Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
1
Základné pojmy finančnej matematiky
Banka je miesto, kde si odkladáme prípadne požičiavame peniaze. Stará sa, aby nám ich nikto neukradol a posiela ich na základe nášho príkazu na iné účty v rámci danej banky alebo do iných bánk (trvalý príkaz, internetbanking, ...). Banka má náklady na svoju činnosť (budovy, zamestnanci, bezpečnosť, ...), preto musí zarábať. Vyberá poplatky za vedenie účtu, prevedenie transakcií a z požičaných peňazí úroky. Aj keď sú v prevažnej miere súkromné, podliehajú dozoru Slovenskej Národnej Banky. Základné pojmy: Klient – človek , ktorý využíva bankové služby. Bankár – zamestnanec banky, ktorý sa zaoberá bankovníctvom. Prevod peňazí – operácia, ktorou sa bezhotovostne prevedú peniaze z jedného účtu na druhý účet. Bežný účet – účet na ktorý prichádzajú platby napr. mzda a prostredníctvom ktorého platíme stále platby (nájom, telefón, ...), prípadne jednorazové platby. Sporiaci účet – účet, na ktorý si klient ukladá peniaze a zhodnocuje ich v podobe úrokov. Termínovaný účet – účet, na ktorý si klient uloží peniaze na určitú dobu a získava úrok iba, ak nevyberie peniaze počas dohodnutej doby. Kontokorent – účet, na ktorom má klient povolené od banky čerpať peniaze do mínusu v rámci stanoveného limitu na svojom bežnom účte, alebo účte špeciálne k tomu vyhradenému. Poplatky – ceny za nejakú službu (vedenie účtu, karty, prevod peňazí, ...). Každá banka môže mať iné poplatky za tú istú službu. Transakcie – prevod peňazí, predaj produktov, schválenie úveru a ďalšie rôzne aktivity banky. Úver – pôžička banky klientovi
hypotekárny – poskytuje sa na bývanie (kúpa alebo prestavba bytu, domu); je zaistený zastavením nehnuteľnosti
spotrebný – úver na spotrebný tovar; je na neho vyšší úrok
mladomanželská pôžička – musia byť splnené podmienky: - manželstvo trvá najviac dva roky - obaja majú najviac 35 rokov - spoločný príjem je nižší ako 2,6 násobok priemernej mzdy - nižší úrok
nákup na splátky – zabezpečujú ho spravidla rôzne spoločnosti, nie banky. Sú často na veľmi vysoký úrok.
kreditná karta Úrok – odmena klientovi za to, že do banky uložil peniaze alebo odmena banke za požičanie peňazí. Môžeme ho vyjadriť:
v eurách ako výšku pripísanej sumy na účte, prípadne akú sumu zaplatíme za požičanie peňazí
v percentách znamená percentuálnu časť z istiny (vložená respektíve požičaná suma); najčastejší je ročný (ozn. p.a. – per annum)
daň z úrokov z úrokov sa platí 15% daň
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
2
RPMN (ročná percentuálna miera nákladov) – súhrn všetkých poplatkov a nákladov, ktoré musí klient zaplatiť banke pri riadnom plnení úverovej zmluvy počas celej doby splácania úveru. Vyjadruje sa percentuálnym podielom z dlžnej čiastky za jeden rok. Bonita – ohodnotenie klienta ako dobre je schopný splácať budúci dlh; čím vyššia je bonita , tým nižší je úrok; analyzujú
osobné údaje
pravidelné výdaje klienta a celej domácnosti
úverovú históriu a platobnú morálku (vyhľadajú to v úverových registroch) Platobné karty – karty, ktoré klient využíva pri bezhotovostných platbách
debetná karta je spojená so zostatkom na bežnom účte a môžeme platiť len do výšky disponibilného zostatku na účte
embosovaná karta – okrem platenia pomocou elektronického terminálu, výberu v bankomatoch (ako debetná karta) je vybavená reliéfnym písmom, ktorý umožňuje platbu pomocou mechanickej čítačky
kreditná karta je spojená s možnosťou čerpať úver. Úverový limit karty nie je závislý od bežného účtu; niektoré banky vydávajú kreditné karty aj keď klient nemá v banke založený bežný účet; môžeme platiť aj keď nemáme dostatok peňazí – výberom touto kartou si vlastne požičiavame a musíme to banke vrátiť (aj s vysokými úrokmi, ak nevložíme späť peniaze do určitej dohodnutej doby).
Zodpovedné správanie pri vybavovaní pôžičky
Pri úveroch nás zaujímajú úroky, pretože vyjadrujú sumu, ktorú musíme banke zaplatiť za požičané peniaze. Úver si musíme dobre zvážiť:
vziať si ho predovšetkým v banke (na Slovensku dobre fungujú); prejsť si ponuky viacerých bánk a vybrať najvýhodnejšiu
dávať si pozor na nebankové subjekty – pozorne si preštudovať podmienky poskytovania úveru, pretože majú veľmi vysoké úroky a pre klienta zlé podmienky splácania (parlament prijal zákon, ktorý obmedzuje výšku úrokov)
pri investovaní dávať pozor na subjekty, ktoré sľubujú vysoké výnosy, aby sme neprišli o celoživotné úspory; aj v rámci banky pri investovaní vyššej sumy zistiť, či daný produkt je garantovaný štátom
Ak si plánujeme vziať úver v banke musíme zvážiť:
výšku úroku
výšku splátky
preplatenie úveru
zmluvné podmienky, sankcie
poplatky za vedenie úverového účtu Pozor!!! Pri podpisovaní akejkoľvek zmluvy (pôžička, telefón,...) si ju najprv podrobne prečítajte, aj to čo je písané drobným písmom. Ak niečomu nerozumiete nehanbite sa spýtať, prípadne poradiť s právnikom.
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
3
Bezhotovostné spôsoby platby
Výhodou takýchto platieb je, že nemusíme nosiť so sebou hotovosť. Môžeme využívať rôzne spôsoby platby. 1. Internetové bankovníctvo
môžeme sledovať stav a pohyby na účte, zadávať platby prípadne príkazy na stále platby
komunikácia je zabezpečená prihlasovacím menom a heslom; heslo je buď trvalé, ktoré pozná klient a banka, alebo generované pre každé pripojenie zvlášť pomocou prístupového kľúča
2. Telefónne, SMS bankovníctvo
má veľa podôb; pokyny sa zadávajú pomocou hlasu (telefón), poslaním SMS, vyťukaním čísla účtu, kódu ap.
používajú sa tiež hesla a kódy
je na ústupe, výhodnejšie je internetové bankovníctvo 3. Platobná karta
vznikla, aby ľudia nenosili hotovosť
niektoré údaje sú natlačené – meno, dátum vydania a platnosti, číslo karty
ďalšie údaje sú na magnetickom prúžku alebo čipe, ktorý je bezpečnejší, pretože sa ťažšie kopíruje
platba musí byť autorizovaná PIN kódom alebo podpisom; PIN kód sa zadáva pri výbere bankomatom alebo platení v obchode
podvodníci sa snažia karty kradnúť alebo kopírovať, ale transakcie sú bezpečné; dôležité je správať sa zodpovedne (nepožičiavať kartu, nikomu nehovoriť PIN kód ani ho nemať zapísaný pri karte)
môžeme ňou platiť aj cez internet (zadáva sa číslo karty, platnosť, meno a kód, ktorý je na druhej strane karty
4. Šek
papier, ktorým klient prikazuje svojej banke, aby tomu kto šek predložil zaplatila danú čiastku
musí tam byť meno, kto ho vystavil, čiastka, dátum vystavenia, splatnosť
u nás sa využíva veľmi málo 5. Platobný príkaz
stačí vyplniť príkaz, podpísať ho a odovzdať pri priehradke v banke, kde máme účet; prevod je drahší ako cez internet
Jednoduché úrokovanie
je typ úrokovania, ktoré sa používa pri uložení kapitálu na dobu kratšiu ako je jedno úrokové obdobie
úrokuje sa iba základná istina a vyplácané úroky sa k nej nepripočítavajú a ďalej neúročia
úroky sú vyplácané podľa typu jednoduchého úrokovania na začiatku alebo konci úrokového obdobia
Vzorce
ndiKú ).1.(.0 )).1.(1.(00 ndiKúKKn %100
raúrokovámiei
ú – úrok
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
4
0K - súčasná hodnota kapitálu (istina)
nK - budúca hodnota kapitálu
i – úroková sadzba (úroková miera) vyjadrená ako desatinné číslo (vyjadruje sa prevažne ročná úroková sadzba p.a.) d – zrážková daň (daň z úrokov) vyjadrená ako desatinné číslo; ak 0d o zrážkovej dani neuvažujeme n – dĺžka úrokového obdobia v jednotkách úrokovej periódy (doba uloženia kapitálu) Doba n sa stanovuje podľa tzv. štandardov (konvencií)
Spôsob Štandard Počet dní v mesiaci Počet dní v roku
Nemecký (európsky) 30E/360 30 360
Americký 30A/360 30/31 360
Francúzsky (medzinárodný) ACT/360 skutočný 360
Anglický ACT/365 skutočný skutočný
Poznámka 1:
ak zaokrúhľujeme počet dní v roku, hovoríme o bankovej metóde
ak za počet dní v roku berieme skutočný počet hovoríme o exaktnej (presnej) metóde
Pri oboch metódach môžeme vyjadriť skutočný počet dní v mesiaci (podľa kalendára) alebo každý mesiac má 30 dní
Poznámka 2:
musíme si uvedomiť, že n (dobu uloženia kapitálu) môžeme vyjadriť
360
tn - ak počítame v dňoch
12
zn - ak počítame v mesiacoch
Príklad 1: Po letnej brigáde ste si do banky uložili 800 €. Úroková sadzba je 4 % p.a. (ročná úroková miera). Úroky z vkladu sú zdanené 15 % zrážkovou daňou. Akú čiastku si môžete vybrať po 3 mesiacoch? Riešenie:
ide o jednoduché úrokovanie, pretože počítame v rámci jedného úrokového obdobia
vypíšeme, čo poznáme a čo máme vypočítať
;8000 K ;04,0%100
%4i ;15,0
%100
%15d ;
12
3n ?nK
80,80612
3.15,01.04,01.800.1.10
ndiKKn
Po 3 mesiacoch si môžete vybrať 806,80 €.
3 mesiace z 12 mesiacov (1rok)
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
5
Príklad 2 Od veriteľa ste si požičali 400 € a za rok mu musíte vrátiť 440 €. Aká je výnosnosť pôžičky pre veriteľa? Predpokladá sa ročná úroková sadzba, bez zrážkovej dani. Riešenie:
ak chceme vypočítať výnosnosť musíme vypočítať i – ročnú úrokovú sadzbu, vyjadrením neznámej zo vzorca, prípadne dosadíme do vzorca a riešime ako rovnicu
vo vzorci ndiKKn .1.10 vynecháme d1 , pretože neuvažujeme
o zrážkovej dani a tak d = 0
;4000 K ;440nK ;1n ?i
niKKn .10 nK
KKi n
.0
0
niKKKn ..00 / 0K %101,01.400
400440
i
niKKKn ..00 / nK .: 0
inK
KK n
.0
0
Odpoveď: Výnosnosť pôžičky pre veriteľa je 10 %. Príklad 3 Za koľko dní vzrastie vklad 60 € na 64 € pri ročnej úrokovej miere 8 % a použitím štandardu ACT/360. Riešenie:
štandard ACT/360 znamená, že počítame skutočný počet dní
potrebujeme vypočítať n a potom presný počet dní
;600 K ;64nK ;08,0i ;0d ?n
niKKn .10
n.08,01.6064
n.8,46064 360
tn
n.8,44 3606
5 t
6
5
48
40 nn t300
Odpoveď: Vklad zo 60 € na 64 € vzrastie pri úrokovej miere 8 % za 300 dní.
Zložené úrokovanie
Je typ úrokovania, ktoré sa využíva na uloženie kapitálu na dlhšiu dobu ako jedno úrokové obdobie a zároveň na celý počet úrokových období
Úroky sa pripisujú k istine a spolu s ňou sa ďalej úročia Vzorce
n
nm
diKK
1.1.0
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
6
ndKK n ,,,0 : označenie ako pri jednoduchom úrokovaní
m: frekvencia úrokovania (koľkokrát za rok sú pripisované úroky m = 1 ročne (jedenkrát za rok) m = 2 polročne (dvakrát za rok) m = 4 štvrťročne (štyrikrát ročne) V príkladoch pokiaľ to nie je uvedené inak, predpokladáme:
d = 0, tak neuvažujeme o zrážkovej dani
m = 1, tak uvažujeme o ročnom pripisovaní úrokov
Motivačný príklad Peter a Marek sa rozhodli uložiť do banky 10 000 € so 6 % ročnou úrokovou sadzbou, na 10 rokov. Peter si zvolil jednoduché úrokovanie svojich peňazí a Marek si zvolil zložené úrokovanie. Ktorý z nich ich uložil výhodnejšie? Vysvetlite prečo. Riešenie:
vypočítame budúcu hodnotu kapitálu, ktorú získame pri jednoduchom úrokovaní a zloženom úrokovaní
Peter si zvolil jednoduché úrokovanie, použijeme vzorec pre jednoduché úrokovanie
;100000 K ;06,0i ;10n ;0d ?10 KKn
niKKn .10
1600010.06,01.1000010 K
Marek si zvolil zložené úrokovanie, použijeme vzorec pre zložené úrokovanie
;100000 K ;06,0i 1m (jedno úrokové obdobie za 1 rok); 101.10 n ; ;0d
?10 K
n
nm
iKK
10
48,179081
06,01.10000
10
10
K
Odpoveď: Výhodnejšie si uložil peniaze Marek, pretože po 10 rokoch bude mať 17908 € a Peter len 16000 €. Je to preto, lebo pri zloženom úrokovaní sa úroky pripisujú k istine a ďalej úročia s istinou. Poznámka:
dokázali sme, že ak si chceme uložiť peniaze na viac úrokových období je výhodnejšie použiť zložené úrokovanie (podobne bude aj veriteľ používať úrokovanie pri pôžičke)
Príklad 1 Na dvojročný termínovaný vklad ste si uložili 1000 €. Úroky sú pripisované polročne. Koľko si budete môcť vybrať za 2 roky, ak úroková sadzba na tento vklad je 4 % p.a. a daň z úrokov je 15 %? Riešenie:
;10000 K ;04,0i ;15,0d 2m (2 polroky za jeden rok); 42.2 n (za 2 roky
vám pripíšu úroky 4 krát – sú to 4 polroky); ?nK
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
7
n
nm
diKK
1.10
75,1069
2
15,01.04,01.1000
4
nK
Pri daných podmienkach si budeme môcť vybrať 1069,75 €. Príklad 2: Pri akej ročnej úrokovej sadzbe so štvrťročným pripisovaním úrokov sa nám za 5 rokov zúročí 5000 € na 7000 €? Riešenie:
máme vypočítať ročnú úrokovú sadzbu tzn. i, zo základného vzorca si vyjadríme i a dosadíme (ak nevieš rieš ako rovnicu)
;50000 K ;7000nK ;4m 204.5 n (za 5 rokov je 20 štvrťrokov); ;0d ?i
n
nm
iKK
10 m
K
Ki n
n .10
n
n
m
i
K
K
1
0
4.15000
700020
i
m
i
K
Kn
n 10
0679,0i %79,6
m
i
K
Kn
n 10
imK
Kn
n
.1
0
Odpoveď: Za daných podmienok sa nám peniaze zúročia pri úrokovej miere 6,79 %.
Zmiešané úrokovanie
ide o kombináciu jednoduchého a zloženého úrokovania
používa sa pri uložení kapitálu na dobu, ktorú nie je možné vyjadriť ako celý počet úrokových období
Vzorce:
ldi
m
diKK
n
n .1.1.1.
1.0
0
mdiKKn ,,,, 0 : ako pri zloženom úrokovaní
0n : počet celých úrokových období
l: zostávajúca doba uloženia (vyjadrená v rokoch) Poznámka:
pri dosadení 00 n dostaneme vzorec pre jednoduché úrokovanie
pri dosadení 0l dostaneme vzorec pre zložené úrokovanie
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
8
Príklad 1 Na koľko sa zúročí 2000 € za 8 rokov a 3 mesiace pri úrokovej sadzbe 12 % p.a. a ročnom úročení. Riešenie:
potrebujeme vypočítať nK
použijeme vzorec pre zmiešané úrokovanie, pretože nemáme celé úrokované obdobia (ročné úročenie; 8 rokov a 3 mesiace)
;20000 K ;12,0i 1m (ročné úrokovanie); 80 n (8 rokov); 4
1
12
3l (3 mesiace
z 1 roka; 1 rok = 12 mesiacov); ?nK
ldi
m
diKK
n
n .1.1.1.
1.0
0
48,51004
1.12,01.
1
12,01.2000
8
nK
Odpoveď: Za dané obdobie sa 2000 € zúročí na 5100,48 €. Úloha 1: Ak by sme počítali iba pomocou zloženého úrokovania získali by sme menej peňazí ako pomocou zmiešaného úrokovania. Skúste si to prepočítať.
Efektívna úroková sadzba
používa sa pri porovnávaní výhodnosti uloženia kapitálu v rôznych bankách
pri pripisovaní úrokov raz ročne dáva rovnakú splatnú čiastku, ako nominálna úroková sadzba pri pripisovaní úrokov m – krát ročne
o spojitom úrokovaní hovoríme vtedy, ak v období jedného roka je nekonečne veľa nekonečne krátkych úrokových období
Vzorce:
11
m
em
ii 1 i
e ei - pri spojitom úrokovaní
ei : efektívna úroková sadzba
i : ročná úroková sadzba m: frekvencia úrokovanie
pri ročnom pripisovaní úrokov platí: iie
Príklad 1 Chcete si uložiť peniaze a máte možnosť si zvoliť z ponúk 4 bánk: Banka A ponúka úrokovú sadzbu 13 % p.a. s denným pripisovaním úrokov Banka B ponúka úrokovú sadzbu 13,5 % p.a. s polročným pripisovaním úrokov Banka C ponúka úrokovú sadzbu 14 % p.a. s ročným úročením Banka D ponúka úrokovú sadzbu 12,8 % so spojitým úročením Riešenie:
každá banka má inú úrokovú sadzbu, iné pripisovanie úrokov, preto pre porovnanie využijeme vzorce na výpočet efektívnej úrokovej sadzby
Banka A: 360;13,0 mi (denné pripisovanie úrokov, používame normu 30/360)
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
9
1388,01360
13,0111
360
m
em
ii %88,13
Banka B: 2;135,0 mi (polročné pripisovanie úrokov tzn. 2 – krát za rok)
1396,012
135,0111
2
m
em
ii %96,13
Banka C: 1;14,0 mi (ročné úročenie tzn. iie )
14,0ei %14
Banka D: 128,0i ; spojité úročenie
1366,011 128,0 eei i
e %66,13
porovnáme jednotlivé percentá a vyberieme si najvyššiu hodnotu, pretože je to pre nás najvýhodnejšie dosiahneme najvyššiu budúcu hodnotu uloženého kapitálu
13,66 % < 13,88 % < 13,96 % < 14 % D A B C Odpoveď: Najvýhodnejšia je banka C.
Umorovací počet
Úmor dlhu – je tá časť splátky úveru, ktorá znižuje dlžnú čiastku Splátka (anuita) úveru sa skladá z úrokov a úmoru dlhu
umorovať dlh môžeme rovnakým úmorom alebo rovnakou splátkou
pre výpočet splátky budeme uvažovať umorovanie dlhu splátkami v rovnakej (konštantnej) výške, ktoré sú uskutočňované pravidelne vždy raz za úrokové obdobie a to na jeho konci
Umorovací plán – je dokument , ktorý obsahuje pre jednotlivé obdobia splácania úveru:
výšku splátky
výšku úroku
výšku úmoru
stav dlhu Pre prehľadnosť je výhodné zapisovať umorovací plán do tabuľky. Vzorce: Umorovanie dlhu konštantnou anuitou:
n
iDa
1.
i
1
1
D: počiatočná hodnota dlhu i: úroková sadzba za úrokové obdobie (nemusí byť ročná) n: počet úrokových období, počas ktorých sa dlh spláca (nemusí byť počet rokov) a: veľkosť jednej pravidelnej splátky (anuita) : diskontný faktor
Príklad 1: Podnikateľ si zobral v banke úver 500 000 € s úrokovou sadzbou 6,25 % p.a.. Má byť splatený 8 rovnakými splátkami zaplatenými ku koncu roka. a) Vypočítajte výšku splátky. b) Vytvorte umorovací plán.
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
10
c) Aký úrok zaplatil podnikateľ v 3. roku? d) Aký je zostatok dlhu v 6.roku? e) Aká je celková umorená časť dlhu ku koncu 6.roka? Riešenie:
urobíme si umorovací plán (tabuľka)
vypočítame anuitu (výšku splátky) a postupne budeme dopĺňať tabuľku Umorovací plán:
Splátka Úrok Úmor Stav dlhu
Počiatočný stav _________ __________ _________ 500 000,00
Koniec 1. roka 81 316,48 31 250,00 50 066,48 449 933,52
Koniec 2. roka 81316,48 28 120,85 53 195,63 396 737,89
Koniec 3. roka 81316,48 24 796,12 56 520,36 340 217,53
Koniec 4. roka 81316,48 21 263,60 60 052,88 280 164,65
Koniec 5. roka 81316,48 17 510,29 63 806,19 216 358,46
Koniec 6. roka 81316,48 13 522,40 67 794,08 148 564,38
Koniec 7. roka 81316,48 9 285,27 72 031,21 76 533,17
Koniec 8. roka 81316,49 4 783,32 76 533,17 0,00
Výpočet výšky splátky:
8;0625,0;500000 niD
48,81316
0625,01
11
0625,0.500000
1
11
.1
.8
nn
i
iD
iDa
Vyplňovanie tabuľky:
vypíšeme prvý riadok a stĺpec a vypočítame anuitu
do tabuľky môžeme splátku zapísať (2. stĺpec) do riadku 1. – 7. rok
začneme vyplňovať jednotlivé riadky Počiatočný stav:
vyplníme len stav dlhu (sumu, ktorú sme si požičali) Koniec 1. roka: Splátka : máme zapísanú (81 316,48) Úrok (3. stĺpec): Stav dlhu v riadku počiatočný stav vynásobíme i 312500625,0.500000
Úmor (4. stĺpec): od splátky odčítame úrok (v riadku koniec 1. roka) 48,500663125048,81316
Stav dlhu (5. stĺpec): od stavu dlhu (počiatočný stav) odčítame úmor (koniec 1. roka) Koniec 2. roka: Splátka: máme zapísanú Úrok: Stav dlhu (koniec 1. roka) vynásobíme i
85,281200625,0.52,449933
Úmor: od splátky odčítame úrok 63,5319585,2812048,81316
Stav dlhu: od stavu dlhu (koniec 1. roku) odčítame úmor (koniec 2. roka) 89,39673763,5319552,449933
Takýmto spôsobom postupujem pokiaľ nevyplníme všetky riadky okrem posledného.
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
11
Koniec 8. roka:
vypočítame úrok
do stavu dlhu zapíšeme 0
do úmoru zapíšem stav dlhu na konci 7. roka
vypočítame splátku (sčítame úrok a úmor) Keď sme vyplnili celú tabuľku využijeme je na hľadanie odpovedí na zadané otázky. Odpoveď: a) Výška splátky je 81 316,48 €.
vypočítali sme podľa vzorca b) umorovací plán (tabuľka) c) Podnikateľ zaplatil v 3. roku 24 796,12 €.
Zistili sme to z tabuľky v stĺpci „úrok“ a v riadku „koniec 3. roka“ d) Na konci 6. roka je zostatok dlhu 148 564,38 €.
Zistili sme to z tabuľky v stĺpci „stav dlhu“ a riadku „koniec 6. roka“ e) Na konci 6. roka je umorených 351 435,63 €.
Môžem to zistiť dvojakým spôsobom: od celkového dlhu odčítame stav na konci 6. roka (500 000 – 148 564,38) alebo sčítame úmor od 1. roka do 6. roka
Finančná gramotnosť
Finančná gramotnosť je naša schopnosť používať poznatky a zručnosti na efektívne riadenie vlastných finančných zdrojov tak, aby sme si zaistili finančné zabezpečenie na celý život.
Finančná gramotnosť Slovákov je slabá aj napriek tomu, že možnosti finančného vzdelávania na slovenských školách je najlepšia (podľa OECD). 15 % slovenských študentov má finančné povedomie pod základnou úrovňou. Z 18 skúmaných krajín má slabšie výsledky už len Taliansko a Kolumbia, najlepšie výsledky dosiahli mladí ľudia v Číne. Vyplynulo to zo štúdie organizácie, ktorá testovala vzťah mladých k financiám. (webnoviny, 15. 09. 2014.)
Nadácia PARTNERS a agentúra FOCUS zrealizovali prieskum, ktorý sa zameral na základné poznatky z ekonómie a financií. Prieskum sa realizoval face to face v období 14.08. – 20.08.2014. Zúčastnilo sa ho 720 respondentov, obyvateľov Slovenskej republiky, ktorí majú aspoň 18 rokov. Z prieskumu vyplynulo, že:
56 % Slovákov nevie zhodnotiť výhodnosť úverov výpočtom prostredníctvom úroku a RPMN (ročná percentuálna miera nákladov),
74 % Slovákov nevie rozlíšiť mieru rizika investícií, ktoré sú kľúčové pri výbere investičného produktu alebo určení stratégie 2. A 3. dôchodkového piliera.
Finančné správanie Slovákov:
43 % neušetrí z mesačného príjmu vôbec nič,
42 % ušetrí menej ako 10 %. Podľa údajov Eurostatu obyvatelia Eurozóny ušetria 14 % svojich príjmov (najviac
Švajčiari 17 %). Avšak 85 % Slovákov je pod európskym priemerom respektíve na nule.
Zo Slovákov, ktorí si požičali, 44 % dáva na splátky pôžičiek tretinu svojich príjmov, 35 % minie na splátky do tretiny a 9 % viac ako tretinu príjmu. Na druhej strane sa 55 % Slovákov si nepožičiava vôbec.
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
12
Kombinatorika
Kombinatorika je súčasť diskrétnej matematiky, ktorá študuje (spravidla) konečné množiny objektov, ktoré vyhovujú zadaným kritériám a zaoberá sa najmä "počítaním" objektov v týchto množinách a rozhodovaním, či isté objekty a množiny objektov vôbec existujú . Jedným z najvýznamnejších kombinatorikov nedávnej doby bol Gian-Carlo Rota, ktorý pomohol sformalizovať kombinatoriku začiatkom šesťdesiatych rokov.
Podobne ako matematika sprevádza ľudstvo po celú dobu jeho histórie, tiež kombinatorika sa v histórii objavuje už veľmi dávno. Prvé kombinatorické poznatky, príklady a výsledky môžeme nájsť už v období okolo roku 2000 pred Kristom. Texty vzťahujúce sa ku kombinatorike nachádzame najčastejšie v indickej a čínskej civilizácii. Väčšinou je však zložité určiť čo len približný dátum vzniku týchto textov. Obsahujú totiž celý rad poznámok a záznamov, ktoré často nie sú pôvodné a do textov sa dostali v neskoršom období. Mnoho prác sa vôbec nezachovalo, existujú na ne len odkazy.
Vypátrať históriu základných pravidiel kombinatoriky pre počítanie je zložité aj z ďalších dôvodov. Pravidlá kombinatoriky sú natoľko jednoduché, že boli používané často len intuitívne, bez konkrétneho doloženia ich znalosti. Z mnohých príkladov je zrejmé, že ľudia tieto pravidlá poznali, ale nikde ich nenájdeme presne popísané. Výsledky bolo možné získať jednoduchým vypísaním všetkých možností. Asi najznámejšie príklady z histórie sú rôzne kombinácie chutí, ktoré môžeme získať zo šiestich základných: sladkej, kyslej, slanej, horkej, ostrej a trpkej; príklady na vytváranie slov z rôzne dlhých slabík; miešanie vôní; a tak ďalej (zdroj: wikipedia).
Faktoriál
Pre každé prirodzené číslo n definujeme:
1.2.3.........3.2.1.! nnnnn ; .1n
Symbol !n čítame „ n faktoriál“ a znamená súčin čísel od n do .1 Špeciálne platí:
.1!0 Faktoriál budeme využívať pri riešení rôznych kombinatorických úloh ako
prostriedok na dosiahnutie „počítania“ objektov v konečných množinách. Príklad 1. Pomocou definície rozpíšte výraz: a) !5 b) !a
c) !2n d) !.3k
Riešenie: a) 1201.2.3.4.5!5
b) 1.2.3......3.2.1.! aaaaa
c) 1.2.3.......2.1..1.2!2 nnnnnn
d) 1.2.3........6.5.4.3!3 kkkkk
Na výpočet faktoriálu možno použiť aj kalkulačku. Slúži na to tlačidlo
!x .
Použitie kalkulačky uvedieme v nasledujúcom príklade.
Príklad 2. Pomocou kalkulačky vypočítajte: a) !7 b) !.28
Riešenie:
a) !7 = SHIFT !x 5040
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
13
b) !28 = SHIFT !x 2910.05,3
V niektorých príkladoch je výhodné faktoriál rozpísať nie ako súčin od n do 1,
ale od n po iné číslo alebo iný výraz, ktorý v príklade už vystupuje. Uvedieme
v nasledujúcom príklade. Príklad 3. Rozpíšte výraz obsahujúci faktoriál: a) !5 b) !a
c) !2n d) !3k
Riešenie: a) !2.3.4.5!3.4.5!4.5!5
b) .....!3.2.1.!2.1.!1.! aaaaaaaaaa
c) .....!1..1.2!.1.2!1.2!2 nnnnnnnnnn
d) .....!6.5.4.3!5.4.3!4.3!3 kkkkkkkkkk
Z dôvodu podmienky výrazu obsahujúceho faktoriál, kde pre !n platí 1n
a špeciálne 1!0 , je nutné určovať podmienky pre výrazy obsahujúce faktoriál stále.
Uvedieme v nasledujúcom príklade.
Príklad 4. Určte podmienky výrazu: a) !a b) !2n
c) !3k .
Riešenie: a) Zaaa 0!
b) Znnnn 202!2
c) .303!3 Zkkkk
Príklad 5. Upravte a určte podmienky: a) !3!.5
!8 b)
!7
!5
!
!2
k
k
k
k
Riešenie: Pri zjednodušovaní výrazu vyjadríme výraz s väčšou hodnotou pomocou menšieho:
a) 561
7.8
1.2.3
6.7.8
1.2.3!.5
!5.6.7.8
!3!.5
!8
b)
1.2
!7
!7.6.5
!
!.1.2
!7
!5
!
!2kk
k
kkk
k
kkk
k
k
k
k
32823065226.5 222 kkkkkkkkkk
Podmienky: 5050202 kkkkk
Zkkkk 7707
Poznámka: výslednú podmienku vytvoríme ako prienik jednotlivých podmienok, prípadne priamo z faktoriálu s najmenšou hodnotou.
Príklad 6. Riešte rovnicu:
.2553!1
!3 2
xx
x
x
Riešenie:
2553!1
!3 2
xx
x
x
2553
!1
!1.2.3 2
xx
x
xxx
2553623 22 xxxxx
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
14
2518 x / 1
248 x / 8: 3x
Podmienky: Zxxxxxx 1101303
Keďže riešenie rovnice spĺňa uvedenú podmienku, platí .3P
Kombinatorické pravidlo súčinu
Na základe skúseností alebo vypisovaním konkrétnych možností riešme nasledujúce motivačné príklady, v ktorých budeme zisťovať počet možností v konkrétnej situácii a pomocou výsledku vydedukujeme pravidlo, ktoré ich bez vypísania možností bude vedieť vypočítať.
Motivačný príklad 1. Z mesta A do mesta B vedú štyri cesty a z mesta B do mesta C vedú tri cesty. Určte počet možností, ktoré udávajú počet ciest z mesta A do mesta C a pritom prechádzajú cez mesto B. Riešenie: Uvedenú situáciu si načrtneme a jednotlivé cesty označíme:
Z obrázka vyplýva, že možnosti sú: a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 d1 d2 d3. Možností na výber cesty z mesta A do mesta B sú štyri a možností na výber cesty z mesta B do mesta C sú tri, teda možností na výber cesty z mesta A do mesta C sú 4.3=12. Motivačný príklad 2. Určte počet všetkých trojciferných čísel vytvorením z číslic 3,5. Riešenie: Možnosti vyhovujúce podmienkam úlohy sú: 333 335 353 355 533 535 553 555. Všetkých trojciferných čísel, ktoré spĺňajú podmienky úlohy je: 2.2.2=8. Kombinatorické pravidlo súčinu(vydedukované z motivačných úloh):
A C
B
a
b
c
d
1
2
3
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
15
Počet všetkých usporiadaných k -tic, ktorých prvý člen možno vybrať 1n spôsobmi,
druhý člen po výbere prvého člena 2n spôsobmi, a tak ďalej, až k -ty člen po výbere
všetkých prechádzajúcich členov kn spôsobmi, sa rovná:
knnnn ........ 321 .
Variácie a permutácie s opakovaním a bez opakovania
Riešením jednotlivých príkladov v predchádzajúcej stati (Kombinatorické pravidlo súčinu) sme sa všimli, že v každom príklade sme vytvárali k -prvkové
podmnožiny utvorené z n prvkov tak, že v nich záleží na poradí (sú usporiadané).
Jednotlivé situácie v príkladoch sa od seba líšia porovnaním veličín kn, a taktiež
tým, či je v danej situácii dovolené opakovanie prvkov. Analýzou uvedených odlišností možno rozdeliť jednotlivé prípady do štyroch
skupín takto:
A. Variácie k -tej triedy z n prvkov bez opakovania nVk
vytvárame usporiadanú k -prvkovú podmnožinu z n prvkov bez
opakovania prvkov, pričom k < n ;
počet variácií k -tej triedy z n prvkov bez opakovania možno určiť jednak kombinatorickým pravidlom súčinu alebo vzorcom
!
!
kn
nnVk
Príklad 1. K zostaveniu vlajky, ktorá má byť zložená z troch rôznofarebných vodorovných pruhov, sú k dispozícii látky farba bielej, červenej, modrej, zelenej a žltej. Určte počet vlajok, ktoré možno z látok týchto farieb zostaviť. Riešenie: Z podmienok úlohy vyplýva, že vytvárame usporiadané trojice z piatich prvkov (farieb) bez opakovania.
a) Pomocou kombinatorického pravidla súčinu : 603.4.5 .
b) Pomocou vzorca: 3,5 kn
.603.4.5!2
!2.3.4.5
!2
!5
!35
!553
V
Z látok týchto farieb možno zostaviť 60 vlajok.
B. Variácie k -tej triedy z n prvkov s opakovaním nV k´
vytvárame usporiadanú k -prvkovú podmnožinu z n prvkov s
opakovaním prvkov, pričom k < n ;
počet variácií k -tej triedy z n prvkov s opakovaním možno určiť jednak kombinatorickým pravidlom súčinu alebo vzorcom
k
k nnV ´
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
16
Príklad 2. Určte počet všetkých päťciferných prirodzených čísel vytvorených z číslic
7,6,5,4,3,2,1 s opakovaním číslic.
Riešenie: Z podmienok úlohy vyplýva, že vytvárame usporiadané pätice zo siedmich prvkov (číslic) s opakovaním.
a) Pomocou kombinatorického pravidla súčinu : .168077.7.7.7.7
b) Pomocou vzorca: 5,7 kn
.1680777´ 5
5 V
Počet všetkých päťciferných prirodzených čísel z utvorených je .16807
C. Permutácie z n prvkov bez opakovania nP
vytvárame usporiadanú k -prvkovú podmnožinu z n prvkov bez
opakovania prvkov, pričom k = n (označenie k sa preto nepoužíva);
počet permutácií z n prvkov bez opakovania možno určiť jednak
kombinatorickým pravidlom súčinu alebo vzorcom
!nnP
Príklad 3. Koľkými spôsobmi možno usadiť v divadle do jednej lóže šiestich hostí vedľa seba? Riešenie: Z podmienok úlohy vyplýva, že vytvárame usporiadané šestice zo šiestich prvkov (hostí) bez opakovania.
a) Pomocou kombinatorického pravidla súčinu : .7201.2.3.4.5.6
b) Pomocou vzorca: 6n
.720!66 P
Počet všetkých usadení hostí v jednej lóži je .720
D. Permutácie z n prvkov s opakovaním nP kk ,....., 21´ , pričom jednotlivé prvky sa
opakujú ,...., 21 kk -krát
vytvárame usporiadanú podmnožinu z n prvkov s opakovaním prvkov,
že jednotlivé prvky sa opakujú ,...., 21 kk -krát a platí nkk .....21 ;
počet permutácií z n prvkov s opakovaním, pričom jednotlivé prvky sa
opakujú ,...., 21 kk -krát možno určiť len vzorcom (pretože pri vzájomnej
výmene tých istých číslic, sa číslo nezmení)
!......!.
!´
21
,....., 21 kk
nnP kk
Príklad 4. Určte počet všetkých päťciferných prirodzených čísel, ktoré možno zostaviť z číslic 7,5 , pričom v každom z nich má byť číslica 5 práve trikrát.
Riešenie:
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
17
Z podmienok úlohy vyplýva, že vytvárame usporiadané pätice zo piatich
prvkov (číslic) 7,7,5,5,5 . Číslica 5 sa opakuje trikrát, teda 31 k a číslica 7 sa
opakuje dvakrát, teda .22 k
Dosadením do vzorca dostaneme:
.102
20
1.2
4.5
1.2!.3
!3.4.5
!2!.3
!55´ 2,3 P
Počet všetkých päťciferných čísel podľa podmienok úlohy je .10
Poznámka:
Pri prvých troch typoch z predchádzajúceho rozdelenia kombinatorických úloh je ľahšie príklad riešiť kombinatorickým pravidlom súčinu. Vzorcami na výpočet variácií bez opakovania, variácií s opakovaním a permutácií bez opakovania možno riešiť všetky príklady v stati 1.2.
Kombinácie bez opakovania
Príklad 1. Určte koľkými spôsobmi možno zo štyroch chlapcov A, B, C, D vybrať predsedu a pokladníka? Vymenujte možnosti. Riešenie: Uvedené možnosti sú (na prvom mieste je predseda a na druhom mieste je pokladník): AB BA CA DA AC BC CB DB AD BD CD DC Keďže sa jedná o usporiadanú dvojicu (na poradí prvkov záleží) bez opakovania prvkov, počet usporiadaných dvojíc možno taktiež určiť kombinatorickým pravidlom súčinu alebo vzorcom. Počet spôsobov na vybratie predsedu a pokladníka z uvedeného počtu prvkov je 12. Príklad 2. Určte koľkými spôsobmi možno zo štyroch chlapcov A, B, C, D vybrať dvojčlenné družstvo? Vymenujte možnosti. Riešenie: Uvedené možnosti sú: AB BC CD AC BD AD Počet spôsobov na vytvorenie dvojčlenného družstva zo štyroch chlapcov je 6. Keďže sa nejedná o usporiadanú dvojicu (na poradí prvkov nezáleží, pretože v dvojčlennom družstve nie sú dané pozície chlapcov), počet dvojčlenných družstiev nemožno určiť kombinatorickým pravidlom súčinu, ani vzorcami na počet variácií alebo permutácií (variácie a permutácie udávajú počet usporiadaných k tic).
V uvedenom príklade sa jedná o neusporiadanú k ticu, ktorú v kombinatorike
popisujú kombinácie.
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
18
Kombinácie bez opakovania k tej triedy z n prvkov nCk popisujú počet
neusporiadaných k tic z n prvkov a okrem vypisovania možností môžeme
ich počet vypočítať vzorcom
!!.
!
knk
n
k
nnCk
.;,; 0 knNkn
Číslo
k
n sa nazýva kombinačné číslo a číta sa „ n nad k “. Hodnota
kombinačného čísla sa dá vypočítať aj pomocou kalkulačky tlačidlom nCr .
Riešenie príkladu 2. pomocou vzorca: Zo zadania príkladu vyplýva:
4n 2k
62
3.4
1.2!.2
!2.3.4
!24!.2
!4
2
442
C
Výpočet pomocou kalkulačky: 4 nCr 2 = 6 Počet spôsobov na vytvorenie dvojčlenného družstva zo štyroch chlapcov je 6.
Vlastnosti kombinačných čísel
Z predchádzajúceho učiva vieme, že kombinačné číslo
k
n sa definuje:
!!.
!
knk
n
k
n
.;,; 0 knNkn
Z uvedeného vzťahu vieme odvodiť nasledujúce vlastnosti kombinačných čísel, ktoré aj dokážeme:
1. 10
n Dôkaz:
1
!
!
!.1
!
!0!.0
!
0
n
n
n
n
n
nn
2. nn
1 Dôkaz:
nn
n
nn
n
nn
1!1.1
!1.
!1!.1
!
1
3. 1
n
n Dôkaz:
1
!
!
1!.
!
!!.
!
n
n
n
n
nnn
n
n
n
4. 10
0
Dôkaz:
1
1.1
1
!00!.0
!0
0
0
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
19
5.
kn
n
k
n
Dôkaz:
kn
n
knnkn
n
knknn
n
knk
n
k
n
!!.
!
!!..
!
!!.
!
6.
1
1
1 k
n
k
n
k
n
Dôkaz:
!!.1
!.1!.
!1!.1
!
!!.
!
1 knk
knnkn
knk
n
knk
n
k
n
k
n
1
1
!!.1
!1
!!.1
1!.
!!.1
1!.
k
n
knk
n
knk
nn
knk
knkn
Tieto vlastnosti kombinačných čísel možno ilustrovať na schéme, ktorá sa
nazýva Pascalov trojuholník1:
0
0
0
1
1
1
0
2
1
2
2
2
0
3
1
3
2
3
3
3
0
4
1
4
2
4
3
4
4
4
................................................................. Vyčíslením jednotlivých kombinačných čísel dostaneme Pascalov trojuholník:
1 Blaise Pascal - prírodovedec a náboženský filozof bol už od narodenia mimoriadne nadaný. Ako 19
ročný skonštruoval prvý mechanický počítací stroj – fungoval až do vynálezu elektronického počítača. Výsledkami svojej vedeckej práce prispel k základom matematickej analýzy, geometrie, teórie pravdepodobnosti, výpočtovej techniky. Vo fyzike sa zaoberal rovnováhou tekutín a vypracoval zásady hydrostatiky, ktorá je napríklad základom hydraulického lisu. Podľa neho je pomenovaná jednotka tlaku v sústave SI, taktiež je autorom Pascalovho zákona. Blaise Pascal zomrel vo veku tridsaťdeväť rokov 19. augusta 1662. Francúzsko ho dodnes uctieva ako svojho najväčšieho génia náboženskej filozofie. Jeho vynálezy:
Skonštruoval prvý počítací stroj pre dva základné aritmetické úkony. Sformuloval základný zákon hydrostatiky, ktorý nesie jeho meno. Vyslovil niekoľko základných téz počtu pravdepodobnosti a kombinatoriky a spolu s Pierrom
de Fermatom je považovaný za zakladateľa modernej teórie pravdepodobnosti. Známy je Pascalov trojuholník na určenie binomických koeficientov. Podľa jeho mena bola pomenovaná jednotka tlaku a mechanického napätia v SI sústave.
(Zdroj: wikipedia)
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
20
1 1 1
1 2 1 1 3 3 1
1 4 6 4 1
.................................................................
Z Pascalovho trojuholníka taktiež vyplývajú vlastnosti kombinačných čísel takto:
rozmiestnenie rovnakých čísel je symetrické vzhľadom k osi súmernosti Pascalovho trojuholníka (vlastnosť 5)
súčet ľubovoľných dvoch susedných čísel v každom riadku Pascalovho trojuholníka je rovný číslu, ktoré sa nachádza v nasledujúcom riadku „pod ich stredom“ (vlastnosť 6).
Príklad 1.
Vyjadrite jediným kombinačným číslom .5
31
26
30
3
30
Riešenie:
Z vlastností kombinačných čísel vyplýva, že
4
30
2630
30
26
30,
a teda
4
31
4
30
3
30 a .
5
32
5
31
4
31
Príklad 2.
Vyjadrite jediným kombinačným číslom .2
5
2
4
2
3
2
2
Riešenie:
Z vlastností kombinačných čísel vyplýva, že
3
3
2
2, a teda
.3
6
2
5
3
5
2
5
2
4
3
4
2
5
2
4
2
3
3
3
2
5
2
4
2
3
2
2
Binomická veta
V tejto látke zapíšeme všeobecný vzorec na výpočet n tej mocniny
dvojčlena ba , kde n je prirodzené číslo.
Vypočítame najprv mocniny nba pre 4,3,2,1n a porovnáme ich
s koeficientmi Pascalovho trojuholníka:
1ba ba 1 1
2ba 22 2 baba 1 2 1
3ba 3223 33 babbaa 1 3 3 1
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
21
4ba 432234 464 babbabaa 1 4 6 4 1
Na základe predchádzajúceho možno napísať všeobecný vzorec na
výpočet n tej mocniny dvojčlena ba , kde n je prirodzené číslo, ktorý nazývame binomická veta:
nnnnnnba
n
nba
n
nba
nba
nba
nba ....
1.......
2..
1..
0
01122110
Vzorec na výpočet k teho člena binomického rozvoja má tvar:
11..1
kkn bak
n
Príklad 1.
Vypočítajte využitím binomickej vety: .2
3
4
2
yx
Riešenie: Dosadením do vzorca binomického rozvoja dostaneme:
.162
3
2
275481
168.3.4
4.9.6
2.27.481
2.3.
4
4
2.3.
3
4
2.3.
2
4
2.3.
1
4
2.3.
0
4
23
4322468
432
2468
402
312
222
132
042
4
2
yyxyxyxx
yyx
yx
yxx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
Príklad 2.
Vypočítajte siedmy člen binomického rozvoja výrazu .1
2
9
2
xx
Riešenie: Dosadením do vzorca, pričom 7,9 kn dostaneme:
.6721
.8.841
.2.6
96
6
632
xx
xx
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
22
Pravdepodobnosť
Hnacím motorom rozvoja teórie pravdepodobnosti boli hry založené na náhode, kde okrem iného patrili verejné i súkromné lotérie, ktoré boli po dlhé roky dôležitými sociálnymi i ekonomickými činnosťami. Prvé stavebné kamene teórie pravdepodobnosti boli položené až v šestnástom storočí.
Najstaršou prácou venovanou týmto problémom je spis Hieronyma Cardana Liber de ludo aleæ (Kniha o hrách založených na náhode) datovaný do roku 1526.
Za skutočný začiatok rozvoja teórie pravdepodobnosti sa však považuje až slávna výmena listov medzi matematikmi Pascalom a Fermatom zahájená roku 1654. Išlo im vtedy o otázku, ako spravodlivo rozdeliť bank medzi hráčov, ak séria hazardných hier musela byť predčasne prerušená. Ďalším stimulom bol rozvoj poisťovníctva (problémy s poisťovaním lodí, problémy so životnými poistkami, atď.). (Zdroj: internet)
Pravdepodobnosť náhodného javu
Činnosti v bežnom živote vieme rozdeliť do dvoch skupín: činnosti, ktorých výsledky sa za splnených podmienok dajú predpokladať,
očakávať, napr. známka z písomky; činnosti, ktorých výsledky nie sú jednoznačné, závisia od náhody, napr. hod
hracou kockou. Náhodný pokus: každá činnosť, ktorá sa niekoľkokrát opakuje za rovnakých podmienok
a výsledok je neistý, náhodný. Náhodný jav: akékoľvek tvrdenie o výsledku náhodného pokusu, o ktorom môžeme
rozhodnúť, či je pravdivé alebo nepravdivé.
Príklad: 1. Náhodný pokus: hod hracou kockou
Náhodný jav: padnutie 5 bodiek; padnutie steny s nepárnym počtom
bodiek; padnutie steny s 8 bodkami; padnutie steny
s počtom bodiek menším ako 7 ; ..... 2. Náhodný pokus: žrebovanie športky
Náhodný jav: vyžrebovanie čísla 7 ; vyžrebovanie párneho čísla; vyžrebovanie kladného čísla; vyžrebovanie záporného čísla; .....
3. Pracovný list 1 Nemožný jav: jav, ktorý za žiadnych okolností a náhod nenastane; označenie: ;
príklady: padnutie steny s 8 bodkami pri hode hracou kockou; vyžrebovanie
záporného čísla pri žrebovaní športky; .....
Istý jav: jav, ktorý nastáva vždy, za každých okolností; príklady: padnutie steny s počtom bodiek menším ako 7 pri hode hracou
kockou; vyžrebovanie kladného čísla pri žrebovaní športky; .....
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
23
Vzťahy medzi javmi (vysvetlenie na príkladoch, definícia nie je nutná):
jav A je časťou javu B BA ; príklad: A = pri hode hracou kockou padne
počet bodiek 3 , B = pri hode hracou kockou padne na kocke nepárny počet
bodiek;
rovnocenné javy BA, BA ; príklad: A = pri hode hracou kockou padne na
kocke párne číslo menšie ako 4 , B = pri hode hracou kockou padne na kocke číslo 2 ;
prienik javov BA, BA ; príklad: A = náhodné zvolené číslo od 1 do 50 je
deliteľné 2 , B = náhodné zvolené číslo od 1 do 50 je deliteľné 3 , BA =
náhodné zvolené číslo od 1 do 50 je deliteľné 2 a 3 , teda 6 ;
zjednotenie javov BA, BA ; príklad: A = narodenie chlapca, B =
narodenie dievčaťa, BA = narodenie chlapca alebo dievčaťa;
nezlučiteľné javy BA, BA ; príklad: A = výroba výrobku prvej akosti,
B = výroba výrobku druhej akosti;
opačný (doplnkový) jav k javu A A ; príklad: A = pri hode hracou kockou
padne na kocke párne číslo, A = pri hode hracou kockou padne na kocke nepárne číslo. Pracovný list 2.
Pravdepodobnosť náhodného javu A :
číslo, ktoré popisuje nastanie náhodného javu A ; označuje sa AP ; jeho
výsledok môže byť vyjadrený desatinným číslom v intervale 1;0 ; v praxi sa
častejšie využíva vyjadrenie percentuálne %100%;0
Vlastnosti pravdepodobnosti:
pravdepodobnosť istého javu A : %1001AP ;
pravdepodobnosť nemožného javu B : %00 BP ;
pravdepodobnosť nezlučiteľných javov je daný súčtom pravdepodobností
týchto javov;
pravdepodobnosť opačného (doplnkového) javu k javu A : APAP 1´ ;
Klasická definícia pravdepodobnosti:
n
mAP
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
24
A - náhodný jav
n - počet všetkých výsledkov náhodného pokusu
m - počet priaznivých výsledkov náhodného pokusu.
Príklad 1. Aká je pravdepodobnosť, že pri jednom hode hracou kockou padne číslo 5 ?
Riešenie: Najprv určíme v príklade náhodný jav, ktorého pravdepodobnosť pri hode hracou kockou máme vypočítať:
A - pri jednom hode hracou kockou padne číslo 5 .
V ďalšej časti príkladu určíme základné veličiny mn, do vzorca na výpočet klasickej
pravdepodobnosti:
6n 6,5,4,3,2,1
1m 5 .
Dosadením uvedených veličín do vzorca na výpočet klasickej pravdepodobnosti dostaneme:
%6,16%100.61,06
1
n
mAP
Pravdepodobnosť, že pri jednom hode hracou kockou padne číslo 5 je %.6,16
Príklad 2. Aká je pravdepodobnosť, že pri jednom hode dvoma hracími kockami padne súčet bodiek na oboch kockách aspoň 10 ?
Riešenie: Najprv určíme v príklade náhodný jav, ktorého pravdepodobnosť pri hode dvoma hracími kockami máme vypočítať:
A - pri jednom hode dvoma hracími kockami padne súčet bodiek na oboch kockách aspoň 10 .
V ďalšej časti príkladu určíme základné veličiny mn, do vzorca na výpočet klasickej
pravdepodobnosti:
366.6 n 11 21 31 41 51 61
12 22 32 42 52 62 13 23 33 43 53 63 14 24 34 44 54 64 15 25 35 45 55 65
16 26 36 46 56 66
6m 64 55 65 46 56 66
Dosadením uvedených veličín do vzorca na výpočet klasickej pravdepodobnosti dostaneme:
%6,16%100.61,036
6
n
mAP
Pravdepodobnosť, že pri jednom hode dvoma hracími kockami padne súčet bodiek
na oboch kockách aspoň 10 je %.6,16
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
25
Príklad 3. V triede je 10 chlapcov a 15 dievčat. Aká je pravdepodobnosť, že pri výbere trojice
z nich bude práve jeden chlapec? Riešenie: Najprv určíme v príklade náhodný jav, ktorého pravdepodobnosť pri výbere trojice z nich máme vypočítať:
A - pri výbere trojice zo všetkých žiakov triedy má byť práve jeden chlapec. V ďalšej časti príkladu určíme základné veličiny mn, do vzorca na výpočet klasickej
pravdepodobnosti:
23003
25
n (na poradí nezáleží)
1050105.102
15.
1
10
m (na poradí nezáleží)
Dosadením uvedených veličín do vzorca na výpočet klasickej pravdepodobnosti dostaneme:
%65,45%100.4565,02300
1050
n
mAP
Pravdepodobnosť, že pri výbere trojice z desiatich chlapcov a pätnástich dievčat bude práve jeden chlapec je %.65,45
Pracovný list 1. Rozdeľ uvedené opisy na náhodné pokusy a náhodné javy: hod mincou; na dvoch hracích kockách padne súčet bodiek osem; výber trojice žiakov v triede; výber dvoch televízorov v obchode; aspoň štyria žiaci z deviatich majú zošit; výber náhodného dvojciferného čísla; hod hracou kockou; strela hokejistu na bránku; hokejista strelí gól. Náhodné pokusy: ........................................................................................................... ........................................................................................................................................ Náhodné javy: ................................................................................................................ ........................................................................................................................................
Riešenie pracovného listu 1. Náhodné pokusy: hod mincou; výber trojice žiakov v triede; výber dvoch televízorov v obchode; výber náhodného dvojciferného čísla; hod hracou kockou; strela hokejistu na bránku Náhodné javy: na dvoch hracích kockách padne súčet bodiek osem; aspoň štyria žiaci z deviatich majú zošit; hokejista strelí gól
Pracovný list 2. Popíšte pravdivostnú hodnotu uvedeného výroku: a) Na hracej kocke padne číslo väčšie ako tri je doplnkový jav k javu, že na hracej
kocke padne číslo menšie ako tri. b) Jednociferné číslo deliteľné piatimi a jednociferné číslo deliteľné siedmimi sú
navzájom nezlučiteľné javy.
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
26
c) Pri hode mincou padne znak a pri hode mincou nepadne číslo nie sú rovnocenné javy.
d) Prienikom javov číslo deliteľné dvoma a číslo deliteľné troma nie je číslo deliteľné šiestimi.
e) Zjednotením javov číslo deliteľné dvoma a číslo deliteľné troma je číslo deliteľné dvoma a troma.
f) Prienikom javov číslo deliteľné dvoma a číslo deliteľné troma je číslo deliteľné dvoma alebo troma.
Riešenie pracovného listu 2.
a) 0 b) 1 c) 0 d) 0 e) 0 f) 0
Pravdepodobnosť prieniku a zjednotenia javov
Zopakovanie operácií prienik a zjednotenie javov:
1. A - dvojciferné číslo deliteľné dvoma B - dvojciferné číslo deliteľné troma BA - dvojciferné číslo deliteľné dvoma a troma, teda šiestimi BA - dvojciferné číslo deliteľné dvoma alebo troma
2. C - prvý basketbalista trafí kôš
D - druhý basketbalista trafí kôš DC - prvý a druhý basketbalista trafí kôš, teda trafia obaja
DC - prvý alebo druhý basketbalista trafí kôš, teda trafí jeden z nich
Zopakovanie nezlučiteľných javov BA, BA :
1. A - dvojciferné číslo deliteľné 60
B - dvojciferné číslo deliteľné 70 javy BA, sú nezlučiteľné, lebo BA
2. C - dvojciferné číslo deliteľné 20
D - dvojciferné číslo deliteľné 30 javy DC, nie sú nezlučiteľné, lebo DC
je číslo deliteľné 60
Pre nezávislé javy BA, platí pre výpočet pravdepodobnosti prieniku javov BA :
BPAPBAP .
Pre náhodné javy BA, platí pre výpočet pravdepodobnosti zjednotenia javov BA :
BPAPBAP ; BA, - nezlučiteľné javy
BAPBPAPBAP ; BA, - zlučiteľné javy
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
27
Pracovný list Zakrúžkuj správnu odpoveď: a) Javy: futbalista Adam strelí gól a futbalista Jozef strelí gól sú javy závislé /
nezávislé. b) Javy: trojciferné číslo je deliteľné dvoma a trojciferné číslo je deliteľné troma sú
javy zlučiteľné / nezlučiteľné. c) V klobúku je rovnaký počet bielych a čiernych guľôčok. Javy: z klobúka
vytiahnem bielu guľôčku a nevrátim ju späť a z klobúka následne vytiahnem čiernu guľôčku sú javy závislé / nezávislé.
d) Javy: jednociferné číslo deliteľné 5 a jednociferné číslo deliteľné 6 sú javy
zlučiteľné / nezlučiteľné. e) V klobúku je rovnaký počet bielych a čiernych guľôčok. Javy: z klobúka
vytiahnem bielu guľôčku a vrátim ju späť a z klobúka následne vytiahnem čiernu guľôčku sú javy závislé / nezávislé.
Riešenie pracovného listu:
a) nezávislé b) zlučiteľné c) závislé d) nezlučiteľné e) nezávislé
Príklad: Na terč vystrelia po jednej rane dvaja strelci. Pravdepodobnosť toho, že prvý zasiahne cieľ, je 8,0 , pravdepodobnosť toho, že druhý zasiahne cieľ, je .9,0 Aká je
pravdepodobnosť toho, že a) obaja trafia cieľ, ak sa vzájomne neovplyvňujú, b) obaja netrafia cieľ, ak sa vzájomne neovplyvňujú, c) trafí iba jeden z nich, ak sa vzájomne neovplyvňujú, d) trafí aspoň jeden z nich, ak sa vzájomne neovplyvňujú?
Riešenie: Označme v príklade uvedené javy a ich doplnkové javy nasledovne: A - prvý strelec zasiahne cieľ B - druhý strelec zasiahne cieľ
A - prvý strelec nezasiahne cieľ
B - druhý strelec nezasiahne cieľ Pre pravdepodobnosti uvedených javov platí:
8,0AP 2,08,011 APAP
9,0BP 1,09,011 BPBP
a) Obaja trafia cieľ znamená, že trafí prvý strelec a zároveň trafí druhý strelec.
Jedná sa o pravdepodobnosť prieniku nezávislých javov ( BA, sú nezávislé
javy, pretože strelci sa vzájomne neovplyvňujú), teda
72,09,0.8,0. BPAPBAP
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
28
Pravdepodobnosť toho, že obaja strelci trafia cieľ, ak sa vzájomne neovplyvňujú, je .72,0
b) Obaja netrafia cieľ znamená, že netrafí prvý strelec a zároveň netrafí druhý
strelec. Jedná sa o pravdepodobnosť prieniku nezávislých javov ( BA, sú
nezávislé javy, pretože strelci sa vzájomne neovplyvňujú), teda
02,01,0.2,0. BPAPBAP
Pravdepodobnosť toho, že obaja strelci netrafia cieľ, ak sa vzájomne neovplyvňujú, je .02,0
c) Trafí cieľ iba jeden z nich znamená, že buď nastane možnosť, že trafí prvý strelec a zároveň netrafí druhý strelec alebo možnosť, že netrafí prvý strelec a zároveň trafí druhý strelec. Jedná sa o pravdepodobnosť prieniku nezávislých javov (pretože strelci sa vzájomne neovplyvňujú) a zjednotenia nezlučiteľných javov, teda
26,018,008,09,0.2,01,0.8,0.. BPAPBPAPBABAP
Pravdepodobnosť toho, že trafí cieľ iba jeden strelec, ak sa vzájomne neovplyvňujú, je .26,0
d) Trafí cieľ aspoň jeden z nich znamená, že buď nastane možnosť, že trafí iba jeden strelec, a to že trafí prvý strelec a zároveň netrafí druhý strelec alebo možnosť, že netrafí prvý strelec a zároveň trafí druhý strelec alebo, že trafia obaja strelci. Jedná sa o pravdepodobnosť prieniku nezávislých javov (pretože strelci sa vzájomne neovplyvňujú) a zjednotenia nezlučiteľných javov, teda
98,072,018,008,09,0.8,09,0.2,01,0.8,0
...
BPAPBPAPBPAPBABABAP
Pravdepodobnosť toho, že trafí cieľ aspoň jeden strelec, ak sa vzájomne neovplyvňujú, je .98,0
Bernoulliho schéma
Pracovný list Zakrúžkuj správnu odpoveď: a) Javy: futbalista Jozef strelí po prvom výkope gól, futbalista Jozef strelí po druhom
výkope gól a futbalista Jozef strelí po treťom výkope gól sú javy závislé / nezávislé.
b) V klobúku je rovnaký počet bielych a čiernych guľôčok. Javy: z klobúka vytiahnem jednu guľôčku a nevrátim ju späť, z klobúka následne vytiahnem druhú guľôčku a nevrátim ju späť, z klobúka následne vytiahnem tretiu guľôčku a nevrátim ju späť a z klobúka vytiahnem štvrtú guľôčku sú javy závislé / nezávislé.
c) V klobúku je rovnaký počet bielych a čiernych guľôčok. Javy: z klobúka vytiahnem jednu guľôčku a vrátim ju späť, z klobúka následne vytiahnem druhú guľôčku a vrátim ju späť, z klobúka následne vytiahnem tretiu guľôčku a vrátim ju späť a z klobúka vytiahnem štvrtú guľôčku sú javy závislé / nezávislé.
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
29
Riešenie pracovného listu: a) nezávislé b) závislé c) nezávislé
Ak máme n nezávislých pokusov, z ktorých každý skončí buď zdarom
s pravdepodobnosťou p alebo nezdarom s pravdepodobnosťou pq 1 , potom
pravdepodobnosť javu A , že práve k pokusov sa skončí zdarom, je
.,...,2,1,0;.. nkqpk
nAP knk
Jednotlivé pravdepodobnosti nkqpk
nknk ,...,2,1,0;..
, tvoria tzv. binomické
rozdelenie; iný názov je Bernoulliho schéma.
Príklad . Do hriadky vysadíme päť rastliniek. Pravdepodobnosť, že sa jedna rastlinka prijme, je %.80 Aká je pravdepodobnosť, že
a) sa prijmú štyri rastlinky, b) sa prijmú aspoň štyri rastlinky, c) sa prijmú najviac 2 rastlinky, d) sa prijme aspoň jedna rastlinka?
Riešenie:
a) Podľa zadania úlohy platí 2,08,01;8,0%80;4;5 qpkn
Dosadením do vzorca Bernoulliho schémy dostávame:
%96,404096,02,0.8,0.4
5454
AP
Pravdepodobnosť, že sa z piatich vysadených rastliniek prijmú štyri rastlinky je %.96,40
b) Podľa zadania úlohy platí
2,08,01;8,0%80;5,4;5 qpkn
Dosadením do vzorca Bernoulliho schémy dostávame:
%728,7373728,032768,04096,02,0.8,0.5
52,0.8,0.
4
5555454
AP
Pravdepodobnosť, že sa z piatich vysadených rastliniek prijmú aspoň štyri rastlinky je %.728,73
c) Podľa zadania úlohy platí
2,08,01;8,0%80;0,1,2;5 qpkn
Dosadením do vzorca Bernoulliho schémy dostávame:
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
30
%792,505792,000032,00064,00512,0
2,0.8,0.0
52,0.8,0.
1
52,0.8,0.
2
5050151252
AP
Pravdepodobnosť, že sa z piatich vysadených rastliniek prijmú najviac dve rastlinky je %.792,5
d) Podľa zadania úlohy platí
2,08,01;8,0%80;5,4,3,2,1;5 qpkn
Keďže jednotlivých možností je veľa, jednoduchšie je vypočítať uvedenú pravdepodobnosť cez pravdepodobnosť opačného (doplnkového) javu, tzn. negovať aspoň jedna na ani jedna, a teda platí
2,08,01;8,0%80;0´;5 qpkn
Dosadením do vzorca Bernoulliho schémy dostávame:
%968,9999968,000032,012,0.8,0.0
51´1 050
APAP
Pravdepodobnosť, že sa z piatich vysadených rastliniek prijme aspoň jedna rastlinka je %.968,99
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
31
Štatistika
Pre správne pochopenie množstva informácií s ktorými prichádzame každodenne do styku je nevyhnutné mať aspoň minimálne vedomosti zo štatistiky. Štatistika – veda o zhromažďovaní, spracovaní a vyhodnocovaní hromadných dát. Štatistický súbor – súbor všetkých objektov na ktoré sa vzťahuje daná otázka. Štatistické jednotky – jednotlivé prvky daného súboru. Rozsah štatistického súboru – počet štatistických jednotiek (ozn. n). Štatistický znak – vlastnosť štatistickej jednotky dôležitá z hľadiska štatistického skúmania (ozn. xi)
kvantitatívny znak – vyjadríme číslom
kvalitatívny znak – vyjadríme slovom.
Rozdelenie početnosti Absolútna početnosť – počet štatistických jednotiek s rovnakou hodnotou štatistického znaku (ozn. ni) Relatívna početnosť – podiel absolútnej početnosti a rozsahu súboru (ozn. pi)
n
np i
i . Často sa vyjadruje v percentách (100 . pi)
Kumulatívna početnosť – postupne sčítané jednotlivé absolútne početnosti (ozn. ki) Grafické spracovanie dát
využíva sa na spriehľadnenie dát
najčastejšie využívame absolútnu početnosť, ale ak sú veľké čísla použijeme relatívnu početnosť vyjadrenú v percentách.
Typy grafov – najčastejšie používané grafy: 1. histogram – stĺpcový diagram 2. polygón – spojnicový diagram (jednotlivé body spájame úsečkou) 3. kruhový graf – koláčový diagram 4. frekvenčná krivka – ako polygón, ale jednotlivé body spájame voľnou rukou.
Charakteristiky polohy
Charakteristiky polohy hodnôt znaku sú čísla, ktoré určitým spôsobom charakterizujú „priemernú hodnotu“ sledovaného znaku.
Aritmetický priemer (ozn. x ) hodnôt nxxx ,...,, 21 kvantifikovaného znaku x je daný
podielom súčtu hodnôt znaku a ich počtu: n
x
n
xxxx
n
i
i
n
121 ...
.
Vážený aritmetický priemer používame, ak hodnoty ix majú početnosť in .
Používame vzorec: n
nx
nnn
nxnxnxx
k
i
ii
k
kk
1
21
2211
.
...
......; nnnn k ...21
aritmetický priemer charakterizuje dobre súbor iba vtedy, ak sa hodnoty znaku navzájom extrémne nelíšia
ak niektoré hodnoty znaku sú extrémne vysoké alebo nízke skreslia aritmetický priemer a vtedy tú hodnotu môžeme škrtnúť.
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
32
Medián (ozn. Med(x)) – prostredný člen spomedzi hodnôt usporiadaných podľa veľkosti. Ak je rozsah súboru párne číslo urobíme aritmetický priemer 2 prostredných hodnôt.
Medián používame, ak sú v súbore prvky s extrémne odlišnými hodnotami znaku.
Modus (ozn. Mod(x)) – najčastejšie sa vyskytujúca hodnota štatistického znaku, teda hodnota s najväčšou početnosťou.
ak sú v súbore 2 rovnako najpočetnejšie znaky potom súbor modus nemá.
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
33
Základné pojmy teórie čísel Prirodzené čísla udávajú počet prvkov príp. poradie prvkov. Sú to čísla 1, 2, 3, (0
nie je prirodzené číslo). Číslo a je deliteľné číslom b, ak existuje také prirodzené číslo k, pre ktoré platí:
kba . Príklad
5.735 , môžeme povedať: číslo 35 je deliteľné číslom 7, číslo 7 je deliteľom čísla 35, číslo 35 je násobkom čísla 7, číslo 7 delí číslo 35 ( zapisujeme: 7/35). Zapamätajte si:
číslo 1 je deliteľom každého prirodzeného čísla,
každé prirodzené číslo je deliteľom seba samého. Prvočíslo – prirodzené číslo deliteľné číslom 1 a sebou samým. Zložené číslo – prirodzené číslo, ktoré má viac deliteľov (nie je prvočíslo). Spoločný deliteľ – každé prirodzené číslo, ktoré je deliteľom každého z daných prirodzených čísel. Súdeliteľné čísla – prirodzené čísla, ktoré majú aspoň jedného spoločného deliteľa (okrem jednotky). Nesúdeliteľné čísla – prirodzené čísla, ktoré nemajú iného spoločného deliteľa ako číslo 1.
Znaky deliteľnosti
Deliteľnosť 2:
ak má prirodzené číslo na mieste jednotiek párnu číslicu (0, 2, 4, 6, 8) Napríklad: čísla 20, 326, 1568 sú deliteľné 2, pretože na mieste jednotiek majú 0, 6,8 Deliteľnosť 3:
ak ciferný súčet tohto čísla je deliteľný tromi Napríklad: číslo 5631 je deliteľné 3, pretože 5 + 6 + 3 + 1 = 15 a 15 : 3 = 5 Deliteľnosť 4 (resp. 20, resp. 25, resp. 50):
ak posledné dvojčíslie toho čísla je deliteľné 4 (resp. 20, resp. 25, resp. 50) Napríklad: číslo 1 540 je deliteľné 4 (resp. 20), pretože 40 : 4 = 10 (resp. 40 : 20 = 2) Deliteľnosť 5:
ak má prirodzené číslo na mieste jednotiek 0 alebo 5. Napríklad: číslo 7365 je deliteľné 5, pretože na mieste jednotiek má 5. Deliteľnosť 6:
ak je prirodzené číslo súčasne deliteľné dvoma a tromi. Napríklad: číslo 356 142 je deliteľné šiestimi, pretože je to párne číslo a ciferný súčet (3 + 5 + 6 + 1 + 4 + 2 = 21) je deliteľný tromi. Deliteľnosť 8 (resp. 40):
ak posledné trojčíslie je deliteľné 8 (resp. 40). Napríklad: číslo 576 064 je deliteľné 8, pretože 064 je deliteľné 8. Deliteľnosť 9:
ak ciferný súčet toho čísla je deliteľný 9. Napríklad: číslo 6 233 211 je deliteľné 9, pretože 6 + 2 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1 = 18 a 18 : 9 = 2. Deliteľnosť 10:
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
34
ak má prirodzené číslo na mieste jednotiek 0. Napríklad: číslo 15 230 je deliteľné 10, pretože posledná číslica je 0. Deliteľnosť 11:
ak súčet číslic párnych rádov (jednotky, stovky, desaťtisícky, ...) zmenšený o súčet číslic nepárnych rádov (desiatky, tisícky, stotisícky, ...) je deliteľný 11.
Napríklad: číslo 71 654 je deliteľné 11, pretože (4 + 6 + 7) – (5 + 1) = 11 a 11 : 11 = 1 Poznámka: Vyskúšajte na kalkulačke, či dané kritéria platia.
Prvočíslo, zložené číslo
Prvočíslo – každé prirodzené číslo, ktoré je deliteľné číslom 1 a sebou samým. Zložené číslo - každé prirodzené číslo, ktoré má aspoň 3 rôzne delitele. Zapamätaj si:
najmenšie prvočíslo je číslo 2,
číslo 1 nie je prvočíslo. Rozklad zloženého čísla na súčin: Každé zložené číslo môžeme vyjadriť ako súčin jeho deliteľov; môže byť rôzny. Napríklad: ...8.5.210.816.520.440.280 Pre matematické výpočty je najvýhodnejšie rozkladať zložené číslo na súčin prvočísel – súčin, v ktorom je každý činiteľ prvočíslo. Príklad 1 Rozložte číslo 360 na súčin prvočísel. Riešenie:
rozložiť môžeme rôznymi spôsobmi 1. spôsob:
postupne rozkladáme jednotlivé činitele dovtedy pokiaľ v súčine nemáme iba prvočísla 60.6360
3.2 10.6 5.3.3.2.2.2360
3.2 5.2 5.3.2360 23
2. spôsob:
výhoda tohto spôsobu je, že postupne hľadáme prvočísla (vzostupne), ktorými je dané číslo deliteľné a hneď máme prvočíselný rozklad
360
180 2 prvočíselné delitele píšeme vpravo
90 2
45 2 5.3.2360 23
15 3
5 3
1 5
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
35
Poznámka:
zložené číslo n je deliteľné aspoň jedným prvočíslom p, pre ktoré platí np ,
ak číslo nie je deliteľné ani jedným takým prvočíslom, tak je prvočíslo. Príklad 2 Rozložte na súčin prvočísel: a) 1 147 b) 947 Riešenie:
vypočítame druhú odmocninu čísla a zisťujeme, či je dané číslo deliteľné prvočíslom až po danú odmocninu.
a) 87,331147 - hľadáme prvočíselné delitele až po 33
37.311147
b) 77,30947 - hľadáme prvočíselné delitele až po 30
zistili sme, že ani jedno prvočíslo od 2 po 29 nie je deliteľom 947 teda 947 je prvočíslo.
Najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok
Najväčší spoločný deliteľ (označenie baD , ) – je najväčšie číslo všetkých
spoločných deliteľov. Príklad 1 Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 28 a 42. Riešenie:
môžeme danú úlohu riešiť viacerými spôsobmi 1. spôsob: metóda množín deliteľov
nájdeme delitele jednotlivých čísel
vypíšeme spoločné delitele a zapíšeme najväčšieho deliteľa
28,14,7,4,2,128 d
42,21,14,7,6,3,2,142 d
Spoločné delitele: 14,7,2,142,28 d
Najväčší spoločný deliteľ: 1442,28 D
Poznámka:
nevýhodou tejto metódy je prácnosť a že nevypíšeme všetky možnosti a vynecháme práve najväčšieho spoločného deliteľa.
2. spôsob: metóda prvočíselného rozkladu
urobíme prvočíselný rozklad čísel
spoločný deliteľ je súčin prvočísel, ktoré sú v oboch rozkladoch – vyhľadáme rovnaký základ a vyberieme najnižšiu mocninu.
7.228 2
7.3.242
147.242,28 D
Poznámka:
výhodou tejto metódy je rýchlosť 3. spôsob: metóda Euklidovho algoritmu
väčšie číslo zapíšeme ako delenie (so zvyškom) menšieho čísla,
v ďalšom kroku zapíšeme menšie číslo ako delenie zvyšku,
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
36
opakujeme dovtedy pokiaľ nie je zvyšok 0,
najväčší spoločný deliteľ je posledný nenulový zvyšok.
02.1428
141.2842
posledný nenulový zvyšok
1442,28 D
Najmenší spoločný násobok (označenie ban , ) je najmenší zo všetkých
spoločných násobkov Príklad 2 Nájdite najmenší spoločný násobok čísel 28 a 42. Riešenie:
môžeme danú úlohu riešiť viacerými spôsobmi 1. spôsob: metóda množín násobkov
nájdeme násobky jednotlivých čísel,
vypíšeme spoločné násobky a vyberieme najmenší.
,...112,84,56,2828 n
,...126,84,4242 n
Najmenší spoločný násobok: 8442,28 n
Poznámka: stačí, ak hľadáme násobky väčšieho čísla a zisťujeme, či je násobkom aj menšieho čísla
nevýhodou je prácnosť, dá sa využiť len pri menších číslach. 2. spôsob: metóda prvočíselného rozkladu
urobíme prvočíselný rozklad čísel,
najmenší spoločný násobok je súčin všetkých prvočísel s najväčším exponentom (prvočísla v oboch rozkladoch).
7.228 2
7.3.242
847.3.242,28 2 n
Poznámka:
najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok sa využíva pri riešení slovných úloh
Stredná priemyselná škola strojnícka, Duklianska 1, Prešov
37
Obsah
Základné pojmy finančnej matematiky............................................................... 1
Jednoduché úrokovanie..................................................................................... 3
Zložené úrokovanie............................................................................................ 5
Zmiešané úrokovanie......................................................................................... 7
Efektívna úroková sadzba.................................................................................. 8
Umorovací počet................................................................................................ 9
Finančná gramotnosť........................................................................................ 11
Faktoriál............................................................................................................ 12
Kombinatorické pravidlo súčinu........................................................................ 14
Variácie a permutácie bez a s opakovaním...................................................... 15
Kombinácie bez opakovania............................................................................. 17
Vlastnosti kombinačných čísel.......................................................................... 18
Binomická veta................................................................................................. 20
Pravdepodobnosť náhodného javu.................................................................. 22
Pravdepodobnosť prieniku a zjednotenia javov............................................... 26
Bernoulliho schéma.......................................................................................... 28
Rozdelenie početnosti, grafické spracovanie dát............................................. 31
Charakteristiky polohy...................................................................................... 31
Znaky deliteľnosti............................................................................................. 33
Prvočíslo, zložené číslo.................................................................................... 34
Najväčší spoločný deliteľ, najmenší spoločný násobok................................... 35
Pripravili: PaedDr. Zlata Marcinková
RNDr. Hedviga Rusinková