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Zahlen geschickt addieren
Referentinnen:Andrea RenninghoffAnn-Kathrin EschmentAlexandra Jakobs
Fachwissenschaftliches Seminar unter der Leitung von Prof. Dr. Hochmuth WS 2005/06
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Gliederung
1. Problemstellung
2. Lösungsmöglichkeiten
3. Gruppenarbeit
4. Vorstellung der Lösungswege durch Seminarteilnehmer
5. „Wer trifft die Zahl?“ – ein Aufgabenformat
6. Einzelarbeit (mit Arbeitsblatt)
7. Vorstellung der Lösungswege
8. „Treppen“ als Beispiel geometrischer Zahlveranschaulichungen
9. Reflexion
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Summen von Zahlen Was ist Gegenstand?
aufeinander folgende natürliche Zahlen aufeinander folgende natürliche Zahlen mit festen
Abständen
Was wird gemacht?
Beziehung der Zahlen und Summen betrachten von bestimmten Ergebnissen mögliche Summen
suchen
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Aufgabe 1
Für welche Zahlen n ist es möglich die Menge Sn = {1, 2,…, n-1, n} in zwei summengleiche Teilmengen zu zerlegen?
Summengleich heißt, dass die Summe der Zahlen in der einen Teilmenge gleich der Summe der Zahlen in der anderen Teilmenge ist.
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Ansatzmöglichkeiten
Cuisenaire-Stäbe
Pärchenbildung
Gesamtsumme bilden
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Cuisenaire-Stäbe
Abb.1
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Pärchenbildung
Abb.2
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Gesamtsumme bilden
Ungerade: keine Zerlegung möglich Gerade: Zerlegung zu finden, falls diese existiert
Abb.3
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Allgemeine Lösung (Muster)
Summanden geeignet zusammenfassen
2 Fälle zu unterscheiden:
1. Summen mit gerader Anzahl von Summanden
2. Summen mit ungerader Anzahl von Summanden
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Fall 1: Gerade Anzahl von Summanden
Pärchenbildung
Abb.4
Abb.5
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Fall 1: Gerade Anzahl von Summanden
Summe = Produkt von Pärchenanzahl und Pärchensumme
Pärchenanzahl beträgt dabei die Hälfte der Summandenanzahl
Pärchensumme bildet sich aus dem ersten und letzten Glied
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Fall 2: Ungerade Anzahl von Summanden
Es gibt Mittelzahl (MZ)
Überschuss zu der symmetrisch zur MZ liegenden Partnerzahl hinzugefügt
Summe mit lauter gleichen Summanden: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9= 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5= 9 · 5 = 45
Summe = MZ · Summandenanzahl
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Verallgemeinerung
Auf arithmetische Reihen übertragbar
Abb.6
Abb.7
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Für welche n gerade /ungerade Summe?
Abwechselnd Addition gerader und ungerader Summanden
ungerade Anzahl ungerader Summanden: Gesamtsumme ungerade
Anzahl gerade: Gesamtsumme gerade
GSS abwechselnd zwei mal gerade und zwei mal ungerade
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Gerade Gesamtsumme1. N ist ein Vielfaches von 4, d.h. n = 4k, =>2k
summengleiche Pärchen zu bilden
2. Ist n um 1 kleiner als ein Vielfaches von 4,d.h. n=4k–1, werden die ersten drei Summanden zusammengefasst. Rest: Fall 1
Abb.8
Abb.9
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Gruppenarbeit
A2: Summengleiche Teilmengen einer Menge aufeinander folgender gerader natürlicher Zahlen {2,4,…,2n-2,2n}
A3: Summengleiche Teilmengen einer Menge aufeinander folgender ungerader natürlicher Zahlen{1,3,…2n-3,2n-1}
A5: Summen von zwei, drei, vier aufeinander folgender Zahlen
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„Wer trifft die 50?“ – Erläuterung des Aufgabenformats
Es wird eine Start- und eine Additionszahl gewählt.
2. Kästchen: Summe aus Start- und Additionszahl
weitere Kästchen: Summe aus der Zahl im vorhergehenden Kästchen und der Additionszahl, bis 5 Kästchen voll sind.
In das letzte Kästchen wird die Summe der ersten 5 Kästchen eingetragen.
Aufgabe: Finde Kombinationen aus Start- und Additionszahl, bei denen die Zielzahl „50“ ist.
Additionszahl +
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Geschickt addieren durch Einsatz von Treppen
Arithmetische Reihe (d=3): 10∙7=701 4 7 13 16 1910
-9 -6 -3 0 +3 +6 +9
Diese Operation (Ausgleich um die Mittelzahl) kann auch durch Treppen veranschaulicht werden:
Und andersherum?
1 4 7 10 13 16 1910 10 10 10 10 10 10
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Reihenbildung durch Einsatz von Treppen
Z=90 Darstellbar als Produkt von: 9∙10
Bzw. als Summe von: 10+10+10+10+10+10+10+10+10
Wie könnte man „90“ noch als Treppenmuster darstellen, wenn d konstant sein soll?
10 10 10 10 10 10 10 10 10 6 7 8 9 10 11 12 13 14
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Reihenbildung durch Einsatz von Treppen
Z=90
2. Möglichkeit (d=2): 3. Möglichkeit (d=3):
Bisher wurden nur Beispiele erwähnt, in denen eine ungerade Anzahl von Summanden vorlag. Ist es ein Problem, wenn kein Mittelwert direkt existiert?
2 4 6 8 10 12 14 16 18
-2 1 4 7 10 13 16 19 22
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Geschickt addieren durch Einsatz von Treppen
5 7 9 13 15 1711 19Beispiel: d=2
-7 -5 -3 -1 +1 +3 +5 +7
Naheliegend: Pärchenbildung
5 7 9 11 13 15 17 19 24 24 24 24
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Geschickt addieren durch Einsatz von Treppen
5 7 9 13 15 1711 19Aber auch hier kann ein Mittelwert ermittelt werden, nämlich:
(11+13) : 2=12 [(11+13) : 2] ∙8=96
Diese Operation (Ausgleich um die MZ) kann ebenso durch Treppenmuster veranschaulicht werden:
Summe
5 7 9 11 13 15 17 19 12 12 12 12 12 12 12 12
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Reihenbildung durch Einsatz von Treppen
Z=72Darstellbar als Produkt von: 6∙12
Bzw. als Summe von: 12+12+12+12+12+12
12 12 12 12 12 127 9 11 13 15 17
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Reihenbildung durch Einsatz von Treppen
Z=72
2. Variante: 3. Variante:
2 6 10 14 18 22
-3 3 9 15 21 27
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Geschickt addieren durch zweifache Summierung- Was heißt das?
1 4 7 10 13 16 19
19 16 13 10 7 4 1+2020 20 20 20 20 20 summiert
7∙ 20=140
140:2=70
Summe der Reihe: 70,
da
Wie würde diese Rechnung mit Treppen veranschaulicht werden?
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Literaturangabe:
Müller, Gerhard N.,Steinbring, Heinz,Wittmann Erich Ch. (Hg.): Arithmetik als Prozess, Kallmeyersche
Verlagsbuchhandlung GmbH, Seelze, 2004