Download - ZADACI ZA VEŽBANJE
1. Po definiciji naći izvod sledećih funkcija:
rešenje: Prvi izvod po definiciji se određuje po formuli:
b) Rezultat: y' = -x + 1
d) Rezultat:
2
3) 4 1 )
1 1) )
2
a y x c yx
b y x x d yx
0 0
0
lim lim
4 1 4 1) lim
x x
x
f x x f xyy f x
x xx x x
a yx
11.12.2007 21:49:19
20 0 0
3 3 33 33 3
) lim lim limx x x
x x xx x xx x xc y
x x x x x x
1.
2y
x x
2. Odrediti prvi izvod i diferencijal sledećih funkcija:
rešenje:a) Koristeći lormulu (axn)' = anxn-1 pri čemu je dobijemo:
b) Koristeći formulu dobijemo:
11.12.2007 21:49:19
7 6 3 2
2 2 2
32 2 2 8
1 1 8) 3 4 2 3
3 2
6) )
1
) 1 ) x x
a y x x x x xx
x xb y f y
x a x
c y x g y e
2
2
) 2 3 5 )3
) 2 1 ) ln 2 900
xed y x x h y
x
e y x x i y x
188 ,x
x
6 5 22
821 24 2 ;y x x x x dy y dx
x
2
u u v uv
v v
2 2 2
2 2 2
6 1 6 2 6 1 6 1,
1 1 1
x x x x xy dy dx
x x x
c) Koristeći formulu za složenu stepenu funkciju ((g(x)) n)' = n(g(x)) n-1 g'(x)) dobijemo:
e) Koristeći formulu (uv)' = u' . v + u . v' i uzimajući
11.12.2007 21:49:19
2 2 22 2 2
1/ 22
1/ 22
2 2
3 1 2 6 1 , 6 1
2 3 5
1 4 3 4 32 3 5 4 3 ;
2 2 2 3 5 2 2 3 5
y x x x x dy x x dx
d x x
x xy x x x dy y dx dx
x x x x
1
2 2 22 1 2 1x x
1 2 2 2 2
2 2 22
2 2 2
2
2
1 2 2 1 2 4 11 2 1 2 1 4 2 1
2 2 1 2 1 2 1
4 1
2 1
x x x xy x x x x x
x x x
xdy y dx dx
x
1 1 12 2 2 2 2 22 2 2
12 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 32 2
2
32 2
11 2 /
2)
/
a x x a x x a xf y
a x a x
a x x ay
a x a x a x
ady y dx dx
a x
g) Rezultat:
i) Rezultat:
3. Pokazati da je:
4. Naći drugi i treći izvod sledećih funkcija:
11.12.2007 21:49:19
2 22 8 2 82 1 ; 2 1x x x xy x e dy x e dx
1;
450 450
dxy dy
x x
2
2 2
2 2
3 2
) 2
)
) 3 3 1
x xa d x e xe x dx
xdxb d a x
a x
c d x x x dx
2102
5 2
2 2 4
3 2) 1 )
1
3) 5 )
4
) 4 3 ) 3 ln
ln) 5 )
x
x xa y x e y
x
b y x f y
c y x x g y x x
xd y x h y
x
rešenje: Konsteći formulu (u ∙v∙w) '=u'vw+uv'w+uvw'. Dobijemo
y'= 2 (1∙(x+3) ∙ (2x-1)+(x-4) ∙1∙ (2x-1)+(x-4)(x+3) ∙2) = 12x2- 12x-46 y' = 24x- 12 = 12(2x-1)
e) Rezultat:
f) Koristeći formulu (ax)' = axIn a, dobijemo:
11.12.2007 21:49:19
1 1
2 2
3
23
5
22
1) 5 ; 5 1
21 1 1
5 12 2 4 5
1 3 35 1
4 2 8 5 5
d y x y x
y xx
y xx x
2
2 3 4
2 5 12 36; ;
1 1 1
x xy y y
x x x
2 3
3 3 3 3 3ln ; ln ln ;
4 4 4 4 4
3 3 3 3ln ; ln ;
4 4 4 4
x x
x x
y y
y y
g) Rezultat:
5. Naći n-ti izvod sledećih funkcija:a) y=ln x b) y=axn c) y=e2x-5
rešenje:
11.12.2007 21:49:19
3 3 2 2 7212 ln 3 ; 36 ln 21 ; 72 ln 78 ; 72ln 150;IV vy x x x y x x x y x x x y x y
x
2 2
2
4 3
4
1ln 1 1 ln
)
11 ln 2 / : 3 2ln
/ :11 6ln
x x xxh yx x
x x x x xxyx x xx
yx
2 3 4 5
1 2 3
2 5 2 5 2 5 2 5
1 1 !1 1 2 6 25) ; ; ; ; ;...,
) ; 1 ; 1 2 ;
1 2 ..... ( 1 !
) 2 ; 4 ; 8 ;... 2
n
nIV Vn
n n n
n n n
nx x x n x
na y y y y y y
x x x x x x
b y anx y an n x y an n n x
y an n n n n x an
c y e y e y e y e
6. Odrediti sledeće granične vrednosti
rešenje:Navedeni primeri predstavljaju neodređenost oblika . Pri rešavanju
zadatka moguće je koristiti Lopitalovo pravilo.
b) Rešenje:
d) Rešenje:
11.12.2007 21:49:19
2
2 1 0
2
0 0 0
ln ln sin2) lim ; ) lim ; ) lim ;2 1
5 7 1 3 1) lim ; ) lim ; ) lim ; ) lim .
6
x x x
x x n n x x
x x k x x
xx x
a b cx x x
x k ed e f g
x x k x x
0
0
2 2 2 2
2 1lnln 1 12 22) lim lim lim lim2 1 2 22
x x x x
xxxa
x x
2
1
lnlim 2
1x
x
x
0 0 0
sinsin cos) lim lim lim cos0 1
1x x x
xx xc
x x
0
5 7 5lim ln
6
x x
x x
, npr. Konkretno
f) rešenje: 1g) rešenje:
7. Odrediti sledeće granične vrednosti:
rešenje: Navedeni primjeri predstavljaju neodređenost oblika . Za rešavanje
moguće je koristiti Lopitalovo pravilo
b) rešenje:
11.12.2007 21:49:19
11) lim lim lim
1
n nn n nn
x k x k x k
x kx k n xe nk
x k x k
55 44
3 3 3
243243 5lim lim lim 5 3 405
3 13x x x
xx x
x x
ln 3
3
2 3
3 3
5 2 4 5) lim ; ) lim ) lim ; ) lim ;
2 ln 4 7 5 3
x
xx x x x
e x x x xa b c d
x x x x
3 23 2
) lim lim lim lim lim lim lim3 6 663
x x xx x x x
x x x x x x x
e e ee e e ea
x x x xx x
2
lim 02xx
x
c) rešenje:
d)
Ovaj zadatak se lako rešava i na drugi način:
8. Odredite sledeće graniče vrednosti:
rešenje: Javlja se neodređenost oblika 0 ∙ (- ∞ ) koja se translormiše u
oblik , pa je moguće koristiti Lopitalovo pravilo.
11.12.2007 21:49:19
5limln 4x
x
x
3 23 2
3 23 2
2 4 5 6 42 4 5 6 4 12 2lim lim lim lim lim
7 5 3 21 5 42 77 5 3 21 5x x x x x
x x xx x x x
x x x xx x x
33 2 3 2 3
33
2 32 3
4 5 4 52 22 4 5 2lim lim lim
5 35 37 5 3 777x x x
xx x x x x xx x x
x xx x
1
0) lim 2 ln ; ) lim 1 0x
x xa x x b a x a
0 0 0 0 0
2
122ln2ln
lim 2 ln lim lim lim lim 2 01 11
x x x x x
xx xx x x
x xx
b) Javlja se neodređenost oblika 0 ∙∞ koja pogodnom transformacijom prelazi u neodređenost oblika , a zatim se primjenjuje Lopitalovo pravilo.
9. Odrediti sledeću graničnu vrednost
rešenje: Javlja se neodređenost oblika ∞ - ∞, koja se rešava na sledeći način:
10 . Odrediti sledeće granične vrednosti:
11.12.2007 21:49:19
0
0
11
0 0 0
11 1 lnlim 1 lim lim lim lim ln
1 1
tt txx
x x t t t
aa a a aa x a
t tx
0
1 1lim
sinx x x
0 0 0 0 0
0
sin 1 cos1 1 sin 1 coslim lim lim lim lim
sin sin sin cossin sin cos
sinlim 02cos sin
x x x x x
x
x x xx x x
x x x x x x xx x x x x
x
x x x
2sin 3 4ln
0 0 0) lim ) lim ) limx x x
x x xa x b x c x
rešenje: Javljaju se neodređenosti oblika 0° , koje se rešavaju pomoću Lopitalovog
pravila na sledeće načine:
Funkcija xx ima samo desnu graničnu vrednost u tački x=0. jer za x<0 dala funkcija nije definisana.
b) Neka bude y = xsinx, tada je In y = In xsinx = sin x In ∙ x
Granična vrednost: , je oblika 0 ∙ (-∞). Pogodnom transformacijom ovaj oblik prelazi u oblik , gdje je već moguće koristiti
Lopitalovo pravilo, tj.
11.12.2007 21:49:19
0
002
0 0
1l nlimln limlim 1 11
lim ln limln ln 0
0 0 0) lim lim lim 0
xxx
xx x
xx x
x x xx x x x xx x
x x xa x e e e e e e e e
0 0lim ln lim sin lnx x
y x x
0 0 0 0 0
2
0 0
1lnln sin
lim sin ln lim lim lim lim1 cos1sin sinsin
sinlim lim 1 0 0
x x x x x
x x
xx xxx x tgxx x
x xx
xtgx
x
Da je , ustanovili smo u zadatku 6. pod c)
Kako je , biće
Funkcija xsinx samo desnu graničnu vrednosl u tački x=0, jer za x<0 data funkcija nije definisana
c) Na isti način kao pod b). rešenje:
11 . Odrediti graničnu vrednost
Leva granična vrednost ne postoji (objašnjeno u 18. zadatku) Neodređenost koja se javlja je oblika ∞°
Neka bude
Tada je
11.12.2007 21:49:19
0
sinlim 1x
x
x
0lim ln 0x
y
0
0lim 1x
y e
e
3
0lim
x
xctg x
3 x
y ctg x
3
3ln ln lnx
y ctg x x ctg x
3
0 0
3
lnlim ln lim
1x x
ctg xx ctg x
x
Dobili smo neodređenost oblika , pa se primjenjuje Lopitalovo pravilo. Tj.
, vidi zadatak 6. pod c)
Kako je biće
12. Odrediti graničnu vrednost
rešenje: Javlja se neodređenost oblika .1∞ . Neka bude y = (sin x)tgx, tada je In y = In (sin x)tgx = tg x ∙ In (sin x)
Dobijena neodređenost oblika ∞ ∙ 0 se pretvara u oblik , na sledeći način:
11.12.2007 21:49:19
2 3 3
40 0 0 03
3
1 1ln 3 3sin
lim lim lim lim 1 0 01 cos sin sin cos1
3
x x x x
ctg x x x x xctgx xx x x x
xx
0lim 1
sinx
x
x
0lim ln 0x
y
3
0lim ln 1
x
xctg x
2
lim sintgx
x
x
2 2
lim ln lim ln sinx x
y tgx x
0
0
Kako je , biće
13. Ispitati karakteristike i nacrtati dijagram funkcije
rešenje: , u faktonzovanom obliku.
1°. Oblast definisanosti (domen) funkcijef(x) nije definisana kada je 1 - x2 = 0. tj. kada je x = -1 i x = 1. Prema lome.
f(x) je definisana za:
2°. Parnost funkcije , pa zaključujemo da je f(x) neparna funkcija.
11.12.2007 21:49:19
2 2 2 2 22
1cosln sinln sin sinlim ln sin lim lim lim lim cos sin 0 1 01
sinx x x x x
xxx xtgx x x xctgx ctgx
x
2
lim ln 0x
y
2
lim sin 1tgx
x
x
3
2
4
1
x xy f x
x
3
2
2 2 2 24
1 1 1 1 1
x x x x x xx xy f x
x x x x x
, 1 1,1 1,x
3 3 3
2 2 2
4 4 4
1 11
x x x x x xf x f x
x xx
3°. Ponašanje funkcije u tačkama prekida i na "krajevima" obalsti definisanosti
Napomena: U ovom slučaju O ne predstavlja broj nula, već izuzetno mali broj blizak nuli.
11.12.2007 21:49:19
3
21 0
3
21 0
3
21 0
3
21 0
1 0 4 1 0 1 0 4 0 3 0lim
1 1 0 01 1 0
1 0 4 1 0 1 0 4 0 3 0lim
1 1 0 01 1 0
1 0 4 1 0 1 0 4 0 3 0lim
1 1 0 01 1 0
1 0 4 1 0 1 0 4 0 3 0lim
1 1 01 1 0
x
x
x
x
f x
f x
f x
f x
0
23
22
2
23
22
2
44
lim lim lim11 1
44
lim lim lim lim11 1
x x x
x x x x
x xx x x
f xx x
x
x xx x x
f x f xx x
x
4°.Asimptote funkcijea) Horizontalna asimptola (y=n) što znači da f(x) nema horizontalnu asimptotu.
b)Vertikalna asimptota (x=m) , što znači da f(x) ima dve vertikalne asimptote, i to: x=-1 i
x=1.
c) Kosa asimptota (y = kx + n)
Dakle, f(x) ima kosu asimptotu, kojoj jednačina glasi y=-x. 5°. presečne tačke funkcije sa koordinatnim osama a) presečne tačke funkcije sa y osom (x=0)
Dakle, f(x) siječe y osu u tački A1(0,0).
11.12.2007 21:49:19
limx
n f x
lim 1f x
m x
3 2
2 2
3
2 2
1 4 4lim lim lim 1
1 1
4 3lim lim lim 0
1 1
x x x
x x x
f x x x xk
x x x x
x x xn f x kx x
x x
3
2
0 4 00 0
1 0f x
b) presečne tačke funkcije sa x osom - nule funkcije (y=0)
rešenja ovih jednačina su x, = -2, x2 = 0, x3 = 2. što znači da f(x) seče x osu u tačkama A1(0,0), A2(-2,0), A2 (2.0)
6°. Znak funkcije (f(x)≤0) rešenja nejednačina f(x)<0 i f(x)>0 u ovom primeru je najracionalnije
dobiti tabelarno, ovako:
0 označava da je za datu vrednost argumenta x, vrednost posmatranog izraza jednaka nuli. X označava da. za posmatranu vrednost argumenta x, funkcija f(x) nije definisana, tj ima prekid
11.12.2007 21:49:19
30, 4 0 .
2 0
2 2 0 0
2 0
y ako je x x tj
x
x x x x
x
7°. Ekstremne tačke funkcije (lokalni ekstremi)
ako je
Pošto jednačina –x4 -x2 -4 = 0 nema realnih rešenja, zaključujemo da f(x) nema ekstremnih tačaka
8°. Tok funkcije (rastenje i opadanje funkcije) Tok funkcije određujemo na osnovu znaka prvog i drugog izvoda.
9°. Prevojne tačke (tačke infleksije)
Nakon skraćivanja razlomka sa (1-x2) i sređivanja, dobija se:
11.12.2007 21:49:19
2 2 3 4 2
2 222
3 4 1 4 2 40
11
x x x x x x xf x f x
xx
4 2 0x x x
23 2 4 2 2
42
4 2 1 4 2 1 2
1
x x x x x x xf x
x
2
32
6 3
1
x xf x
x
ako je
Ova jednačina ima samo jedno realno rešenje x0=0.
Skraćivanjem sa (1 - x2)2 i sređivanjem razlomka, dobija se:
ima prevojnu tačku za x=0, pa treba odrediti i ordinatu ove tačke. f(x=0)=0. što znači da je taćka A1 ujedno i prevojna tačka.
10°. Konveksnost i konkavnost funkcijeKonveksnost i konkavnost funkcije određujemo na osnovu znaka drugog
izvoda.
11.12.2007 21:49:19
0f x 26 3 0x x
3 22 2 2 2
2
18 18 1 6 3 1 2
1
x x x x x xf x
x
4 2
42
18 6 1
1
x xf x
x
14. Ispitati karakteristike i nacrtati grafik funkcije y = f(x) = 6x2 – x4.rešenje:
1°. Domen funkcijeS obzirom da se radi o cijeloj racionalnoj funkciji, f(x) je definisana za x e( - ∞, +∞), tj. x R2°. Parnost funkcije
, pa zaključujemo da je f(x) parna funkcija.
3°. Ponašanje funkcije na "krajevima" oblasti definisanosti
Napomena: f(x) nema tačke prekida!
4°. Asimptote funkcijef(x). kao cijela racionalna funkcija nema asimptola.
11.12.2007 21:49:19
2 4 2 2 26 6 6 6y f x x x x x x x x
2 4 2 46 6f x x x x x f x
lim lim limx x x
f x f x fx
5°. Presečne tačke funkcije sa koordinatnim osamaa) Presek sa y osom (x=0)
f(x=0) = 0Dakle. f(x) sječe y osu u tački A, (0,0).b)presek sa x osom - nule funkcije (y=0)y = 0 ako je
Ovoj jednačini je ekvivalentan sledeći skup jednačina:
rešenja ovih jednačina su redom Dakle. t(x) sječe x osu u tačkama
6°. Znak funkcije
11.12.2007 21:49:19
26 6 6 0x x x
26 0; 6 0; 6 0x x x
1 2,3 46, 0, 6x x x
1 2 30,0 ; 6,0 ; 6,0A A A
7°, Ekstremne tačke funkcije
Ovoj jednačini ekvivalentan je skup jednačina
čija su rešenja redom x=0 , i
što znači da f(x) ima min za x=0. tj.
što znači da f(x) ima max. za i za
Dakle, ekstremne tačke funkcije su;
8°. Tok funkcije (monotonost funkcije)
11.12.2007 21:49:19
3 212 4 4 3 4 3 3f x x x x x x x
4 0, 3 0; 3 0x x x
0 12 0f x
3 24 0f x
min 0 0y f x
3x 3x
max. 3 9tj y f x
4 5min max max0,0 ; 3,9 3,9A A i A
3x 3x
9°. Prevojne tačke funkcijef'(x) = -12(x-1)(x-1)
f"(x) = 0. ako je-12(x-1)(x+1) = 0 Ovoj jednačini ekvivalentan je sledeći skup jednačina: (x +1 = 0; x - 1 = 0}. rešenja ovih jednačina su: x1 = -1, x2 = 1.
f'"(x) = -24x f"'(x=±1) = ±24 ≠ 0. što znači da l(x) ima prevojne tačke za x=-1 i za x=1.
f(±1)=5 Dakle, prevoino tačke funkcije su A6{-1,5) i A7(1.5).
10°. Konveksnost i konkavnost funkcije
Slika; 4-11 Dijagram funkcije
11.12.2007 21:49:19
15. Odrediti ekstremne tačke i intervale monotonosti za sledeće funkcije:
rešenje:
ima min za x = 2f(2) = 4 Dakle. f(x) ima ekstremne tačkr; A1 (1,5)max i A2(2,4)min
Monotonost ispitujemo sledećom tabelom:
11.12.2007 21:49:19
2 23 2
2
2
2
2 1 7 10)2 9 12 ) )
1 3
4 3 2) ) )
18
x
x x x xa x x x b y c y
x x
e x xd y e y f y
x xx
2 2) 6 18 12 6 3 2 6 1 2
0 1 2
12 18 6 2 3
a y x x x x x x
y za x i x
y x x
1 6 0y x x
ima max za x = -1 y(x=-1) = 2 ima min za x = 1
y(x=1) = 0 f(x) ima ekstremne tačke A1(-1,2)max i A2(1,0) min. Monotonost:
Faktori koji imaju uvek pozitivnu vrednost nisu uneti u tabelu.
11.12.2007 21:49:19
2 2
2 22 2
2 22 2 2
2 22
2
32
2 2 1 2 1 2 2 1 1)
1 1
0 1 1
/ : 14 1 2 1 2 1 2
/ : 11
4 3
1
x x x x x x xb y f x
x x
y za x i za x
xx x x x xy
xx
x xy
x
1 1 0y x f x
1 1 0y x f x
Jednačina y' = 0 x2 - 6x + 11 = 0 nema realnih rešenja, pa zaključujemo da f(x) nema ekstremnih tačaka Monotonost:
y" (x=1) = e > 0 => f{x) ima min za x = 1 y(x=1) = e, pa zaključujemo da f(x) ima jednu ekstremnu tačku A(1,e)min
11.12.2007 21:49:19
2 2
2 2
2 7 3 7 10 1 6 11)
3 3
x x x x x xc y
x x
2 2
2
4
2
3
11)
0 1
1 1 1 2 :
:
2 2
xx x
x x
x
x ee x ed y
x x
y za x
e x x x e x xy
xx
x x ey
x
Monotonost:
e) rešenje: Funkcija f(x) ima jednu ekstremnu tačku , opada u intervalu (-∞,0), a raste u intervalu (0,∞).
f) rešenje: Funkcija t(x) ima dve ekstremne tačke A1(-1,45; 0,1 )max i A2(3,45;9,9)min, raste u
intervalu a opada u intervalu
16. Naći prevojne tačke i ispitati konveksnost i konkavnost sledećih funkcija:
rešenje:
x=0 je rešenje i jednačine y'=0
11.12.2007 21:49:19
min
0, 2A
;1 6 1 6;i 1 6;1 1,1 6i
25 6
2
1 2 5) 3 2 ; ) ; ) .
1 3
x xa y x x b y c y
x x
4 5 3 4 3 3
2 3 2
) 15 12 ; 60 60 60 1 60 1
0 0 1
180 240 60 3 4
0 0
a y x x y x x x x x x x
y za x i za x
y x x x x
y x
Pošto je y"(x=0)=0 i y'"(x=0)=0 moglo bi se zaključiti da f(x) nema ekstremnih ni prevojnih tačaka. Međutim u ovakvim slučajevima treba naći i četvrti i peti izvod pa ako je za x=0 četvrti izvod različit od nul zaključićemo da f(x) za x=0 ima ekstrem, a ako je četvrti izvod jednak nuli. a peti izvod različit od nule( zaključićemo da f(x) za x=0 ima prevoj.
Pošto je u ovom slučaju yIv=360x-720x2 i yIv(x=0)=0, a yv=360-1440x i y1,'(x=0)=360≠0. zaključujemo da data funkcija, za x=0, ima prevoj, pa će biti y(x=0)=0 y'"(x=1)=-60 ≠ 0 => f(x) ima prevoj za x=1 y(x=1)=1
Dakle, f(x) ima dve prevojne tačke A 1(0,0); A2(1,1)
Konveksnost i konkavnost:
11.12.2007 21:49:19
ima prevoj za
ima prevoj za
11.12.2007 21:49:19
2 2
2 22 2
2 22 2
4 22
22
3 32 2
23 2 22 2 2
6 22 2
2
2
2 1 1 2 4)
1 1
/ : 14 1 4 2 1 2
/ : 11
1124 1 3 3
1 1
3 30 0,58 0,58
3 3
/ : 124 1 4 1 3 3 1 2
1 / : 1
48 1
x x x x xb y
x x
xx x x xy
xx
xxy
x x
y za x i za x
xx x x x xy
x x
x xy
x
41 3 27 3
03 8
y x f x
3
3x
3 27 30
3 8y x f x
3
3x
Dakle. f(x) ima dvije prevojne tačke A1(-0,58; -0,5) i A2(0,58; -0,5).
Konveksnost i konkavnost:
c) rešenje: Funkcija f(x) nema prevojnih tačaka. Konkavna je u intervalu (-∞, -3). a konveksna u intervali; (-3.+ ∞).
Napomena: Savetujemo studentima da radi uvežbavanja i solidne pripreme
ispita kompletno ispitaju funkciju u zadacima 8. i 9.
11.12.2007 21:49:19
30,5
3y x