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Réalisabilité classiqueUne introduction
Aloïs Brunel
Vérité et Preuves - 11 Mars 2011
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Introduction
Sommaire
1 Introduction
2 La réalisabilité classique
3 Modèles et vérité subjective
2 / 30Réalisabilité classique
N
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La correction vis-à-vis du typage assure certaines propriétés :
La terminaison des programmes
Des bornes sur la complexité des programmes (logiques allégées)
. . .
Certains programmes sans être typables sont corrects vis-à-visde l’ exécution :
let fonction = fun n =>if n+1=0 then 16
else true
Le terme fonction a moralement le type Nat ⇒ Bool
1 / 30Réalisabilité classique
N
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La correction vis-à-vis du typage assure certaines propriétés :
La terminaison des programmes
Des bornes sur la complexité des programmes (logiques allégées)
. . .
Certains programmes sans être typables sont corrects vis-à-visde l’ exécution :
let fonction = fun n =>if n+1=0 then 16
else true
Le terme fonction a moralement le type Nat ⇒ Bool
1 / 30Réalisabilité classique
N
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La correspondance preuves-programmes
Logique implicative minimale ↔ λ-calcul simplement typéArithmétique d’ordre supérieur ↔ système Fω
. . .
Griffin, 90 : pour l’étendre à la logique classique (tiers exclu ouformule de Peirce), on a besoin d’une nouvelle instruction : call-cc.
De manière générale, pour habiter de nouveaux axiomes il faut denouveaux programmes.
2 / 30Réalisabilité classique
N
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La correspondance preuves-programmes
Logique implicative minimale ↔ λ-calcul simplement typéArithmétique d’ordre supérieur ↔ système Fω
. . .
Griffin, 90 : pour l’étendre à la logique classique (tiers exclu ouformule de Peirce), on a besoin d’une nouvelle instruction : call-cc.
De manière générale, pour habiter de nouveaux axiomes il faut denouveaux programmes.
2 / 30Réalisabilité classique
N
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La correspondance preuves-programmes
Logique implicative minimale ↔ λ-calcul simplement typéArithmétique d’ordre supérieur ↔ système Fω
. . .
Griffin, 90 : pour l’étendre à la logique classique (tiers exclu ouformule de Peirce), on a besoin d’une nouvelle instruction : call-cc.
De manière générale, pour habiter de nouveaux axiomes il faut denouveaux programmes.
2 / 30Réalisabilité classique
N
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Krivine introduit la réalisabilité classique (2000-2010), uneméthode sémantique qui permet :
de prouver des propriétés calculatoires des programmes typés
d’étudier les extensions de la correspondance preuve/programme
de fournir des nouveaux modèles de ZF+Axiomes variés
3 / 30Réalisabilité classique
N
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Introduction
Les 4 sous-sols fondationnels de Girard
-1 Aléthique Notion de vérité (vrai/faux), cohérence, ...Algèbres de Boole, Espaces de phase
-2 Catégorique MorphismesEspaces cohérents
-3 Dynamique Notion d’interactivité, gagnants et perdantsJeux, vieille réalisabilité, dialectica de Gödel
-4 Déontique De l’interaction, pas de règle du jeu à prioriLudique, GdI
Réalisabilité classique
4 / 30Réalisabilité classique
N
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Introduction
Les 4 sous-sols fondationnels de Girard
-1 Aléthique Notion de vérité (vrai/faux), cohérence, ...Algèbres de Boole, Espaces de phase
-2 Catégorique MorphismesEspaces cohérents
-3 Dynamique Notion d’interactivité, gagnants et perdantsJeux, vieille réalisabilité, dialectica de Gödel
-4 Déontique De l’interaction, pas de règle du jeu à prioriLudique, GdI
Réalisabilité classique
4 / 30Réalisabilité classique
N
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Introduction
Les 4 sous-sols fondationnels de Girard
-1 Aléthique Notion de vérité (vrai/faux), cohérence, ...Algèbres de Boole, Espaces de phase
-2 Catégorique MorphismesEspaces cohérents
-3 Dynamique Notion d’interactivité, gagnants et perdantsJeux, vieille réalisabilité, dialectica de Gödel
-4 Déontique De l’interaction, pas de règle du jeu à prioriLudique, GdI
Réalisabilité classique
4 / 30Réalisabilité classique
N
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Introduction
Les 4 sous-sols fondationnels de Girard
-1 Aléthique Notion de vérité (vrai/faux), cohérence, ...Algèbres de Boole, Espaces de phase
-2 Catégorique MorphismesEspaces cohérents
-3 Dynamique Notion d’interactivité, gagnants et perdantsJeux, vieille réalisabilité, dialectica de Gödel
-4 Déontique De l’interaction, pas de règle du jeu à prioriLudique, GdI
Réalisabilité classique
4 / 30Réalisabilité classique
N
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Introduction
Les 4 sous-sols fondationnels de Girard
-1 Aléthique Notion de vérité (vrai/faux), cohérence, ...Algèbres de Boole, Espaces de phase
-2 Catégorique MorphismesEspaces cohérents
-3 Dynamique Notion d’interactivité, gagnants et perdantsJeux, vieille réalisabilité, dialectica de Gödel
-4 Déontique De l’interaction, pas de règle du jeu à prioriLudique, GdI
Réalisabilité classique
4 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Sommaire
1 Introduction
2 La réalisabilité classique
3 Modèles et vérité subjective
5 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
le λc-calcul (1/2)
Syntaxe
Termes t , u ::= x | λx.t | (t)u | . . .
Piles π ::= | u.π (avec u clos)Processus p ::= t ? π (avec t clos)
On peut (et on va) ajouter d’autres instructions.
Evaluation
(Push) (t)u ? π t ? u.π(Grab) λx.t ? u.π tu/x ? π
. . .
6 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
le λc-calcul (1/2)
Syntaxe
Termes t , u ::= x | λx.t | (t)u | . . .
Piles π ::= | u.π (avec u clos)Processus p ::= t ? π (avec t clos)
On peut (et on va) ajouter d’autres instructions.
Evaluation
(Push) (t)u ? π t ? u.π(Grab) λx.t ? u.π tu/x ? π
. . .
6 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
le λc-calcul (2/2) - Extensions
On peut rajouter les continuations.
Termes t , u ::= . . . | cc | kπ
Les règles de réductions correspondantes :
(Save) cc ? t .π t ? kπ.π(Resume) kπ ? t .π′ t ? π
7 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
le λc-calcul (2/2) - Extensions
Ou bien le non-déterminisme
Termes t , u ::= . . . | cc | kπ | Ψ
Les règles de réductions correspondantes :
(Ψ0) Ψ ? t .u.π t ? π(Ψ1) Ψ ? t .u.π u ? π
7 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
le λc-calcul (2/2) - Extensions
Ou encore l’instruction quote
Termes t , u ::= . . . | cc | kπ | Ψ | χ
La règle de réduction (ici t 7→ nt est une injection quelconque) :
(Quote) χ ? t .π t ? nt .π
7 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Point de vue, orthogonalité
On choisit y ⊂ Λ ? Π, appelé point de vue (ou pôle, ouobservable), tel que :
t ? π ∈ y ∧ (t ′ ? π′ t ? π)⇒ (t ′ ? π′ ∈ y)
Le point de vue définit la correction calculatoire, par exemple :
y = p | p termine (candidats de réductibilité)
y = p | p ne termine pas
Un point de vue induit une notion d’orthogonalité :
t⊥π ssi t ? π ∈ y X⊥ = π ∈ Π | ∀t ∈ X , t⊥π
8 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Point de vue, orthogonalité
On choisit y ⊂ Λ ? Π, appelé point de vue (ou pôle, ouobservable), tel que :
t ? π ∈ y ∧ (t ′ ? π′ t ? π)⇒ (t ′ ? π′ ∈ y)
Le point de vue définit la correction calculatoire, par exemple :
y = p | p termine (candidats de réductibilité)
y = p | p ne termine pas
Un point de vue induit une notion d’orthogonalité :
t⊥π ssi t ? π ∈ y X⊥ = π ∈ Π | ∀t ∈ X , t⊥π
8 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Point de vue, orthogonalité
On choisit y ⊂ Λ ? Π, appelé point de vue (ou pôle, ouobservable), tel que :
t ? π ∈ y ∧ (t ′ ? π′ t ? π)⇒ (t ′ ? π′ ∈ y)
Le point de vue définit la correction calculatoire, par exemple :
y = p | p termine (candidats de réductibilité)
y = p | p ne termine pas
Un point de vue induit une notion d’orthogonalité :
t⊥π ssi t ? π ∈ y X⊥ = π ∈ Π | ∀t ∈ X , t⊥π
8 / 30Réalisabilité classique
N
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On a les propriétés suivantes :
X ⊆ X⊥⊥
X ⊆ Y implique Y⊥ ⊆ X⊥
X⊥ = X⊥⊥⊥
Comportement
On dit qu’un ensemble X de termes ou de piles est un com-portement si X = X⊥⊥.
Si X est un comportement alors
t ∈ X ⇐⇒ ∀π ∈ X⊥, t ? π ∈ y
Les comportements sont clos par ∩ mais pas par ∪.
9 / 30Réalisabilité classique
N
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On a les propriétés suivantes :
X ⊆ X⊥⊥
X ⊆ Y implique Y⊥ ⊆ X⊥
X⊥ = X⊥⊥⊥
Comportement
On dit qu’un ensemble X de termes ou de piles est un com-portement si X = X⊥⊥.
Si X est un comportement alors
t ∈ X ⇐⇒ ∀π ∈ X⊥, t ? π ∈ y
Les comportements sont clos par ∩ mais pas par ∪.
9 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Interprétation
Une formule est un type interactif, c.a.d un comportement. Onassocie donc à A un comportement |A |.
On dira que t réalise A et on note t A ssi t ∈ |A |, i.e :
∀π, π ∈ |A |⊥ ⇒ t⊥π
Un type A vient avec les arguments |A | et les tests |A |⊥ : les deuxensembles sont inséparables.
10 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Interprétation
Une formule est un type interactif, c.a.d un comportement. Onassocie donc à A un comportement |A |.
On dira que t réalise A et on note t A ssi t ∈ |A |, i.e :
∀π, π ∈ |A |⊥ ⇒ t⊥π
Un type A vient avec les arguments |A | et les tests |A |⊥ : les deuxensembles sont inséparables.
10 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Interprétation
Une formule est un type interactif, c.a.d un comportement. Onassocie donc à A un comportement |A |.
On dira que t réalise A et on note t A ssi t ∈ |A |, i.e :
∀π, π ∈ |A |⊥ ⇒ t⊥π
Un type A vient avec les arguments |A | et les tests |A |⊥ : les deuxensembles sont inséparables.
10 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Arithmétique du second ordre
Langagee ::= x | f(e1, . . . , en) (f primitive récursive)
A ,B ::= X(e1, . . . , ek ) | A ⇒ B | ∀x.A | ∀X .A
On peut coder les autres formules à partir de ce langage :
⊥ ≡ ∀X .X
A ∧ B ≡ ∀X .(A ⇒ B ⇒ X)⇒ X
¬A ≡ A ⇒ ⊥
∃X .A(X) ≡ ∀Z(∀X(A(X)⇒ Z)⇒ Z)
11 / 30Réalisabilité classique
N
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On se donne :
un point de vue y
un modèle N de départ (par exemple N)
une valuation φ (transforme un ensemble N → 0, 1 en unefonction N → X | X⊥⊥ = X ).
|X(e1, . . . , en)|φ = Φ(X)(Val(e1)φ, . . . ,Val(en)φ)
|A ⇒ B |φ = (|A |.|B |⊥)⊥
|∀x.A |φ =⋂n∈N
|A |φ[x←n]
|∀X .A |φ =⋂
F:Nk−→D
|A |φ[X←F]
12 / 30Réalisabilité classique
N
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On se donne :
un point de vue y
un modèle N de départ (par exemple N)
une valuation φ (transforme un ensemble N → 0, 1 en unefonction N → X | X⊥⊥ = X ).
|X(e1, . . . , en)|φ = Φ(X)(Val(e1)φ, . . . ,Val(en)φ)
|A ⇒ B |φ = (|A |.|B |⊥)⊥
|∀x.A |φ =⋂n∈N
|A |φ[x←n]
|∀X .A |φ =⋂
F:Nk−→D
|A |φ[X←F]
12 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Remarques
Si t A ⇒ B et u A , alors (t)u B en effet si π ∈ |B |⊥ :
(t)u ? π t ? u.π or u.π ∈ (|A |.|B |⊥)
|⊥| =⋂
F F = ∅ = Π⊥
t ¬A ssi pour tout π et u A , t ? u.π ∈ y.
Il y a des tricheurs :
si t ? π ∈ y alors (kπ)t ? π′ ∗ t ? π et donc (kπ)t ⊥
On dira que t est une quasi-preuve (QP) si t ne contient aucun kπ.
13 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Remarques
Si t A ⇒ B et u A , alors (t)u B en effet si π ∈ |B |⊥ :
(t)u ? π t ? u.π or u.π ∈ (|A |.|B |⊥)
|⊥| =⋂
F F = ∅ = Π⊥
t ¬A ssi pour tout π et u A , t ? u.π ∈ y.
Il y a des tricheurs :
si t ? π ∈ y alors (kπ)t ? π′ ∗ t ? π et donc (kπ)t ⊥
On dira que t est une quasi-preuve (QP) si t ne contient aucun kπ.
13 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Remarques
Si t A ⇒ B et u A , alors (t)u B en effet si π ∈ |B |⊥ :
(t)u ? π t ? u.π or u.π ∈ (|A |.|B |⊥)
|⊥| =⋂
F F = ∅ = Π⊥
t ¬A ssi pour tout π et u A , t ? u.π ∈ y.
Il y a des tricheurs :
si t ? π ∈ y alors (kπ)t ? π′ ∗ t ? π et donc (kπ)t ⊥
On dira que t est une quasi-preuve (QP) si t ne contient aucun kπ.
13 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Remarques
Si t A ⇒ B et u A , alors (t)u B en effet si π ∈ |B |⊥ :
(t)u ? π t ? u.π or u.π ∈ (|A |.|B |⊥)
|⊥| =⋂
F F = ∅ = Π⊥
t ¬A ssi pour tout π et u A , t ? u.π ∈ y.
Il y a des tricheurs :
si t ? π ∈ y alors (kπ)t ? π′ ∗ t ? π et donc (kπ)t ⊥
On dira que t est une quasi-preuve (QP) si t ne contient aucun kπ.
13 / 30Réalisabilité classique
N
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Adéquation
Si ` t : A alors pour tout point de vue y on a t A .
Lien typage =⇒ calcul
Remarque 1 (importante) : ce théorème reste vrai même si onajoute de nouvelles instructions au langage.
Remarque 2 (très importante) : si pour tout y, t A , alors dupoint de vue calculatoire ` t : A est un axiome valable !
14 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Adéquation : applications
Spécification 1
Si ` t : ∀X .(X ⇒ X) alors t ≈ λx.x.
Bool(x) ≡ ∀P.(P(0)⇒ P(1)⇒ P(x))
Spécification 2
Supposons que ` b : Bool(x) alors :
Si x = 0, pour tous t , u et π on a b ? t .u.π ∗ t ? π.
Si x = 1, pour tous t , u et π on a b ? t .u.π ∗ u ? π.
On n’a pas b Bool(0) et b Bool(1) sans le non-déterminisme(Ψ)
15 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Adéquation : applications
Spécification 1
Si ` t : ∀X .(X ⇒ X) alors t ≈ λx.x.
Bool(x) ≡ ∀P.(P(0)⇒ P(1)⇒ P(x))
Spécification 2
Supposons que ` b : Bool(x) alors :
Si x = 0, pour tous t , u et π on a b ? t .u.π ∗ t ? π.
Si x = 1, pour tous t , u et π on a b ? t .u.π ∗ u ? π.
On n’a pas b Bool(0) et b Bool(1) sans le non-déterminisme(Ψ)
15 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Adéquation : applications
Normalisation
Les termes typables terminent.
y = t ? π | t ? π termine
X est un candidat de réductibilité ssi
X ⊆ ⊥
X⊥ ⊆ z⊥
D est l’ensemble des candidats de réductibilité.
On peut montrer que |A | ∈ D pour toute formule A
16 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Etendre Curry-Howard (1)
call-cc est la seule possibilité d’obtenir la logique classique.
On dit que
K ≈ kπ ssi K ? t .π′ ∗ t ? π
C ≈ cc ssi C ? u.π ∗ u ? K .π avec K ≈ kπ
t ((A ⇒ ⊥)⇒ A)⇒ A ssi t ≈ cc.
On peut rajouter à la logique la règle
(cc)` cc : ((A ⇒ B)⇒ A)⇒ A
17 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Etendre Curry-Howard (1)
call-cc est la seule possibilité d’obtenir la logique classique.
On dit que
K ≈ kπ ssi K ? t .π′ ∗ t ? π
C ≈ cc ssi C ? u.π ∗ u ? K .π avec K ≈ kπ
t ((A ⇒ ⊥)⇒ A)⇒ A ssi t ≈ cc.
On peut rajouter à la logique la règle
(cc)` cc : ((A ⇒ B)⇒ A)⇒ A
17 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Etendre Curry-Howard (1)
call-cc est la seule possibilité d’obtenir la logique classique.
On dit que
K ≈ kπ ssi K ? t .π′ ∗ t ? π
C ≈ cc ssi C ? u.π ∗ u ? K .π avec K ≈ kπ
t ((A ⇒ ⊥)⇒ A)⇒ A ssi t ≈ cc.
On peut rajouter à la logique la règle
(cc)` cc : ((A ⇒ B)⇒ A)⇒ A
17 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Etendre Curry-Howard (2)Et l’arithmétique ?
∀y (y + 0 = y)
∀y ¬(s(y) = 0)
∀y∀x (s(x) = s(y)⇒ x = y)
. . .
Tout ça c’est trivial (réalisateurs : λx.x ou bien λz.(z)u).Le dernier principe : la récurrence, s’exprime
∀x (∀P(P0⇒ (∀n(Pn ⇒ P(n + 1)))⇒ Px)︸ ︷︷ ︸nat(x)
n’est pas toujours vrai.
18 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Etendre Curry-Howard (2)Et l’arithmétique ?
∀y (y + 0 = y)
∀y ¬(s(y) = 0)
∀y∀x (s(x) = s(y)⇒ x = y)
. . .
Tout ça c’est trivial (réalisateurs : λx.x ou bien λz.(z)u).
Le dernier principe : la récurrence, s’exprime
∀x (∀P(P0⇒ (∀n(Pn ⇒ P(n + 1)))⇒ Px)︸ ︷︷ ︸nat(x)
n’est pas toujours vrai.
18 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Etendre Curry-Howard (2)Et l’arithmétique ?
∀y (y + 0 = y)
∀y ¬(s(y) = 0)
∀y∀x (s(x) = s(y)⇒ x = y)
. . .
Tout ça c’est trivial (réalisateurs : λx.x ou bien λz.(z)u).Le dernier principe : la récurrence, s’exprime
∀x (∀P(P0⇒ (∀n(Pn ⇒ P(n + 1)))⇒ Px)︸ ︷︷ ︸nat(x)
n’est pas toujours vrai.
18 / 30Réalisabilité classique
N
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La réalisabilité classique
Etendre Curry-Howard (3)
Axiome du choix dénombrable
Soit G , ∅ et (An)n∈N une suite de sous ensembles de G alors
∀n ∈ N, ∃y ∈ G t.q y ∈ An ⇒ ∃(un)n∈N, ∀n ∈ N un ∈ An
Toute union dénombrable d’ensembles dénombrables estdénombrable.
Un ensemble est infini ssi il est en bijection avec une partie propre.
Si x est adhérent à U alors il existe une suite de un de limite x.
19 / 30Réalisabilité classique
N
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L’axiome du choix dénombrable est impliqué par le principe desélection dénombrable :
Pour toute suite An ⊆ G, il existe un,m t.q :
∀m ∈ N(∀n ∈ N, un,m ∈ Am) ⇒ ∀y ∈ G, y ∈ Am
χ ? t .π t ? nπ.π
On a χ SD et donc un réalisateur pour l’axiome du choixdénombrable.
20 / 30Réalisabilité classique
N
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L’axiome du choix dénombrable est impliqué par le principe desélection dénombrable :
Pour toute suite An ⊆ G, il existe un,m t.q :
∀m ∈ N(∀n ∈ N, un,m ∈ Am) ⇒ ∀y ∈ G, y ∈ Am
χ ? t .π t ? nπ.π
On a χ SD et donc un réalisateur pour l’axiome du choixdénombrable.
20 / 30Réalisabilité classique
N
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Modèles et vérité subjective
Sommaire
1 Introduction
2 La réalisabilité classique
3 Modèles et vérité subjective
21 / 30Réalisabilité classique
N
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Modèles et vérité subjective
Vérité subjective
À chaque point de vue correspond une notion de vérité différente :c’est la subjectivité :
A est vraie par rapport à y ssi ∃t ∈ QP, t y A
Un point de vue est cohérent si
∀t ∈ QP,∃π ∈ Π t.q t ? π < y
Cohérence subjective
Si y est cohérent alors aucune formule A n’est à la fois vraieet fausse par rapport à y.
22 / 30Réalisabilité classique
N
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Modèles et vérité subjective
Vérité subjective
À chaque point de vue correspond une notion de vérité différente :c’est la subjectivité :
A est vraie par rapport à y ssi ∃t ∈ QP, t y A
Un point de vue est cohérent si
∀t ∈ QP,∃π ∈ Π t.q t ? π < y
Cohérence subjective
Si y est cohérent alors aucune formule A n’est à la fois vraieet fausse par rapport à y.
22 / 30Réalisabilité classique
N
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Exemple incohérent : y = p | p ne termine pas
Ω ⊥Y (A ⇒ A)⇒ A
Exemple cohérent : y = ∅
Pour tout A , on a soit |A | = ∅ soit |A |⊥ = ∅.A est vraie ssi A est vraie dans le modèle standard.
Le paradoxe subjectif
Il existe deux points de vue consistants y1 et y2 et une formuleA telle que A est vraie par rapport à y1 et ¬A est vraie parrapport à y2.
23 / 30Réalisabilité classique
N
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Exemple incohérent : y = p | p ne termine pas
Ω ⊥Y (A ⇒ A)⇒ A
Exemple cohérent : y = ∅
Pour tout A , on a soit |A | = ∅ soit |A |⊥ = ∅.A est vraie ssi A est vraie dans le modèle standard.
Le paradoxe subjectif
Il existe deux points de vue consistants y1 et y2 et une formuleA telle que A est vraie par rapport à y1 et ¬A est vraie parrapport à y2.
23 / 30Réalisabilité classique
N
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Exemple incohérent : y = p | p ne termine pas
Ω ⊥Y (A ⇒ A)⇒ A
Exemple cohérent : y = ∅
Pour tout A , on a soit |A | = ∅ soit |A |⊥ = ∅.A est vraie ssi A est vraie dans le modèle standard.
Le paradoxe subjectif
Il existe deux points de vue consistants y1 et y2 et une formuleA telle que A est vraie par rapport à y1 et ¬A est vraie parrapport à y2.
23 / 30Réalisabilité classique
N
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Modèles et vérité subjective
Structure des modèles
La formule ∀x nat(x) est fausse en général si on estdéterministe (réduction à Bool(x)) .
En fait il existe :
Les entiers "standard"
Des non-entiers
Des entiers "non standard"
24 / 30Réalisabilité classiqueN
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Modèles et vérité subjective
Structure des modèles
La formule ∀x nat(x) est fausse en général si on estdéterministe (réduction à Bool(x)) .
En fait il existe :
Les entiers "standard"
Des non-entiers
Des entiers "non standard"
24 / 30Réalisabilité classiqueN
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Modèles et vérité subjective
Structure des modèles
La formule ∀x nat(x) est fausse en général si on estdéterministe (réduction à Bool(x)) .
En fait il existe :
Les entiers "standard"
Des non-entiers
Des entiers "non standard"
24 / 30Réalisabilité classiqueN
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Modèles et vérité subjective
Structure des modèles
La formule ∀x nat(x) est fausse en général si on estdéterministe (réduction à Bool(x)) .
En fait il existe :
Les entiers "standard"
Des non-entiers
Des entiers "non standard"
24 / 30Réalisabilité classiqueN
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On définit ≈ :x ≈ 0 ≡ ∀y(x , s(y))
Pseudo-zéros
Dans le modèle, le seul pseudo-zéro x vérifiant nat(x) est le"vrai" 0 ∈ N.
Cela permet de décomposer tous les individus :
Décomposition
∀x∃!n∃!z(z ≈ 0 ∧ nat(n) ∧ x = y + z)
25 / 30Réalisabilité classiqueN
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On définit ≈ :x ≈ 0 ≡ ∀y(x , s(y))
Pseudo-zéros
Dans le modèle, le seul pseudo-zéro x vérifiant nat(x) est le"vrai" 0 ∈ N.
Cela permet de décomposer tous les individus :
Décomposition
∀x∃!n∃!z(z ≈ 0 ∧ nat(n) ∧ x = y + z)
25 / 30Réalisabilité classiqueN
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Sous certaines bonnes conditions le prédicat unaire G défini parG(n) = πn (l’inverse de la bijection introduite pour χ)est tel que :
Pour tout n ∈ N, on a t G(n)
λz.z ¬(∀x G(x))
χ ¬(∀Nx G(x))
26 / 30Réalisabilité classique
N
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Sous certaines bonnes conditions le prédicat unaire G défini parG(n) = πn (l’inverse de la bijection introduite pour χ)est tel que :
Pour tout n ∈ N, on a t G(n)
λz.z ¬(∀x G(x))
χ ¬(∀Nx G(x))
26 / 30Réalisabilité classique
N
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Sous certaines bonnes conditions le prédicat unaire G défini parG(n) = πn (l’inverse de la bijection introduite pour χ)est tel que :
Pour tout n ∈ N, on a t G(n)
λz.z ¬(∀x G(x))
χ ¬(∀Nx G(x))
26 / 30Réalisabilité classique
N
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Sous certaines bonnes conditions le prédicat unaire G défini parG(n) = πn (l’inverse de la bijection introduite pour χ)est tel que :
Pour tout n ∈ N, on a t G(n)
λz.z ¬(∀x G(x))
χ ¬(∀Nx G(x))
26 / 30Réalisabilité classique
N
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Modèles et vérité subjective
Point de vue maximal
On peut construire le "plus incohérent" des points de vuecohérents.
t 7→ πt est une bijection entre les quasi-preuves et les piles. Onpose
yg = C(⋃
t
fil(t ? πt ))
27 / 30Réalisabilité classique
N
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On pose l’ensemble B(x) ≡ x2 = x.
Dans le modèle maximal, B est une algèbre de Boole.
Dans le modèle maximal, la formule suivante est vraie :
∃x B(x) ∧ (x , 0 ∧ x , 1)
Ok on a compris : le modèle est assez étrange. Mais il y a pire.
28 / 30Réalisabilité classique
N
![Page 66: Vérité et Preuves - 11 Mars 2011seiller/documents/projet/Alois.pdfDes bornes sur la complexité des programmes (logiques allégées)::: Certains programmes sans être typables sont](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070920/5fb96b1ec717637d8d368325/html5/thumbnails/66.jpg)
On pose l’ensemble B(x) ≡ x2 = x.
Dans le modèle maximal, B est une algèbre de Boole.
Dans le modèle maximal, la formule suivante est vraie :
∃x B(x) ∧ (x , 0 ∧ x , 1)
Ok on a compris : le modèle est assez étrange. Mais il y a pire.
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On pose l’ensemble B(x) ≡ x2 = x.
Dans le modèle maximal, B est une algèbre de Boole.
Dans le modèle maximal, la formule suivante est vraie :
∃x B(x) ∧ (x , 0 ∧ x , 1)
Ok on a compris : le modèle est assez étrange. Mais il y a pire.
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En fait Krivine (2010) a montré qu’on peut obtenir un modèle deZF+DC tel que :
L’axiome du choix est faux !
L’hypothèse du continu est fausse !
En fait, R n’est pas bien ordonné !
On a carrément une séquence Xn de sous ensembles nondénombrables de R dont les cardinaux sont strictement croissants.
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En fait Krivine (2010) a montré qu’on peut obtenir un modèle deZF+DC tel que :
L’axiome du choix est faux !
L’hypothèse du continu est fausse !
En fait, R n’est pas bien ordonné !
On a carrément une séquence Xn de sous ensembles nondénombrables de R dont les cardinaux sont strictement croissants.
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En fait Krivine (2010) a montré qu’on peut obtenir un modèle deZF+DC tel que :
L’axiome du choix est faux !
L’hypothèse du continu est fausse !
En fait, R n’est pas bien ordonné !
On a carrément une séquence Xn de sous ensembles nondénombrables de R dont les cardinaux sont strictement croissants.
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En fait Krivine (2010) a montré qu’on peut obtenir un modèle deZF+DC tel que :
L’axiome du choix est faux !
L’hypothèse du continu est fausse !
En fait, R n’est pas bien ordonné !
On a carrément une séquence Xn de sous ensembles nondénombrables de R dont les cardinaux sont strictement croissants.
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Modèles et vérité subjective
Conclusion
On a vu aujourd’hui :
Les bases permettant l’extension de Curry-Howard
ZF+DC
Construction de modèles bizarres
On verra la prochaine fois : la réalisabilité et le forcing !
Forcing de Cohen : un programme pour l’hypothèse du continu
Forcing pour les logiques linéaires
Effets de bord et forcing
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Modèles et vérité subjective
Conclusion
On a vu aujourd’hui :
Les bases permettant l’extension de Curry-Howard
ZF+DC
Construction de modèles bizarres
On verra la prochaine fois : la réalisabilité et le forcing !
Forcing de Cohen : un programme pour l’hypothèse du continu
Forcing pour les logiques linéaires
Effets de bord et forcing
30 / 30Réalisabilité classique
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