-
Zagadnienia statystyki aktuarialnej
Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we WrocławiuWrocław 2011
pod redakcjąJoanny Dębickiej
-
Recenzenci:KrzysztofDębicki,GrzegorzKończak, ZbigniewPalmowski,WłodzimierzSzkutnik
Redakcjawydawnicza:JoannaŚwirska-Korłub
Redakcjatechniczna:BarbaraŁopusiewicz
Korektor:BarbaraCibis
Łamanie:AdamDębski
Projektokładki:BeataDębska
Publikacjajestdostępnanastroniewww.ibuk.pl
StreszczeniaopublikowanychartykułówsądostępnewTheCentralandEasternEuropeanOnlineLibrarywww.ceeol.com, atakżewadnotowanejbibliografiizagadnieńekonomicznychBazEkon http://kangur.uek.krakow.pl/bazy_ae/bazekon/nowy/index.php
Informacjeonaborzeartykułówizasadachrecenzowania znajdująsięnastronieinternetowejWydawnictwa www.wydawnictwo.ue.wroc.pl
Kopiowanieipowielaniewjakiejkolwiekformie wymagapisemnejzgodyWydawnictwa
© CopyrightbyUniwersytetEkonomicznyweWrocławiu Wrocław2011
ISSN 1899-3192 ISBN 978-83-7695- 240-6
Wersjapierwotna:publikacjadrukowana
Druk:DrukarniaTOTEM
-
Spis treści
Wstęp................................................................................................................ 7
Joanna Dębicka: Indeksacja przepływów pieniężnych w ubezpieczeniachwielostanowych.......................................................................................... 9
Stanisław Heilpern: Wyznaczaniewielkościrentywzależnychgrupowychubezpieczeniachnażycie............................................................................ 30
Aleksandra Iwanicka: Wpływzewnętrznychczynnikówryzykanaprawdo-podobieństworuinywagregacjidwóchklasubezpieczeń......................... 49
Anna Nikodem-Słowikowska: Theeffectofdependenceonlifeinsurance. 60Katarzyna Ostasiewicz: Modele progowe i ich zastosowaniew socjologii
iekonomii................................................................................................... 77Stanisława Ostasiewicz, Katarzyna Ostasiewicz: Modelowanie trwania
życiawpopulacjachniejednorodnych........................................................ 99Katarzyna Sawicz: Uwagi o finansowaniu systemu ochrony zdrowia
wPolsce...................................................................................................... 123Janusz L. Wywiał, Agnieszka Źrubek: Odokładnościanalitycznegowy-
znaczania mocy pewnego testu na normalność rozkładu prawdopodo-bieństwa...................................................................................................... 131
Summaries
Joanna Dębicka, Indexingcashflowsinmultistateinsurancecontracts....... 29Stanisław Heilpern, Calculationofpensionsinthemultiplelifeinsurances 48Aleksandra Iwanicka, Influence of some outside risk factors on a ruin
probabilityintheaggregatedtwo-classesriskmodel................................ 59Anna Nikodem-Słowikowska, Wpływ zależności na ubezpieczenia na
życie............................................................................................................ 76Katarzyna Ostasiewicz, Thresholdmodelsandtheirapplicationtosociology
andeconomics............................................................................................ 98Stanisława Ostasiewicz, Katarzyna Ostasiewicz, Approximationofsurvival
functionforheterogeneitypopulation....................................................... 122Katarzyna Sawicz, Somecommentsonthefinancingofhealthcaresystem
inPoland..................................................................................................... 130Janusz L. Wywiał, Agnieszka Źrubek, On estimation of the power of a
normalitytest.............................................................................................. 147
-
PRACE NAUKOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO WE WROCŁAWIU nr 230 RESEARCH PAPERS OF WROCŁAW UNIVERSITY OF ECONOMICS
Zagadnieniastatystykiaktuarialnej ISSN1899-3192
Janusz L. WywiałUniwersytetEkonomicznywKatowicachAgnieszka ŹrubekKAMSOFTSAKatowice
O DOKŁADNOśCI ANALITYCZNEGO WYZNACZANIA MOCY PEWNEGO TESTU NA NORMALNOśĆ ROZKŁADU PRAWDOPODObIEŃSTWA
Streszczenie: Z. Pawłowski zaproponował test nanormalność rozkładu prawdopodobień-stwa skonstruowanegonapodstawie znanego twierdzeniaGeary’egogłoszącego, żeprostapróbastatystycznajestzrozkładunormalnegowtedyitylkowtedy,gdyśredniazpróbyiwa-riancja zpróby sąniezależne.Celem niniejszej pracy jest ocena dokładności oszacowaniamocyrangowegotestunanormalnośćrozkładu,gdysprawdzianemtestujestproponowanyprzezWywiaławspółczynnikkorelacjirangowejKendalla[2].Uzyskaneanalityczneocenymocy testu zostały porównane zsymulacyjną oceną tejmocy. Jako rozkłady alternatywnedlahipotetycznegoprzyjętorozkładchi-kwadratlubrozkładDagumawykorzystywanyprzymodelowaniurozkładówdochodów.
Słowa kluczowe:testnormalnościrozkładu,moctestu,symulacjakomputerowa,współczyn-nikkorelacjirangowej.
1. Wstęp
Rozpoczynamy odlosowania k statystycznych próbek prostych, z których każdaskłada się zm elementów. Następnie wyznaczamy k par obserwacji X Si i,
2( ) , i=1,…,k),przyczym
X m Xi ijj
m
==
∑11
, (1)
S m X Xi ij ij
m2 2
1
1= −=
∑ ( ) . (2)Wywiał[5]zaproponowałjednoczesnerangowanieelementówciągu X Si i,
2( ) ,przekształcającgowciągparrang(ai,bi),i=1,…,k),przyczymaijestrangąprzy-pisanąśredniejX̅ i,natomiastbijestrangąnadanąwariancji Si
2 .
-
132 JanuszL.Wywiał,AgnieszkaŹrubek
GdyprawdziwajesthipotezaH0onormalnościrozkładu,wówczasprawdziwabędzierównieżhipotezaH'0:ρ =0,gdzieρoznaczawartośćwspółczynnikakorelacjirangowejpar X Si i,
2( ) .NatomiastgdyprawdziwajesthipotezaH1,żebadanyroz-kład charakteryzuje się asymetrią dodatnią (tak jak jest townaszymprzypadku),wówczasrównieżbędzieprawdziwahipotezaH'1: ρ =ρ0>0.
Paryrang(ai,bi)porządkujemywedługrosnącychwartościrangbiWówczask jestliczbąprawdziwychimplikacjiai > aj,jeślii > j,przyczymi =2,…,k,j=1,…,k −1.Zkolei 'il jestliczbąprawdziwychimplikacjiai < aj,jeślii > j,przyczym i =2,…,k,j=1,…,k −1,WspółczynnikkorelacjirangowejKendalla[2]mawów-czaspostać:
Q Fk k= −
21( ), (3)
gdzie
F l li i
i
k
= −=∑ ( )'1
. (4)
Kendallwykazał,żejeżelip=0 i k → 0,tozmienna:
Q QD Q' ( )=
, (5)
gdzie
D Q kk k( )
( )( )=
+−
2 2 59 1
, (6)
marozkładnormalnyN(0,1).WyznaczeniemocytestuprzyprawdziwościhipotezyH'1: ρ =ρ0>0sprowadza
siędowyznaczeniaprawdopodobieństwa:
P Q q H( ' | )'≥ =α δ1 , (7)
gdzieδjestwartościąmocytestu,aqαjestwartościąkrytycznązależnąodzałożone-gopoziomuistotnościα.Kendallwykazuje,żejeżeliρ≠0igdyk → ∞,tospraw-dzianQmarozkładnormalnyonadzieimatematycznejrównejρ0iodchyleniustan-dardowymrównymD*(Q).Dlaρ0estymatoremjestQ,adlaD*(Q)estymatorwyrażasięwzorem:
W k k c
kk k c k kii
k2 2 2
1
4 4 2 2 31 2 1=− − −
−− −
=∑( )!!
( )( ) ( ) , (8)
-
Odokładnościanalitycznegowyznaczaniamocypewnegotestunanormalność… 133
gdzie
c c c k l lii
k
i i i= = − − −=∑1
1' .
Wzór(7)równoważnyjestnastępującymrelacjom:
P Q q D Q H( ( ) | )'≥ =α δ1 , (9)
P QD Q
q D QD Q H
−≥
−
=
ρ ρ δα0 0 1* *
'
( )( )( ) | . (10)
Wielkościρ0,D(Q)iD*(Q)zastępujemyocenamiichestymatorówiotrzymuje-my:
P QD Qq Q k k
kk k k k k
k
−≥ − −
+
− − − +ρ03 2
12 5
1 2 3 2 5
2*( )
( ) ( )( )( )( )
(( ) ( ) ( )| ''
k c k c k kH
ii
k
− − − − −
=
=∑1 2 3 12 2 2 21
1 δ. (11)
Wiemy,żestatystyka:
Z QD Q=
− ρ0*( )
(12)
marozkładnormalnyN(0,1).Wprowadzającoznaczenie:
zq Q k k
kk k k k k
k k ciδ = −
−+
− − − +
−3 2
12 5
1 2 3 2 5
2 1 2( ) ( )( )( )( )
( ) −− − − −=∑ ( ) ( )2 3 12 2 21
k c k ki
k, (13)
otrzymujemy:
δ ϕδ δ δ' ( | ) ( | ) ( )' '= ≥ = − < = −P Z z H P Z z H z1 11 1 , (14)
gdzieφjestdystrybuantąrozkładunormalnego.
2. Analiza symulacyjna mocy testu
Wtej części artykułuzajmiemysięoceną,podobnie jakWywiał [5],dokładnościanalitycznegowyznaczaniamocypowyższegotestu.Moctegotestuanalizowaćbę-dziemydladwóchrozkładówcharakteryzującychsięasymetriądodatnią,tj.rozkła-duchi-kwadrat( 2r )orazrozkładuDaguma(D(a,b,p)).Wiemy,żewrazzewzro-stem liczby stopni swobody rozkładu chi-kwadrat jego asymetria zmniejsza się,zatemrozważamyrozkładchi-kwadratzliczbąstopniswobody,którewynosząko-
-
134 JanuszL.Wywiał,AgnieszkaŹrubek
lejno3,5,10,20i30,Współczynnikiskośnościwynosząodpowiednio1.63,1.26,0.89,0.63,0.52.
FunkcjagęstościprawdopodobieństwazmiennejorozkładzieDagumamapo-stać:
f x apx
b x bx
ap
ap a p( ) [ ( / ) ], ,=
+>
−
+
1
110 (15)
gdziea,b, p>0.WartośćoczekiwanąiwariancjęrozkładuDagumaokreślająodpo-wiedniowzory:
E X b p a ap( )( / ) ( / )
( )=+ −Γ Γ
Γ1 1 1 (16)
oraz
D X b p p a a p a a
p2
2 2 2
22 1 2 1 1 1( ) [ ( ) ( / ) ( / ) ( / ) ( / )
( )= + − − + −Γ Γ Γ Γ Γ
Γ. (17)
Współczynnik skośności, wyznaczony jako zestandaryzowany trzecimomentcentralny,dlarozkładuDagumamapostać:
β λ λ λ λ
λ λ12
3 2 1 13
2 12 3 2
3 2=
− +−
Γ ΓΓ
( ) ( )[ ( ) ] /
p pp
, (18)
gdzieλi=Γ(1−i/a)Γ(p+i/a),i =1,2,3.
MoctestuanalizowaćbędziemydlarozkładuDagumaznastępującymiparametra-mi:D(4,1252,15),D(8,2277,5),D(15,2978,1).Parametrytegorozkładuzostałydobranetak,abysiłajegoasymetriisięzmieniałaiwartośćoczekiwanapozostawałabezzmian.Wartośćoczekiwanaliczonazapomocąwzoru(16)wynosi E(X)=3000dlaD(4,1252,15),D(8,2277,5)orazD(15,2978,1).Obliczmyterazodchyleniestandardoweorazwspółczynnikiskośności.Skorzystamyzewzorów(17)oraz(18),Wstawiającodpowiednieparametry,otrzymujemy:
D(X)=1292,β1=5,505,dlarozkładuD(4,1252,15);D(X)=566,β1=1,983,dlarozkładuD(8,2277,5);D(X)=367,β1=0,599,dlarozkładuD(15,2978,1).Przejdziemy teraz dooceny dokładności analitycznego wyznaczania mocy
przedstawionegotestu.Rozważamypróbyoliczebnościachn wynoszącychkolejno20,30,40,50,70i100.Natomiastliczebnośćkażdejpodpróbywynosidwaelemen-ty.Wartościδ i δ'szacowaćbędziemynapodstawieserii100000niezależnychprób,każdaozadanejliczebnościn,składającychsięzpseudolosowychliczborozkładziechi-kwadratlubrozkładzieDaguma.
Wprowadźmynastępująceoznaczenia.Niechr oznaczamoctestuwyznaczonązapomocąkomputerowejanalizysymulacyjnej(oszacowanazapomocączęstościodrzuceniasprawdzanejhipotezyonormalnościrozkładuprzeztest).Natomiastr'
-
Odokładnościanalitycznegowyznaczaniamocypewnegotestunanormalność… 135
oznaczmyoszacowanąmoctestuwyznaczonąanalityczniezapomocąwzoru(14).Otrzymane wyniki zostały zamieszczone wtab. 1-8, natomiast nawykresach na rys.1-16przedstawionowynikiotrzymanedlapoziomuistotnościα =0,1.
Tabela 1. Mocetestudlarozkładuchi-kwadratz3stopniamiswobody
nα = .1 α = .05 α = .01 α = .005 α = .001
r r' r r' r r' r r' r r'20 .702 .637 .556 .519 .235 .294 .171 .223 .040 .10930 .841 .769 .720 .670 .421 .449 .331 .367 .142 .21640 .923 .854 .847 .777 .631 .581 .516 .499 .280 .33150 .961 .908 .919 .851 .761 .687 .655 .611 .428 .44170 .991 .964 .979 .935 .906 .834 .852 .779 .687 .634100 1 .991 .998 .982 .983 .941 .968 .914 .905 .829
Źródło:opracowaniewłasne.
Tabela 2. Mocetestudlarozkładuchi-kwadratz5stopniamiswobody.
nα = .1 α = .05 α = .01 α = .005 α = .001
r r' r r' r r' r r' r r'20 .544 .518 .391 .399 .128 .202 .029 .146 .015 .06630 .678 .632 .519 .518 .229 .302 .164 .234 .052 .12240 .791 .719 .657 .614 .382 .397 .275 .320 .112 .18550 .857 .787 .753 .694 .493 .483 .371 .403 .178 .25170 .938 .875 .878 .807 .678 .628 .574 .550 .351 .386100 .983 .946 .961 .907 .857 .785 .791 .723 .601 .573
Źródło:opracowaniewłasne.
Tabela 3. Mocetestudlarozkładuchi-kwadratz10stopniamiswobody
nα = .1 α = .05 α = .01 α = .005 α = .001
r r' r r' r r' r r' r r'20 .379 .391 .244 .283 .061 .126 .038 .087 .005 .03630 .472 .478 .313 .364 .103 .183 .067 .134 .017 .06240 .569 .543 .409 .429 .176 .233 .110 .176 .032 .08850 .636 .603 .484 .490 .229 .285 .148 .221 .051 .11770 .752 .699 .621 .593 .343 .382 .248 .309 .106 .181100 .863 .797 .770 .708 .511 .506 .406 .428 .214 .278
Źródło:opracowaniewłasne.
-
136 JanuszL.Wywiał,AgnieszkaŹrubek
Tabela 4. Mocetestudlarozkładuchi-kwadratz20stopniamiswobody
n α = .1 α = .05 α = .01 α = .005 α = .001r r' r r' r r' r r' r r'20 .278 .313 .165 .217 .036 .089 .021 .060 .003 .02330 .332 .369 .197 .266 .051 .121 .031 .085 .031 .03640 .398 .414 .255 .308 .086 .148 .039 .106 .011 .04850 .443 .456 .297 .347 .110 .177 .062 .129 .018 .06270 .539 .527 .390 .415 .159 .228 .101 .173 .033 .089100 .650 .616 .510 .505 .247 .303 .171 .239 .066 .132
Źródło:opracowaniewłasne.
Tabela 5. Mocetestudlarozkładuchi-kwadratz30stopniamiswobody
nα = .1 α = .05 α = .01 α = .005 α = .001
r r' r r' r r' r r' r r'20 .239 .280 .137 .191 .027 .076 .016 .050 .019 .00230 .278 .323 .156 .228 .039 .098 .023 .067 .005 .02740 .332 .360 .201 .260 .062 .118 .034 .083 .007 .04050 .364 .393 .232 .289 .077 .138 .042 .099 .010 .04570 .438 .451 .296 .343 .106 .175 .064 .129 .019 .062100 .527 .523 .386 .412 .159 .226 .103 .172 .035 .089
Źródło:opracowaniewłasne.
Tabela 6. MocetestudlarozkładuD(4,1252,15)
nα = .1 α = .05 α = .01 α = .005 α = .001
r r' r r' r r' r r' r r'20 .694 .634 .553 .516 .240 .294 .173 .224 .041 .11130 .829 .764 .708 .665 .419 .447 .332 .366 .145 .21740 .914 .848 .837 .771 .622 .576 .511 .495 .281 .33050 .955 .902 .909 .844 .749 .680 .645 .605 .420 .43970 .989 .960 .973 .930 .897 .825 .841 .770 .677 .628100 .998 .990 .996 .979 .977 .935 .960 .906 .893 .819
Źródło:opracowaniewłasne.
Tabela 7. MocetestudlarozkładuD(8,2277,5)
nα = .1 α = .05 α = .01 α = .005 α = .001
r r' r r' r r' r r' r r'20 .505 .486 .357 .370 .114 .183 .075 .132 .014 .05830 .627 .595 .464 .481 .198 .274 .139 .210 .045 .10840 .737 .679 .597 .571 .330 .358 .235 .286 .092 .16250 .805 .743 .687 .644 .424 .434 .313 .357 .144 .21770 .901 .837 .824 .760 .596 .570 .490 .492 .282 .334100 .964 .918 .929 .867 .785 .722 .704 .654 .501 .498
Źródło:opracowaniewłasne.
-
Odokładnościanalitycznegowyznaczaniamocypewnegotestunanormalność… 137
Tabela 8. MocetestudlarozkładuD(15,2978,1).
nα = .1 α = .05 α = .01 α = .005 α = .001
r r' r r' r r' r r' r r'20 .195 .240 .111 .161 .022 .063 .013 .041 .002 .01530 .215 .266 .118 .183 .028 .076 .016 .052 .003 .02140 .246 .289 .142 .203 .041 .088 .022 .061 .005 .02650 .260 .306 .155 .218 .047 .097 .025 .068 .006 .03070 .302 .341 .190 .248 .060 .116 .035 .083 .010 .038100 .349 .382 .233 .284 .081 .140 .050 .102 .016 .049
Źródło:opracowaniewłasne.
Rys. 1. Funkcjagęstościzmiennejlosowejorozkładziechi-kwadrato3stopniachswobody
Źródło:opracowaniewłasne.
-
138 JanuszL.Wywiał,AgnieszkaŹrubek
Rys. 2. Wykresymocytestudla3stopniswobodyrozkładuchi-kwadrat
Źródło:opracowaniewłasne.
Rys. 3. Funkcjagęstościzmiennejlosowejorozkładziechi-kwadrato5stopniachswobody
Źródło:opracowaniewłasne.
-
Odokładnościanalitycznegowyznaczaniamocypewnegotestunanormalność… 139
Rys. 4. Wykresymocytestudla5stopniswobodyrozkładuchi-kwadrat
Źródło:opracowaniewłasne.
Rys. 5. Funkcjagęstościzmiennejlosowejorozkładziechi-kwadrato10stopniachswobody
Źródło:opracowaniewłasne.
-
140 JanuszL.Wywiał,AgnieszkaŹrubek
Rys. 6. Wykresymocytestudla10stopniswobodyrozkładuchi-kwadrat
Źródło:opracowaniewłasne.
Rys. 7. Funkcjagęstościzmiennejlosowejorozkładziechi-kwadrato20stopniachswobody
Źródło:opracowaniewłasne.
-
Odokładnościanalitycznegowyznaczaniamocypewnegotestunanormalność… 141
Rys. 8. Wykresymocytestudla20stopniswobodyrozkładuchi-kwadrat
Źródło:opracowaniewłasne.
Rys. 9. Funkcjagęstościzmiennejlosowejorozkładziechi-kwadrato30stopniachswobody
Źródło:opracowaniewłasne.
-
142 JanuszL.Wywiał,AgnieszkaŹrubek
Rys. 10. Wykresymocytestudla30stopniswobodyrozkładuchi-kwadrat
Źródło:opracowaniewłasne.
Rys. 11. FunkcjagęstościzmiennejlosowejorozkładzieD(4,1252,15)
Źródło:opracowaniewłasne.
-
Odokładnościanalitycznegowyznaczaniamocypewnegotestunanormalność… 143
Rys. 12. WykresymocytestuD(4,1252,15)
Źródło:opracowaniewłasne.
Rys. 13. FunkcjagęstościzmiennejlosowejorozkładzieD(8,2277,5).
Źródło:opracowaniewłasne.
-
144 JanuszL.Wywiał,AgnieszkaŹrubek
Rys. 14. WykresymocytestuD(8,2277,5)
Źródło:opracowaniewłasne.
Rys. 15. FunkcjagęstościzmiennejlosowejorozkładzieD(15,2978,1)
Źródło:opracowaniewłasne.
-
Odokładnościanalitycznegowyznaczaniamocypewnegotestunanormalność… 145
Rys. 16. WykresymocytestuD(15,2978,1)
Źródło:opracowaniewłasne.
Przejdziemyterazdoporównaniamocytestur,którazostałaoszacowanazapo-mocą komputerowej analizy symulacyjnej zmocą testu r' otrzymaną zapomocąwzoru(14).Wtymceluobliczymybłędywzględne,jakiezostałypopełnioneprzywyznaczaniumocytestuwsposóbanalityczny.Skorzystamyznastępującegowzoru:
r
rr −'. (19)
Wtabelach9i10przedstawionezostałybłędywzględnedlanajczęściejprzyj-mowanychpoziomówistotnościα = 0,1 oraz α = 0,05.
Tabela 9. Błędywzględneocenymocytestuwprzypadkurozkładu
n/α2
3
2
5
2
10
2
20
2
30
0.1 0.05 0.1 0.05 0.1 0.05 0.1 0.05 0.1 0.0520 .09 .07 .05 .02 .03 .16 .13 .32 .39 .1730 .09 .07 .07 .01 .01 .16 .11 .35 .16 .4640 .07 .08 .09 .07 .05 .05 .04 .21 .08 .2950 .06 .07 .08 .08 .05 .01 .03 .17 .08 .2570 .03 .04 .07 .08 .07 .05 .02 .06 .03 .16100 .01 .02 .04 .06 .08 .08 .05 .01 .01 .07
Źródło:opracowaniewłasne.
-
146 JanuszL.Wywiał,AgnieszkaŹrubek
Tabela 10. BłędywzględneocenymocytestuwprzypadkurozkładuDaguma
nD(4,1252,15) D(8,2577,1) D(15,2978,1)
α = .1 α = .05 α = .1 α = .05 α = .1 α = .0520 .08 .07 .04 .04 .23 .4530 .08 .06 .05 .04 .24 .5540 .07 .08 .08 .04 .17 .4350 .06 .07 .08 .06 .18 .4170 .03 .04 .07 .08 .13 .31100 .01 .02 .05 .07 .09 .22
Źródło:opracowaniewłasne.
3. Podsumowanie
Badaniemocytestuwskazuje,czegonależałosięspodziewać,żemoctestumalejewrazzespadkamistopniaasymetriirozkładualternatywnego.
Zprzeprowadzonej analizy wynika, żesiła asymetrii rozkładu alternatywne-godohipotetycznego rozkładunormalnegomadużywpływnadokładność anali-tycznegowyznaczaniamocy tego testu. Imwiększy jestwspółczynnik skośnościrozkładu alternatywnego, tym większa jest ta dokładność. Rozpatrując rozkłady,dlaktórychwspółczynnikskośności jestnajwiększy, tzn. rozkład 23orazrozkład D(4,1252,15),widzimy,żemaksymalnybłąd,jakizostałpopełnionyprzywyzna-czaniumocytestuwsposóbanalityczny,wynosi9%,zatemniejestonduży.
Nadokładność analitycznegowyznaczaniamocy rozważanego testumatakżewpływ liczebność próby.Wwiększości przypadków zauważamy, żejeśli zwięk-szasięliczebnośćpróby,zwiększasięrównieżdokładność.Gdyliczebnośćpróby N=100orazgdypróbapochodzizrozkładu 23lubzrozkładuD(4,1252,15), awięcrozkładów,którecharakteryzująsięsilnąasymetrią,wówczaswidzimy,żeobliczonebłędywynoszą1%lub2%,wzależnościodprzyjętegopoziomuistotności.
Przeprowadzona analiza pozwala naużycie wpraktyce analitycznej metodyocenyrozważanegotestunanormalnośćrozkładuprawdopodobieństwa.
Literatura
GearyR.C.,[1] The distribution of the student’s ratio for the non-normal samples,„SupplementtotheJournaloftheRoyalStatisticalSociety”1936.KendallM.G.,[2] Rank Correlation Methods,C.GriffinandCompanyLimited,London1958.PawłowskiZ.,[3] O testach jednoznacznych,„PrzeglądStatystyczny”1958.PawłowskiZ.,[4] Moc pewnego testu,„PrzeglądStatystyczny”1959,s.141-150.WywiałJ.L.,[5] Rozważania na temat testu normalności zaproponowanego przez Z. Pawłowskiego, „PrzeglądStatystyczny”1979,26,s.101-110.
-
Odokładnościanalitycznegowyznaczaniamocypewnegotestunanormalność… 147
Wywiał J.L.,[6] Symulacyjna analiza mocy modyfikacji testu na normalności rozkładu prawdopodobieństwa zaproponowanego przez Z. Pawłowskiego,[w:]Badania ekonometryczne w teorii i praktyce,red.A.S.Barczak,WydawnictwoUEwKatowicach,Katowice2010,s.29--40.
ON ESTIMATION OF THE POWER OF A NORMALITY TEST
Summary:Thetestofnormalitybasedonrankcorrelationbetweenthesamplemeanandthesamplevarianceisconsidered.ThewellknownGeary’stheoremleadstotheconclusionthatsuchacorrelationisnotsignificantwhenthehypothesisonnormalitydistributionistrue.Thepaperconsiderstheestimatorofthepowerofthetestinthecaseofasymmetricalternatives.Onthebasisofcomputersimulationanalysistheaccuracyofthisestimatorisanalysed.Thechi-squareandDagum’sdistributionsareconsideredasalternativeones.Theanalysisofthesimulationresultsleadstoaconclusionthattheproposedestimatorofthepowercanbetreatedassufficientlyaccuratefromthepracticalpointofview.
Keywords:testingnormality,powerofatest,simulationanalysis,rankcorrelation.