Ausbreitung von Störungen
)2sin(),0( 0 tfAtxA ⋅== π
Wellenlänge λ
Am Ort x=0 führt das Seil eine harmonische Schwingung aus.
Wenn die Schwingung am Ort x=0 einmal durchlaufen ist, hat sich die „Störung“ gerade um eine Wellen-länge λ fortbewegt. Man erhält eine Ausbreitung der Schwingungs-phase mit der Geschwindigkeit, c :
λ ⋅ f = cVersuch
Die harmonische Welle
Eine eindimensionale, ungedämpfte harmonische Wellewird durch folgende Wellenfunktion beschrieben :
A( )
( )( )[ ]cxtA
xktA
xtAtxA
−⋅=⋅−⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−⋅=
ωω
λπ
τπ
sinsin
22sin,
τ: Schwingungsdauer; f=1/τ: Frequenz; ω=2π/τ: Kreisfrequenzλ: Wellenlänge; k=2π/λ: Wellenzahlc= λ⋅f=ω/k : Phasengeschwindigkeit A : Amplitude
Wellen
- Eine Schwingung, die sich räumlich ausbreitet ist eine Welle.
- Eine klassische Welle transportiert Energie aber keine Masse.Jedes Teilchen schwingt an seinem Ort aber bleibt dort gebunden.
Longitudinale Wellen:
Transversale Wellen:
Die Phasengeschwindigkeit : Beispiele
fc ⋅= λ2cm-20cm
3m1µm-mm
4cm
16-20.000Hz
100MHz
10Hz
331 m/s3000m/s3·108 m/sm
40cm/s
Schall (Gas)Schall (FK)Radio (UKW)IRFlachwasserwelle(h=2cm)
λ f c
ρEcFestk =.
mkT
cc
KcV
pGas == ρ1
hgcWasser ⋅=
.1
00
konstcLicht ==µεVersuch He
Wellen in 2 und 3 Dimensionen - Ebene Wellen
A(x,t) = A0 sin(ω ⋅t + kx)
Welle breitet sich nach links aus
A(x,t) = A0 sin(ω ⋅t − kx)
Welle breitet sich nach rechts aus
A(x,t) = A0 sin(ω ⋅t −2πλ
x)
k: Wellenzahl
Wellenfront : Linien gleicher Phase
v k
v k k: Wellenvektor (Wellenstrahl), steht
senkrecht auf den Wellenfronten undZeigt in die Ausbreitungsrichtung. Sein Betrag ist die Wellenzahl.
)sin(),( 0 xk rr⋅−⋅= tAtxA ω
Huygens-Fresnel'sches Prinzip
Jeder von einer Welle erregte Punkt wird selbst zum Ausgangspunkt einer neuen Kreis-/Kugelwelle.
Versuch Wellenwanne
Überlagerung von Wellen : Superpositionsprinzip
)sin(2)sin()sin(),(
kxtAkxtAkxtAtxA
−⋅=−⋅+−⋅=
ωωω
Verstärkung (Konstruktive Interferenz ):
Auslöschung (destruktive Interferenz):
A(x, t) = A ⋅sin(ωt − kx) + A ⋅sin(ωt − kx + π )
= A ⋅sin(ωt − kx) − A ⋅sin(ωt − kx) = 0
Die resultierende Amplitude ist die Summe der EinzelamplitudenA(x, t) = A1(x, t) + A2 (x, t) Wellen überlagern sich ungestört!
Versuch Interferenz
Stehende Wellen mit festen Randbedingungen
Randbedingung A(0,t)=0, A(L,t)=0
Lösung :
)sin()cos(2),( kxtAtxA ω⋅=
Resonanzbedingung :
2λ
⋅= nL
Grundschwingungen einer fest eingespannten Saite
λ: Wellenlängen : ganze Zahl
DopplereffektDie wahrgenommene Frequenz einer Schallwelle hängt von der Relativgeschwindigkeit, v der Quelle und des Empfängers ab.Man unterscheidet:
f ' = f0 ⋅ 1m
vc
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟
−1
λ'
1. Bewegter SenderDie Wellenlänge ändert sich und damit die Frequenz
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
cv
m1' λλ
2. Bewegter EmpfängerDie Schallgeschwindigkeit ändert sich
′ f = f0 ⋅ 1m
vc
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟ vmcc ='
Versuch Dopplereffekt
WärmelehreDie Thermodynamik beschreibt Phänome die mit Wärme zu tun haben durch makroskopischeZustandsgrößen (Temperatur, Druck, Volumen, ...) bzw. Prozeßgrößen (Wärme, Arbeit ...)thermodyn. Gesetze beschreiben Zustände, Zustandsänderungen, Phasenübergänge etc.
Thermodynamik
P,V,T
Wärme ist verknüpft mit ungeordneterMolekularbewegung von sehr vielen Teilchen. In einem atomistischen Bild können nur statistische Aussagen über Mittelwerte und Verteilungen der mechanischen Größen z.B. xiOrte, vi Geschwindigkeiten getroffen werden. Die Temperatur ist ein Maß für die mittlere kinetische Energie
.constT
PV=
2
2321 vm
kT ⋅⋅=
Statistische Mechanik
Grundlagen für Messungen mit Wärme
Abgeschlossenes System :- System, das mit keinem anderen System
in Wechselwirkung steht - Kein Teilchen oder Wärmeaustausch
Gleichgewichtszustand"Befinden sich zwei Körper mit einem dritten im thermischen Gleichgewicht, so sind sie auch untereinander im Gleichgewicht"
Nullter Hauptsatz der Thermodynamik
T1
T2 T3
T0T0 T0
ThermometerMessung der Temperatur über stark temperaturabhängige physikalische Größen
Bimetall-ThermometerThermoelementThermospannungFlüssigkeits-
thermometer Krümmung ~ ∆T
Volumenaus-Dehnung ~ ∆T Pyrometer
Wärmestrahlung
Thermische Ausdehnung fester und flüssiger Körper
Erwärmung um
12 TTT −=∆führt zu einer linearen Längenzunahme
TLL ∆⋅⋅=∆ αα: Längenausdehnungskoeffizient
TLTLV V ∆⋅⋅≈∆⋅⋅=∆ αγ 3γV: Volumenausdehnungskoeffizient
Thermische Kräfte
Schätzen Sie die Kraftdes Bolzensprengers ab !
TAELLAEF
∆⋅⋅⋅=
∆⋅⋅=
α
E : E-Modul ~ 1011N/m2
A : Fläche ~ cm2
α: 10-5 K-1
∆T : 100K
F ~ 104 N
Lager einer Eisenbrücke zur Vermeidung von thermischen Spannungen
Versuch
Atomares Model der thermischen Ausdehnung
Tabelle : Wärmeausdehnung bei 20°C
Die Atome schwingen um ihre Gleichgewichts-lage. Für große Auslenkungen (größere kinetische Energie=höhere Temperatur) ist das Wechsel-wirkungspotential asymmetrisch und der Mittel-wert des atomaren Abstands vergrößert sich.
Wärmeausdehnung und DichteMit der thermischen Ausdehnung ändert sich auch die Dichteim Allgemeinen:
( )0
0
1)(
TTT
V −⋅+=
γρρ
Berühmte Ausnahme: die Dichteanomalie des Wassers
Höchste Dichte bei 3.9°C
negativer Ausdehnungskoeffizientfür 0<T<3.9°C
Thermische Ausdehnung von Gasen
)1)(()( 00 CVC TTVTTV ⋅+=+ γ
1. Gay-Lussac-Gesetz
Isobare Zustandsänderung : Zustandsänderung findet bei konstantem Druck statt.
V
ϑ[oC]-T0
15,27311
0
==TVγ
Versuch : Gasthermometer
Isochore Zustandsänderung
Zustandsänderung findet bei konstantem Volumen statt.
p
ϑ[oC]-T0
2. Gay-Lussac-Gesetz (Gesetz von Charles)
)1)(()( 00 CPC TTPTTP ⋅+=+ γ
15,27311
0
==TPγ
Gasthermometer mitKonstantem Volumen
Ideale Gase und die absolute Temperaturskala
)1)(()( 00 CPC TTPTTP ⋅+=+ γ Triplepunktdes Wasser
KTK 16,273=
Bei -273,15°C hat ein Gas theoretisch keinen Druck und kein Volumen.Dieser natürlicher Fixpunkt wird als absoluter Nullpunkt einer absoluten Temperaturskala (der Kelvinskala) definiert.
[ ] [ ]CTKT c °+= 15,273 Umrechnung von Celsius in die Kelvinskala
Es gibt keine negativen absoluten Temperaturen,TK=0 prinzipiell nie erreichbar. Temperturdifferenzen in Kelvin und Celsius-Skala sind gleich.
Isotherme ZustandsänderungZustandsänderung findet bei konstanter Temperatur statt.
Gesetz von Boyle-Mariotte:2211 VpVp ⋅=⋅
p(V) =n ⋅ R ⋅Tconst
Vp
V
T1
T2
T3
Versuch Boyle-Mariotte
Zustandsgleichung idealer Gase
constTVP
TVP
==2
22
1
11
Allgemeine Zustandsgleichung idealer Gase (Lord Kelvin)
TRnVp ⋅⋅=⋅ 11n : Zahl der MoleR= 8,317 J/Mol K
Allgemeine Gaskonstante
Für ein ideales Gas ist unabhängig von der Gasart, bei einem Normaldruck von 1013,25 hPa und einer Normaltemperatur von 0°, das molare Volume Vm,0=22,4 liter/mol
Zustandsänderungen des idealen Gasesim p-V-Diagramm
p
V
Isotherme : T=constIsobare : P=constIsochore : V=const
Die molekulare Deutung der Temperatur : Kinetische Gastheorie
Definition des idealen Gases: Moleküle verhalten sich wie harte Kugeln, d.h. sie führen nur elastischeStöße aus und zeigen keine Anziehung und kein Eigenvolmen.
- bei Normalbedingungen ca. 3*1019 Molküle pro cm3
- mittlere freie Weglänge ca. 10-7 m.Demonstration : Rüttler
Der Gasdruck - mikroskopisch betrachtet
AmA
VN
Am
dtdN
AFP vvv 2
612
⋅=⋅==
dtAdV x ⋅⋅= vMoleküle treten mit mittlerer Geschwindigkeit <v> in das Volumen dV ein
x
V
N
dV
Anz. Moleküle, die pro Zeit auf die Wand treffen
dtV
ANVdVNdN x ⋅
⋅⋅==
v61
61
Druck = =FlächeKraft Anz. Stöße Impulsübertrag
FlächeZeit
kinEVNm
VNP ⋅=⋅=
32
21
32 2v
Gleichverteilungssatz : Äquipartitionsgesetz
Im statistischen Gleichgewicht ist die kinetische Energie eines Moleküls pro Freiheitsgrad im Mittel ½ kBT.
Die mittlere Energie eines einatomigen Gases beträgt demnach
TkNE Bkin ⋅=23
Die Gesamtzahl der Freiheitsgrade, f, eines Gasmoleküls ist die Summe der Translations-, der Schwingungs- und der Rotationsfreiheitsgrade
Für mehratomige Moleküle können auch Rotationen und Schwingungenbeitragen, dann gilt
TkNfE Bkin 2⋅
=
Die Boltzmannkonstante ist das Verhältnis aus Gaskonstante und Avogadrokonstante kB= R/NA= 1,38 ·10-23 J/K
Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung
vv dfNdN )(⋅=Gefragt ist nach der Anzahl Moleküle dN mit Geschwindigkeitenzwischen v und (v+dv) :
f(v) : die Verteilungsfunktion der Geschwindigkeiten
800
600
400
200
0
X10
-6
80006000400020000v[m/s]
90 K
300 K
900 K
Tkm
eTk
mf ⋅⋅⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 2
23
22
24)(
v
vvπ
πf(v)
Wärmemenge und Wärmekapazität- Wärme ist eine Form von Energie (wird also in Einheit Joule gemessen)- Die einem System zugeführte Wärme erhöht seinen Energieinhalt.- Q bezeichnet die einem System zugeführte oder entzogene Wärmemenge
Die zugeführte Wärmemenge ist proportional zu Masse und Temperaturänderung
TCTmcQ ∆⋅=∆⋅⋅=∆
C [J/K] : Wärmekapazitätc [J/kgK] : spezifische Wärmekapazität
nCcm =
Neben der spezifischen Wärmekapazität wird auch häufig die molare Wärmekapazität cm [J/(Mol*K)] verwendet (Wärmekapazität pro Mol)
n : Anzahl Mol eines Stoffes
Messung des elektrischen und mechanischenWärmeäquivalents
JouleschesExperiment
1cal=4,18 Joule=4,18 Ws
Versuch
Kalorimetrie
Die spezifische Wärme cS eines Stoffes kann in einem Mischungskaloriemeterbestimmt werden.
T0w
ST0
mT
mT : Mischungstemperatur
)()( 00 mSSSwmww TTmcTTmc −⋅⋅=−⋅⋅