Wykład IV i V
• Definicja wielomianów ortogonalnych,
• Waga i jej własności,
• Własności wielomianów ortogonalnych,
• Równania różniczkowe dla wielomianów
ortogonalnych,
• Wzór Rodriguesa,
• Normy wielomianów ortogonalnych,
• Związki rekurencyjne dla wielomianów
ortogonalnych,
• Funkcje tworzące dla wielomianów ortogonalnych.
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Definicja
( ) ( ) ,,0,1 ++= − xaxbxaxQ n
n
n
n
nn
( )
( ) ,
, nn
n
ba
xQ - wielomian stopnia n
- współczynniki przy najwyższych potęgach zmiennej x
- dziedzina wielomianu
Ortogonalność
( ) ( ) ( ) mnmnmn dxxQxQxQQ ,)(,
)(x - waga
• Ortogonalność zachodzi w sensie iloczynu skalarnego z wagą,
• Waga oraz dziedzina całkowicie definiują rodziny wielomianów
ortogonalnych,
• Wielomiany nie są unormowane w sensie iloczynu skalarnego z wagą.
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Wielomiany ortogonalne są użyteczne w wielu
dziedzinach fizyki, np. elektrodynamice, teorii pola,
mechanice kwantowej (oscylator harmoniczny, atom
wodoru…), optyce i in. Jest to kilka rodzin
wielomianów (wielomiany Legendre’a, Hermite’a,
Laguerre’a i in.), takich że wielomiany różnych
stopni, należące do jednej rodziny, są ortogonalne w
sensie przedstawionym poniżej
Ogólna definicja iloczynu
skalarnego z wagą
Własności wagi
• Znikanie wyrażenia B na krańcach dziedziny,
• Pochodna logarytmiczna wagi,
( ) ( ) ( ) 01
2
201 ,,)(
)(ln BxBxBxBAxAxA
xB
xA++=+==
=
( ) ( ) ( ) ( ) 0== BB
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Wagi są różne dla różnych rodzin wielomianów, ale
mają pewne wspólne własności. Np. pochodna
logarytmiczna wagi zawsze daje się zapisać jako
funkcja wymierna (iloraz wielomianów 1. i 2. stopnia,
których współczynniki zależą od rodziny
wielomianów)
Nazwa Symbol WagaDziedzina ( ) , ),(x
Legendre’a ( )xPn ( )1,1−21)(,0)(
1)(
xxBxA
x
−==
=
)(),( xBxA
Hermite’a
Laguerre’a
Czebyszewa
( )xH n
( )xLn
( )xTn
( )+− ,
( ),0
( )1,1−
1)(,2)(
)(2
=−=
= −
xBxxA
ex x
xxBxxA
exx x
=−=
−= −
)(,)(
1,)(
( )2
212
1)(,)(
1)(
xxBxxA
xx
−==
−=−
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
• Rodzaje wielomianów ortogonalnych
(umownie)
Własności wielomianów ortogonalnych
• Zbiór wielomianów ortogonalnych danego typu stopnia stanowi
bazę w przestrzeni wielomianów stopnia nie większego niż ,
określonych na przedziale
Nn
N
( ) ,
Wniosek: każdą potęgę można przedstawić jako kombinację liniową
wielomianów
kx
kQQQ ,, 10
• Wielomian jest ortogonalny do wszystkich potęg nQ ,, nkxk
( ) 1,2,1,0,0, −== nkQx n
k
• Wielomian ma n różnych pierwiastków rzeczywistych,nQ
( ) ( )( ) ( )nnn xxxxxxaxQ −−−= 21
• Wielomiany można uzyskać z potęg w wyniku
ortogonalizacji Grama-Schmidta nQ ,2,1,0, =kxk
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Ortogonalność zachodzi w sensie iloczynu skalarnego z wagą (por. definicja
ortogonalności wielomianów powyżej). Dowód: 𝑥𝑘 jest kombinacją liniową
wielomianów 𝑄0, 𝑄1, … , 𝑄𝑘, 𝑘 < 𝑛, które wszystkie są ortogonalne do 𝑄𝑛.
Dowód na następnym slajdzie
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Równania różniczkowe dla wielomianów ortogonalnych
Można wykazać, że
( ) const,,0, === n
k QVnkxV
( ) nnn QQBQBAxV =++=)(
Porównując współczynniki przy najwyższej potędze równościnx
uzyskuje się, że
( ) 21 1 BnAn ++=
Podstawiając wyrażenia na A, B, uzyskuje się równania różniczkowe na
poszczególne typy wielomianów
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
( ) ( ) nnn QBQBAQBxV ++=
=
1)(
Zdefiniujmy wielomian V(x) stopnia n
Dowód na następnym slajdzie. Skoro 𝑉(𝑥) jest ortogonalne
do wszystkich potęg 𝑥𝑘, 𝑘 < 𝑛 to jest proporcjonalne do
𝑄𝑛, gdzie γ – współczynnik proporcjonalności
Dowód na następnym slajdzie
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
• Wielomiany Legendre’a nP
( ) ( ) 0121 2 =++−− nnn PnnPxPx
• Wielomiany Hermite’a nH
022 =+− nnn nHHxH
• Wielomiany Laguerre’a nL
( ) 01 =++−+ nnn nLLxLx
• Wielomiany Czebyszewa nT
( ) 01 22 =+−− nnn TnTxTx
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Równania różniczkowe dla poszczególnych typów wielomianów
Wzór Rodriguesa
( ) ( ) ( )( )nn
nn BxQxQ
1~=
Ogólniej, można wykazać że
( )( )
k
knkn WBB −=
1
kW - wielomian stopnia k, spełniający związek rekurencyjny
( ) nnkkk QWWWBknAWBW~
,1, 01 ==−++=+
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Dowód na następnym slajdzie
Przy pomocy wzoru Rodriguesa można wyznaczyć wielomiany ෨𝑄𝑛 proporcjonalne
do właściwych wielomianów ortogonalnych 𝑄𝑛. Stałe proporcjonalności 𝑓𝑛 takie że
𝑄𝑛 = 𝑓𝑣 ෨𝑄𝑛 są umowne i zostaną podane w dalszej części wykładu. Ważne jest, że
przy pomocy wzoru Rodriguesa każdy wielomian ortogonalny można wyznaczyć
wyłącznie za pomocą wagi i jej pochodnych.
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
++= −1m
m
m
mm xxwW
- współczynniki przy najwyższych potęgach zmiennej xmmw ,
Posługując się tym związkiem, można określićDla 𝑚 = 𝑛 współczynniki 𝑤𝑛, 𝑣𝑛pokrywają się ze współczynnikami przy
najwyższych potęgach wielomianu ෨𝑄𝑛
• Wielomiany Legendre’a nP
( ) ( ) ( )( )
0,!
!21,21 2
1 =−=−−−=+ n
n
nkkkn
nwWknxWxW
• Wielomiany Hermite’a nH
• Wielomiany Laguerre’a nL
( ) 0,2,21 =−=−=+ n
n
nkkk wxWWW
( ) ( ) ( ) ( ) +−=−=−+−+=−
+ nnwWknxWxWn
n
n
nkkk
1
1 1,1,
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Współczynniki wyznacza się analogicznie jak w przykładzie na poprzedniej transparencji. Dla wielomianów Czebyszewa – por. skrypt
do ćwiczeń z rozwiązaniami
Sprawdzenie warunku ortogonalności.
Wykonując k-krotnie całkowanie przez części, otrzymujemy
( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( )
( )
nn
kn
kk
knnknnk
nnk
n
knnknnk
nnk
n
k
nkWBk
BkdxBxk
dxBxkBWxdxBxkBx
dxBxQx
=−
=−==−
=−=−
==
−−
+
−−−−
−−
−
−−−
~
,0!1
!1
~,
1
1
111
11
1
111
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Korzystamy ze związku 𝜌𝐵𝑛 (𝑘) = 𝜌𝐵𝑛−𝑘𝑊𝑘 ⇒𝜌𝐵𝑛 (𝑛−1) = 𝜌𝐵𝑊𝑛−1, itd, oraz z właściwości wagi
𝜌 𝛼 𝐵 𝛼 = 𝜌 𝛽 𝐵 𝛽 = 0.
Zauważmy, że ostatniej całki nie można wykonać dla 𝑘 = 𝑛,
więc uzyskany wynik jest prawdziwy dla 𝑘 < 𝑛. Skoro
wielomian ෨𝑄𝑛 jest ortogonalny do wszystkich potęg 𝑥𝑘, 𝑘 <𝑛, to jest proporcjonalny do wielomianu ortogonalnego
𝑄𝑛który ma tę własność.
Ostateczna postać wzoru Rodriguesa ( ) ( )xQfxQ nnn
~=
• Wielomiany Legendre’a nP
( ) ( ) ( ) ( )( )
0,!2
!2,1
!2
1~
!2
12
)(2 ==−
−=
−= nnn
nn
n
n
nn
n
n bn
nax
nP
nP
• Wielomiany Hermite’a nH
• Wielomiany Laguerre’a nL
( )( )( ) ( ) ( ) +−=−===
−−+− nnbaexexLLn
n
n
n
nxnx
nn
11,1,
~
• Wielomiany Czebyszewa nT
( )( )( )
( )( )( )
( ) ( ) ( )0,1,11
!12
!11
~
!12
!11
212212 ==−−−
−−=
−
−−=
−
nn
nnn
n
n
n baxxn
nT
n
nT
( ) ( ) ( )( )0,2,1
~1
22
==−=−= −
n
n
n
nxxn
n
n
n baeeHH
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Współczynniki 𝑓𝑛 dla poszczególnych wielomianów
są umowne i wynikają z wcześniejszej tradycji
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Przykładowe wielomiany Lagrange’a Pn, n=3,6
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Przykładowe wielomiany Hermite’a Hn, n=4,5
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Przykładowe wielomiany Laguerre’a Ln, n=5 dla różnych wag
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Przykładowe wielomiany Czebyszewa Tn, n=3,6
Normy wielomianów ortogonalnych
( ) ( ) ( ) ( )( )
==++== −
dxBxfaQxaQxbxaQQQnnn
nnn
n
nn
n
n
n
nnnn ,,, 12
Wykonując k-krotnie całkowanie przez części, otrzymujemy
( ) −=
dxBfanQ n
nn
n
n !12
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Korzystamy z faktu, że wielomian 𝑄𝑛 jest
ortogonalny do wszystkich potęg 𝑥𝑘, 𝑘 < 𝑛.
• Wielomiany Legendre’a nP
( )( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) 12
2
22
112
!2
!21
!2
1
!2
!2!1 12
22
1
1
2
2
2
+=
+
++=−
−−= +
−
nn
nn
n
ndxx
nn
nnP n
n
n
n
n
n
n
n
• Wielomiany Hermite’a nH
• Wielomiany Laguerre’anL
( )1!!0
2++=
+− nndxxenL nx
n
• Wielomiany Czebyszewa nT
3,2,1,2
,12
22
0 ===−
nTTnn
( ) ( ) !212!122
ndxenH nxnnn
n =−−=
−
−
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Prosta całka z rozkładu Gaussa
Wprost z definicji funkcji
gamma Eulera
Obliczenie podobne jak dla
wielomianów Legendre’a
Związki rekurencyjne dla wielomianów ortogonalnych
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
( )jn
j
jnnnnnnn QxQQ
cQcQcQcxQ ,1
,21111 =++= −−++
2
1
2
11
1
1
1
1
−
−−
+
+
+
+
=
−=
=
n
n
n
nn
n
n
n
nn
n
nn
Q
Q
a
ac
a
b
a
bc
a
ac
Są to związki pomiędzy wielomianami stopni n, n+1, n-1, obowiązujące dla wszystkich klas wielomianów. Umożliwiają one obliczanie
całek, zawierających iloczyny wielomianów różnych stopni (przy skorzystaniu z relacji ortogonalności dla wielomianów).
Wyprowadzenie i przykłady obliczania ww. całek na następnych transparencjach.
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
• Wielomiany Legendre’anP
111212
1−+
++
+
+= nnn P
n
nP
n
nxP
• Wielomiany Hermite’anH
• Wielomiany Laguerre’anL ( ) ( ) 11 12 −+ +−+++−= nnnn LnnLnLxL
• Wielomiany Czebyszewa nT
3,2,1,4
1;1,
4
1
4
1110021 =+==++= −+ nTTxTTTTxT nnn
112
1−+ += nnn nHHxH
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Związki rekurencyjne dla poszczególnych typów wielomianów ortogonalnych
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Funkcje tworzące dla wielomianów ortogonalnych
( )( )
=
=0 !
~
,n
nn wn
xQwx
Ze wzoru Rodriguesa ( )( )
( ) ( )
=
=0 !
1,
n
n
n
nn
xBxdx
d
n
w
xwx
Ze wzoru całkowego
Cauchy’ego ( ) ( )( ) ( )
−
=C
nn Cxxdz
xz
zBz
ixBx Int,
2
1
( )
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) −−
=−−
=
−
=−
=
+
Cnn
nn
C
nn
n
zwBxz
dzz
xidz
xz
zBw
xz
z
xiwx
xz
n
xzdx
d
1
2
11
2
1,
!1
0
1
Wielomian stopnia 2 w mianowniku ma dwa pierwiastki (bieguny rzędu 1)
( )( )
( )( )zBw
z
xwx
Czz
Czxz
w
w
−=
→
→
→
→
1
1,
Int
Int1
20
2
10
1
Z metody residuów
To jest równość formalna, ułatwiająca dalsze obliczenia. C jest
dowolną krzywą zawierającą punkt x, funkcja podcałkowa ma
biegun 1. rzędu w z=x.
Funkcja podcałkowa jest sumą
szeregu geometrycznego o
ilorazie Τ𝑤𝐵 𝑧 − 𝑥
Tych własności pierwiastków 𝑧1, 𝑧2 nie
da się ogólnie pokazać, po prostu tak
zawsze wychodzi
Funkcje tworzące są powszechnie używane w wielu działach
matematyki. Funkcję tworzącą dla wielomianów ortogonalnych można
traktować jak „szereg Taylora” dla małych wartości w, którego
współczynnikami są wielomiany ෪𝑄𝑛
1
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
• Wielomiany Legendre’a nP
( ) ( ) ( )2
02
0 21
1,
441
1~
!,
+−=
++==
=
= xxP
wwxxP
n
wwx
n
n
n
n
n
n
• Wielomiany Hermite’a nH
• Wielomiany Laguerre’anL
• Wielomiany Czebyszewa nT
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
( ) ( ) ( ) x
n
n
n
wxw
n
n
n
en
xHexHn
wwx 2
0
2
0
22
!,
~
!, +−
=
−−
=
===
( )( )
w
wx
n
n
n ewn
wxL −
−
+
= −= 1
10 1
1
!
( )2
2
0 44
4
wwx
wwxT
n
n
n+−
−=
=
Tej funkcji tworzącej nie da się uzyskać z ogólnego wzoru (metoda: patrz
skrypt do ćwiczeń z rozwiązaniami). Funkcja tworząca dla ෨𝑇𝑛uzyskiwana ze
wzoru ogólnego jest bardzo skomplikowana i niepraktyczna
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne
Metody matematyczne fizyki. Wykład IV i V Wielomiany ortogonalne