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XIII Semana da MatemáticaMini curso 7
Modelagem de Problemas de Otimização
Socorro Rangel (DCCE)http://www.dcce.ibilce.unesp.br/~socorro/XIIISEMAT/new1705/
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2
ÍndiceParte I Modelagem de Problemas
Parte IIIConceitos de Teoria dos GrafosO problema da DesignaçãoO problema do Caixeiro Viajante
Parte IIO Problema da MochilaO Problema do Corte UnidimensionalO problema do Corte Bidimensional
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3
Construção de Modelos MatemáticosConstrução de Modelos Matemáticos
Sistema Real
Definição e Descrição do Problema
Modelo Matemático
Solução do Modelo
Implementação da Solução
Simplificação
Decisão Teórica x Política
Revisão
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4
Elementos de um modelo matemático
DECISÕES
Identificar quais decisões efetivamente resolvem o problema.O que não conhecemos no problema?
RESTRIÇÕES
Identificar quais as restrições que limitam as decisões a tomar
OBJETIVOS
Definir objetivos capazes de indicar que uma decisão é preferível a outras
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5
Forma Geral de um Modelo de Otimização
min ou max (funções objetivo)
sujeito a(restrições principais - equações ou
inequações)
(tipo das variáveis de decisão)
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6
Modelos de Otimização
• Modelos lineares• Não lineares• Discretos• Mistos
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7
Modelo de Otimização Linear
ou , ,ser pode~onde0,...,
~......
~...~...
a sujeito...max)min(
21
2211
22222122
11212111
2211
n
mnmnmm
nn
nn
nn
xxxbxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
xcxcxczou
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8
Modelo de otimização Não Linear
contínuas funções são g, eou , ,ser pode~onde
~),...,(g...
~),...,(g~),...,(g
a sujeito),...,(max)min(
i
21m
2212
1211
21
f
bxxx
bxxxbxxx
xxxfzou
mn
n
n
n
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9
Modelo de Otimização Linear Discreta
ou , ,ser pode~ondeinteiras e ,0,...,
~......
~...~...
a sujeito...max)min(
21
2211
22222122
11212111
2211
n
mnmnmm
nn
nn
nn
xxxbxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
xcxcxczou
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10
Construindo um modelo matemático
DECISÕES
Identificar quais decisões efetivamente resolvem o problemaDefinir Variáveis de decisão
RESTRIÇÕES
Identificar quais as restrições que limitam as decisões a tomarDefinir Conjunto de equações ou inequações
OBJETIVOS
Definir objetivos capazes de indicar que uma decisão é preferível a outrasDefinir Função Objetivo
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11
Problema: Paula deseja saber quanto gastar para fazer uma dieta alimentar que forneça diariamente toda a energia, proteína e cálcio que ela necessita.
Exemplo Linear
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12
Problema: Paula deseja saber quanto gastar para fazer uma dieta alimentar que forneça diariamente toda a energia, proteína e cálcio que ela necessita. Seu médico recomendou que ela se alimente de forma a obter diariamente no mínimo 2000 kcal de energia, 65g de proteína e 800 mg de cálcio.
Exemplo Linear
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13
Problema: Paula deseja saber quanto gastar para fazer uma dieta alimentar que forneça diariamente toda a energia, proteína e cálcio que ela necessita. Seu médico recomendou que ela se alimente de forma a obter diariamente no mínimo 2000 kcal de energia, 65g de proteína e 800 mg de cálcio. O Valor nutritivo e o preço (pôr porção) de cada alimento que ela esta considerando comprar é dado na tabela 1 abaixo.
Tabela 1 – Valor nutritivo e custo dos alimentos
alimento tamanhoda porção
energia(kcal)
Proteína(g)
cálcio(mg)
preço p/porção
(centavos)arroz 100g 205 32 12 14ovos 2un 160 13 54 13leite 237ml 160 8 285 9
feijão 260g 260 14 80 19
Exemplo Linear
Quanto de cada alimento Paula deve consumir?
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14
Construindo um modelo para o Problema da Dieta
Neste problema temos:
elementos conhecidos: valor nutritivo dos alimentos, custo dos alimentos
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15
Construindo um modelo para o Problema da Dieta
Neste problema temos:
elementos conhecidos: valor nutritivo dos alimentos, custo dos alimentos
elementos desconhecidos: quanto consumir de cada alimento
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16
Construindo um modelo para o Problema da Dieta
Neste problema temos:
elementos conhecidos: valor nutritivo dos alimentos, custo dos alimentos
elementos desconhecidos: quanto consumir de cada alimento
objetivo a ser alcançado: obter uma dieta de baixo custo
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17
Construindo um modelo para o Problema da Dieta
Neste problema temos:
elementos conhecidos: valor nutritivo dos alimentos, custo dos alimentos
elementos desconhecidos: quanto consumir de cada alimento
objetivo a ser alcançado: obter uma dieta de baixo custo
restrições: a dieta deve fornecer uma quantidade mínima de nutrientes.
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18
Construindo um modelo para o Problema da Dieta
VARIÁVEIS DE DECISÃO
A dieta deve ser feita a partir de 4 itens: arroz, ovos, leite, feijão.
Faça j = 1,2,3,4 representar respectivamente cada um dos itens
Defina então:
xj = número de porções adquirida do alimento j para ser usada na dieta
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19
Construindo um modelo para o Problema da Dieta
ObjetivoObjetivoObter a dieta de menor custo possível. Proporcionalidade:1 porção de arroz ==> 14 centavos,2 porções de arroz ==> 28 centavos, x1 porções de arroz ==> 14* x1 centavos. gasto associado a compra de ovos: 13 x2
Aditividade gasto total com arroz e ovos é dado pôr:
14 x1 +13 x2
Custo total da dieta é então: 4321 1991314min xxxxz
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20
Construindo um modelo para o Problema da Dieta
RestriçõesObter quantidade mínima de nutrientes:energia:1 porção de arroz ==> 205 kcal 1 porção de ovos ==> 160 kcal1 porção de leite ==> 160 kcal 1 porção de feijão ==>260 kcal
quantidade total de energia >= quantidade mínima Proporcionalidade e aditividade
Temos:
2000260160160205 4321 xxxx
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21
Modelo de Otimização Linear Para o Problema da Dieta
4321 1991314min xxxxz
sujeito a:
2000260160160205 4321 xxxx (energia)
651481332 4321 xxxx (proteína)
800802855412 4321 xxxx ( cálcio)
4,3,2,1,0 jx j
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22
Solução Para o Problema da Dieta
Software LINDO :LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 112.500VARIABLE VALUE
X1 0.000000 (arroz) X2 0.000000 (ovos) X3 12.500000 (leite)
X4 0.000000 (feijão)Isto é consumir 12.5* 237ml = 2,9625 l de leite
e gastar com a dieta 112,5 u.m.
Esta solução é aceitável?
![Page 23: XIII Semana da Matemática Mini curso 7 Modelagem de Problemas de Otimização Socorro Rangel (DCCE) socorro/XIIISEMAT/new1705](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022033109/5706384a1a28abb8238f55d1/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Novo Modelo Para o Problema da Dieta
Se limitarmos a quantidade de leite na dieta:No máximo 2 porções
4321 1991314min xxxxz
sujeito a:
2000260160160205 4321 xxxx
651481332 4321 xxxx800802855412 4321 xxxx
4,2,1,0 jx j x32
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24
Nova Solução Para o Problema da Dieta
Software LINDO :OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 135.2598 VARIABLE VALUE
X1 5.617470 X2 0.000000 X3 2.000000
X4 2.032380 Isto é consumir:
5.617470*100g = 561.747 g de arroz 2* 237ml = 474m l de leite
2.032380*260g = 528,4188 g de feijão
e gastar com a dieta 135,2598 u.m.
![Page 25: XIII Semana da Matemática Mini curso 7 Modelagem de Problemas de Otimização Socorro Rangel (DCCE) socorro/XIIISEMAT/new1705](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022033109/5706384a1a28abb8238f55d1/html5/thumbnails/25.jpg)
25
Exemplo Não Linear
Problema: Construa um modelo matemático que determina o retângulo de área máxima cujo perímetro seja no máximo 80 metros.
L
C
Área do retângulo: Largura x Comprimento Perímetro: soma do tamanho dos lados
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26
Construindo um Modelo para o Problema do Retângulo
Neste problema temos:
elementos conhecidos: fórmulas para calcular perímetro e área do
retângulo
![Page 27: XIII Semana da Matemática Mini curso 7 Modelagem de Problemas de Otimização Socorro Rangel (DCCE) socorro/XIIISEMAT/new1705](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022033109/5706384a1a28abb8238f55d1/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Construindo um Modelo para o Problema do Retângulo
Neste problema temos:
elementos conhecidos: fórmulas para calcular perímetro e área do
retângulo
elementos desconhecidos: comprimento e largura do retângulo
![Page 28: XIII Semana da Matemática Mini curso 7 Modelagem de Problemas de Otimização Socorro Rangel (DCCE) socorro/XIIISEMAT/new1705](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022033109/5706384a1a28abb8238f55d1/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Construindo um Modelo para o Problema do Retângulo
Neste problema temos:
elementos conhecidos: fórmulas para calcular perímetro e área do
retângulo
elementos desconhecidos: comprimento e largura do retângulo
objetivo a ser alcançado: obter um retângulo de maior área possível
![Page 29: XIII Semana da Matemática Mini curso 7 Modelagem de Problemas de Otimização Socorro Rangel (DCCE) socorro/XIIISEMAT/new1705](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022033109/5706384a1a28abb8238f55d1/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Construindo um Modelo para o Problema do Retângulo
Neste problema temos:
elementos conhecidos: fórmulas para calcular perímetro e área do
retângulo
elementos desconhecidos: comprimento e largura do retângulo
objetivo a ser alcançado: obter um retângulo de maior área possível
restrições: perímetro do retângulo deve menor ou igual a oitenta metros
![Page 30: XIII Semana da Matemática Mini curso 7 Modelagem de Problemas de Otimização Socorro Rangel (DCCE) socorro/XIIISEMAT/new1705](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022033109/5706384a1a28abb8238f55d1/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Construindo um Modelo para o Problema do Retângulo
Variáveis de decisãolargura: L em metrosComprimento: C em metros
RESTRIÇÕES O perímetro do retângulo = 2*L + 2* C deve ser no máximo igual a 80 metros
2L + 2 C <= 80
OBJETIVOSÁrea do retângulo = L*C deve ser a maior possível :
max f(L,C) = L*C
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31
Um modelo Não Linear para o Problema do Retângulo
Max f(L,C) = LC
sujeito a 2L + 2C <= 80
L, C >= 0Solução ótima:
L = C = 20
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32
Exemplo Linear Discreto
Problema: Considere uma mochila com capacidade limitada e diversos itens com pesos e valores conhecidos.
![Page 33: XIII Semana da Matemática Mini curso 7 Modelagem de Problemas de Otimização Socorro Rangel (DCCE) socorro/XIIISEMAT/new1705](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022033109/5706384a1a28abb8238f55d1/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Exemplo Linear Discreto
Problema: Considere uma mochila com capacidade limitada e diversos itens com pesos e valores conhecidos. O problema da mochila consiste em determinar um subconjunto destes itens cujo peso total não exceda a capacidade da mochila e cujo valor total seja o maior possível.
![Page 34: XIII Semana da Matemática Mini curso 7 Modelagem de Problemas de Otimização Socorro Rangel (DCCE) socorro/XIIISEMAT/new1705](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022033109/5706384a1a28abb8238f55d1/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Construindo um modelo para Problema da Mochila
Neste problema temos:
elementos conhecidos: peso e valor de cada ítem (p,v), capacidade
máxima da mochila ( C ). Suponha que não existem dois itens com o
mesmo par de valor e peso.
![Page 35: XIII Semana da Matemática Mini curso 7 Modelagem de Problemas de Otimização Socorro Rangel (DCCE) socorro/XIIISEMAT/new1705](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022033109/5706384a1a28abb8238f55d1/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Construindo um modelo para Problema da Mochila
Neste problema temos:
elementos conhecidos: peso e valor de cada ítem (p,v), capacidade
máxima da mochila ( C ). Suponha que não existem dois itens com o
mesmo par de valor e peso.
elementos desconhecidos: se um determinado elemento será
incluído ou não na mochila.
![Page 36: XIII Semana da Matemática Mini curso 7 Modelagem de Problemas de Otimização Socorro Rangel (DCCE) socorro/XIIISEMAT/new1705](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022033109/5706384a1a28abb8238f55d1/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Construindo um modelo para Problema da Mochila
Neste problema temos:
elementos conhecidos: peso e valor de cada ítem (p,v), capacidade
máxima da mochila ( C ). Suponha que não existem dois itens com o
mesmo par de valor e peso.
elementos desconhecidos: se um determinado elemento será
incluído ou não na mochila
objetivo a ser alcançado: o valor total dos itens incluídos na
mochila deve ser o maior possível
![Page 37: XIII Semana da Matemática Mini curso 7 Modelagem de Problemas de Otimização Socorro Rangel (DCCE) socorro/XIIISEMAT/new1705](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022033109/5706384a1a28abb8238f55d1/html5/thumbnails/37.jpg)
37
Construindo um modelo para Problema da Mochila
Neste problema temos:
elementos conhecidos: peso e valor de cada ítem (p,v), capacidade
máxima da mochila ( C ). Suponha que não existem dois itens com o
mesmo par de valor e peso.
elementos desconhecidos: se um determinado elemento será
incluído ou não na mochila
objetivo a ser alcançado: o valor total dos itens incluídos na
mochila deve ser o maior possível
restrições: o peso total dos itens incluídos na mochila não deve
exceder a capacidade da mesma
![Page 38: XIII Semana da Matemática Mini curso 7 Modelagem de Problemas de Otimização Socorro Rangel (DCCE) socorro/XIIISEMAT/new1705](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022033109/5706384a1a28abb8238f55d1/html5/thumbnails/38.jpg)
38
Construindo um modelo para Problema da Mochila
n1,...,j
contrário caso 0
mochila na incluídofor j item o se 1
jx
Variáveis de decisão
RestriçõesA soma total do peso dos itens não deve exceder a capacidade da mochila:
Cxpxpxp nn ...2211
OBJETIVOO valor total dos itens incluídos na mochila deve ser o maior possível.
nn xvxvxv ...zmax 2211
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39
Um modelo Linear Discreto Para o Problema da Mochila
n1,...,j 1/0 jx
Cxpxpxp nn ...2211
Sujeito a
nn xvxvxv ...zmax 2211