![Page 1: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/1.jpg)
1Challenge the future
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
College 2
12 september 2016
![Page 2: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/2.jpg)
2Challenge the future
Samenvatting Hoofdstuk 1.1
β’ De som van twee vectoren wordt gegeven door
π + π = π’1 + π£1, π’2 + π£2 .
β’ De scalaire vermenigvuldiging van scalair π met vector π wordt
gegeven door
ππ = π π£1, π£2 = ππ£1, ππ£2 .
β’ Een vector π is een lineaire combinatie van vectoren π1, π2, β¦ , ππals er constanten π1, π2, β¦ , ππ zijn zodat π = π1π1 + π2π2 +β―+
ππππ.
![Page 3: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/3.jpg)
3Challenge the future
Samenvatting Hoofdstuk 1.2
β’ Het inproduct tussen vectoren π en π in βπ wordt gegeven door
π β π = π’1π£1 + π’2π£2 +β―+ π’ππ£π.
β’ De lengte van vector π in βπ wordt gegeven door
π = π β π = π£12 + π£2
2 +β―+ π£π2.
β’ De afstand d(π, π) tussen vectoren π en π in βπ wordt gegeven
door d π, π = π β π .
β’ De hoek π tussen twee niet-nul vectoren π en π in βπ kan worden
berekend doorcos π =
π β π
π π.
![Page 4: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/4.jpg)
4Challenge the future
Programma vandaag
Hoofdstuk 1.2
β’ Orthogonaliteit
β’ Projecties
Hoofdstuk 1.3
β’ Lijnen en vlakken
![Page 5: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/5.jpg)
5Challenge the future
Orthogonaliteit
Definitie
Twee vectoren π en π in βπ zijn orthogonaal als π β π = 0.
De nulvector π is orthogonaal met elke vector π in βπ.
Voorbeeld
Vectoren π = [1,1, β2] en π = [3,1,2] zijn orthogonaal, want
π β π = 3 + 1 β 4 = 0.
![Page 6: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/6.jpg)
6Challenge the future
Stelling van Pythagoras
Stelling
Voor alle vectoren π en π in βπ geldt dat
π + π 2 = π 2 + π 2
dan en slecht dan als π en π orthogonaal zijn.
Bewijs
π + π 2 = π β π + 2 π β π + π β π
= π 2 + 2 π β π + π 2
= π 2 + π 2
![Page 7: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/7.jpg)
7Challenge the future
Projecties
![Page 8: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/8.jpg)
8Challenge the future
Projecties
π = π π,
π =1
βπβπ, π = π cos π = π
π β π
π βπβ
![Page 9: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/9.jpg)
9Challenge the future
Definitie
Als π en π vectoren in βπ zijn en π β π, dan wordt de projectie van
π op π gegeven door
projπ π =π β π
π β ππ.
Projecties
![Page 10: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/10.jpg)
10Challenge the future
β’ Lijnen in β2 en β3
β’ Vlakken in β3
β’ Normaalvorm
β’ Algemene vorm
β’ Parametervoorstelling
β’ Afstand tussen punten, lijnen en vlakken
Hoofdstuk 1.3
![Page 11: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/11.jpg)
11Challenge the future
Lijn β heeft vergelijking 2π₯ + π¦ = 0.
Lijnen in β2
![Page 12: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/12.jpg)
12Challenge the future
Lijn β heeft vergelijking 2π₯ + π¦ = 0.
Normaalvorm
2π₯ + π¦ =21
β π₯π¦ = π β π = 0
met π de normaalvector.
Normaalvorm
![Page 13: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/13.jpg)
13Challenge the future
Lijn β heeft vergelijking 2π₯ + π¦ = 0.
Parametervoorstelling
π₯π¦ =
π‘β2π‘
Parametervoorstelling
![Page 14: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/14.jpg)
14Challenge the future
Lijn β heeft vergelijking 2π₯ + π¦ = 0.
Parametervoorstelling
π₯π¦ =
π‘β2π‘
= π‘1β2
= π‘π
met π de richtingsvector.
Parametervoorstelling
![Page 15: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/15.jpg)
15Challenge the future
Lijn β heeft vergelijking 2π₯ + π¦ = 5.
Lijnen in β2
![Page 16: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/16.jpg)
16Challenge the future
Lijn β heeft vergelijking 2π₯ + π¦ = 5.
Het punt π = (1,3) ligt op lijn β.
Normaalvorm
π β π β π = 0 β π β π = π β π
21
β π₯π¦ =
21
β 13
= 2π₯ + π¦ = 5
Normaalvorm
![Page 17: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/17.jpg)
17Challenge the future
Definitie
De normaalvorm van de vergelijking van lijn β in β2 is
π β π β π = 0 of π β π = π β π
met π een punt op β en π β π een normaalvector voor β.
De algemene vorm van de vergelijking van lijn β is
ππ₯ + ππ¦ = π
met π =ππ
een normaalvector voor β.
Normaalvorm
![Page 18: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/18.jpg)
18Challenge the future
Lijn β heeft vergelijking 2π₯ + π¦ = 5.
Het punt π = (1,3) ligt op lijn β.
Parametervoorstelling
π β π = π‘π β π = π + π‘π
π₯π¦ =
13
+ π‘1β2
π₯ = 1 + π‘ en π¦ = 3 β 2π‘ zijn de
parametrische vergelijkingen met π‘
een parameter.
Parametervoorstelling
![Page 19: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/19.jpg)
19Challenge the future
Definitie
De parametervoorstelling van de vergelijking van lijn β in β2 of β3
is
π = π + π‘π
met π een punt op β en π β π een richtingsvector voor β.
De vergelijkingen die corresponderen met de componenten van de
parametervoorstelling heten de parametrische vergelijkingen van β.
Parametervoorstelling
![Page 20: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/20.jpg)
20Challenge the future
Voorbeeld
Vind een parametervoorstelling van de lijn β in β3 door de punten
π = (β1,5,0) en π = 2,1,1 .
β’ Punt π op lijn β: punt π
β’ Richtingsvector π : vector ππ =3β41
Dit geeft π = π + π‘π =β150
+ π‘3β41
.
Parametervoorstelling
![Page 21: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/21.jpg)
21Challenge the future
Vlakken in β3
![Page 22: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/22.jpg)
22Challenge the future
Vlakken in β3
![Page 23: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/23.jpg)
23Challenge the future
Definitie
De normaalvorm van de vergelijking van een vlak π« in β3 is
π β π β π = π of π β π = π β π
met π een punt op π« en π β π een normaalvector voor π«.
De algemene vorm voor de vergelijking van π« is ππ₯ + ππ¦ + ππ§ = π
met π =πππ
een normaalvector voor π«.
Vlakken in β3
![Page 24: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/24.jpg)
24Challenge the future
Definitie
De normaalvorm van de vergelijking van een vlak π« in β3 is
π β π β π = π of π β π = π β π
met π een punt op π« en π β π een normaalvector voor π«.
Opmerking: parallelle vlakken hebben dezelfde normaalvector(en).
Vlakken in β3
![Page 25: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/25.jpg)
25Challenge the future
Definitie
De parametervoorstelling van de vergelijking een vlak π« in β3 is
π = π + π π + π‘π
met π een punt op π« en π β π en π β π niet parallelle
richtingsvectoren voor π«.
De vergelijkingen die corresponderen met de componenten van de
vectorvorm heten de parametrische vergelijkingen van π«.
Vlakken in β3
![Page 26: WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1homepage.tudelft.nl/v9r7r/WI1808TH1/College 2.pdfWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 2 12 september 2016 Challenge the future 2](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022081407/5f247e799128fe3e6168020d/html5/thumbnails/26.jpg)
Participant LeadersPoints Participant Points Participant
6 13B9C3 5 13BA5D
6 16C32B 5 13BAA1
6 16C348 5 13BAEC
6 18EAEA 5 16C36B
6 18EB91 5 18EA2C
6 1D61C4 5 18EA5B
6 1D624D 5 1D6181
6 62A8D0 5 1D624E
5 13B9BE 5 1D62A9
5 13BA44 4 13B96E