Vjezbe 11
Vjezbe 11
Integriranje iracionalnih funkcija
∫Mx + N√
ax2 + bx + cdx =
M
2a
∫2ax + b√
ax2 + bx + cdx
+
(N − bM
2a
)∫dx√
ax2 + bx + c
∫dx
(Mx + N)√
ax2 + bx + c
supstitucijom
t =1
Mx + N
svodimo na prethodni.
Vjezbe 11
Integriranje iracionalnih funkcija
∫Mx + N√
ax2 + bx + cdx =
M
2a
∫2ax + b√
ax2 + bx + cdx
+
(N − bM
2a
)∫dx√
ax2 + bx + c
∫dx
(Mx + N)√
ax2 + bx + c
supstitucijom
t =1
Mx + N
svodimo na prethodni.
Vjezbe 11
Integriranje iracionalnih funkcija
4. Rijesite sljedece integrale:
a)
∫dx√
2 + 3x − 2x2
b)
∫5x + 4√
x2 + 2x + 5dx
c)
∫dx
(x − 1)√
x2 + 2x
d)
∫2x − 8√
1− x − x2dx
Vjezbe 11
Integriranje iracionalnih funkcija
4. Rijesite sljedece integrale:
a)
∫dx√
2 + 3x − 2x2
b)
∫5x + 4√
x2 + 2x + 5dx
c)
∫dx
(x − 1)√
x2 + 2x
d)
∫2x − 8√
1− x − x2dx
Vjezbe 11
Integriranje iracionalnih funkcija
4. Rijesite sljedece integrale:
a)
∫dx√
2 + 3x − 2x2
b)
∫5x + 4√
x2 + 2x + 5dx
c)
∫dx
(x − 1)√
x2 + 2x
d)
∫2x − 8√
1− x − x2dx
Vjezbe 11
Integriranje iracionalnih funkcija
4. Rijesite sljedece integrale:
a)
∫dx√
2 + 3x − 2x2
b)
∫5x + 4√
x2 + 2x + 5dx
c)
∫dx
(x − 1)√
x2 + 2x
d)
∫2x − 8√
1− x − x2dx
Vjezbe 11
Binomni integral
Binomni integral∫xm(a + bxn)pdx , m, n, p ∈ Q, a, b ∈ R
1) p ∈ Z, supstitucija x = tk , gdje je k zajednicki nazivnik od mi n
2) m+1n ∈ Z, supstitucija a + bxn = tk , gdje je k nazivnik od p
3) m+1n + p ∈ Z, supstitucija b + ax−n = tk , gdje je k nazivnik
od p
Vjezbe 11
Binomni integral
5. Rijesite sljedece integrale:
a)
∫dx
x4√
1 + x2
b)
∫x3dx
(9− x2)√
9− x2
c)
∫x5 7√
2− 3x6dx
d)
∫dx
√x(
4√
x + 1)10
e)
∫x−11(1 + x4)−
12 dx
Vjezbe 11
Binomni integral
5. Rijesite sljedece integrale:
a)
∫dx
x4√
1 + x2
b)
∫x3dx
(9− x2)√
9− x2
c)
∫x5 7√
2− 3x6dx
d)
∫dx
√x(
4√
x + 1)10
e)
∫x−11(1 + x4)−
12 dx
Vjezbe 11
Binomni integral
5. Rijesite sljedece integrale:
a)
∫dx
x4√
1 + x2
b)
∫x3dx
(9− x2)√
9− x2
c)
∫x5 7√
2− 3x6dx
d)
∫dx
√x(
4√
x + 1)10
e)
∫x−11(1 + x4)−
12 dx
Vjezbe 11
Binomni integral
5. Rijesite sljedece integrale:
a)
∫dx
x4√
1 + x2
b)
∫x3dx
(9− x2)√
9− x2
c)
∫x5 7√
2− 3x6dx
d)
∫dx
√x(
4√
x + 1)10
e)
∫x−11(1 + x4)−
12 dx
Vjezbe 11
Binomni integral
5. Rijesite sljedece integrale:
a)
∫dx
x4√
1 + x2
b)
∫x3dx
(9− x2)√
9− x2
c)
∫x5 7√
2− 3x6dx
d)
∫dx
√x(
4√
x + 1)10
e)
∫x−11(1 + x4)−
12 dx
Vjezbe 11
Integrali trigonometrijskih funkcija
∫R(cos x , sin x)dx
supstitucija: tgx
2= t
dx =2
t2 + 1dt
sin x =2t
t2 + 1
cos x =1− t2
t2 + 1
Vjezbe 11
Integrali trigonometrijskih funkcija
1. Rijesite sljedece integrale:
a)
∫dx
8− 4 sin x + 7 cos x
b)
∫dx
4 sin x + 3 cos x + 5
c)
∫dx
sin x(2 + cos x − 2 sin x)
Vjezbe 11
Integrali trigonometrijskih funkcija
1. Rijesite sljedece integrale:
a)
∫dx
8− 4 sin x + 7 cos x
b)
∫dx
4 sin x + 3 cos x + 5
c)
∫dx
sin x(2 + cos x − 2 sin x)
Vjezbe 11
Integrali trigonometrijskih funkcija
1. Rijesite sljedece integrale:
a)
∫dx
8− 4 sin x + 7 cos x
b)
∫dx
4 sin x + 3 cos x + 5
c)
∫dx
sin x(2 + cos x − 2 sin x)
Vjezbe 11
Integrali trigonometrijskih funkcija
∫R(cos x , sin x)dx
I) R(− sin x , cos x) = −R(sin x , cos x), supstitucija cos x = t
II) R(sin x ,− cos x) = −R(sin x , cos x), supstitucija sin x = t
III) R(− sin x ,− cos x) = R(sin x , cos x), supstitucija tg x = t
Vjezbe 11
Integrali trigonometrijskih funkcija
2. Rijesite sljedece integrale:
a)
∫cos3 x + cos5 x
sin2 x + sin4 xdx
b)
∫dx
sin2 x + 2 sin x cos x − cos2 x
c)
∫sin2 x
cos6 xdx
Vjezbe 11
Integrali trigonometrijskih funkcija
2. Rijesite sljedece integrale:
a)
∫cos3 x + cos5 x
sin2 x + sin4 xdx
b)
∫dx
sin2 x + 2 sin x cos x − cos2 x
c)
∫sin2 x
cos6 xdx
Vjezbe 11
Integrali trigonometrijskih funkcija
2. Rijesite sljedece integrale:
a)
∫cos3 x + cos5 x
sin2 x + sin4 xdx
b)
∫dx
sin2 x + 2 sin x cos x − cos2 x
c)
∫sin2 x
cos6 xdx
Vjezbe 11
Integrali trigonometrijskih funkcija
∫sinm x cosn xdx
I) m neparan, m > 0, supstitucija cos x = t
II) n neparan, n > 0, supstitucija sin x = t
III) m + n paran, m + n < 0, supstitucija tg x = t
IV) m i n parni, m > 0, n > 0 podintegralnu funkciju trebanapisati kao zbroj trigonometrijskih funkcija visestrukog kuta.
Vjezbe 11
Integrali trigonometrijskih funkcija
3. Rijesite sljedece integrale:
a)
∫sin5 x cos2 xdx
b)
∫cos5 x
sin3 xdx
Vjezbe 11
Integrali trigonometrijskih funkcija
3. Rijesite sljedece integrale:
a)
∫sin5 x cos2 xdx
b)
∫cos5 x
sin3 xdx
Vjezbe 11
Integrali trigonometrijskih funkcija
I)
∫sin ax cos bxdx =
1
2
∫(sin(a− b)x + sin(a + b)x)dx
II)
∫sin ax sin bxdx =
1
2
∫(cos(a− b)x − cos(a + b)x)dx
III)
∫cos ax cos bxdx =
1
2
∫(cos(a− b)x + cos(a + b)x)dx
Vjezbe 11
Integrali trigonometrijskih funkcija
4. Rijesite sljedece integrale:
a)
∫sin 2x sin 3xdx
b)
∫sin x cos 2x cos 3xdx
Vjezbe 11
Integrali trigonometrijskih funkcija
4. Rijesite sljedece integrale:
a)
∫sin 2x sin 3xdx
b)
∫sin x cos 2x cos 3xdx
Vjezbe 11