![Page 1: Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnost i](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070401/568135bc550346895d9d2187/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Parametrični testi ponavadi izhajajo iz predpostavke, da je populacija, iz katere izbiramo vzorce, normalna. Kadar ta pogoj ni izpolnjen, postopki testiranja hipotez, ki smo jih obravnavali, ne dajejo dobrih rezultatov.
Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnosti
Včasih nas ne zanimajo parametri populacije, pač pa kako drugo vprašanje, kot je porazdelitev
Testom take vrste pravimo neparametrični testi
![Page 2: Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnost i](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070401/568135bc550346895d9d2187/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Znakovni test je alternativa enojnemu t testu
testiramo ničelno hipotezo 00 :H
pri ustrezni nasprotni hipotezi
Edina predpostavka je, da je populacija, iz katere izbiramo vzorec, zvezna in simetrična.
Predpostavko o simetričnosti populacije pa lahko izpustimo, če se ničelna hipoteza nanaša na mediano
![Page 3: Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnost i](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070401/568135bc550346895d9d2187/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Vrednosti vzorca, ki so večje od predpostavljene vrednosti ničelne hipoteze nadomestimo z znakom plus, vrednosti, manjše od nje, pa nadomestimo z znakom minus. Število znakov plus je binomska slučajna spremenljivka s parametrom n, to je skupnim številom znakov plus in minus, in verjetnostjo
1
2p
Pri dvostranskem testu je nasprotna hipoteza 1
2p
Pri enostranskem testu je nasprotna hipoteza
1
2p ali
1
2p
Če je kakšna vrednost enaka vrednosti ničelne hipoteze, jo izpustimo
![Page 4: Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnost i](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070401/568135bc550346895d9d2187/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Kadar je vzorec tako velik, da velja np(1 – p) > 9 binomsko slučajno spremenljivko nadomestimo z normalno
1
x npz
np p
x : število znakov plus Znakovni test uporabimo tudi, ko imamo podatke v parih, imenujemo ga test dvojic
Vsak par nadomestimo z znakom +, če je prva vrednost para večja od druge, in z znakom -, če je prva vrednost para manjša od druge ,par pa izpustimo, če sta obe vrednost enaki
![Page 5: Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnost i](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070401/568135bc550346895d9d2187/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Wilcoxon-ov znakovno ranžirni test, upošteva poleg predznaka tudi velikost razlik
Rangiramo absolutne vrednosti razlik od najmanjše, ki ima rang 1, potem naslednje neposredno večje, ki ima rang 2, do največje absolutne razlike, ki ima rang n
Razlike, ki so nič, preprosto izpustimo
Če je več absolutnih razlik med seboj enakih, ima vsaka rang, ki je enak aritmetični sredini rangov, ki bi jih razlike zavzele, če bi jim dodelili različne zaporedne range.
![Page 6: Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnost i](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070401/568135bc550346895d9d2187/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Test sloni na vsoti rangov, ki pripadajo pozitivnim razlikam ali na vsoti rangov , ki pripadajo
negativnim razlikam ali pa na Τ min( , )
Znakovno ranžirni test ničelne hipoteze 0
zasnujemo na statistikah , ali
Naslednja tabela prikazuje kritične vrednosti teh statistik pri nasprotnih hipotezah in stopnji pomembnosti
![Page 7: Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnost i](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070401/568135bc550346895d9d2187/html5/thumbnails/7.jpg)
7
0 T T
0 2T T
0 2T T
Nasprotna hipoteza
Zavrnitev ničelne hipoteze
Kritične vrednosti so zapisane v tabeli
![Page 8: Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnost i](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070401/568135bc550346895d9d2187/html5/thumbnails/8.jpg)
8
T in tudi T je vrednost slučajne spremenljivkez matematičnim upanjem in varianco
1
4
n n
2 1 2 1
24
n n n
Za 15n je T je približno normalna
slučajna spremenljivka
![Page 9: Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnost i](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070401/568135bc550346895d9d2187/html5/thumbnails/9.jpg)
9
tudi Wilcoxonov test ali tudi Mann-Whitneyev test
Uporabljamo za testiranje ničelne hipoteze o enakosti aritmetičnih sredin dveh populacij, ne da bi predpostavljali, da sta populaciji normalni
Predpostavljamo pa, da sta populaciji zvezni
Nadomešča nam parni t test, ki ga uporabljamo, kadar ni izpolnjen pogoj normalnosti primerjanih populacij.
![Page 10: Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnost i](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070401/568135bc550346895d9d2187/html5/thumbnails/10.jpg)
10
Ničelna hipoteza je, da sta aritmetični sredini obeh populacij enaki, nasprotna hipoteza pa je, da sta različni.
Vrednosti obeh vzorcev uredimo v naraščajočem redu (kot bi bil en vzorec) in jim priredimo range
Če bi bilo več vrednosti enakih, bi jim dodelili povprečen rang izračunan iz rangov, ki bi jih zavzele te enote, če bi jim dodelili različne zaporedne range.
![Page 11: Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnost i](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070401/568135bc550346895d9d2187/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Wilcoxon je zasnoval test na vsoti rangov 1W
ki pripadajo vrednostim prvega vzorca,ali pa vsoti
2W rangov, ki pripadajo drugemu vzorcu.
1 2W W je vsota prvih 1 2n n naravnih števil
V konkretnih primerih teste gradimo na veličini
1 11 1
1
2
n nU W
ali
2 22 2
1
2
n nU W
oziroma manjšo med njima
1 2min( , )U U U
![Page 12: Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnost i](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070401/568135bc550346895d9d2187/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Pri stopnji pomembnosti zavrnemo ničelno
hipotezo 0 1 2:H pri nasprotni hipotezi
1 2 U U
1 2 2 2U U
1 2 1 2U U
Nasprotna hipoteza
Zavrnitev ničelne hipoteze
Kritične vrednosti so podane v tabeli
![Page 13: Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnost i](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070401/568135bc550346895d9d2187/html5/thumbnails/13.jpg)
13
Kadar sta vzorca večja od 8, sta 1U in 2U
približno normalni slučajni spremenljivki zmatematičnim upanjem in varianco
1 2.
2
n n 1 2 1 22 . 1
12
n n n n
![Page 14: Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnost i](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070401/568135bc550346895d9d2187/html5/thumbnails/14.jpg)
14
tudi Kruskal-Wallisov test, predstavlja posplošitev U testa
Uporabljamo ga za testiranje ničelne hipoteze, da k vzorcev pripada identičnim populacijam.
neparametrična alternativa enojni analizi variance.
Podatke vzorcev uredimo v skupno ranžirno vrsto od najmanjše do največje vrednosti, kot da bi predstavljali en vzorec.
![Page 15: Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnost i](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070401/568135bc550346895d9d2187/html5/thumbnails/15.jpg)
15
V taki ranžirni vrsti vrednostim vsakega vzorca pripadajo določeni rangi
iRVsota rangov, ki pripadajo v skupni ranžirni vrsti vrednostim i-tega vzorca je
Test hipoteze je grajen na vrednostih
2
1
123 1
1
ki
i i
RH n
n n n
H zapišemo tudi v obliki
2
1
12 1
1 2
ki
ii i
R nH n
n n n
![Page 16: Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnost i](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070401/568135bc550346895d9d2187/html5/thumbnails/16.jpg)
16
V tem primeru so vrednosti H enake vrednostim 2
slučajne spremenljivke z n –1 stopnjami prostosti
![Page 17: Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnost i](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070401/568135bc550346895d9d2187/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Neparametrična metoda za testiranje slučajnosti zaporedja
Ogledali si bomo tehniko, zgrajeno na skupinah
Skupina je niz (sklop) enakih črk (ali drugih simbolov) izbranih tako, da je pred skupino in za njo skupina drugačnih črk ali pa ni za njo ali pred njo nobene črke.
4 6 7 8 91 32 5
ddddd dddddddddssss ssd dd s d ddsss ss
![Page 18: Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnost i](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070401/568135bc550346895d9d2187/html5/thumbnails/18.jpg)
18
1n število črk ali znakov ene vrste
2n število črk ali znakov druge vrste
u število skupin
Če sta majhni števili 1n in 2n napravimo testslučajnosti s pomočjo posebnih tabel, v katerih so podane kritične vrednosti
Ničelno hipotezo o tem, da je nabor črk slučajen, zavrnemo pri stopnji pomembnosti če velja
2
u u ali 2
u u
2
u in 2
u sta kritični vrednosti
![Page 19: Za take slučaje so razvili drugačne tehnike, ki ne zahtevajo pogoja normalnost i](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022070401/568135bc550346895d9d2187/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Kadar sta obe števili 1n in 2n večji od 10 jeslučajna spremenljivka, katere realizacija je število skupin u, približno normalna z matematičnim upanjem in varianco
1 2
1 2
21
n n
n n
1 2 1 2 1 22
2
1 2 1 2
2 2
1
n n n n n n
n n n n