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7/21/2019 Variationsrechnung Mller
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Skriptum zur Vorlesung
Variationsrechnung
5. August 2001
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INHALTSVERZEICHNIS 1
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung 2
1.1 Beispiele zur Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Die EulerLagrange Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Topologische Grundbegriffe 4
3 Unterhalbstetigkeit von Integraloperatoren 8
3.1 Unterhalbstetigkeit von Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Lokale Integrierbarkeit, Dualit at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Koerzivit at von Variationsintegralen 16
4.1 Variationsproblem mit freien Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5 Superpositionsoperatoren 20
5.1 Anwendung von Satz 5.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 VariationGateauxableitungFrechetableitung 29
7 Differenzierbarkeit von Superpositionsoperatoren 32
8 Beispiele 348.1 Wichtige Bemerkung und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9 Polykonvexit at 40
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1 EINLEITUNG 2
1 Einleitung
1.1 Beispiele zur Variationsrechnung
Beispiel 1.1. (a) Klassische Mechanik (Maupertius, kleinste Wirkung):Sei u : [0, T ] 3, V : 3 Potentialfeld
T 0 12 |u(t)| V (u(t))dt min(b) Optik:
n : 3 Brechungsindex
10 |u (t) |n(t) dt minwobei u(0) = A, u(1) = B erf ullt sein soll.
(c) Kontinuumsmechanik: 3, u : 3 Deformation des K orpers, W gespeicherte Energie
W (D u ) dx min(d) Elektrostatik:
p : 3 LadungsverteilungElektrostatisches Potential
| u(x)|2 (x)u(x) dx min u(x) = (x)
(Elliptischer Differentialoperator)
1.2 Die EulerLagrange Gleichungen
Sei U n offen, U glatt
L : n U ( p1 , . . . , p n , z , x 1 , . . . , x n ) L( p1 , . . . , p n , z , x 1 , . . . , x n )
Frage: Sei A := {w|U = g}
I (u) :=
U
L(Du (x), u(x), x) dx (1.1)
Welche Eigenschaften erf ullt u, wennI (u) = inf
wAI (w)
Antwort:u erf ullt die EulerLagrange Gleichungen:
n
i =1
[L pi (u,u,x )]x i + Lz (u,u,x ) = 0 (1.2)
wobei L pi := p i L, Lz := z L
Spezialf alle:
(a) L( p, z, x) = 12 | p|2 = 12
n
i =1 p2i
L pi = pi Lz = 0 I (w) = |w(x) |2 dxI (u) = minwA I (w) u = 0
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1 EINLEITUNG 3
(b) L( p, z, x) = 12n
i,j =1a ij (x) pi pj zf (x)
L pi = a ij (x) pj f ur i = 1, . . . , nLz = f (x)I (w) =
12
U
n
i,j =1 aij
(x)wx i (x)wx j (x) w(x)f (x)
i
n
j =1a ij (x)wx j x i x = f (x)
div A(x) grad u = f (x)
(c) f : F (z) = z0 f (y)dyL( p, z, x) = 12 | p|2 F (z)L pi = pi Lz = f (z)I (w) = 12 |w|2 F (w) dxI (w) = min wA I (w) u = f (u)
Welche Bedingungen an L garantieren die Existenz eines Minimums f ur I wie in (1.1)? Also mit
I (w) := L(Dw (x), w(x), x) dxNotation 1.2. n , u = ( u1 , . . . , u m ) : m u = ( j uk )mj =1 nk=1Antwort: f : n nm sei
(a) mebar bez. 1. Komponente
(b) stetig bez. 2. und 3. Komponente
(c) f (x,, ) konvex
I : W 1 ,p (, m ) +
u f (x, u (x), u (x)) dxist W 1 p schwachfolgenunterhalbstetig
(d) f (x,, ) || p | |q f ur x n nm , q < p
Dann ist I : W 1 ,p () + koerziv.
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2 TOPOLOGISCHE GRUNDBEGRIFFE 4
2 Topologische Grundbegriffe
Lemma 2.1 (Fundamentallemma der Variationsrechnung). Sei E Banachraum (z.B: L p(), W 1,p (),W 1,p ( )), X E sei schwachfolgenkompakt. I : X sei schwachfolgenunterhalbstetig.
Dann gilt: u X : I (u) = inf wX
I (w).
Lemma 2.2. Sei A kompakt, f : A unterhalbstetig (uhst.).Dann gilt:
a A : f (a) = minxA
f (x)
Beweis. f uhst. (xn x) f (x) lim inf f (xn )
Wahle xn A soda
f (xn ) ,
n sonst .Da A kompakt folgt
(xn j ) (xn ) : limj xn j = a
und damit die Behauptung:f (a)
uhst.liminf f (xn j ) = inf xA f (x)
f (a) = inf xA
f (x)
Denition 2.3. Sei f : . Dom f := {x |f (x) < } .f : heit koerziv, falls f (x) f ur |x | .
Lemma 2.4. Folgende Bedingungen seine erf ullt:
(a) A , abgeschlossen.
(b) f : A , Dom f = .
(c) f ist koerziv.
(d) f ist unterhalbstetig.
Dann gilt:a A : f (a) = inf
xAf (x)
Beweis. Aus (b) folgtx0 A : f (x0) <
aus (c)R x : |x | R f (x) > f (x0) + 1
und aus (a)AR := {x A |x | R}
ist kompakt.Damit folgt aus Lemma 2.2, da f R : AR ein Minimum besitzt also
a AR A x AR : f (a) f (x). (2.1)
Damit gilt:
x0 AR : f (x0) f (a)z A\ AR : f (z) f (x0) + 1 f (a) + 1z A\ AR : f (z) f (a) (2.2)
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2 TOPOLOGISCHE GRUNDBEGRIFFE 5
Aus (2.1) und (2.2) folgt nunw A : f (a) f (w)
.
Bemerkung 2.5. Sei I : W 1 ,p , w
L( w,w,x ) dx. Gesucht sind nun hinreichende Bedingungen an
L, soda I unterhalbstetig bzw. koerziv ist.
Unser Ziel werden nun folgende Aussagen sein:
Sei X normiert, B X normbeschr ankt und in X abgeschlossen ( bn B, bnX b b B ).
Dann ist B (X , X )kompakt.
X ist reexiv B X ist (X, X )kompakt.
Denition 2.6. E = heit Topologischer Raum , wenn zu jedem x E der Umgebungslter U (x) deniertist, wobei U (x) folgenden Axiomen gen ugt:
( U 1) U (x) P (x)
( U 2) U U (x): x U
( U 3) U U (x), V U V U (x)
( U 4) U, V U (x) V U U (x)
( U 5) U U (x) V U (x) y V : U U (y)
Denition 2.7. (a) Die Topologie , die von {U (x), x E } deniert wird ist gegeben durch
xE
U (x).
(b) Umgebungsbasis: B (x) U (x): U U (x) B B (x) : B U
Beispiel 2.8.E = ]0, 1[ (2.3)
B (x) = x 1n
, x + 1n
n (2.4)
U (x) = J J ist Obermenge einer offenen Teilmenge von ]0 , 1[, die x enth alt (2.5)
Denition 2.9. Eine Menge O E heit offen im Topologischen Raum ( E, ) :
x O B B (x) : B O
O := {O E O ist offen in (E, )}.
Es gelten folgende Axiome:
(O 1) E O, O
(O 2) A O, M : A := M A O(O 3) O1 , O2 , . . . , O n O ni=1 Oi OSei O P (E ) mit O(1) - O(3). Dann existieren eindeutig bestimmte Umgebungslter U (x) x E (undsomit ), sodaO = O O ist offen in (E, ) = O
Denition 2.10. x E heit Ber uhrpunkt von G E :
U B (x): U G =
G = x E x ist Ber uhrpunkt von G
G = G : G ist abgeschlossen
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2 TOPOLOGISCHE GRUNDBEGRIFFE 6
Satz 2.11. Es gilt: G E ist abgeschlossen E \ G ist offen in (E, ).
A := G E G ist abgeschlossen in (E, ) erf ullt:
( A 1) , E A (also abgeschlossen).
( A 2) A , M A = M A A (abgeschlossen).
( A 3) A1 , A2 , , AN A = N i =1 Ai A (abgeschlossen).Beweis. Der Beweis folgt sofort aus Denition 2.10.
Denition 2.12 (Schwache Konvergenz). xn E, x E : xn(E, ) x :
U B (x) n0 n > n 0 : xn U.
Beispiel 2.13. Sei E normiert, B (x) := y E : x y < 1K , K .Dann stimmen schwacher und starker Konvergenzbegriff uberein.
Bemerkung 2.14. xn(E, ) x x ist Ber uhrpunkt der Menge xn n in (E, ).
Denition 2.15 (Stetigkeit in Topologischen R aumen). Seien (E, ), (F, ) Topologische R ame.f : E F heit stetig :
V offen in (F, ) : f 1offen in (E, ) x V BF f (x) U BE (x) : f (U ) V
Bemerkung 2.16. (vgl. Analysis I)
f : stetig : > 0 > 0 : |w x | < | f (w) f (x)| <
]f (x) , f (x) + [
V
]x , x + [
U
: w ]x , x + [
U
f (w) ]f (x) , f (x) + [
V
Denition 2.17 (Folgenstetigkeit). f : E F heit folgenstetig:
(xn ) E : xn x f (xn )
f (x)
Denition 2.18. Sei E normiert, E bezeichne den Dualraum von E , > 0, X 1 , X 2 , . . . , X n E , x0 E .
U X 1 , ,X n (x0) := x E i n : |X i (x) X i (x0)| <
B (x0) := U X 1 , ,X n (x 0 ) n , X 1 , , X n E , > 0
B (x0) x0 E ist die Umgebungsbasis der schwachen (E, E ) Topologie (schwache Topologie auf E ).
Denition 2.19. Sei X E , x1 , . . . , x n E, > 0.
B (X ) := Z E |Z (x i ) X (x i )| < n , x1 , , xn E, > 0
B (X ) X E ist die Umgebungsbasis der (E , E ) Topologie (schwach*Topologie).
Denition 2.20. Sei S O, M E . Dann heit G G S offene Uberdeckung von M :
M GS
G
S G G S heit Teil uberdeckung :
M GS
G
Denition 2.21. K E heit kompakt : Jede offene Uberdeckung S von K besitzt eine endliche Teil uberdeckung.
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2 TOPOLOGISCHE GRUNDBEGRIFFE 7
Satz 2.22. Sei f : K (, || ) stetig.
K kompakt a, b K : f (a) = supxK
f (x) f (b) = inf xK
f (x)
Satz 2.23. Sei E der Dualraum von E .
(a) X i X i E 1 ist (E , E ) kompakt.
(b) X X E 1 ist kompakt dim E < .
Beispiel 2.24. Die Raume W k,p (), l p , L p() sind reexiv f ur 1 < p < aber nicht reexiv f ur p {1, } .C k () ist nicht reexiv.
Notation 2.25.W k,p () := H k ()
H k sind Hilbertr aume.
Denition 2.26. Sei f : X {}
Dom f := x X f (x) = f heit eigentlich : Dom f = 0
f heit koerziv : x f (x) f heit folgenuhst. : xn x f (x) liminf f (xn )
Lemma 2.27 (Fundamentallemma). Sei E reexiver Banachraum, X E schwachabgeschlossen,f : X { } koerziv und schwachfolgenuhst, Dom f = . Dann gilt
x0 X : f (x0) = inf xX
f (x)
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3 UNTERHALBSTETIGKEIT VON INTEGRALOPERATOREN 8
3 Unterhalbstetigkeit von Integraloperatoren
Im Folgendem sei stets n , u = ( u1 , . . . , u N ) : N , J (u ) = ( u1 , . . . , uN )mit u i = ( x 1 u i , . . . , x n u i )T
In diesem Kapitel wird unser Ziel folgendes Theorem sein:Theorem 3.1. Sei offen, 1 < p < , f : n nN mebar in 1. Komponente, stetig in 2. und 3. Komponente, f (x,, ) : f (x,, ) konvex.
I (u) := f x, u (x),u(x) dxDann gilt:
I : W 1,p () u I (u)
ist W 1,p (), W 1,p () folgenunterhalbstetig.
Erf ullt f zus atzlich noch f (x,, ) || p | |q
mit q < p, so ist I : W 1,p ()
koerziv.
3.1 Unterhalbstetigkeit von Integralen
Denition 3.2. Sei (, ) Maraum, X, Y topologische R aume
(a) f : X Y erf ullei) f (, x) Y : f (, x) ist mebar.
ii) f (, ) Y : x f (, x) ist stetig.
Dann heit f CaratheodoryFunktion.
(b) Sei u : X .
F : X Y
u ( f (, u())
heit Superpositionsoperator, Einsetzungsoperator.
Bemerkung 3.3. f (, u()) = F (u)()
Satz 3.4. Sei f : X m CaratheodoryFunktion und u : X mebar bzgl. (, ).Dann ist F (u) : m mebar bzgl. (, ).
Beweis. oBdA. m = 1.
u ist Limes mebarer Treppenfunktionen uk mit uk =m k
j =1
v j :=
A k j xk j , wobei xk j , Ak j paarweise dis- junkt (pwd.) und -mebar. uk () u()Es gilt
(a) F (uk ) ist mebar
(b) F (u)() = lim k F (uk )()
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3 UNTERHALBSTETIGKEIT VON INTEGRALOPERATOREN 9
ad (a)F (vk )() = F (xk j Ak j )()
f (, vk ()) =f (, xj ) falls Ak jf (, 0) falls / Ak j
Es gilt:
f (,x
xk j ) mebar in mebar in
A k j () + f (, 0) mebar in mebar in
A ck j ()damit gilt:
F m
j =1
vj () =m
j =1
f (, xk j ) A k j + f (, 0) [ A j ]C
ist mebar.ad (b) Folgt aus der Stetigkeit in der 2. Komponente.
3.2 Lokale Integrierbarkeit, Dualit at
Denition 3.5. (, ) kompakter Maraum, = n =1 K n , K n kompakt.u : mebar,u p,K := K |u | p d
1p
L plok () := u : u ist mebar K kompakt: u p,K <
Eine Metrik auf L plok () f ur 1 < p < ist deniert durch
d(u, v) :=
n =1
u v p,K n2n (1 + u v p,K n )
.
Mit u L plok () gilt:
(supp U )C = U offen, U, : U , stetig: ud = 0L pc () := u L
plok (, ) supp u ist kompakt
Satz 3.6. Mit den Bezeichnungen von Denition 3.5 gilt:
(a) L plok () = Lqc () f ur 1 p , 1 p +
1q = 1
(b) T : L plok () E , E normiert ist stetig
c K x K : T x c x p,K
(c) Sei v Lqc (), u L plok (). Ein Skalarprodukt ist deniert durch:
v, u = v()u() d()Beweis. Beweis von (a)
T (L1lok ) c K : |T u| < c u p,k
supp u K = T u = 0
T L p(K ) v Lq(K ) u L p(K ) : T u = K vu = Omega ( K v)u
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3 UNTERHALBSTETIGKEIT VON INTEGRALOPERATOREN 10
u L plok (): T u = ( K v)u,weil
u L plok () = u K + (1 K )u,
T u = T u K + T u(1 K )
Also ist jedes T L plok () durch v Lqc () gegeben. Umgekehrt ist auch jedes v Lqc durch einT L plok () gegeben, weil
v Lqc () K : supp v K (K ) <
u, v(K )
= K uv d(K ) u L p (K d ( K ) ) v L q (K d ( K ) )
AlsoS : L plok ()
u K uvderf ullt
C K : |S (u) | C u p,K
Damit folgt S L plok () .Es gilt mit q p, X Y, N offen
C (, n ) Llok (,
n ) Lqlok (,
n ) L plok (, n )
(X, d 1) (Y, d2) f f ist stetig
Bemerkung 3.7.L () > L q() > L p() > L 1()
L () Lq() L p() L1()
I : W 1,p schwachfolgenunterhalbstetig
| u | p L1() u W 1 ,p ()L1lok () u W
1 ,plok ()
Satz 3.8 (Hauptsatz 1). Seien X N , Y N konvex und abgeschlossen, : (X Y ) ,y (,x,y) Caratheodoryfunktion und konvex , x.I (u, v) = (, u(), v()) d. Dann gilt:
I : L1lok (), d1 L1lok (), (L1 , L )
(u, v ) I (u, v)
ist folgenunterhalbstetig. Das heit:
(xnL 1lok x yn
L 1lok y) I (x, y ) liminf I (xn , yn )
Satz 3.9 (abgeschlossene Graphen). Seien X, Y Banachr aume, T : X Y linear.(x ,Tx) x E X Y ist abgeschlossen
xnn x
ynn y
T x = y
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3 UNTERHALBSTETIGKEIT VON INTEGRALOPERATOREN 11
Bemerkung 3.10. T : X Y bijektiv, stetig ( T x C x )
T 1 : Y X ist stetig.
Es gilt also wieder T 1y C y . Es folgt
C x : 1C
x X T x Y C x X
T := (x ,Tx ) x X ist abgeschlossen in X Y .
T 1 := (T 1y, y) y Y ist abgeschlossen in Y X .
Siehe zu diesem Thema auch [6].
Satz 3.11. Sei X Banachraum, X der Dualraum von X . Weiters sei (xn ) Folge in X , soda
x X : x(xn ) n x(x) also xn x in X
Dann gilt:x X limsup xn .
Die Abbildung Id : (X, w ) (X, ) ist also folgenunterhalbstetig.
Beweis. Die Abbildung
T : X C x x(xn )
ist laut Voraussetzung wohldenert.
xkk x
T xk k y T x
= y
Also ist der Graph von T abgeschlossen. Mit Satz 3.9 folgt sofort T < . Andererseits gilt mit dem Satzvon Hahn-Banach:
x X = supxX
x(x) x 1
= supxX
limn
x(xn ) x 1
supxB X
supn
x(xn ) = supxB X
T x C
Beweis von Hauptsatz 1. Mit den Voraussetzungen des Satzes gilt u L1lok (), v L1lok (),
I (u, v) := (u, v) d()mit
(u, v)() := (, u(), v()) .
Wobei > 0 und (, v(), ) konvex ist auf nN . Zu zeigen ist
un u in L1lokvn w in L1lok
I (u, v) liminf n
I (un , vn )
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3 UNTERHALBSTETIGKEIT VON INTEGRALOPERATOREN 12
Schritt 1) Reduktion: Satz 3.8 ist wahr, wenn K , K kompakt gilt:
I k : L1(K ) (L1(K ), ) +
(u, v)
K
(u, v) dist folgen unterhalb stetig. (3.1)
Beweis von (1) Falls K L
I K ((u, v)) I L ((u, v)) ,weil > 0
Mit Voraussetzung gilt = K n , K n K n +1 kompakt. Mit Satz von der Monotonen KonvergenzgiltI (u, v ) = lim
n I K n (u, v) = sup
n I K n (u, v).
Es gilt immer:f n unterhalbstetig
f = supn
f n f unterhalbstetig (3.2)
mit f n : T .Beweis von (3.2) Sei xk Folge in K , xk x
f n (x) liminf k
f n (xk ) supn
f n (x) sup lim inf k
f n (xk )
liminf k
supn
f n (xk )
Schritt 2) Sei oBdA. kompakt. W ahle
u j u in L1()v
j v in L2()
sodaI (u, v) liminf
j I (u, v j ).
Sei > 0, L := lim I (u, v j ), wobei lim := lim inf. Bestimme Teilfolge ( vj k ) von (vj ), oBdA. ( vj )selbst, soda
I (u, v j ) L + .
J 1,...,n lj J l , lj 0,jJ l
lj = 1 v L1 :jJ l
vj lj
w l
L 1 ( K )l
v
(u, w l ) jJ l
vj lj (u, vk ), da konvex in der 2. Variable
(u, w l ) jJ l lj =1
(u, v j ) I (u,v j )
L +
Schritt 3) Aus wlL 1 v folgt, da eine Teilfolge ( wlk ) von (wl ) existiert, soda wl
l v fast uberall.
I (u, v ) = (u, v ) = lim(u, w l ) lim (u, w l )
L +
ukL 1 u L1(), kompakt
vk v L 1()
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3 UNTERHALBSTETIGKEIT VON INTEGRALOPERATOREN 13
Damit gilt
(nk ) > 0 : |(un k , vn k )(w) (u, vn k )()| > k 0
Beweis: Annahme
Teilfolge > 0 > 0: limn
|(un , vn ) (u, v )| > >
vn v in L1 C n : un L 1 C
K (C, ): |vn ()| > K vn
K C
K
4
n := n \ |vn ()| > K
n0 n > n 0 : (n ) (n ) |vn ()| > K 4
= 3
4
:=
n = n 0 k n
k
( ) 3 4 (
) 3
4
Es giltuk
L 1 u (uk n ) (uk ) : uk n u fast uberall
also |un k () u()| 0 = 0
: |vn ()| K
Sei nun
beliebig aber x.
(vn k ) (vn ), vn kk y : , un (), vn () , u(), v() (3.3)
weiters giltvn v z = v()
Andererseits , u(), vn k () , u(), v() (3.4)
Aus (3.3) und (3.4) folgt
: |varphi , un k (), vn k () , un k (), v() | 0
Schritt 4)un u in L1
vn v in L1
Dann (un k , vn k ), soda
> 0 A , ( \ A ) < : supA
|(un k , vn k )() (u, vn k )()| k 0
Schritt 5)
L = lim I (vn , u n ) = lim , u(), v() dL I (u, v). Sei (un k , vn k ) Teilfolge von ( un , vn ) (oBdA. Folge selbst), soda
L = limn
(un , vn )
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3 UNTERHALBSTETIGKEIT VON INTEGRALOPERATOREN 14
Wahle > 0 beliebig aber x. Bestimme A mit Schritt 4
I (un , vn ) = , un (), vn () d 0 A , u
n (), vn () d
= A ()(u, vn ) d + A (un , vn )() (u, vn )() d A ()(u, vn ) d A |(un , vn )() (u, vn )() | d
n 0n A ()(u, v ) = (u, v) d \ A (u, v) dDamit gilt
(u, v) d \ A (u, v ) d 0
( \ A ) 0
\ A 0 (u, v ) dDenition 3.12. T : E F kompakt:
(xn ) E : xn 1 (xn k ) (xn ) x E : T xn k T x
Satz 3.13. Sei u : , p > 1
W 1,p () = u |u | p d + | u | p d < Dann gilt id : W 1,p () L1()
f f
ist kompakt.
Beweis. Beweis zu diesem Satz in der Vorlesung uber Sobolevr aume.
Theorem 3.14. Sei 1 < p < , n offen, f : n nm CaratheodoryFunktion und f (x,, ) > 0 konvex.
I (u) = f x, u (x),u(x) dxDann gilt
I : W 1,p +u I (u)
ist schwachfolgenunterhalbstetig.
Beweis. Sei (u j ) Folge in W 1 ,p mit u j u .
id : W 1,p L1
Damit folgt starke Konvergenz von u j gegen u in L1 .
u jL 1 u
Mit der Dention der Sobolevr aume gilt
u jw
W 1 ,p u j
wL p
u u jw
L pu
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3 UNTERHALBSTETIGKEIT VON INTEGRALOPERATOREN 15
u jw
L pu
p 0= u j
L 1 u
Damit folgt mit Satz 3.8
I (u) = f x, u (x),u(x) lim f x, u j (x),u j (x) dxTheorem 3.15. Sei f : n nN + wie oben
F (x,, ) || p a(x) | |q
mit a L1 , q < p, u0 W 1,p (), I (u0) < . Dann gilt X = u0 + W 1 ,p0 ()
I : (X, E 1 ,p ) +
ist koerziv und schwachfolgenunterhalbstetig. X ist schwach abgeschlossen.
Mit Lemma 2.1 folgt u1 X : I (u1) = inf
uXI (u)
Satz 3.16.K : E F kompakt
xn x in E T xn konvergiert in F
Beweis.xn x z E : z, x n z, x
Wahle z F , y = T z E . Dann folgt
z F : xn , T z x, T zDef = z F : T xn , z Tx,z T xn T x
Satz 3.17. Sei T : E F stetig, xn x . Dann gilt
T xn T x
Beweis. Es giltzn z zn k z0 z = z0 (3.5)
xn x in E K n : xn K T xn k konvergiert, lim
n k
T xn k z F = 0 (3.6)
Andererseits folgt aus (3.6)T xn T x z = T x
Angenommen ( T xn ) konvergiert nicht. Dann folgt
0 (n l ), (m l ) l : T xn l T xm l > 0
Aus Kompaktheit folt(n lk ), (m lK ) : T xn l k T x , T xm l k T x
Es folgt mit (3.5)T xn l k T xm l k
k 0
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4 KOERZIVIT AT VON VARIATIONSINTEGRALEN 16
4 Koerzivit at von Variationsintegralen
Unser Ziel ist es hinreichende Bedingungen an f zu nden, soda
I : un f x, un ,un dx
koerziv ist.
Satz 4.1 ((Allgemeine) Poincare Ungleichung). Sei n offen und beschr ankt, C 1 , 1 q , f W 1,q () , soda mit c W 1,q () gilt
c = const f, c = 0 c = 0
Dann gilt C u W 1,p : u 1,p = u 1 + u 1 C u 1 + | f, u | .
Korollar 4.2 (Wichitge Folgerungen). Sei beschr ankt, C 1 , A offen, |A| > 0. Dann gilt
a)
C > 1 : 1C
u 1,q | A u dx | + u 1 u 1,q (4.1)b)
u 1,q C u q + A |u |r dx)1/r (4.2)mit r aus Theorem 3.13
Beweis. Beweis von 4.1: wir zeigen
f : W 1,q
u A uist stetig. A u := f, u . zz: |f (u)| C u 1,q . Es gilt
| A u | A |u | = A u A p u q | A|1/p ( u q + u )
= |A|1/p u 1,q .
Damit folgt die Behauptung mit C := |A|1/p
f W 1 ,p () .Beweis von 4.2 Mit Satz 4.1 gilt
u 1,q C u 1 + | f, u |
u 1,q + A |u | r1/r
|A|1/r
max( a, |A|1/r ) [ u 1,q + u r,A ]
gilt nun W 1,q Lr , so folgt
u L r C u 1,q max( a, |A|1/r ) [ u 1,q + u 1,q ] C |A| u 1,q
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4 KOERZIVIT AT VON VARIATIONSINTEGRALEN 17
Satz 4.3. Sei n beschr ankt und offen. f erf ulle
f (x,, ) || p a(x) | |q (4.3)
mit q < p, A L1(), x , n , nN .
I (u) := f x,u, u(x) dxWeiters sei u0 W 1,p () und erf ulle I (u0) < .
X := u0 + W 1 ,p () (abgeschlossen)
Dann gilt I : X ist koweziv.
Beweis. Betrachteg(x,, ) := f (x,, ) + a(x) + | |q 0
I g ist schwach folgen unterhalb stetig.
I f (u) = f (x, u (x),u(x)) | u | p(x) a(x) | u(x)|q dxu X : u = v + u0 mit v W 1,p0 (), u0 W 1,p (). Damit folgt mit der 2.Ungleichung
u W 1 ,p v W 1 ,p u0 W 1 ,p
und damit
| u | p(x) C ( v pL p u0 pL p )Satz 4.1
C ( v pW
1 ,p u0
p
W 1 ,p )
C ( u W 1 ,p u0 W 1 ,p ) p u0 pW 1 ,p
Es gilt
u W 1 ,p | u | p(x) dx Fur |u |q , q < p gilt
u q = |u |q 1/q
r1/r
|u | p1/p
| |1/r
u W 1 ,p
wobei 1,r+1 p =
1q . Damit gilt
|u(x)|q dx | |q/r u qW 1 ,p .Insgesamt folgt
I (u) C u pW 1 ,p C uqW 1 ,p a(x)
Mit dev Voraussetzungen folgt nun sofort, da I koerziv ist.
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4 KOERZIVIT AT VON VARIATIONSINTEGRALEN 18
4.1 Variationsproblem mit freien Randbedingungen
Satz 4.4. Sei n offen, A , |A| > 0, 1 < p < , f (x,, ) > 0 konvex,
1 < r < p ( nn p ) falls p nr < falls p > n f (x,, ) x(||
p+
A (x)||r) a(x) (4.4)
Weiters gelte X ( W 1,p ) schwach abgeschlossen (z.B. X = W 1,p ),
u0 X : I (u0) < (4.5)
Dann gilt: I : X ist nach unten beschr ankt und nimmt sein Inmum an.
u X : I (u) = inf uX
I (u). (4.6)
Beweis. I ist schwachfolgenunterhalbstetig (konvex). Zu zeigen ist, da I koerziv auf X ist.
I (u) = f ,x ,u (x),u(x) dx | u(x)| p + A |u(x) |q dx a(x) dx
mit (4.2) folgtI (u) C u pW 1 ,p
Satz 4.5 (freie RWP).
12
| u |2 + a0(x)
r |u | r dx
uH 1 () MIN ()
> 0 A , |A| > 0 x A : a0(x) >
Dann nimmt I (u) sein Inmum auf H 1() an!
Beweis.f (x,, )
12
||2 + r
A (x)| | r
f (x,, ) > 0, konvex weil ||2 konvex ist.
I (u) = inf uW 1 ,p Iu erf ullt u + a0(x)|u | r 2 u = 0 auf
u(x) = 0 auf
4.2 Eindeutigkeit
Betrachten folgendes Problem f ur u u0 + H 10 ():
u | u |2 dx (4.7) | u |2 dx < ,also (I (u0) < ), garantiert eine L osung.Die Losung von (4.7) erf ullt
u = 0 (4.8)u | = u0 | = f (4.9)
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4 KOERZIVIT AT VON VARIATIONSINTEGRALEN 19
Seien nun u1 , u2 Losungen von (4.7).
I (u1 + u2
2 ) I (u 1 )+ I (u 2 )2 =
min+min2
= min (4.10)
Damit folgt, da u 1 + u 22
wieder Losung von (4.7) ist. Es folgt
I (u1 + u2
2 )
12
I (u1) 12
I (u2) = 0 (4.11)
| u1 + u22 |2 12 | u1 |2 12 | u2 |2 0 (4.12) : |
u1 + u22
()|2 12
| u1()|2 12
| u2() |2 0 (4.13)
Es gilta + b
2
2
= a2
2 +
b2
2 a = b.
u1,x + u2,x2
2() + u1,y + u2 ,y
22
() 12
u21,x () 12
u21,y ()
12
u22,x () 12
u22,y () 0
u1,x u2,x
2
2
() u1,y u2,y
2
2
() 0
u1,x = u2,x u1,y = u2 ,y
Insgesamt gilt damit
: u1() = u2() u1 | = u2 | = u0 | : u1() u2() (4.14)
Beispiel 4.6. Minimal achenproblem gesucht: u : soda Flache des Graphen {(x, u (x)) |x }minimal wird unter allen u, die u | = f erf ullen.
I : u 1 + | u(x)|2 dx (4.15)wobei u u0 + W 1,p (), u0 W 1,p0 (), u0 | = f .
I (u) = 1 + | u(x)|2 dx(x,u, u) = 1 = | u(x) |2 , (x,, ) = 1 + ||2
Erf ullt (x,, ) | | p
dann ist I auf W 1,p koerziv.
Frage: F ur welche p gilt (x,, ) | | p also
n : 1 + ||2 | | p?Antwort: p = 1. schlechte Antwort. W 1,1() ist der einzige Sovolevraum von dem wir wissen, da er nicht reexiv ist.
W 1,1() ist nicht reexiv!
I : W 1,1
()
ist schwach-folgen-unterhalbstetig.Deshalb greift die Existenztheorie nicht! Tats achlich sind Minimalchenprobleme bedannt, deren L osungkein Graph ist (sondern eine Riemansche Mannigfaltigkeit)! (4.15) hat aber immer eine L osung siehe etwa[4].
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5 SUPERPOSITIONSOPERATOREN 20
5 Stetigkeit von Superpositionsoperatoren
Frage:Wann ist
I : W 1,p ()
u (x,u, u) dx (5.1)stetig und Frechet-diggerenzierbar?Die Antwort mu wie immer am Integranden (x,, ) ablesbar sein. Das ist der letzte Schritt zur Beant-wortung der Frage:Welche Differentialgleichung erf ullt die L osung des Variationsproblems (5.1) mit u X = u0 + W 1,p0 ?
WennI : W 1 ,p stetig differenzierbar
I (u) = minuW 1 ,p
h W 1,p : I (u)(h) 0, falls I (u)(h) 0 eine schwache
Losung einer Differentialgleichung ist.Notation 5.1. In diesem Kapitel sei stets wenn nicht anders verlangt ( , ) ein -endlicher Maraum. Weitersmoge gelten:
(a) Sei A eine -Algebra, An A.
An fast uberall : An +1 An , (
n =1An ) = 0
(b) Sei 1 q < , F endlich dimensional, M Lq (, ), F .M hat gleichm aig absolut stetige Normen :
> 0 (An ) Folge in A , An 0 f.u. k() k > k () u M : u A k . (5.2)
Beispiel 5.2. (a) M = {v} v Lq .
(b) Sei q = 1.
I n = 2 n , 2 n +1
f n = 2 n I n
Es gilt: n : f n L1(, [0, 1]). f n n hat in L1 keine gleichm aig absolut stetige Normen.
Satz 5.3. Sei M := {f n }. {f n } erf ullt (5.2) in L1
(f n ) ist in L1 schwachfolgenkompakt.
Bemerkung 5.4. (f n )hat in L1 gleichm aig absolut beschr ankte Normen
< 0 n0 Ak : ((Ak ) 0) A k |f n k | d > .Satz 5.5 (KrasnoselskiVainberg). I (u, w)(x) (x, u (x), w(x)) stetig auf
I : L p1 L p2 Lq
u, v (x, u (x), v(x))
genau dann wenn U L p1 L p2 offen : I (U ) Lq ist beschr ankt.
(vgl. Lineare Operatoren L : E F stetig M x E : x < 1 Lx M )
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5 SUPERPOSITIONSOPERATOREN 21
Bemerkung 5.6 (Motivation von schwachen L osungen). Sei
2 ein Gebiet mit C 1 Rand. Mit der 1.Greenschen Identit at gilt dann mit v C 2(), u C 1()
u v + uv d(x, y ) =
uvn
dS.
Was folg f ur v, wenn u C 10 (): uv d(x, y ) = 0?Antwort:u | = 0 u vn dS = 0 (5.3)(5.3) u v d(x, y ) = 0 u C 10 () (5.4)(5.4) x : v(x) = 0 (5.5)
Beweis. (5.5) Annahmey : v(y) = 0 vC =
vC 2O , offen: v|O > 0. (5.6)
somit > 0 > 0 : v(y) > y B (y, )
wahle u C 2(), soda
u |B (y, ) > 0 u|B (y, 2 ) 1 (5.7)
dann folgt
u v d(x, y ) = B (y, ) u v d(x, y) 2zusammen:
x : ( v) (x) 0
Denition 5.7. v H 2() heit schwache L osung von v = 0 :
u H 20 (): uv dx = 0. (5.8)Bemerkung 5.8. In obiger Formulierung kommen nur 1.Ableitungen von v vor im Gegensatz zur ursprueng-lichen Formulierung ben otigt man also nicht mehr v C 2 .H 2() ist reexiver Hilbertraum.Bemerkung 5.9.
I (u) = 12
u 2H 2 () = | u |2 dxv H
20 (): I (v) = 0
u H 20 : I v, u H 2 = 0
= uv dx 0.Lemma 5.10 (Konstruktion). M Lq hat absolut stetige Normen
> 0 < 0 u M A A : (A) < u A q (5.9)
Beweis. vgl. Denition 5.2
(An ) 0 f.u. > 0 k() k > k () n M : A k u q (5.10)
(5.9) (5.10): Sei An 0 beliebig aber x. Sei > 0k() : Ak ( ) <
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5 SUPERPOSITIONSOPERATOREN 22
mit (5.9) folgt nun(Ak ) Ak ( ) k k()
(Ak ) (5.9) u M : u Ak q .
Wir zeigen (5.9) (5.10).
> 0 k Ak A uk M : (Ak ) 2 k uk A k q > .
Bm := k= m Ak , Bm Bm +1 Es gilt(Bm )
k = m
(Ak ) 2 m +1
und daher
m =1 = 0
weil
Bm Bm +1
m =1 = lim
N
N
m =1 = lim
N (BN ) = 0 .
Weiters gilt Ak Bk und uk Ak q uk B k q .
Insgesamt folt
Bk f.u. > 0mk m : uk B K (5.10) .
Lemma 5.11. (a)
r > 0u L p1 v L p2 : (x, u (x), v(x)) Lq (5.11)u p1 r, v p2 r (5.12)
(b) uk L p1 , vk L p2
( uk p1 + vk p2 ) r (5.13)
Dann gilt:(x, u k (x), vk (x)) hat in Lq gleichm aig absolut stetige Normen. (5.14)
Beweis. Kontraposition. Es gelte
> 0 Ak f.u. (ukj, vk
j) (uk , vk ) oBdA. ( uk , vk ) selbst: k : (, uk (), vk ()) q (5.15)
Andererseits gilt mit dem Satz von Lebesgue und (a)
k Am k , m k > k : (, uk , vk ) Am k q < 4
(5.16)
(, u k , vk ) Ak \ A m k q 4
(5.17)
k0 = 0 , kj =1 = mk j , Bj = Ak j \ Ak j +1
yj = uk j zj = vk j (5.18)
y =j
u j B j z =j
zj B j (5.19)
B j sind paarweise disjunkt. Weiters gilt
y p1 j
yj p1 r
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5 SUPERPOSITIONSOPERATOREN 23
z p2 j
zj p2 r
(, yj (), zj ()) B j = (, y(), z()) B jdamit folgt der Widerspruch
4
, yj (), zj () B j q = , y(), z() B j qj 0.
Theorem 5.12. Sei U L p1 L p2 offen, u = ( u1 , u2), (u )(x) = (x, u 1(x), u2(x)) .Dann folgt : U L2 ist stetig.
Beweis. Wir zeigen den Satz f ur den Fall wo ( ) = (, (), ()) = 0 und U, U offen. Damit gilt
r > 0 : rB L p 1 L p 2 U
Annahme ist nicht stetig im Punkt U , also
uk L p1 L p2 , uk : (uk ) () (5.20)
also > 0 (un k ) (un ) oBdA. ( un ) selbst : (un k ) q >
wahle Teilfolge (oBdA. wieder Folge selbst), soda
un k L p 1 L p 2 < r (5.21)
un k f.u. (5.22)
Damit folgt f ur fast alle x
(uk )(x) = (x, u1k (x), u
2k (x)) (x, (x), (x)) (5.23)
Damit folgt mit Lemma 5.11
{(uk ) : k }hat gleichgradig absolut stetige Normen. (5.24)
Die Aussagen (5.23), (5.24) stehen im Widerspruch zu (uk ) q .Sei nun
= m (5.25)
m m +1 kompakt (5.26)(m ) < (5.27)
Es giltcm (m ) 0 lim (m ) = ()
(5.24) m k : (uk ) cm q < 3 (5.28)
(5.23) B m : (m \ B ) () supxB
(uk (x) k 0 mit Egoroff (5.29)
Andererseits(5.24) > 0 () A A: (A) < k : (uk ) A 1
3
Betrachte k0
k > k 0 : supxB |(uk )(x)| 3
-
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5 SUPERPOSITIONSOPERATOREN 24
Dann gilt
k k0 : |(uk )|q(x) d(x)1/q
= \ m |(uk ) |q(x) d(x) + m \ B |(uk ) |
q(x) d(x) + B |(uk ) |q(x) d(x)
1/q
\ m |(uk ) |q(x) d(x)1/q
+ m \ B |(uk ) |q(x) d(x)1/q
+ B |(uk )|q(x) d(x)1/q
33
=
(5.30)
Reduktion des Allgemeinen Falles: zu zeigen ist jetzt ( ) ist stetig im Punkt u0 U
(x, ) = (x, u 0(x) + ) (x, u 0(x)) CaratheodoryFunktion
(x, ) = () = (5.31)
(u)(x) = (x, (u(x)) = x, u 0(x) + u(x) x, u 0(x)
U u0 + {w u0 w U } (5.32)(U u0) L2 (5.33)
(5.31) , (5.32) , (5.33) ist stetig in , weil der erste Schritt auf anwendbar ist.
uk (uk ) wk u0 wk u0L p 1 L p 2
(wk u0) L q
(wk u0) q
= u0 + ( wk u0) (u0) q (5.34)
+ (wk ) (u0) q (5.35)
Satz 5.13. Sei 1 pj < , 1 j n 1, pn = , 1 q < , a Lq+ ()
x : a (x, ) : + ist monoton. (5.36)t + : a (, t ) Lq() (5.37)
Weiters gelte
(x, ) a(x) + n 1
j =1
| | pj /q + a (x, | n |) x , = ( 1 , . . . , n ). (5.38)
Dann gilt: C (L p , Lq) und U L p beschr ankt (u) Lq ist beschr ankt, wobei L p = L p1 L p2 L pn .
Beweis.
|u | r s = (|u | r )s1/s
= |u | rs1/s
= |u | rsr/rs
= u rrs (5.39)
u L p , u = ( u1 , . . . , u n ), (u)(x) = x, u 1(x), . . . , u n (x)Frage: U L poffen (U ) Lq beschr ankt ?zu zeigen:
u L p (u) Lq
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5 SUPERPOSITIONSOPERATOREN 25
(u) L q = | x, u 1(x), . . . , u k (x) |q d(x) a q +
n 1
i =1
|u i (x)| p1 /q q + a , u n (x) q
(5.39) a q +
n 1
i =1u i pi /q pi + a (, un ) q
(5.40)
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5 SUPERPOSITIONSOPERATOREN 26
5.1 Anwendung des Satzes von KrasnoskiVainberg auf Variationsintegrale
Bemerkung 5.14. Mit f 1 , f 2 W 1,p gilt, da auch wieder
max( f 1 , f 2) W 1,p |f | W 1,p
Sei wieder n beschr ankt, C 1 , 1 < p < .
Denition 5.15. (a) p= p
nn p
1 p
= 1 p
1n
f ur p < n heit kritischer, konjugierter Sobolevindex. f Car( N n N , ) hat optimalesWachstum:
f (x,, ) (x) + (| | r + || p) p na(x, | |) + ( || p) p > n
(5.41)
mita Car( + + )
t : a(, t ) L1()
a(x, ) monoton wachsend
(x) = a(x, 0)
(b)
pd := pn 1n p
1 pd = 1 p 1 1
pn p
fuer p < n heit kritischer Randsobolevindex. g Car( N , ) hat optimales Wachstum:
g(x, ) b(y) + | |s p nb(y, ) p > n
(5.42)
mitt : b(, t ) L1( )x : b(x, ) monoton wachsend
I f (u) =
f (x, u (x),u(x)) dx u W 1,p ()
I g (u) = g(x,u (x)) d(x) u W 1,p (), , ||m 1 > 0wobei
: W 1,p () L p( )f f
(5.43)
den Spuroperator bezeichnet.
Denition 5.16 (Bezeichnung). f hat suboptimales Wachstum :
r < p
g hat suboptimales Wachstum : s < p d
Satz 5.17. f, g opitmales Wachstum. Dann gilt
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5 SUPERPOSITIONSOPERATOREN 27
(a)I f + I
g : W
1,p ( ) ist stetig. (5.44)
(b) g hat suboptimales Wachstum
I g : W
1,p
ist schwachfolgenstetig
(c) f hat suboptimales Wachstum
I f : W 1,p ist schwachfolgenstetig
Beweis. zeigen zuerst (5.44). f , g optimales Wachstum
W 1,p (, N ) Lr ()f f
ist stetig
u (u, u) L W 1,p (), L1/p () L p()
Superpositionsoperator F u (x) = f x, u (x),u(x)
F C Lr () L p()
L p, L1()
L q mit Satz 5.5
W 1 ,p ()u (u, u )
A
Lr () L p()
I f B F
C v v(x ) dx
L1
I f ist stetig, weil
A stetig ist, mit Satz 3.13,
B stetig ist, mit Satz 3.13, Satz 5.5,
C stetig ist (Lebesgue).
W 1,p () Spuroperator W 1 1/p,p ( ) Id Ls ( )
I g G u (x )
v
v(y) d(y) L1
Damit folgt wie oben, da I g stetig ist.
Beweis von (c).I f : f suboptimales Wachstum (r < p )RellichKondrachov:
W 1,p () Lr ()u u
ist kompakt und stetig.
K : E F kompakt: xn x Kx n K x F n 0
Wir zeigenun u I f (un ) I f (u) .
Da A : W 1,p Lr L p kompakt ist, f ur r < p folgt
un u in W 1,p (un ,un ) (u, u) in Lr L p
F (un ) F (u)
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5 SUPERPOSITIONSOPERATOREN 28
Da F : Lr L p L1 stetig ist folgt
F un (x) dx n F (u) dx f x, u n (x),un (x) dx f x, u (x),u(x) dxBeweis von (b) folgt analog dazu.
Satz 5.18. Sei n beschr ankt, 1 < p < .f Car( N , n N , ) optimales Wachstum f 0 Car( , N , ) suboptimales Wachstum, f 0 0
f (x,, ) f 0(x, )f (x,, ) konvex
g Car( N , ) optimales Wachstum
g(x, ) konvex g suboptimales Wachstum
, () > 0
Dann gilt I : I f + I
g : W
1,p ()
ist stetig und schwachfolgenunterhalbstetig.
Beweis. f 1 = f + f 0 habe optimales Wachstum. I g , I f 1 , I f , I f 0 : W
1,p () stetig.
f 1 > 0 f 1(x,, ) konvex Satz 3.8 I f 1 : W
1,p () ist folgenunterhalbstetig.
Weiters giltI f 0 : W
1,p ist folgenunterhalbstetig
und daI f 1 = I
f + I
f 0 I
f = I
f 1 I
f 0 ist folgenunterhalbstetig.
g suboptimal:I g : W
1 ,p ist folgenstetig und stetig.
I g : W 1 ,p ist folgenunterhalbstetig.
Satz 5.19. Es seien die Vorraussetzungen aus Satz 5.17 erf ullt. Zus atzlich gelte X W 1,p () reexiv,schwach abgeschlossen
I = I f + I g ist koerziv auf X
Dann gilt I : X
besitzt Minimum und ist stetig.
Beweis. Die Vorraussetzungen des Fundamentallemmas sind erf ullt. Damit folgt die Behauptung.
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6 VARIATIONGATEAUXABLEITUNGFRECHETABLEITUNG 29
6 Differentialrechnung in Banachr aumen
Denition 6.1. Seien E, F normiert, X E , x X , h E
[x h,x + h] X
f (x, h ) := limt 0
f (x + th ) f (x)t
Falls x X E offen undh E : f (x, h ) existiert,
dann heit f in x X Gateauxdifferenzierbar. Es gilt:
f (x, h ) F (6.1)f (x, h + g) = f (x, h ) + f (x, g) (6.2)
f (x) : E F h f (x, h )
ist linearer beschr ankter Operator (OpenMappingTheorem). (6.3)
Frechetableitung von f : X E im Punkt x E :
f (x) L(E, F ): f (x + h) f (x) = f (x)h + o( h ) f (x + h) f (x) f (x)h
hh 0
0 (6.4)
rechtsseitige Variation:{x + t h X t [0, 1]}
+ f (x, h ) + limt 0
f (x + th ) f (x)
tSatz 6.2 (Notwendiges Kriterium zur Existenz von Minima). f : X E habe in x0 ein (lokales) Minimum.Dann gilt:
Falls + f (x0 , h) existiert, dann gilt + f (xo , h) > 0.
Falls f (x0 , h) existiert, dann gilt f (xo , h) 0 E .
Bemerkung 6.3. E Banachraum, X E offen, f C (X, ), f : X , f (x) existiert und f C (X, E ).Dann heit x kritischer Punkt f (x0) = 0.
Denition 6.4 (Vorraussetzungen). C 1 , = , 0 , 1 , i ist offen und abgeschlossen in .Weiters sei
f C 0,k ( N n N , ) (6.5)g C o,k ( N , ) (6.6)
0 C 1(0 , ) (6.7)
0 : f x, u (x),u(x) dx + g u(y) d(y) MINu C 1(, u| 0 = 0
Notation 6.5.
f x, u (x)u(x) h (x) =N
r =1f r (x, u (x),u(x) h r (x)
f x, u (x),u(x) h (x) =n
r =1
n
k=1
f r k x, u (x),u(x) k hr (x)
-
7/21/2019 Variationsrechnung Mller
31/44
6 VARIATIONGATEAUXABLEITUNGFRECHETABLEITUNG 30
Satz 6.6. Sei I C 1(E ). Dann gilt
u, h E : I (u)h = f , u(),u() h() + f ()h() dx + g , u() g() d(y)Beweis. Mit Kettenregel:
(t) := I (u + th ) t
C 1 ]a, b[,
I (u)h = limt 0
I (u + th ) I (u)t
= limt 0
(t) (0)t
= (0)
(0) = ddt f (, u() + th (),u() + th ()) dx + g(, u() + th ()) d(y)
= ddt t =0 f (x, u (x) + th (x),u(x) + th(x)) dx + ddt t =0 g(x, u (x) + th (x))d=
f (x, u (x),u(x))h(x) dx + f (x, u (x),u(x))h(x) dx +
g(y, u (y))h(y)d(y)
Satz 6.7. Sei u E = {u C 1() u | 0 = 0} = C 1 0 (, n ) kritischer Punkt von I , I (u) = 0 . Dann gilt
h E : f (x,u, u)h dx + f (x,u, u)h dx + g(x, u )h d = 0ist uberdies
x f x, u (x),u(x) C 1(, nN ),so geltern die EulerLagrangeGleichungen.
r N :
r
k=1 k f rk x, u (x),u(x) + f r x, u (x) = 0 in (6.8)
r N : k (x)f rk x, u (x),u(x) + g r x, u (x) = 0 in 1 (6.9)
mit (x) = 1(x), . . . , N (x) Auennormale an in 1 und E = {u C 1( |u | 0 = 0}.
Beweis. Wenden Stokes auf jede der N Gleichungen an.betrachten k = (0 , . . . , 0, v, 0, . . . , 0) mit v an der r. Stelle.
0 = I (u)h = f r + k f rk k dx + g r df kr k = k ( f eta rk ) k f rk
= div( f rk ) k f rk
0 = f r ( k f rk dx + div( f r ) dx + g k d= f r ( k f rk ) dx + f rk k dx + gk dx 0 = 0 , C 1 0 ()
Testfunktion v C (), supp v kompakt. Dann folgt
v(f r + k (f rk )) dx = 0 (6.10)
-
7/21/2019 Variationsrechnung Mller
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6 VARIATIONGATEAUXABLEITUNGFRECHETABLEITUNG 31
Annahmex0 : f r + k f rk ((x0) = 0 (oBdA > 0)
U (x, ) z U (x, ) : f r + k f rk (z) > 0v0 C c0 (): sup
(6.11)V U (x, )
V 12
auf U (x, 12
)
u C 1 = maxx
|u(x) | + maxx
|u (x) |; E, C 1 ist Banachraum I (u) = I f (u) + I g (u), u E (6.11)
0 < v0 f r + k f rk (x) dx0 = v f r k + g r d0 = 1 v f r k + g r d v E
Annahmey0 1 : f rk k + g r d = 0 (oBdA. > 0)
U (y0 , )z U (y0 , ) 1 : f rk k + g r (y) > 0
v0 E : supp v 1 U (y0 , ) 1u = 0 auf 0
Beispiel 6.8 (Quellbeisiele). N = 1
1) Es gilt:
div f u (, u, u) + f u (, u, u) = 0
u = 0 in 0 // , f u (, u, u) + gu (, u) = 0mit (x) = 1(x), . . . , n (x) Auennormale
2)
f (x,, ) = 12 j k
a jk (x)j k + b(x, ) (a ij symmetrisch
i
f (x,, ) =k
12
a ik (x)k +j
12
a j,i (x)j
=k
a1,k (x)k
= a jk (x) if (x,, ) = A(x)
f u (x,u, u) = A(x)u(x)
div( A(x)u(x)) + bu (x, u (x)) = 0
(x ) , A(x)u(x) = 0
3) Spezialfall (A const)a jk (x) = a jk
div A(x)u(x) = divk
a1k ux k (x), . . . ,k
ank ux k (x)
=k
aak ux k x 1 (x) + +k
ank ux k x n (x)
=k j
a j k ux j x k
-
7/21/2019 Variationsrechnung Mller
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7 DIFFERENZIERBARKEIT VON SUPERPOSITIONSOPERATOREN 32
4) Spezialfall (A = E )
f (x,, ) = 12
||2 + b(x, )
I (f ) = 12
Omega
| u |2 + b(x, u (x)) +
g(x, u ) dx
u + bn (x, u ) = 0 in u0 = 0 auf 0
u0 + gu (, u0) = 0 auf 0
A(x) =1
. . .1
, (x), A(x)u(x) = (x),u(x) = u(x)
i,j
a ij ux i x j = u(x)
5)f (x,, ) =
12
||2
g(x, ) = b(x)| |s , s > 1g (x, ) = b(x)| |s 2
I (u) = | u |2 + 1s b|u |s d Min u = 0 in
u + b(x) |u |s 2(x)u(x) = 0 auf
Bemerkung 6.9.
Falls I aus V W 1,p () Minimum hatFalls I aus V W 1,p () Fdiffbar
I (u), h = 0 h V
Damit folgt, da u schwache Losung einer Differentialgleichung ist. Offen ist noch: Wann ist I auf V W 1,p differenzierbar, wobei die Antwort nicht mit anderen Bedingungen( I koerziv, I schwachfolgenunterhalbstetig) im Konikt stehen soll.
7 Differenzierbarkeit von Superpositionsoperatoren
Denition 7.1 (Voraussetzungen). Sei (, ) Maraum.
: E F Car( E, F ) (7.1) : (, ) C 1(E, F ) E, F Banachraum( n ) (7.2)
(, ) L(E, F ) (7.3) u (x) := x, u (x) (7.4)
Satz 7.2. Sei (, 0) Lq(, F ) mit 1q = 1r =
s p , a L
r+ () und
|(, )| a() + | | p/q s E
Dann gilt C 1 L p(, E ), Lq(, F )
u
L (L p ,L q )(h) = , u() h()
-
7/21/2019 Variationsrechnung Mller
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7 DIFFERENZIERBARKEIT VON SUPERPOSITIONSOPERATOREN 33
, bilden beschr ankte Mengen auf beschr ankte Mengen ab.
(u) h = (, u)h (u) = (, u)
= wobei den Einschr ankungsoperator bezeichnet.
Beweis.
(x, ) = (x, 0) + 10 (x,t ) dt n|(x, ) | | (x, 0)| + 10 a(x) | | + | | p/q t p/q 1 dt(u) q (0) q + a |u | q + |u | p/q qa |u | q a r u p
|u | p/q q u p/q p bildet beschr ankte Mengen von L p in beschr ankte Mengen von Lq ab.
C (L p, Lq)
Au = , u() Superpositionsoperator
Es folgtA C L p(), L(E, F )
(u + h) (u) Au h L qh L p
h L p 0
-
7/21/2019 Variationsrechnung Mller
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8 BEISPIELE 34
8 Beispiele
Denition 8.1 (Generalvoraussetzungen). n beschr anktes Gebiet, glatt (n 1)dimensionale Untermannigfaltigkeit des 2
1 < p < , W 1,p
0 () V W 1,p
()
V abgeschlossener Teilraum von W 1,p ()
Vor( a) : a Car( n , n )
A Car( n , ) : A = aA(0, 0) = 0
0 : |a(x, ) | (1 + || p 1) (x, ) n(8.1)
Vor( f ) : f Car( , )
1 q p 1 n 3< n 2
(8.2)
mit p= npn p . 0 : |f (x, )| (1 + | |q 1) (x, )
g Car( , )
1 r p 1 n 3< n 2
(8.3)
mit p = n 1n p .
|g(y, ) | (1 + | |r 1
) (x, )
F (x, ) := 0 f (x, t ) dt F Car 1( , ), 2F = f (8.4)G(y, ) := 0 g(y, t ) dt G Car( , ), 2G = g (8.5)
I (u) := [A(x, u(x)) F (x, u (x))] dx G(y, u(y) d(y) (8.6)Theorem 8.2. Mit Denition 8.1 gilt mit I C 1(V, ) und u, v V
I (u), v = [a(,u) v f (, u)v] dx g(, u) u d (8.7)Beweis. i)
A := Nemytskii-Operator von A. (8.8)
A(0) = 0 . (8.9)
(8.1) A C 1(L p(, n ), L1(, ) A(u)h = a(, u())h() = a(u)h u, v L p()
V i
W 1,p
(,
)
L p
(,
n
)I A A
T = dx L1(, )
-
7/21/2019 Variationsrechnung Mller
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8 BEISPIELE 35
I A = T A i I A C 1(V, )
I A v = T ([a i](u))( i](v)) = T (a( u))v
und somitI A (u), v) = a(u) v dx
ii) (8.1) F C 1(Lq(), L1(, ). F (u)v = f (u)v.
V i W 1,p () Satz 3.13 Lq
I F F
T =
dx L1(,
I F C ( V, ) und I F (u), v = f (, u))v dx.iii)(8.3) G C 1(L p() , L2()) G(u)v = g(, u)v.
Dann gilt:
V i W 1,p () s W 11p ()
I G Satz 3.13
T = dx
L1() C 1
a
L p()
Denition 8.3. u V heit kritischer Punkt von I :
I (u) = 0
Satz 8.4. Es gilt dann:u V ist kritischer Punkt von I u erf ullt die Euler Gleichung:
a(,u) v f (, u)v dx g(, u) v d = 0 v V (8.10)Beweis.
I (u) = 0 D() V
[a(,u) f (, u)]dx = 0 D()f (, u) Lq () D ()
a(,u) L p(, n ) D (, n ) a(,u), D = a(,u), D
= a(,u) dx = f (, u) dx= f (, u),
-
7/21/2019 Variationsrechnung Mller
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8 BEISPIELE 36
8.1 Wichtige Bemerkung und Beispiele
(a) Dirichlet Randwertbedingung.Sei V = W 1 ,p0 (), = . u V kritischer Punkt von
I (u) = [A(,u) (F (, u)]dx = 0 D(). u V und
[a(,u) f (, u)]dx = 0 D() (8.11) : u V ist schwache L osung des RWP
a(,u) = f (, u) in (8.12) u = 0 auf (8.13)
(b) Neumann Randwertproblem.Sei V = W 1 ,p (), = . u V ist kritischer Punkt von I u V und die Eulergleichung (8.10) ist erf ullt : u V ist schwache L osung des RWP
a(,u) = f (, u) in (8.14) a(,u) = g(, u) auf (8.15)
(c) Der Semilineare Falla(x, ) = a(x)
mit a L() L symm ( n ). p = 2
H 10 () V H
1
()A(x, ) =
12
a(x)
I (u) := 12(au) u F (, u) dx = G(, u) d (8.16)I C 1(V, )
I (u), v V = [(au) v f (, u)v] dx = g(, u) 0v d v V Ist u V kritischer Punkt, so gilt
(au) = f (, u) in D ()
(d) Gemischtes semilineares RandwertproblemIm Folgendem seinen Wachstumsschranken erf ullt:
2= 2 n
n 2 2 =
2n 2n 2
(8.17)
2 1 = n 2n + 2
2 1 = nn 2
(8.18)
|f (x, )| (1 = | |s ) 0 s n +2n 2 n 3< n 2
|f (x, )| (1 + |xi | t ) 0 r nn 2 n 3< n 2
-
7/21/2019 Variationsrechnung Mller
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8 BEISPIELE 37
0 abgeschlossen,0
1 = , 0 1 = .
V = u H 1(): gamma u | 0 = 0
V ist abgeschlossener Teilfram von H 1
()H 10 () V H 1()
u U sei kritischer Punkt von I (8.16),d. h.
v V : Iu,v = 0
: u ist schwache L osung in V von
(au) = f (, u) in u = 0 auf 0
a u = g(, u) auf 2
(e) Transmissionsprogleme
= 1 2
beschr anktes Gebiet f ur = 1 , 2
= C 1 = 1 , 2 ( n 1)dim C 1 UMF kompakt
a C , Lsymm ( n ) = 1, 2
a =a1 auf 1
a2 auf 2
a L , Lsymm ( n )
f Car( , )
f =f 1 auf 1 f 2 auf 1
f Car( , )
|f g (x, ) | (a + | |q 1)
f ur
1 q 2nn 2 n 3q < n 2V = H 10 ()
I (u) := 12(au) u F (, u) dxu V sei station arer Punkt von V
v V : [(au) v f (, u) v] dx = 0mit
:= auere Normale an = 1 , 2
u := u | = 1 , 2
Wahle D( ) V
(au ) f (, u ) dx = 0 D( )
-
7/21/2019 Variationsrechnung Mller
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8 BEISPIELE 38
Dann folgt: (au ) = f (, u ) in
u = 0 auf u1 = u2 auf (Stetigkeitsbedingung)
a 1 u1 + a 2 u2 = 0 auf (Transmissionsbedingung)
(8.19)
(f) Ist u eine klassische Losung eines der obigen RWP so auch eine schwache L osung :
Beispiel (d) (au) = f (u) in
u = 0 auf 0 (ZwangsRB) a u = g(, u) auf 1 (nat urliche RB.)
(g) i) In den obigen Beispielen wurde nur a = aT vorausgesetzt.
ii) Es wurden noch keine Aussagen uber die Existenz von kritischen Punkten bewiesen.Beispiel 8.5. Nichtlineare WellengleichungT > 0 x, QT = (0, T ), a(x, t ) = n 00 1 Lsymm ( n +1 )
12
(a (x,t ) u, (x,t ) u) = 12
| u |2 | t u |2
V = u H 1(QT ) Q T u | 0 (0 ,T ) = 0, u(0, 0) = u(, T )
H 10 (QT ) V H 1(QT )
I (u) = Q T 12 | u |2 | t u |2 F (x,t ,u ) d(x, t ) 1 (0 ,T ) G(y,t ,u )d(t )u V sei station arer Punkt von I . Dann gilt
v V : T 0 (au, v) t u t v f (, u)v dxdt T 0 1 g(, u)vddt = 0 u V und u ist schwache L osung von
2t u u = f (x, t ,u ) in (0, T )u = 0 auf 0 (0, T )
a u = g(y,t ,u ) auf 1 (0, T )u(, 0) = u(, T ) in
(8.20)
entspricht T periodischen Ll osungen einer nichtlinearen Wellengleichung.Bemerkung 8.6. I kann auf V kein lokales Minimum haben, da die Legendre Bedingung nicht erf ullt ist.
Satz 8.7. Degenerierte elliptische RWP 1 < p <
( | u | p 2u) = f (, u) in u = 0 auf
(8.21)
mit (1 + | |q) f (x, ) (1 + | |)
1 q p 2 pn p n > 2< n p
Behauptung: (8.21) besitzt mindestens eine schwache L osung in W 1,p0 (), d.h.
u W 1,p0 (): | u | p 2u v f (, u)v dx = 0 v D()Ist F (x, ) strikt fallend, so ist u eindeutig!
-
7/21/2019 Variationsrechnung Mller
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8 BEISPIELE 39
Bemerkung 8.8. (a) p := (| u | p 2u) . . . pLaplaceOperator
2 =
Setzt man
a(u) = | u | p 21
. . .
1
,
so ist p = (a(u) u
und p ist strikt elliptisch im Punkt x
u = 0
(b) Falls C , f C , so giltu C () p = 2u C 2 p = 2
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7/21/2019 Variationsrechnung Mller
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9 POLYKONVEXIT AT 40
9 Polykonvexit at
Satz 9.1. Sei (f k ) eine Folge von Funktionen von n nach ,
|f k (x) | M (k = 1, . . . , x n )
und (f k ) gleichgradig stetig. Dann existiert eine Teilfolge (f k j ) (f k ) und eine stetige Funktion f , soda
f k j f gleichm aig auf kompakten Teilmengen von n
Theorem 9.2 (Morreys Ungleichung). Sei n < p . Dann gilt
C ( p, n) : u C 0 , ( n ) C u W 1 ,p ( n ) u C 1( n ) (9.1)
mit := 1
n p
C 0 , ( n := u C (U ) + supx = y
|u(x) u(y)||x y|
Beweis. siehe[3]
Lemma 9.3 (Schwache Stetigkeit von Determinanten). Sei n < q < und
u k u schwach in W 1,q (U ; n ).
Dann gilt det D u k D u .
Beweis. Aus (det P )I = P (cof P )T folgt komponentenweise angeschrieben
det P =n
j =1
P ij (cof P )ij f ur i = 1 , . . . , n .
Sei nun w C (U ; n ), w = ( w1 , . . . , w n ). Dann gilt
det D w =n
j =1
wix j (cof Dw )ij f ur i = 1 , . . . , n . (9.2)
Aus nj =1 (cof Dw ) ij,x j = 0 folgt nun, da sich (9.2) in der Formdet D w =
n
i=1(wi (cof Dw ) ij )x j
schreiben l at. Sei nun v C c (U ). Dann gilt f ur alle i {1, . . . , n }
U v det D w dx =n
j =1 U vwi (cof Dw ij,x j dx=
n
j =1 U vx j wi (cof Dw )ij dx.(9.3)
Mit Dichtheitsargument folgt nun f ur k
U v det D u k dx = n
j =1 U vx j u ik (cof Du k ) ij dx. (9.4)Da nun wegen Voraussetzung gilt, da n < q < und u
k u in W 1,q (U ; n ), folgt Theorem 9.2 da ( u
k)
beschr ankt ist in C 0,1 n/q (U ; n ). Mit Arzela-Ascoli folgt u k u gleichmaig. Damit folft aus (9.4)
limk U v det D u k dx !=
n
i=1 U vx j u i (cof Du )ij dx = U v det D u dx, (9.5)
-
7/21/2019 Variationsrechnung Mller
42/44
9 POLYKONVEXIT AT 41
fallslim
k U (cof Du k )ij dx = U (cof Du )ij dx, i, j = 1 , . . . , n C c (U ). (9.6)(cof Du k )ij ist aber die Determinante einer ( n 1) (n 1) Matrix und kann daher als Summe von(n 2) ( n 2) Untermatrizen mit gleichm
aig beschr
ankten Faktoren geschrieben werden. Wir
setzen fort bis nur mehr (1) (1) Matrizen ubrig sind und m ussen nur mehr zeigen, da die Eintr age vonD u k schwach gegen die Eintr age von Du konvergieren.Insgesamt gilt, da ( U k ) in W 1,q (U, n ) beschr ankt und |det D u k | C |D u k |n ist, da (det D u k ) beschr anktin Lq/n (U ). Also hat jede Teilfolge eine schwach konvergente Teilfolge in Lq/n (U ). Mit (9.5) folgt nun dadiese Teilfolge det D u konvergiert.
Bemerkung 9.4. Unser Ziel wird nun sein eine analoge Aussage zum Theorem 3.8 zu zeigen, f ur den Fall daL(P,z ,x ) nicht konvex in P , sondern nur polykonvex ist. Sei dazu nun m = n.
Denition 9.5 (Polykonvexit at). Sei P n n , z n , x U n . L heit polykonvex :
(a)L(P,z ,x ) = F (P, det P,z ,x ) (9.7)
mit F : n n n U C .
(b) F ur alle z n , x beliebig aber x ist die Abbildung
(P, r ) F (P,r,z,x ) (9.8)
konvex.
Theorem 9.6. Sei n < q < . Weiters sei L nach unten beschr ankt und polykonvex. Dann gilt:
I [] ist schwach folgen unterhalb stetig in W 1,q (U ; n ).
Beweis. Sei (u k ) eine beliebige Folge, die in W 1,q (U ; n ) schwach gegen u konvergiert.Mit Lemma 9.3 folgt, da det D u k in Lq/n (U ) schwach gegen det D u konvergiert.Deniere l := lim inf k I [u k ]. Zu zeigen ist nun
I [u] l. (9.9)
Weiters ist ( u k ) W 1 ,q (U ) -beschr ankt. O.B.d.A gelte
l = limk
I [u k ] .
Weiters gilt aus Satz 3.8 mit p = q , da u k u in Lq(U ) stark konvergiert. Daraus folgt, da es eineTeilfolge (o.B.d.A die Folge selbst) gibt, soda
u k u f.u. in U . (9.10)
Sei nun > 0 beliebig aber x. Dann folgt mit (9.10) und Egoroffs Theorem
u k u gleichmaig auf E (9.11)
wobei E mebar ist und|U E | . (9.12)
DeniereF := x U |u(x)| + |Du (x)|
1
. (9.13)
Damit gilt wieder
|U F | 0
0. (9.14)Sei nun
G := E F (9.15)
-
7/21/2019 Variationsrechnung Mller
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9 POLYKONVEXIT AT 42
Es gilt wieder |U G | 0 0. Da nun L nach unten beschraenkt ist (o.B.d.A. L 0) folgt
I [u k ] = U L(D u k , u k , x) dx G L(D u
k , u k , x) dx
= G F (D u k , det D u k , u k , x) dx G F (D u , det D u , u k , x) dx
+ G F p(D u , det D u , u k , x) (D u k D u )+ G F r (D u , det D u , u k , x) (det D u k det D u )
(9.16)
Mit der Wahl von G folgt nun
limk G F (D u , det D u , u k , x) dx = G F (D u , det D u , u , x) dx. (9.17)
Weiters gilt, weil F p(D u , det D u , u k , x) dx F p(D u , det D u , u , x) dx bzw. F r (D u , det D u , u k , x) dx F r (D u , det D u , u , x) dx gleichmaig auf G und Du k D u bzw. det D u k det D u folgt, da der 2.und 3. Term auf der rechten Seite in (9.16) mit k gegen 0 konvergiert. Damit haben wir gezeigt
L = lim k I [uk ] G F (D u , det D u , u , x) dx.Da (9) f ur alle > 0 gilt folgt mit 0 und dem Satz uber Monotone Konvergenz ( L 0) (9.9).
Daraus folgt sofort mit Lemma 2.1Theorem 9.7 (Existenz von Minimierer f ur polykonvexe Funktionale). Sei n < q < , L koerziv und poly-konvex und A = .Dann existiert ein u A, soda
I [u ] = minwA
I [w] .
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7/21/2019 Variationsrechnung Mller
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LITERATUR 43
Literatur
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