Welle–Nabe–Verbindungen
Funktion: Drehmoment und Kräfte (radial/axial) übertragen. Verbindungen: fest/beweglich sowie lösbar/unlösbar.
Scheibenfeder–Verbindungen
Kostengünstiger Herzustellen als Passfederverbindung. Nur für kleine, konstante Drehmomente. Dimensionierung nach gleichen Ansätzen wie Passfeder.
Kerbzahnverbindungen
Dimensionierung
FU =
Mt
rmΩϕΩi
p = F
N
LΩh = F
U
LΩhΩcosα
p ≤ p
zul
pzul analog zur Keilwellenverbindung
Keilwellenverbindungen
Für grosse Drehmomente, auch stossartig und wechselnd. Axial verschiebbar, für genauen Rundlauf geeignet.
Innenzentrierung (links) für genauen Rundlauf, Flankenzentrierung (rechts) für stossartige und wechselnde Momente.
Dimensionierung
Torsionsmoment Mt = hΩLΩp
zulΩr
mΩϕΩi
L Nabenlänge i Anzahl der Keile ϕ Traganteil ϕ = 0.75 Innenzentrierung ϕ = 0.9 Flankenzentrierung pzul zulässige Pressung
pzul = 40 MPa für GG Nabe
pzul = 70 MPa für GS/St Nabe
pzul = 200 MPa für Sonderfälle mit
gehärteter Welle und hochfester Nabe (Bei Flankenzentrierung können die Werte um 20% erhöht werden)
rm =
d1 + d
2
4 ; h = 12(d2Welle
– d1Nabe
)
Zähe Werkstoffe SF , einseitig stossfrei: 1.2…1.4 SF , wechselnd stossend: 3.0…4.0
Spröde Werkstoffe SB , einseitig stossfrei: 1.6…2.0 SB , wechselnd stossend: 4.0…5.0
Empfehlungen:
Polygonverbindungen
Vorteil: Reduzierte Kerbwirkung!
Dimensionierung Polygonprofil P3G
Querschnittsfläche A = πΩd
12
4 – 4πΩ e12
Torsion Welle Mt = W
PΩτ
WP =
d1 + 4Ωe
1
d1 + 8Ωe
1
A4
20ΩTPΩd
1
Flächenpressung Nabe/Welle Mtzul º p
zulΩlΩ
0.75ΩπΩe
1Ωd
1 +
d12
20
l: tragende Verbindungslänge
Dimensionierung Polygonprofil P4G
Querschnittsfläche A = πΩd
m2
4
Mittlerer Durchmesser dm =
d1 + d
2
2
Torsion Welle Mt = W
PΩτ
WP = 0.2Ωd
23
Flächenpressung Nabe/Welle Mtzul º p
zulΩlΩ
πΩe
rΩd
m +
dm2
20
l: tragende Verbindungslänge
Passfeder–Verbindung
Für kleine-mittlere, einseitige, stossfreie Momente und kleine Drehzahlen. Einfache Montage und Demontage. → Einfach und preiswert!
Kritische Elemente: Passfeder: Flächenpressung und Schubspannung Nabe: Flächenpressung Welle: Flächenpressung
Dimensionierung der Passfeder
Umfangskraft FU =
2ΩMt
d
Flächenpressung pN =
FU
(h–t1)Ωl
trΩiΩϕ =
2ΩMt
dΩ(h–t1)Ωl
trΩiΩϕ ≤ pzul
pzul zulässige Flächenpressung
t Traghöhe der Nut in der Welle ltr tragende Länge:
rundstirnig: ltr = l – 2r
rechteckig; ltr = l
i Anzahl Passfedern ϕ Traganteil bei mehreren PF 1 PF: ϕ = 1 2 PF: ϕ = 0.75
Drehmoment Mtzul =
pzulΩdΩl
trΩ(h–t
1)ΩiΩϕ
2 > cBΩM
nenn
pzul = 0.9ΩR
emin
Remin
: minimale Streckgrenze der Werkstoffe
von Welle, Nabe und Passfeder Einzelne Lastspitzen M
tzul max
= fLΩM
tzul
Passfederlänge ltr < 1.5Ωd
Schubspannung τ = F
U
bΩttrΩiΩϕ =
2ΩMt
dΩbΩltrΩiΩϕ
Vergleichsspannung σV = σ
x2 + 3Ωτ2 (< σ
zul =
σF
SF)
Betriebsfaktor
Lastspitzenhäufigkeitsfaktor f
L
Dimensionierung von Welle und Nabe
Plastisches Materialverhalten pzul =
fSΩσ
F
SF
Sprödes Materialverhalten pzul =
fSΩσ
B
SB
Stützfaktor nach Niemann fS
• Passfeder fS = 1.0
• Welle aus Vergütungsstahl fS = 1.2
• Nabe aus GJS, Stahl fS = 1.5
• Nabe aus GJL fS = 2
Empfehlungen für Sicherheitswerte:
• SF = 1.5…2.5 bei Passfedern
• SF = 3.0…4.0 bei Gleitfedern
• SB = 3.0…4.0 für Pass– und Gleitfedern
Berechnung der Welle mit Passfedernut
Zu beachten sind:
• elementare Beanspruchung: Torsion, Biegung • Kerbwirkung • Wechselfestigkeit
Bei Biegung: α
σ º 5 für Nutrand und Nutgrundradius
Entwurfsrichtlinien für Passfeder–Verbindungen
Gestaltungshinweise:
• Passfelerlänge l < lN •
Klemmverbindungen
z: Anzahl Schrauben ; FS: Schraubenkraft
Dimensionierung
Torsionsmoment MT =
12 pΩµΩd
2ΩπΩL
Rutschsicherheit p > 2M
TΩS
R
d2ΩµΩπΩL
Zulässige Pressung
Nabe zäh: σV = σ
ϕ – σ
r
Nabe spröd: σV = σ
1 = σ
ϕ
Welle hohl: σV = σ
1 – σ
3 = σ
ϕ
Welle voll: σV = σ
1 – σ
3 = σ
r = σ
ϕ
Es gilt pzul > p > p
min
a) geteilte Nabe
FS = 2M
TΩS
R
µΩπΩdΩz
b) geschlitzte Nabe
Unterscheide 2 Fälle:
(1) Kraftangriff konzentriert (eher Spielpassung, harte Nabe)
Dimensionierung
Gleichgewicht FN =
MTΩS
R
µΩd
Schraubenkraft FS ≥
MΩl1ΩS
R
zΩµΩdΩl2
+ M
1
zΩl2
Bei einem Übergangs– oder Pressitz und weicher Nabe und biegeweichem hinteren Teil der Nabe kann man M1 vernachlässigen:
FS ≥
MΩl1ΩS
R
zΩµΩdΩl2
! Es handelt sich um Hertz`sche Pressung (2) Kraftangriff verteilt (leichter Pressitz, weiche Nabe)
Dimensionierung
Welle p > 2M
TΩS
R
d2ΩµΩπΩL
Schraubenkraft FS ≥
2MTΩl1ΩS
R
dΩµΩπΩzΩl2
(Gleiche Diskussion von M1 wie beim konzentrierten Kraftangriff!)
FSverteilt
= 1pΩFSkonzentriert
Axiale Klemmverbindung
Dimensionierung
Druck aus Vorspannung pi =
FV
π(rai2 – r
i2)
Moment (Schulter) Mi =
13 (rai
3 – ri3)2πp
iµi
i wird für die rechte und linke Schulter gesetzt
Gesamtmoment M = M1+M
2 =
23µΩF
V
r
a13–r
i3
ra1
2–ri2 +
ra2
3–ri3
ra22–r
i2
ra1 = r
a2 = r
a : F
V ≥
3M4µ
Ωra2 – r
i2
ra3 – r
i3
Zylindrischer Pressverband
(1) Minimaler Fugendruck
Umfangskraft FU =
2Mt
d (ΩcB)
Resultierende Kraft Fres = F
U2 + F
a2
FresΩS
R = F
R = pΩµ
HΩπΩdΩl
SR Sicherheit gegen Rutschen
µH Haftreibung
Pressitz trocken: 0.10 Pressitz geölt: 0.06 Schrumpfsitz: 0.15
Minimaler Fugendruck pmin =
FresΩS
R
µHΩA mit A = πΩdΩl
Übergang Welle–Nabe σ
rN = σ
rW = –p
Vollwelle σrN = σ
tW = const. = –p
(2) Maximaler Fugendruck Normalspannungshypothese Nabe
pmaxN = σBΩ(1 – χN
2)
SBΩ(1 + χN2)
Schubspannungshypothese Vollwelle
pmaxW = σF
SF
Schubspannungshypothese für σt > σx > σr
Vergleichsspannung σV = |σ
t – σ
r| = |A+
Br2 – A+
Br2| = |
2Br2 |
Welle
σVW
= |2BrWi
2| = |2p
1 – χW2|
pmax W
≤ σ
zul W (1 – χ
W2)
2
Nabe
σVN =
2BrNi
2 = 2p
1 – χN2
pmax N
≤ σ
zul NΩ(1 – χ
N2)
2
Vollwelle σr = σt = –p (folgt aus b = 0 ; B = 0) (3) Radiale Dehnungen
Hilfsfunktion H = 1 + χ2
1 – χ2
χ = di
da , χ
W =
dWi
dF , χ
N =
dF
dNa
Annahme ebener Spannungszustand (ESZ)
Verschiebung Welle
uWa =
–pΩrWa
(1 – χW2)ΩE
W
Ω(1–νW+χ
W2(1+ν
W))
uWa = –
dFΩp
2ΩEWΩ(H
W – ν
W)
Verschiebung Nabe
uNi =
pΩrNi
E
ν
N +
1 + χN2
1 – χN2
uNi =
dFΩp
2ΩENΩ(H
N + ν
N)
(4) Übermass
Übermass U = d
Wa – d
Ni
Haftmass Z = U – G Z = 2(u
Ni – u
Wa)
Glättung G = 0.8Ω(RZWa
+ RZNi )
Minimales Übermass U
min = 2Ω(u
Ni (p
min) – u
Wa (p
min)) + G
Maximales Übermass Umax
= 2Ω(uNi (p
max) – u
Wa (p
max)) + G
(5) Fügetemperatur bein Schrumpfen
Die Fügetemperatur ist so zu wählen, dass auch beim maximalen Übermass ein Fügespiel Uf vorhanden ist!
Fügespiel óUW + óU
N = U
max + U
f
mit óUW = ót
WΩα
WΩd
óUN = ót
NΩα
NΩd
Uf º dΩ10–3
(6) Passungswahl / Toleranzen
1 Einheitsbohrung passend zu d wählen (z.B. H7) 2 Minimales/maximales Mass der Welle mit minimalem/
maximalem Übermass berechnen 3 Standardtoleranz wählen, die diese Bedingungen gut erfüllt
Schweissverbindungen Spannungen sind im Bauteil (Schweissnahtübergangsquerschnitt) sowie in der Schweissnaht (Schweissnahtquerschnitt) zu bestimmen. Die Stumpfnaht
a = s1
Endkraterabzug (2a) bei der Länge kann weggelassen werden, wenn die Naht auf angelegte Auslaufbleche gezogen wird! Ebenso bei geschlossenen Nähten (Rohre). Die Kehlnaht
amin ≥ ( s
max – 0.5) ≥ 3 mm
amax
≤ 0.7Ωsmin
Endkraterabzug analog Flachstab (v.a. für L ≤ 15Ωa) Mindestlänge L
min ≥ 6Ωa ≥ 30 mm
Kenngrössen bei zusammengesetzten Nahtbildern
Querschnittsflächen A = ∑i
Ai = ∑
i
aiΩ l
i
Nahtbildschwerpunkt xs =
∑i
xiΩA
i
∑i
Ai
ys =
∑i
yiΩA
i
∑i
Ai
Flächenmomente 2. Ordnung
I1 = ∑
i
I1,i + ∑
i
yiΩA
i
I2 = ∑
i
I2,i + ∑
i
xiΩA
i
Statischer Festigkeitsnachweis
Zulässige Spannungen
Zug–Druck σFzd = σ
F⊥ = v
2v3K
dpR
p0.2
Biegung σFb = σ
F⊥ = v
2v3K
dpR
p0.2
Schub τFs = τ
F⊥ , τ
F|| = v
2v3K
dpR
p0.2
Torsion τFt = τ
F|| = v
2v3K
dpR
p0.2
Kombinierter Sicherheitsfaktor:
SF =
1
SFzd +
1SFb
2 +
1
SFs +
1SF1
2
–1
Nahtgütebeiwert v2 nach Din8563T3 für Stahl
Beanspruchungsbeiwert v3
Grössenfaktor Kdp
→ Siehe Zusatzblatt
Dynamischer Festigkeitsnachweis
Zulässige Spannungen
Zug–Druck σAzd = σ
A⊥ = v
2v3K
dmσAzdN
Biegung σAb = σ
A⊥ = v
2v3K
dmσAzdN
Schub τAs = τ
A⊥ , τ
A|| = v
2v3K
dmσ
AzdN
Torsion τAt = τ
A|| = v
2v3K
dmσ
AzdN
Kombinierter Sicherheitsfaktor:
SD =
1
SDzd +
1SDb
2
+
1
SDs +
1SD1
2
–1
Nahtformbeiwert v1
Nahtgütebeiwert v2 und Grössenfaktor K
dm
→ Siehe statischer Festigkeitsnachweis
Punktschweissung
Punktschweissungen sollen ausschliesslich auf Scherung beansprucht werden. Die Berechnung erfolgt analog zu Stiftverbindungen. Dimensionierung
Schweisspunktdurchmesser d = 25 mm Ω smin
Mehrere Schweisspunkte
S: Flächenschwerpunkte n: Anzahl Schweisspunkte i: Einzelner Sweisspunkt
Qxi =
Qx
n Qyi =
Qy
n
M = ∑i
FriΩr
i
Fi = cΩr
i ; c =
M
∑i
ri2
Ø
Fi =
Ø
Qxi +
Ø
Qyi +
Ø
Fri
Lötverbindungen Zug/Druck
σz,d =
Fz,d
bΩh ≤ σzul =
νΩσB
SB
ν Lastfaktor ν = 0.5 (wechselnd) ν = 0.75 (schwellend) ν = 1 (ruhend)
Scherung
τ = FbΩl ≤ τzul =
νΩτB
SB
ν Lastfaktor (wie bei Zug)
τ = M
T
AΩd/2 = 2M
T
d2ΩπΩl ≤ τzul
Schälbeanspruchung
Schälbeanspruchung vermeiden! (Zugspannungsspitze im Lot)
Federn
Funktionen: Lageenergie speichern, Stossenergie auffangen, Bewegungs–energie erzeugen, Kräfte verteilen, begrenzen und regeln, Verbindungs–kräfte aufrecht erhalten. Federeigenschaften
Federweg s s = l0 – l
F
Federrate R
dFds = tanα = R [
Nmm]
F = RΩs
Drehfeder
dMdϕ
= tanα = Rt
M = RtΩϕ
1: Progressive Federkennlinie dFds ≠ const. ;
d2Fds2 > 0
2: Lineare Federkennlinie R = const. ; d2Fds2 = 0
3: Degressive Federkennlinie R = dFds ≠ const. ;
d2Fds2 < 0
Lineare Kennlinie: R heisst auch Federkonstante. Nachgiebigkeit δ = 1R
Gekoppelte Federn
Parallele Anordnung
Rges = Fs = R1 + R2 + … + Rn = ∑
i=1
n
Ri
F = RgesΩs
Serielle Anordnung
1Rges
= 1R1
+ 1R2
+ … + 1Rn
= ∑i=1
n
1Ri
F = RgesΩs
Federarbeit
W = 1sF(x) dx
W = 12Fs bei linearer Kennlinie
Zugstabfeder
Federarbeit Wa = σ
2ΩV2ΩE
Federweg s = εΩl = lΩFEΩA =
lΩσE
Ausnutzungsfaktor ηA = 1
Ringfeder
Spannungen
σi = –F
πΩAiΩtan(β ± ρ)
σa = F
πΩAaΩtan(β ± ρ)
Reibungswinkel ρ ρ = arctan(µ)
Federweg pro Element s0 = raΩσa – riΩσi
EΩtanβ
Gesamter Federweg s = s0Ωi i: Anzahl Federelemente Materialvolumen der Feder V = (AaΩra + AiΩri)ΩπΩi
Federarbeit (beim belasten) WFeder = ηA
σa2Va + σi
2Vi
2E
Ausnutzungsfaktor ηA = tan(β + ρ)
tanβ
Biegestabfedern
Federarbeit Wa = F
2Ωl 3
6EΩI
Federweg s = FΩl 3
3EΩI
Ausnutzungsfaktor ηA = 19
Trapezfeder
Federweg s = ψ FΩl 3
3EΩI0 = ψ
2σl 2
3Eh
Formfaktor ψ = 1.5 bei be = 0
ψ = 1.5 bei be = b0
Federarbeit Wa = ψ F
2Ωl 3
6EΩI0
Ausnutzungsfaktor ηA = 29
ψ1 + be/b0
º 13
Schraubenbiegefeder (Biegung)
Konstantes Biegemoment → Behandlung wie langer Biegestab
Biegemoment MB = FΩr
Biegelinie w’’ = MB(u)
EΩI(u)
u : Koordinate entlang Draht
Verdrehung ϕ = w’ = nDπ MB
EI
Federrate R = EInDπ
Ausnutzungsfaktor ηA = 14
Enge Windung oder entgegengesetzte Beanspruchung:
Biegenormalspannung σx = qΩMB
WB
Taylorreihe q = 1 + 0.87 dD + 0.642( )dD
2
+ …
Wickelverhältnis Dd =
WindungsdurchmesserDrahtdurchmesser
Spiralfeder (Biegung)
Ähnlich wie die Schraubenbiegefeder:
Verdrehung ϕ = MB
EIL
b Breite des Bandstahls t Dicke des Bandstahls L aufgewickelte Länge
Drehstabfeder (Torsion)
Federarbeit Wa = ηA τ 2ΩV2ΩG
Ausnutzungsfaktor ηA = Wt
2
ItΩA
(= 0.5 für Vollkreisquerschnitte)
Verdrehung ϕ = MtΩl
GΩIt
Federrate R = GΩItl
Tellerfeder (Mischbeanspruchung)
Näherungstheorie von Almen und Laszlo:
F = 4E
1 – ν
2 t4
K1De2 st
h
0
t – st
h
0
t – s2t + 1
R = dFds =
4E1 – ν
2 t3
K1De2
h0
t
2
– 3 h0
t st +
32 ( )st
2
+ 1
K1 = 1π
δ – 1
δ
2
δ + 1δ – 1 –
2lnδ
mit δ = De
Di
K2 =
6π
δ – 1lnδ
– 1
lnδ
K3 =
3π δ – 1lnδ
σI = – 4E
1 – ν 2
t
2
K1De2 st
K2
h
0
t – s2t + K3
absolut grösste Spannung (statische Auslegung)
σII = – 4E
1 – ν 2
t
2
K1De2 st
K2
h
0
t – s2t – K3
grösste Zugspannung (dynamische Auslegung)
σIII = – 4E
1 – ν 2
t
2
K1De2δ st
(K2 – 2K3)
h
0
t – s2t – K
3
grösste Zugspannung (dynamische Auslegung)
σIV = –
4E1 – ν
2 t
2
K1De2δ st
(K2 – 2K3)
h
0
t – s2t + K
3
In der Praxis Auslegung mit Hilfe von F–s–Diagrammen. Konstruktionshinweise
Federsäule D º Di – 1mm
Ungespannte Länge L0 < 3De
Vorspannung bei schwingender Beanspruchung: s1 = 0.15…0.20 h0
Ausnutzungsfaktor optimal für Di
Da = 0.6
Zylindrische Schraubenfeder (Torsion)
Torsionsmoment Mt = FΩD2 Ωcos(α) max: cosα = 1!
Biegemoment MB = FΩD2 Ωsin(α) wird vernachlässigt!
Federrate R = GΩd
4
8nD 3
n: Anzahl Windungen
Federarbeit Wa = 12Fs
Ausnutzungsfaktor ηA = 0.5
Schubspannung τt = Mt
Wt =
8FDπd
3
Belastbarkeit F = 2ΩWtΩτzul
D1k
Federweg s = πΩnΩD
3ΩF4GΩIt
Drahtdurchmesser d = 3
k 8FDπτzul
k: Faktor zur Berücksichtigung der Krümmung
k = 1 + 54dD +
78( )dD
2
+ ( )dD3
τmax = kΩτt
Blocklänge
Länge der Feder, wenn sich die Windungen berühren
LB = (n + 2)d für angelegte und angeschliffene Enden
LB = (n + 3.5)d für angelegte und nicht angeschliffene Enden
Länge der unbelasteten Feder
L0 = LB + Sa + Sn
Sa Mindestabstand zwischen Windungen nach DIN 2095
Sn Einfederung bei höchster Prüfkraft
DINEN13906:
Sa = n( )0.0015 D
2
d + 0.1Ωd für kaltgeformte Federn
Sa = 0.02Ωn(D + d) für warmgeformte Federn
Auslegung bei dynamischer Beanspruchung
Hubspannung τh = 2Ωτa
Lineare Kennlinie: Fob – Fu
Fob =
sob – susob
= τob – τu
τob
Auslegung Fob = FuΩτobτu
sob = shΩτobτu
ττττkh < ττττkH
Die zulässigen Werte τob , τh , σob . σh entnimmt man Dauerfestigkeits–schaubildern!
Entwurfsrichtlinien
Druckfedern
• Meist rechtsgewickelt • Steigung der letzten Wicklung verringern (Knickgefahr) • Federenden um 180° versetzt • Je ¾ Windungen anschleife • Kraft zentrisch • Bei hoher Dauerbeanspruchung: Federstahl mit höchster
Reinheit und bester Oberflächenbeschaffenheit Zugfedern
• Bevorzugen! (keine Knickgefahr) • Kraft Zentrisch • Zugfedern sind meist vorgespannt
Vorteile
• Lineare Kennlinie • Praktisch keine Dämpfung • Grosse Federwege bei begrenzter Bauhöhe möglich • Günstiger Ausnutzungsfaktor • Rechnerisch gut zu erfassen
Knicksicherheit
Lk = L0 – sk
sk = L0
2(1 – G/E)
1 – (1 – G/E)0.5 + G/E Ω
πD
νL0
2
System stabil für s < sk
L0 Federlänge im entspannten Zustand
Dm Mittlerer Windungsdurchmesser
sk Kritische Stauchung
Resonanz
An beiden Enden fest geführte Feder mit winkelbeweglichen Enden:
Resonanzfrequenz fe = 12π
d
nΩD
2 G2Ωρ
Gummifedern
Druckbeanspruchte Gummifeder
Rechnerischer E–Modul Er = kGΩG
Formfaktor kG = f(kf )
Formkennwert kf = Ab
Af
Ab Krafteinleitende Oberfläche
Af freie Oberfläche
Parallelschubfeder
Federrate R = GΩAh
Schubspannung τ = FA
Drehschubfeder (Silentblock)
Federrate R =
4πΩlΩG
1r1
2 – 1ra
2
Verdrehung ϕ = M
4πΩIΩG
1
r12 –
1ra
2
Moment M = ϕΩR Konstruktionshinweise
• Verbindung von Gummi und Metall durch Vulkanisierung • Gummifedern sollen auf Schub und dürfen nicht auf Zug
beansprucht werden • Gummihärte wird in Shore–Härte charakterisiert • E– und G–Modul durch Mischen gut veränderbar • Hohes spezifisches Arbeitsaufnahmevermögen • Sehr guter Isolator gegen Schwingungen und Körperschall • Erwärmung bei schwingender Beanspruchung durch
Dämpfungsarbeit und schlechter Leitfähigkeit • Hohe Kerbempfindlichkeit
Dämpfer
Kinetische Energie Ekin =
12mv
2
Ekin = 12Jω
2
Arbeit W = FΩs
W = Ekin
Arbeitsabfuhr (Wärme) WWärme = W Hub
Stunde
Werkstoffe
Federstähle in vergütetem Zustand:
Federwerkstoffe werden durch hohe Beanspruchungen weitgehend ausgenutzt. Federn reagieren deshalb empfindlich auf Zusatzspannungen und Kerbwirkung. (→ Für einwandfreie Oberfläche sorgen!)
Schraubenverbindungen Funktion einer Schraube:
• Umsetzung einer Dreh– in eine Längsbewegung und umgekehrt • Kraft verstärken (Umfangskraft in grössere Axialkraft
umwandeln) • Kraft erzeugen und speichern
Gewindearten
Flachgängig: Winkel zwischen Erzeugender und Drehachse ist 90° Scharfgängig: Winkel zwischen Erzeugender und Drehachse ist kleiner als 90°, zumeist 60°
k = 0.75Ωd h = 0.8Ωd e º 2d
s = 32 e
Metrisches ISO-Gewinde (Regelgewinde)
d Nenndurchmesser d2 Flankendurchmesser d
2 = d – 0.64953ΩP
d3 Kerndurchmesser d
3 = d – 1.22687ΩP
12 (d2
+ d3) = d
S Durchmesser des Spannungsquerschnitts
β Flankenwinkel P Steigung
Nomenklatur: M20 → d = 20mm , Regelgewinde , P nach DIN 13 M20 ä 1.5 → d = 20mm , Feingewinde , P = 1.5 INA s. 193
Kräfte im Gewinde
tan(α) = Pd2Ωπ
Axialer Einschraubweg:
z = P2Ωπ ϕ
Flachgängiges Gewinde
Normalkraft FN =
Fcosα ¡ µΩsinα
Umfangskraft Fu =
F(sinα ¡ µΩcosα)cosα ± µΩsinα
Mit Reibungswinkel ρ
ρ = arctan(µ)
Fu = FΩtan(α ± ρ)
Vernachlässigung µΩsinα Fu = FΩtan(α ± µ)
Gewindedrehmoment
MT =
FuΩd
2
2 = FΩd
2
2 (tanα ± µ)
MT =
FΩd2
2 (tanα ± ρ)
! Vorzeichen: Oben Heben, unten Senken (±: + für Heben, – für Senken)
Scharfgängiges Gewinde
tan(ρ’) = tan(ρ)cos(β/2)
µ’ = µ
cos(β/2)
Fu = FΩtan(α ± ρ’)
Umfangskraft F
u = FΩtan(α ± µ’)
MT = FΩ
d2
2 tan(α ± ρ’) Drehmoment
MT = FΩ
d2
2 tan(α ± µ’)
Wirkungsgrad und Selbshemmung
Nutzarbeit einer Umdrehung WNutz
= FΩP
Aufgewendete Arbeit Waufgewendet
= FuΩd
2π
Wirkungsgrad η = W
Nutz
Waufgewendet
= FΩP
FuΩd
2π
η = tanα
tan(α + ρ')
Näherung:
η = tanα
µ' + tanα
Selbsthemmung MT ≤ 0 fl tanα ≤ µ’ bzw. α ≤ ρ’
Kräfte in Verschraubungen Modell mit Federelementen
Längenänderung des Bauteils fi = ε
iΩl0i =
σi
Ei l
0i =
FVΩl0i
AiΩE
i
Steifigkeit des Bauteils ci =
FV
fi =
AiΩE
i
l0i
Federsteifigkeit einer Schraube
Modell: In Reihe geschaltete Federelemente
Einteilung in aneinandergereihte Teilzylinder.
Federsteifigkeit Gesamtschraube δS =
1cS = Σ 1c
i = Σ
li
AiΩE
i
Federsteifigkeit einer Hülse
Rötscherkegel: Last wird über einen Kegel verteilt
!! Krafteinleitungsebene beachten !!
Federsteifigkeit Hülse δH =
1cH =
lk
AersΩE
H
(a) Aers =
π4(DA
2 – dh2)
(b) Aers =
π4(dw
2 – dh2) +
π8(DA
– dw)Ωd
wΩ[
3 lKdw
DA2 + 1
2
– 1]
(c) Aers =
π4(dw
2 – dh2) +
π8Ωdw
ΩlkΩ[
3 lKdw
(lK + d
w)2 + 1
2
– 1 ]
Verschraubung unter axialer Betriebslast
Belastungskraft Schraube FBS = nΩΦΦΦΦΩF
B
Belastungskraft Hülse FBH = (1 – nΦΦΦΦ)ΩF
B
Φ = cS
cH + c
S
Zugspannung σzS =
FSges
AS =
FV + F
BS
AS
≤ σzul
Verbleibende Klemmkraft FRest
= FSges
– FB > F
min
Krafteinleitungsebene
Der Ort der Krafteinleitung muss unter Beachtung des Kraftflusses ingenieurmässig abgeschätzt werden.
lk1 = n.l
k
lk2 = (1 – n)Ωl
k
Setzen von Schraubenverbindungen
Vorspannkraftverlust durch Setzung F
Z =
fZ
δS + δ
H
= ΦδH
fZ
Summe aller in der Schraubenverbindung auftretenden plastischen Deformationen.
Vermeidbare Setzvorgänge (richtiges Dimensionieren)
• Fliessen der verspannten Werkstoffe unter Kopf und Mutter • Plast. Verformung der im Eingriff stehenden Gewindegänge • Kriechen mitverspannter Dichtungen • Plastische Längung der Schraube durch unzulässige
Betriebskraft
Unvermeidbare Setzvorgänge Fortschreitendes plastisches Einebnen der Oberflächenrauhigkeit vor allem bei schwellender Betriebslast Setzungen in Trennfugen:
• Kontaktfläche im Gewinde von Schraube zu Mutter • Auflagefläche Schraubenkopf und Mutter • Kontaktflächen zwischen verspannten Teilen
! Setzen führt zu Vorspannkraftverlust
Massnahmen gegen Setzen
• Hohe Vorspannung • Hohe Nachgiebigkeit von Schraube und Hülse • Wenig Kontaktflächen • Sicherheit gegen Flächenpressung
Vorspannkraft und Anzugsmoment
Montagekraft FMmin
= FVerf
+ FBH + F
Z
FMmax
= αAΩ F
Mmin
Anziehfaktor
αA =
FMmax
FMmin
Anzugsmoment MA = M
G + M
K
= F2[d2
(tanα + µ’) + dmkΩµ
K]
Normschraube tanρ’ = 1.155µG (β = 60°)
für Normgewinde MG = F
MΩd2
2 Ω
P
πΩd2
+ 1.155ΩµG
Anzugsmoment für Normgewinde
MA =F
MΩ(0.16P + 0.58µµµµ
Gd2 + 0.5µµµµ
Kdmk)
FMmin
≤ FM ≤ F
Mmax ≤ F
Sp
Zulässiges Montagemoment M
Sp =
FSp
2
P
π +
µGd2
cos(β/2) + µKdkm
Vorgabe Montagemoment M
M = M
Sp 1 + α
A
2αA
Festigkeitsnachweis
Der Festigkeitsnachweis erfolgt in 2 Schritten:
• Festigkeitsbedingung nach erfolgter Montage • Festigkeitsbedingung im Betrieb, für den ersten Belastungsvorgang
Statischer Festigkeitsnachweis nach erfolgter Montage
Festigkeitsbedingung
σvM ≤ νΩR
p0.2
σzM ≤
νΩRp0.2
1 + 3Ω
2Ωd
2
d0Ω
P
πΩd2
+ 1.155ΩµG
2
F
Mmax ≤ F
Sp
FSp =
A0ΩνΩR
p0.2
1 + 3Ω
2Ωd
2
d0Ω
P
πΩd2
+ 1.155ΩµG
2 = A
0ΩνΩR
p0.2Ωk
Für den statischen Festigkeitsnachweis gilt allgemein: ν = 0.9
Statische Festigkeit bei erstmaliger Belastung
Erste Belastung kritisch, weil die Montagevorspannkraft noch nicht durch Setzvorgänge vermindert wurde.
Zusatzspannung aus Betriebslast
σzS =
FBS
A0
Vergleichsspannung
σVmax
= (σzM + σ
zS)2 + 3Ωτ
M2
Bei grosser Vorspannkraft FM → Taylorreihe:
σVmax
º σzM
2 + 3ΩτM2 +
σzM
σzM
2 + 3ΩτM2 Ω σ
zS
σVmax
º σvM + σ
zS ≤ νΩR
p0.2
Dynamischer Festigkeitsnachweis
Dynamische Beanspruchung führt für die meisten Verschraubungen zu Schwankung der Betriebslast zwischen FBo und FBu . Bruch tritt i.d.R. im ersten Gewindegang ein.
Festigkeitsbedingung σa ≤
σA
SD
Ausschlagsspannung σa = nΩΦΩ
FBo – F
Bu
2ΩA3
Mittelspannung σm = σ
vMΩA
0
A3 + nΩΦΩ
FBo – F
Bu
2ΩA3
für Smith–Diagramm
Festigkeitsbedingung σa ≤
σA
SD
Ziel ist, die Schraube soweit vorzuspannen wie irgend möglich, d.h. dass gemäss Dauerfestigkeitsschaubild noch keine Reduktion der Ausschlagspannung infolge Mittelspannung eintritt.
σvMzul
= Rp0.2
– σA
Ausnutzungsgrad
Auslegung querbeanspruchter Schrauben
Kritischste Beanspruchungsart von Schraubenverbindungen ist die Querbeanspruchung!
• Übertragung mittels Formschluss • Übertragung mittels Reibschluss
Formschlüssige Kraftübertragung: Passschrauben / Scherbüchsen
Leibungsdruck σl =
FQ
dΩsΩn ≤ σzul
Scherung τ = F
Q
AΩnΩn ≤ τzul
n Anz. Schrauben m Anz. Schnitte d Passungsdurchmesser A Passungsquerschnitt s Blechdicke
Reibschlüssige Kraftübertragung
Erforderliche Vorspannung FVerf
= F
QΩS
R
µΩn
Sicherheit gegen Durchrutschen: SR ≥ 1.3
! Wenn man keine Passstücke verwendet und FVerf nicht erreicht, wird die Verbindung unweigerlich zerstört
Schraubensicherungen
Eine richtig dimensionierte Schraubverbindung braucht keine Sicherung!
Lösemoment MLos
= –FVmin
d2
2 tan(α) +
F
Vmin d2
2 µG
cos(β/2) + d2
2 µK
Gestaltungsrichtlinien
Wälzlager
Gleitlager
• „Dauerläufer“, hohe Drehzahl und hohe radiale Belastung, (Turbinen, Generatoren)
• Lagerungen mit grossen Schlägen oder stark unruhigem Lauf (Stanzen, Pressen)
• günstigste Lagerungen ohne grosse Ansprüche (Gleitlager mit Fettschmierung)
• Sicherstellung Schmierung Wälzlager
• betriebssichere und wartungsarme Führung mit „normalen“ Anforderungen wie Motoren, Ventilatoren
• Lagerungen mit kleinem Anlaufmoment wie z. B. Drehtürme • Bauraum Grundfunktion: Führung rotierender oder Maschinenteile relativ zu feststehenden bei minimaler Reibung.
Wälzkörper
Beanspruchung durch Hertzsche Pressung.
Funktion
• geführte Drehbewegungen ermöglichen • Kräfte übertragen → viele Wälzkörper • tiefe Rollwiderstände generieren → möglichst grosse Wälzkörper
Material
• Typisch: 100Cr6 (e.g. Kaltarbeitsstahl, auch Wälzlagerstahl) • Vergütungsstahl 44Cr2, 80MoCrV42-16 für höhere Temperaturen • Keramik (Hybrid aus Keramikwälzkörpern und Stahlringen)
Klassifizierung
Hauptbelastungsrichtung Radiallager Nenndruckwinkel 0° – 45° Axiallager Nenndruckwinkel 45° – 90°
Ard der Wälzkörper Kugellager Rollenlager
Lagerdimensionierung Statische Dimensionierung
Statisch äquivalente Belastung (statische Vergleichsbelastung)
P0 = X
0ΩF
r + Y
0ΩF
a
eax =
Fa
Fr
Die Faktoren X0 ,Y0 sind tabellarisch festgehalten in Lagerkatalogen als
f(eax)
C0 ≥ f
SΩP
0
Statische Tragsicherheit fS
Betriebsart Anforderungen Laufruhe fS ≥ 0.7 – 1.0 ruhig gering
fS ≥ 1.0 – 1.5 normal normal
fS ≥ 1.5 – 2.5 stossbelastet hoch
! Genaue Richtlinien im Lagerkatalog des Anbieters Dynamische Dimensionierung
Dynamisch äquivalente Belastung
P = XΩFr + YΩF
a
Lebensdauergleichung
L10 = ( )CP
m
Lh =
106
60Ωn Ω( )CPm
L10 Lebensdauer in Mio. Umdrehungen
(10% Ausfall) Lh Lebensdauer in Stunden C Dynamische Tragzahl (aus Katalog) P Dynamisch äquivalente Belastung p Lebensdauerexponent Rillenkugellager p = 3 Rollenlager p = 10/3 n U/min
Dynamische Tragzahl C = L10
1/pΩP
Zeitlich veränderliche Belastungen und Drehzahlen
Mittlere Belastung Pm =
3
P13Ωn1
nm q1
100 + P23Ωn2
nm q2
100 + …
Mittlere Drehzahl nm = n
1 q1
100 + n2 q2
100 + …
Lineare Schadensakkumulationshypothese Jeder Lasthorizont hat einen Schädigungsanteil, d.h. braucht einen Teil der Lebensdauer auf.
Σ N
i
Li = 1 fl Ausfall (Palmgren–Miner–Regel)
Ni Anzahl Überrollungen auf Lasthorizont i
Li Lebensdauer (Anz. Überrollungen bis Bruch) bei Beanspruchung
alleine auf Lasthorizont i
Li = C
Pi
p
fl Σ Pi
pN
i = C
p → Ausfall
Σ Ni = N = L fl P
m
pL = C
p
Pm
p= Σ P
i
pNi
N fl Pm
p= Σ P
i
pqi für konstante Drehzahl
Pm
p= Σ P
i
pniqi
nm für mittlere Drehzahl
Modifizierte Lebensdauer
Berücksichtigung spezieller Betriebsbedingungen (DIN ISO 281)
Lna = a
1Ωa
2Ωa
3ΩL
10
a1: Lebensdauer bei höheren Überlebenswahrscheinlichkeiten pü
a2: Lebensdauerbeiwert für besondere Werkstoffeigenschaften des Wälzlagers a3: Lebensdauerbeiwert für besondere Betriebsbedingungen Temperatur, Viskosität des Öls, Ölverschmutzung aDIN º a2a3
aDIN
= f
e
cΩC
u
P , κ mit κ = νν1
ec Verschmutzungsbeiwert (Tabelle)
Cu Ermüdungsgrenzbelastung nach Lagertabelle
ν Viskosität bei Betriebstemperatur ν1 Bezugsviskosität nach Nomogramm
Schmiermittel Funktion: Bei zwei Reibpartnern:
• Reibungskräfte vermindern • Erwärmung vermindern • Verschleiss vermindern
• Wärme durch Schmiermitteltransport abführen • Abdichten gegen Eintritt von Fremdstoffen • Korrosionsschutz • Abführen von Verschleissteilchen
Viskosität
τ = ηΩdvdy newtonsches Fluid
η Dynamische Viskosität
ν = ηρ Kinematische Viskosität
Schmierstoffviskosität nach Vogel
η = aΩexp
b
ϑ + 95
η40 = 0.98375Ω10
–6ρ15ΩVG Viskosität bei 40°C
ρ40 = 0.98375Ω10
–6ρ15 Dichte bei 40°C
b = 159.55787Ωln
η40
0.00018
a = η40Ωexp( )– b135
Dichtungen Funktion:
• Übergang von Medien aus einem Raum in einen angrenzenden verhindern
• Eintritt von Staub und Schmutz verhindern Radial–Wellendichtring drucklos
Form A Form AS
Spezifische Radialkraft pL = FR
πΩd
= 0.1 … 0.15 Nmm neu
= 0.03 … 0.05 Nmm nach Einlaufen
Gleitlager
Hydrodynamische Gleitlager
Lagerspiel s = dL – dW
Relatives Lagerspiel Ψ = s dL
Relative Exzentrizität ε = 2Ωes
Spalthöhe (gute Näherung) h(ϕ) = dLΨ
2 (1 + εcos(ϕ))
(1) Zulässige Lagerlast
Mittlerer Druck pm = pL =
FbdW
≤ pzul
(2) Effektives relatives Lagerspiel
Einbaulagerspiel:
sEmax = (dL + ódLo) – (dW + ódWu)
sEmin = (dL + ódLu) – (dW + ódWo)
Betriebslagerspiel (Erwärmung auf Betriebstemperatur)
ósmax = [(dL + ódLo)αL – (dW + ódWu)αW](ϑL – ϑR)
ósmin = [(dL + ódLu)αL – (dW + ódWo)αW](ϑL – ϑR)
sBmax = sEmax + ósmax
sBmin = sEmin + ósmin
ΨB = Ψeff = sBmax + sBmin
2 dL
(3) Effektive dynamische Viskosität nach Vogel (siehe Schmiermittel)
(4) Strömungszustand
Re = ρΩωΩdW(dL – dW)
4ηeff ≤
41.3
Ψeff
Turbulenzbedingung
(5) Minimale Schmierfilmdicke
Sommerfeldzahl So = pmΩΨ
2
ηΩω
Minimale Schmierfilmdicke hmin = h0 = dLΨ
2 (1 + ε)
ε(So) aus Diagramm
(6) Reibmoment und Reibleistung
Petroff Gleichung µΨ =
πSo
für ein zentrisch rotierendes Lager unendlicher Breite
Bezogene Reibungszahl µΨ =
π
So 1 – ε2 +
ε2 sin(β) ! Näherung
β(ε) aus Diagramm
Reibmoment MR = µΩFΩdW2 = µΩpLΩb
dW2
2
Reibleistung PR = MRω
Näherung (mit Petroff) PR = πΨ ηbd
dW2 ω2
(7) Schmierstoffdurchsatz
Schmierstoffdurchsatz .V =
.VD +
.
VpZ
.VD =
dW3ωΨε
4
b
dL – 0.223
b
dL
3
.
VpZ = dL
3Ψ 3pzVpZ*
η
VpZ* aus Tabelle
(8) Sicherheit
Minimale Schmierfilmdicke:
Neue Lager ho zul, o = Σ(Rz + W) + f2 +
qb2
Eingelaufene Lager ho zul, E = ΣRa
Bei Vernachlässigung von Welligkeiten, Durchbiegung und Verkantung:
ho zul, o = 3 RqW2 + RqL
2
ho zul, o minimale Schmierfilmdicke für reine Flüssigkeitsreibung
Rz gemittelte Rauhtiefe (DIN 4768)
W Wellentiefe (DIN 4762) f maximale Durchbiegung der Welle im Lager q Verkantungswinkel im Bogenmass
Gleitgeschwindigkeit beim Übergang Mischreibung–Flüssigkeitsreibung:
Utr = pmΨeff ho zul, o
ηeff 32
1 +
2pmd
Erslho zul, o
2/3
1Ersl
= 12
1 – νW
2
EW +
1 – νL2
EL
Sicherheitsbedingungen
ho zul, o ≥ hmin
Utr ≤ U = ωdW2
Festkörperreibungslager Einsatz bei niedrigen Lasten und Geschwindigkeiten. Geringe Kosten und wartungsfrei.
Mittlere Flächenpressung pm = FN
bdW < pzul
Verschleissbeanspruchung ξ = pv
(pv)zul
Verschleissrate ósót = f(ξ,Material) [µmh ] → Diagramm
Lebensdauergrenze ós < ószul
Wärmebilanz PV = óϑLΩALΩλL
s + óϑWΩAWΩλW
b
óϑL = KLΩ(ϑ – ϑumg)
óϑW = KWΩ(ϑ – ϑumg)
Korrekturfaktoren KLº 0.5 , KW º 0.02
Betriebstemperatur Gleitfläche ϑ =
PV
0.5ΩALΩλLΩs–1 + 0.02ΩAWΩλWΩb
–1 + ϑumg
ϑumg Umgebungstemperatur in °C
PV Reibleistung
AL Fläche Lagerbuchse = dπb
AW Wellenquerschnitt = (π/4)dW2
Entwurfsrichtlinien:
Breite–Durchmeser bdW
= 0.5 … 0.8 … 1.2
Lagerspiel Ψ = d – dWdW
= 0.03 – 0.05
Schmale Lager:
• grösserer Schmierstoffverbrauch • kleinere Lagertemperatur • kleinere Verkantung
Breitere Lager:
grössere Belastung
Zugmittelgetriebe Flachriemengetriebe
Kräfte im Riemen F1 = F1’ + Ff
F2 = F2’ + Ff
Fliehkraft Ff = ρΩv2ΩA
F(ϕ) ≤ F2’e
µϕ + ρΩv2ΩA
Nutzkraft Fn = F1’ – F2’ = F1’(1 – e
–µβ1)
Ausbeute k = 1 – e –µβ
Trumkraftverhältnis m = F1'
F2' = e
µβk
Drehmoment kleine Scheibe Mk = FnΩdk2
Drehmoment grosse Scheibe Mg = FnΩ
dg2
Achskraft Fa = F1’ 2 + F2’
2 – 2 F1’ΩF2’cos(β1)
Geometrische Betrachtung
Trumneigungswinkel α = arcsin
dg – dk
2Ωe
βk = 180° – 2α Umschlingungswinkel
βg = 180° + 2α
Rechnerische Riemenlänge Lwr = 2ecos(α) + π2(dg+dk) +
πα180° (dg–dk)
Vorläufiger Wellenabstand e’ = (0.7…2) (dg + dk)
Wellenabstand e = p + p
2 – q
p = LW
4 – π8(dg + dk)
q = (dg + dk)
2
8
LW Riemenlänge gespannt
Riemenvorspannung
Lasttrum F1 = FV + 1/2ΩFn
Leertrum F2 = FV – 1/2ΩFn
FV Vorspannkraft
Wenn e nicht verstellbar und keine Spannrolle:
Notwendige Riemendehnung óL = Lw0Ωε0 = Lw0 FV
AΩEZ
ε0 relative Riemendehnung
Lw0 Riemenwirklänge im ungespannten Zustand
FV Riemenvorspannkraft
A Riemenquerschnitt EZ E-Modul des Riemens bei Zug
Kinematik des Flachriemens
Dehnschlupf ψ =
v1 – v2 v1
ψ = óLL = ε =
σ1 – σ2
E
L Länge des Lasttrums óL Verkürzung an der treibenden Scheibe
Beanspruchung
Biegespannung σb = EbΩεb = s
s + dΩEb º sdΩEb
Zugspannung aus Fliehkraft σf = Ff
A = ρΩv2
Zugspannung σ1’ = F1'
AΩEy
Maximalspannung σmax = σ1’ + σf + σb
Bei maximaler Leistung vopt =
σzul – EbΩsd
3ρ
Auslegung der Riemenbreite b = PΩc
B
kΩhΩvΩ(σ2zul–σb–σf)
P übertragene Leistung cB Betriebsfaktor
E–Modul Eb = 0.1ΩE
E nach Tabelle: (. bedeutet „Tausenderzeichen“)
Keilriementriebe
Wahl des Frofils und der Scheibendurchmesser
Rechnerische Keilriemenlänge
Lwr = 2ΩeΩcosα +
π2(dg + d
k) +
πΩα180°(dg – dk
)
e Wellenabstand
Bestelllänge Li = L – óL’
Anz. erforderliche Riemen z ≥ PΩCB
PNΩcβΩcL
Winkelfaktor cβ º 1.25Ω(1 – 5–β
k/180°)
Längenfaktor cL º χLΩLWyL
LW Riemenwirklänge
βk Umschlingungswinkel
Vorspannkraft FV = FtB
2
2.5
cβ – 1 + Ff
FtB Berechnungswert der Nutzkraft
Ff Fliehkraft
Wellenbelastung (stillstand) FW = 2ΩFVΩsin(βk/2)
Wellenbelastung (betrieb) FW’ = F
W – F
Wf
= FW – F
fΩ 2(1 – cosβk)
Kettengetriebe
Geschwindigkeit vk = pΩω
2Ωsinα Ω cosα = d1ΩπΩn1
Halber Teilungswinkel α = πz
Ungleichförmigkeit δ = vkmax – vkmin
vkmax = 1 – cosα
Schmierung
v < 4 m/s Handschmierung
4 ≤ v ≤ 7 m/s Tropfschmierung
1 < v ≤ 12 m/s Tauchschmierung
12 m/s < v Druckumlauf– und Sprühschmierung
Maximal zulässige Längung: 3 %
Kettenschwingung
Grundfrequenz der Schwingung fk = 121
FG
ρk
ρk Masse pro Länge
FG Zugkraft in der Kette
Belastungen
Extremale Wellenbelastung F’o,u º FtΩCB + (Fso,u – Ff) 2(1 – cosβ)
Fliehkraft Ff = m’Ωvk2
Nutzkraft Ft =
Pvk
Gesamntkraft in Kette Fges = FtΩ CB + Ff + max(FSO , FSU)
m’ Metergewicht der Kette
Auslegung von Kettengetrieben
(1) Festlegen der Zähnezahl
Anzahl am kleinen Rad z1 : Frei wählen
Anzahl am grossen Rad z2 = z
1Ωi
Leistungsgetriebe 17 ≤ z ≤ 114 Hohe Geschwindigkeit oder stossweise Belastung 25 ≤ z
(2) Auswählen der Kette
Vorläufige Diagrammleistung PD’ = PΩC
BΩfzfk
P zu übertragende Leistung Zähnezahlfaktor fz º (25/z1)
1.12
Kettenartfaktor
fk = 1 Einfachketten
fk = 1.75 Zweifachketten
fk = 2.5 Dreifachketten
Diagrammleistung PD =
PD'
feΩfFΩfnΩfLΩfS
Wellenabstandsfaktor fe º 0.45Ω(e/t)0.215
Kettenformfaktor fF = 1 ohne gekröpfte Glieder
fF = 0.8 gekröpfte Glieder
Kettenradzahlfaktor fn = 0.9
(n – 2) n Anzahl Kettenräder
Lebensdauerfaktor fL º (15000/Lh)
1/3
Lh angestrebte Lebensdauer [h]
Schmierungsfaktor fS
(3) Bestimmen der Kettengliederzahl und des Wellenabstandes
Rechnerische Kettengliederzahl X' = 2
e'p +
z1 + z22 +
pe'
z2 – z1
2π
2
Wellenabstand e = q
1 + q1
2 – q2
e = (30…50)Ωp
Hilfsvariablen q1 =
p4
X –
z1 + z22
q2 = 18( )p
π (z2 – z1)
2
Kettenlänge LK = XΩt
p Teilung X Gewählte Kettengliederzahl e' Vorläufiger Wellenabstand
(4) Ermitteln der Wellenbelastung
Stützkraft auf obere Welle FSO = FG (ξ + sin(ψ))
= m'ΩgΩltΩ(ξ + sin(ψ))
Stützkraft auf untere Welle FSU = FG Ωξ = m'ΩgΩltΩξ
Spezifische Stützkraft ξ = FS
FG
FG Gewichtskraft Leertrum
m' Metergewicht der Kette ψ Neigungswinkel Leertrumsehne lt Trumlänge
FSO Stützkraft am oben liegenden Kettenrad bei geneigtem Lasttrum
Zahnradgetriebe Geometrie
Abstand Tangentialebenen pb = pe = πdbz =
πdz = pcos(α)
Modul m = dz =
pπ
Teilkreisdurchmesser d = mΩz Fusskreisdurchmesser df = d – 2hf
Zahnhöhe h = ha + hf
Zahnkopfhöhe ha = m
Zahnfusshöhe hf = 1.166Ωm (DIN)
Kräfte am Zahn
Torsionsmoment T = Pω =
P2πΩn
Umfangskraft Ft = 2Tdt
Zahnflankenkräfte
Fbt = Ft
cos(αt)
Fbn = Ft
cos(αn)Ωcos(β)
Fa = FtΩtan(β)
Nennumfangskraft wtN = Ft
b
Wirkende Belastung wt = KAΩKνΩwtN
KA Betriebsfaktor
Kν Dynamikfaktor
Kräfte am Zahnfuss
Biegespannung (massgebend) σb =
FbyΩcos(αnF)ΩhFbΩsnF
2
6Ωcos(β)
Druckspannung σd =
FbyΩsin(αnF)
bΩsnFcos(β)
Schubspannung τ =
FbyΩcos(αnF)
bΩsnFcos(β)
σF = wFt
mn YFYβYε
YF =
6ΩhFmn
Ωcos(αnF)
snF
mn
2
cos(αn)
Yε =
σFDmax
σFEmax =
Pet
εαPet
wFt = Ft
b KAKνKFαKFβ
Fby = Ft
cos(αn)Ωcos(β)
Zulässige Zahnfussspannung σF ≤ σFP = σFlim
σFminYSKFX
Sicherheitsfaktor
SF = σFlim
Ft
bΩmn YFYβYε
1 KAKνKFαKFβ
SF ≥ SFmin Yβ Schrägenfaktor: Für Einfluss der Schrägung auf Lastverteilung Yε Lastanteilfaktor: Umrechnung Kraftangriff am Zahnkopf auf den äusseren Einzeleingriff
KFα Stirnlastverteilungsfaktor: Für ungleichmässiges Tragen von zwei im Eingriff befindlichen Zähnen KFβ Breitenlastverteilungsfaktor: Für den Zahnfuss für ungleichmässiges Tragen über der Zahnbreite YS Zahfusskerbfaktor: Berücksichtigt die Ausrundung des Zahnfusses KFX Grössenfaktor: Veränderung der Dauerfestigkeit mit zunehmender Zahngrösse
Zahnflankenbeanspruchung (DIN 3990)
Hertzsche Pressung Wälzpunkt σH = wHt
d1 i + 1i ZHZEZεZβZB
Umfangskraft pro Zahnbreite wHt = Ft
b KAKνKHαKHβ
Breitenverteilungsfaktor KHβ = qmax
qm =
fzfz0
σH = KAKνKHαKHβ
Ft
bd1 i + 1i ZHZEZεZβZB
Materialfaktor ZE =
π
1 – ν1
2
E1 +
1 – ν22
E22
Z
β = cos(β)
Zulässige Hertzsche Pressung σHP =
σHlim
σHmin K
LK
HXZ
RZ
V
Sicherheitsfaktor SH =
σHlim
u + 1u
Ft
bd1 ZHZEZεZβZB
K
LK
HXZ
RZ
V
K1KVKFαKFβ
SH ≥ SHmin
KA Betriebsfaktor/Anwendungsfaktor
Kν Dynamikfaktor (innere Dynamik)
KHα Stirnlastverteilungsfaktor (Einzel/Doppeleingriff)
KHβ Breitenlastverteilungsfaktor
d1 Teilkreisdurchmesser des Antriebsrads fz Zahnpaarverformung qm Mittlere Streckenlast auf Zahnflanke Fβy Wirksame Berührlinienabweichung ZH Zonenfaktor Umrechnung Krümmungen vom Teil– auf
Betriebswälzkreis Zε Überdeckungsfaktor
Zβ Schrägenfaktorwirksame Berührlinienabweichung
ZB Einzeleingriffsfaktor zur Umrechnung der Krümmungen auf den
inneren Einzeleingriffspunkt KL Schmierstofffaktor
KHX Grössenfaktor
ZR Rauhigkeitsfaktor (steigt mit Rauhigkeit)
ZV Geschwindigkeitsfaktor (steigt mit Umfangsgeschwindigkeit)
Getriebe allgemein
Übersetzung i = ωan
ωab =
nannab
Reihenschaltung iges = i1Ωi2Ω … Ωin
Wirkungsgrad η = –PV
Pan =
Pan + PV
Pan
Reihenschaltung ηges = η1Ωη2Ω … Ωηn
Momentenverhältnis µ = –Mab
Man = ηΩi