Download - Vetor Gradiente
Definição: Seja � uma função de duas variáveis e seja ��0, �0�um ponto do seu Domínio.
Se as derivadas parciais ����existem no neste ponto, então define-se o Vetor
Gradiente da � no ponto ��0, �0�, denotado por � , como
� ��, �� �� ��, �� , �� ��, �� ���� ��, �� , ���� ��, ��
Importante notar que o Gradiente é na verdade uma função vetorial, ou seja, para cada��, �� ∊ D pode-se associar o vetor � �, � .
Podemos generalizar o conceito de Gradiente para funções de mais de duas variáveis.
Seja D ⊆ ℝn e �:D → ℝ. Para qualquer ponto ���, ��, … , ��� ∈ �onde existam as
derivadas parciais ��� , ��� , �� , … , ��! , podemos definir o Vetor Gradiente por
� ��, ��, … , �� ���� ��, ��, … , �� , ��� ��, ��, … , �� , … , ��! ��, ��, … , �� �
Calcule o Vetor Gradiente das seguintes funções nos pontos indicados
a. � �, � "#� $ ��, no ponto �0,1� b. ���, �, &� �"#��&�, no ponto �1,3,0����� cos � $ ��� ��
�� ���
Avaliando ambas no ponto �0,1�temos:
���� 0,1 1 $ 1 2���� �0,1� 0
� 0,1 2, 0
����,��,-,�� "# �& .��,-,�� 0����,��,-,�� �&/0" �& .��,-,�� 0
���&,��,-,�� ��/0" �& .��,-,�� 3
� 1,3,0 0,0,3
& 1 &0 ����0, �0� � 1 �0 $ ����0, �0� � 1 �0Se denotarmos os pontos �, � ∊ ℝ2 por 2 , então podemos reescrever a expressão
acima, na notação vetorial, como :
& &� $ 3��24� · �2 1 24�Que é similar a equação da reta tangente ao gráfico de uma função de uma variável,
com três diferenças: Agora 2 e 24 são vetores em vez de escalares; a derivada da
função é substituída pelo vetor gradiente e o produto do lado direito da igualdade é
um produto escalar.
Relembrando a equação do plano tangente ao gráfico de uma função & ���, �� no
ponto 6��0, �0, &0�.
No caso das funções de uma variável a equação da reta tangente ao gráfico da função
em um ponto 6��0, �0� era dada por:
� 1 �0 �´��0� · �� 1 �0�
� �0$ ∆� � �0 $ �´ �0 · ∆� $ 9�∆��
Começaremos recordado a utilização da inclinação da reta tangente (derivada) para
aproximação de funções de uma variável.
x
y
•
�´��� · ∆�9�∆��
�
���0$ ∆��
���0�
� $ ∆�
∆�•onde 9�∆�� é o erro que se comete na
aproximação.
� �0$ ∆� : � �0 $ �´ �0 · ∆�Observando a figura, vemos que na verdade temos:
Define-se então a noção de
diferencial como :
;� �´��� · ;�
Do mesmo modo que foi
feito para funções de uma
variável, pode-se utilizar o
plano tangente para
determinar uma
aproximação linear da
função & ���, �� na
vizinhança de um
ponto ��0, ��� . Assim,
pode-se escrever :
� �� $ ∆�, �� $ ∆� : � ��, �� $ � ��, �� · ∆�, ∆�
Define-se então a diferencial total da função ���, �� por
���, ������ $ ∆�, �� $ ∆��
Superfície & ���, ��
Plano tangente
no ponto ���, ��, &��
••
•
•
�
�
&
���, ��, ����, ����
��� $ ∆�, �� $ ∆�, ���� $ ∆�, �� $ ∆���
;� ∆�9�∆�, ∆��
Note-se que o lado direito da igualdade é a equação do plano tangente a superfície em
P ��, ��, � ��, �� .
;� ���� · ;� $
���� · ;�
Observando a figura do slide anterior vemos que , assim como no caso de funções de
uma variável, podemos escrever:
� �� $ ∆�, �� $ ∆� � ��, �� $ � ��, �� · ∆�, ∆� $ 9�∆�, ∆��onde 9�∆�, ∆�� é o erro que se comete ao usar o plano tangente para aproximar o
valor da função.
Devemos notar que, para qualquer função � que possua derivadas parciais, podemos
usar a expressão acima para definir o erro cometido na aproximação, como:
9 ∆�, ∆� � �� $ ∆�, �� $ ∆� 1 � ��, �� 1 � ��, �� · ∆�, ∆�Nesse ponto, chegamos a essência da definição de diferenciabilidade.
Diz-se que uma função ���, �� é diferenciável no ponto ��, �� , quando tem-se
lim�∆�,∆��→�9�∆�, ∆���∆�, ∆�� 0
Exprimimos este fato dizendo que a condição crucial para que uma função seja
diferenciável, é que o erro seja um infinitésimo de ordem inferior ao módulo do vetor∆�, ∆� .
•
•
•
•
@A@B�@B�A
6��0, �0, &0�
6��0$ @B�, �0$ @B�, &�
�C ��, �� ���B limD→�
� �� $ @B�, �� $ @B� 1 ����, ��� @
Suponhamos agora que queremos estudar a
taxa de variação de uma função ���, �� em
uma direção dada por um vetor unitário
qualquer B �B�, B��.
&
��
Usando as componentes do vetor nas direções��, define-se a Derivada Direcional da � na
direção de A, como:
Convém notar que se A for o vetor unitário na direção � ou na direção �, a
definição acima reduz-se as derivadas parciais ���� . Ou seja, as derivadas
parciais são casos particulares da derivada direcional, quando se toma A como
sendo o unitário em cada uma das direções principais dos eixos coordenados.
Na prática, para calcularmos a derivada de uma função � em uma direção qualquer,
dada por um vetor A, usaremos o seguinte
Teorema : Se � é uma função diferenciável em um ponto ��, ��, então � possui
derivada direcional em qualquer direção, dada por um vetor arbitrário A �B� , B��, e
esta derivada será dada por
�C� �, � ���B �, � �� �, � · B� $ �� �, � · B�
ou
���B �, � ��
�� �, � · B� $ ���� �, � · B�
Mas se lembrarmos da definição do vetor gradiente, veremos que a expressão acima
nada mais é que o produto escalar entre o gradiente e o vetor A. Ou seja :
���B �, � ����, ��� · A
Teorema: Seja � é uma função de # variáveis, diferenciável no ponto ���, ���. Então
a direção de máximo crescimento da � será a direção do gradiente e a taxa de
variação máxima da função será dada por ����, ��� .
Prova:
Tomemos um vetor unitário qualquer A. Se usarmos a expressão da derivada
direcional, teremos : �A� ��, �� � ��, �� · A � ��, �� . A . /0"E , onde
θ é o ângulo entre a direção A e o gradiente � ��, �� .
Ora, mas este produto será máximo quando /0"E 1. O que ocorre quando θ = 0,
ou seja, quando A é a direção do gradiente.
Como A é unitário, o valor da taxa de variação quando θ = 0 será igual a� ��, �� .
� ��, ��
Aθ
1. Encontre a a derivada direcional de ���, �� ��2, na direção do vetor F �2,3�
2. Sendo G �, �, & �"#��&�. Determine a derivada direcional de G na direção do
vetor F H $ 2I 1 J.
Recordemo-nos que a regra da cadeia para funções de uma variável, nos permite
calcular a derivada de funções compostas. Assim, se temos � ����e � G�K�,podemos escrever L ��M N � e teremos
;�;K
;�;� ·
;�;K
Para funções de mais de uma variável a regra da cadeia pode assumir diferentes versões
Tomemos uma função z ���, ��e suponhamos que as variáveis ��sejam ambas
funções de uma terceira variável, a qual chamaremos de K, ou seja, temos ��� K , � K �.Suponhamos que � seja diferenciável e que ��K���K�sejam também diferenciáveis.
Nesse caso, � será diferenciável com relação a K e teremos
;�;K
���� ·
;�;K $
���� ·
;�;K ou
;&;K
�&�� ·
;�;K $
�&�� ·
;�;K
Regra da Cadeia (Versão 1):
Mas como sabemos, a função vetorial Q�K� ���K�, ��K�� define uma curva (ou
caminho) no ℝ2 . Podemos então escrever a primeira versão da regra da cadeia em
notação vetorial, da seguinte forma:
�´ Q K ;��Q K �
;K 3� Q K · Q´�K�
Note-se que o produto do lado direito da igualdade acima é o produto escalar entre o
vetor gradiente da função ���, �� e vetor velocidade (ou a derivada) da função
vetorial Q�K�, que é dado por Q´�K� ��´�K�, �´�K��.
Note-se que essa igualdade também é válida para dimensões maiores que 2 .
Seja ���, �� �2� $ 3��4 , onde � K "#2K��K� cos K. Determine o
valor de STSU , quando K 0
;�;K
���� ·
;�;K $
���� ·
;�;K 2�� $ 3�V · 2 cos 2K 1 �� $ 12��- · "#K
Mas quando K 0 teremos ��K� "#0 0 e ��K� cos0 1 . Logo,
substituindo.
;�;K,UW� 0 $ 3 · 2 1 0 $ 0 · 0 6
Ou, na notação vetorial :
;�;K 3���, �� · ��´ K , �´ K �
Na versão 2 da Regra da Cadeia, vamos considerar que as variáveis �� sejam
funções de duas variáveis, as quais denominaremos "K. Ou seja, temos agora :& ����", K�, ��", K��. Note-se que neste caso as variáveis independentes são "K,sendo ��, denominadas variáveis intermediárias e & a variável dependente. Neste
caso teremos:
Regra da Cadeia (Versão 2):
Suponhamos que & ���, �� seja um função diferenciável das variáveis ��, onde � � ", K � � ", K . Então � é uma função de "K e teremos:
���"
���� ·
���" $
���� ·
���"
e
���K
���� ·
���K $
���� ·
���K
Suponhamos que � seja uma função diferenciável de # variáveis �1, �2, �3, … , �# e que
cada um �I seja uma função diferenciável de Y variáveis K1, K2, K3, … , KY . Então � será
uma função diferenciável das variáveis K1, K2, K3, … , KY e teremos :
���KZ
�����
����KZ $�����
����KZ $⋯$ �����
����KZpara cada H 1, … ,Y