dr dejan gvozdi - nobel.etf.bg.ac.rsnobel.etf.bg.ac.rs/studiranje/kursevi/oo1f2/materijali/moderna...

Dr Dejan Gvozdić

Fizika 2: Elementi atomske i kvantne fizike 2014 © Dr Dejan Gvozdić

1.(1900. godina) Rad Max Planck-a na problemu zračenja crnog tela → uvođenje kvanta energije.

2. (1913. godina) Niels Bohr → predlog modela atoma sa kvantovanim elektronskim orbitama.

3. (1925. godina) prava kvantna mehanika →set matematičkih i konceptualnih alata je stvoren do

di1928. godine

2


1. Kvantizacija 2. Dualnost 3. Neodređenost

Veličine makroskopskog sveta su kontinualne (energija, impuls,moment impulsa...), ali ova osobina NE važi u mikrosvetu, gde su

liči l di k t k tveličine uglavnom diskretne-kvantovane.

Istorijski, ova osobina mikrosveta bila je poznata i pre nastankaIstorijski, ova osobina mikrosveta bila je poznata i pre nastankaKvantne mehanike: nakon nastanka spektroskopije 1900. godinepostalo je poznato da je zračenje iz atoma i molekula različitihboja (frekvencija)boja (frekvencija).

Kako je ova osobina dokazana?a o je o a osob a do a a a

Kroz razvoj modela atoma.3


1. Najstariji model atoma su dali J.J. Thomson and Lord

1. Kvantizacija 2. Dualnost 3. Neodređenostj j

Kelvin 1904. godine, tzv. ”puding od šljive”, gde suelektroni (šljive) smešteni u masu od pozitivnognaelektrisanja (puding).

2. Ernest Rutherford je 1911. godine zbog velikog rasejanja α snopazaključio da je pozitivno naelektrisanje atoma skoncentrisano umaloj zapremini, tzv. nukleusu, a da elektroni kruže oko njegamaloj zapremini, tzv. nukleusu, a da elektroni kruže oko njegakao planete oko sunca. Nobelovu nagradu je dobio za svoj rad narazumevanju radioaktivnosti 1908. godine.

3 Niels Bohr je 1912 godine nakon posete3. Niels Bohr je 1912. godine nakon poseteRutherfordu predložio novi model, koji se razlikujeod prethodnog po tome što tvrdi da elektron ne biemitovao energiju zbog ubrzanog kretanja i tog j g g jsamo onda kada ima određene- diskretne nivoeenergije u atomu. Promena energije se odvija pouzoru na Planck-ov model zračenja. 4


1. Kvantizacija 2. Dualnost 3. NeodređenostKvantizacija: Bohr-ov model atoma

Najjednostavniju elektronsku strukturu ima atom vodonika. On sesastoji od jednog elektrona koji je električnim silama vezan za jezgrou centru atoma koje čini samo jedan proton U okviru ovog

Kvantizacija: Bohr ov model atoma

u centru atoma, koje čini samo jedan proton. U okviru ovograzmatranja posmatramo model koji se sastoji od negativnonaelektrisanog elektrona, koji je Kulonovom silom vezan za pozitivnonaelektrisan proton Pošto je proton mnogo veće mase od elektronanaelektrisan proton. Pošto je proton mnogo veće mase od elektrona,može se smatrati da je proton nepokretan, dok se elektron kreće unjegovoj okolini.

P kl ič j l kt di i i b k t j l kt i j Prema klasičnoj elektrodinamici ubrzano kretanje naelektrisanjatrebalo bi da dovede do emisije energije na račun kinetičke energijepokretnog naelektrisanja. To bi u slučaju atoma vodonika dovelo do

d l k i j i d k

5

toga da se elektron i proton spoje i da pomenuta struktura atomanestane. Emitovana energija mogla bi da ima neograničen skupvrednosti. Međutim, to se ne dešava.


U rešavanju ove zagonetke u velikoj meri je pomogla činjenica daatom vodonika ne može da emituje i apsorbuje sve talasne dužine izopsega vidljive svetlosti (VIS) Zapravo može da emituje i apsorbujeopsega vidljive svetlosti (VIS). Zapravo, može da emituje i apsorbujesamo četiri specifične talasne dužine iz VIS opsega (656 nm, 486 nm,434 nm i 410 nm). Johann Balmer je metodom pogađanja i poređenjasa eksperimentalnim rezultatima došao do formule na osnovu koje sesa eksperimentalnim rezultatima došao do formule na osnovu koje semogu odrediti te talasne dužine:

−= 111 R za n = 3 4 5 i 6 (1)

gde je R konstanta. Međutim, niti Balmer niti bilo ko drugi nije mogaoda da objašnjenje zbog čega su apsorpcija i emisija u vodonikovom

= 222 nR

λza n = 3, 4, 5 i 6 ( )

da da objašnjenje zbog čega su apsorpcija i emisija u vodonikovomatomu ograničene upravo na te četiri talasne dužine. Sve dok 1913.godine Bohr nije primetio Balmer-ovu formulu i odmah shvatio da jemože izvesti ukoliko uvede nekoliko pretpostavki koje su postale

6

može izvesti ukoliko uvede nekoliko pretpostavki, koje su postalepoznate kao Bohr-ovi postulati.


1) Elektroni u vodonikovom atomu kreću seoko jezgra u dozvoljenim kružnimorbitama, a pri tome ne emituju energijui pored činjenice da usled kružnogkretanja postoji ubrzanje koje bi dovelodo gubitka energije kroz emisijuzračenja.

Dozvoljene kružne orbite nazivaju se stacionarna stanja (orbite)j j j ( )elektrona.

2) Atom zrači ili apsorbuje energiju (foton) samo pri prelazu iz jednog udrugo stacionarno stanje. Pri tom prelazu, atom emituje ili apsorbujemonohromatsku svetlost određene talasne dužine λ odnosnoodređene frekvencije ν, koja se zavisi od razlike energija stacionarnih

7

j , j g jstanja.


Ako prvo stacionarno stanje ima energiju E1, a drugo stacionarnostanje energiju E2, pri čemu je E2 > E1, onda će elektron preći naiš t i t j ij f t ij :više stacionarno stanje samo uz apsorpciju fotona energije:

l č j k d l k l i j j d l i d

12 EEh −=ν (2)

U slučaju kada elektron prelazi sa stanja E2 na stanje E1 dolazi doemisije fotona iste ove energije.

3) U stacionarnim stanjima elektrona moment količine kretanja3) U stacionarnim stanjima elektrona moment količine kretanjaelektrona L je kvantovan (može imati samo određene vrednosti):

nLn = za n = 1,2,3 ... (3)

gde je ħ (h sa crtom) jednako h/2π. Dozvoljeni brojevi orbita su n = 1,2, 3... i nazivaju se kvantnim brojevima.

8

Prethodna jednačina nema teorijsko uporište, ali u poređenju saeksperimentima daje dobre rezultate.


Radijus orbite je kvantovan u Bohr-ovom modelu

Sila koja drži elektron na orbiti poluprečnika r jeKulonova sila. Primenom drugog Newton-ovogzakona za radijalni pravac, dobija se:

veZe 2)(1rvm

reZe

20

)(4

1 =πε

gde je m masa e naelektrisanje elektrona a Z atomski broj

(4)

gde je m masa, e naelektrisanje elektrona, a Z atomski broj.Prethodna relacija važi za atom vodonika (Z = 1) ili jonizovanihatoma koji u orbiti imaju samo jedan elektron.

K ti ij di k B t l t d j t k liči Kvantizacija se uvodi kroz Borov postulat da je moment količinekretanja kvantovan. Intenzitet momenta količine kretanja česticemase m i brzine v koja se kreće po kružnici poluprečnika r je L =

9

rmv·sinϕ gde je ϕ ugao između vektora brzine i vektora položaja, pa jeu slučaju kretanja po kružnici ovaj ugao π/2:


)2/sin(π⋅== nnn mvrnL mr

nvn

n= (5)

Zamenom ovako izražene brzine u izraz po drugom Newton-ovomzakonu, dobija se:

nanhr2

202

== εza n = 1 2 3 (6)

gde je konstanta a:Z

anmZe

rn 2 ==π

za n = 1,2,3 ...

92210291 2 1102h ε

(6)

(7)

Prethodne tri jednačine pokazuju da je u Bohr-ovom modelu atomad ik (Z 1) l č ik bi k i (di k ) i d j

pm92.52m10291772.5 1120

1 =×=== −

mehraπ

ε (7)

vodonika (Z = 1), poluprečnik orbite kvantizovan (diskretan) i da jenajmanja moguća vrednost poluprečnika (za n = 1) jednaka a i

naziva se Borov radijus (poluprečnik). Prema Bohr-ovom modelu,

10

jelektroni se ne mogu približiti jezgru na rastojanje manje od a, pa nemože doći do kolabriranja elektrona i jezgra.


Energija orbite je kvantovana u Bohr-ovom modelu

Kinetička energija elektrona na n-toj orbiti je:21E (8)

a, elektrostatička potencijalna energija sistema elektron-jezgro je

221

, nnk mvE =

qq 211

(8)

gde je q1 = −e naelektrisanje elektrona, a q2 = +Ze naelektrisanje

nnp r

qqE 21

0, 4

1πε

= (9)

jezgra atoma. Ukupna mehanička energija atoma sa elektronom nan-toj orbiti je:

−+=+= kZemvEEE

22 11 (10)

Zamenom mvn2 iz relacije (4) u prethodnu relaciju, dobija se:

++n

nnpnkn rmvEEE

0,, 42 πε

Z 21

11

nn r

ZeE2

081

πε−= (11)


Ukoliko se u relaciju (11) zameni izraz (6) za radijus orbite rn dobijase:

242

gde indeks n označava da energija E može imati samo diskretne

(12)eV61.1318 2

2

2220

42

⋅−=−=nZ

nhemZEn ε

za n = 1,2,3 ...

gde indeks n označava da energija E može imati samo diskretne(kvantovane) vrednosti.

Vrednost totalne energije najnižeg energetskog nivoa (orbite)vodonika je E1 = −13.61 eV. Ovaj energetski nivo naziva se osnovnostanje. Viša energetska stanja E2, E3, ... nazivaju se eksitovana( b đ ) t j(pobuđena) stanja.

Totalne energije elektrona su negativne, kao posledica činjenice daje nulti nivo potencijalne energije izabran u beskonačnosti Ako je E

12

je nulti nivo potencijalne energije izabran u beskonačnosti. Ako je E> 0 elektron ima kinetičku energiju i slobodan je.


Minimum energije koja je potrebna da ukloni elektron iz atoma iznjegovog osnovnog stanja naziva se energija veze ili energijajonizacije. Eksperimentalno je potvrđeno da je energija jonizacijeatoma vodonika 13.6 eV, što se u potpunosti poklapa sa energijompotrebnom da se ukloni elektron iz osnovnog stanja E1 do E∞ = 0, ukom postaje slobodan.

Razmena energije u Bohr-ovom modelu atoma

Energija atoma vodonika (ili ekvivalentno, njegovog elektrona jer jejezgro nepokretno) menja se samo kada atom apsorbuje ili emitujezračenje prema relaciji (2). Ukoliko relaciju (2) izrazimo u funkciji odtalasne dužine i zamenimo izraze za energiju (12) za više EV i nižeEN stacionarno stanje kojima odgovaraju kvantni brojevi nV i nN,respektivno, dobija se:

13

−−= 2232

0

4 118

1

NV nnchmeελ (13)


Prethodna relacija može se napisati u obliku:

111

gde je sa R označena Rydberg ova konstanta:

−= 22

111

VN nnR

λ (14)

gde je sa R označena Rydberg-ova konstanta:

1732

0

4

m10097373.18

−×==ch

meRε

(15)

■ Poređenjem relacije (14) sa Balmer-ovom empirijski dobijenomformulom (1), uočava se potpuno slaganje ukoliko se kvantnom

0

broju nN dodeli vrednost 2 a vrednosti koje može da uzima kvantnibroj nV ograniče na 3, 4, 5 i 6.

Ovo slaganje predstavljalo je trijumf Bohr ovog modela atoma:

14

■ Ovo slaganje predstavljalo je trijumf Bohr-ovog modela atoma:

(1) objašnjen je linijski spektar atoma


(2) za atom vodonika su potvrđene talasne dužine emitovanesvetlosti,

(3) objašnjen je apsorpcioni spektar

(3) osigurana je stabilnost atoma

(4) precizno je određena energija jonizacije.

■ Međutim, ovaj trijumf je bio kratkog veka, jer iako je davao dobropoklapanje sa eksperimentima povodom talasnih dužina emisije ipoklapanje sa eksperimentima povodom talasnih dužina emisije iapsorpcije za vodonikov atom, model je pogrešan jer elektroni nekruže oko jezgra na način na koji to model predviđa. Pored toga,ovaj model nije pokazao uspeha u primeni na atome koji suovaj model nije pokazao uspeha u primeni na atome koji sukomplikovaniji od vodonikovog, i iako daje dobre rezultate zajonizovani helijum (He+) koji ima samo jedan elektron, nije uspešanza neutralni helijum Takođe Bohr ov model ne objašnjava

15

za neutralni helijum. Takođe, Bohr-ov model ne objašnjavamehanizam prelaska elektrona sa jedno na drugo stacionarno stanjeniti pojavu cepanja apsorpcionih linija.


■ Pored Balmer-ovih linija (serije) u spektru atoma vodonika kojepripadaju vidljivom delu spektra, na osnovu relacije (14) mogu seodrediti i apsorpcione linije u spektru atoma koje ne pripadajuodrediti i apsorpcione linije u spektru atoma koje ne pripadajuvidljivoj oblasti.

■ Balmer-ova serija (nN = 2) se javlja u vidiljivoj i ultraljubičastoj (UV)oblasti sa minimalnom talasnom dužinom 365 nm (koja se dobija zanV =∞) i maksimalnom talasnom dužinom od 656 nm (za nV = 3).

■ Lyman ova serija (n = 1) se javlja u UV oblasti između 91 nm i 122■ Lyman-ova serija (nN = 1) se javlja u UV oblasti između 91 nm i 122nm za nV = 2, 3, 4,...

■ Paschen-ova serija (nN = 3) se javlja u infracrvenoj (IC) između 820nm i 1875 nm za nV = 4, 5, 6, ....

■ Brackett-ova serija se dobija za nN = 4 i za nV = 5, 6, 7, ....

16

■ Pfund-ova serija se dobija za nN = 5 i za nV = 6, 7, 8, ....


17


Eliptičke orbite elektrona u atomu

■ Bohr-ova teorija ne tretira samo najprostiju pretpostavku da seelektron u vodonikovom atomu kreće po kružnoj orbiti već ulazi i uelektron u vodonikovom atomu kreće po kružnoj orbiti, već ulazi i utretiranje kretanja elektrona po elipsi u polju jezgra.

■ Rastojanje elektrona od jezgra je promenljivo, pa je pogodnokoristiti polarni koordinatni sistem postavljen tako da se jezgronalazi u žiži koja je u koordinatnom početku, pa se vektor položajaračuna od jezgra do elektrona. Azimutalni ugao je označen sa φ.

■ Element orbite u polarnom koordinatnom sistemu iznosi:

T t l ij l kt j bi ki tičk i t ij l ij

2222 ϕdrdrds += (16)■ Totalna energija elektrona je zbir kinetičke i potencijalne energije:

rZe

dtdsmE

2

0

2

41

2 πε−

= (17)

18

pa se zamenom elementa orbite, dobija:

rdt 042 πε


rZerrmE

2

0

222

41)(

2 πεϕ −+= (18)

■ Količina kretanja (impuls) uobičajeno se označava sa:

dok se moment količine kretanja L (moment impulsa ili obrtni

rmpr = (19)

dok se moment količine kretanja L (moment impulsa ili obrtniimpuls) označava sa:

ϕϕϕ 2mrmrvLp === (20)

■ Količina kretanja i moment količine kretanja mogu se izvesti idirektnim diferenciranjem kinetičke energije po i , respektivno.

■ Bohr i Sommerfeld su proširili i generalizovali kvantne uslove na sve

r ϕ

■ Bohr i Sommerfeld su proširili i generalizovali kvantne uslove na svevrste impulsa. Prema tom postupku, uzimamo dva kvantna uslova:

1. Azimutalni kvantni uslov:

19

hndp ϕϕ ϕ = (21)


2. Radijalni kvantni uslov:hndrp rr = (22)

gde su nφ i nr odgovarajući kvantni brojevi. Jednačina (21) odmahpostaje:

ϕϕ ϕ nmrp == 2 (23)

a, pr se može izračunati iz izraza za ukupnu energiju (18). Energijase može zapisati u obliku:

ϕϕ ϕp

Er

Zerp

pm r =−

+

2

02

22

41

21

πεϕ 2

22

0

2 24

12rp

rZmemEpr

ϕ

πε−+= (24)

pa radijalni kvantni uslov glasi:

pZme 2221

20

hndrrp

rZmemE r=−+ 2

0

24

12 ϕ

πε(25)


Zamenom azimutalnog kvantnog uslova u prethodnu relaciju, dobija se:

nZme 22221

■ Orbita elektrona je elipsa koja se

(26)hndrr

nr

ZmemE r=−+ 20

24

12ϕ

πε

■ Orbita elektrona je elipsa koja se može dobiti izračunavanjem ovog integrala, ali i bez toga:

Maksimalno i minimalno udaljenje elektrona, rmax i rmin, respektivno, mogu se dobiti direktno na osnovu uslova da je dr/dt = 0, odnosno pr = 0, pa je iz relacije (24):

024

12 2

222

=−+nZmemEϕ 0

241 222

2 =−+E

nr

EZer

ϕ (27)

21

Rešenja prethodne jednačine su rmax i rmin :4 2

0 rrπε 24 0 mEEπε


(28)EZerr

2

0minmax 4

1πε

−=+

Za elipsu važe odnosi:mE

nrr2

22

minmax

ϕ−=⋅ (29)

Za elipsu važe odnosi:

gde je c linearna ekscentričnost elipse, a a duža poluosa elipse, pa

arr 2minmax =+ car +=max car −=min

g j p p p pje:

Poređenjem prethodnih relacija sa relacijama (28) i (29) dobija se:

222minmax ))(( bcacacarr =−=−+=⋅

Poređenjem prethodnih relacija sa relacijama (28) i (29) dobija se:

EZea24

1 2

0πε−= (30)

22mE

nb2

222 ϕ−= (31)


■ Izračunavanjem integrala (25) sa granicama integracije od rmin dormax dobija se izraz za energiju u obliku:

(32)42 11 Z

■ Dobijeni izraz za energiju u potpunosti odgovara izrazu za kretanje

(32)

22

42

20 )(

12)4(

1

rnnemZE

+⋅−=

ϕπε

■ Dobijeni izraz za energiju u potpunosti odgovara izrazu za kretanjeelektrona po kružnoj orbiti, sa tom dopunom što se umestotamnošnjeg kvantnog broja n, sada koristi nφ + nr, pa se može pisati:

gde je n totalni kvantni broj, nφ azimutalni kvantni broj, a nr

radijalni kvantni broj

rnnn += ϕ

radijalni kvantni broj.

■ Na osnovu izraza za totalnu energiju (32) i izraza za poluose elipse(30) i (31), mogu se dobiti konačni izrazi za veliku poluosu elipse:

23

(33)Znr

Zn

menn

emZZea r

2

1

2

2

2022

420

2 4)(4 =⋅=+⋅= πεπεϕ


i za malu poluosu elipse:

(34)nn

rnn

bnnn

b ϕϕϕ πεπε1

20220

222 4)(24 =⋅=+=

gde je r1 poluprečnik prve kružne orbite u atomu vodonika. Za

(34)Z

rZme

bnnemZm

b rϕ 1242 )(22

+

vodonik važi:

i (35)21nra = ϕnnrb ⋅= 1

■ Relacije između kvantnih brojeva mogu se dobiti na osnovu odnosaizmeđu poluosa eliptične orbite elektrona. Velika poluosa je veća odmale poluose, ili u krajnjem slučaju jednaka maloj polusi, pa važi:

Na osnovu relacija (35) dobija se:

ba ≥

24

ϕϕ nnnr ≥+ 0≥rn ,...3,2,1,0=rn (36)


Dakle, radijalni kvantni broj može biti ceo pozitivan broj ili nula.Kada je nr = 0, tada je pr = 0, što znači da je r = const, odnosno da jeorbita krugorbita krug.

Mala poluosa orbite mora biti veća od nule, jer kada bi bila jednakanuli, onda bi elektron morao da prolazi kroz jezgro, što je fizičkinemoguće, pa je:

Na osnovu relacije (36):

(37)0>b ,...3,2,1=ϕn 0>ϕnNa osnovu relacije (36):

Na osnovu relacija (35) i usvajajući oznaku za azimutalni kvantni

ϕnn ≥ (38)

broj k = nφ , odnos male i velike poluose elipse dat je izrazom:

nk

n

n

ab == ϕ (39)

25

pa azimutalni kvantni broj predstavlja neku vrstu mereekscentričnosti elipse.

nna


■ Prema relaciji (38), azimutalni kvantni broj može imati svevrednosti, počevši od totalnog kvantnog broja n, pa n − 1, n − 2 svedo jedinice Na primer za n = 4 azimutalni kvantni broj k može imatido jedinice. Na primer, za n = 4, azimutalni kvantni broj k može imativrednosti: 4, 3, 2 ili 1, dok za n = 2, k može biti 2 ili 1. Svakojvrednosti k odgovara po jedna orbita. Kako je nφ=0 fizički nemoguće,jer se elipsa pretvara u pravu, a elektron bi morao prolaziti krozjezgro, to se obično u kvantnoj fizici za takvu vrednost kaže da jenedopuštena ili zabranjena.

■ U atomskoj fizici je usvojeno da se orbite ili slojevi, koji odgovarajupojedinim vrednostima totalnog (glavnog) kvantnog broja,označavaju određenim slovima. Tako se orbita koja odgovaraj j gnajnižoj vrednosti za n = 1 naziva K-orbita, zatim za n = 2 L-orbita itako dalje:

26

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6

K L M N O P


■ U atomskoj fizici usvojene su i oznake za stanja koja odgovarajuodređenim vrednostima azimutalnog kvantnog broja k. Kao slova zaoznake tih stanja uzeta su početna slova engleskih reči koja seoznake tih stanja uzeta su početna slova engleskih reči, koja seodnose na odgovarajuće spektralne linije i serije koje se proučavajuu spektroskopiji:

k = 1 stanje s sharp = oštra serija

k = 2 stanje p principal = glavna serija

k = 3 stanje d diffuse = difuzna serijak = 3 stanje d diffuse = difuzna serija

k = 4 stanje f fundamental = osnovna serija

k = 5 stanje g dalje oznake su po abecedi...5 j g j p

27


Prostorno kvantovanje

■ Dosadašnje razmatranje kretanja elektrona nije vodilo računa otome kako su u prostoru raspoređene kružne ili eliptičke putanjep p p p j(smatralo se da su sve orbite u jednoj ravni).

■ Bohr-ova kvantna teorija, koju je dalje razvio Sommerfeld, ukvantovanju ide korak dalje: prostorni raspored orbita u atomu nej j p pmože biti proizvoljan, već postoji i prostorno kvantovanje.

■ Položaj orbite određen je kvantnimbrojevima, pa je prema tomebrojevima, pa je prema tomediskretan. Prema tome, obavezno jekvantovanje i momenata količinekretanja elektrona ali i njihovihkretanja elektrona, ali i njihovihkomponenata, odnosno projekcija.Vektori momenta količine kretanjanormalni su na ravan orbite pa se

28

normalni su na ravan orbite, pa seprostorno kvantovanje prikazujepomoću njih.


■ Položaj orbite elektrona uobičajeno se određuje u odnosu na polarnuosu u sfernom koordinatnom sistemu koja se uobičajeno poklapa savertikalnom z-osom u Dekartovom pravouglom sistemu To jevertikalnom z osom u Dekartovom pravouglom sistemu. To jeistovremeno i osa duž koje je orijentisano spoljašnje magnetskopolje koje deluje na atom, pa je polarna osa istovremeno i osamagnetskog polja odnosno kao neka vrsta “magnetske ose”magnetskog polja, odnosno kao neka vrsta magnetske ose .

■ Pol koordinatnog sistema je u jezgru koje se nalazi u žiži orbiteelektrona, a elektron se nalazi u tački A. Ravan orbite sečeh i t l O d ži OC k j i č li ijhorizontalnu ravan O po duži OC koja se naziva čvorna linija.

■ Koordinate tačke A određene su vektorom položaja r, uglom φ uravni orbite i uglom Ψ u horizontalnoj ravni. Ravan orbite elektrona uodnosu na horizontalnu ravan zaklapa ugao α.

29


■ Momenti količine kretanja pψ i pφ su orijentisani duž normale nahorizontalnu ravan i ravan orbite, respektivno, u smeru koji jeodređen smerom kretanja elektrona Odgovarajuće ugaone brzineodređen smerom kretanja elektrona. Odgovarajuće ugaone brzinesu:

ϕϕωϕ ==dtd ψψωψ ==

dtd

(40)

Moment količine kretanja pφ može se smatrati i totalnim momentomkoličine kretanja, a pψ – momentom količine kretanja koji odgovarahorizontalnoj ravni na koju je projektovana orbita. Veličina p jehorizontalnoj ravni na koju je projektovana orbita. Veličina pψ jeprojekcija veličine pφ na magnetsku osu:

αϕψ cos⋅= pp (41)

■ Prema Bohr-Sommerfeld-ovim kvantnim uslovima, važi:

ϕψ

30


ϕϕ np =

hndrp =

hndp θθ θ =

hndp ψ =

(42)

(43)

(44)

(45)

gde je nφ azimutalni kvantni broj, nψ – “magnetski”, a nθ – “širinski”kvantni broj, jer θ određuje širinu na kojoj se nalazi tačka A.

hndrp rr = hndp ψψ ψ =(43) (45)

kvantni broj, jer θ određuje širinu na kojoj se nalazi tačka A.

■ Prikazujući položaj elektrona A u ravni orbite pomoću koordinata r iφ, a zatim u prostoru pomoću r, θ i ψ, dobija se relacija za zbir

č čkoličine kretanja i momenta količine kretanja:

++=+ ψθϕ ψθϕ dpdpdrpdpdrp rr (46)

+= ψθϕ ψθϕ dpdpdp (47)

ψθϕ nnn += (48)

31

Azimutalni kvantni broj jednak je zbiru “magnetskog” kvantnog brojai “širinskog” kvantnog broja.


■ Za određeni položaj orbite u prostoru konstantni su pφ i pψ, štopotvrđuje i relacija (41), pa se pψ može kvantovati na isti način kao ip naravno korišćenjem odgovarajućeg kvantnog broja:pφ, naravno korišćenjem odgovarajućeg kvantnog broja:

■ Poređenjem relacija (49) i (41), dobija se veza između azimutalnog i

(49)ψψ np =

magnetskog kvantnog broja:

■ Prethodna relacija uvodi prostorno kvantovanje jer definše da ugao

(50)αϕψ cos⋅= nn

■ Prethodna relacija uvodi prostorno kvantovanje, jer definše da ugaoα ne može imati proizvoljne vrednosti, već diskretne vrednostiodređene kvantnim brojevima:

■ Kako je sledi:

(51)θψ

ψ

ϕ

ψαnn

nnn

+==cos

1cos1 +≤≤− α

32

■ Kako je sledi:1cos1 +≤≤ α

11 +≤≤−ϕ

ψ

nn

ϕψϕ nnn +≤≤− (52)


■ Azimutalni kvantni broj može imati vrednosti 1, 2, 3... Magnetskikvantni broj koji takođe mora biti ceo broj, prema tome može imativiše vrednosti nego azimutalni:g

Magnetski kvantni broj se uobičajeno obeležava sa m, a azimutalni

(53)ϕψ nn ±±±±±= ,...,4,3,2,1,0

kvantni broj pored oznake k često se obeležava sa j, pa se prethodniuslov može napisati i u obliku:

jm ±±±±±= ,...,4,3,2,1,0Azimutalni kvantni broj j služi kao mera za totalni moment količine

kretanja, a još se naziva i unutrašnji kvantni broj. Taj momentk liči k t j ij tiš t k d d bij d

j, ,,,,,

količine kretanja orijentiše se tako da se dobiju navedenekvantovane vrednosti orijentacije u prostoru.Broj vrednosti magnetskog kvantnog broja iznosti 2k+1 odnosno

33

2j+1. Prema novouvedenim oznakama, relacija (51) postaje:

(54)jm /cos =α


Kvantovanje magnetskog momenta

■ Bohr-ova kvantna teorija došla je i do kvantovanja magnetskogmomenta što se može izvesti prema izrazu za magnetski momentmomenta, što se može izvesti prema izrazu za magnetski momentelektrona koji se kreće oko jezgra u atomu.

■ Posmatramo elektron, koji se kreće po krugu poluprečnika r, kaoj K liči l k i i k j l i k k jstruju. Količina elektriciteta koja prolazi kroz neko mesto na toj

orbiti iznosi:TIe ⋅= (55)

gde je T vreme za koje elektron pređe tu periferiju kruga (orbitu),odnosno period okretanja. Ako je v brzina elektrona, biće:

2

Iz osnova elektrotehnike je poznato da je magnetski moment

vTr =π2 v

rT π2= r

evTeI

π2== (56)

34

strujnog kola jednak proizvodu struje i površine kola:

SIM m

= (57)


■ Nakon zamene, izraza za struju u izraz za intenzitet magnetskogmomenta dobija se:

erevev 2π

■ Ako se moment količine kretanja kvantuje, biće:

mvrme

rrevS

revM m ⋅==⋅=

222 ππ

π(58)

č

meM m 2

brojkvantni ⋅= (59)

■ Prema definiciji magnetskog momenta kao običnog proizvoda struje ipovršine, dobiće se:

ejenM == (60)

■ Na osnovu prethodnih relacija, postoji elementarni magnetskimoment koji se obično o nača a sa i na i a se Boh o

mj

mnM m 22ϕ (60)

35

moment koji se obično označava sa μB i naziva se Bohr-ovmagneton:

me

B 2=μ (61)


■ Bohr-ov magneton se može smatrati i elementarnim kvantommagnetskog zračenja. Njegova numerička vrednost iznosi:

224 A102739 −

Stern-Gerlach-ov eksperiment

■ Otto Stern i Walther Gerlach su 1921. i 1922. godine izveli

224 Am10273.9 ⋅≈Bμ

■ Otto Stern i Walther Gerlach su 1921. i 1922. godine izvelieksperiment u cilju potvrde prostornog kvantovanja.

Zagrevanjem srebra do stanja pare,pojedini atomi su prolazili kroz dva uskaotvora i formirali atomski snop. Čitavaaparatura nalazila se u vakuumskoj cevi. Tiatomi su nailazili na jako magnetsko poljekoje je naročito načinjeno nehomogenimdavanjem različitih oblika polovima.

36

Orijentacija polja je normalna na pravackretanja atoma.


■ Na svaki atom, nehomogeno magnetsko polje deluje određenomsilom, koja se može odrediti pomoću zakona elektromagnetike. Tasila dovodi do skretanja snopa atoma srebra Sila koja deluje nasila dovodi do skretanja snopa atoma srebra. Sila koja deluje naatome nije u vezi sa silom koja deluje na naelektrisane čestice jer suatomi srebra elektroneutralni. Sila potiče od interakcije magnetskogpolja B elektromagneta i magnetskog dipola svakog pojedinačnogpolja B elektromagneta i magnetskog dipola svakog pojedinačnogatoma srebra. Naime, potencijalna energija U dipola u magnetskompolju, data je relacijom: (62)

gde je Mm,z projekcija magnetskog momenta na pravac delovanjamagnetskog polja. Sila koja deluje na atome određena je relacijom:

BMBMU zmm ,−=⋅−= (62)

ag og po ja a oja d uj a a o od đ a j a jo

dzdBM

dzdUF zmz ,=−= (63)

37

■ U slučaju kada je magnetsko polje B homogeno, dB/dz = 0, pa nepostoji sila koja deluje na atome srebra.


U Stern-Gerlach-ovom eksperimentu polovi su dizajnirani tako dadB/dz bude što je moguće veće, što je omogućavalo skretanje atomasrebrasrebra.

■ Kada atomi prođu kroz magnetsko polje, nailaze na ekran, gde semogu detektovati pomoću fotografske ploče.

U odsustvu magnetskog polja atomi se kreću pravolinijski i padajuna ploču tako da se dobije tačno u pravcu njihovog kretanja, nasredini fotografske ploče, slika proreza kroz koji su prošli u viducentralnog, jedinstvenog maksimuma.

Kada je magnetsko polje uključeno,originalni snop se cepa vertikalnooriginalni snop se cepa vertikalno,usled delovanja magnetskih sila naatome srebra, u dva manja snopa,tako da je jedan snop iznad

38

tako da je jedan snop iznadcentralne pozicije, a drugi ispod nje.


Prema klasičnoj fizici z-komponenta magnetskog momenta Mm

atoma srebra koji prolaze kroz magnet trebalo bi da varira od –Mm do+Mm, pa bi kao rezultat trebalo da postoji relativno širok opsegm, p p j p gskretanja atoma u odnosu na prvobitni pravolinijski pravacprostiranja. Međutim, to se ne dešava.

Dobijeni rezultat ukazuje na to da komponenta magnetskogDobijeni rezultat ukazuje na to da komponenta magnetskogmomenta Mm u z-pravcu (Mm,z) nije mogla da ima proizvoljnevrednosti u intervalu –Mm do +Mm što je predviđanje klasične fizike,ć d k d đ d č k dveć ima dve striktno određene vrednosti, pri čemu svaka odgovara

jednom od novonastalih snopova.

■ Ovaj eksperiment pokazuje da je z komponenta magnetskogmomenta kvantovana, pa samim tim i magnetski momenat. Samimtim je i momenat količine kretanja kao i njegova z-komponenta,kvantovan.

39

■ Bohr-Sommerfeld-ova teorija rezultate Stern-Gerlach-ovogeksperimenta tumači kao potvrdu prostornog kvantovanja.


Spin elektrona i kvantni brojevi prema talasnoj kvantnoj mehanici

■ Moderna kvantna teorija, koja se još naziva i talasnom kvantnommehanikom nudi drugačije objašnjenje rezultata Stern Gerlachmehanikom, nudi drugačije objašnjenje rezultata Stern-Gerlach-ovog eksperimenta.

■ U vezi sa tim problemom i proučavanjima Uhlenbeck i Goudsmit1925. godine dolaze do radikalnog zaključka da elektron posedujesopstveni moment količine kretanja i sopstveni magnetski moment,koji je nazvan spinom elektrona. Prema takvom shvatanju ukupnimomenat količine kretanja elektrona u atomu jednak je zbiruazimutalnog momenta količine kretanja i spina. Za azimutalnikvantni broj imali smo kvantni broj nφ = k. Talasna kvantna mehanikaj j φumesto njega uvodi novi kvantni broj koji se opravdava i premaobjašnjenju Stern-Gerlach-ovog eksperimenta. Taj broj je za jedinicumanji od k a označava se sa l l = k – 1 i naziva se orbitalni kvantni

40

manji od k, a označava se sa l, l = k – 1 i naziva se orbitalni kvantnibroj:

1,...,3,2,1,0 −= nl


l = 0 l = 1 l = 2 l= 3 l = 4

s p d f g

■ Talasna kvantna mehanika definiše magnetskikvantni broj m na sledeći način:

l±±±±± 43210

■ Prema talasnoj kvantnoj mehanici, moment količinekretanja i njegova z-komponenta određeni su

lml ±±±±±= ,...,4,3,2,1,0

j j g prelacijama:

i)1( += llpϕ lz mp =

dok su magnetski momenat Mm i njegova z-komponenta Mm,z određeni relacijama:

41

i)1(

22+=−= ll

meMp

meM mm ϕ Blzm mM μ−=,


■ Spin elektrona je inherentna osobina kao što su masa inaelektrisanje. Spinski obrtni moment S zavisi od spinskog kvantnogbroja s koji je za elektrone uvek ½ (kao i za protone i neutrone)broja s koji je za elektrone uvek ½ (kao i za protone i neutrone).Komponenta spinskog orbitnog momenta S merena duž neke ose jekvantovana i zavisi od spinskog magnetskog kvantnog broja ms kojimože imati samo dve vrednosti +½ i −½:

d k j k t S

866.0)1( =+= ssS

dok je komponenta Sz:

■ Spinski magnetski moment Ms povezan je sa

sz mS =

p ag o s po a j aspinskim obrtnim momentom S preko relacije:

SeM

−= )1( += sseM

42

Sm

M s −= )1( += ssm

M s


■ Za razliku od z-komponente orbitnog magnetskog momenta Mm,z, z-komponenta spinskog magnetskog momenta Ms,z zahteva množenjekvantnog broja faktorom 2:kvantnog broja faktorom 2:

Bszs mM μ2, −=

Kvantni broj simbol Dozvoljene vrednosti

Glavni n 1, 2, 3, ...Orbitni l 0 1 2 (n 1)Orbitni l 0, 1, 2, ..., (n-1)

Magnetski orbitni ml 0, ±1, ±2, ±3, ... ±lSpinski s ½

Magnetski spinski ms ± ½

43


Eksperimentalni dokaz kvantizacije 1914 godine:


Eksperimentalni dokaz kvantizacije - 1914. godine: Franck i Hertz su pokušavali da izmere jonizacioni potencijal različitih atoma Gustav Hertz

(1887-1975)James Franck (1882-1964)

Postavka eksperimenta

44


Njutnova mehanika → čestica i njeno stanje su definisani kada su

1. Kvantizacija 2. Dualnost 3. Neodređenost Njutnova mehanika → čestica i njeno stanje su definisani kada su

poznate njena koordinata i impuls (ili brzina). Poznavanje stanjačestice podrazumeva ”prostornu lokalizaciju”, odnosno prenos

ij k t i k k t i k t Penergije kroz prostor i vreme kao koncentrisanog paketa. Prenosovog paketa određen je trajektorijom čestice.

Talasi → nema prostorne lokalizacije energije. Talas posedujeenergiju i impuls ali ne lokalizovane već raspodeljene u talasnomfrontu. Pored toga talas podleže difrakciji i interferenciji.

Primer: Elektromagnetski talasi (recimo svetlost) prostiru sekroz prostor u vidu talasa koji nose energiju distribuiranupreko kontinualnih nelokalizovanih sfernih talasnih frontova(J Cl k M ll 1831 1879) U 19 k j d l l d

45

(James Clerk Maxwell, 1831-1879). U 19. veku je delovalo daMaxwell-ova teorija elektromagnetskih talasa može da opišesve relevantne fenomene.

J. C. Maxwell (1831-1879)



1899. godine Philipp Lenard, osvetljavao je metalnufoliju svetlošću različitih boja u cilju efikasnijeg dobijanjakatodnih zraka, kako se kasnije otkrilo elektrona i tadaje uočio fotoefekat → samo neke boje dovode do pojaveemisije elektrona iz metalnih folija. Philipp Lenard

(1862-1947)

46



1905. godine Albert Einstein “vaskrsava” ideju o čestičnoj prirodi

tl ti t k št t t lj dsvetlosti tako što pretpostavlja da elektromagnetski talas dolazi na foliju u energetskim paketima koje naziva

Albert Einstein (1879-1955)

fotonima a čija energija prema Planck-u zavisi od učestanosti svetlosti.

Nobelova nagrada 1921 godine zaNobelova nagrada 1921. godine za objašnjenje fotoefekta.

47


Dualnost: Fotoelektrični efekat


Ukoliko se zrak svetlosti dovoljno kratke talasne dužine usmeri načistu površinu metala, svetlost će dovesti do toga da elektroni

Dualnost: Fotoelektrični efekat

čistu površinu metala, svetlost će dovesti do toga da elektroninapuštaju površinu metala (svetlost će izbacivati elektrone sapovršine metala). Ovaj fenomen poznat je pod nazivom fotoelektričniefekat i nalazi primenu u velikom broju uređaja, kao što suefekat i nalazi primenu u velikom broju uređaja, kao što sutelevizijske kamere, kamkoderi, uređaji za noćno osmatranje...

Fenomen fotoelektričnog efekta Einstein je objasnio pomoću čestičneprirode elektromagnetske svetlosti (foton)prirode elektromagnetske svetlosti (foton).

Analiziraćemo dva bazična eksperimenta sa fotoelektričnim efektomkoja koriste u istu aparaturu.

48


Zračenje iz svetlosnog izvora

1. Kvantizacija 2. Dualnost 3. NeodređenostZračenje iz svetlosnog izvora frekvencije f usmereno je na metalnu metu T i dovodi do eksitacije (izbacivanja) elektronaeksitacije (izbacivanja) elektrona iz mete. Razlika potencijala V koja se održava između mete T i kolektorske elektrode C dovodikolektorske elektrode C dovodi do skupljanja elektrona na kolektorskoj elektrodi C. Ovi elektroni se nazivajuelektroni se nazivaju fotoelektroni. Kolekcija fotoelektrona dovodi do stvaranja

49

fotoelektrične struje i koja se meri ampermetrom A.


Prvi eksperiment fotoelektričnog efekta


Prvi eksperiment fotoelektričnog efekta

Potencijalna razlika V se pomoću potenciometra podešava tako da jekolektor C slabo negativan u odnosu na metu T. Ovakva potencijalna

črazlika dovodi do usporavanja izbačenih elektrona.

Nakon toga, napon V se podešava do određene vrednosti, koja senaziva zaustavni potencijal Vstop, za koju je struja merenap j stop, j j jampermetrom A opala na nulu. Zapravo, u trenutku kada se podesipotencijal Vstop, najbrži elektroni (elektroni sa najvećom energijom)se neposredno pre nego što dosegnu kolektor, zaustavljaju i vraćajuse neposredno pre nego što dosegnu kolektor, zaustavljaju i vraćajunazad ka meti, pa je njihova kinetička energija:

stopk eVE =max, (16)

50

gde je e elementarno naelektrisanje.


Merenja su pokazala da za svetlost na datoj frekvenciji, vrednost

1. Kvantizacija 2. Dualnost 3. NeodređenostMerenja su pokazala da za svetlost na datoj frekvenciji, vrednostmaksimalne kinetičke energije Ek,max ne zavisi od intenziteta izvorasvetlosti. Bilo da je izvor blještavo svetao ili jedva vidljiv, maksimalnakinetička energija izbačenih elektrona je uvek ista.kinetička energija izbačenih elektrona je uvek ista.

Ovakvi eksperimentalni rezultati predstavljali su zagonetku uokvirima klasične fizike, koja pretpostavlja da je svetlost harmonijskielektromagnetski talas Elektroni u meti bi trebalo takođe da oscilujuelektromagnetski talas. Elektroni u meti bi trebalo takođe da oscilujuharmonijski pod dejstvom oscilatorne električne sile koja se javljausled električnog polja elektromagnetskog talasa. Ako je amplitudaoscilacija dovoljno velika elektron bi se oslobodio sa površine meteoscilacija dovoljno velika, elektron bi se oslobodio sa površine mete.Ovakvo rezonovanje dovodi do zaključka da bi povećavanjemamplitude EM talasa elektroni trebalo da dobiju veću “porciju”

ij i i ti d b d “j č k t lti i” M đ ti t

51

energije i samim tim da budu “jače katapultirani”. Međutim, to se nedogađa. Za datu frekvenciju, i intenzivni i slabi svetlosni zraci dajupotpuno jednak maksimalni potisak izbačenim elektronima.


Do ispravnog objašnjenja, dolazi se sasvim prirodno, ukoliko se

1. Kvantizacija 2. Dualnost 3. NeodređenostDo ispravnog objašnjenja, dolazi se sasvim prirodno, ukoliko sepretpostavi da je svetlost čestične prirode. Energija koja se možepreneti iz svetlosnog snopa incidentne svetlosti na elektron koji senalazi u meti jednaka je energiji koju poseduje jedan foton.nalazi u meti jednaka je energiji koju poseduje jedan foton.Povećanje intenziteta svetlosti povećava broj fotona u svetlosnomsnopu ali energija koju nose individualni fotoni, u skladu sa E = hf,ostaje nepromenjena dokle god je frekvencija konstantna Premaostaje nepromenjena dokle god je frekvencija konstantna. Prematome, energija prenesena elektronu ostaje takođe nepromenjena.

Drugi eksperiment fotoefekta

Menja se frekvencija incidentne svetlosti i meri zaustavni potencijalVstop. Do fotoefekta neće doći ukoliko su frekvencije incidentne

svetlosti ispod neke granične frekvencije f0, koja se naziva prekidna

52

svetlosti ispod neke granične frekvencije f0, koja se naziva prekidnafrekvencija, ili ukoliko je talasna dužina veća od odgovarajuće

prekidne talasne dužine λ0 = c/f0



Zaustavni potencijal Vstop u funkciji od frekvencije fincidentne svetlost za metuincidentne svetlost za metu od natrijuma.

Rezultati eksperimenta ne pzavise od intenziteta incidentne svetlosti !

Ni ovaj eksperiment se ne može objasniti zakonima klasične fizike.Ako se svetlost posmatra kao elektromagnetski talas, očekivano jeda bez obzira na to koje je frekvencije zračenje uvek može doći do

53

da bez obzira na to koje je frekvencije zračenje, uvek može doći doizbacivanja elektrona ako se obezbedi dovoljno energije, odnosnokoristi dovoljno intenzivan izvor. Međutim, to se ne dešava!


Postojanje prekidne frekvencije je u potpunosti očekivano kada se


Postojanje prekidne frekvencije je u potpunosti očekivano kada seuzme u obzir da se prenos energije odvija preko fotona. Elektroni suvezani unutar mete električnim silama. Da bi se oslobodili tihl kt ič i il t b j d d bij ki i i ij Ф k jielektrični sila, potrebno je da dobiju neki minimum energije Ф, koji

zavisi od tipa materijala mete i naziva se izlazni rad.

Ako je energija hf koju foton preda elektronu veća od izlaznog rada,j g j f j p g ,elektron može da se oslobodi električni sila koja ga vezuju u metalu ida ga napusti. U suprotnom, elektron ostaje vezan, jer energija kojuje primio nije dovoljno velika da savlada električne sile koja gaje primio nije dovoljno velika da savlada električne sile koja gazadržavaju u vezanom stanju.

Jednačina fotoelektričnog efekta

54

Einstein je sumirao rezultate prethodnih eksperimenata kroz relaciju

Φ+= max,kEhf (17)


P h d l ij d lj k d ž j ij


Prethodna relacija zapravo predstavlja zakon održanja energije zajedan foton apsorbovan od strane materijala sa izlaznim radom Ф.Energija jednaka energiji fotona hf prenosi se na jedan elektron umaterijalu mete. Da bi elektron napustio metu potrebno je da dobijeenergiju koja je barem jednaka Ф. Sva preostala energija (hf – Ф)koju elektron primi predstavlja kinetičku energiju Ek elektrona. Unajboljem slučaju, elektron može da napusti površinu materijala bezikakvog gubitka kinetičke energije tokom tog procesa, pa se vanmaterijala mete javlja sa maksimalnom mogućom kinetičkomenergijom Ek,max.

Ako se jednačina fotoefekta (17) izrazi preko zaustavnog potencijala,dobija se:

55

j

ef

ehVstop

Φ−

= (18)


č


Planck-ov zakon zračenja “crnog tela”

Crno telo je idealizovano fizičko telo koje možeda apsorbuje svo incidentno EM zračenje, bezp j j ,obzira na učestanost ili prostorni ugao.Crno telo u TDR (na konstantnoj temperaturi)emituje i istvremeno apsorbuje EM zračenje

Max Planck (1858-1947)

emituje i istvremeno apsorbuje EM zračenje.Zračenje se emituje u skladu sa Plankovimzakonom, prema kome je spektarčzračenja određen samo temperaturom, a ne

oblikom ili sastavom tela.

Krajem 19. veka postavljalo se pitanjej p j p jučestanosti elektromagnetskih talasa kojeovakav objekat zrači.

56



Klasična teorija predviđa da energija zračenjaraste sa porastom učestanosti, tzv.”ultraljubičasta katastrofa”.j

Ono što je Planck želeo da odredi je spektralnagustina zračenja:

2d

Max Planck (1858-1947)

Aproksimacije:

),(2

TdVd

Ed νρν

=

Aproksimacije:3~νρ

W. Wien (1864-1928)→

4~ Tdd Ω⋅⋅ νρJ. Štefan (1835-1893)→

57


š š


Planck-ov model (No.1): molekuli zida šupljine ponašaju se kao oscilatori sa naelektrisanjem što dovodi do zračenja ovih molekula ali je energija koju mogu da emituju ili da prime kontinualna i ovu energiju oni mogu da razmenjuju sa okolinom zračenjem:

3

1)/exp(),(

3

−=

TBATνννρ

Planck-ov model (No 2): U cilju teorijskog objašnjenja Planck polazi odPlanck ov model (No.2): U cilju teorijskog objašnjenja Planck polazi odII zakona termodinamike i entropije (Ludvig Boltzman, 1844-1906).Tada uspeva da objasni prethodne zakone, ali samo kada pretpostavi daje ene gija pojedinačnog oscilato a konačna (disk etna ”q anta”) i daje energija pojedinačnog oscilatora konačna (diskretna, ”quanta”) i dapri tome zavisi od učestanosti ν kao hν, a ne da teži 0 kako je prethodnomislio. 58


ć


Time je nevoljno, ne verujući u svoj rad, postao ”otac” kvantne mehanike. Ipak je za svoj rad dobio Nobelovu nagradu 1918. godine.

1)/exp(8),( 3

2

−=

Tkhh

cT

Bννπννρ

Einstein je prihvatio Planck-ov zakon bez oklevanja i krozfotoelektrični efekat potvrdio da energija elektromagnetnog talasa

→ Svetlost ima čestičnu prirodu!!!dolazi u kvantima, što je karakteristika čestica!

Svetlost ima čestičnu prirodu!!!59



1923. godine Arthur H. Compton proučavao je rasejanje X-zraka (rentgensko zračenje λ ~ 10-10 m) i

žmerio pomeraj talasne dužine X zraka usled rasejanja. Primenom talasne teorije nije bilo moguće objasniti fenomen, ali je primenom ideje o fotonu kao čestici i Arthur Compton

(1892-1962)klasičnom teorijom sudara pokazao da je promena talasne dužine očekivani rezultat.

(1892 1962)

60


Dualnost: Komptonov efekat


1916. godine Einstein je proširio svoju teoriju o kvantnoj prirodisvetlosti tako što je pretpostavio da kvanti svetlosti (fotoni) imajuli i l Z f t ij hf i t it t i l j d t

Dualnost: Komptonov efekat

linearan impuls. Za foton energije hf, intenzitet impulsa je datrelacijom:

λhhfp ==

pa se prilikom interakcije fotona i materije prenose i energija i impuls,kao da je došlo do sudara između fotona i materije u klasičnom

λc

kao da je došlo do sudara između fotona i materije u klasičnomsmislu.

1923. godine Arthur Compton sproveo je eksperiment koji je podržaođ d l f

61

tvrđenje da se i impuls i energija prenose putem fotona.


Na slici je prikazana aparatura na kojoj je Compton sproveo svoj

1. Kvantizacija 2. Dualnost 3. NeodređenostNa slici je prikazana aparatura na kojoj je Compton sproveo svojeksperiment. Snop x-zraka talasne dužine λ usmeren je na metu odugljenika. X-zraci su deo elektromagnetskog spektra sa veomavisokim frekvencijama odnosno malim talasnim dužinama Komptonvisokim frekvencijama, odnosno malim talasnim dužinama. Komptonje merio talasne dužine i intenzitete x-zraka koji su rasejani urazličitim pravcima prilikom “sudara” sa metom od ugljenika.

62


Na slici su prikazani rezultati eksperimenta Iako je incidentni snop x


Na slici su prikazani rezultati eksperimenta. Iako je incidentni snop x-zraka monohromatski (λ = 71.1 pm), rasejani x-zraci imaju čitavopseg talasnih dužina, sa dva izražena intenzitetska pika.

Prvi pik je centriran u okolini incidentne talasne dužine λ, dok je drugipik centriran na λ′ koja je za Δλ veća od λ. Vrednost Δλ naziva se

63

pik centriran na λ koja je za Δλ veća od λ. Vrednost Δλ naziva se

Komptonov pomak. Vrednost Komptonovog pomaka zavisi od togapod koji uglom su detektovani rasejani x-zraci.


Klasična fizika posmatra incidentni x zrak kao harmonijski


Klasična fizika posmatra incidentni x-zrak kao harmonijskielektromagnetski talas. Pod dejstvom električnog polja EM talasa,elektroni u ugljeničnoj meti trebalo bi da takođe osciluju poharmonijskom zakonu sa istom frekvencijom kao što je frekvencijaharmonijskom zakonu, sa istom frekvencijom kao što je frekvencijaincidentnog talasa. Oscilacije elektrona bi zapravo dovele do toga dase on ponaša kao minijaturna antena, koja bi trebalo da odašiljetalase iste frekvencije Prema tome x zraci rasejani na elektronimatalase iste frekvencije. Prema tome, x-zraci rasejani na elektronimatrebalo bi da imaju istu frekvenciju a samim tim i talasnu dužinu kaox-zraci u incidentnom snopu. Međutim, to se ne dešava!

Compton je interpretirao rasejanje x-zraka na atomima ugljenika,posmatrajući transfer energije i impulsa, putem fotona, izmeđuincidentnih x-zraka i slabo vezanih elektrona u atomima ugljenika.

64


U cilju kvalitativne analize, pretpostavimo da je za interakciju između


incidentnog x-zraka i stacionarnog elektrona odgovoran samo jedanfoton, energije E = hf. U opštem slučaju, pravac prostiranja x-zraka ćese promeniti (doći će do rasejanja) i elektron će uzmaći (otskočiti),p o (do do a ja ja) o u a (o o ),što znači da će dobiti određenu kinetičku energiju. Ako je interakcijaizolovana, važiće zakon održanja energije, pa energija rasejanogfotona E′ = hf′ mora biti manja od energije incidentnog fotona Premafotona E hf mora biti manja od energije incidentnog fotona. Prematome, rasejani fotoni moraju imati manju frekvenciju f′, a samim tim iveću talasnu dužinu λ′, što je u skladu sa rezultatima Compton-ovogeksperimentaeksperimenta.

U cilju kvantitativne analize primenićemo zakon održanja energije na“sudar” između incidentnog x-zraka i inicijalno stacionarnogl b d l kt ti N k d k t l j d ži i λ′

65

slobodnog elektrona u meti. Nakon sudara, x-zrak na talasnoj dužini λ′kreće se pod uglom ϕ, a elektron pod uglom θ u odnosu na prvobitnipravac.



kEfhhf +′=

gde je Ek kinetička energija elektrona nakon sudara. Brzina elektronamože biti veoma velika, uporediva sa brzinom svetlosti, pa se morakoristiti relativistički izraz za kinetičku energiju:

66

koristiti relativistički izraz za kinetičku energiju:

)1(20 −= γcmEk


Z i ij k d ž j d bij


Zamenom izraza za energiju u zakon održanja, dobija se:

)1(20 −+′= γcmfhhf )1(0 −+

′= γ

λλcmhh

Primenom zakona održanja impulsa na posmatrani sudar, uzimajući uobzir da je impuls incidentnog fotona p = h/λ, impuls rasejanog fotonap′ = h/λ′ a relativistički impuls elektrona p = γm0v dobija se:p h/λ , a relativistički impuls elektrona pe γm0v, dobija se:

za projekcije na x-osu: θγφλλ

coscos 0vmhh +′

=

za projekcije na y-osu:

λλ

θγφλ

sinsin0 0vmh −′

=

67

λ



Eliminacijom veličina koje se odnose samo na elektron (v i θ) izjednačina po održanju energije i impulsa, dobija se Komptonovpomak:

h

Konstanta h/( ) naziva se Komptonova talasna dužina

)cos1(0

φλλλ −=−′=Δcm

h

Konstanta h/(m0c) naziva se Komptonova talasna dužina.

Pik na incidentnoj talasnoj dužini ne javlja se kao posledica interakcijex-zraka i slabo vezanih elektrona, već interakcije sa jako vezanimelektronima u atomima ugljenika koji čine metu. Efektivno, ovi sudarikao da se odvijaju između incidentnog x-zraka i čitavog atomaugljenika. Međutim, masa atoma ugljenika je oko 22 000 puta veća

68

od mase elektrona, pa je i vrednost Komptonovog pomaka oko 22000 puta manja, što je previše mala vrednost da bi se uočila kaoskretanje.


Difrakcija elektrona


Difrakcija elektrona

Ovaj eksperiment potvrđuje da osim fotona i drugimikroobjekti imaju talasnu prirodu, budući da jedifrakcija karakteristika talasa.

1927. godine Davisson i Germer analiziraju difrakcijuelektronskog snopa sa periodičnom površinskomstrukturom od nikla i primećuju tačkice na zastoru.

69


Postavka eksperimenta: difrakcija elektrona na 2 procepa

1. Kvantizacija 2. Dualnost 3. Neodređenostp j p p

Šta se dešava u toku vremena na detektoru?70


1. Kvantizacija 2. Dualnost 3. NeodređenostŠta se dešava u toku vremena na detektoru?

čestična priroda (28 elektrona) talasna priroda (10000 elektrona) u kraćem periodu u dužem periodu

Da li elektron prolazi kroz prvi ili drugi procep? Da li međusobno interaguju?!Elektron kao da interferira sam sa sobom ali na detektor pada kao jedinstvena čestica!!!Na svom putu ”prolazi” kroz oba procepa tačnije ”prepoznaje” prisustvo oba procepa iNa svom putu ”prolazi” kroz oba procepa, tačnije ”prepoznaje” prisustvo oba procepa i

ponaša se po talasnim zakonima!!!Ako je procep kroz koji elektron prolazi poznat NE formira se interferentna slika!!!

71



1923. godine Prince Louise de Brogile zaključuje da ako su i fotoni i elektroni i talasi i čestice onda su i drugi objekti sličnih dimenzija mogu na istisu i drugi objekti sličnih dimenzija mogu na isti način opisati i pridružuje im, kako ih on naziva ”materijalne talase” (???)

Louis de Brogile

”Materijalni talasi” imaju svoju talasnu dužinu:

(1892-1975)

ph /=λ

72


1926 godine Max Born daje tumačenje de Brogile-vih talasa

1. Kvantizacija 2. Dualnost 3. Neodređenost 1926. godine Max Born, daje tumačenje de Brogile vih talasa.

x Kako objasniti pojavu interferencijske slike ako ne možemo nešto da superponiramo? Da li su to možda materijalni talasi?

x Pošto se interferencijska slika dobija sa dovoljno velikim brojem elektrona, onda se ovakvo ponašanje može opisati teorijom verovatnoće.

Max Born (1882-1970)

x Svaki prolaz kroz procep je jedan ”događaj” sa aspekta verovatnoće koji se opisuje funcijom gustine verovatnoće.

x Detektor meri raspodelu verovatnoće položaja elektrona, polazeći od intenziteta slike koji se dobija.

x Odatle sledi da se princip superpozicije i interferencija mogu protumačiti kao superpozicija raspodela verovatnoća →protumačiti kao superpozicija raspodela verovatnoća

Verovatnoća ~ |talas|2

Intenzitet materijalnih talasa de Brogile-a daje pozicionu verovatnoću čestice!!!73


U klasičnoj fizici sistem je skup čestica koje interaguju između sebe


U klasičnoj fizici sistem je skup čestica koje interaguju između sebeputem unutrašnjih sila, a mogu da interaguju sa spoljašnjim svetompreko spoljašnjih sila.

Čestica je nedeljiva tačkasta masa koja poseduje niz fizičkih osobinakoje se mogu meriti tzv. observable. Skup observabli opisuje stanje.Stanje sistema je skup stanja čestica koje ga čine.

Prema klasičnoj fizici, sve osobine čestice mogu se odrediti saproizvoljnom (beskonačnom) preciznošću. Samo je pitanjeeksperimentalne tehnike ili preciznosti instrumenta. Odatle je našeeksperimentalne tehnike ili preciznosti instrumenta. Odatle je našeznanje o fizičkom univerzumu limitirano samo observablama, a nesamom prirodom.

Ishod svakog merenja je u klasičnoj fizici predvidljiv kroz trajektoriju Ishod svakog merenja je u klasičnoj fizici predvidljiv kroz trajektoriju.Trajektoriju svake čestice određuje pozicija čestice → r(t) i impuls →p(t). 74


k { ( ) ( ) }


Trajektorija → {r(t), p(t); t ≥ t0 }

)()()( tvmtrdtdmtp =≡ ),()(2

2

trVtrdtdm −∇=

dt dt

masa sile na i između čestica

početni uslovi

Trajektorija → {r(t), p(t); t ≥ t0 } 75


Klasična fizika opisuje univerzum kao objektivnu realnost“ nezavisnu


Klasična fizika opisuje univerzum kao „objektivnu realnost , nezavisnuod posmatrača. Pri tome posmatrač i ono što se posmatra, uzdovoljnu pažnju mogu učiniti tu interakciju zanemarljivom.

ć ć č Polazeći od Njutnovih zakona i poznajući početne uslove, bez obzirana komplikacije moguće je predvideti budućnost → determinizam.

Odavde sledi da je za svaki događaj moguće naći njegov uzrok idući uprošlost → kauzalnost.

Mračna strana determinizma → sve nam jeveć unapred suđeno“ ciljevi i nade suveć unapred „suđeno , ciljevi i nade suirelevantni, ljudske želje uzaludne.

Ovaj determinizam je prilično dosadan!!!N ć i š !!!Na sreću i pogrešan !!!

76



Dualna priroda subatomskih čestica podriva klasičan koncept čestice.U principu osobine kvantnih čestica nisu u potpunosti definisane svedo momenta dok se ne izmere. One su pre „potencijalne“ ili „latentne“p „p j „(skrivene), sve dok se ne izmere.

Z lik d kl ič t j k t t j j k (k l t) Za razliku od klasičnog stanja, kvantno stanje je skup (konglomerat)više mogućih ishoda. Zato se kvantno stanje definiše prekoverovatnoće.

Kvantno stanje je u biti statističko, ne opisuje definitivne ishodepojedinačnih merenja već moguće rezultate merenja na velikom brojup j j g j jidentičnih sistema.

77



Merenje pozicije pojedinačne čestice daje za rezultat jednu vrednost.Tada sa razlogom tvrdimo da znamo poziciju čestice, ali ne znamoništa o tome šta je prethodilo merenju - pa se ne može govoriti opoziciji pre merenja. Tako pozicija koja je bila skrivena ilipotencijalna, u toku merenja postaje pojedinačna i tačno definisana.

→ Nema jasno definisane prošlosti

Tokom merenja mikroskopski sistem se ne može posmatrati bezd i k ij i j i ili č i

→ Nema jasno definisane prošlosti

neposredne interakcije i promene stanja samog sistema ili čestice.Efekat posmatrača na sistem se NE može smanjiti na 0 i što je jošgore, ni kontrolisati.

78



Pojam trajektorije kvantne čestice. Za određivanje trajektorijepotrebno je znati x(t0) i p(t0). Eksperiment se ponavlja na većem brojuidentičnih čestica, ali i pored toga, različita merenja dovode dog jrazličitih rezultata iako je sistem identičan??!! Prema klasičnoj fizicifluktuacija rezultata oko neke srednje vrednosti nas ne zabrinjava jerverujemo da to ako želimo, možemo eliminisati. Prema kvantnoj fizicij , jne možemo jednoznačno odrediti vrednosti ovih observabli zamikroskopsku česticu →

Hajnzerbergov princip neodređenosti: Hajnzerbergov princip neodređenosti:

π221 hpx ≥Δ⋅Δ

→ Pokazuje da svaki pokušaj da se istovremeno odrede x i pdovodi do netačnosti u merenju.

79

Heisenberg (1927. godine –princip

neodređenosti)


Hipoteza u eksperimentu sa difrakcijom elektrona: Ponašanjeelektrona je opisano talasom verovatnoće Ψ(x,t). U svakom trenutku

f ć ž

Gustina verovatnoće prolaska kroz prvi (P1) otvor kada je drugi otvor

ova funkcija je amplituda verovatnoće položaja elektrona na mestu x(detektor meri intenzitet talasa tj. kvadrat njegove amplitude).

Gustina verovatnoće prolaska kroz prvi (P1) otvor kada je drugi otvorzatvoren:

211 |),(~| txP Ψ

odnosno kroz drugi (P2) otvor kada je prvi otvor zatvoren:

222 |),(~| txP Ψ

Superpozicija talasa:2

212

1212 |),(),(||),(~| txtxtxP Ψ+Ψ=Ψ

ćαiαiAko je i , za domaći pokazati:2|~|),( 22αietx ΨΨ1|~|),( 11

αietx ΨΨ

)cos(||||2|||~| 21212

22

112 αα −ΨΨ+Ψ+ΨP 80


Funkcija stanja – opisuje stanja koja se mogu fizički realizovati( zove se još i „vektor stanja“ - Ψ )

Prvi postulat kvantne mehanike (KM):Svako stanje sistema koje se može fizički realizovati u KM se opisuje funkcijom Ψ koja sadrži sve dostupne informacije fizičke prirode o sistemu u tom stanju.

Ne možemo znati baš sve, ali ono što znamo o sistemu je„sadržano“ u Ψ.

Ψ može biti Ψ(p,t), Ψ(E,t), Ψ(x,t), a mi najčešće koristimoΨ = Ψ(položaj vreme)

1D prostor:

Ψ = Ψ(položaj, vreme)

),( txΨ=Ψ

81

3D prostor: ),( trΨ=Ψ Mnoštvo čestica: ),...,,( 21 trr Ψ=Ψ


Princip superpozicije: Ako Ψ1 i Ψ2 predstavljaju 2 stanja koja se fizičkimogu realizovati onda je stanje Ψ = C1 Ψ1 + C2 Ψ2 treće stanje koje semože realizovati u sistemu gde su C1 i C2 proizvoljne kompleksnekonstante.

novo stanje:→ΨΨΨ ,...,, 21 Ψ=ΨN

C

Drugi postulat kvantne mehanike: način kako izvući informacije iz Ψ

novo stanje:→ΨΨΨ N,...,, 21 Ψ=Ψi

iiC

Ako je sistem u nekom kvantnom stanju predstavljen talasnom funkcijom Ψ onda je | Ψ |2dV verovatnoća da će se čestica naći u infinitenzimalnoj

zapremini dV.

( dV → dx (1D), dxdydz (3D), dx1dx2dy1dy2dz1dz2...)

1D prostor (x ): dxtxtxdxtx ⋅Ψ⋅Ψ=Ψ )()(|)(| *2

82

1D prostor (x0): dxtxtxdxtx ΨΨΨ ),(),(|),(| 000

3D prostor (r0): dxdydztrtrdxdydztr ⋅Ψ⋅Ψ=Ψ ),(),(|),(| 0*

02

0


Uslov normalizacije:

+∞+∞

*1D prostor: ∞−∞−

⋅Ψ⋅Ψ== dxtxtxdxxP ),(),(1)( *

+∞

3D prostor: 1),(),( * =⋅Ψ⋅Ψ+

∞−

dVtrtr

Ako je integral divergentan ( beskonačan) onda Ψ nije odgovarajućatalasna funkcija → fizički zahtev da čestica postoji odgovaramatematičkim ograničenjima klase funkcija koje mogu predstavitig j j j g pstanja u prirodi. Ako |x| → ∞ onda Ψ(x,t) → 0 što sledi izintegrabilnosti funkcije Ψ

83

(Za domaći: Pokazati da Ψ i Ψ·exp(iδ) opisuju isto stanje sistema.)


1. Jednoznačnost 2. Konačnost 3. Neprekidnost 4. Glatkost

Talasna funkcija je jednoznačna (jedinstvena). Višeznačna funkcija nemože određivati gustinu verovatnoće položaja.

)(Ψ )(Ψ),( txΨ ),( txΨ

x x

84

Jednoznačna funkcija Višeznačna funkcija



Mora biti ispunjen uslov normiranja:

1|| 2 =Ψ+∞

dx

Funkcija mora biti ograničena osim u konačnom broju tačaka:

∞−

|x| → ∞ onda Ψ(x) → 0

85



)( tΨ )( tΨ),( txΨ ),( txΨ

x x

Funkcija koja nije neprekidna, zapravo je dvoznačna sa leve i desnestrane u tački prekida pa ne zadovoljava uslov jednoznačnosti;

neprekidna funkcija funkcija sa prekidom

strane u tački prekida, pa ne zadovoljava uslov jednoznačnosti;matematički izvod ne bi postojao da je funkcija prekidna

86



)( tΨ )( tΨ),( txΨ ),( txΨ

x xglatka nije glatka

87


Postoje u osnovi dve veličine koje karakterišu stanje objekta, a to sumomenat p i energija E. Ove veličine koje su praktično čestičnek kt i tik d đ j t i k i t t lkarakteristike, određuju prostornu i vremensku zavisnost talasnefunkcije i njen talasni vektor k i učestanost ω.

Najprostija forma talasa koja zadovoljava ova svojstva je ravanskitalas:

gde je C amplit da talasa O aj talas sebi sad ži info macije o

)](exp[),( tkxiCtx ω−=Ψ (1.1)

gde je C amplituda talasa. Ovaj talas u sebi sadrži informacije oenergiji i impulsu koji su sa učestanošću i talasnim vektorom povezanirelacijama:

h ων == hE (1.2)

kp ⋅= (1.3)

88

Kako je kod ovog talasa disperzija koja određuje grupnu brzinu talasavg konstanta:


(1.4)

klj č j d č i l d l j ik k il k j bi j

constvkk

===∂∂ ωω

zaključujemo da na česticu-talas ne deluje nikakva sila koja bi jeubrzavala ili usporavala. Zbog toga dati ravanski talas odgovaraprostiranju slobodne čestice.

Koristeći princip superpozicije koji važi za talasnu funkciju, moguće jekonstruisati generalnu formu talasne funkcije koja u osnovipredstavlja sumu, tačnije integral raznih planarnih talasa:

(1.5)dktkxikCtxk −=Ψ )](exp[)(),( ω

K d t l ž čiti b i t štKod ovog talasa se ne može uočiti promena brzine, zato što gasačinjavaju ravanski talasi koji održavaju ukupnu grupnu brzinufiksnom. Da bi se dobila forma koja omogućava da se pojave svi

ći ki l i i š iš b i

89

mogući ravanski talasi i uspešno opiše promena grupne brzine uprisustvu sile tj. spoljašnjeg potencijala, potrebno je postavitijednačinu u kojoj ne figurišu k i ω.


(1 6)

Polazi se od zakona održanja energije:

),(2

txUpE += (1.6)

a) Odredi se drugi izvod talasne funkcije ravanskog talasa po x i

),(2

txUm

E +

poveže sa talasnim vektorom k i kasnije sa impulsom p.

Ψ+=∂Ψ∂ ik Ψ−=

∂Ψ∂ 22

2

k 2

2222k

∂Ψ∂

Ψ−=

b) Odredi se prvi izvod talasne funkcije ravanskog talasa po t i povežesa odnosno sa E

∂x ∂ 2x 2x∂Ψ

sa ω odnosno sa E.

Ψ⋅−=∂Ψ∂ ωi i

∂Ψ∂=ω ),(),(

222

txUktxUpE +=+== ω

90

∂t t∂Ψ),(

2),(

2txU

mtxU

mE ++ω


c) zamenom prethodnih relacija dobija se:

Ψ∂Ψ∂ 22

(1.7)t

ix,tUxm

2 ∂

Ψ∂=Ψ+∂

Ψ∂− )(2

22

Schrödinger (1926. godine –jednačina kretanja kvantne čestice)

najopštija forma Schrödinger-ove jednačine(vremenski zavisna Schrödinger-ove jednačina )

kretanja kvantne čestice)

Kako je dobijena jednačina linearna i homogena po Ψ, onda ona važiza proizvoljnu linearnu superpoziciju ravanskih talasa sa različitim ωi k, koji istovremeno zadovoljavaju jednačinu (1.6).

Rešavanje ove jednačine za odgovarajuće granične i početne uslovedaje talasne funkcije i dozvoljene vrednosti energije za proizvoljan

91

j j j g j p jpotencijal U(x,t).


Vremenski nezavisna Schrödinger-ova jednačina

Kada je potencijal U u kome se čestica kreće takav da nije funkcija odvremena već samo od koordinate U = U(x), talasna funkcija se moženapisati kao proizvod funkcije po koordinati i funkcije po vremenu:

Tada se rešenje jednačine može naći metodom razdvajanja promenljivih:

)()(),( txtx ζψ ⋅=Ψ

=+

−

dttdixtxxU

dxxd

mt )()()()()()(

2)( 2

22 ζψζψψζ

Kada se prethodna relacija podeli sa dobija se)(txx,t ζψ ⋅=Ψ )()(

tdxd )(1)(1 22 ζψ

92

Edt

tdit

xUdx

xdmx

=

=+

− )(

)(1)()(

2)(1

2ζ

ζψ

ψ


Jednakost može biti zadovoljena samo ako su i leva i desna stranajednake konstanti, koju ćemo obeležiti sa E, a koja ima smisao energijeu konzervativnom sistemu:u konzervativnom sistemu:

)()()()(2 2

22

xExxUdx

xdm

ψψψ =+− 2 dxm

( )titiEttE

dttdi ωζζζ −=

== expexp)()()(

0)()]([222

2

=⋅−+ xxUEmd ψψ )()]([22dx

ψ

stacionarna Schrödinger-ova jednačina(vremenski nezavisna Schödinger-ova jednačina )

93

(vremenski nezavisna Schödinger ova jednačina )


94


U ovom razmatranju od interesa su dva slučaja. U prvom je energijaelektrona E veća od vrednosti potencijala U(x) u svim oblastima u kojimase razmatra problem dok je u drugom na nekim mestima E < U(x)se razmatra problem, dok je u drugom na nekim mestima E < U(x).

1° Kada je E > U(x) u celom domenu definisanosti, onda je elektronslobodna čestica koja se opisuje ravanskim talasom

95


Schrödinger-ova jednačina:

0)()]([22

=⋅−+ xxUEmd ψψ 0)()]([22 =⋅−+ xxUEdx

ψ

gde je U(x) definisano u oblastima u kojima je potencijal konstantan i tona sledeći način:na sledeći način:

<<

<<∞−= II

I )( x;

x; UxU a00

00

∞<< III x; U a0

I oblast: 210

2 kUEm =− )(202

12

2

=+ ψψ kd10 )(2 12 ψ

dx

II oblast: 222 02 kEm =− )(

02

22

2

=+ ψψ kdxd

96

dx

III oblast: 2102

2 kUEm =− )(

0212

2

=+ ψψ kdxd


Pretpostavljamo da je rešenje

0)exp( 21

2 =+→ kssx 1iks ±= )exp( 1x±ik~ψ

Rešenje:

0)exp( 1+→ kssx 1iks ± )exp( 1xikψ

I oblast: )exp()exp( 11111 xikBxikA −+=ψ

II oblast:

III bl t

)exp()exp( 22222 xikBxikA −+=ψ

)()( ikBikAIII oblast: )exp()exp( 13133 xikBxikA −+=ψ

97


Na granici oblasti talasne funkcije su povezane uslovima neprekidnosti iglatkosti:

neprekidnost:

0=x

0212211 ==+=+ xBABA ψψ p 0212211 x

I izvod (glatkost): 022221111 =′=′−=− xBikAikBikAik 21 ψψ

ax =

kid t =ψψneprekidnost:

I izvod (glatkost):

32

)exp()exp()exp( 132222 aikAaikBaikAax

=−+= =ψψ

′′ ψψ

98

I izvod (glatkost):

32

)exp()exp()exp( 13222222 aikAaikBikaikAikax

=−−= =ψψ


2° Kada je E < U(x) levo i desno od jame, elektron se nalazi u stanjukoje se naziva vezanim. Energija ovog stanja ne može biti proizvoljna,jer uslovi na granicama kao i asimptotsko ponašanje talasne funkcije nejer uslovi na granicama, kao i asimptotsko ponašanje talasne funkcije, nemogu biti zadovoljeni za svaku vrednost energije vezanog elektrona.Drugim rečima, energetski spektar je diskretan a ne kontinualan.

Funkcije koje odgovaraju različitim energetskim stanjima zadovoljavajuuslov ortogonalnosti:g

= mnnm dx δψψ *

Dozvoljena diskretna energetska stanja mogu se odrediti tek nakonrešavanja talasne jednačine po segmentima sa konstantnimpotencijalom.

99


0)()]([222

2

=⋅−+ xxUEmdxd ψψ

100

dx


I oblast: )(2)(20202

21 EUmUEmk −=−−=

02

12

2

=− ψψ kdxd

II oblast: EmEmk 2222

2)0(2

=−= 0222

2

=+ ψψ kdxd

III oblast: )(202

21 EUmk −=

02

12

2

=− ψψ kdxd

Pretpostavljamo da je rešenje →)exp(sx

021

2 =− ks 1ks ±=

022

2 =+ ks 2iks ±=

101

02+ ks 2iks ±


pa su talasne funkcije:

)exp()exp( xkBxkA +=ψ )exp()exp( 11111 xkBxkA −+=ψ

)exp()exp( 22222 xikBxikA −+=ψ

Rešenje u oblastima I i III nije prostoperiodično nego eksponencijalno

)exp()exp( 13133 xkBxkA −+=ψ

Rešenje u oblastima I i III nije prostoperiodično, nego eksponencijalno.

Talasne funkcije moraju da zadovolje uslove konačnosti, jednoznačnosti,neprekidnosti i glatkosti:

1) da bi ψ1 bilo konačno B1 = 0

da bi ψ3 bilo konačno A3 = 0

2) N d f k ij k j i j j d j d č t

102

2) Nema dve funkcije koje opisuju jedan proces jednoznačnostje zadovoljena


3) Neprekidnost:

)0()0( 21 ψψ = 0221 =−− BAA

)0()0( 21 ψψ ′=′ 0222211 =+− BikAikAk

)()( 32 aa ψψ = 0)exp()exp()exp( 132222 =−−−+ akBaikBaikA

)()( 32 aa ψψ ′=′ 0)exp()exp()exp( 131222222 =−+−− akBkaikBikaikAik

Sistem je homogen, pa se netrivijalna rešenja dobijaju iz uslova da jej g , p j j j j jdeterminanta sistema jednaka nuli:

0),,,,( 0 == mEUaDD

0]cos2sin))[(exp(2 221221

221 =⋅−⋅−−= akkkakkkakiD

)(22 EUmk −= Emk 2 2= 212)( kkaktg =

103

)( 021 EUk −=

Ek 22 = 2

122

2 )(kk

aktg−

=

Rešenja za energiju su diskretna!!!


Pojam struje verovatnoće

Posmatra se skup čestica koji se kreće duž x-ose.

Detektor koji registruje njihov broj (verovatnoću nailaska)postavljen je na segmentu [a, b]:

),( txP

x)(aj )(bj

x

x

xa b

104

a b

dxtxdxtxPtbaPb

a

b

a Ψ== 2),(),()],,([


Izvod prethodne relacije po vremenu određuje brzinu protokaverovatnoće. Ovaj parametar naziva se gustinom struje verovatnoće.

a

b

b

a

txx

txtxx

txm

idxtxPdtd

Ψ

∂∂Ψ−Ψ

∂∂Ψ−= ∗∗ ),(),(),(),(

2),(

−=b

a

bjajdxtxPdtd )()(),(

Ψ

∂∂Ψ−Ψ

∂∂Ψ−= ∗∗ ),(),(),(),(

2)( tx

xtxtx

xtx

mixj

Primena izraza za j(x) na ravanski talas koji odgovara slobodnoj čestici:

k

105

]/)(exp[),( EtpxiAtx −=ΨmkAtxj 2),( =


)(U

Posmatramo kretanje slobodne čestice sa leva na desno koja na mestux = 0 nailazi na potencijalnu barijeru visine U0, takvu da je E > U0.

)(xU

E

0UI II

x

0)()]([22

=⋅−+ xxUEmd ψψ

Emk2

21

2

=

0)()]([22

=+ xxUEdx

ψ

I oblast: )exp()exp( 11111 xikBxikA −+=ψ

106

)(202

22 UEmk −=

II oblast: )exp()exp( 22222 xikBxikA −+=ψ 02 =B


Kako je gustina struje verovatnoće srazmerna broju čestica koje bi se unekom ponovljenom eksperimentu sa dovoljno velikim brojem česticakretale na jednu ili na drugu stranu, onda je moguće definisatij g , j gkoeficijente refleksije i transmisije na sledeći način:

R T Gustina struje transmitovanih česticaGustina struje reflektovanih česticaR =

Ukupna gustina struje česticaT = j

Ukupna gustina struje čestica

j

U konkretnom slučaju ovi koeficijenti dati su sledećim relacijama:j j j

12

1

12

1

kA

kBR =

12

1

22

2

kA

kAT =

11 11

Neprekidnost i glatkost:

)0()0( 21 ψψ = 211 ABA =+022011011 )exp()exp()exp( xikAxikBxikA =−+

107

)()( 21 ψψ

)0()0( 21 ψψ ′=′

211 ABA +

221111 AikBikAik =−

022011011 )p()p()p(


Nepoznati koeficijenti u funkciji amplitude incidentnog talasa:

12k 21 kk −

21

112

2kk

kAA+

=21

2111 kk

kkAB+

=

2 22

21

21

+−=

kkkkR 2

21

21

1

22

21

1

)(42

kkkk

kk

kkkT

+=

+

=

Razlika u odnosu na klasičnu mehaniku: Iako čestica ima energiju da bez

1=+ RT

Razlika u odnosu na klasičnu mehaniku: Iako čestica ima energiju da bezproblema pređe preko barijere postoji konačna verovatnoća da sereflektuje unazad. (E > U0)

108


Tunelovanje)(xU

E

0U

x

I II III

I oblast: II oblast:

)exp()exp( 11111 ikxBxikA −+=ψ )exp()exp( 22222 xkBxkA −+=ψ )exp( 333 xikA=ψ

III oblast:

2

23

21

23

A

A

kA

kAT ==

1222 kk

T +

= TRT −=≠ 1,0

109

111 AkA )(2

1 22

21

22

21 aksh

kkkk

++


U kvantnoj mehanici čak i kada je energija čestice manja od potencijalnebarijere (E < U0) postoji konačna verovatnoća za prolazak čestice krozbarijeru TUNELSKI EFEKAT !!!:

110

Grafik je prikazan za barijeru širine a = 10 nm (isprekidana linija) i a = 4 nm (puna linija) i visine U0 = 0.5 eV


WBK aproksimacija

U prirodi postoji veliki broj potencijala koji ne omogućavaju da analitičkidefinišemo talasne funkcije. Primer su kontinualni potencijali kod kojih sebarijera brže ili sporije menja sa koordinatom.

EE

x1x 2x

2

])([22x

dEUT

111

−−= 1

])([2expx

dxExUmT

dr dejan gvozdi - nobel.etf.bg.ac.rsnobel.etf.bg.ac.rs/studiranje/kursevi/oo1f2/materijali/moderna...

Documents