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Conjuntos Conjuntos NuméricosNuméricos
Ao final dessa aula você saberá:
O que é um conjunto e suas representações
Subconjuntos notáveis dos conjuntos N, Z, Q e R.
Tudo sobre o conjunto dos números reais
Representações por intervalo e as operações de união, interseção e conjunto complementar.
O que é conjunto?O que é conjunto?Exemplos:Exemplos:
{ a,b,c,d,e}{ a,b,c,d,e}
{1,2,3,4,5,6,7,8}{1,2,3,4,5,6,7,8}
{laranja, banana, maçã}{laranja, banana, maçã}
É uma coleção de qualquer coisa.
Como Como representamosrepresentamos os os conjuntos?conjuntos?
a) Entre chaves (a) Entre chaves (enumeraçãoenumeração))
A = {0,1,2,3,4,5}A = {0,1,2,3,4,5}
b) Pelo b) Pelo diagramadiagramaA
5.4. 3.2. 1.
0.
O que é conjunto O que é conjunto vaziovazio??É um conjunto É um conjunto sem elementossem elementos..
Como Como representamosrepresentamos o o conjunto vazioconjunto vazio??
O que é conjunto O que é conjunto unitáriounitário??
É o conjunto que É o conjunto que sósó apresenta apresenta umum elementoelemento..
Exemplos:Exemplos: A = {3}A = {3}
BB. 19
Atenção! O conjunto { } é um conjunto
unitário.
O que é O que é subconjuntosubconjunto??
É um É um conjuntoconjunto que está que está contidocontido em em outrooutro..
Exemplo: A = {t,u,v,x,z} e B = Exemplo: A = {t,u,v,x,z} e B = {u,v,x} , então B é um subconjunto {u,v,x} , então B é um subconjunto de Ade A O conjunto vazio é
subconjunto de qualquer conjunto.
Todo conjunto é subconjunto dele mesmo.
Como calculamos a Como calculamos a quantidadequantidade de de subconjuntossubconjuntos
de um conjunto? de um conjunto? Basta efetuar a conta o Basta efetuar a conta o 22nn, sendo , sendo nn igualigual
a a quantidade quantidade de de elementoselementos do do conjunto.conjunto.
Exemplo: Sendo A = {6,7,8,9}, então Exemplo: Sendo A = {6,7,8,9}, então o número de subconjuntos de A é:o número de subconjuntos de A é:
22nn = 2 = 244 = 16 subconjuntos. = 16 subconjuntos.
Qual é a representação do Qual é a representação do conjuntoconjunto dos dos números números
naturaisnaturais??N = {0,1,2,3,4,5,...}N = {0,1,2,3,4,5,...}
Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
E a representação do E a representação do conjunto conjunto dos dos números números
inteirosinteiros??
O conjunto N é um subconjunto de Z.
Quais são os Quais são os subconjuntos notáveissubconjuntos notáveis de de ZZ??
,...3,2,1,1,2,3...,*
* é o conjunto dos números inteiros sem o zero.
é o conjunto dos números inteiros não-negativos. ,...3,2,1,0
é o conjunto dos números inteiros não-positivos. 0,1,2,3...,
* é o conjunto dos números inteiros
positivos. ,...3,2,1* * é o conjunto dos números inteiros
negativos. 1,2,3...,*_
E o conjunto dos E o conjunto dos números números racionaisracionais??
É o conjunto dos números que É o conjunto dos números que podempodem
ser escritos sob forma de ser escritos sob forma de fraçãofração..
É representado por É representado por QQ e também e também incluiinclui
as as dízimasdízimas..
Os conjuntos N e Z são
subconjuntos de Q.N
Z
Q
Você já percebeu que:Você já percebeu que:
Entre Entre dois números dois números inteirosinteiros existem existem infinitosinfinitos
números números racionaisracionais??43
initosinf
;...999,3;...;00001,3...;
O conjunto Q também apresenta os subconjuntos
notáveis:** ,,*, QeQQQQ
Quais os Quais os elementoselementos do do conjunto dos números conjunto dos números
irracionaisirracionais??São números São números decimais infinitosdecimais infinitos, que , que nãonão
são são periódicosperiódicos. É representado por . É representado por II..
Exemplos:Exemplos:
N Z
QI
...414213,12 ...1416,3
0,1234...0,1234...
O conjunto R também
apresenta os subconjuntos
notáveis!
E o conjunto dos números E o conjunto dos números reaisreais??
É a É a uniãounião do conjunto do conjunto QQ com o com o conjunto conjunto II..
N
Z
Q
R
I
A reta numérica, agora, é chamada de reta real!
O que é O que é intervalointervalo??É a É a representaçãorepresentação de alguns de alguns subconjuntossubconjuntos
de Rde R, determinados por uma , determinados por uma desigualdadedesigualdade..
Exemplos:Exemplos:
I) Números reais maiores que -1 e I) Números reais maiores que -1 e menores que 4, ou seja, menores que 4, ou seja,
Representação por intervalo:Representação por intervalo:
[1,4][1,4]
-1 4
}41/{ xRx
II)II)
III)III)
IV)IV)
V)V)
VI) VI)
2,121/ xRxB
1 2
C x R / 2x 0 2,0 -2 0
3,333/ xRxD
-3 3
,11/ xRxE1
5,5/ xRxF
5
Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!Analise a reta abaixo e faça o que se Analise a reta abaixo e faça o que se
pede:pede:
a) Escreva o subconjunto de A formadoa) Escreva o subconjunto de A formado
pelos números inteiros.pelos números inteiros.
b) Escreva o subconjunto de A formadob) Escreva o subconjunto de A formado
pelos números naturais.pelos números naturais.
c) Quantos elementos tem o c) Quantos elementos tem o
conjunto A?conjunto A?
-2,6 6
SoluçãoSolução
a) {-2,-1,0,1,2,3,4,5}a) {-2,-1,0,1,2,3,4,5}
b) {0,1,2,3,4,5}b) {0,1,2,3,4,5}
c) Infinitos.c) Infinitos.
Que Que símbolossímbolos usamos para usamos para relacionar um relacionar um elementoelemento
com um com um conjuntoconjunto?? pertence ou não-pertencepertence ou não-pertence
Exemplos: Exemplos: Sendo o conjunto A = {a,b,c}, Sendo o conjunto A = {a,b,c}, podemospodemos
dizer que:dizer que:
aa A A c Ac A d Ad A
Que Que símbolossímbolos usamos para usamos para relacionar um relacionar um conjuntoconjunto com com
outrooutro conjuntoconjunto?? ContémContém
Não contémNão contém
Está contidoEstá contido
Não está contidoNão está contido
Se liga!Contém começa
com c, mas quem fica com ele é o
está contido.
Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!
Quais afirmativas são verdadeiras?Quais afirmativas são verdadeiras?
Ze
QNd
QZc
Qb
Qa
3
2)
*)
)
...2555,0)
25,0)
Respostas:A, D e E.
O que é O que é uniãounião de de conjuntos?conjuntos?
É a É a soma soma de conjuntos. É de conjuntos. É indicada peloindicada pelo
símbolo símbolo UU..
Exemplos:Exemplos:
I) Sendo A = {3,4,5} e B = {5,6,7}.I) Sendo A = {3,4,5} e B = {5,6,7}.
A U B = {3,4,5,6,7}A U B = {3,4,5,6,7}
II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4]. II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4].
BB
AA
A U BA U B
-5 6
-6 4
-6 6
66/
6,6
xRxAUB
AUB
O que é O que é interseçãointerseção de de conjuntos?conjuntos?
É o subconjunto que representa É o subconjunto que representa todos ostodos os
elementoselementos que que pertencempertencem a todos osa todos os
conjuntosconjuntos dados. dados.
Exemplos:Exemplos:
I) A = conjunto dos números naturaisI) A = conjunto dos números naturais
B = conjunto dos números inteiros B = conjunto dos números inteiros ABA
BA
II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4]. Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4].
-5 6AA
-6 4BB
4,5BA
45/ xRxBA
-5 4
Tente fazer sozinho!Tente fazer sozinho!(UFS-SE) Considere os conjuntos:(UFS-SE) Considere os conjuntos:
Para analisar as afirmações que se Para analisar as afirmações que se seguem:seguem:
42/
351/
6431/
xRxC
xexRxB
xouxRxA
3,2)
]6,1[)
)
CAc
BAb
CBa
BB
CA
A U BA U B
CC
AA
Solução
3 51
2 4
1 6
1 63 4
2 43
3,2)
]6,1[)
)
CAc
BAb
CBa
VV
FF
FF
Como representamos a diferença entre conjuntos?
Excluindo do primeiro todos os elementos
do segundo.
Exemplos:
I) Sendo A = {0,1,2,3,4,5,...} e B = {20,21,22}.
A – B={0,1,2,3,...,19} U {23,24,...} Ou A – B = N - B
A -BA -B
II) Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4]. Sendo A = ]-5,6[ e B = ]-6,4].
-5 6AA
-6 4BB
4 6
64/
6,4
xRxBA
BA
O que é conjunto complementar?
É a diferença entre um conjunto e umsubconjunto dele.
Exemplos:I) Sendo A = {0,1,2} e B = {2}.
CAB = {0,1}
Pode ser representado pelos seguintes símbolos:
BAouC BA
CCAABB
BB
AA
II) Sendo A = [-1,4] e B = ]0,2[.
-1 4
0 2
6201/
6,20,1
xouxRxC
CBA
BA
O complemento de um conjunto A é a diferença entre o conjunto
Universo e o conjunto A. É indicado pelos seguintes símbolos:
AAUAC AU ,,',
2 60-1
Tente fazer sozinho!1) (UFPI) Considerando os conjuntos A, B
e C na figura abaixo, a região pintada representa:
)()
)()
)()
)()
)()
CABe
CABd
CABc
CABb
CABa
a) b)
c) d)
Resposta: E
Solução
1/)
3/)
11/)
01/)
01/)
:)(
,0/
31/
,1/
))(2
xRxe
xRxd
xRxc
xRxb
xRxa
éCBArepresentaqueconjuntooentão
xRxC
exRxB
xRxASe
RJCesgranrio
Solução
-1 3BB
0CC
AA1
CBA )(-1 0
-1 1BA
Resposta: A
3) Numa pesquisa de mercado, foram entrevistados consumidores sobre suas preferências em relação aos produtos A e B. Os resultados da pesquisa indicaram que:
• 310 pessoas compraram o produto A• 220 pessoas compraram o produto B• 110 pessoas compraram os produtos A e B• 510 pessoas não compraram nenhum dos
dois
Indique o número de consumidores entrevistados, dividido por 10.
Solução
110 110200 510
200 + 110 + 110 + 510 = 930
930 : 10 = 93
A B