Download - Введение в эргодическую теорию Лекция 1
Введение в эргодическую теорию Лекция 1
А.А.Шананин
Литература
1. Каток А.Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем// М.: «Факториал», 1999, 767с.
2. Синай Я.Г. Введение в эргодическую теорию // М.: «Фазис», 1996, 128 с.
3. Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории // М.: Физ.-мат. лит., 1995, 201 с.
4. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики // РХД, 1999, 281 с.
5.Халмош П.Р. Лекции по эргодической теории // РХД, 1999, 134 с.
Введение. Модели популяций с неперекрывающимися поколениями
N(t+1)=f(N(t)), t=0,1,…
N(0), N(1),…
N(t+1)=aN(t)(1-N(t)/K)
x(t)=N(t)/K,
x(t+1)=ax(t)(1-x(t)), 0≤a≤4, 0≤x(t)≤1.
Введение
Дж. Фон Нейман и П.Улам: x(t+1)=4x(t)(1-x(t))
Замена переменных
2
2 2
x(t) sin y t ,2
sin y t 1 sin y t ,2
y t 1 1 1 2y t
Введение
Пусть
nnn
n 1
n 11n
n 1
n 11n
n 1
ay t ,a 0,1 ,
2
a,еслиa 0,
2y t 1
1 a,еслиa 1.
2
Введение
Инвариантная мера μ: для любого
измеримого множества A справедливо
Для динамической системы фон Неймана-Улама
инвариантной мерой является мера Лебега.
1f A A
Теорема Лиувилля
Система обыкновенных дифференциальных
уравнений с гладкими правыми частями,
ограниченными по норме линейной
функцией
11 1 m
mm 1 m
dxX x ,..., x
dt
.....
dxX x ,..., x
dt
x, t
Теорема Лиувилля
Для того, чтобы гладкая функция p(x) была
плотностью инвариантной меры
преобразования необходимо и
достаточно, чтобы
x, t
m
k
k 1 k
p x X x 0.x
Доказательство
Функция p(x) плотность инвариантной меры
для преобразования для любого
измеримого множества A
x, t
m m
A A
R R
A
x p x dx x, t p x dx,
1,если x A,где x
0,если x A.
Доказательство
Эквивалентно: для любой функции
m
0f x C R
m mR R
f x p x dx f x, t p x dx.
m
m m
m
R
k
kR R
m
k
k 1 kR
df x, t p x dx 0,
dt
f xd0 f x, t p x dx X x p x dx
dt x
p x X x f x dxx
Примеры
Заряженная частица в стационарном
электромагнитном поле
3 3kk k
k 1 k 1k k k
dx dvv,m q E x v B x ,
dt dt
v B xE xvq 0.
x v v
Примеры
Магнитная гидродинамика :
Гамильтоновы системы:
kk
dxB x ,k 1,2,3.
dt
j j
j j
2 2n
j 1 j j j j
dx dpH x,p H x,p, , j 1,..., n,
dt p dt x
H x,p H x,p0
x p p x
Примеры
Динамическая система в дискретном
времени x(t+1)=f(x(t)), t=0,1,…,
Уравнение Перрона-Фробениуса-Рюэля
y f y x
p yp x
f y
Примеры
Отображение Гаусса
Плотность инвариантной меры
T : 0,1 0,1 ,
1,еслиx 0,
T x x
0, еслиx 0,
1
p x .1 x
Доказательство
Зафиксируем
Пусть
n n 0
n n
n
0
1 1 1 1x , n,T x x ,
n 1 n x x
1x ,n 1,2,...
x n
0x 0,1 .
Доказательство
0 0n n
0 2n 1 n 1 n 1n 0 0 0
0
00
n 1 0 0 0
x n dxdx dx1dx
11 x dx 1 x n x n1x n
dx1 1dx
x n x n 1 1 x
Теорема Боголюбова-Крылова
Пусть M компактное топологическое
пространство и непрерывное
отображение. Тогда на M всегда существует
хотя бы одна инвариантная относительно
преобразования T мера.
T:M M
Доказательство
Пусть произвольная неотрицательная
мера на M, такая что
Положим
Очевидно, что
По теореме Банаха-Алуоглу множество
нормированных мер компактоно.
M 1.
k
k
n 1
n k
k 0
A T A ,k 0,1,...
1A .
n
n M 1.
слабо
Доказательство
Выделим из последовательности
сходящуюся к мере
подпоследовательность где
Инвариантность меры означает, что для
любой функции справедливо
равенство
n n 1,2,...
слабо
jn j 1,2,... ,
jj
n .lim
f x L M
M M
f x dx f Tx dx .
Доказательство
Поскольку M компактное топологическое
пространство, C(M) плотно в
Поэтому достаточно проверить равенство для
L M .
f x C M
j
j
j
j
j j
n 1
n kj j k 0jM M M
n
k 0 nj k 1j M M M
n n 1
k
kj jk 1 k 0j jM M M
1f x dx f x dx f x dx
n
1f x dx f x dx f x dx
n
1 1f T x dx f Tx dx f Tx dx .
n n
lim lim
lim
lim lim
Определение
Абстрактной динамической системой
называется , где фазовое
пространство, Ϭ- алгебра на M,
измеримое отображение, т.е.
для любого множества
инвариантная мера для T, т.е. для любого
множества
M, ,T, M
T:M M
1A ,T A ,
1A , T A A .
Теорема Пуанкаре о возвращении
Пусть абстрактная динамическая
система, и Тогда для
почти всех по мере μ существует
бесконечно возрастающая последовательность
номеров при которых
M, ,T,
A , A 0.
x A
kn k 1,2,... , knT x A.
M 1
Доказательство
Пусть Положим
Покажем, что Заметим, что
т.к. Аналогично доказывается,
что множества попарно не
пересекаются. Поэтому
В силу инвариантности меры
j
1A x A j 0 T x A . kB x A k 0T x A .
B 0. kT B B ,
kB A,T B A при k 0.
kT B k 1,2,...
k k
k 0k 0
T B T B M 1.
kT B B B 0.
Доказательство
Положим
Тогда при
Положим
Тогда
Откуда следует, что
j
k 1 k kA x A j 0 T x A , k 1.
k k 1A A k 1
k
k 1
A A .
kk
A A A .lim
A \ A 0.
О частоте возвращения
Пусть
характеристическая функция множества A.
Заметим, что
Частота возвращения
A
1,еслиx A,x
0,еслиx A,
k k
n 1 n 1k k
A AT A T Ak 0 k 0
1 1x T x , x T x .
n n
n 1
k
An k 0
1T x .
nlim
Основной вопрос эргодических теорем
Существует ли, в каком смысле и какими свойствами обладает предел
n 1
k
n k 0
1f T x f x ?
nlim
Оператор Купмана
Определим
Лемма 1. Преобразование имеет
инвариантную меру тогда и только тогда,
когда оператор является изометрическим,
т.е.
P.S.
T 1 1 TU :L M, L M, ;U f x f Tx .
T:M M
11
1 T L M,L M,f L M, U f f .
pp
11
p T L M,L M,
1 T L M,L M,
f x L M, ,1 p U f x f x
f x L M, , U f x f x
TU
Доказательство леммы 1
Достаточность. Пусть множество
и его характеристическая функция.
Тогда
Заметим, что
A , A
A x
1T A A T AU x Tx x .
11
1
T A A L M,L M,U x x T A A .
Доказательство леммы 1
Необходимость. Поскольку
равенство для функций f,
являющихся характеристическими
функциями измеримых множеств конечной
меры, а, значит, в силу линейности оператора
для простых функций.
11
1
T A A L M,L M,U x x T A A ,
11
T L M,L M,U f f
TU
Доказательство леммы 1
Любая неотрицательная функция, например,
является пределом в смысле поточечной
сходимости возрастающей последовательности
неотрицательных простых функций
Последовательность
является последовательностью неотрицательных
простых функций поточечно сходящихся к
функции
f x
nf x n 1,2,... .
T n nU f x f Tx n 1,2,...
TU f x f Tx .
Доказательство леммы 1
По теореме Лебега о предельном переходе
под знаком интеграла получаем, что
Поскольку для простых функций справедливо
получаем, что
1 1 1 1
n T n TL M, L M, L M, L M,n n
f x f x , U f x U f x .lim lim
11
T n n L M,L M,U f x f x ,
11
L M,L M,U f x f x .
Лемма 2.
Пусть изометрический оператор.
Тогда соотношение эквивалентно
соотношению
2 2U: L L
2Uf f ,f L
U f f.
Доказательство леммы 2
Докажем сначала, что оператор U
изометрический тогда и только тогда, когда
где тождественный оператор,
т.е.
P.S. Приведите пример оператора U, для которого из не следует, что
U U I, I
2f L I f f.
U U I UU I.
Доказательство леммы 2
Поскольку оператор U изометрический,
имеем
Откуда получаем, что
Аналогично из
следует, что
Значит,
Следовательно,
2 2f L , g L U f ig ,U f ig f ig,f ig
2 2f L , g L U f g ,U f g f g,f g .
2 2f L , g L Re U f ,U g Re f ,g
2 2f L , g L Im U f ,U g Im f ,g .
2 2 2 2f L , g L U f ,U g f ,g f L , g L U Uf ,g f ,g .
2f L U Uf f U U I.
Доказательство леммы 2
Необходимость. Из применяя к
обеим частям равенства оператор
получаем
Достаточность. Пусть Тогда
Uf f ,
U ,
U f U Uf f.
U f f.
2Uf f Uf f ,Uf f Uf ,Uf Uf , f f ,Uf f , f
U Uf ,f f ,U f U f , f f , f 0.
Статистическая эргодическая теорема Дж. фон Неймана
Пусть изометрический оператор в
комплексном гильбертовом пространстве
и оператор проектирования на
подпространство векторов,
инвариантных относительно оператора U.
Тогда
2 2U: L L
2L
2 2P : L L
2F f L Uf f
2
n 1j
2n j 0
L
1f L U f P f 0.
nlim