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MUESTRA DE ANÁLISIS DE CONFIABILIDAD

Consiste en seleccionar al azar n productos, poniéndolos a funcionar hasta que fallan. Entonces se debe registrar el tiempo hasta que falló cada producto.

COMENTARIO: generalmente el tiempo para fallar es muy grande y esperar a que todos los productos fallen implicaría mucho tiempo.

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DATOS CENSURADOS

Los datos de una muestra de confiabilidad son censurados cuando se suspende la prueba de tal manera que no se tienen todos los tiempos de falla de todos los productos, porque al suspender la prueba algunos productos están funcionando y no se sabe su tiempo de falla.

Hay dos tipos de censura, censura tipo I y tipo II.

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CENSURA TIPO I

Ocurre cuando se suspende la prueba en un tiempo T. Es decir, el tiempo de duración de la prueba es predeterminado y queda como variable aleatoria el número r de productos que fallan antes de T.

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CENSURA TIPO II

Ocurre cuando se suspende la prueba en el momento en que r productos fallen. Es decir, queda predeterminado el número de productos que fallan, y queda como variable aleatoria la duración de la prueba.

NOTA: Se prefiere usar la censura tipo II, ya que en el tipo I se corre el riesgo de que sea cero el número de productos que fallan.

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ANÁLISIS DE DATOS CENSURADOS TIPO I PARA LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL CON n < 25

Suponer que se ponen a funcionar n productos iniciando al mismo tiempo. Sea r el número de productos que fallan quedando n r productos funcionando. Sean los tiempo de falla:

. producto del censurado tiempoel es donde

321321

it

Ttttttttt

i

rnr

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El estimador de es:

r

i

rn

iii tt

r 1 1

1

Cuando n < 25, el intervalo de confianza 1 para es:

22 ),2/(1

22 ,2/

22

rr

rr

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EJEMPLO. Suponer una muestra de tamaño 20 de aparatos electrónicos donde se registra el tiempo de vida en días, la cual sigue una distribución exponencial. A continuación aparecen los datos con censura tipo I donde T = 20 días.

6.274, 7.440, 8.332, 10.317, 12.807, 13.235, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+.

Sol. Tenemos que n = 20, y r = 6.

40.56280405.586

1

280 405.586

1

14

1

i iii tt

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El intervalo de confianza del 90% para queda:Sol. 1- = 0.90, = 0.10, /2 = 0.05 1-(/2) = 0.95

506.129189.32226.5

)4.56(12

026.21

)4.56(12

226.5 026.21 212 ,95.0

212 ,05.0

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QQ-plot de los datos para identificar su distribución teórica.

tiempo

Perc

ent

20105

90

50

10

1

tiempo

Perc

ent

10010

99

90

50

10

1

tiempo

Perc

ent

100101

90

50

10

1

tiempo

Perc

ent

3020100

99

90

50

10

1

Correlation CoefficientWeibull0.957

Lognormal0.972

Exponential*

Normal0.949

Probability Plot for tiempoLSXY Estimates-Censoring Column in censor

Weibull Lognormal

Exponential Normal

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ANÁLISIS DE DATOS CENSURADOS TIPO I PARA LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL CON n 25

Suponer que se ponen a funcionar n productos iniciando al mismo tiempo. Sea r el número de productos que fallan quedando n - r productos funcionando. Sean los tiempo de falla:

. producto del censurado tiempoel es donde

321321

it

Ttttttttt

i

rnr

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El estimador de es:

r

i

rn

iii tt

r 1 1

1

Cuando n 25, el intervalo de confianza 1 para es:

1

2/

1

2/

1

1

1

1

r

Z

r

Z

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EJEMPLO. Suponer el mismo caso anterior pero utilizando una muestra de tamaño 40, con las siguientes observaciones:

1.361, 3.193, 3.493, 3.662, 5.751, 7.148, 9.234, 9.260, 10.523, 12.320, 12.601, 15.124, 15.397, 15.750, 18.332, 19.442, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+, 20+.

Sol. n = 40, y r = 16.

162.40480591.16216

1

480 591.16216

1

24

1

i iii tt

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El intervalo de confianza de 90% para queda:

Sol. Tenemos que r = 16 y Z0.05 = 1.645 luego:

69.81528.189

116162.40

645.1

162.40

1

116162.40

645.1

162.40

111

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tiempo

Perc

ent

100101

90

50

10

1

tiempo

Perc

ent

1000100101

99

90

50

10

1

tiempo

Perc

ent

100101

90

50

10

1

tiempo

Perc

ent

4530150

99

90

50

10

1

Correlation CoefficientWeibull0.990

Lognormal0.990

Exponential*

Normal0.959

Probability Plot for tiempoLSXY Estimates-Censoring Column in censor

Weibull Lognormal

Exponential Normal

Identificando la distribución teórica.

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ANÁLISIS DE DATOS CON CENSURA TIPO II PARA LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Suponer una muestra de tamaño n donde se detiene la prueba al fallar r productos.

rZrZ

n

ttttttt rnr

/1/1

:es 1 confianza de intervalo el 25 Si

,

2/2/

21321

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EJEMPLO. Los siguientes datos es el tiempo de falla de una máquina (tiempo en días) de una distribución exponencial con r = 12.

1.945, 2.052, 2.599, 4.627, 5.519, 9.035, 11.149, 12.579, 13.284, 14.830, 15.550, 18.015, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+, 18.5+ .

015.37333184.11112

1

333 184.11112

1

18

1

i iii tt

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El intervalo de confianza del 95% para queda;

Sol. r = 12, 1- = 0.95, = 0.05, /2 = 0.025, Z0.025 = 1.96

249.8564.23

12/96.11

015.37

12/96.11

015.37

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tiempo

Perc

ent

100101

90

50

10

1

tiempo

Perc

ent

1000100101

99

90

50

10

1

tiempo

Perc

ent

100101

90

50

10

1

tiempo

Perc

ent

4530150

99

90

50

10

1

Correlation CoefficientWeibull0.958

Lognormal0.971

Exponential*

Normal0.945

Probability Plot for tiempoLSXY Estimates-Censoring Column in censor

Weibull Lognormal

Exponential Normal

Identificando la distribución teórica.

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LA DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL

El procedimiento de inferencia es el mismo para ambos tipos de censura. Los estimadores de y son:

n

rn

tY

S

rr

ttr

Sr

t

tYStYY

r

r

ii

r

ii

r

ii

rr

ln

)1(08.0]25.0437.01)][1ln(136.1[

)1(

lnln

ln

Y

ln ln

2

2

3.13

2

11

2

21

22

Dr. José Guadalupe Ríos 20

obs. t ln(t)0.833 0.833 -0.182722 alfa = 0.605101043.396 3.396 1.22259834.35 4.35 1.4701758 beta= 0.55.007 5.007 1.61083696.44 6.44 1.8625285 lambda = 1.38539167.84 7.84 2.05923889.164 9.164 2.2152828 miu est. = 3.8543576

10.791 10.791 2.378712511.151 11.151 2.4115292 sigma est. = 1.6856357911.405 11.405 2.434051916.461 16.461 2.8009939 E(T) = 195.39860517.671 17.671 2.871924924.846 24.846 3.2126968 V(T) = 616204.42725.161 25.161 3.225295229.782 29.782 3.3939042 sigma(T) = 784.986896

3030 PROM= 2.199136530

30 S2 = 0.86376343030303030303030303030

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EJEMPLO. De los datos se tiene que:

7.785

1)686.1exp( )2/686.1(854.3exp

449.195)2/686.1(854.3exp)(

686.1)394.3199.2(386.1864.0

854.3)394.3199.2(385.1199.2

394.3ln 385.1 864.0 199.2

2/1222

2

2

152

T

T

TE

tSY

Dr. José Guadalupe Ríos 22

tiempo

Perc

ent

100101

90

50

10

1

tiempo

Perc

ent

1000100101

99

90

50

10

1

tiempo

Perc

ent

100101

90

50

10

1

tiempo

Perc

ent

6040200

99

90

50

10

1

Correlation CoefficientWeibull0.985

Lognormal0.982

Exponential*

Normal0.897

Probability Plot for tiempoLSXY Estimates-Censoring Column in censor

Weibull Lognormal

Exponential Normal

Identificando la distribución teórica.