Download - vektorski prostori, sistemi
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
1/33
M A T E M A T I K A
1
FON, 2008
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
2/33
13.10.2008.
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
3/33
VEKTORSKI PROSTORI I SISTEMI
•
•
•
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
4/33
VEKTORSKI PROSTORI
•
•
•
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
5/33
1 Definicija vektorskog prostora
V K + : V 2 → V
· : K × V → V
Algebarska struktura (V,K, +, ·) je vektorski ili
linearni prostor ako je:
1. (V, +) Abelova grupa,
2. α · (x + y) = αx + αy,
3. (α + β ) · x = α · x + β · x,
4. (αβ ) · x = α · (β · x),
5. 1 · x = x,
za sve x, y ∈ V i sve α, β ∈ K . Elementi skupa V su vektori , a
elementi skupa K su skalari .
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
6/33
Ako je K = R, vektorski prostor je realan , a ako je K = C ,
vektorski prostor je kompleksan .
V α · x αx
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
7/33
Primeri
V = C K = R + · C
V = Rn K = R + ·
(x1, . . . , xn) + (y1, . . . . yn) = (x1 + y1, . . . , xn + yn),
α(x1, . . . , xn) = (αx1, . . . , α xn),
V = P ≤n n K = R
+ ·
V = RR f : R → R K = R + ·
(f + g)(x) = f (x) + g(x), (αf )(x) = αf (x),
V = C [a, b] [a, b] K = R
+ ·
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
8/33
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
9/33
2 Linearna zavisnost i nezavisnost vektora
Vektori x1, . . . , xn vektorskog prostora V su
linearno zavisni ako postoje skalari α1, . . . , αn iz K , od kojih je bar jedan razliqit od nule i za koje vai
α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn = 0.
U protivnom, vektori x1, . . . , xn su linearno nezavisni .
x1, . . . , xn
α1 = · · · = αn = 0
x1, . . . , xn
x1, . . . , xn, x
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
10/33
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
11/33
3 Baza i dimenzija vektorskog prostora
Skup linearno nezavisnih vektora je baza
vektorskog prostora ako je L(B) = V .
Primeri
Rn
{(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)}.
P ≤n(t)
{1, t , t2
, . . . , tn
}.
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
12/33
2 Svaki vektor vektorskog prostora moe se na
jedinstven naqin izraziti kao linearna kombinacija vektora
baze.
Dokaz. x ∈ V B = {x1, . . . . xn}
L(B) = V x ∈ L(B)
x = α1x1 + · · · + αnxn = β 1x1 + · · · + β nxn,
(α1 − β 1)x1 + · · ·( αn − β n)xn = 0,
α1 − β 1 = α2 − β 2 = · · · = αn − β n = 0,
α1 = β 1, α2 = β 2, . . . , αn = β n
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
13/33
3 Sve baze konaqno-dimenzionalnog vektorskog prostora
imaju jednak broj vektora.
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
14/33
Broj elemenata baze konaqno-dimenzionalnog
vektorskog prostora V = {0} je dimenzija tog prostora i
oznaqava se sa dimV . Za V = {0} je dimV = 0.
Primeri
dimRn = n
dimP ≤n = n + 1.
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
15/33
V n
B = {x1, . . . , xn}
Ako je za
x = α1x1 + α2x2 + · · · + αnxn
za x ∈ V , skalari α1, α2, . . . , αn su koordinate vektora x u bazi B.
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
16/33
SISTEMI LINEARNIH JEDNAQINA
•
•
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
17/33
4 POJAM SISTEMA LINEARNIHJEDNAQINA
4.1 Definicija sistema i rexenja
K aij, bi ∈ K i = 1, . . . , m j = 1, . . . , n
Sistem S oblika
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2...
... = ...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
18/33
je sistem linearnih jednaqina nad poljem K sa nepoznatim
x1, x2, . . . , xn, koeficijentima aij i slobodnim qlanovima bi. Ako je
b1 = b2 = · · · = bn = 0 sistem je homogen , a u protivnom je
nehomogen . Sistem S je kvadratni za m = n, a pravougaoni za m = n.
n j=1
aijx j = bi, i = 1, 2, . . . , m .
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
19/33
Ureena n-torka (α1, α2, . . . , αn) ∈ K n je rexenje
sistema S ako zamenom u sistemu xk sa αk za k = 1, . . . , n dobijamo
m taqnih jednakosti. Sistem je rexiv (saglasan,
neprotivureqan, mogu) ako ima bar jedno rexenje, a u protivnom je nerexiv (nesaglasan, protivureqan, nemogu, kontradiktoran).
Ako sistem ima samo jedno rexenje, onda je odreen , a ako ima
vixe rexenja, onda je neodreen .
K = R S
RS
Sistemi S 1 i S 2 su ekvivalentni ako imaju iste
skupove rexenja, odnosno ako je RS 1 = RS 2.
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
20/33
Ekvivalentne transformacije sistema su:
1. zamena mesta jednaqinama,
2. ’mnoenje’ jednaqine brojem koji nije nula,
3. ’dodavanje’ jedne jednaqine drugoj jednaqini.
4 Ekvivalentne transformacije ne menjaju skup rexenja
sistema.
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
21/33
4.2 Matriqni zapis sistema
A = (aij)m×n B X
AX = B,
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
am1 am2 · · · amn
x1
x2
xn
=
b1
b2
bm
.
A S A = (A|B)
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
22/33
A A1, . . . , An
A1 A2 · · · An
x1
x2
xn
=
b1
b2
bm
,
x1A1 + x2A2 + · · · xnAn = B.
A
X =
A−1
·B
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
23/33
Primeri
ax + by = α, cx + dy = β
AX = B
A =
a b
c d
, B =
α
β
, X =
x
y
.
ad = bc A
X = 1
ad − bc
d −b
−c a
α
β
= 1
ad − bc
αd − βb
−αc + βa
,
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
24/33
x = αd − βb
ad − bc , y =
βa − αc
ad − bc .
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
25/33
AX = B
A =
2 1 −1
1 3 −2
3 −3 1
, B =
2
−3
9
,
|A| = 2, A−1 = 1
2
−1 1 1
−7 5 3
−11 7 5
,
X = A−1B = 12
−1 1 1
−7 5 3
−11 7 5
2
−3
9
=
2
−1
1
.
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
26/33
5 KRAMEROVO PRAVILO
5.1 Kramerove formule
AX = B
A |A| = D
X = A−1B = adjA
|A| · B =
1
D
A11 A21 · · · An1
A12 A22 · · · An2
A1n A2n · · · Ann
·
b1
b2
bn
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
27/33
xk = 1
D
ni=1
biAik
k = 1, . . . , n
Dk
D k B
ni=1 biAik k
5 Ako je matrica sistema regularna, sistem ima
jedinstveno rexenje dato sa
xk = Dk
D , k = 1, 2, . . . , n .
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
28/33
Primer
x + y + 2z = 4, x + 2y + z = 2, 2z + y + z = 1
D =
1 1 2
1 2 1
2 1 1
= −4, D1 =
4 1 2
2 2 1
1 1 1
= 3,
D2 =
1 4 2
1 2 1
2 1 1
= −1, D3 =
1 1 4
1 2 2
2 1 1
= −9,
x = D1
D = −
3
4, y =
D2
D =
1
4, z =
D3
D =
9
4.
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
29/33
5.2 Diskusija rexenja sistema
D = 0
D = 0 Dk = 0
k ∈ {1, 2, . . . , n}
D = 0
Dk = 0 k ∈ {1, 2, . . . , n}
D Dk
D = 0
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
30/33
Primeri
x + y + az = a2, x + ay + z = a, ax + y + z = 1
D = −(a + 2)(a − 1)2, D1 = (a + 1)(a − 1)2,
D2 = −(a − 1)2, D3 = −(a − 1)2(a + 1)2.
a ∈ {−2, 1}
x = − a + 1a + 2
, y = 1a + 2
, z = (a + 1)2
a + 2 ,
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
31/33
a = −2 D2 = 0
a = 1
D = D1 = D2 = D3 = 0
x + y + z = 1
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
32/33
x + y + 2z = 0, x + 2y + z = 0, 2z + y + z = 0
(0, 0, 0)
D = −4 = 0
-
8/18/2019 vektorski prostori, sistemi
33/33