Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 1
Wykład 19
Indukcja elektromagnetyczna. Prawa Maxwella.
19.1 Zjawisko indukcji elektromagnetycznej (doświadczenia Faradaya).
W poprzednim wykładzie omawialiśmy zjawisko powstawania pola magnetycznego wokół
przewodnika z prądem. A czy istnieje zjawisko odwrotne? Istnienie związku między polem
magnetycznym i prądem doprowadziło do szeregu prób wzbudzenia prądu za pomocą pola
magnetycznego. Zadanie to, zostało doskonale wykonane przez angielskiego fizyka M. Faradaya w
1831 roku. Odkrył on zjawisko indukcji elektromagnetycznej, polegające na tym, że w zamkniętym
c)
Rysunek 19.1
b) a)
Magnes porusza
się względem
cewki
Druga cewka porusza
się względem
pierwszej
Prąd powstaje w
nieruchomej cewce
Prąd powstaje w
nieruchomej cewce
Druga cewka pozostaje w spoczynku względem
pierwszej
Prąd powstaje w nieruchomej
cewce tylko wtedy, gdy zmienia
się prąd w cewce zewnętrznej.
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 2
obwodzie, podczas zmian strumienia magnetycznego obejmującego ten obwód, powstaje prąd
elektryczny zwany prądem indukcyjnym.
Rozpatrzmy klasyczne doświadczenia Faradaya, w których odkrył on zjawisko indukcji
elektromagnetycznej.
1 doświadczenie (Rysunek 19.1a,b). Jeżeli do solenoidu włączonego do obwodu z
galwanometrem wprowadzad magnes (b) cewkę), to podczas jego wprowadzania lub wyciągania
obserwuje się wychylenie strzałki galwanometru (powstaje prąd indukcyjny), raz w jedną, raz w
drugą stronę. Wychylenie strzałki galwanometru jest tym większe im większa jest szybkośd
poruszającego się magnesu. Po zmianie biegunów magnesu strzałka wychyla się w przeciwną
stronę.
2 doświadczenie (Rysunek 19.1c). Kooce jednej z cewek podłączone są do galwanometru,
cewki są wstawione jedna w drugą i przez drugą płynie prąd. Wychylenie strzałki obserwuje się w
chwili włączania i wyłączania prądu lub podczas przemieszczania cewek względem siebie. (Rysunek
19.1c). Odchylenia strzałki podczas włączania i wyłączania również są przeciwne.
Uogólniając rezultaty swoich doświadczeo Faraday doszedł do wniosku, że prąd indukcyjny
powstaje zawsze wtedy, gdy zmienia się strumieo indukcji
magnetycznej. Ustalił on również, że wielkośd prądu indukcyjnego
nie zależy od sposobu, w jaki zmieniany jest strumieo indukcji
magnetycznej, a zależy jedynie od szybkości jego zmian.
19.2 Prawo Faradaya. Strumieo pola magnetycznego.
Faraday ustalił, że za każdym razem, gdy zmienia się strumieo
indukcji, powstaje w obwodzie siła elektromotoryczna zwana siłą
elektromotoryczną indukcji. Wielkośd tej SEM określona jest tylko szybkością zmian strumienia
magnetycznego:
ℇ𝑖~𝑑ΦB
𝑑𝑡 19.1
Przypomnijmy sobie określenie strumienia. Wybierzmy nieskooczenie mały element
powierzchni 𝐝𝐀 i niech indukcja pola magnetycznego na tym elemencie wynosi 𝐁 (Rysunek 19.2).
Wtedy strumieo pola magnetycznego przez element 𝑑𝐴 jest równy:
𝑑ΦB = B ∙ dA = 𝐵⊥𝑑𝐴 = 𝐵𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠𝜙
Rysunek 19.2
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 3
gdzie 𝐵⊥ jest składową pola magnetycznego 𝐵 w kierunku prostopadłym do pola powierzchni 𝐝𝐀 ,
ϕ jest kątem między 𝐁 i 𝐝𝐀 . Całkowity strumieo pola magnetycznego ΦB przez skooczoną
powierzchnię A znajdziemy całkując po tej powierzchni:
Φ𝐵 = B ∙ dA = 𝐵𝑑𝐴𝑐𝑜𝑠𝜙 19.2
Znak strumienia indukcji magnetycznej zależy od wyboru dodatniej normalnej do powierzchni
konturu. Z kolei kierunek dodatni normalnej związany jest z prądem regułą śruby prawoskrętnej.
W rezultacie wybierając dowolnie dodatni kierunek normalnej, określamy zarówno znak
strumienia jak i kierunek prądu i SEM w obwodzie. Korzystając z tych wniosków Faradaya, Maxwell
podał prawo indukcji (zwane prawem Faradaya):
Bez względu, jaka jest przyczyna zmian strumienia indukcji magnetycznej przechodzącego
przez zamknięty obwód, siła elektromotoryczna powstająca w tym obwodzie wyraża się wzorem:
ℇ𝐢 = −𝐝𝚽
𝐝𝐭 19.2
Prawo Faradaya.
Kierunek indukowanej SEM
indukcji.
Możemy znaleźd kierunek
indukowanej SEM lub prądu
stosując 19.2 razem z paroma
prostymi zasadami dotyczącymi
znaku. A mianowicie:
1. Określamy dodatni kierunek
wektora powierzchni 𝐀 .
2. Znając zwroty 𝐀 i 𝐁 określamy
znak strumienia pola
magnetycznego ΦB. Rysunek
19.3 przedstawia kilka
przykładów.
3. Określamy znak indukowanej
SEM i prądu. Jeżeli strumieo
Rysunek 19.3
Strumień dodatni (ΦB > 0)
Strumień staje się bardziej dodatni (dΦB/dt > 0)
SEM indukcji ujemna (E < 0)
Strumień dodatni (ΦB > 0)
Strumień staje się mniej dodatni (dΦB/dt < 0)
SEM indukcji ujemna (E > 0)
Strumień ujemny (ΦB < 0)
Strumień staje się bardziej ujemny (dΦB/dt < 0)
SEM indukcji dodatnia (E > 0)
Strumień ujemny (ΦB < 0)
Strumień staje się mniej ujemny (dΦB/dt > 0)
SEM indukcji ujemna (E < 0)
(a) (b)
(c) (d)
𝑩
𝑩
𝑩 𝑩
(Wzrasta)
(Wzrasta) (Maleje)
(Maleje)
E
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 4
zwiększa się, czyli wartośd dΦB/dt jest dodatnia, wtedy wartośd Ei lub prądu jest ujemna, jeżeli
strumieo maleje, wtedy wartośd dΦB/dt jest ujemna, a wartośd Ei lub prądu jest dodatnia.
4. Na koocu określmy kierunek indukowanej SEM lub prądu stosując regułę prawej dłoni.
Zegnijmy palce prawej dłoni wokół wektora 𝐀 , tak aby kciuk wskazywał jego zwrot. Jeżeli siła
elektromotoryczna indukcji Ei lub prąd są dodatnie, to mają ten sam kierunek co nasze zagięte
palce; jeżeli siła elektromotoryczna indukcji Ei lub prąd są ujemne, to mają kierunek przeciwny
do naszych zagiętych palców.
Podsumowując: znak minus wskazuje, że zwiększenie strumienia (𝑑Φ
𝑑𝑡> 0) powoduje powstanie
SEM indukcji Ei < 0 tzn. powstające dodatkowe pole magnetyczne wywołane prądem indukcyjnym
jest skierowane przeciwnie do tego strumienia; zmniejszenie strumienia (𝑑Φ
𝑑𝑡< 0) powoduje
powstanie SEM indukcji Ei > 0, tzn. kierunek strumienia i kierunek pola indukowanego prądem
pokrywają się. Znak minus we wzorze 19.2 jest matematycznym odzwierciedleniem reguły Lenza.
Reguła Lenza: Kierunek prądu indukcyjnego w obwodzie jest zawsze taki, że wzbudzane nim
pole magnetyczne przeszkadza zmianą strumienia pola magnetycznego wzbudzającego ten
prąd.
Reguła Lenza.
Kilka przypadków zastosowania reguły Lenza przedstawiają sytuacje zobrazowane na rysunku
19.5.
Prawo Faradaya może byd wyprowadzone z zasady zachowania
energii. Rozpatrzmy przewodnik z prądem I, który został umieszczony
w jednorodnym polu magnetycznym, prostopadłym do obwodu, i
który może się swobodnie przemieszczad (Rysunek 19.4). Pod
wpływem działania siły Ampere’a F, kierunek, której pokazany jest na
rysunku, przewodnik przesunie się na odległośd dx. Tym samym, siła Ampere’a wykona pracę dW
= IdΦ, gdzie dΦ jest strumieniem przeciętym przez przewodnik.
Jeżeli całkowity opór obwodu wynosi R, to, zgodnie z zasadą zachowania energii, praca źródła
prądu w czasie dt (EIdt) będzie składad się z pracy zamienionej na ciepło Joule’a i pracy wykonanej
podczas przesuwania przewodnika z prądem w polu magnetycznym (IdΦ):
IdRdtIEIdt 2
skąd
𝐁
1 2
𝐅 l
dx
E
I
Rysunek 19.4
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 5
Rdt
dEI /
gdzie −𝑑Φ
𝑑𝑡= ℇ𝑖
jest właśnie prawem Faradaya.
SEM indukcji elektromagnetycznej wyraża się w woltach:
VsA
sVA
sA
J
smA
mN
s
mT
s
Wb
dt
d
22
Jaka jest przyczyna powstawania SEM indukcji elektromagnetycznej? Jeżeli przewodnik
(ruchoma poprzeczka z rysunku 19.4) porusza się w stałym polu magnetycznym, to siła Lorentza
działająca na elektrony w przewodniku będzie skierowana przeciwnie do kierunku prądu tzn.
będzie ona wytwarzad w przewodniku prąd indukcyjny skierowany przeciwnie (jako kierunek
prądu przyjmujemy ruch ładunków dodatnich). Tym samym wzbudzenie siły elektromotorycznej
Poruszający się magnes
powoduje wzrost strumienia
skierowanego do dołu
𝑩 𝒊𝒏𝒅𝒖𝒌
(a) Aby wytworzyć takie pole indukcyjne
kierunek prądu musi być przeciwny do
kierunku wskazówek zegara.
𝑩 𝒊𝒏𝒅𝒖𝒌
𝑩 𝒊𝒏𝒅𝒖𝒌 𝑩 𝒊𝒏𝒅𝒖𝒌
Indukowane pole magnetyczne jest
skierowane do góry przeciwnie
do zmian
strumienia
Poruszający się magnes
powoduje zmniejszenie strumienia
skierowanego do dołu Indukowane pole magnetyczne jest
skierowane do
góry przeciwnie do zmian
strumienia
Poruszający się magnes powoduje wzrost strumienia
skierowanego do dołu
Indukowane pole magnetyczne jest
skierowane do
góry przeciwnie do zmian
strumienia
Poruszający się magnes
powoduje zmniejszenie strumienia
skierowanego do góry Indukowane pole magnetyczne jest
skierowane do
góry przeciwnie do zmian
strumienia
(b) Aby wytworzyć takie pole indukcyjne
kierunek prądu musi być zgodny z
kierunkiem wskazówek zegara.
(c) Aby wytworzyć takie pole indukcyjne
kierunek prądu musi być zgodny z
kierunkiem wskazówek zegara.
(d) Aby wytworzyć takie pole indukcyjne
kierunek prądu musi być przeciwny
do kierunku wskazówek zegara.
Rysunek 19.5
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 6
indukcji podczas ruch obwodu w stałym polu magnetycznym daje się wyjaśnid działaniem siły
Lorentza powstającej podczas ruchu przewodnika.
Zgodnie z prawem Faradaya, powstanie siły elektromotorycznej indukcji jest możliwe również
w nieruchomym przewodniku umieszczonym w zmiennym polu magnetycznym. Jednak siła
Lorentza nie działa na nieruchome ładunki, dlatego w tym przypadku nie można za jej pomocą
wytłumaczyd powstania SEM indukcji. W celu wytłumaczenia powstawania SEM indukcji w
nieruchomych przewodnikach Maxwell założył, ze każde zmienne pole magnetyczne 𝑩 wywołuje w
otaczającej przestrzeni pole elektryczne 𝑬 𝑩,, które jest właśnie przyczyną powstania prądu
indukcyjnego w przewodniku. Zgodnie z teorią Maxwella, obwód, w którym pojawiła się SEM, gra
drugoplanową rolę, i jest tylko swojego rodzaju „przyrządem” wykrywającym to pole.
Cyrkulacja wektora 𝐄 𝐁 tego pola po dowolnym konturze L przewodnika jest SEM indukcji:
ℇ𝐢 = 𝐄 𝐁𝐝𝐥 = −𝛛𝚽𝐁
𝛛𝐭𝐋, 19.3
gdzie pochodna cząstkowa 𝛛𝚽𝐁
𝛛𝐭 uwzględnia zależnośd strumienia indukcji magnetycznej tylko po
czasie.
Podstawiając do 19.3 wyrażenie na strumieo magnetyczny otrzymujemy
L A
B AdBt
ldE
.
Ponieważ kontur i powierzchnia są nieruchome, to działania różniczkowania i całkowania można
zamienid miejscami:
AL
B Adt
BldE
19.4
Podsumujmy dotychczasowe wiadomości: Prawo Faradaya obowiązuje w przypadku dwu
różnych sytuacji. W pierwszym przypadku siła elektromotoryczna indukcji powstaje w wyniku
wywierania sił magnetycznych podczas poruszania się przewodnika w polu magnetycznym. W
drugim przypadku zmienne pole magnetyczne powoduje powstanie pola elektrycznego w
nieruchomym przewodniku i w rezultacie indukuje się SEM. Przy czym to pole E B może powstawad
nawet wtedy, gdy nie ma przewodnika. Pole to różni się od pola elektrostatycznegoE Q ponieważ
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 7
jest niezachowawcze. Zgodnie z tym, co było powiedziane w poprzednim wykładzie, cyrkulacja
wektora natężenia EQ pola elektrostatycznego (zachowawczego) po dowolnym zamkniętym
konturze jest zawsze równa zero:
L
Q ldE 0
19.5
Porównując 19.4 i 19.5 widad, że między rozpatrywanymi polami (𝑬 𝑩 i 𝑬 𝑸) istnieje zasadnicza
różnica: cyrkulacja wektora 𝑬 𝑩, w odróżnieniu do cyrkulacji 𝑬 𝑸, nie jest równa zero. Tak, więc
zarówno pole 𝑬 𝑩 i samo pole magnetyczne 𝑩 są polami wirowymi. Pomimo tych różnic między 𝑬 𝑩
i 𝑬 𝑸 zarówno jedno jak i drugie pole, zgodnie ze swoją podstawową naturą, wywierają siłę 𝐹 = 𝑞𝐸
na ładunek q.
Zatem zmienne pole magnetyczne zachowuje się jak źródło takiego pola elektrycznego, które
nie jesteśmy w stanie wytworzyd przez żaden statyczny układ ładunków. Co więcej, jak
przekonamy się w dalszej części wykładu, zmienne pole elektryczne jest źródłem pola
magnetycznego.
Opisana natura powstawania pola 𝑬 𝑩 znalazła cały szereg praktycznych zastosowao. W
nieruchomej cewce głowicy magnetycznej odtwarzacza magnetofonowego powstają prądy
indukcyjne w miarę jak różne obszary namagnetyzowanej taśmy przesuwają się przed głowicą.
Dyski twarde w komputerze działają na tej samej zasadzie. Przetworniki w gitarach elektrycznych
wykorzystują prąd indukowany w przetwornikowych cewkach w wyniku drgao w pobliżu nich strun
𝑩
Strumień zmniejsza się najszybciej, największa
wartość dodatnia SEM
Strumień najbardziej
ujemny, SEM równa
zero
Strumień zwiększa się
najszybciej, największa
wartość ujemna SEM 𝑩
Strumień najbardziej
dodatni, SEM równa
zero
Rysunek 19.6
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 8
ferromagnetycznych. W alternatorach większości samochodów obraca się magnes, który wywołuje
w cewce przepływ prądu. Oczywiście taka lista może byd kontynuowana.
19.3 Ruch ramki w polu magnetycznym.
Zjawisko indukcji elektromagnetycznej znajduje zastosowanie przy zamianie energii
mechanicznej na energię elektryczną prądu elektrycznego. W tym celu wykorzystuje się
generatory (prądnice), których zasadę działania można przeanalizowad na przykładzie płaskiej
ramki obracającej się w jednorodnym polu magnetycznym (Rysunek 19.6 i Rysunek 19.7).
Załóżmy, ze ramka obraca się w jednorodnym polu magnetycznym (B = const) ruchem
jednostajnym z prędkością kątową ω = const. Strumieo indukcji magnetycznej przechodzący przez
ramkę o powierzchni A w dowolnej chwili czasu t jest równy:
tBABAABn coscos ,
gdzie ϕ = ωt – kąt o jaki obróci się ramka po czasie t (warunki początkowe zostały wybrane tak, że
dla t = 0 α = 0)
Podczas obracania się ramki będzie w niej powstawad SEM indukcji:
tBAdt
dEi sin
19.6
zmieniająca się sinusoidalnie z czasem. Dla sinωt = 1, wartośd Ei będzie maksymalna i równa
BAE max . 19.7
Uwzględniając 4.5 można zapisad
tEEi sinmax 19.8
Podsumowując:, jeżeli ramka obraca się ruchem jednostajnym w jednorodnym polu
magnetycznym, to powstaje w niej siła elektromotoryczna indukcji, która zmienia się sinusoidalnie
wraz z czasem.
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 9
W prądnicy przedstawionej na rysunku 19.6 otrzymuje się prąd zmienny o przebiegu
sinusoidalnym (wzór 19.8). Indukowane napięcie pobierane jest przy pomocy ślizgających się
szczotek z dwu pierścieni obracających się razem z ramką.
Ze wzoru 19.7. wynika, że Emax zależy od ω, A i B. Za standardową częstotliwośd prądu w sieci
przyjmuje się częstotliwośd równą ν = ω/(2π) = 50Hz, dlatego możliwe jest tylko zwiększanie
dwóch ostatnich wielkości. W elektrowniach w generatorach dużej mocy w celu zwiększenia B
stosuje się magnesy o dużej mocy, lub przez elektromagnesy przepuszczany jest prąd o dużym
natężeniu, lub też rdzenie elektromagnesów wykonuje się z materiałów o dużej przenikalności
magnetycznej μ. Jeżeli obracad nie jeden zwój, a cały szereg N zwojów, połączonych szeregowo, to
tym samym zwiększamy powierzchnię, która wyniesie NS.
Rysunek 19.7 przedstawia schematycznie zasadę działania prądnicy prądu o stałym kierunku
przepływu. Układ półpierścieni zwanych komutatorem odwraca połączenie z zewnętrznym
układem w położeniach kątowych ramki, przy których następuje zmiana SEM na przeciwną.
Powstająca w wyniku tego SEM przedstawiona jest na rysunku 19.7b. Komercyjne prądnice
posiadają wiele ramek połączonych z komutatorem składającym się z wielu segmentów (pierścieo
podzielony jest nie na dwie części, ale na wiele odcinków). Taki układ powoduje, że otrzymywane
napięcie ulega wygładzeniu i w rezultacie otrzymuje się nie tylko prąd płynący w jednym kierunku,
ale stały.
Proces przekształcania energii mechanicznej w elektryczną jest odwracalny. Jeżeli przez ramkę,
umieszczoną w polu magnetycznym, przepuszczad prąd elektryczny, to będzie na nią działał
obrotowy moment sił (patrz: siła Ampere’a) i ramka zacznie się obracad. Na tej zasadzie działają
silniki elektryczne.
Rysunek 19.7
𝑩
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 10
19.4 Współczynnik indukcji. Zjawisko samoindukcji.
Prąd elektryczny płynący w zamkniętym obwodzie wytwarza wokół siebie pole magnetyczne,
którego indukcja magnetyczna, zgodnie z prawem Biota – Savarta, jest proporcjonalna do
natężenia prądu. W związku z tym strumieo pola magnetycznego przechodzący przez obwód
będzie proporcjonalny do natężenia prądu I:
Φ = 𝐿𝐼 19.9
Strumieo pola magnetycznego w obwodzie z prądem.
gdzie współczynnik proporcjonalności L nazywa się współczynnikiem samoindukcji
(indukcyjnością) obwodu.
Jeżeli zmieni się natężenie prądu (Rysunek 19.8), to zmieni
się również strumieo pola magnetycznego przechodzący przez
obwód, w związku z tym w obwodzie będzie indukowana SEM.
Powstawanie SEM indukcji w obwodzie, w którym zmienia się
natężenie prądu nazywa się zjawiskiem samoindukcji.
Ze wzoru 19.9 można określid jednostkę współczynnika
samoindukcji – henr (H): 1H jest to indukcyjnośd takiego
obwodu, w którym płynący prąd 1 A wytwarza strumieo
indukcji magnetycznej równy 1Wb:
AsVAWbH /1/11
Rozważmy indukcyjnośd nieskooczenie długiego solenoidu. Zgodnie z obliczeniami z
poprzedniego wykładu strumieo pola magnetycznego przez solenoid wynosi Il
Sn2
0 .
Porównując to z 19.9 widzimy, że
l
SnL
2
0 19.10
Można pokazad, że współczynnik indukcji zależy tylko od geometrycznej formy obwodu, jego
rozmiarów i przenikalności magnetycznej ośrodka, w którym się znajduje. W tym sensie
Rysunek 19.8 Prąd i w obwodzie
powoduje powstanie pola 𝐵 i strumienia przecinającego cewkę. Jeżeli zmienia się prąd, to zmienia się również strumieo i powstaje SEM samoindukcji.
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 11
indukcyjnośd obwodu jest analogiem do pojemności przewodnika, która również zależy tylko od
kształtu przewodnika, jego rozmiarów i przenikalności dielektrycznej ośrodka.
Stosując prawo Faradaya do zjawiska samoindukcji otrzymujemy:
dt
dLI
dt
dILLI
dt
d
dt
dES
Jeżeli obwód nie ulega deformacji i przenikalnośd magnetyczna ośrodka nie zmienia się, to L =
const i
ℇ𝐬 = −𝐋𝐝𝐈
𝐝𝐭 19.11
SEM samoindukcji.
gdzie znak minus, uwarunkowany regułą Lenza, pokazuje, że pojawienie się indukcyjności w
obwodzie prowadzi do spowolnienia zmian natężenia prądu w obwodzie.
Jeżeli prąd wzrasta w czasie, to 𝑑𝐼
𝑑𝑡> 0 i ES < 0, co oznacza, że prąd indukcyjny skierowany jest
przeciwnie do prądu w obwodzie i hamuje jego wzrost. Jeżeli prąd maleje w obwodzie, czyli
𝑑𝐼
𝑑𝑡< 0 a ES > 0, to prąd indukcyjny ma taki sam kierunek co malejący prąd w obwodzie i spowalnia
jego ubywanie. W rezultacie, jeżeli obwód posiada określoną indukcyjnośd, to posiada pewną
bezwładnośd elektryczną, polegającą na tym, że dowolna zmiana prądu jest hamowane i
hamowanie to jest tym silniejsze im większa jest indukcyjnośd obwodu.
Aby zrozumied lepiej zachowanie się obwodów z prądem zawierających cewkę o indukcyjności
L przystosujmy drugie prawo Kirchhoffa do takich obwodów. W przypadku zwykłych obwodów,
suma algebraiczna wszystkich różnic potencjałów na elementach pasywnych obwodu po obejściu
obwodu w koło musi byd równa zero, ponieważ występujące w obwodzie pole elektryczne jest
zachowawcze 𝐸 𝑧𝑎𝑐ℎ .
Kiedy w obwodzie znajduje się cewka sytuacja ulega zmianie. Indukowane w cewce pole
elektryczne, jak wiemy, nie jest zachowawcze i oznaczmy je jako 𝐸 𝑛𝑧𝑎𝑐 ℎ . Musimy bardzo uważnie
prześledzid role jakie odgrywają poszczególne pola. Załóżmy, że mamy do czynienia z cewką o
zaniedbywalnym oporze. W takiej sytuacji wystarczy dowolnie małe całkowite pole elektryczne,
aby ładunki zaczęły się poruszad, zatem całkowite pole elektryczne 𝐸 𝑧𝑎𝑐 ℎ + 𝐸 𝑛𝑧𝑎𝑐 ℎ wewnątrz cewki
musi byd równe zero.
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 12
Rozważmy obwód pokazany na rysunku 19.9; pojemnik na rysunku
zawiera określony zestaw ogniw i oporników, które umożliwiają regulację
prądu i płynącego w obwodzie. Zgodnie z prawem Faradaya (wzór 19.3)
całka liniowa z 𝐸 𝑛𝑧𝑎𝑐 ℎ jest równa ujemnej szybkości zmian strumienia
magnetycznego, który z kolei dany jest równaniem 19.9. W rezultacie
otrzymujemy:
E nzach dl = −Ldi
dtL
całkując wzdłuż obwodu (zgodnie z kierunkiem założonego prądu i). Jednak
𝐸 𝑛𝑧𝑎𝑐 ℎ jest różne od zera tylko w obszarze cewki. Dlatego też całkę po
całym obwodzie z 𝐸 𝑛𝑧𝑎𝑐 ℎ możemy zastąpid całką od a do b wzdłuż cewki,
tzn.:
E nzach dl 𝑏
𝑎= −L
di
dt
Następnie, ponieważ 𝐸 𝑧𝑎𝑐 ℎ + 𝐸 𝑛𝑧𝑎𝑐 ℎ = 0 w każdym punkcie cewki,
możemy zapisad:
E zach dl 𝑏
𝑎= L
di
dt
Całka po lewej stronie jest po prostu różnicą potencjałów między punktami
a i b. Ostatecznie otrzymujemy:
𝑉𝑎𝑏 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = Ldi
dt 19.12
Na podstawie ostatniego równania możemy wyciągnąd wniosek, że między
koocami cewki istnieje realna różnica potencjałów związana z elektrycznym
polem zachowawczym, pomimo faktu, iż samo pole elektryczne związane z
zjawiskiem indukcji magnetycznej nie jest zachowawcze. Zatem mamy
prawo używad reguły dotyczącej drugiego prawa Kirchhoffa pod
warunkiem, że będziemy przyjmowad równanie 19.12 określające różnicę potencjałów na koocach
cewki.
Na rysunku 19.10 przeanalizowano zachowania się opornika i cewki w czasie przepływu prądu i
podsumowano są relacje dotyczące znaków.
Rysunek 19.10
Rysunek 19.9
a. Opornik z prądem i
płynącym od a do b:
potencjał maleje od a do b
b. Cewka z prądem i
płynącym od a do b:
Jeżeli di/dt > 0, to potencjał maleje od a do b
Jeżeli di/dt < 0, to potencjał wzrasta od a do b
Jeżeli di/dt = 0, to różnica potencjałów wynosi zero
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 13
19.5 Prądy podczas zamykania i otwierania obwodu.
Wzrost natężenia prądu podczas zamykania obwodu.
Każda zmiana natężenia prądu w obwodzie powoduje powstaje SEM
samoindukcji i w rezultacie, w obwodzie pojawiają się dodatkowe prądy
samoindukcji. Prądy te, zgodnie z regułą Lenza, zawsze są skierowane tak,
aby przeszkadzad zmianom prądu w obwodzie. Podczas zamykania
obwodu prąd indukcyjny ma kierunek przeciwny do prądu powstającego
pod wpływem zewnętrznej SEM, a podczas otwierania obwodu, prąd
indukcyjny ma taki sam kierunek jak zanikający prąd.
Rozpatrzmy proces włączania prądu w obwodzie, który zawiera SEM E,
opór R i cewkę o indukcyjności L (Rysunek 19.11). Załóżmy, że początkowo oba klucze są otwarte.
W chwili t = 0 zamykamy klucz S1. Prąd nie może się zmienid gwałtownie od zera do pewnej
skooczonej wartości, ponieważ di/dt i indukowana SEM w cewce mają skooczone wartości.
Niech i będzie prądem po czasie t od zamknięcia klucza S1 i niech di/dt będzie szybkością zmian
prądu w tym czasie. Różnica potencjałów na oporniku w chwili t wynosi:
𝑉𝑎𝑏 = 𝑖𝑅
a różnica potencjałów Vbc na cewce jest równa:
𝑉𝑏𝑐 = 𝐿𝑑𝑖
𝑑𝑡.
Zwródmy uwagę, że jeżeli prąd płynie w kierunku jak na rysunku i rośnie, to zarówno Vab jak i Vbc
są dodatnie, tzn. a ma wyższy potencjał niż b i b ma wyższy potencjał niż c (porównaj z rysunkiem
19.10b). Możemy teraz zastosowad drugie prawo Kirchhoffa do naszego obwodu z zamkniętym
kluczem S1:
ℇ − 𝑖𝑅 − 𝐿𝑑𝑖
𝑑𝑡= 0 19.13
Przekształcając mamy:
𝑑𝑖
𝑑𝑡=
ℇ
𝐿−
𝑅
𝐿𝑖 19.14
W chwili zamknięcia klucza S1 i = 0 i spadek potencjału na oporniku jest równy zero. Zatem
początkowa szybkośd zmian prądu wyniesie
𝑑𝑖
𝑑𝑡 𝑝𝑜𝑐𝑧
=ℇ
𝐿
Rysunek 19.11
i
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 14
Wraz z upływem czasu wzrasta i a tym samym (R/L)i w wyrażeniu 19.14, a zatem szybkośd zmian
prądu maleje coraz bardziej. Oznacza to, że prąd dąży do osiągnięcia stałej wartości I. Wtedy di/dt
będzie równe zero, a równanie przybierze postad
𝑑𝑖
𝑑𝑡 𝑘𝑜ń𝑐
= 0 =ℇ
𝐿−
𝑅
𝐿𝐼
i
𝐼 =ℇ
𝑅
Zależnośd natężenia prądu od czasu przedstawia rysunek 19.12. Aby
wyprowadzid równanie opisujące tę zależnośd, przepiszmy równanie
19.14 w postaci
𝑑𝑖
𝑖− ℇ 𝑅 = −
𝑅
𝐿𝑑𝑡
Scałkujmy to wyrażenie
𝑑𝑖
𝑖− ℇ 𝑅
𝑖
0= −
𝑅
𝐿𝑑𝑡
𝑡
0
𝑙𝑛 𝑖− ℇ 𝑅
−ℇ 𝑅 = −
𝑅
𝐿𝑡
Przepiszmy powyższe równanie jako funkcję i od t:
𝐢 =ℇ
𝐑 𝟏 − 𝐞− 𝐑/𝐋 𝐭 19.15
Prąd podczas włączania obwodu RL z SEM
Z wykresu na rysunku 9.12 widzimy, że początkowo prąd rośnie gwałtownie, aby następnie powoli
zbliżad się do ustalonej wartości I = E/R. Po czasie t = L/R prąd wzrośnie do wartości (1 – 1/e) lub
do około 63% swojej koocowej wartości. Dlatego też L/R jest miarą tego jak szybko prąd narasta i
wielkośd ta nazywa się stałą czasową obwodu – τ:
𝛕 =𝐋
𝐑 19.16
Stała czasowa obwodu R – L .
Po czasie 2τ prąd osiągnie 86% swoje koocowej wartości, po 5τ 99,3% i po 10τ 99,995%. Widzimy,
że dobierając odpowiednio R i L otrzymamy prąd, który narasta bądź szybko bądź wolno. Dla
przykładu, jeżeli R = 100Ω a L = 10H:
τ =10H
100Ω= 0,10s
Jednak gdy na przykład L = 0,010H, to τ = 1,0 ∙ 10−4𝑠 = 0,10𝑚𝑠 i wzrost jest znacznie bardziej
gwałtowny.
Rysunek 19.12
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 15
Rozważania dotyczące energii dają dodatkowy wgląd w zachowanie się obwodu R – L. Chwilowa
szybkośd z jaką dostarczana jest energia do obwodu jest równa P = ℇi. Chwilowa szybkośd z jaką
energia jest rozpraszana w obwodzie wynosi i2R, a szybkośd magazynowania energii w cewce jest
równa iVbc = Lidi/dt. W rezultacie korzystając z zasady zachowania energii:
ℇ𝑖 = 𝑖2𝑅 + 𝐿𝑖𝑑𝑖
𝑑𝑡 19.17
Jak widzimy ostatnie równanie jest równaniem 19.13 wynikającym z prawa Kirchhoffa. Częśd ℇi
dostarczanej energii ulega rozproszeniu w oporniku, a druga częśd energii gromadzona jest w
cewce.
Zanikanie natężenia prądu podczas otwierania obwodu.
Załóżmy teraz, że klucz S1 był przez pewien czas zamknięty i prąd
osiągnął maksymalną wartośd I0. W chwili t = 0 zamykamy klucz S2
(w tej samej chwili powinniśmy otworzyd klucz S1, aby uchronid
baterię przed zniszczeniem). Jak pokazuje wykres na rysunku19.13
prąd nie zmaleje natychmiast do zera.
Korzystając z wniosków z §19.4 i prawa Kirchhoffa możemy
wyprowadzid wzór na zależnośd i od t dla tego przypadku (postaraj
się zrobid to samemu):
𝐢 = 𝐈𝟎𝐞− 𝐑/𝐋 𝐭 19.18
Prąd podczas wyłączania obwodu RL
gdzie I0 jest wartością natężenia prądu w chwili początkowej t = 0. τ = L/R jest czasem po którym
prąd zmniejszy się e razy czyli do około 37% swojej początkowej wartości. Po czasie 2τ spadnie do
wartości 13,5%, a po czasie 10τ będzie stanowił tylko 0,0045% swojej początkowej wartości.
Energia, która jest potrzebna do utrzymania prądu podczas jego zaniku jest dostarczana z
energii zmagazynowanej w polu magnetycznym cewki. Analiza energetyczna jest w tym wypadku
prosta; zamiast równania 19.17 mamy:
0 = 𝑖2𝑅 + 𝐿𝑖𝑑𝑖
𝑑𝑡 19.19
W tym przypadku Lidi/dt jest ujemne; równanie 19.19 pokazuje, że energia zmagazynowana w
cewce zmniejsza się z szybkością równą szybkości rozpraszania energii w oporniku.
Oceomy wartośd SEM samoindukcji ES podczas gwałtownego zwiększenia oporu obwodu prądu
stałego od R0 do R. Załóżmy, że rozwieramy obwód, kiedy płynie w nim prąd I0 = E/R0. Podczas
Rysunek 19.13
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 16
otwierania obwodu natężenie prądu zmienia się zgodnie ze wzorem 10. Podstawiając do niego
wyrażenie na I0 i τ otrzymujemy
LRteR
EI /
0
SEM samoindukcji wyniesie, więc
LRt
S EeR
R
dt
dILE /
0
.
Otrzymany wynik oznacza, że podczas nagłego i dużego zwiększenia oporu obwodu (R/R0≫1),
posiadającego duży współczynnik samoindukcji, SEM samoindukcji może wielokrotnie przewyższyd
SEM włączonego źródła prądu. Należy, zatem pamiętad, aby nie wyłączad gwałtownie prądu w
obwodzie posiadającym dużą indukcyjnośd, ponieważ może to doprowadzid do przebicia izolacji i
uszkodzenia przyrządów pomiarowych. Efekt tego rodzaju gwałtownego wzrostu napięcia w
obwodzie nazywamy przepięciem.
19.6 Indukcja wzajemna.
Rozważmy dwa nieruchome obwody (1 i 2)
położone dostatecznie blisko siebie (Rysunek 19.14).
Jeżeli przez obwód 1 płynie prąd I1, to strumieo
magnetyczny wytworzony przez ten prąd jest proporcjonalny do I1.
Oznaczmy przez Φ21 tę częśd strumienia, która przecina kontur 2. Wtedy
12121 IL 19.20
gdzie L21 – współczynnik proporcjonalności.
Jeżeli prąd I1 zmienia się to w obwodzie 2 indukuje się SEM Ei2, która, zgodnie z prawem
Faradaya, jest równa szybkości zmian strumienia magnetycznego Φ21, wytwarzanego przez prąd w
pierwszym obwodzie, i przecinającego obwód drugi:
dt
dIL
dt
dE 1
2121
12
Rysunek 19.14
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 17
n1
n2
Rysunek 19.15
Analogicznie, podczas przepływu prądu I2 w obwodzie 2 strumieo magnetyczny przecina
pierwszy kontur. Jeżeli Φ12 jest częścią strumienia przecinającego obwód 1, to
21212 IL
Jeżeli prąd I2 zmienia się, to w obwodzie 1 indukuje się SEM Ei1, równa szybkości zmian strumienia
magnetycznego Φ12, wytwarzanego przez prąd w drugim obwodzie i przechodzącym przez obwód
pierwszy:
dt
dIL
dt
dEi
212
122
.
Zjawisko powstawania SEM w jednym z obwodów podczas zmian natężenia prądu w drugim
obwodzie nosi nazwę indukcji wzajemnej. Współczynniki proporcjonalności L12 i L21 noszą nazwę
indukcyjności wzajemnej. Obliczenia, potwierdzone doświadczalnie, pokazują, że L12 i L21 są równe
𝐿21 = 𝐿12 19.21
Współczynniki te zależą od kształtu geometrycznego obwodów,
rozmiarów wzajemnego położenia obwodów i od przenikalności
magnetycznej otaczającego ośrodka. Jednostką indukcji wzajemnej, tak
samo jak dla indukcyjności, jest henr.
Obliczmy indukcyjnośd wzajemną dwu cewek nawiniętych na
wspólny toroidalny rdzeo. Przypadek ten ma duże praktyczne znaczenie
(Rysunek 19.15). Indukcja magnetyczna pola wytwarzanego przez pierwszą
cewkę, składającą się z n1 zwojów, w której płynie prąd I1 i w przypadku rdzenia o przenikalności
magnetycznej μ jest równa l
InB 11
0 , gdzie l – długośd rdzenia wzdłuż jego środka. Wtedy
całkowity strumieo przechodzący przez drugą cewkę, posiadającą n2 zwojów
121
022 SIl
nnn .
Strumieo Φ wytwarzany jest przez pierwszą cewkę, zatem zgodnie z 19. 20 otrzymujemy
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 18
Sl
nn
IL 21
0
1
21
19.22
Jeżeli policzyd strumieo pola magnetycznego wytwarzany przez drugą cewkę i przechodzący przez
pierwszą, to na L12 otrzymamy takie samo wyrażenie jak 19.21. Zatem wzajemna indukcja dwóch
cewek nawiniętych na wspólny toroidalny rdzeo jest równa
Sl
nnLL 21
01221
19.7 Transformatory.
Zasada działania transformatorów, stosowanych od
podwyższania lub zmniejszania napięcia prądu
zmiennego, oparta jest na zjawisku indukcji wzajemnej.
Schematyczna budowa transformatora pokazana jest na
rysunku 19.16. Uzwojenia pierwotne i wtórne,
posiadające odpowiednio n1 i n2 zwojów, zamocowane są na
wspólnym żelaznym rdzeniu. Ponieważ kooce uzwojenia pierwotnego podłączone są do
zmiennego napięcia posiadającego SEM E1, to w uzwojeniu tym powstaje prąd zmienny I1, który z
kolei wytwarza w rdzeniu transformatora zmienny strumieo Φ. Strumieo ten praktycznie cały
skupiony jest w rdzeniu transformatora i przecina zwoje uzwojenia wtórnego. Zmiany tego
strumienia powodują powstanie w uzwojeniu wtórnym SEM indukcji wzajemnej, w uzwojeniu
pierwotnym SEM samoindukcji.
Zgodnie z prawem Ohma, prąd I1 cewki pierwotnej jest określony przez sumę algebraiczną
zewnętrznej SEM i SEM samoindukcji:
111i RIndt
dE
gdzie R1 – opór uzwojenia pierwotnego. Spadek napięcia I1R1 na oprze R1 dla prądów
szybkozmiennych jest niewielki, dlatego
Rysunek 19.16
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 19
dt
dnE 11
. 19.23
SEM indukcji wzajemnej powstająca w uzwojeniu wtórnym
dt
dn
dt
ndE 2
22
19.24
Porównując wyrażenia 14. i 15. otrzymujemy wyrażenie na SEM w obwodzie wtórnym
1
1
22 E
n
nE 19.25
gdzie znak minus wskazuje, że SEM w uzwojeniu pierwotnym i wtórnym mają przeciwne fazy.
Stosunek ilości zwojów n2/n1, wskazujący ile razy SEM w uzwojeniu wtórnym jest większa (lub
mniejsza) od SEM w uzwojeniu pierwotnym nazywa się przekładnią transformatora.
Zaniedbując straty energii, które we współczesnych transformatorach nie przekraczają 2% i
stosując prawo zachowania energii, możemy zapisad, że moc w obu uzwojeniach praktycznie jest
jednakowa:
1122 IEIE
Skąd, uwzględniając 19.25.
ℇ𝟐
ℇ𝟏=
𝐈𝟏
𝐈𝟐=
𝐧𝟐
𝐧𝟏 19.26
Przekładnia transformatora.
Widad, że natężenia prądów w uzwojeniach są odwrotnie proporcjonalne do ilości zwojów.
Jeżeli n2/n1 > 1, to mamy do czynienia z transformatorem podwyższającym, zwiększającym
SEM i obniżającym natężenie prądu (stosuje się je na przykład przy przesyłaniu energii elektrycznej
na duże odległości, ponieważ w tym przypadku straty energii, spowodowane wydzieleniem się
ciepła proporcjonalne do kwadratu natężenia prądu, ulegają zmniejszeniu). Jeżeli n2/n1 < 1, to
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 20
mamy do czynienia z transformatorem obniżającym, zmniejszającym SEM i zwiększającym prąd
(stosowane są na przykład przy spawaniu, gdzie wymagany jest duży prąd przy małym napięciu).
19.8 Energia pola magnetycznego.
Przewodnik, w którym płynie prąd jest zawsze otoczony polem magnetycznym, przy czym pole
magnetyczne pojawia się i znika wraz powstawaniem i zanikaniem prądu. W związku z tym częśd
energii idzie na wytworzenie pola magnetycznego, które, podobnie jak elektryczne, jest nośnikiem
energii. Naturalnym jest, więc założenie, że energia pola magnetycznego jest równa pracy, jaką
wykonuje prąd na wytworzenie tego pola.
Rozważmy obwód o indukcyjności L, w którym płynie prąd I. Z obwodem tym związany jest
strumieo pola magnetycznego Φ = LI, przy czym zmiana prądu o dI spowoduje zmianę strumienia o
dΦ = LdI. Jednak, aby zmienid strumieo pola magnetycznego o wielkośd dΦ trzeba wykonad pracę
(patrz odpowiednie równanie z poprzedniego wykładu) dW = IdΦ = LIdI. Praca potrzebna na
wytworzenie strumienia Φ będzie, zatem równa
1
0
2 2/LILIdIW
Praca ta dostarczona z zewnątrz zostanie zgromadzona wewnątrz cewki. W rezultacie energia pola
magnetycznego wytworzonego przez obwód
𝐔𝐁 =𝟏
𝟐𝐋𝐈𝟐 19.27
Energia zmagazynowana w cewce.
Badanie własności zmiennych pól magnetycznych, w szczególności rozchodzenia się fal
elektromagnetycznych, okazało się dowodem, że energia pola magnetycznego zlokalizowana jest
w przestrzeni. Zgadza się to z teorią pola elektromagnetycznego.
Energię pola magnetycznego można przedstawid w postaci funkcji wielkości
charakteryzujących to pole w otaczającej przestrzeni. W tym celu rozpatrzmy szczególny
przypadek – pole jednorodne długiego solenoidu. Podstawiając do wzoru 19.27 wzór 19.10.
otrzymamy:
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 21
Sl
InUB
22
02
1
Ponieważ n/BlI 0 (patrz wzór odpowiedni wzór z poprzedniego wykładu), to
VB
UB
0
2
2 19.28
gdzie Sl = V – objętośd solenoidu.
Pole magnetyczne solenoidu jest jednorodne i zawarte wewnątrz jego objętości, dlatego
energia tez będzie zawarta wewnątrz solenoidu i będzie miała gęstośd
𝐰 =𝐔𝐁
𝐕=
𝐁𝟐
𝟐𝛍𝛍𝟎 19.29
Gęstośd energii pola magnetycznego.
Wyrażenie 19.29 na gęstośd objętościową energii pola magnetycznego ma charakter ogólny,
pod warunkiem, że zależnośd między wektorami B i H jest liniowa, tzn. odnosi się tylko do
diamagnetyków i paramagnetyków.
19.9 Równania Maxwella.
Równania Maxwella łączą pola elektryczne E
i magnetyczne B
z ich źródłami, którymi są
ładunki, prądy i zmieniające się w czasie pola. Równania te podsumowują doświadczalne prawa
Coulomba, Gaussa, Biota-Savarta, Ampera i Faradaya. Prawa te mają charakter ogólny oprócz
prawa Ampera, które nie stosuje się do obwodów prądowych nieciągłych, takich jak na przykład
obwód zawierający ładujący się i rozładowują się kondensator. Maxwell uogólnił prawo Ampera na
nieciągłe obwody z prądem. Następnie pokazał, że te uogólnione prawa elektryczności i
magnetyzmu zakładają istnienie fal elektromagnetycznych.
Równania Maxwella odgrywają taką samą rolę w klasycznym elektromagnetyzmie jak prawa
Newtona w mechanice klasycznej. W zasadzie wszystkie zjawiska elektryczności i magnetyzmu
mogą byd opisane poprzez rozwiązanie równao Maxwella, tak jak wszystkie zagadnienia w
mechanice mogą byd opisane poprzez podanie rozwiązao równao Newtona.
Prąd przesunięcia.
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 22
Rysunek 19.17
Okładki
kondensatora Krzywa C
Prawo Ampera (Patrz poprzedni wykład) podaje związek pomiędzy cyrkulacją pola
magnetycznego B po krzywej zamkniętej L, a prądem który przepływa przez powierzchnię
ograniczoną tą krzywą:
IldB 0
C
, dla dowolnej krzywej zamkniętej C 19.30
Maxwell uwzględnił przepływ w prawie Ampera. Rysunek 19.17 dwie różne powierzchnie
ograniczone tą samą krzywą C, które otaczają przewód przewodzący prąd do
płyty kondensatora. Prąd przepływający przez
powierzchnię S1 jest równy I, natomiast przez powierzchnię
S2 nie przepływa żaden prąd. W związku z tym pojawia się
niejasnośd w stwierdzeniu „prąd przez dowolną
powierzchnię ograniczoną krzywą”. Tego rodzaju problem
powstaje za każdym razem, gdy prąd jest nieciągły.
Maxwell pokazał, że prawo Ampera może byd
uogólnione i uwzględniad wszystkie sytuacje, jeżeli prąd I w równaniu
zostanie zamieniony przez sumę prądu przewodzenia I i członu Iprz , zwanego prądem
przesunięcia, zdefiniowanym jako:
𝐈𝐩𝐫𝐳 = 𝛆𝟎𝐝𝚽𝐄
𝐝𝐭 19.31
Definicja – prąd przesunięcia.
gdzie ΦE jest strumieniem pola elektrycznego przez tę samą powierzchnię ograniczoną krzywą C.
Uogólniona postad prawa Ampera przybiera, zatem postad:
𝑩 𝒅𝒍 = 𝝁𝟎 𝑰 + 𝑰𝒑𝒓𝒛 = 𝝁𝟎𝑰 + 𝝁𝟎𝜺𝟎𝐝𝚽𝐄
𝐝𝐭 19.32
Uogólniona postad prawa Ampera.
Postaramy się zrozumied to uogólnienie poprzez rozpatrzenie Rysunku 19.17 ponownie.
Nazwijmy sumę I+Iprz prądem całkowitym. Zgodnie z przeprowadzoną właśnie dyskusją taki prąd
całkowity musi przeciąd dowolną powierzchnię rozpiętą na krzywej C. Zatem sumaryczny prąd
przepływający przez zamkniętą objętośd ograniczoną powierzchniami S1 i S2 musi byd równy zero.
Jeżeli istnieje rzeczywisty wypadkowy prąd I wpływający do tej objętości, to musi istnied równy co
do wartości wypadkowy prąd przesunięcia Iprz wypływający z tej objętości. W objętości na rysunku
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 23
istnieje wypadkowy prąd przewodzenia I wpływający do niej, który zwiększa ładunek wewnątrz tej
objętości:
dt
dQI
Strumieo pola elektrycznego przez powierzchnię S jest związany z ładunkiem za pomocą prawa
Gaussa:
wewn
0S
nwyp Q1
dAE
Szybkośd zwiększania się ładunku jest więc proporcjonalna do szybkości wzrostu wypadkowego
strumienia na zewnątrz objętości:
prz
wyp,E
0 Idt
d
dt
dQ
.
W rezultacie wypadkowy prąd przewodzenia wpływający do rozpatrywanej objętości jest równy
wypadkowemu prądowi przesunięcia wypływającemu z objętości. Całkowity prąd jest zawsze
ciągły.
Równania Maxwella.
Równania Maxwella dla próżni mają postad:
𝑬 ∙ 𝒅𝑨 =𝟏
𝜺𝟎Q𝒘𝒆𝒘𝒏 Prawo Gaussa dla 𝑬 19.33a.
𝑩 ∙ 𝒅𝑨 = 𝟎 Prawo Gaussa dla 𝑩 19.33b.
𝑬 ∙ 𝒅𝒍 = −𝒅
𝒅𝒕 𝑩 ∙ 𝒅𝑨 Prawo Faradaya 19.33c.
𝑩 ∙ 𝒅𝒍 = 𝝁𝟎𝑰 +𝒅
𝒅𝒕𝜺𝟎𝝁𝟎 𝑬 ∙ 𝒅𝑨 Prawo Ampere’a 19.33d.
Równania Maxwella
Równanie 19.33a. jest prawem Gaussa. Z prawa tego wynika, że linie pola zaczynają się i
kooczą na ładunkach elektrycznych.
Równanie 19.33b. jest odpowiednikiem prawa Gaussa dla pola magnetycznego,
stwierdzającym, że strumieo pola magnetycznego przez dowolną krzywą zamkniętą jest zawsze
równy zero. Odzwierciedla ono eksperymentalny fakt, że linie pola magnetycznego są zawsze
zamknięte (nie istnieją w przyrodzie magnetyczne monopole – magnetyczne odpowiedniki
ładunków elektrycznych).
Równanie 26c. jest prawem Faradaya; stwierdza ono, że cyrkulacja pola elektrycznego E po
krzywej zamkniętej C (siła SEM) równa jest szybkości zmian (ujemnej) strumienia pola
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 24
magnetycznego przez powierzchnię S ograniczoną krzywą C. Prawo Faradaya opisuje, w jaki
sposób linie pola elektrycznego otaczają dowolny obszar, w którym zmienia się strumieo pola
magnetycznego i wiąże pole elektryczne 𝑬 z szybkością zmian pola magnetycznego 𝑩 .
Równanie 26d. jest zmodyfikowanym prawem Ampera uwzględniającym prąd przesunięcia.
Stwierdza ono, że cyrkulacja wektora pola magnetycznego 𝑩 po dowolnej krzywej zamkniętej C
jest równa μ0 razy prąd przepływający przez dowolną powierzchnię ograniczoną krzywą C plus μ0ε0
razy szybkośd zmian strumienia pola elektrycznego przepływającego przez tę powierzchnię.
Musimy dodatkowo pamiętad o równaniu definiującym pola 𝑬 i 𝑩 :
𝑭 = 𝒒 𝑬 + 𝒗 × 𝑩 19.34
Wzór Lorentza.
Wzory 19.33 i 19.34 są podstawowymi związkami elektromagnetyzmu.
Piotr Posmykiewicz – Wykład z fizyki 25