Was am Ende bleiben sollte! –Nachhaltigkeit an der BHS
(am Beispiel HAK)
Mag. Peter Hofbauer
pete r . ho fbauer @ s chu l e .a t
Glaubensfragen – der Mentalist?
Wie viele von ihnen kommen aus einer AHS?
Prognose: > 90%
Wie viele von ihnen wollen wieder an einer AHS
unterrichten?
Prognose: > 95%
Wie viele haben sich schon genauer(!) mit den
Inhalten der BHS-Mathematik beschäftigt?
Prognose: <2%
Grundfragen des M-Unterrichts WS 2010/11 Mag. Peter Hofbauer
Der Plan
Ein paar Bemerkungen zur BHS-Mathematik
allgemein
BHS-Mathematik am Beispiel HAK
Was auch für den AHS-Unterricht interessant sein
könnte
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AHS
§ 34. Aufgabe der allgemeinbildenden
höheren Schulen
(1) Die allgemeinbildenden höheren Schulen haben
die Aufgabe, den Schülern eine
umfassende und vertiefte Allgemeinbildung zu
vermitteln und sie zugleich zur Universitätsreife zu
führen.
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BHS
Aufgabe der berufsbildenden höheren
Schulen
§ 65. Die berufsbildenden höheren Schulen haben
die Aufgabe, den Schülern eine höhere allgemeine
und fachliche Bildung zu vermitteln, die sie zur
Ausübung eines gehobenen Berufes auf
technischem, gewerblichem, kunstgewerblichem,
kaufmännischem oder hauswirtschaftlichem und
sonstigem wirtschaftlichen Gebiet befähigt und sie
zugleich zur Universitätsreife zu führen.
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Unterschiede im Unterrichtsfach Mathematik abstrakter, formalmathematischer Ansatz der
AHS mit dem Ziel der Überprüfung einer
allgemeinen Studierfähigkeit
sich am doppelten Bildungsauftrag
orientierender, praxisbezogener Ansatz der
Berufsbildung mit dem Ziel der
Universitätsreife und Befähigung für
verschiedene gehobene Berufe
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BHS-Lehrpläne für "Angewandte Mathematik" aller betroffenen Ausbildungsformen
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BHS-Lehrpläne für "Angewandte Mathematik" aller betroffenen Ausbildungsformen
Dem Gegenstand fällt innerhalb einer
Ausbildung die wichtige Aufgabe zu,
insbesondere jene mathematischen
Kompetenzen bei den Schüler/inne/n zu
entwickeln, die sie für den praktischen
Einsatz im angestrebten Berufsfeld
benötigen.
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Handelsakademien
Ausbildungsziel der Handelsakademie
Berufliche Fähigkeiten
a) Allgemeine Kenntnisse und Fertigkeiten
Die Handelsakademie vermittelt alle Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten, die für mittlere und höhere kaufmännische und administrative Tätigkeitenqualifizieren. die Absolventen können in allen Bereichen der Wirtschaft und der Verwaltung Managementfunktionen ausüben. Die Ausbildung in mindestens zwei lebenden Fremdsprachen ermöglicht deren Einsatz sowohl im Alltagsleben als auch in der Wirtschaftspraxis.
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Handelsakademien
Details
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HandelsakademienMathematik und angewandte Mathematik
Lehrstoff: I I . J a h r gang:
Basislehrstoff:
Zahlensysteme, Zahlenmengen, Terme und Potenzen.
Funktionen, Umkehrfunktionen.
Gleichungen und Ungleichungen, Gleichungssysteme, numerische Lösungen.
Matrizen.
Beschreibende Statistik (Einführung und Trendlinie) und deren grafischen Darstellungsformen.
Erweiterungslehrstoff:
Ungleichungssysteme. Vektoren. Aussagenlogik. Boolsche Algebra.
IT-Bezug:
Gesamter Lehrstoff. Computereinsatz mit entsprechender Software (CAS und/oder Tabellenkalkulation, bzw. grafikfähige Taschenrechner).
Schularbeiten:
Zwei einstündige Schularbeiten (bei Bedarf zweistündig).
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HandelsakademienMathematik und angewandte Mathematik
Lehrstoff: I I I . J a h r gang:
Basislehrstoff:
Trigonometrische Funktionen, Anwendungen.
Wachstums- und Abnahmeprozesse.
Rekursive Darstellung von Folgen, Differenzengleichungen.
Zinseszinsrechnung, Rentenrechnung, Schuldtilgung.
Komplexe Aufgabenstellungen.
Erweiterungslehrstoff:
Simulation dynamischer Systeme. Kryptografie, Codierungstheorie.
IT-Bezug:
Computereinsatz mit entsprechender Software (Computer Algebra Systeme und/oder Tabellenkalkulation bzw. grafikfähige Taschenrechner).
Übungsfirmen-Konnex:
Finanzmathematik.
Schularbeiten:
Zwei einstündige Schularbeiten (bei Bedarf zweistündig).
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HandelsakademienMathematik und angewandte Mathematik
Lehrstoff: I V . J a h r gang:
Basislehrstoff:
Grundlagen der Differenzialrechnung, Kosten- und Preistheorie.
Integralbegriff.
Kurs- und Rentabilitätsrechnung; Investitionsrechnung.
Komplexe Aufgabenstellungen.
Erweiterungslehrstoff:
Weitere Anwendungen der Differenzialrechnung. Integralrechung. Aktienanalyse.
IT-Bezug:
Computereinsatz mit entsprechender Software (Computer Algebra Systeme und/oder Tabellenkalkulation
bzw. grafikfähige Taschenrechner).
Übungsfirmen-Konnex:
Investitionsrechnung.
Schularbeiten:
Zwei einstündige Schularbeiten (bei Bedarf zweistündig).
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HandelsakademienMathematik und angewandte Mathematik
Lehrstoff: V . J a h r gang:
Basislehrstoff:
Beurteilende Statistik.
Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen, Regressionsrechnung, Korrelation; Kontingenz.
Komplexe Aufgabenstellungen.
Erweiterungslehrstoff:
Kombinatorische Hilfsmittel, Wahrscheinlichkeitsrechnung. Simulation wirtschaftlicher Modelle.
Vertiefung und Verknüpfung von Lehrstoffinhalten aller Jahrgänge. Schließende Statistik. Lineare Optimierung.
Aktienanalyse.
IT-Bezug:
Computereinsatz mit entsprechender Software (Computer Algebra Systeme und/oder Tabellenkalkulation bzw. grafikfähige Taschenrechner).
Schularbeiten:
Zwei einstündige Schularbeiten (bei Bedarf zweistündig).
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Handelsakademien
Betriebswirtschaft I I . J a h r gang: …
Material- und Warenwirtschaft:
Aufgaben, Supply-Chain-Management; Beschaffungsmarketing, Organisation und Planung (Bedarfsplanung, Bestellmenge, Lagerarten, Vorratssicherung); Kosten und Risiken; Kennzahlen in Verschränkung zur Waren- und Materialbewertung im Rechnungswesen.
Betriebswirtschaft III . J a h r gang: …
Finanzmanagement:
Investitionsplanung und Investitionsentscheidung.
Finanzplanung und Finanzierungsentscheidung.
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Handelsakademien
Betriebswirtschaft IV . J a h r gang:Kreditinstitute:
Funktionen und wirtschaftliche Bedeutung.
Aktiv-, Passiv- und Dienstleistungsgeschäfte. Abrechnung von Giro-und Kontokorrentkonten; Spareinlagen;
Wertpapierabrechnungen; Berechnung von Renditen; Beurteilung von Abrechnungskonditionen.
Portfolio-Management:
Wertpapiere und sonstige Instrumente der Vermögensveranlagung.
Kapitalmarkt.
Wertpapierbörse.
Net-Banking; Kauf- und Verkaufsabrechnung, Renditeberechnung.
Versicherungen:
Funktionen und wirtschaftliche Bedeutung.
Arten der Versicherungen; Inhalt und Abschluss des Versicherungsvertrages; Schadensabwicklung.
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Handelsakademien
Volkswirtschaft V . J a h r gang: Basislehrstoff:
Volkswirtschaftliche Grundlagen:
Grundprobleme der Volkswirtschaft, Mikro- und Makroökonomie;
Grundlagen der Wirtschaftspolitik;
Konjunktur und Wirtschaftswachstum, Konjunktur- und
Wachstumspolitik; Angebot und Nachfrage, Marktformenlehre,
Preismechanismus und Preispolitik; Produktionsfaktoren und deren
Zusammenwirken;
wichtigste Lehrmeinungen; Überblick über volkswirtschaftliche
Gesamtrechnung
…
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Finanzmathematik – Begriffe (1)
Zinsen, Zinssatz: Unter Zinsen versteht man im
Allgemeinen eine Vergütung, die beim Entleihen oder
Sparen vom Entlehner an den Verleiher bzw. von der
Bank an den Sparer zu zahlen ist. Der Prozentsatz, der
die Zinsen für einen bestimmten Zeitraum (Zinsperiode)
angibt, heißt Zinssatz.
Zinsperiode: Das ist jener Zeitraum, auf den sich der
angegebene Zinssatz bezieht und nach dessen Ablauf die
Zinsen in Rechnung gestellt bzw. gutgeschrieben werden.
Beispiele: 5 % pro Jahr (p.a.), 4 % pro Semester (p.s.),
2 % pro Quartal (p.q.), 1 % pro Monat (p.m.)
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Finanzmathematik – Begriffe (2)
Verzinsungsart, Berechnungsbasis: Werden die Zinsen ohne
Rücksicht auf die Verzinsungsdauer immer vom
Ursprungskapital errechnet, also ohne Berücksichtigung von
Zinsen aus früheren Zinsperioden, so spricht man von einfacher
oder kaufmännischer Verzinsung. Rechnet man jedoch die
Zinsen aus früheren Zinsperioden dem Kapital hinzu und
verzinst diese mit, dann handelt es sich um Zinseszinsen.
Zinsfälligkeit, Zinsentrichtungszeitpunkt
(Zinskapitalisierungszeitpunkt): Je nach Vereinbarung werden
die Zinsen am Ende jeder Zinsperiode bezahlt bzw.
gutgeschrieben (dekursiv, nachschüssig oder nachfällig, etwa
beim Sparbuch) oder sie sind schon am Beginn jedes
Verzinsungsabschnitts fällig (antizipativ, vorschüssig oder
vorfällig, zB bei manchen – älteren - Hypothekardarlehen).
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Finanzmathematik – Begriffe (3)
Tageberechnung: Da ein Kapital oft nicht genau für die Dauer einer
Zinsperiode unangetastet bleibt, ist es notwendig, Teile einer
Zinsperiode anzugeben. Hierzu ist die Kenntnis der
Berechnungsmodalitäten wichtig, darunter versteht man die Art, wie
das Jahr und die Monate in die Zinsberechnung eingehen. Folgende
Berechnungsmethoden (Usancen) haben sich im Finanzwesen
durchgesetzt:
30/360: Jeder Monat wird mit 30 Tagen gerechnet, das Jahr mit
360 Tagen (deutsche Usance).
kal/365: Die Monate werden kalendermäßig gezählt und das Jahr
hat immer 365 Tage (englische Usance). 30/365: Jeder Monat hat
30 Tage, ein Jahr geht aber mit 365 Tagen in die Berechnung ein.
kal/360: Die Monate werden kalendermäßig gezählt, das ganze
Jahr wird mit 360 Tagen gerechnet (internationale Usance).
kal/kal: Monate und das Jahr werden kalendermäßig berechnet.
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Verzinsungsmodelle - einfacher Zins
Bei der einfachen oder kaufmännischen Verzinsungwerden die Zinsen immer vom ursprünglichen Kapital berechnet. Damit bleiben die Zinsen für jede Zinsperiode gleich hoch, sind also unabhängig davon, wie viel Zinsen bereits früher verrechnet wurden.
Bezeichnet man das Anfangskapital (den Barwert oder
Present Value) mit K0, so gilt für das Endkapital (Endwert,
Future Value) nach einer Laufzeit von n Zinsperioden:
Kn=K0(1+n·izp)
K0 ... Anfangskapital, Barwert
n ... Anzahl der Zinsperioden
izp ... Zinssatz pro Zinsperiode (zB i, i12, ...)
Kn ... Endkapital (Endwert) nach n Zinsperioden
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Verzinsungsmodelle - Zinseszins
Werden die Zinsen zu jedem Zinsentrichtungszeitpunkt kapitalisiert, dh. dem vorhandenen Kapital angerechnet, so spricht man von Zinseszinsrechnung. Das um die Zinsen veränderte Kapital ist dann Ausgangspunkt für die Zinsberechnung der nächsten Zinsperiode.
Für das Endkapital Kn nach n Zinsperioden bei einem Zinssatz izp pro Zinsperiode gilt bei der Berechnung mit dekursivem Zinseszins:
Kn=K0·rzpn=K0·(1+izp)n rzp … Aufzinsungsfaktor
In der Praxis ist der einfache (kaufmännische) Zins dort von Bedeutung, wo der Verzinsungszeitraum kürzer als die Zinsperiode ist. Bei der Verzinsung über mehrere volle Zinsperioden hinweg ist der Zinseszins von Bedeutung.
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Vergleich von Zinssätzen
Jahresnennzinssätze jm, die bei gleichem Barwert und gleicher Verzinsungsdauer denselben Endwert liefern, nennt man äquivalent. Die dazugehörigen relativen Zinssätze im nennt man zueinander konform.
Der nominelle Jahreszinssatz (Nominalzinssatz, Jahresnennzinssatz) jm wird angegeben, wenn die Zinsen m-mal pro Jahr zu einem Zinssatz von im = jm /m berechnet werden. im nennt man dann den relativen Zinssatz.
Nominalzinssätze sind daher für Zinsberechnungen grundsätzlich ungeeignet!
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Die Äquivalenzgleichung
Entspricht ein Zinssatz von 4%p.a. einem Zinssatz von 1%p.q.?
€100 mit 4%p.a. verzinst ergeben nach 1 Jahr: €104,00
€100 mit 1%p.q. verzinst ergeben nach 1 Jahr: €104,06(weil 4mal pro Jahr verzinst wird, dh. 100·1,014)
Welcher Quartalszinssatz entspricht einem Zinssatz von 4%p.a.?
K0·(1+0.04)=K0·(1+i4)4
allg. gilt für konforme Zinssätze: (1+im)m = (1+ik)k
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00985,0104,144 i
Die geometrische Reihe und ihre Folgen - Rentenrechnung
Unter Rente versteht man eine Folge von regelmäßig
wiederkehrenden Ein- oder Auszahlungen mit im
Allgemeinen gleich bleibenden Beträgen, den Rentenraten
(meist kurz Raten genannt). Die Zeitspanne zwischen zwei
aufeinander folgenden Zahlungen nennt man
Rentenperiode.
Je nachdem, ob die Zahlungen am Beginn oder am Ende
einer Periode geleistet werden, spricht man von einer
vorschüssigen Rente (Rente praenumerando, zB bei
Kapitallebensversicherungen oder Bausparverträgen)
oder einer nachschüssigen Rente (Rente postnumerando,
zB bei Krediten oder Gehaltszahlungen).
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nachschüssige Rentenzahlungen
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R RRR R R
zp
t
zp
ti
)i(RE
11 :RenteigennachschüsseinerEndwert
vorschüssige Rentenzahlungen
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R RRR R R
zp
t
zp
zpti
)i(iRE
111
:RentegenvorschüssieinerEndwert
Kosten- und Preistheorie
Kostenfunktion: fasst alle entstehenden Kosten (K) zusammen die für die Produktion einer bestimmten Menge (x) eines Produktes entstehen
Arten von Kosten:
variabel (vom Beschäftigungsgrad abhängig)
fix (vom Beschäftigungsgrad unabhängige Kosten)
absolut-fixe Kosten
intervall-fixe Kosten
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Kostenverläufe
= Einteilung der Kosten nach ihrem Verhalten bei
unterschiedlichem Beschäftigungsgrad
proportionale Kosten: Kosten wachsen gleichlaufend mit
der Beschäftigungsgradzunahme
progressive Kosten: Kosten wachsen verhältnismäßig
schneller als die Beschäftigungsgradzunahme
degressive Kosten: Kosten wachsen verhältnismäßig
langsamer als die Beschäftigungsgradzunahme
regressive Kosten: Kosten sinken mit zunehmendem
Beschäftigungsgrad
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Kostenverläufe als KuDi
Man kann an der Krümmung der Funktion erkennen, wie
sich die Kosten verhalten.
proportionale Kosten: Funktion ist eine (steigende) Gerade
progressive Kosten: Linkskrümmung
degressive Kosten: Rechtskrümmung
regressive Kosten: Kostenfunktion fällt
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Kostenverläufe als math. Modell
Meist unterliegen (einfache) Kostenmodelle der Annahme,
dass der Kostenverlauf sowohl aus einem progressiven als
auch einem degressiven Anteil bestehen.
Welche Polynomfunktion erfüllt diese Voraussetzung?
kubische Kostenfunktion: K(x)= ax3 + bx2 + cx + d
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KuDi der Kostenfunktion
Kostenkehre: bezeichnet jene Produktionsmenge, bei der
sich der Kostenverlauf ändert.
math.: Wendepunkt der Kostenfunktion
Grenzkosten(funktion): Als Grenzkosten(funktion)
bezeichnet man die 1. Ableitung der Kostenfunktion.
Bedeutung?
Sie gibt an, um wie viel sich die Kosten ändern, wenn die
Produktion eines Gutes um eine (im Allgemeinen unendlich
kleine) Einheit erhöht wird lokale Linearisierung!
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Betriebsoptimum, langfristige Preisuntergrenze
Betriebsoptimum … Produktionsmenge, bei der die
durchschnittlichen totalen Kosten minimal sind.
langfristige Preisuntergrenze … Stückkosten im
Betriebsoptimum
math.:
Bedeutung?
Grundfragen des M-Unterrichts WS 2010/11 Mag. Peter Hofbauer
.min)(
)( x
xKxS:nfunktionStückkoste
Betriebsminimum, kurzfristige Preisuntergrenze
Betriebsminimum … Produktionsmenge, bei der die
durchschnittlichen variablen Kosten minimal sind.
kurzfristige Preisuntergrenze … variable Stückkosten im
Betriebsminimum
math.:
Bedeutung?
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.min)0()(
)(
x
KxKxSv:nfunktionStückkoste variable
Ein Beispiel
Von einem Betrieb ist die Kostenfunktion bekannt:
K(x)=0,1x³-1,8x²+14x+15
Bestimme die Kostenkehre, Betriebsoptimum und –
minimum sowie die kurz- und langfristige Preisuntergrenze
und gib eine Interpretation der Ergebnisse.
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Angebot und Nachfrage
Angebotsfunktion: beschreibt das Angebotsverhalten (der Produzenten) abhängig vom erzielbaren Marktpreis
je höher der erzielbare Preis, desto größere Mengen werden hergestellt (bzw. mehr Konkurrenten sind auf dem Markt)
Kostenrechnung legt Mindestpreise fest (Preis im
Betriebsminimum bzw. –optimum)
Nachfragefunktion: beschreibt die Marktnachfrage in
Abhängigkeit vom Preis
je höher der Preis ist, desto niedriger ist die Nachfrage
(Ausnahmen möglich, zB Snobeffekt)
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Diskussion linearer Funktionen
Die einfachsten Modelle für Angebots- und
Nachfragefunktionen sind linear:
Grundfragen des M-Unterrichts WS 2010/11 Mag. Peter Hofbauer
Ein Beispiel
In einem Polypol gelten folgende Eigenschaften für ein
bestimmtes Produkt:
Der Mindestpreis für die Erzeugung beträgt €250. Bei
einem erzielbaren Preis von €400 werden 10000 Stück
angeboten.
Bei einem Verkaufspreis von €300 besteht eine Nachfrage
nach 15000 Stück, jede Preiserhöhung um €50 führt zu
einem Nachfragerückgang um 1000 Stück.
Ermitteln Sie die Angebots- und Nachfragefunktion,
Sättigungsmenge und Höchstpreis und den
Gleichgewichtspreis.
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Gewinnmaximierung, Cournotscher Punkt
Am atomistischen Markt (Polypol) muss der Produzent
den vorgegebenen Marktpreis akzeptieren.
Ein (Quasi-)Monopolist kann den Verkaufspreis
gewinnmaximierend festsetzen:
Cournotscher Punkt (C): bezeichnet den Punkt der
gewinnmaximalen Absatzmenge und des
gewinnmaximalen Preises, dh. C (xmax | pmax)
Grundfragen des M-Unterrichts WS 2010/11 Mag. Peter Hofbauer
Ein Beispiel
Ein Monopolist hat bei der Erzeugung seiner Ware
Fixkosten in Höhe von €8000 und variable Kosten von
€100 pro Stück.
Am Markt stellt sich eine Sättigungsmenge bei 55
Produktionseinheiten ein, bei jeder Preiserhöhung um €20
sinkt die Nachfrage um 1 Produktionseinheit.
Bestimme den Cournotschen Punkt.
Grundfragen des M-Unterrichts WS 2010/11 Mag. Peter Hofbauer
Danke für Ihre Aufmerksamkeit!
Erster Prüfungstermin: 08.11.2010
Anmeldung bis 04.11.2010 unter