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Vibraciones de modo normal en sistemas
continuos
Características y aspectos a tener en cuenta:
- Los sistemas tienen masa y elasticidad
continuamente distribuidas.
- Se asumen como cuerpos homogéneos e
isotrópicos.
- Obedecen la ley de Hooke (En el rango elástico).
- La posición de una partícula está dada por infinitas
coordenadas (debido al carácter elástico), por ende
tienen infinitos grados de libertad.
Cuerdas Vibrantes:
Se plantea la sumatoria de fuerzas para el eje y:
Teniendo en cuenta que:
Al reemplazar y hacer el despeje correspondiente se
obtendrá la ecuación diferencial de movimiento:
Donde “c” es la velocidad de propagación de la onda
en la cuerda, y está dada por:
Por el método de la separación de variables, para la
solución de ecuaciones diferenciales parciales se
plantea:
La cual al ser sustituida resulta ser:
Donde se concluye que ambos términos son iguales a
una constante= -(w/c)2
De donde se obtienen las dos homogéneas con las
que se dará solución al problema:
,
Para las cuales se tienen como soluciones generales:
EJEMPLO: Solucionando para una cuerda tendida
entre dos puntos que distan un valor “l” se tendrá
que:
Para y(0,t)=0 => B = 0 , combinando las expresiones
se tiene:
Para y(l,t) = 0 : Se debe satisfacer:
Esto se dará para: , con n=1 ,2 ,3…
con lo que se obtiene finalmente la frecuencia
natural del sistema:
Vigas:
Haciendo sumatoria de fuerzas en el eje y:
Haciendo sumatoria de momentos:
Las siguientes ecuaciones resultan de el análisis de
los diagramas de cortante y momento flector:
,
Reemplazando las anteriores ecuaciones en la
sumatoria de momentos:
De la deformación de vigas se obtiene la siguiente
ecuación:
Reemplazando en la ecuación general:
Haciendo sumatoria de fuerzas en el eje y:
n de el análisis de
los diagramas de cortante y momento flector:
Reemplazando las anteriores ecuaciones en la
De la deformación de vigas se obtiene la siguiente
Reemplazando en la ecuación general:
Como p(x) representa la amplitud de una excitación
que se supone armónica la respuesta será de la
forma:
Agrupando términos para obtener la frecuencia
natural:
Y la ecuación diferencial que rige la amplitud del
movimiento es:
Resolviendo la ecuación diferencial:
Con lo que finalmente se obtiene:
enta la amplitud de una excitación
que se supone armónica la respuesta será de la
Agrupando términos para obtener la frecuencia
Y la ecuación diferencial que rige la amplitud del
Resolviendo la ecuación diferencial:
Con lo que finalmente se obtiene: