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CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
Las cantidades físicas (ej: velocidad, masa, fuerza) presentan características operacionales diferentes, estas diferencias se reflejan al momento de realizar operaciones matemáticas con ellas.
Las cantidades conocidas como escalares obedecen las reglas aritméticas de la suma, resta, multiplicación y división.
Las cantidades conocidas como Vectores obedecen reglas diferentes, conocidas como Algebra de Vectores
08/10/20091FLORENCIO PINELA - ESPOL
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CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES
Se tienen las siguientes cantidades físicas:
Fuerza, aceleración, masa, peso, tensión.
¿Cuál de las siguientes operaciones son físicamente permitidas?.
FUERZA + ACELERACIÓN => NO ES PERMITIDO
(MASA) x (ACELERACIÓN) => SI ES ES PERMITIDO
PESO + TENSIÓN => SI ES PERMITIDO
08/10/20092FLORENCIO PINELA - ESPOL
FUERZA + MASA => NO ES PERMITIDO
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08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 3
La mayoría de nosotros estamos
acostumbrados a la siguiente forma de
matemáticas:
6 + 8 = 14.
Todavía, somos extremadamente inquietos
sobre esta forma de matemáticas:
6 + 8 = 10
y
6 + 8 = 2
y
6 + 8 = 5
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77
82
8368
5566
83
75 80
9091
7571
80
72
84
73
82
88
92
77
8888
7364
Una Cantidad Escalar: sólo requiere de una
magnitud y su unidad
Estos valores aislados de temperatura son un ejemplo de una cantidad escalar
(Usted tiene solo idea del valor de la temperatura en el punto escogido).
08/10/2009 4FLORENCIO PINELA - ESPOL
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77
82
83
68
5566
83
75 80
9091
7571
80
72
84
73
57
88
92
77
5688
7364
Una Cantidad VectorialIt may be more interesting to know which way the wind is blowing...
Esto requeriría de una cantidad vectorial
(Usted conoce tanto de la rapidez como de la dirección)
Puede ser mas interesante conocer la dirección en que sopla el viento
08/10/2009 5FLORENCIO PINELA - ESPOL
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Un reportero da una noticia e indica:
“Dos autos colisionan en una calle céntrica de la ciudad. Uno de los
conductores asegura que sólo viajaba a 40 km/h, mientras que el
otro insistía que no superaba el límite de 60 km/h”
• ¿Es suficiente la información para darnos cuenta de la “gravedad”
del choque?
a) SI b) NO
• ¿En cuál de los siguientes casos se produciría el mayor daño en
los vehículos durante la colisión?
a) Viajan en la misma dirección
b) Viajan en direcciones contrarias
c) Viajan en direcciones perpendiculares
08/10/20096FLORENCIO PINELA - ESPOL
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¿Qué preguntaría el piloto a la torre de control, si de ésta le indican
que el viento sopla en el aeropuerto a 40 km/h?
08/10/20097FLORENCIO PINELA - ESPOL
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Gráfico superior Gráfico inferiorEl viento se mueve a una velocidad de 40
km/h hacia la izquierda. Si el avión vuela
a una velocidad de 160 km/h con respecto
al aire. ¿Cuál es la velocidad del avión
con respecto a la tierra?
El viento se mueve a una velocidad de 40
km/h hacia la derecha. Si el avión vuela a
una velocidad de 240 km/h con respecto
al aire. ¿Cuál es la velocidad del avión
con respecto a la tierra?
08/10/20098FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los vectores se suman considerando su magnitud y dirección
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Representación Gráficade un Vector
dirección: obvio
magnitud: longitud
La localización es irrelevante
Estos son
idénticos
08/10/20099FLORENCIO PINELA - ESPOL
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a
b
c
c
aCosSen
c
bSenCos
cSena cCosb
222 bac
22222 CoscSencc
221 CosSen
Repaso de Trigonometría básica
Para un triángulo rectángulo, el seno de uno de los
ángulos es igual al coseno de su complemento
El teorema de Pitágoras es válido
únicamente para triángulos rectángulos
opuestosen
hipotenusa
adyacentecos
hipotenusa
opuestotan
adyacente
08/10/200910FLORENCIO PINELA - ESPOL
Op
ues
to
adyacente
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Representación de un vector en Coordenadas Rectangulares
Cualquier vector, A, que se encuentre en el plano x-yes posible representarlo por medio de sus componentes rectangulares: Ax y Ay
A
Ax
Ay
Ax = A cos
Ay = A sen
2 2
x yA A A
1tan tany y
x x
A A
A A
x yA A A
2 2 2
x yA A AForma matemática de expresar que el vector A
es igual a la suma de los vectores Ax y Ax
Magnitud
del vector A
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 11
x
y
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08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 12
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La dirección de un vector en 2-D
x
y
-α
Sea = 130
Sen 130 = 0,766
Cos 130 = -0,643
α = - 230
Sen(-230 )= 0,766
Cos(-230 )=-0,643
• Positivo en “sentido” antihorario
• Negativo en “sentido” horario08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 13
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Compruebe el signo
de las componentes!
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 14
la componente rectangular de un
vector que apunte a la derecha se
considera positiva. Hacia la izquierda
negativa.
la componente rectangular de un
vector que apunte hacia arriba se
considera positiva. Hacia abajo negativa.
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Pregunta de Concepto:
Todos los vectores de la figura tienen la misma magnitud, cuál de
ellos tiene la mayor componente horizontal?
A B C
08/10/200915FLORENCIO PINELA - ESPOL
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Pregunta de concepto:
Se nos dice que un vector, A, tiene como componentes rectangulares: Ax = 2, Ay = -4. Cuál de los siguientes vectores representaría mejor al vector A?
a b c
08/10/200916FLORENCIO PINELA - ESPOL
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Pregunta de concepto:
Se nos dice que un vector, A, tiene como componentes rectangulares: Ax = 2, Ay = -4. ¿Cuál sería la magnitud del vector A?
a)
b)
c)
d) 6
20
12
22
-4
08/10/200917FLORENCIO PINELA - ESPOL
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Pregunta de Actividad:
Para el vector indicado en la figura, cuya magnitud es de 20 unidades. ¿Cuál es el valor de su componente vertical?
150a) 20
b) 17,2
c) 10
d) 5
08/10/200918FLORENCIO PINELA - ESPOL
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Pregunta de Actividad:
Se nos dice que un vector, A, tiene como componentes rectagulares: Ax = -2, Ay = -4. ¿Cuál sería la magnitud y dirección del vector A?
-2
-4
a) 20 30
b) 6 243,4
c) 6 63,4
d) 20 243,4
08/10/200919FLORENCIO PINELA - ESPOL
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Algunas veces es más conveniente representar un punto en el plano por
sus coordenadas polares, (r, ) donde r es la distancia desde el origen
hasta el punto de coordenadas (x,y) y es el ángulo entre r y un eje
fijo, medido contrario a las manecillas del reloj.
r
(x,y)
x
y
o
tany
x
2 2r x y
1tany
x
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 20
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Ejemplo: Encuentre el vector en coordenadas polares si sus coordenadas en el plano x-y son (-2, -5)
-2
-5
¡Cuidado cuando use
tan = y/x !
' 1 5tan 68, 2
2
o
¡Línea de acción del vector!
180 68,2o or
2 2( 2) ( 5) 29r
: 29; 248,2or
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 21
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Se identifican dos procedimientos para sumar o restar vectores.
• El Método Gráfico (Polígono)
• Método Analítico (Descomposición vectorial)
08/10/200922FLORENCIO PINELA - ESPOL
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08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 23
Los casos más simples
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08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 24
Los casos más simples
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08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 25
Los casos simples de vectores
perpendiculares
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08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 26
casos más complicados en los cuales los vectores se
dirigen en direcciones diferentes en comparación con las
direcciones puramente verticales y horizontales.
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A
C B
A + B = C
A
B
Observe que el vector resultante
(negro) tiene un valor máximo y
mínimo. ¿Cuándo ocurre esto?
08/10/200927FLORENCIO PINELA - ESPOL
Los vectores se unen extremo con origen, conservando su
magnitud y dirección. El vector resultante parte del origen del primero al extremo del último
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Los vectores se unen extremo con origen,
conservando su magnitud y dirección. El vector resultante parte del origen del primero al extremo
del último
A
B
A+B
C
A+B+C
D
RR = A + B +C + D
R A B C D
08/10/200928FLORENCIO PINELA - ESPOL
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C A B
C B A
A
A
A
B
B
B
C
C
C
No importa el orden en que se sumen, su resultante siempre será la misma !
08/10/200929FLORENCIO PINELA - ESPOL
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08/10/200930FLORENCIO PINELA - ESPOL
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LA SUMA DE VECTORES ES CONMUTATIVA
(ejemplo de tres vectores)
08/10/200931FLORENCIO PINELA - ESPOL
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A+B+C=D
AB
C
Sean los vectores A, B, y C de la figura, ¿Cuál sería la magnitud y dirección del vector resultante de sumar A, B y C ?
Pregunta de actividad:
a)b) c)
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 32
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Pregunta de concepto
Se tienen dos vectores de 10 y 15 unidades de magnitud. ¿Cuál sería el valor de la mínima y máxima magnitud de la suma de los dos vectores?
El valor mínimo sería de 5 unidades.
El valor máximo sería de 25 unidades
a) minimo: 5 maximo 15
b) Minimo: 0 maximo: 25
c) Minimo: 5 maximo: 25
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 33
![Page 34: VECTORES: Física Conceptual-ESPOL](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042423/55ace98e1a28ab2b608b47c7/html5/thumbnails/34.jpg)
Los cuatro vectores de la figura tienen sus extremos y origen sobre la superficie de una esfera de radio R, como se indica en la figura. ¿Cuál es la magnitud del vector resultante de la suma de los cuatro vectores?
a) R b) 2R c) 3R d) 4R e) 5R
Pregunta de Actividad:
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 34
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Todos los vectores que forman el cuadrado mostrado en la figura tienen una magnitud de 10 unidades. La resultante de la suma de los cinco vectores es:
a) 10 b) 20 c) 10 d) 5 e) 52 2
Pregunta de Actividad:
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 35
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Pregunta de concepto
Sea C = A + B. Si el módulo del vector A es de 25 u y el módulo del vector B es de 12 u. ¿Qué se puede decir respecto a los vectores A y B, sabiendo que el módulo de C es de 13 u
a) La dirección de A es contraria a la dirección de B
b) La dirección de A es la misma que la dirección de B
c) La dirección de A es perpendicular a la dirección de B
d) La dirección de A es paralela a la dirección de B.
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 36
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EL VECTOR NEGATIVO
LA MAGNITUD O MODULO DE UN VECTOR ES SIEMPRE UNA CANTIDAD POSITIVA.
Un vector es negativo cuando apunta en dirección contraria a uno definido como positivo.
A -AB
-B
C
-C
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 37
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RESTA DE VECTORESRESTARLE UN VECTOR A OTRO VECTOR ES EQUIVALENTE A SUMARLE SU VECTOR NEGATIVO
A – B = A + (- B)
AB
A-B A-B
Si los vectores se unen por su origen, la resultante de Se dirige desde el extremo de B hasta el extremo de A
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 38
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Sean los vectores A y B que se muestran en la figura.
¿Cuál de las alternativas representa el vector B - A?
AB
a)b) c)
Pregunta de concepto
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 39
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Sean los vectores A y B; el vector A tiene 10 unidades de magnitud. El vector A – B es perpendicular al vector A y tiene 15 unidadesde magnitud. La magnitud del vector B es
a) 18.0 b) 16.0 c) 13.0 d) 11.2 e) 8.0
A
A-BB
Pregunta de Actividad:
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 40
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Pregunta de concepto
Para los vectores a, b y c, indicados en la figura. ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta?
3) c b a
1) a c b
2) a b c
4) Todas son correctas
a
b
c
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 41
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Pregunta de concepto
Para los vectores a y b de la figura. ¿Cuál de las siguientes operaciones entre los vectores a y b tiene la mayor magnitud?
3) 2 2a b
1) 2a b
2) a b
a b
4) a b
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 42
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• El método geométrico de suma de vectores NO es el
procedimiento recomendado en situaciones donde se requiere alta
precisión o en problemas tridimensionales.
En esta sección se describe un método para sumar vectores que
hacen uso de las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de
un sistema de coordenadas rectangular.
A estas proyecciones se las llama componentes del vector.
Cualquier vector se puede describir completamente por sus
componentes.
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 43
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![Page 45: VECTORES: Física Conceptual-ESPOL](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042423/55ace98e1a28ab2b608b47c7/html5/thumbnails/45.jpg)
La dirección de un vector, por convención, siempre se mide con respecto al eje positivo de las “x”. Positivos en “sentido” antihorario
08/10/200945FLORENCIO PINELA - ESPOL
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Componentes: magnitudes en las direcciones x y y, generalmente (x = derecha, y = arriba)
C
B
A
A = (4, 3)
B = (0, –2)
C = A + B = (4+0, 3–2) = (4, 1)
x
y
¿Cuál es el valor de A + B?
08/10/200946FLORENCIO PINELA - ESPOL
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Pregunta de concepto:Vectores
Vector A = {0,2}
Vector B = {3,0}
Vector C = {1,-4}
What is the resultant vector, D, from adding A+B+C?
(a) {3,5,} (b) {4,-2} (c) {5,-2}
08/10/200947FLORENCIO PINELA - ESPOL
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Pregunta de concepto:Vectores
Vector A = {0,2}
Vector B = {3,0}
Vector C = {1,-4}
What is the resultant vector, E, from adding A+B-C?
(a) {2,2} (b) {4,-2} (c) {2,6}
08/10/200948FLORENCIO PINELA - ESPOL
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SUMA DE VECTORES: COMPONENTES ORTOGONALES
AB
C
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 49
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A
Ax
Ay
Bx
By
Cx
Cy
R
B C
Rx
Ry
Rx = Ax + Bx + Cx
Ry = Ay + By + Cy08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 50
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Ry
Rx
R
Rx = Ax + Bx + Cx (suma vectorial)
Ry = Ay + By + Cy (suma vectorial)
Magnitud del vector R 2 2
x yR R R
Línea de acción del
vector R
1tany
x
R
R
DETERMINACIÓN DE LA MAGNITUD Y DIRECCIÓN
DEL VECTOR R
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 51
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DETERMINACIÓN DE LA MAGNITUD Y DIRECCIÓN DEL VECTOR RESULTANTE
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 52
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Pregunta de Actividad:
Determine la magnitud y dirección del vector R, donde R = A + B + C + D
A = 40
B = 20
C = 30
D = 40
a) R = 22,4 = 163,4
b) R = 130 = - 63,4
c) R = 22,4 = - 63,4°
d) R = 30 = - 63,4°
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 53
![Page 54: VECTORES: Física Conceptual-ESPOL](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042423/55ace98e1a28ab2b608b47c7/html5/thumbnails/54.jpg)
A = 40
B = 20
C = 30
D = 40
10
20 R
2 210 20 22,4R
1 20tan 63,4
10
o
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 54
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Pregunta de Actividad:
• Sean los vectores A, B y C. con sus componentes
rectangulares:
A: (2, -4) B: (4, 6) C: (-3, 2)
¿Cuál es la magnitud del vector resultante de la suma A + B + C?
a) 0 b) 7 c) 5 d) 20
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 55
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A=40B=10
Ejemplo: Para los vectores indicados en la figura, determine la magnitud y dirección del vector R, donde R = A+B
3040
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 56
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A=40
B=10
3040
40 cos 30o
40 sen 30o
-10 cos 40o
10 sen 40o
0 040cos30 10cos 40 27xR
0 040 30 10 40 26,4yR sen sen
2 227 26,4 37,7R1 026, 4
tan 44,727
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 57
![Page 58: VECTORES: Física Conceptual-ESPOL](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042423/55ace98e1a28ab2b608b47c7/html5/thumbnails/58.jpg)
A=40B=10
C =30
Para los vectores indicados en la figura, determine la magnitud y dirección del vector R, donde R = A+B-2C
30
40
40
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 58
![Page 59: VECTORES: Física Conceptual-ESPOL](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042423/55ace98e1a28ab2b608b47c7/html5/thumbnails/59.jpg)
A=40B=10
C =30
30
40
40
Expresemos todos los ángulos respecto al eje
positivo de las “x”
A = 30
B = 140
C = - 40
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 59
![Page 60: VECTORES: Física Conceptual-ESPOL](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042423/55ace98e1a28ab2b608b47c7/html5/thumbnails/60.jpg)
R = A+B-2C
A=40B=10
C =30
30
40
40
2x x x xR A B C
2y y y yR A B C
cos cos 2 cos
2
x A B C
y A B C
R A B C
R Asen Bsen Csen
40cos30 10cos140 2(30)cos ( 40 )
40 30 10 140 2(30) ( 40 )
o o o
x
o o o
y
R
R sen sen sen
19
65
x
y
R
R
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 60
![Page 61: VECTORES: Física Conceptual-ESPOL](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042423/55ace98e1a28ab2b608b47c7/html5/thumbnails/61.jpg)
19
65
x
y
R
R
' 1 65tan 73,7
19
o
180 73,7 106,3o o o
2 2( 19) (65) 67,7R
R
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 61
![Page 62: VECTORES: Física Conceptual-ESPOL](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042423/55ace98e1a28ab2b608b47c7/html5/thumbnails/62.jpg)
08/10/2009 11:46
FIN DE ESTA UNIDAD
LA PROXIMA CLASE:
• LECCION SOBRE “VECTORES”
![Page 63: VECTORES: Física Conceptual-ESPOL](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042423/55ace98e1a28ab2b608b47c7/html5/thumbnails/63.jpg)
Para los vectores mostrados en la figura. ¿Cuál de las siguientes alternativas es la correcta?
a) j + g - c = a + 2e
b) b + f - i = j + h - a
c) a + b + c = 2g
d) a + b + d + e = f + h + i
e) b + f + i = a + j + h
ACTIVIDAD
08/10/2009FLORENCIO PINELA - ESPOL 63