Sejarah Bilangan dan Perkembangannya
Sejarah Angka di Dunia
Hampir tak ada negara di dunia yang tak mengenal angka (bilangan). Semuanya
mengenal angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0. Angka-angka itu menjadi roh dalam ilmu
matematika. Sulit dibayangkan, andai tak ditemukan angka-angka tersebut. Dalam berbagai
literatur yang ada, tak disebutkan siapa orang yang pertama kali menemukan angka-angka atau
bilangan tersebut. Yang pasti, menurut Abah Salma Alif Sampayya, dalam bukunya
Keseimbangan Matematika dalam Al-qur’an, catatan angka pertama kali ditemukan pada
selembar tanah liat yang dibuat suku Sumeria yang tinggal didaerah Mesopotamia sekitar tahun
3.000 SM. Bangsa Mesir kuno menulis angka pada daun lontar dengan tulisan hieroglif yang
dilambangkan dengan garis lurus untuk satuan, lengkungan ke atas untuk puluhan, lengkungan
setengah lingkaran menyamping (seperti obat nyamuk) untuk ratusan, dan untuk jutaan
dilambangkan dengan simbol seorang laki-laki yang menaikkan tangan.Sistem ini kemudian
dikembangkan oleh bangsa Mesir menjadi sistem hieratik.
Bangsa Roma menggunakan tujuh tanda untuk mewakili angka, yaitu I, V, X, L, C, D,
dan M, yang dikenal dengan angka Romawi. Angka ini digunakan di seluruh Eropa hingga abad
pertengahan. Sementara itu, angka modern saat ini, berasal dari simbol yang digunakan oleh para
ahli matematika Hindu India sekitar tahun 200 SM, yang kemudian dikembangkan oleh orang
Arab. Sehingga, angka tersebut disebut dengan angka Arab. Dibandingkan dari seluruh angka
yang ada (1-9), angka 0 (nol) merupakan angka yang paling terakhir kemunculannya. Bahkan,
angka nol pernah ditolak keberadaannya oleh kalangan gereja Kristen. Orang yang paling berjasa
memperkenalkan angka nol di dunia ini adalah al-Khawarizmi, seorang ilmuwan Muslim
terkenal. Dia memperkenalkan angka nol melalui karyanya yang monumental Al-Jabr wa al-
Muqbala atau yang lebih dikenal dengan nama Aljabar. Angka nol ini kemudian dibawa ke
Eropa oleh Leonardo Fibonacci dalam karyanya Liber Abaci, dan semakin dikenal luas pada
zaman Renaisance dengan tokoh-tokohnya, antara lain, Leonardo da Vinci dan Rene Descartes.
Pada mulanya, angka nol digambarkan sebagai ruang kosong tanpa bentuk yang di India disebut
dengan sunya (kosong, hampa). Hingga kini, angka nol memiliki makna yang sangat khas dan
memudahkan seseorang dalam berhitung. Namun, ada kalanya keberadaan angka nol ini dapat
menimbulkan kekacauan logika. ''Jika suatu bilangan dibagi dengan nol, hasilnya tidak dapat
didefinisikan. Bahkan,komputer sekalipun akan mati mendadak jika tiba-tiba bertemu dengan
pembagi angka nol,'' jelas Sampayya. Komputer diperintahkan berhenti berpikir bila bertemu
dengan sang divisor nol. Hasil yang tertera pada komputer angka menunjukkan #DIV/0!.
Bilangan dan angka
Dalam penggunaan sehari-hari, angka dan bilangan seringkali dianggap
sebagai dua ha l yang sa ma . Se bena rnya , angka dan b i l a ngan m empunya i
penge r t i an yang be rbeda . B i l a n g a n a d a l a h s u a t u k o n s e p m a t e m a t i k a
y a n g d i g u n a k a n u n t u k p e n c a c a h a n d a n pengukuran . Sedangkan angka
adalah suatu simbol atau lambang yang digunakan untuk mewak i l i s a tu
b i lan gan . Con t ohnya , b i l anga n l i ma dapa t d i l amba ngkan de ngan a ngka
5 maupun m enggunakan a ngka roma wi V . L ambang ” 5” dan ”V ” ya ng
d igunaka n un tuk melambangkan bilangan lima disebut sebagai angka. Jadi,
sebenarnya benda apakah yang b i a s a k i t a s e b u t d e n g a n b i l a n g a n i t u ?
S e t i a p b i l a n g a n , m i s a l n y a b i l a n g a n y a n g k i t a lambangkan dengan
angka 1, sesungguhnya adalah konsep abstrak yang tidak bisa tertangkap oleh indra manusia,
tetapi bersifat universal. Misalnya, tulisan atau ketikan 1. Yang anda liat di kertas dan
sedang anda baca saat ini bukanlah bilangan 1, melainkan hanya lambang
dari bilangan satu yang tertangkap oleh indera penglihatan anda berkat adanya pantulan cahaya
dari kertas ke mata anda. Demikian pula bila anda melihat lambang yang sama di
papan tulis, yang anda lihat bukanlah bilangan 1, melainkan tinta dari spidol yang membentuk
lambang dari bilangan 1. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun
telah diperluas un tuk me l ipu t i b i l angan no l , b i l anga n a s l i , b i l angan bu l a t ,
b i l a ngan r a s iona l , b i l a ngan irasional, dan lain-lain.
B i l a n g a n a s l i m e r u p a k a n s a l a h s a t u k o n s e p matematika
yang paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti
oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera besar juga
bisa menggunakannya. Bilangan asli terdiri dari bilangan bulat positif yang bukan nol (1,
2, 3, 4,....). Wa ja r b i l a j en i s pe r t ama da r i b i l angan ya ng d igunakan un tuk
mengh i tung in i t i da k me nggunakan no l . Ka re na s e b e n a r n y a d a l a m
k e h i d u p a n s e h a r i - h a r i k i t a t i d a k mem bu tuhkan b i l a ngan no l .
S epe r t i da l am mengh i tung ape l pada gam bar d i ba wah , k i t a t i dak
mengh i tungnya dengan cara menghitung dari nol (nol apel, satu apel, dua apel, ....)
melainkan dengan menghitung dari satu. Atau saat ditanya berapa apel yang kamu punya,
kita akan lebih c e n d e r u n g m e n j a w a b t i d a k p u n y a a p e l
k e t i m b a n g menjawab saya punya nol apel.
Perkembangan Angka dari berbagi tempat
Kemungkinan terbesar manusia mulai menghitung adalah setelah bahasa
berkembang. Saat itu jari-jari tangan merupakan alat hitung yang paling alami. Itulah
sebabnya mengapa sistem perhitungan yang kita gunakan saat ini menggunakan
bilangan berbasis 10. Untuk mencari bukti sejarah, ukiran pada batu atau kayu adalah solusi
yang paling alami. Dari bukti sejarah, sistem hitung yang paling awal terdiri dari simbol
berulang yang masing-masing terdiri dari sepuluh, yang diikuti oleh pengulangan
simbol untuk satu. Untuk contoh pada angka-angka yang digunakan saat ini seperti 1
sampai 10, kemudian 11 (simbol bilangan satu diulang pada simbol bilangan sebelas sebagai
penanda 11 adalah 10 + 1). Atau pada bilangan romawi, bilangan dua puluh satu dilambangkan
menjadi XXI (simbol angka sepuluh diulang kemudian dimulai lagi dari satu sebagai penanda 20
adalah 10 + 10 +1)
Angka Mesir (3000-1600 SM)
Di Mesir, sejak sekitar 3000 tahun sebelum masehi, bukti sejarah yang
ditemukan menyebutkan bahwa satu disimbolkan sebagai garis vertikal, sedangkan 10
diwakilkan oleh lambang ^. Orang mesir menulis dari kanan ke kiri, jadi bilangan dua puluh tiga
disimbolkan menjadi |||^^. Bila anda sulit mengartikannya menjadi 23, bandingkanlah
dengan angka romawi XXIII. Angka romawi tersebut pada dasarnya adalah sistem
Mesir, diadaptasi oleh Roma dan sampai sekarang masih kita gunakan setelah
kemunculan pertamanya yaitu lebih dari 5000 tahun yang lalu.
Para juru tulis Fir'aun (yang hartanya sangat sulit untuk dihitung) menggunakan suatu
sistem untuk menghitung angka-angka besar. Memang sulit digunakan, tapi tidak diragukan lagi
itu yang mereka pakai. Membaca versi tertulis dari angka-angka besar mesir sama seperti
menghitung total nilai dari koin-koin judi di Las Vegas. Orang-orang mesir kuno
meletakan angka yang besa r d i kana n , dan yang kec i l d i k i r i . J ad i , un tuk
kepe r l uan de mons t r a s i , bayangkanlah koin A bernilai 100.000, koin B bernilai 10.000,
koin C bernilai 1.000, koin D bernilai 100, koin E bernilai 10, dan koin F bernilai 1.
dengan nilai-nilai itu, angka Mesir FEEEDDDDDDCCCCBBBAA bisa mewakilkan
angka 234.641. Dan angka-angka besar seperti ini berperan dalam dokumen yang
mendeskripsikan harta-harta milik firaun. Simbol Mesir untuk angka besar seperti
100.000, adalah suatu simbol yang seperti burung, tetapi angka-angka yang lebih kecil
dilambangkan dengan garis lurus dan melengkung.
Angka Babylonia (1750 SM)
Orang-orang Babylonia, menggunakan sistem bilangan berbasis 60. Sistem ini
benar- b e n a r s u l i t d i g u n a k a n , k a r e n a s e c a r a l o g i k a
s e h a r u s n y a m e m b u t u h k a n 5 9 s i m b o l y a n g b e r b e d a ( s a m a s e p e r t i
s i s t e m d e s i m a l b e r b a s i s 1 0 s a a t i n i mempunyai simbol yang
berbeda sa mpa i 9 ) . Se ba l i knya , angka d i bawah 60 dilambangkan
dengan k e l o m p o k - k e l o m p o k s e p u l u h .
Angka Babylonia
Yang menyebabkan bentuk tertulisnya sangan aneh jika dibandingkan dengan
composisi aritmatika manapun.
Me la l u i ke unggu lan o r ang Baby lon ia pada b i dang a s t ronomi , s i s t em
pe rh i t ungan berbasis 60 mereka masih ada sampai sekarang pada 60 detik dalam
satu menit, dan pada pengukuran sudut, 180 derajat pada jumlah sudut segitiga dan
360 derajat pada sudut satu lingkaran. Dan jauh setelah itu, saat waktu bisa diukur dengan
akurat, sistem yang sama juga digunakan dalam 60 menit dalam 1 jam.
Orang Babylonia mengambil langkah krusial menuju suatu sistem perhitungan
yang l eb i h e f e k t i f . M ereka mem perkena l kan konsep n i l a i t em pa t , ya i t u
angka ya ng sam a b i s a mempunyai nilai yang berbeda tergantung letak angka pada
urutan. Untuk lebih jelas, kita ambil contoh angka 222. Pada angka tersebut terdapat
tiga angka 2 yang mempunyai nilai yang berbeda-beda, yaitu 200, 20, dan 2. Tapi konsep
ini baru dan merupakan langkah yang sangat berani bagi orang Babylonia. Untuk mereka,
dengan sistem perhitungan berbasis 60, sistem nilai tempat lebih sulit untuk digunakan.
Untuk mereka angka simpel seperti 222 mempunyai nilai 7322 bila menggunakan
sistem hitung berbasis 10 yang kita gunakan (2 x60 kuadrat + 2 x 60 + 2)
Sistem nilai tempat membutuhkan suatu tanda yang bermakna ”kosong”, untuk saat-saat
dimana jumlah nilai pada satu kolom sama dengan kelipatan 60. Dari sinilah awal mula angka
0. Meskipun bilangan nol itu sendiri belum ada, dan angka 0 tidak mempunyai
nilai numerik tersendiri.
Angka Suku Maya
Suku maya, sama seperti suku Aztec, menggunakan sistem bilangan berbasis
20.Seperti orang Babylonia, suku Maya menggunakan sistem nilai tempat, dan tentu saja,
angka n o l . M e r e k a m e n g g u n a k a n 3 s e t g r a f i k notasi yang berbeda untuk
mewakili angka:
a) Dengan titik dan garis,
b) Dengan figur antropomorfik, dan
c) dengan simbol.
Angka suku Maya
Figur di atas melambangkan angka 0-10 untuk suku Maya
Angka Romawi 300 SM
Angka romawi menggunakan sistem bilangan berbasis 5. Angka I dan V dalam
angkaromawi terinspirasi dari bentuk tangan, yang merupakan alat hitung alami. Sedangkan
angka X/ lambang dari 10, adalah gabungan dua garis miring yang melambangkan 5. Dan L, C,
D,dan M, yang secara urut mewakili 50, 100, 500, dan 1.000, merupakan modifikasi dari simbol
V d a n X
Garis yang miring mewakili jempol, yang kemudian menjadi simbol limaX(10) adalah gabungan
dua garis miring
Symbol L, C, D, & M merupakanmmodifikasi dari simbol V & X
U n t u k m e n u l i s a n g k a , o r a n g R o m a w i menggunakan sistem
penjumlahan : V + I = VI (6) a t a u C + X + X + I = C X X I ( 1 2 1 ) ,
d a n s i s t e m pengurangan : IX (I sebelum X =9) atau XCIV (X sebelum C = 90, I
sebelum V = 4)
Nol, Sistem Desimal , dan Angka Hindu-Arab (300 SM – sekarang)
Pada sistem perhitungan Babylonia dan Maya, bentuk angka tertulisnya masih
sangan rumit untuk perhitungan aritmatika yang efisien. Selain itu, angka nol belum
berfungsi penuh.
Agar angka nol bisa memenuhi potensinya dalam matematika, setiap bilangan
harus mem punya i s im bo l s end i r i a t au pa l ing t i dak angka -angka das a r da l am
bas i s h i t unga n mempunyai simbol sendiri. Sistem ini kemungkinan muncul
pertama kali di India. Angka-angka yang dipakai saat ini mengalami perubahan-perubahan
bertahap sejak 3 abad sebelum masehi.
Ora ng -o rang Ind i a menggunaka n l i ngka ran kec i l s aa t t empa t pa da
angka t i da k mempunyai nilai, mereka menamai lingkaran kecil tersebut dengan nama sunya,
diambil dari bahasa sansekerta yang berarti ”kosong”. Sistem ini telah berkembang
penuh sekitar tahun 800 M as eh i , s aa t s i s t em in i j uga d i adap ta s i d i Baghda d .
Ora ng a r a b m enggunakan t i t i k sebagai simbol ”kosong”, dan memberi nama dengan arti
yang sama dalam bahasa arab, sifr.
Sekitar dua abad kemudian angka India masuk ke Eropa dalam manuskrip Arab, dan
dikenal dengan nama angka Hindu-Arab. Dan angka Arab sifr berubah menjadi ”zero”
dalam bahasa Eropa modern, atau dalam bahasa Indonesia, ”nol”. Tetapi masih perlu berabad-
abad lagi sebelum ke-sepuluh angka Hindu-Arab secara bertahap menggantikan angka romawi di
Eropa, yang diwarisi dari masa kekaisaran Roma.
Tokoh-tokoh matematika
Leonardo Pisano/Fibonacci (1170-1250)
Lenardo Pisano Bogolo, juga dikenal dengan nama Leonardo of Pisa, Leona rdo
P i s ano , Leona rdo Bonacc i , a t a u yang pa l i ng se r ing d i s ebu t dengan nama
Fibonacci, adalah seorang ahli matematika dari Itali. Beberapa orang menyebutnya “ahli
matematika dari barat yang paling berbakat pada abad pertengahan”.
F i b o n a c c i d i k e n a l o l e h d u n i a k a r e n a m e n y e b a r k a n
s i s t e m perhitungan Hindu-Arab di Eropa. Terutama melalui publikasi
bukunya pada awal abad ke 13 yaitu Book of Calculation atau Liber Abaci.
Lahir sekitar tahun 1170, anak dari Guglielmo Fibonacci, seorang pedaga ng
kaya i t a l i a . G ug l i e lmo mem impi n s ebuah pos pe rda gangan (beberapa catatan
menyebutkan ia adalah konsultan untuk Pisa) di Bugia, sebuah pelabuhan di sebelah
timur Algiers Muwahidun kesultanan dinasti diAfrika Utara (sekarang Bejaia, Aljazair).
Sebagai anak muda, Leonardo berpergian dengan ayahnya untuk membantu ayahnya,
disanalah dia belajar tentang sistem perhitungan Hindu-Arab.
Menyadari bahwa berhitung dengan angka Hindu-Arab lebih sederhana dan
lebih e f i s i e n d i b a n d i n g k a n d e n g a n a n g k a R o m a w i , F i b o n a c c i
m e n j e l a j a h i s e l u r u h d u n i a Me d i t e r an i a un tuk be l a j a r d i bawa h
pengaw as an ma tem a t i kawa n Ara b t e rkem uka s aa t itu. Leonardo kembali dari
perjalanannya sekitar 1200. Pada 1202, saat ia berusia 32 tahun, ia menuangkan semua yang ia
pelajari kedalam buku Liber Abaci (Kitab Abacus atau Book of Calculatiaon), dan dengan
demikian memperkenalkan angka-angka Hindu-Arab ke Eropa
Al-khawarizmi
Na ma As l i da r i a l -K haw ar i zm i i a l a h M uhamm ad Ibn Mus a a l -
Kha wa r i zm i . S e l a i n i t u be l i a u d ikena l i s ebaga i A bu Abdullah Muhammad bin
Ahmad bin Yusoff. Al-Khawarizmi d i k e n a l d i B a r a t s e b a g a i A l -
K h a w a r i z m i , A l - C o w a r i z m i , A l - Ahawizmi, Al-Karismi, Al-Goritmi, Al-Gorismi
dan beberapa cara ejaan lagi.
Beliau dilahirkan di Bukhara. Tahun 780-850M adalah zaman kegemilangan Al-
Khawarizmi. Al-Khawarizmi telah wafat a n t a r a t a h u n 2 2 0 d a n 2 3 0 M . A d a
y a n g m e n g a t a k a n A l - K h a w a r i z m i h i d u p s e k i t a r a w a l
p e r t e n g a h a n a b a d k e - 9 M .
Sumber lain menegaskan beliau hidup di Khawarism, Usbekistan pada tahun 194H/ 780M
dan meninggal tahun 266H/ 850M di Baghdad.
Dalam pendidikan telah dibuktikan bahwa Al-Khawarizmi adalah seorang
tokoh Islam yang berpengetahuan luas. Pengetahuan dan keahliannya bukan hanya
dalam bidang syariat tapi di dalam bidang falsafah, logika, aritmatika, geometri, musik, ilmu
hitung, sejarah Islam dan kimia.
B e l i a u t e l a h m e n c i p t a k a n p e m a k a i a n S i n u s d a n T a n g e n d a l a m
p e n y e l i d i k a n t r i gonom e t r i dan a s t ronom i . D a l am us i a m uda be l i a u
beke r j a d i baw ah pe mer i n t ahan Khalifah al-Ma’mun, bekerja di Bayt al-Hikmah
di Baghdad.
Beliau bekerja dalam sebuah observatory yaitu tempat belajar matematika dan
astronomi. Al-Khawarizmi juga dipercaya untuk memimpin perpustakaan khalifah. Beliau
pernah memperkenalkan angka-angka India dan cara-cara perhitungan India pada dunia
Islam. Beliau juga merupakan seorang penulis Ensiklopedia dalam berbagai disiplin.
Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh yang pertama kali memperkenalkan aljabar
dan hisab (ilmu hitung Islam). Banyak lagi ilmu pengetahuan yang beliau pelajari
dalam bidang matematika dan menghasilkan konsep-konsep matematika yang begitu populer
yang masih digunakan sampai sekarang.
Kepribadian al-Khawarizmi telah diakui oleh orang Islam maupun dunia
Barat. Inidapat dibuktikan bahwa G.Sarton mengatakan bahwa “pencapaian-pencapaian yang
tertinggi t e l ah d i pe ro l e h o l e h o r ang -o ra ng T imur….” D a lam ha l i n i A l -
Kha wa r i zm i . Tokoh l a in , Wiedmann berkata…." Al-Khawarizmi mempunyai kepribadian
yang teguh dan seorang yang mengabdikan hidupnya untuk dunia sains". Beberapa
cabang ilmu dalam Matematika yangdiperkenalkan oleh Al-Khawarizmi seperti: geometri,
aljabar, aritmatika dan lain-lain.
Pythagoras
P y t h a g o r a s o f S a m o s a d a l a h s e o r a n g f i l s u f Y u n a n i I o n i a d a n
p e n d i r i g e r a k a n keagamaan disebut Pythagoreanism. Sebagian besar informasi
tentang Pythagoras ditulis be r aba d -abad se t e l a h i a h i dup , dan se d ik i t nya
i n fo rma s i yang dapa t d ipe r c aya s eh ingga sangat sedikit yang diketahui tentang
dia.
Ia lahir di pulau Samos, dan mungkin bepergian secara luas di masa mudanya,
mengunjungi Mesir dan tempat-tempat lain untuk mencari pengetahuan. Sekitar 530
SM, ia pindah ke Croton, sebuah koloni Yunani di Italia selatan, disana dia mendirikan sebuah
sekte keagamaan. pengikut-nya mengejar ritual keagamaan dan praktek yang dikembangkan oleh
Pythagoras, dan mempelajari teori filosofisnya.
Masyarakat menga mbi l pe r a n ak t i f da l am po l i t i k C ro ton , t ap i i n i
akh i rnya me nyebabkan ke j a tuhan mere ka . T empa t pe r t em uan P y tha go ra s
d ibaka r , dan P y thago ra s t e rpaks a me l a r ika n d i r i . Dia dikatakan telah mengakhiri
hari-harinya di Metapontum. P y t h a g o r a s m e m b e r i k a n k o n t r i b u s i
b e r p e n g a r u h t e r h a d a p f i l s a f a t d a n a j a r a n keagamaan pada akhir abad ke-6 SM.
Ia sering dipuja sebagai matematikawan besar, mistik dan ilmuwan, dan dia terkenal karena
teorema Pythagoras yang diambil dari namanya.
Perkembangan Bilangan
Sejarah bilangan dapat kita telusuri dengan berbagai pendekatan. Kita dapat
menyusun ulang sejarah bilangan berdasarkan solusi persamaan, yaitu persamaan
linear dan persamaan kuadrat. Dengan modal bilangan asli dan persamaan linear kita
akan sampai pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan nol, sistem bilangan bulat,
dan sistem bilangan rasional. Kemudian, dengan persamaan kuadrat kita akan sampai
pada kesimpulan bahwa harus ada bilangan real dan bilangan kompleks. Secara sederhana,
sejarah bilangan dapat kita mulai dengan bilangan Asli. Bilangan
Asli merupakan bilangan yang pertama kali dikenal manusia. Hal ini karena secara
alamiah manusia akan melihat berbagai benda/objek dan kemudian untuk keperluan
tertentu mereka harus menghitungnya. Mereka memiliki, uang, kambing, anak, pohon,
saudara, dan lain-lain. Untuk menghitung benda-benda tersebut bilangan yang
digunakan adalah bilangan Asli. Tentu saja mereka tidak menyadari bahwa bilangan
yang mereka gunakan untuk menghitung tersebut adalah bilangan Asli. Penamaan
tersebut dilakukan setelah jaman modern untuk keperluan pengembangan ilmu
pengetahuan. Dengan demikian kita dapat mendefinisikan bahwa bilangan asli adalah
bilangan yang digunakan untu menghitung. Notasi himpunan bilangan asli adalah N..Anggota
bilangan asli adalah N={1,2,3,…}. Bilangan asli yang sudah dikenal tentu harus dilengkapi
dengan suatu aturan untuk
mengoperasikan bilangan tersebut. Operasi tersebut adalah penjumlahan,
pengurangan, perkalian, dan pembagian. Kita sudah mengetahui bahwa bilangan asli
bersifat tertutup terhadap penjumlahan. Artinya, penjumlahan dua bilangan asli
akan menghasilkan bilangan asli. Tetapi tidak demikian dengan pengurangan. Kita
akan mendapati bahwa jika sebuah bilangan asli dikurangi dengan bilangan asli
hasilnya belum tentu bilangan asli. Sebagai contoh, 5 – 5 = 0. Jelas bahwa bukan
anggota bilangan asli. Oleh karena itu, sistem bilangan asli harus diperluas
dengan menyertakan 0 sebagai anggota. Perluasan ini kemudian dikenal sebagai
bilangan Cacah.
Bilangan nol merupakan salah satu penemuan yang sangat penting. Sebelum ada bilangan
nol menuliskan bilangan-bilangan yang besar sangat sulit. Bahkan beberapa bilangan memiliki
notasi yang sama. Desa adanya bilangan nol, penulisan bilangan –bilangan yang besarpun
menjadi mudah. Bilangan nol pertama kali digunakan di China dan India tetapi kemudian
dipopulerkan oleh bangsa Arab pada era keemasan Islam.
Perkembangan selanjutnya, bilangan Cacah pun ternyata tidak dapat sepenuhnya
merepresentasikan objek dalam dunia nyata. Dalam dunia nyata ada orang yang
memiliki uang, ada orang yang tidak memiliki uang, dan bahkan ada orang yang
memiliki utang. Keadaan pertama dapat kita tulis dengan bilangan asli, sedangkan
keadaan kedua bisa kita tulis dengan bilangan 0. Bagaimana dengan keadan yang
ketiga jika yang menjadi kerangka acuan adalah keberadaan uang. Hal ini akan
membawa kita pada perluasan sistem bilangan cacah menjadi menjadi bilangan bulat.
Perluasan bilangan bulat dapat juga dijelaskan dengan operasi pada dua bilangan
bulat. Dengan operasi pengurangan, ternyata diketahui bahwa jika dua bilangan
cacah dikurangkan maka hasilnya belum tentu bilangan cacah. Sebagai contoh, 6 – 4
= 2 dan 2 masih merupakan bilangan cacah, tetapi 4 – 6 tidak ada interpretasinya
dalam bilangan cacah. Selanjutnya digunakan bilangan negatif untuk menyatakan
hasil 4 – 6. Dengan demikian, karena 4 – 6 merupakan kebalikan dari , maka 4 – 6 =
-2. Gabungan bilangan cacah dengan bilangan negatif ini yang kemudian membentuk
bilangan bulat. Notasi himpunan bilangan bulat adalah , dan anggota bilangan Z bulat adalah
Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
Perhatikan bahwa -2 tidak hanya dihasilkan dari 4 - 6, tetapi dapat juga
dihasilkan dari 5 – 7, 10 – 12, 20 – 22 dan masih banyak lagi. Berdasarkan hal
tersebut, setiap bilangan bulat mewakili suatu hasil pengurangan dalam cacah.
Sebagai contoh, bilangan 2 mewakili hasil-hasil dari {2 – 0, 3 – 1, 4 – 2, …}.
Bilangan -3 mewakili hasil-hasil dari {0 – 3, 2 – 5, 7 – 10, …}. Hal ini berarti
anggota himpunan bilangan bulat adalah hasil operasi pengurangan pada bilangan
asli.
Bilangan bulat yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk
struktur tertentu dalam matematika. Struktur yang dimiliki bilangan bulat adalah,
terhadap operasi penjumlahan, sistem bilangan bulat membentuk grup yang komutatif
(grup abelian). Hal ini berarti terhadap penjumlahan bilangan bulat bersifat
tertutup, asosiatif, memiliki unsur identitas, memiliki invers (lawan) dan
komutatif,. Terhadap perkalian, bilangan bulat memiliki sifat, tertutup,
komutatif, asosiatif, dan mempunyai unsur identitas. Dengan demikian sistem
bilangan bulat memiliki sifat yang lebih lengkap daripada sistem bilangan
sebelumnya.
Selanjutnya, terhadap operasi pembagian, ternyata bilangan bulat tidak bersifat
tertutup. Dalam kehidupan sehari-hari kita sering harus membagi suatu objek
menjadi beberapa bagian. Setelah dibagi hasilnya bisa utuh bisa juga tidak utuh.
Sebagai contoh, jika kita memiliki 10 apel kemudian akan dibagikan kepada 5 anak,
maka masing-masing anak akan mendapat 2 apel (masing-masing apel masih utuh).
Tetapi jika 10 apel tersebut akan dibagikan kepada 20 anak, maka setiap anak
mendapat setengah apel. Tidak ada bilangan bulat yang dapat digunakan untuk
menyatakan hasil tersebut. Oleh karena itu, sistem bilangan diperluas.
Perluasan dari sistem bilangan bulat tersebut adalah sistem bilangan rasional.
Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis sebagai m/n
dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0. Dengan perluasan sistem bilangan ini, maka
persoalan tentang pembagian dapat diselesaikan. Jika sistem bilangan bulat
membentuk struktur grup abelian, maka sistem bilangan rasional membentuk lapangan
(Field).
Selanjutnya, kita semua mengenal teorema Pythagoras. Jika kita mempunyai segitiga
siku-siku dengan sisi tegak masing-masing 1 satuan panjang, maka panjang sisi
miringnya (hypotenusa) adalah √2. Namun, √2 tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
m/n dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0 (bukti lengkapnya lihat di buku analisis
real). Ini berarti ada bilangan lain di luar sistem bilangan rasional. Bilangan
tersebut dikenal sebagai bilangan irasional. Gabungan bilangan rasional dan
bilangan irasional membentuk sistem bilangan real. Bilangan real dapat
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat digunakan untuk mengukur. Sistem
bilangan real membentuk lapangan terurut yang lengkap. Sistem bilangan real dapat
memenuhi kebutuhan manusia tentang bilangan. Meski demikian, sistem bilangan masih
dapat diperluas.