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XXIV Jornada de Física Teórica
MINI-CURSO:
Tópicos Especiais de Dinâmica da Atmosfera
Professor:
Carlos Frederico Mendonça Raupp (IFT-UNESP)
E-mail: [email protected]
Introdução
Atmosfera: constitui um invólucro fluido em torno do planeta que está em incessante movimento devido, em última instância, ao aquecimento diferenciado pelo sol sobre a Terra;
Escoamento atmosférico: caracterizado por movimentos que estendem-se desde escalas milimétricas até às escalas comparáveis com o próprio tamanho do planeta movimentos de escala planetária;
Fluidos geofísicos: escoamento é significativamente afetado pela rotação do planeta;
Movimentos na atmosfera: devem ser descritos por um conjunto acoplado de equações que representam as leis da hidrodinâmica e da termodinâmica; Hipótese do Contínuo
Perfil vertical idealizado de temperatura de acordo com a atmosfera padrão. Fonte: Wallace e Hobbs (1977).
MODELO DE ÁGUA-RASA COM ROTAÇÃO
Para os movimentos de grande-escala na atmosfera tem-se que L >> H, sendo L a escala típica de comprimento horizontal dos movimentos e H a escala de altura típica da troposfera;
Para esses movimentos, em primeira aproximação, a equação da continuidade pode ser escrita como , enquanto a equação do movimento vertical pode ser aproximada pelo balanço hidrostático;
Dessa forma, vários “ingredientes dinâmicos” desses movimentos podem ser descritos por um modelo de uma camada de fluido homogêneo e hidrostático modelo de água-rasa;
0v
div
Equações de Navier-Stokes para uma camada de fluido homogêneo (densidade constante), hidrostático e sobre a Terra em rotação:
x
pf
z
uw
y
u
x
uu
t
u
1
vv (1a)
y
pfu
zw
yxu
t
1vv
vvv (1b)
gz
p
(1c)
0v
z
w
yx
u (1d)
Onde V = (u, v, w)T vetor velocidade
p pressão hidrostática; densidade (constante)
g aceleração efetiva da gravidade e f parâmetro de Coriolis
Fig. 1: Representação esquemática do modelo de água rasa aplicado à atmosfera. (Fonte: Matsuno, 1966)
Se = const (fluido homogêneo, tomando a derivada em x ou em y da equação hidrostática, tem-se que:
0
x
p
z0
y
p
z(1.2)
Logo, u e v também não dependem de z.
)(v
),0,,(),,,(v
0 0
hHyx
utyxwthHzyxwdz
yx
udz
z
whH hH
(1.3)Condições de fronteira: (i) w(x,y,0,t) = 0 (sem topografia)
(ii) y
h
x
hu
t
h
dt
dhHhzw
v)(
0vv
v
yx
uh
yx
uH
y
h
x
hu
t
h(1.4)
Integrando a equação hidrostática em uma coluna de altura h, tem-se:
gz
p
xhgp x
hg
x
p
x
hg
x
px
0lim
yhgp y
hg
y
p
y
hg
y
p y
0lim
(1.5a,b)
0vv
xf
y
u
x
uu
t
u Substituindo nas equações (1.a,b), obtém-se:
0v
vvv
yfu
yxu
t
0vv
v 2
yx
u
yx
uc
yxu
t
(1.6a)
(1.6b)
(1.6c)
= gh perturbação do geopotencial
gHc Velocidade das ondas de gravidade puras
Simular o efeito da convecção térmica inclusão de uma fonte de massa F na equação da continuidade (1.6c) pode também representar o efeito do aquecimento associado à liberação de calor latente na atmosfera:
uy
u
x
uu
xf
t
u
vv
vv
vvv
yxu
yfu
t
Fyx
u
yxu
yx
uc
t
vv
v2
(1.7a)
(1.7b)
(1.7c)
onde é o coeficiente de dissipação do tipo “Rayleigh” e de resfriamento Newtoniano
Linearizando em relação a um estado básico em repouso:
ux
ft
u
v
vv
yfu
t
Fyx
uc
t
v2
(1.8a)
(1.8b)
(1.8c)
onde é o coeficiente de dissipação do tipo “Rayleigh” e de resfriamento Newtoniano
DERIVAÇÃO DO MODELO DE ÁGUA RASA VIA SOLUÇÃO DO MODELO DE EQUAÇÕES PRIMITIVAS POR SEPARAÇÃO
DE VARIÁVEIS
Modelo de equações primitivas linearizado em relação a um estado básico em repouso usando a pressão como coordenada vertical:
0vu
xf
t
0uv
yf
t
0vu
pyx
pC
J
P
R
pt
(1.9a)
(1.9b)
(1.9c)
(1.9d)
Onde: geopotencial
velocidade vertical em coordenada-p
J termo de aquecimento/resfriamento diabático
R constante dos gases para o ar seco
Cp calor específico a pressão constante
Parâmetro de estabilidade estática do estado básico
T = T (p) temperatura do estado básico
dp
Td
pC
TR
p
R
p
Fazendo 1/ / p (1.9d), obtém-se:
p
J
pC
R
yx
u
ppt p
v1
(1.10)
Supor inicialmente o caso adiabático, i.e., J 0 (analisar os modos normais do sistema):
0vu
xf
t
0uv
yf
t
0v1
yx
u
ppt
(1.11a)
(1.11b)
(1.11c)
)12.1()(
),,(ˆt)y,(x,v
),,(ˆ
v pG
tyx
tyxuu
Fazendo a seguinte separação de variáveis:
0ˆ
vu
Gx
ft
0ˆ
uv
Gy
ft
0vˆ1ˆ
Gyx
u
dp
dG
dp
d
t
(1.13a)
(1.13b)
(1.13c)
)14.1(1vˆ
ˆ
2c
dp
dG
dp
d
G
yx
ut
De (1.13c), segue que:
c constante de separação (tem dimensão de velocidade)
Logo, a estrutura horizontal é governada por:
0ˆ
vˆ
xf
t
u
0ˆ
ˆv
yuf
t
0vˆˆ
2
yx
uc
t
(1.15a)
(1.15b)
(1.15c)
Equação da Estrutura Vertical
De (1.14) segue que a estrutura vertical é governada pela seguinte equação:
)16.1(011
2
G
cdp
dG
dp
d
Supondo como condições de fronteira para o sistema (1.9) = 0 em p = 0 (topo)e em p = p0 (superfície), tais condições são escritas como:
dG / dp = 0 em p = 0 (1.17a)
dG / dp = 0 em p = p0 (1.17b)
A eq. (1.16) com as condições de fronteira (1.17a,b) constitui um problema de Sturm-Liouville.
Supondo ainda que é constante com a pressão, tem-se que (1.16) torna-se:
022
2
Gcdp
Gd
Equação Característica:
)18.1(02
2 c
Solução Geral:
ipc
ipc BeAepG
)( (1.20)
)19.1(ic
Aplicando a condição de fronteira (1.17a) em p = 0, tem-se que A = B. Aplicando a condição de fronteira (1.17b) em p = p0, tem-se:
000
pc
ipc
ieei
c
mp
coup
csin
00 0 (1.21)
m = 0, 1, 2, 3, ...
Logo:
0pm
cm
(1.22) Autovalores
p
cpG
mm
cos)( (1.23) Autofunções
m cm (ms-1)
0
1 40,02
2 20,2
3 13,5
4 10,1
Tabela .11: Autovalores cm da equação da estrutura vertical (1.16) com
as condições de fronteira (1.17a,b) para p0 = 1000hPa e = 1,6 x 10-6 m4
s2 Kg-2.
Soluções de Ondas Lineares das Equações da Água Rasa
Vamos considerar caso do plano -equatorial:
f = y (2.1)
Onde = 2/a Parâmetro de Rossby
0v
xy
t
u
0v
yyu
t
0v2
yx
uc
t
(2.2a)
(2.2b)
(2.2c)
É conveniente transformar as equações para a forma adimensional, utilizando as escalas:
2
1
c
L 2
1
1
cT (2.3)
Fig. 2.1: Número de unidades de tempo adimensionais por dia (escala da esquerda) ou escala de tempo [T] em dias (escala da direita) como função de c = (gH)1/2. (Fonte: Silva Dias e Schubert, 1979)
Fig. 2.2: Número de unidades de comprimento adimensionais por 1000Km (escala da esquerda) ou escala de comprimento [L] em quilômetros (escala da direita) como função de c = (gH)1/2. (Fonte: Silva Dias e Schubert, 1979)
Usando c como escala para u e v e c2 = gH como escala de , tem-se:
0v
xy
t
u
0v
yyu
t
0v
yx
u
t
(2.4a)
(2.4b)
(2.4c)
Condições de fronteira: ),,(v),,(v tyLx
u
tyx
u
x
(2.5a)
0),,(vlim
tyx
u
y
(2.5b)
Buscando soluções na forma de ondas planas (Ansatz de ondas planas):
tiikx
k
k
ke
uu
kvv (2.6)
0vk kkk ikyui
0vk dy
dyui k
kk
0dy
vk d
ikui kkk
(2.7a)
(2.7b)
(2.7c)
Na forma vetorial:
(ikI + k)k = 0 (2.8)
k número de onda zonal
k = [uk, vk, k]T autovetor
k freqüência temporal (autovalor)
0
0
0
dy
dik
dy
dy
iky
k(2.9)
Operador linear (anti-hermitiano)
É possível reduzir o sistema (2.7) a uma única equação diferencial ordinária em vk, dada por
0v--v 222
2
2
k
kk
k yk
kdy
d
vk 0 quando |y|
Solução:
)()(v 2k
2
yHey n
y
Desde que seja satisfeita a relação de dispersão abaixo:
12- 22 nk
kk
k , n = 0, 1, 2, .... (2.10)
Fig. 2.3: Diagrama de dispersão de algumas ondas lineares permitidas pelo modelo (2.5). (Fonte: Silva Dias e Schubert, 1979).
Fig. 2.4: Diagrama da velocidade de grupo das ondas lineares permitidas pelo modelo (2.5). (Fonte: Silva Dias e Schubert, 1979).
As autofunções são dadas por:
2
y
1nrn,k,1nrn,k,
n22
rn,k,
1nrn,k,1nrn,k,
rn,k,
2
e
(y)k)Hin(ω(y)k)H(ω2
i(y)Hkω
(y)k)Hin(ω(y)k)H(ω2
i
(y)ξ
(2.11)
Para n > 0
2
y
0
0
1,3k,
2
e
(y)H
0
(y)H
(y)ξ
(2.12)
Para n = -1 (Kelvin)
Estas autofunções formam um conjunto ortogonal e completo no espaço das funções de quadrado integrável em (-, + ).
Fig. 2.5: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencial associada às ondas de Rossby para n = 1. (Adaptado de Raupp, 2002.)
Fig. 2.6: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencial associada às ondas de gravidade-inerciais para n = 1. (Adaptado de Raupp, 2002.)
Fig. 2.7: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencial associada às ondas mistas de Rossby-gravidade (n = 0). (Adaptado de Raupp, 2002.)
Fig. 2.8: Estrutura espacial dos campos do vento e do geopotencial associada à onda de Kelvin (n = -1). (Adaptado de Raupp, 2002.)
Solução Geral das Equações da Água Rasa Através do Método Espectral
Modelo de equações primitivas forçado por um perfil de aquecimento diabático dado por J(x,y,p,t).
ux
yt
vu
vuv
yy
t
ppp
J
pcyx
u
ppt p
1v1
(3.1a)
(3.1b)
(3.1c)
coeficiente de dissipação de momento e de resfriamento Newtoniano.
Dado que a equação da estrutura vertical (1.16), com C.F. (1.17a,b) constitui um problema de Sturm-Liouville:
J
jjj pGtyxutpyxu
1
)(),,(),,,(
J
jjj pGtyxtpyx
1
)(),,(v),,,(v
J
jjj pGtyxtpyx
1
)(),,(),,,(
J
jjj pGtyx
p
J
p 1
)(),,(q
(3.2)
Onde os coeficientes de expansão são dados por:
0
0
)(),,,(),,(p
j dppGtpyxutyxu 0
0
)(),,,(v),,(vp
j dppGtpyxtyx
0
0
)(),,,(),,(p
j dppGtpyxtyx
0
0
)(),,(p
j dppGp
J
ptyxq
(3.3)
Substituindo (3.2) em (3.1), multiplicando as equações resultantes por Gm(p), usando a equação da estrutura vertical (1.16) para cada um dos modos verticais, integrando as equações resultantes no intervalo [0,p0] e
usando a ortogonalidade das autofunções Gj(p) obtém-se:
jjj u
xy
t
u
jv
jj v
v
yyu
tj
j
jjjj
jj qc
yx
uc
t
2j2
v
(3.4a)
(3.4b)
(3.4c)
Ft
Escrevendo na forma adimensional, usando as mesmas escalas usadas anteriormente:
(3.5)
Onde = [u(x,y,t), v(x,y,t), (x,y,t)]T
0
0
0
yx
yy
xy
(3.6)
F = [0, 0, F]T com F = q (c5)-1/2 (3.7)
Dado que as autofunções k,n,r(y) formam um conjunto ortogonal e
completo em (-<y<)e que as funções trigonométricas complexas eikx
formam um conjunto ortogonal e completo no intervalo [-Lx,Lx]:
k n r
ikxrnkrnk eytgtyxG
1
3
1,,,, )()(),,( (3.8)
gk,n,r(t) = < Gk(y,t) k,n,r(y)> (3.9) , onde
dyytygyutygytygyutygytyG rnkkrnkkrnkkrnkkrnkk
)(),()(),()(v),()(),()(),( *,,3
*,,1,,2
*,,1,,
(3.10)
x
x
L
L
ikx
xk dxetyxG
LtyG ),,(
1),( (3.11)
(x,y,t) = ck,n,r(t) k,n,r(y)eikx
k n r1
3
1
F(x,y,t) = fk,n,r(t) k,n,r(y)eikx
k n r1
3
1
Dessa forma, as variáveis de estado e a forçante podem ser expressas por suas respectivas expansões em série:
(3.12)
Substituindo a equação (3.12) em (3.5), multiplicando escalarmente por *
s,m,l(y)e-isx , integrando a expressão obtida no domínio todo e usando a
relação (2.8) e a ortogonalidade das autofunções k,n,r(y)eikx no domínio
[-Lx,Lx] X (-<y<):
)()()()(
,,,,,,,,,, tctftci
dt
tdcrnkrnkrnkrnk
rnk (3.13)
para cada k, n, r.
A solução geral é dada por:
dsesfectc tsit
rnkti
rnkrnkrnkrnk ))((
0
,,)(
,,,,,,,, )()0()(
Previsão de tempo Previsão climática
1][
)0()( )(
,,
,,,,,,
,,,,
ti
rnk
rnkrnkrnk
rnktrnki
ei
fectc
No caso de uma forçante estacionária, a solução é dada por:
(3.14)
(3.15)
Para = 0, ocorre ressonância com os modos geostróficos zonalmente simétricos (k = 0 e = 0):
1,,0n,1k,
tiωn,1k,
01,,0 iω
)e(1flim)(
n,1k,
1,,nn tftc
nk
(3.16a)
3,1,0k,-1,3
tiωk,-1,3
03,1,0 iω
)e(1flim)(
k,-1,3
3,1,
tftck
(3.16b)
Um dos mecanismos que mantém a circulação média zonal da atmosfera
trnkrnk etftf 23
,,,,ˆ)(
No caso de uma forçante explosiva, i.e., cresce inicialmente, atinge um máximo e passa a decrescer com o tempo
(3.17)
A solução é dada, na ausência de dissipação (=0), por:
ti
rnkrnki
rnkrnk
rnkrnkrnk etitief
itc ,,,, 22
,,,,,,,,
3
,, 2
111ˆ)(
(3.18)
Referências
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J. PEDLOSKY. Geophysical Fluid Dynamics – Second Edition. Editora: Springer. ISBN: 0-387-96387-1. ISBN: 3-540-96387-1.
LEMES, M. A. M.; A. D. MOURA. Fundamentos de dinâmica aplicados à Meteorologia e Oceanografia. 2ª Edição. Holos Editora Ltda-ME, 2002. ISBN: 85-86699-33-0.
HALTINER, G. J.; R. T. WILLIAMS. Numerical prediction and dynamic meteorology. Second Edition, 1980. Editora: Wiley. ISBN: 0471059714, 477 pp.
SILVA DIAS, P.L.; W. H. SCHUBERT. The dynamics of equatorial mass-flow adjustment. Atmospheric Science Paper No. 312 (Department of Atmospheric Science Colorado State University), Fort Collins, Colorado, USA, 1979.
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MATSUNO, T. Quasi-geostrophic motions in the equatorial area. J. Meteor. Soc. Japan, 44, 25-43, 1966.
John M. Wallace & Peter V. Hobbs. Atmospheric Science. First Edition: An Introductory Survey, Editora: Academic Press, 1a edição (1977)