit vztah:
x
22
5
3=
Příklad 3:
Narýsujte úsečku, která vyhovuje vztahu:
b
ax
2
=
Řešení:
Zadaný vztah přepíšeme do tvaru
b
a
a
x=
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 22 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
neboli
x
a
a
b=
Eukleidovy věty - procvičovací příklady±
1. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö17. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
4,12Výsledek:
1366
2. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö21. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
4,58Výsledek:
1358
3. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö13. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
3,61Výsledek:
1363
4. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö21. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
4,58Výsledek:
1369
5. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö10. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
3,16Výsledek:
1355
6. Nechť a, b, c jsou délky tří daných úseček. Sestrojte čtvrtou úsečku délky x, která vyhovuje rovnici x = bc/a
Úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, c, b.Výsledek:
1421
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 23 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
7. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö14. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
3,74Výsledek:
1364
8. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö11. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
3,32Výsledek:
1354
9. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
2,83Výsledek:
1357
10. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö15. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
3,87Výsledek:
1365
11. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö12. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
3,46Výsledek:
1362
12. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö28. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
5,29Výsledek:
1352
13. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö13. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
3,61Výsledek:
1353
14. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö18. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
4,24Výsledek:
1367
15. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö19. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
4,36Výsledek:
1368
16. Narýsujte úsečku délky x = (abc)/d2, kde a, b, c, d jsou velikosti daných úseček.
Pomocná úsečka y je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček b, a, d. Úsečka x je pak čtvrtou geometrickou úměrnou úseček y, a, d.
Výsledek:
1422
17. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö22. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
4,69Výsledek:
1359
18. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö11. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
3,32Výsledek:
1361
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 24 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
19. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö23. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
4,80Výsledek:
1360
20. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö19. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
4,36Výsledek:
1356
21. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö18. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
4,24Výsledek:
1351
22. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö22. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.
4,69Výsledek:
1370
Pythagorova věta±
Pythagorova věta
Věta: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami.
Důkaz:
Na základě Eukleidovy věty o odvěsně platí:a
2 = c . ca
b2 = c . cb
----------------Sečteme-li pravé i levé strany obou rovnic, dostáváme:a
2 + b
2 = c . ca + c . cb = c . (ca + cb) = c . c = c
2
CBDPlatí také věta obrácená:
Věta: Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c2 = a
2 + b
2, pak jde o pravoúhlý
trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C.
Důkaz:
Zvolme pravoúhlý trojúhelník A´B´C´takový, aby při vrcholu C´ byl pravý úhel. Nechť jeho odvěsny jsou shodné se stranami AC a BC daného trojúhelníka ABC. Platí tedy:a´ = ab´ = bPro přeponu trojúhelníka A´B´C´platí Pythagorova věta:c´
2 = a´
2 + b´
2 = a
2 + b
2 = c
2
Z toho vyplývá, žec´ = cTrojúhelník ABC je pak shodný s trojúhelníkem A´B´C´(sss), proto i vnitřní úhel při vrcholu C´(který je pravý) je roven vnitřnímu úhlu při vrcholu C. I ten je tedy pravý a to jsme měli dokázat.
Ukázkové příklady:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 25 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Příklad 1:
Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý.
Řešení:
a = 4 cmb = 5 cmc = 6 cmc´= ? [cm]-----------------------Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c´. Pokud bude platit c´ = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý.
64154´ 2222 ¹=+=+= bac
Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý.
Pythagorova věta - procvičovací příklady±
1.
4,9 cmVýsledek:
1350
2.
1,78 cmVýsledek:
1349
3.
12Výsledek:
1346
4.
Výsledek:
1347
5.
Výsledek:
1348
6.
Výsledek:
1345
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 26 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
7.
12 cmVýsledek:
1344
8.
0,6 cmVýsledek:
1340
9.
110 mVýsledek:
1342
10.
6,06 cmVýsledek:
1341
11.
1 092 cm2Výsledek:
1343
12.
1,4 mVýsledek:
1339
Výpočty rovinných útvarů±
Výpočty rovinných útvarů
Tato kapitola obsahuje řešení příkladů s využitím všech teoretických vlastností, se kterými jsme se seznámili v předcházejících kapitolách z planimetrie. Převážnou většinu příkladů budeme vždy řešit nejprve obecně, pak teprve dosadíme číselné hodnoty a na kalkulačce spočítáme výsledek, který vhodně zaokrouhlíme.Obecné řešení považujeme za hotové tehdy, obsahuje-li vzorec pouze proměnné, které máme v zápisu příkladu a výraz už nelze dále zjednodušit.
Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady±
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 27 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
1.
b)
Výsledek:
1595
2.
Čtverec má větší obsah než obdélník.Výsledek:
1565
3.
TupoúhlýVýsledek:
1577
4.
4,8 cmVýsledek:
1543
5.
0,4 mVýsledek:
1532
6.
o = 24 cm; S = 41,6 cm2Výsledek:
1602
7.
54 cm2Výsledek:
1586
8.
10 cmVýsledek:
1603
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 28 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
9.
155°, resp. 205°Výsledek:
1615
10.
NemohouVýsledek:
1566
11.
3 200 m2Výsledek:
1555
12.
0,8 mVýsledek:
1508
13.
|AF| = 5 cm, |BC| = 1 cmVýsledek:
1522
14.
Výsledek:
1626
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 29 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
15.
24,3 cm2Výsledek:
1539
16.
Výsledek:
1563
17.
480 cm2
26 cm
Výsledek:
1601
18.
Výsledek:
1515
19.
Výsledek:
1559
20.
280 KčVýsledek:
1513
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 30 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
21.
Výsledek:
1623
22.
|BC| = 10 cm, obsah je 54 cm2Výsledek:
1579
23.
5,7 mVýsledek:
1548
24.
6,6 dm2Výsledek:
1572
25.
, , Výsledek:
1583
26.
3350 m2Výsledek:
1596
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 31 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
27.
58°Výsledek:
1590
28.
60 cm2Výsledek:
1553
29.
30 mVýsledek:
1521
30.
Výsledek:
1549
31.
90°Výsledek:
1541
32.
a = 110°, b = 70°, c = 60°, d = 50°, e = 60°, f = 70°, g = 60°, h = 110°Výsledek:
1509
33.
Výsledek:
1578
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 32 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
34.
2 řešení:Výsledek:
1574
35.
v = 4,33 cm
Výsledek:
1552
36.
9,18 cmVýsledek:
1609
37.
Poloměr kružnice opsané: 4,62 cmPoloměr kružnice vepsané: 2,31 cm60,5 %
Výsledek:
1607
38.
, , Výsledek:
1544
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 33 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
39.
27 obdélníkůVýsledek:
1561
40.
Výsledek:
1604
41.
Výsledek:
1514
42.
Výsledek:
1551
43.
6Výsledek:
1582
44.
17,32 cmVýsledek:
1610
45.
Výsledek:
1605
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 34 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
46.
795, 2 m2Výsledek:
1624
47.
977 m2Výsledek:
1569
48.
40 mVýsledek:
1524
49.
4 100 krátVýsledek:
1547
50.
88 cmVýsledek:
1528
51.
40,2 m2Výsledek:
1570
52.
NeVýsledek:
1538
53.
70°Výsledek:
1512
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 35 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
54.
4/5Výsledek:
1564
55.
34,9 %Výsledek:
1533
56.
Výsledek:
1519
57.
Zmenšení obsahu o 20 %Zmenšení obvodu o 11,11 %
Výsledek:
1576
58.
53,7 cm2Výsledek:
1518
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 36 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
59.
4 cm2Výsledek:
1617
60.
56,25 cm2Výsledek:
1592
61.
ABDVýsledek:
1557
62.
75°Výsledek:
1597
63.
193 mVýsledek:
1625
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 37 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
64.
700 m2; 160 mVýsledek:
1593
65.
50 cm2Výsledek:
1529
66.
Výsledek:
1613
67.
7,5 haVýsledek:
1520
68.
75°Výsledek:
1594
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 38 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
69.
30 cmVýsledek:
1536
70.
, Výsledek:
1517
71.
0,08 m2, 800 cm
2Výsledek:
1531
72.
10Výsledek:
1584
73.
13,5 cmVýsledek:
1612
74.
414 m2Výsledek:
1567
75.
77,8 %Výsledek:
1587
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 39 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
76.
204 cm2Výsledek:
1614
77.
19 cm2Výsledek:
1608
78.
Není zavlažováno 61,81 m2, třetí strana pole je 33,94 m.Výsledek:
1537
79.
57,74 cm2Výsledek:
1554
80.
15Výsledek:
1598
81.
3,14 cm2Výsledek:
1545
82.
Výsledek:
1516
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 40 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
83.
Výsledek:
1620
84.
11Výsledek:
1581
85.
0,35 mVýsledek:
1530
86.
2 řešení: 10,5 cm; 1,5 cmVýsledek:
1550
87.
20°Výsledek:
1589
88.
v = 6,06 cmABD
Výsledek:
1556
89.
16 trojúhelníkůVýsledek:
1618
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 41 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
90.
249 cm2Výsledek:
1627
91.
, , Výsledek:
1526
92.
94°Výsledek:
1546
93.
120°Výsledek:
1510
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 42 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
94.
Výsledek:
1562
95.
52 cmVýsledek:
1560
96.
13,9 cmVýsledek:
1588
97.
Výsledek:
1591
98.
Výsledek:
1527
99.
5 cmVýsledek:
1507
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 43 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
100.
Výsledek:
1558
101.
25 mmVýsledek:
1622
102.
4 krátVýsledek:
1585
103.
Výsledek:
1542
104.
Výsledek:
1535
105.
Výsledek:
1599
106.
5 cmVýsledek:
1568
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 44 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
107.
Výsledek:
1621
108.
50°Výsledek:
1511
109.
112 dlaždicVýsledek:
1534
110.
6,075 cm2Výsledek:
1540
111.
1/2Výsledek:
1575
112.
65,1 %Výsledek:
1606
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 45 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
113.
Porovnejte obsahy trojúhelníků ABC a ABC´na obrázku.
Oba obsahy jsou shodnéVýsledek:
1580
114.
2 400 cm2Výsledek:
1525
115.
140 mVýsledek:
1611
116.
46 cmVýsledek:
1616
117.
5 cmVýsledek:
1628
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 46 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
118.
Výsledek:
1523
119.
4 cmVýsledek:
1600
Shodná zobrazení±
Shodná zobrazení
Zobrazení nazveme shodné, jestliže útvary představující vzor a obraz jsou shodné.
Body, které se zobrazují samy na sebe, nazýváme body samodružné.
Mezi shodná zobrazení patří:
I. Identita (totožnost)
Identita je shodné zobrazení, kdy vzor a obraz jsou stejné (identické) útvary. Identita (totožnost) má nekonečně mnoho samodružných bodů.
Zapisujeme: I: Útvar A ---> Útvar B
II. Posunutí (translace)
Posunutí je shodné zobrazení, které je dáno vektorem posunutí (orientovanou úsečkou). Posunutí nemá žádné samodružné body.
Zapisujeme: T[AB]: Útvar A ---> Útvar B
III. Osová souměrnost
Osová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jednou přímkou, zvanou osa souměrnosti. Osová souměrnost má nekonečně samodružných bodů a jsou jimi všechny body ležící na ose souměrnosti. Můžeme tvrdit, že osová souměrnost má i nekonečně mnoho samodružných přímek, mezi něž patří jednak osa souměrnosti, ale i všechny přímky, které jsou k ose souměrnosti kolmé.
Zapisujeme: O[<-->p]: Útvar A ---> Útvar B
IV. Středová souměrnost
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 47 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Středová souměrnost je shodné zobrazení, které je dáno jedním bodem, zvaným střed souměrnosti. Středová souměrnost má právě jeden samodružný bod, kterým je právě střed souměrnosti.
Zapisujeme: S[S]: Útvar A ---> Útvar B
V. Otočení (rotace)
Otočení je shodné zobrazení, které je dáno jedním pevným bodem (středem otáčení) a úhlem otočení. Úhel otočení považujeme za kladný, otáčíme-li útvar proti směru hodinových ručiček a pokud otáčíme útvar po směru hodinových ručiček, pak považujeme úhel za záporný. Rotace má právě jeden samodružný bod, kterým je střed rotace.
Zapisujeme: R[S; +30°]: Útvar A ---> Útvar B
Pozn.: Středová souměrnost je vlastně zvláštní případ rotace.
Shodná zobrazení - procvičovací příklady±
1.
Výsledek:
1688
2.
Výsledek:
1696
3.
Výsledek:
1693
4.
Výsledek:
1682
5.
Výsledek:
1695
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 48 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
6.
Výsledek:
1686
7.
Výsledek:
1681
8.
Výsledek:
1694
9.
Výsledek:
1692
10.
Výsledek:
1687
11.
Výsledek:
1689
12.
Výsledek:
1691
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 49 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
13.
Výsledek:
1684
14.
Výsledek:
1683
15.
Výsledek:
1698
16.
Výsledek:
1697
17.
Výsledek:
1699
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 50 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
18.
Výsledek:
1685
19.
Výsledek:
1690
Orientovaný úhel±
Orientovaný úhel
Orientovaným úhlem AVB se nazývá uspořádaná dvojice polopřímek VA, VB, kde V je jejich společný počátek, přičemž:VA je počáteční rameno úhluVB je koncové rameno úhluV je vrchol orientovaného úhlu
Hodnota orientovaného úhlu je kladná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB proti směru chodu hodinových ručiček.Hodnota orientovaného úhlu je záporná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB po směru chodu hodinových ručiček.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 51 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Stupňová a oblouková míra
Velikost úhlů můžeme vyjadřovat jednak ve stupňové míře (plný úhel pak má 360°) a dále v míře obloukové (plný úhel pak má velikosti 2p rad).
Stupňová míra:
Oblouková míra:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 52 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
p je tzv. Ludolfovo číslo a jeho hodnota je přibližně 3,14. Plný úhel má tedy hodnotu 2p rad, což je tedy přibližně 6,28 radiánů.
K převodům velikostí úhlů ze stupňů na radiány a naopak můžeme výhodně využít např. trojčlenku.
U číselné hodnoty úhlu v obloukové míře se obvykle jednotka rad vynechává.
Příklad 1:Úhel o velikosti 15° převeďte do obloukové míry.
Řešení:
180° ... p rad15° ... x rad-------------------------------Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru)
radx12180
15. pp==
Pozn.: Výsledek můžeme klidně vyjádřit i ve tvaru 0,26 rad (přibližně)
Příklad 2:Úhel o velikosti 3p/4 rad převeďte na stupně.
Řešení:
180° ... p rad
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 53 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
x° ... 3p/4 rad-------------------------------Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru)
o1354
3
.180 ==p
p
x
Úhel má tedy velikost 135°.
Z předchozích postupů můžeme snadno odvodit vzorce pro převody jedním nebo druhým směrem:
1. Převod ze stupňů na míru obloukovou
radx180
. oap=
2. Převod z radiánů na míru stupňovou
p
aradx
.180=
Stupňová a oblouková míra - procvičovací příklady±
1.
Výsledek:
1234
2.
70,02°Výsledek:
1252
3.
180°Výsledek:
1243
4.
2°Výsledek:
1245
5.
Výsledek:
1233
6.
195°Výsledek:
1248
7.
Výsledek:
1239
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 54 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
8.
Výsledek:
1236
9.
9,97°Výsledek:
1251
10.
Výsledek:
1235
11.
Výsledek:
1232
12.
36°Výsledek:
1244
13.
23°Výsledek:
1249
14.
Výsledek:
1240
15.
Výsledek:
1231
16.
Výsledek:
1238
17.
Výsledek:
1237
18.
270°Výsledek:
1250
19.
Výsledek:
1241
20.
40°Výsledek:
1254
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 55 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
21.
210°Výsledek:
1247
22.
Výsledek:
1242
23.
15°Výsledek:
1246
24.
172°Výsledek:
1253
Jednotková kružnice±
Jednotková kružnice
Jednotková kružnice je taková kružnice, jejíž poloměr je 1. Využít ji můžeme například k odvození goniometrických funkcí platících pro pravoúhlý trojúhelník.
Funkce sinus±
Funkce sinus
Určení funkce z jednotkové kružnice:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 56 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
V pravoúhlém trojúhelníku je funkce sinus určena jako podíl protilehlé odvěsny a přepony.
Funkce sinus je tedy goniometrická funkce daná předpisem f: y = sina
Poznámky:
Funkce shora omezená:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 57 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Funkce zdola omezená:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 58 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Funkce periodická:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 59 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Funkce lichá:
Funkce
se nazývá kosekans a a zapisuje se y = cosec a
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 60 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Funkce kosinus±
Funkce kosinus
Určení funkce z jednotkové kružnice:
V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem přilehlé odvěsny a přepony.
Funkce kosinus je funkce, která je dána předpisem f: y = cos a .
Poznámky:
Funkce sudá:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 61 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Funkce
se nazývá sekans a, zapisujeme y = sec a
Funkce tangens±
Funkce tangens
Určení funkce tangens z jednotkové kružnice:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 62 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Funkce tangens a je goniometrická funkce definovaná pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar:
V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem protilehlé a přilehlé odvěsny.
Poznámky:
Funkce rostoucí:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 63 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Funkce kotangens±
Funkce kotangens
Určení funkce z jednotkové kružnice:
Funkce y = cotg a je goniometrická funkce, která je definována pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar:
V pravoúhlém trojúhelníku je funkce definována jako podíl přilehlé odvěsny a protilehlé odvěsny.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 64 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Poznámky:
Funkce klesající:
Řešení pravoúhlého trojúhelníka±
Řešení pravoúhlého trojúhelníka
Mění-li se v pravoúhlém trojúhelníku velikost úhlu alfa, mění se i poměry délek stran v tomto trojúhelníku. Proto jsou v pravoúhlém trojúhelníku definovány tyto vztahy pro goniometrické funkce ostrého úhlu:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 65 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Pozn.: Veškeré výpočty goniometrických funkcí budeme provádět zpravidla na kalkulačce a výsledky budeme udávat s přesností na čtyři platné číslice. Respektujeme přitom správné zaokrouhlení čísel.
Za platnou číslici se považuje každá číslice v číslu, která je na pozici počínaje od první nenulové zleva.Pokud nebude zadáno jinak, vždy uvažujeme obvyklé značení v pravoúhlém trojúhelníku, což je: Pravý úhel při
vrcholu C, přepona c, odvěsny a, b, ostré úhly při vrcholu A, B.
Příklad 1:
V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je |AB| = c = 8 cm, |BC| = a = 5 cm. Vypočti velikosti ostrých úhlů při vrcholech A, B trojúhelníku ABC.
Řešení:
|AB| = c = 8 cm|BC| = a = 5 cma = ? [° ´]b = ? [° ´]----------------------------
c
a=asin
8
5sin =a
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 66 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
sin a = 0,625a = 38°41´
c
a=bcos
8
5cos =b
cos b = 0,625b = 51°19´
Závěr: Vnitřní úhel při vrcholu A má velikost 38°41´a vnitřní úhel při vrcholu B má velikost 51°19´.
Příklad 2:
V pravoúhlém trojúhelníku OPQ s pravým úhlem při vrcholu Q je |OQ| = p = 5 cm, |úhel QOP| = 35°10´. Vypočti délku odvěsny |PQ| = o.
Řešení:
|OQ| = p = 5 cm|úhel QOP| = 35°10´|PQ| = o = ? [cm]-----------------------------
OQ
PQúhelQOPtg =
|PQ| = |OQ| . tg|úhel QOP||PQ| = 5 . tg 35°10´= 5 . 0,7046 = 3,5 (po zaokrouhlení)|PQ| = 3,5 cm (po zaokrouhlení)
Závěr: Délka odvěsny je přibližně 3,5 cm.
Příklad 3:
Nejvyšší přípustné stoupání silnic je dáno poměrem 1 : 18. Pod jakým největším úhlem může silnice stoupat?
Řešení:
|BC| = 1 díl|AB| = 18 dílůa = ? [°´]------------------------------
AB
BCtg =a
18
1=atg
tg a = 0,0556a = 3°11´
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 67 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Závěr: Úsek silnice může stoupat nejvýše pod úhlem 3°11´.
Pravoúhlý trojúhelník - procvičovací příklady±
1. Přímá železniční trať stoupla na vzdálenosti 100 m (měřeno ve vodorovné poloze) o 1,4 m. Vypočítej velikost úhlu stoupání.
0,83°Výsledek:
1461
2. Vypočti obsah kosočtverce ABCD, je-li tangens úhlu ABD roven Ö15 a |AC| = 4 cm.
2,1 cm2Výsledek:
1471
3. Stavební materiál byl na stavbu dopravován transportérem dlouhým 10 m pod úhlem w = 20°. Do jaké výšky v metrech byl tento materiál dopravován? (Obloukovité zakončení transportéru neber v úvahu.)
3,4 mVýsledek:
1462
4. Stabilitu roury na vodorovné podložce zabezpečuje ocelové lano, které rouru obepíná. Lano je ukotveno v bodech A, B. Platí |AT1| = |BT1|; T1 je bod dotyku roury s podložkou. Vypočítejte délku lana od bodu A do bodu B, jestliže vnější průměr roury se rovná 44 cm a velikost úhlu T3ST2 je rovna 90°; S je střed kruhového průřezu rourou, který je kolmý na osu roury.
140,8 cmVýsledek:
1481
5. V pravoúhlém trojúhelníku ABC je délka přepony |AB| = c = 6,9 cm a |úhel CAB|= a 34°. Vypočti délky odvěsen AC a BC.
a = 3,9 cm, b = 5,7 cmVýsledek:
1467
6. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí:a = 63°10´, a = 6,7 m
b = 3,39 m, c = 7,51 m, b = 26°50´, g = 90°Výsledek:
1466
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 68 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
7. V kosočtverci ABCD je úhlopříčka |AC| = e = 24 cm a |úhel SAB| = e = 28°; S je průsečík úhlopříček AC a BD. Vypočtěte obvod kosočtverce ABCD.
54 cmVýsledek:
1475
8. Průměr podstavy válce je 36 cm. Velikost úhlu w, který svírá úhlopříčka osového řezu s výškou válce v, je 30°. Vypočti povrch válce.
9083 cm2Výsledek:
1473
9. Úhlopříčka obdélníkového půdorysu chaty je dlouhá 10 m a s kratší stranou tohoto půdorysu svírá úhel 60°. Vypočti obsah půdorysu chaty.
43,3 m2Výsledek:
1470
10. Krov dlouhý 6,6 m přesahuje přes okraj zdi 60 cm své délky a s rovinou půdy svírá úhel 42° (viz obrázek). O kolik centimetrů by se snížila výška půdy v, kdyby tentýž krov přesahoval přes okraj zdi 75 centimetrů své délky?
22,8 cmVýsledek:
1479
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 69 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
11. Rampu u skladu zboží drží 4 stejné ocelové vzpěry, jedna z nich je nakreslena na obrázku. Kolik metrů ocelové trubky čtvercového průřezu se spotřebovalo k výrobě všech čtyř vzpěr, jestliže se jejich spotřeba úpravou ve svárech zvýšila o 7 procent?
21 mVýsledek:
1478
12. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí:a = 48°30´, c = 3,2 m
a = 2,40 m, b = 2,12 m, b = 41°30´, g = 90°Výsledek:
1465
13. Před rovinným zrcadlem jsou dva body A, B vzdálené od sebe 36 cm. Vzdálenost bodu A od zrcadla je 7 cm, bodu B 18 cm. Pod jakým úhlem je třeba vést světelný paprsek (jde o úhel mezi rovinou zrcadla a paprskem) bodem A, aby po odrazu procházel bodem B?
36,1°Výsledek:
1480
14. Tělesová úhlopříčka u1 kvádru je dlouhá 9,7 dm a s podstavnou úhlopříčkou u2 svírá úhel a = 42°. Vypočti výšku kvádru v.
6,5 dmVýsledek:
1463
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 70 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
15. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB je dáno: b = 30 cm, b = 67°. Vypočti délku odvěsny a.
12,7 cmVýsledek:
1460
16. Na obrázku jsou narýsovány tečny t1 a t2 z bodu P ke kružnici k(S; 3 cm). Platí: |PS| = 9,6 cm. Vypočti délku tětivy T1T2.
5,7 cmVýsledek:
1476
17. Délka a šířka obdélníku jsou v poměru 8 : 5. Jak velké úhly svírá úhlopříčka obdélníku s jeho stranami?
S delší stranou 32°, s kratší stranou 58°.Výsledek:
1469
18. Profil příkopu na obrázku je rovnoramenný lichoběžník se základnami dlouhými 60 cm a 80 cm. Sklon boční stěny příkopu je 80°. Vypočti hloubku příkopu.
56,7 cmVýsledek:
1472
19. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí:a = 24 cm, c = 30 cm.
b = 18 cm, a = 53°08´, b = 36°52´, g = 90°Výsledek:
1464
20. V rovnoramenném trojúhelníku XYZ je dána délka jeho základny |XY| = z = 9 cm a velikost úhlu |úhel XYZ|= 50°10´. Vypočti obsah tohoto trojúhelníku.
24,3 cm2Výsledek:
1474
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 71 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
21. V pravoúhlém trojúhelníku EFG jsou dány délky odvěsen |FG| = e = 10,4 m a |EG| = f = 6,8 m. Vypočti velikosti jeho ostrých úhlů při vrcholech E a F.
Úhel při vrcholu E má velikost 56°49´a úhel při vrcholu F má velikost 33°11´Výsledek:
1468
22. Jedna část střechy má tvar obrazce složeného z obdélníku a z kosodélníku (viz obrázek). Vypočti spotřebu tašek na její pokrytí, počítá-li se s 18 taškami na jeden metr čtverečný a s osmi procenty tašek navíc z důvodu jejich tvarové úpravy.
1040 ksVýsledek:
1477
Tabulka důležitých hodnot gon. funkcí±
Tabulka důležitých hodnot goniometrických funkcí
Goniometrické funkce úhlů větších než 90°±
Goniometrické funkce úhlů větších než 90°
Určíme snadno z jednotkové kružnice na základě znalosti úhlů do 90°.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 72 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Všimněme si, že pro základní úhel a vychází funkce sinus jako svislá úsečka (označena červeně) a funkce kosinus jako vodorovná úsečka (označena modře). Navíc pro základní úhel a je funkce sinus "krátká" úsečka a funkce kosinus "dlouhá" úsečka. Toho všeho využijeme pro určení dalších vzorců.Obrázek naší jednotkové kružnice využijeme pro určení vzorců pro úhly velikosti (90° + a). Pro určení dalších vzorců budou úvahy analogické, proto už budou pouze popsány slovy (bez náčrtku jednotkové kružnice).
Platí tedy:sin (90° + a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladnýZávěr:sin (90° + a) = cos a
cos (90° + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek zápornýZávěr:cos (90° + a) = - sin a
Hodnoty tangens a kotangens určíme z právě uvedených hodnot funkcí sinus a kosinus pomocí známých vzorců:
( ) ( )( )
aa
a
a
aa cotg
sin
cos
90cos
90sin90 -=
-=
+
+=+tg
( ) ( )( )
aa
a
a
aa tg-=
-=
+
+=+
cos
sin
90sin
90cos90cotg
--------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (180 -a):
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 73 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické.sin (180° - a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladnýZávěr:sin (180° - a) = sin a
cos (180° - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek zápornýZávěr:cos (180° - a) = - cos a
( ) ( )( )
aa
a
a
aa tg
cos
sin
180cos
180sin180 -=
-=
-
-=-tg
( ) ( )( )
aa
a
a
aa cotg
sin
cos
180sin
180cos180cotg -=
-=
-
-=-
--------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (180 + a):Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické.sin (180° + a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek zápornýZávěr:sin (180° + a) = - sin a
cos (180° + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek zápornýZávěr:cos (180° + a) = - cos a
( ) ( )( )
aa
a
a
aa tg
cos
sin
180cos
180sin180 =
-
-=
+
+=+tg
( ) ( )( )
aa
a
a
aa cotg
sin
cos
180sin
180cos180cotg =
-
-=
+
+=+
--------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (270 - a):Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické.sin (270° - a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek zápornýZávěr:sin (270° - a) = - cos a
cos (270° - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek zápornýZávěr:cos (270° - a) = - sin a
( ) ( )( )
aa
a
a
aa cotg
sin
cos
270cos
270sin270 =
-
-=
-
-=-tg
( ) ( )( )
aa
a
a
aa tg
cos
sin
270sin
270cos270cotg =
-
-=
-
-=-
--------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (270 + a):Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 74 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
sin (270° + a) = červená (svislá) úsečka; protože je dlouhá, jde tedy o kosinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek zápornýZávěr:sin (270° + a) = - cos a
cos (270° + a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je krátká, jde o sinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladnýZávěr:cos (270° + a) = sin a
( ) ( )( )
aa
a
a
aa cotg
sin
cos
270cos
270sin270 -=
-=
+
+=+tg
( ) ( )( )
aa
a
a
aa tg
cos
sin
270sin
270cos270cotg -=
-=
+
+=+
--------------------------------------------------------------------------Nyní budeme zkoumat hodnoty úhlu (360 - a):Úvahy z jednotkové kružnice jsou analogické.sin (360° - a) = červená (svislá) úsečka; protože je krátká, jde tedy o sinus a protože směřuje do záporné poloosy, je výsledek zápornýZávěr:sin (360° - a) = - sin a
cos (360° - a) = (modrá) vodorovná úsečka; protože je dlouhá, jde o kosinus a protože směřuje do kladné poloosy, je výsledek kladnýZávěr:cos (360° - a) = cos a
( ) ( )( )
aa
a
a
aa tg
cos
sin
360cos
360sin360 -=
-=
-
-=-tg
( ) ( )( )
aa
a
a
aa cotg
sin
cos
360sin
360cos360cotg -=
-=
-
-=-
Ukázkové příklady:
Příklad 1:
Vypočtěte:sin 330° - cos 210° + tg 150° - 0,5 tg 45°
Řešení:
sin (360°- 30°) - cos (180° + 30°) + tg (180° - 30°) - 0,5 . 1 = = - sin 30° - (- cos 30°) + (- tg 30°) - 0,5 =
=--+-
=--+-=6
332333
2
1
3
3
2
3
2
1
6
31
6
333+-=
-+-=
Příklad 2:
Vypočtěte:sin 660° - cos 585° + 0,5 . tg 780° + tg 495°
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 75 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Řešení:
Při řešení využijeme vlastností, že goniometrické funkce jsou periodické. U funkcí sinus a kosinus můžeme libovolně přičítat (odečítat) periodu 360°, resp. její násobky. U funkcí tangens a kotangens můžeme libovolně přičítat nebo odečítat násobky periody, kterou je 180°.
sin 660° - cos 585° + 0,5 . tg 780° + tg 495° = sin 300° - cos 225° + 0,5 . tg 60° + tg 135° = = sin (360° - 60°) - cos (180° + 45°) + 0,5 . tg 60° + tg (90° + 45°) == - sin 60° - (- cos 45°) + 0,5 . tg 60° + (- cotg 45°) =
=-++-= 13.2
1
2
2
2
3
=-++-
=2
2323
12
2-=
Goniometrické funkce úhlů větších než 90° - procvičovací příklady±
1.
-0,577Výsledek:
1735
2.
-1Výsledek:
1730
3.
1Výsledek:
1719
4.
0,125Výsledek:
1724
5.
-0,866Výsledek:
1720
6.
0Výsledek:
1715
7.
-0,707Výsledek:
1722
8.
1,155Výsledek:
1738
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 76 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
9.
-0,577Výsledek:
1728
10.
0,25Výsledek:
1713
11.
-1Výsledek:
1731
12.
-1,155Výsledek:
1739
13.
4Výsledek:
1744
14.
0,134Výsledek:
1742
15.
-1,732Výsledek:
1729
16.
0,707Výsledek:
1716
17.
-1Výsledek:
1736
18.
-1,732Výsledek:
1734
19.
-0,707Výsledek:
1723
20.
0,866Výsledek:
1718
21.
-2Výsledek:
1743
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 77 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
22.
0Výsledek:
1741
23.
0Výsledek:
1714
24.
0Výsledek:
1725
25.
0Výsledek:
1740
26.
1,732Výsledek:
1727
27.
0,577Výsledek:
1732
28.
1Výsledek:
1712
29.
0,577Výsledek:
1726
30.
1,732Výsledek:
1733
31.
-0,707Výsledek:
1721
32.
-1Výsledek:
1737
33.
-0,5Výsledek:
1717
Vztahy mezi goniometrickými funkcemi±
Vztahy mezi goniometrickými funkcemi
Vztahy mezi goniometrickými funkcemi využíváme ke zjednodušování výrazů obsahujících goniometrické funkce a dále i k řešení goniometrických rovnic, jimiž se budeme zabývat později.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 78 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Přehled důležitých vzorců, které budeme často využívat:
x
xtgx
cos
sin=
x
xx
sin
coscotg =
sin (-x) = - sin xcos (-x) = cos xtg (-x) = - tg xcotg (-x) = - cotg x
sin2 x + cos
2 x = 1
tg x . cotg x = 1
sin (x + y) = sin x . cos y + cos x . sin ysin (x - y) = sin x . cos y - cos x . sin ycos (x + y) = cos x . cos y - sin x . sin ycos (x - y) = cos x . cos y + sin x . sin y
tgytgx
tgytgxyxtg
.1)(
-
+=+
tgytgx
tgytgxyxtg
.1)(
+
-=-
sin 2x = 2sin x . cos xcos 2x = cos
2 x - sin
2 x
xtg
tgxxtg
21
22
-=
2
cos1
2sin
xx -=
2
cos1
2cos
xx +=
x
xxtg
cos1
cos1
2 +
-=
2cos
2sin2sinsin
yxyxyx
-+=+
2sin
2cos2sinsin
yxyxyx
-+=-
2cos
2cos2coscos
yxyxyx
-+=+
2sin
2sin2coscos
yxyxyx
-+-=-
Příklad 1:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 79 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Řešení:
Příklad 2:
Řešení:
Příklad 3:
Řešení:
Příklad 4:
Řešení:
Příklad 5:
Řešení:
Příklad 6:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 80 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Řešení:
Příklad 7:
Řešení:
Příklad 8:
Řešení:
Příklad 9:
Řešení:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 81 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Příklad 10:
Řešení:
Vztahy mezi goniometrickými funkcemi - procvičovací příklady±
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 82 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
1.
2Výsledek:
1770
2.
Výsledek:
1762
3.
Výsledek:
1763
4.
Výsledek:
1773
5.
Výsledek:
1779
6.
Výsledek:
1766
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 83 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
7.
Výsledek:
1755
8.
Výsledek:
1761
9.
Výsledek:
1759
10.
Výsledek:
1774
11.
Výsledek:
1780
12.
Výsledek:
1757
13.
1Výsledek:
1771
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 84 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
14.
Výsledek:
1758
15.
Výsledek:
1778
16.
Výsledek:
1777
17.
Výsledek:
1775
18.
Výsledek:
1764
19.
Výsledek:
1756
20.
Výsledek:
1767
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 85 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
21.
Výsledek:
1765
22.
Výsledek:
1768
23.
Výsledek:
1772
24.
0Výsledek:
1769
25.
Výsledek:
1776
26.
Výsledek:
1760
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 86 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Goniometrické rovnice±
Goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice jsou takové rovnice, které obsahují neznámou v argumentu goniometrické funkce.
Při řešení goniometrických rovnic využijeme vztahů mezi goniometrickými funkcemi, znalosti grafů jednotlivých goniometrických funkcí a dále tabulky důležitých hodnot goniometrických funkcí. Vždy musíme vzít v úvahu periodu jednotlivých goniometrických funkcí.
Příklad 1:
Řešte rovnici sin x = 0,5
Řešení:
Z tabulky důležitých hodnot goniometrických funkcí víme, že sin x = 0,5 je splněno pro x = 30°.Platí tedy, že x1 = 30° + k.360°
Funkce sinus nabývá ale hodnoty 0,5 ještě pro úhel (180° - 30°) = 150° (k závěru dospějeme nejsnáze, pokud si představíme průběh grafu funkce sinus). Dostáváme tak druhé řešení:x2 = 150° + k.360°
Obě řešení lze vyjádřit i v obloukové míře:
Příklad 2:
Řešte rovnici:
2
3sin -=x
Řešení:
Pokud je hodnota záporná, vytvoříme si nejprve hodnotu pomocnou, a to s kladným znménkem. Řešíme tedy nejprve pomocnou rovnici
2
3sin =x
Vyjde nám tak pomocný úhel x0 = 60°. Protože ale hodnota má být ve skutečnosti záporná, určíme z grafu hodnotu neznámých:x1 = (180° + 60°) + k.360° = 240° + k.360°x2 = (360° - 60°) + k.360° = 300° + k.360°
I v tomto případě lze oba výsledky vyjádřit v obloukové míře:
Příklad 3:
Řešte rovnici sin 2x = 0,5
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 87 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Řešení:
V tomto případě je vhodné použít substituci: y = 2xŘešíme pak rovnici sin y = 0,5Z příkladu č. 1 už víme, že tato rovnice má dvě řešení:y1 = 30°+ k.360°y2 = 150° + k.360°Vrátíme se k substituci a dostaneme:2x1 = 30° + k.360° a odtud: x1 = 15° + k.180°2x2 = 150° + k.360° a odtud: x2 = 75° + k.180°
I tyto výsledky lze vyjádřit oba v obloukové míře:
Příklad 4:
Řešte rovnici: cos 3x . sin 2x = 0
Řešení:
Využijeme věty, že součin se rovná nule tehdy, je-li roven nule alespoň jeden z činitelů. Proto řešení rovnice rozdělíme na dvě části:1. část:Řešíme cos 3x = 0Substituce: y = 3xRovnice cos y = 0 má řešení:y1 ́= 90° + k . 360°y2 ́= 270°+ k . 360°Vzhledem k tomu, že ale 270° = 3 . 90°, vidíme, že vlastně lze oba výsledky sloučit do jednoho, protože se vlastně jedná o všechny liché násobky čísla 90°.Získáme tak řešení:y1 = (2k + 1) . 90°
Pozn.: Liché násobky vyjadřujeme (2k + 1), kde k je libovolné celé číslo, a sudé násobky vyjadřujeme 2k, kde k je libovolné celé číslo.
Vrátíme se k substituci a získáme:3x1 = (2k + 1) . 90° neboli x1 = (2k + 1) . 30°
2. část:Řešíme sin 2x = 0Substituce: y = 2xRovnice sin y = 0 má dvě řešení:y1́ = 0° + k . 360°y2́ = 180° + k . 360°Vzhledem k tomu, že ale 180° = 2 . 90° a 0° = 0 . 90°, vidíme, že se vlastně vždy jedná o sudé násobky čísla 90° a při představení si grafu zjistíme, že se jedná o všechny sudé násobky čísla 90°. Získáme tak opět jediné řešení:y2 = 2k . 90°Vrátíme se k substituci a získáme:2x2 = 2k . 90° neboli x2 = k . 90°
Oba konečné výsledky lze opět vyjádřit v obloukové míře:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 88 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Příklad 5:
Řešte rovnici: 4cos2x + 4cosx - 3 = 0
Řešení:
Substituce y = cos xZískáme tak kvadratickou rovnici 4y
2 + 4y - 3 = 0
Zjistíme, že tato kvadratická rovnice má kořeny:y1 = -1,5 a y2 = 0,5Vrátíme se k substituci:cos x1 = -1,5Tato rovnice ale nemá řešení, protože obor hodnot funkce y = cos x je <-1; 1>cos x2 = 0,5x2 = 60° + k . 360°x3 = (360° - 60°) + k . 360° = 300° + k . 360°
Řešením tedy je x1 = 60° + k . 360°, x2 = 300° + k . 360°, neboli v obloukové míře:
Goniometrické rovnice - procvičovací příklady±
1. Řešte rovnici:
Výsledek:
1808
2. Řešte rovnici:
Výsledek:
1814
3. Řešte rovnici:
Výsledek:
1811
4. Řešte rovnici: sin2 x - cos
2 x + sin x = 0
Výsledek:
1794
5. Řešte rovnici:
Výsledek:
1826
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 89 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
6. Řešte rovnici:
Výsledek:
1833
7. Řešte rovnici: 6sin2 x + 3sin x . cos x - 5cos
2 x = 2
Výsledek:
1800
8. Řešte rovnici:
Výsledek:
1825
9. Řešte rovnici:
Výsledek:
1816
10. Řešte rovnici:
Výsledek:
1824
11. Řešte rovnici:
Výsledek:
1785
12. Řešte rovnici:
Výsledek:
1820
13. Řešte rovnici: cos 2x = 1Výsledek:
1781
14. Řešte rovnici:
Výsledek:
1823
15. Řešte rovnici: cotg 6x = -1Výsledek:
1784
16. Řešte rovnici:
Výsledek:
1829
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 90 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
17. Řešte rovnici:
Výsledek:
1815
18. Řešte rovnici:
Výsledek:
1805
19. Řešte rovnici:
Výsledek:
1809
20. Řešte rovnici:
Výsledek:
1813
21. Řešte rovnici:
Výsledek:
1822
22. Řešte rovnici:
Výsledek:
1806
23. Řešte rovnici: 2tg x - 3cotg x = 1Výsledek:
1792
24. Řešte rovnici:
Výsledek:
1831
25. Řešte rovnici:
Výsledek:
1832
26. Řešte rovnici:
Výsledek:
1791
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 91 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
27. Řešte rovnici:
Výsledek:
1819
28. Řešte rovnici:
Výsledek:
1807
29. Řešte rovnici: 2sin2 x + sin x - 1 = 0
Výsledek:
1793
30. Řešte rovnici: 3cos2 x - sin
2 x - sin 2x = 0
Výsledek:
1790
31. Řešte rovnici: cos 2x = cos2 2x
Výsledek:
1803
32. Řešte rovnici:
Výsledek:
1818
33. Řešte rovnici: 2sin2 x = 3cos x
Výsledek:
1795
34. Řešte rovnici:
Výsledek:
1830
35. Řešte rovnici:
Výsledek:
1788
36. Řešte rovnici:
Výsledek:
1783
37. Řešte rovnici: sin 2x = 3sin2 x
Výsledek:
1797
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 92 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
38. Řešte rovnici:
Výsledek:
1817
39. Řešte rovnici: 7sin x + 4cos x = 8Výsledek:
1802
40. Řešte rovnici:
Rovnice nemá řešení.Výsledek:
1827
41. Řešte rovnici:
Výsledek:
1828
42. Řešte rovnici: sin2 x - 2sin x . cos x - cos
2 x = 0
Výsledek:
1799
43. Řešte rovnici: sin x . (1 + 2cos x) = 0Výsledek:
1787
44. Řešte rovnici: sin x . cos x == 0,25Výsledek:
1789
45. Řešte rovnici:
Výsledek:
1821
46. Řešte rovnici:
Výsledek:
1812
47. Řešte rovnici:
Výsledek:
1810
48. Řešte rovnici: sin2 x + 1,5cos
2 x = 2,5sin x . cos x
Výsledek:
1801
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 93 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
49. Řešte rovnici:
Výsledek:
1798
50. Řešte rovnici: tg x = 1Výsledek:
1782
51. Řešte rovnici:
Výsledek:
1804
52. Řešte rovnici: cos 2x = 2cos xVýsledek:
1796
53. Řešte rovnici: sin x . cotg 2x = 0Výsledek:
1786
Sinová věta±
Sinová věta
Věta: V trojúhelníku ABC platí: a : b : c = sina : sinb : sing
Lze zapsat i jinak:
b
a
sin
sin=
b
a
; g
b
sin
sin=
c
b
; a
g
sin
sin=
a
c
nebo
gba sinsinsin
cba==
Důkaz:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 94 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Volme jednotkovou kružnici.Platí:
r
aaBC ==
Použijeme pro trojúhelník ZBC Pythagorovu větu:
( )
( ) ( )aa
aaaaaa
aaaaa
22
2222
2222
2
22
sin4sin2.2
sincoscossin.22cos1.22cos2-2
2cos2cos212sin2cos12sin
==
=+-+=-==
=+-+=-+==r
aBC
a2
2
2
sin4=r
a
a, r, sina jsou kladné hodnoty, proto můžeme odmocnit a dostaneme:
ra
2sin
=a
Obdobně bychom dokázali:
rb
2sin
=b ;
rc
2sin
=g
Odtud tedy platí:
gba sinsinsin
cba==
Slovní vyjádření věty:Poměr dvou stran v trojúhelníku je roven poměru sinů protilehlých úhlů.
Užití sinové věty:Známe-li buď dva úhly a jednu stranu nebo dvě strany a úhel ležící proti jedné z nich.
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 95 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Sinová věta platí pro obecný trojúhelník, nikoliv tedy jen pro trojúhelník pravoúhlý.
Příklad 1:
Řešte trojúhelník ABC, je-li dáno:a = 123,07 mb = 65° 30´ 12´´g = 72° 02´ 36´´-----------------------------------Známe stranu a, proto potřebujeme znát i úhel ležící proti ní. Snadno ho vypočteme:a = 180° - (b + g ) = 180° - (65° 30´ 12´´ + 72° 02´ 36´´) = 180° - 137° 32´ 48´´== 42° 27´12´´
ba sinsin
ba=
a
b
sin
sin.ab =
´´12´2742sin
´´12´3065sin.07,123
°
°=b
b = 165,92 m
ga sinsin
ca=
a
g
sin
sin.ac =
´´12´2742sin
´´36´0272sin.07,123
°
°=c
c = 173,45 m
V zadaném trojúhelníku má tedy úhel a velikost 42°27´12´´, strana b je dlouhá 165,92 metru a strana c má délku 173,45 m.
Sinová věta - procvičovací příklady±
1.
46 mVýsledek:
1845
2.
Výsledek:
1846
3. Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu B trojúhelníku ABC, je-li dáno:
21° 34´ 48´´Výsledek:
1841
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 96 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
4.
Výsledek:
1847
5.
103 mVýsledek:
1843
6.
43,3 mVýsledek:
1844
7. Určete ostatní úhly v trojúhelníku ABC, je-li dáno:
Výsledek:
1839
8.
107,8 mVýsledek:
1834
9. Určete délku strany b trojúhelníka ABC, je-li dáno:
251,6 mVýsledek:
1837
10.
Výsledek:
1848
11. Určete délku strany a trojúhelníka ABC, je-li dáno:
23,75 mVýsledek:
1836
12. Vypočti stranu c, je-li v trojúhelníku ABC dáno:
11,35 mVýsledek:
1835
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 97 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
13.
2094 mVýsledek:
1849
14. Určete délku strany c trojúhelníka ABC, je-li dáno:
319,1 mVýsledek:
1838
15. Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu A trojúhelníku ABC, je-li dáno:
13° 18´ 36´´Výsledek:
1840
16.
8 523,3 m 8 219 mVýsledek:
1842
Kosinová věta±
Kosinová věta
Věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly a, b, g , a stranami a, b, c platí: a
2 = b
2 + c
2 - 2bc.cosa
b2 = a
2 + c
2 - 2ac.cosb
c2 = a
2 + b
2 - 2ab.cosg
Důkaz:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 98 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
2
222
c
aBCa ==
a
aaaaa
cos2
1
sincoscos2sincos
2
2
22
2
22
22
c
b
c
b
c
b
c
b
c
bBC
-+=
=++-=+÷ø
öçè
æ-=
a2 = b
2 + c
2 - 2bc.cosa
Je-li a > 90°, pak cosa = - cos(180° - a) a platí tedy:a
2 = b
2 + c
2 +2bc.cos(180° - a)
Kosinová věta platí též, podobně jako sinová věta, pro obecný trojúhelník.
Příklad 1:
Řešte trojúhelník, je-li dáno: a = 7 cm, c = 4 cm, b = 78°
Řešení:
a = 7 cmc = 4 cmb = 78°b = ? [cm]a = ? [° ´]g = ? [° ´]--------------------------------------b
2 = a
2 + c
2 - 2ac.cosb
b2 = 7
2 + 4
2 - 2 . 7 . 4 . cos 78°
b2 = 49 + 16 - 56 . cos 78°
b2 = 53,3576
b = 7,3 cm (po zaokrouhlení)
ba sinsin
ba=
b
a ba
sin.sin =
9379,03,7
78sin.7sin =
°=a
a = 69° 42´
ga sinsin
ca=
a
c ag
sin.sin =
5359,07
´4269sin.4sin =
°=g
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 99 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
g = 32° 24´
Závěr: Zbývající prvky trojúhelníka jsou b = 7,3 cm, a = 69° 42´, g = 32° 24´.
Poznámka: Úhly a a g můžeme též vypočítat podle Kosinové věty:
a2 = b
2 + c
2 - 2bc . cos a
bc
acb
2cos
222 -+=a
3474,04.3,7.2
743,7cos
222
=-+
=a
a = 69°40´
c2 = a
2 + b
2 - 2ab . cos g
ab
cba
2cos
222 -+=g
8443,03,7.7.2
43,77cos
222
=-+
=g
g = 32°24´
Výsledky jsou tedy přibližně stejné. Nepatrná odchylka vznikla zaokrouhlením úhlů na minuty. Kdybychom počítali ve vteřinách, byly by výpočty přesnější.
Kosinová věta - procvičovací příklady±
1. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 16,9 m, b = 26 m, c= 27,3 m
36° 52´Výsledek:
1877
2. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 6 m, b = 11 m, c= 7 m
115° 23´Výsledek:
1859
3.
365,3 mVýsledek:
1850
4.
5,6Výsledek:
1851
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 100 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
5. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 16,9 m, b = 26 m, c= 27,3 m
75° 45´Výsledek:
1879
6. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 4 : 5 : 6
55° 46´Výsledek:
1871
7. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 6 m, b = 11 m, c= 7 m
29° 32´Výsledek:
1858
8. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 16,9 m, b = 26 m, c= 27,3 m
67° 23´Výsledek:
1878
9. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 40 m, b = 23 m, c= 23 m
120° 49´Výsledek:
1866
10. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 6 m, b = 11 m, c= 7 m
35° 05´Výsledek:
1860
11.
7Výsledek:
1856
12.
117° 17´Výsledek:
1881
13. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 1 : 2 : 3
Trojúhelník neexistuje.Výsledek:
1875
14. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 1 : 2 : 3
Trojúhelník neexistuje.Výsledek:
1874
15. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 26° 38´16´´, b = 683,1 m, c= 534,7 m
103° 55´Výsledek:
1862
16. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 40 m, b = 23 m, c= 23 m
29° 35´ 30´´Výsledek:
1865
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 101 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
17.
5,3Výsledek:
1853
18. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 2 : 3 : 4
104° 29´Výsledek:
1869
19.
8 885 mVýsledek:
1884
20.
75° 11´Výsledek:
1880
21. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a: b : c = 2 : 3 : 4
46° 34´Výsledek:
1868
22.
70° 32´ 38° 56´Výsledek:
1876
23.
1 825 NVýsledek:
1857
24.
2,5Výsledek:
1855
25.
1635 mVýsledek:
1883
26.
5Výsledek:
1852
27.
3,6Výsledek:
1854
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 102 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
28. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 2 : 3 : 4
28° 57´Výsledek:
1867
29. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 40 m, b = 23 m, c= 23 m
29° 35´ 30´´Výsledek:
1864
30. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 4 : 5 : 6
82° 49´Výsledek:
1872
31. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 1 : 2 : 3
Trojúhelník neexistujeVýsledek:
1873
32.
59° 70° 32´ 50° 28´ Výsledek:
1882
33. Určete velikost strany a v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 26° 38´16´´, b = 683,1 m, c= 534,7 m
315,5 mVýsledek:
1863
34. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c = 4 : 5 : 6
41° 25´Výsledek:
1870
35. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno:a = 26° 38´16´´, b = 683,1 m, c= 534,7 m
49° 27´Výsledek:
1861
Komplexní čísla±
Komplexní čísla
Obor komplexních čísel je nejvyšším číselným oborem, s nímž se při studiu na střední škole seznámíme. Je vlastně jakousi nadmnožinou oboru reálných čísel. Znamená to tedy, že reálná čísla jsou zvláštním případem čísel komplexních.
Komplexní čísla označujeme C.
Na rozdíl od reálných čísel, která můžeme znázornit na číselné ose, čísla komplexní můžeme znázornit pouze tehdy, pokud máme osy svě (na sebe kolmé). Komplexní čísla tedy znázorňujeme uspořádanou dvojicí, podobně jako body v kartézské soustavě souřadnic.
Pozn.: Uspořádaná dvojice je dvojice čísel, kde záleží na jejich pořadí. Tuto dvojici čísel zapisujeme do hranaté závorky.
Rovina, v níž zobrazujeme komplexní čísla, se nazývá rovina komplexních čísel nebo také Gaussova rovina.Osa x se v Gaussově rovině nazývá osa reálných čísel (reálná osa) a nanášíse na ni reálná část komplexního čísla (tj. první složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje), osa y se nazývá osa ryze imaginárních čísel (imaginární osa) a nanáší se na ni imaginární část komplexního čísla (tj. druhá složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje).
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 103 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Komplexní číslo z znázorněné na obrázku tedy můžeme znázornit buď [a1; a2] nebo způsobem uvedeným v obrázku, a to z = a1 + a2 i. Tento zápis nazýváme algebraickým zápisem komplexního čísla. Číslo i se nazývá imaginární jednotka a platí: i = [0; 1].Pro imaginární jednotku platí:i2 = -1
i3 = -i
i4 = +1
i5 = i
i6 = -1
atd...
Algebraický tvar komplexního čísla
Nechť je dáno komplexní číslo a = [a1; a2]. Jeho vyjádření ve tvaru z = a1 + a2i se říká algebraický tvar komplexního čísla. Číslo a1 představuje reálnou část komplexního čísla, číslo a2 představuje imaginární část komplexního čísla. Výhodou tohoto vyjádření komplexního čísla je to, základní početní operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru je možné provádět stejným způsobem jako kdyby šlo o reálné dvojčleny.
Absolutní hodnota komplexního čísla
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 104 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Absolutní hodnota komplexního čísla představuje jeho vzdálenost od počátku souřadného systému (průsečíku reálné a imaginární osy). K jejímu určení tedy stačí znalost Pythagorovy věty.Platí vzorec:
2
2
2
1 aaz +=
Komplexní jednotka
Komplexní jednotka je komplexní číslo z, jehož absolutní hodnota je rovna 1.Platí tedy |z| = 1
Čísla komplexně sdružená
Čísla komplexně sdružená označujeme . [čteme zet s pruhem]Velikost komplexního čísla z a velikost čísla k němu komplexně sdruženého se sobě rovnají.
Součet komplexního čísla a čísla k němu komplexně sdruženého je číslo reálné.
Součin komplexního čísla a čísla komplexně sdruženého je opět číslo reálné.
Rovnost komplexních čísel
Komplexní čísla z1 = a1 + b1i a z2 = a2 + b2i jsou si rovna, jestliže jsou si rovny jejich reálné a imaginární části, tj. platí a1 = a2 a zároveň b1 = b2
Součet komplexních čísel
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 105 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich součet tak, že se sčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný součet (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině
Rozdíl komplexních čísel
Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich rozdíl tak, že se odčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný rozdíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině
Součin komplexních čísel
Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich součin tak, že se roznásobí reálné a imaginární části obou komplexních čísel (každý člen každým členem). Výsledný součin má potom následující souřadnice v Gaussově rovině
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 106 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Podíl komplexních čísel
Pro komplexní čísla a = [a1; a2] a b = [b1; b2] ve tvaru a = a1 + a2i, b = b1 + b2i se definuje jejich podíl takto:
Výsledný podíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 107 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Je patrné, že podíl dvou komplexních čísel ve tvaru zlomku se vypočte tak, že se zlomek rozšíří číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli (děliteli).
Goniometrický tvar komplexního čísla
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 108 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Moivreova věta
Moivreova věta říká, že součin dvou komplexních jednotek je opět komplexní jednotka, jejíž argument je roven součtu argumentů obou činitelů. Z této věty plyne vztah pro n-tou mocninu komplexní jednotky:
a vztah pro n-tou mocninu komplexního čísla:
Příklad 1:
Řešení:
Příklad 2:
Řešení:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 109 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Příklad 3:
Řešení:
Příklad 4:
Řešení:
Příklad 5:
Řešení:
Příklad 6:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 110 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Řešení:
Příklad 7:
Řešení:
Příklad 8:
Vypočtěte i148
Řešení:
Příklad 9:
Řešení:
Příklad 10:
Řešení:
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 111 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Příklad 11:
Řešení:
Komplexní čísla - procvičovací příklady±
1.
Výsledek:
1658
2.
x = 3; y = -2Výsledek:
1656
3.
3iVýsledek:
1638
4.
1 - iVýsledek:
1641
5.
Výsledek:
1666
6.
Výsledek:
1657
7.
Výsledek:
1632
8.
Výsledek:
1634
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 112 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
9.
Výsledek:
1646
10.
Výsledek:
1644
11.
1Výsledek:
1636
12.
1Výsledek:
1630
13.
Výsledek:
1637
14.
0Výsledek:
1650
15.
0,4Výsledek:
1652
16.
Výsledek:
1633
17.
Výsledek:
1639
18.
-iVýsledek:
1655
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 113 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
19.
18 + 4iVýsledek:
1654
20.
Výsledek:
1665
21.
Výsledek:
1645
22.
Výsledek:
1663
23.
1Výsledek:
1629
24.
-100Výsledek:
1647
25.
iVýsledek:
1642
26.
2iVýsledek:
1664
27.
Výsledek:
1660
28.
Výsledek:
1662
29.
Výsledek:
1661
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 114 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
30.
Výsledek:
1659
31.
10,6Výsledek:
1651
32.
2,83Výsledek:
1653
33.
Výsledek:
1649
34.
-7Výsledek:
1635
35.
Výsledek:
1648
36.
1Výsledek:
1631
37.
Výsledek:
1640
38.
Výsledek:
1643
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 115 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel±
Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel
Do této kapitoly spadají kvadratické rovnice, při jejichž řešení vychází diskriminant záporný.
Pozn.: Už dříve jsme řešili kvadratické rovnice a rozlišovali jsme situace, kdy diskriminant byl větší než nula - pak kvadratická rovnice měla dva reálné různé kořeny; pak jsme poznali situaci, kdy diskriminant vyšel roven nule - v tom případě měla kvadratická rovnice jeden dvojnásobný kořen a v případě, že diskriminant vyšel záporný, uváděli jsme dosud, že kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. V oboru komplexních čísel však řešení má.
Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel je založeno na poznatku, že v oboru komplexních čísel umíme odmocnit i zápornou odmocninu.
Platí totiž, že např. Ö(-4) = 2i
Kvadratická rovnice x2 = -4 pak má tedy dvě různá řešení, a to x1 = 2i a x2 = -2i
V oboru komplexních čísel má tedy každá kvadratická rovnice s reálnými koeficienty řešení.
Příklad 1:
V oboru komplexních čísel řešte rovnici 7x2 + 5 = 0
Řešení:
7x2 + 5 = 0
7 . (x2 + 5/7) = 0
x2 + 5/7 = 0
[x + i .Ö(5/7)] . [x - i . Ö(5/7)] = 0
x1 = - i . Ö(5/7)x2 = i . Ö(5/7)
Příklad 2:
V oboru komplexních čísel řešte rovnici 3x2 - 4x + 2 = 0
Řešení:
D = b2 - 4ac
D = (-4)2 - 4 . 3 . 2 = -8
a
Dbx
22,1
±-=
3.2
8)4(2,1
-±--=x
6
8.42,1
ix
±=
6
2.242,1
ix
±=
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 116 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
6
)2.2.(22,1
ix
±=
3
222,1
±=x
Do této kapitoly můžeme zahrnout i rozklady trojčlenů na součin v oboru komplexních čísel. K jejich určení totiž využíváme s výhodou řešení pomocné kvadratické rovnice.
Příklad 3:
Rozložte v součin lineárních činitelů trojčlen 4x2 - 12x + 25
Řešení:
Protože kořeny rovnice 4x2 - 12x + 25 = 0 jsou čísla
ii
x 22
3
8
256.122,1 ±=
±=
dostáváme:
( )( )ixix
ixixxx
432.432
22
3.2
2
3.425124 2
+---=
=÷ø
öçè
æ+-÷
ø
öçè
æ--=+-
Kvadratické rovnice v C - procvičovací příklady±
1.
Výsledek:
1965
2.
Výsledek:
1973
3.
Výsledek:
1963
4.
Výsledek:
1971
5.
Výsledek:
1970
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 117 z 118
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
6.
Výsledek:
1968
7.
Výsledek:
1964
8.
Výsledek:
1974
9.
Výsledek:
1967
10.
Výsledek:
1969
11.
Výsledek:
1972
12.
Výsledek:
1966
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00 118 z 118
Obsah
M - Matematika - třída 2ODK - celý ročník 1
Iracionální rovnice 1
Iracionální rovnice - procvičovací příklady 3
Planimetrie 5
Shodnost trojúhelníků, důkazy 13
Shodnost trojúhelníků - procvičovací příklady 15
Podobnost trojúhelníků 16
Podobnost trojúhelníků - procvičovací příklady 17
Eukleidovy věty 19
Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná 21
Eukleidovy věty - procvičovací příklady 23
Pythagorova věta 25
Pythagorova věta - procvičovací příklady 26
Výpočty rovinných útvarů 27
Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady 27
Shodná zobrazení 47
Shodná zobrazení - procvičovací příklady 48
Orientovaný úhel 51
Stupňová a oblouková míra - procvičovací příklady 54
Jednotková kružnice 56
Funkce sinus 56
Funkce kosinus 61
Funkce tangens 62
Funkce kotangens 64
Řešení pravoúhlého trojúhelníka 65
Pravoúhlý trojúhelník - procvičovací příklady 68
Tabulka důležitých hodnot gon. funkcí 72
Goniometrické funkce úhlů větších než 90° 72
Goniometrické funkce úhlů větších než 90° - procvičovací příklady 76
Vztahy mezi goniometrickými funkcemi 78
Vztahy mezi goniometrickými funkcemi - procvičovací příklady 82
Goniometrické rovnice 87
Goniometrické rovnice - procvičovací příklady 89
Sinová věta 94
Sinová věta - procvičovací příklady 96
Kosinová věta 98
Kosinová věta - procvičovací příklady 100
Komplexní čísla 103
Komplexní čísla - procvičovací příklady 112
Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel 116
Kvadratické rovnice v C - procvičovací příklady 117
Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)29.10.2007 20:20:00