dsp 2554 3
TRANSCRIPT
3
The Discrete-Time
Fourier Analysis
DSP3-1
Fourier Analysis การวเคราะหฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา
รศ.ดร. พระพล ยวภษตานนท
ภาควชา วศวกรรมอเลกทรอนกส
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
เปาหมาย
• นศ เรยนรการแปลงฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา (The Discrete-Time Fourier Transform; DTFT) (DTFT แตกตางกบ Discrete Fourier Transform (DFT) ในบทท 5)
DSP3-2
(DFT) ในบทท 5)
• นศ เรยนรทฤษฎการสมสญญาณ
• นศ รจกความหมายของผลตอบสนองความถ
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
ทาไมจงตองแปลง DTFT ?
• เราทราบวา องคประกอบทางการประสานนน ซงคอ “หนวงเวลา” และการ “สเกลคา” ซงมประโยชนในการวเคราะห ระบบสาหรบสญญาณอนพท หลากรปแบบ
• แตเมอระบบเปน linear shift-invariant (LSI) เรา
DSP3-3
• แตเมอระบบเปน linear shift-invariant (LSI) เราสามารถจะใชการแปลงฟรเยรแบบไมตอเนองทางเวลา (Discrete-time Fourier Transform; DTFT)เพอทาเพอทาเพอทาเพอทาใหการวเคราะหงายขนกวาใหการวเคราะหงายขนกวาใหการวเคราะหงายขนกวาใหการวเคราะหงายขนกวา การทาการทาการทาการทา Convolution
• และผลจากการแปลง DTFT ทาใหทราบ “ผลตอบสนองความถ ของระบบ”
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
The Discrete-Time Fourier Transform
• การแปลงฟรเยร แบบไมตอเนองทางเวลา DTFT ของ x(n) คอ
( ) ( )j j n
n
X e x n eω ω∞
−
=−∞≡ ∑
DSP3-4
n=−∞
ω = ความถดจตอลหนวยเปน เรเดยน
ผลการแปลงในโดเมนความถ!ดจตอลน& สามารถแสดงในรป วงกลมหน!งหนวย
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
แกนจนตภาพ
ω
เรองของวงกลมหนงหนวย (unit circle)
je ω1. วงรอบของความถ!มคาซ&าทกๆ
2π เรเดยน
DSP3-5
แกนจรง
2. ความถ!ดจตอลมคาในชวง
0 ω π≤ <
2π เรเดยน
เรเดยน
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
1.วงรอบของความถมคาซ $าทกๆ เรเดยน
4
π n=0,8,..
n=1,9,..
2πn=2,10,..
DSP3-6
(2 ) 24 4
4
j jj
j
e e e
e
π ππ π
π
− + −−
−
= ×
=EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
2. ความถดจตอลมคาในชวง ω π> 7
4
πω =
7 7 7(2 ) (2 )j n j n j n j n
π π π ππ π− − − −
0 ω π≤ <หาก เชน
( ) cos( )2
j n j ne ex n n
ω ω
ω−+
= =จะใหผลลพธซ&ากบคาในชวง คอ0 ω π≤ <
4
πω =
ตวอยาง
DSP3-7
7 7 7(2 ) (2 )
4 4 4 4
4 4
7cos( )
4 2 2
2
cos( )4
j n j n j n j n
j n j n
e e e en
e e
n
π π π ππ π
π π
π
π
− − − −
−
+ += =
+=
=EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
Unit Step Function
• ยนทสเตปฟงกชน1, 0
( )0, 0
nu n
n
≥=
<
11
DSP3-8
nn00
11
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
ตวอยางการแปลง DTFT I
• จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5nu(n)
• วธทา
0
( ) ( ) 0.5
1
j j n n j n
n n
j
X e x n e e
e
ω ω ω
ω
∞ ∞− −
=−∞ == =∑ ∑
DSP3-9
0
1(0.5 )
1 0.5 0.5
jj n
j jn
ee
e e
ωω
ω ω
∞−
−=
= = =− −
∑
ผลรวมเรขาคณตแบบไมจากด (Infinite geometric sum):
0
1, 1
1n
n
a aa
∞
=
= <−
∑
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
ตวอยางการแปลง DTFT II
• จงหาการแปลง DTFT ของ x(n)=0.5 เมอ และเปน 0 เมอ n เปนคาอนๆ
• วธทา
•
0 1n L≤ ≤ −
( )
1 1
0 0
( ) ( ) 0.5 0.5L L
j j n j n j n
n n n
X e x n e e eω ω ω ω
ω
∞ − −− − −
=−∞ = =
= = =∑ ∑ ∑
DSP3-10
• ( ) ( )( )
12
sin / 210.5 0.5
1 sin / 2
j Lj L
j
Lee
e
ωω
ω
ωω
− − −
−
−= =
−ผลรวมเรขาคณตแบบจากด (Finite geometric sum):
1
0
, 1
1, 1
1
Ln L
n
L a
a aa
a
−
=
=
= −≠ −
∑
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
MATLAB simulation
0 0.5 10.5
1
1.5
2
frequency in pi units
Magnitude Part
Mag
nitu
de
0Angle Part
0 0.5 10.5
1
1.5
2
frequency in pi units
Real Part
Rea
l
0Imaginary Part
•หาก x(n) มคาไมจากด เราจะใช MATLAB หา DTFT ของ x(n) โดยตรงไมได •แตเราจะใชสมการท!ไดจาก
DSP3-11
0 0.5 1−1
−0.5
0
frequency in pi units
Rad
ians
0 0.5 1−1
−0.5
0
frequency in pi units
Imag
inar
y
>>w = [0:1:500]*pi/500; % [0, pi] axis divided into 501 points.>> X = exp(j*w) ./ (exp(j*w) - 0.5*ones(1,501));
•แตเราจะใชสมการท!ไดจาก •power series
exp_3_1.eps
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
ตวอยางการแปลง DTFT III
• จงหาการแปลง DTFT ของ
• วธทา
•
( ) 1, 2,3, 4,5x n↑
=
( ) ( )j j nX e x n eω ω∞
−
=−∞
= ∑
DSP3-12
•2 32 3 4 5
n
j j j je e e eω ω ω ω
=−∞
− − −= + + + +
∑
สงเกต เคร!องหมาย วา n=0 อย ณ ตาแหนงของคา 2↑
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
• หากอนพทมจานวนจากด เราใช MATLAB คานวณ DTFT ไดโดยตรง
• การคานวณ จะกระทาในชวง โดยแบง M+1 คา
( )jX e ω [0, ]π
DSP3-13
M+1 คา
, 0, ...,k k MM
πω ≡ =
π0 M ชวงω
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
0 0.5 10
5
10
15
frequency in pi units
Magnitude Part
Mag
nitu
de
0
5Angle Part
Rad
ians
0 0.5 1−10
0
10
20
frequency in pi units
Real Part
Rea
l
0
5Imaginary Part
Imag
inar
y
3( / )
1
( ) ( ) ,j j M k l
l
X e x l eω
ω π−
=−
= ∑
•จาก เรากาหนดการหา คา n ในชวง -1 ถง 3•เราหา DTFT ของ x(n) ไดจาก
( ) 1, 2,3, 4,5x n↑
=
DSP3-14
>>n = -1:3; x = 1:5; % sequence x(n)>> k = 0:500; w = (pi/500)*k; % [0, pi] axis divided into 501 >> X = x * (exp(-j*pi/500)) .^ (n'*k); % DTFT using matrix-vector
0 0.5 1−5
0
frequency in pi units
Rad
ians
0 0.5 1−10
−5
0
frequency in pi units
Imag
inar
y
MATLAB code
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
ผลตอบสนองความถของระบบ
( )h n
•เมอทาการประสานจะได
0( ) j nx n e ω= 0( ) j nh n e ω∗
0 0 ( )( ) ( ) ( )j n j n ky n h n e h k eω ω∞
−= ∗ = ∑
DSP3-15
การแปลงฟรเยรทความถ
0 0
0 0
0
0
( ) ( ) ( )
( )
( ( ))
k
j k j n
k
j n
y n h n e h k e
h k e e
F h n e
ω ω
ωω ω
=−∞
∞−
=−∞
=
= ∗ =
=
=
∑
∑
0ωEEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
เปนผลตอบสนองความถของระบบ h(n)
( ) ( )j j n
n
H e h n eω ω∞
−
=−∞
= ∑
ใชหาคาของเอาทพท y(n)
( )jH e ω
DSP3-16
( )jH e ω0( ) j nx n e ω=
หรอเขยนในรปโดเมนความถ!
( ) ( ) ( )j j jY e H e X eω ω ω=
0( ) ( ) j njy n H e e ωω=
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
Frequency Response from Poles and Zeros
• ขนาดผลตอบสนองความถเปน ขนาดจากซโร ไปยงวงกลมหนงหนวย หารดวย ขนาดจากโพลไปยงวงกลมหนงหนวย ณ ความถหนง
1 2
1 2
( )( )( )
( )( )
j j
j
j j
e z e zH e
e p e p
ω ωω
ω ω
− −=
− −
⋯
⋯1ω =
DSP3-17
1 2( )( )e p e p− − ⋯
π 0
AABB ขนาดท
1ω =
1( )j BH e
A=
1ω =
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
Example for Frequency Response
AABB AABB AA
สมมตวา โพล สมมตวา โพล = .= .8 8 ซโร ซโร ==0 0
ความถตาความถตา ความถกลางๆความถกลางๆ ความถสงความถสง
DSP3-18
AABB AABB AABB
BB > > AA BB = = AA B B < < AA1( )jH e ω = = มาก มาก = = กลางๆ กลางๆ = = นอย นอย
π 0 π 0 π 0
1( )jH e ω 1( )jH e ω
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
Plot of Magnitude
( )jH e ωAABB AABB AABBπ 0 π 0 π 0
DSP3-19
ต!า กลาง สง
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
ตวอยาง
• Example 4.4.1 หาผลลพทของระบบ โดยมอนพทเปน ลาดบ exponential
1( ) ( )
2
n
h n u n =
2( )n
jx n Ae
π
=
1( ) ( )
11
j j n
jn
H e h n ee
ω ω
ω
∞−
−=−∞
= =−
∑
DSP3-20
• ท ได
• ดงนน
11
2jn e ω−=−∞ −
0 2
πω = 26.62
1 2( )
1 512
j jH e ej
π−= =
+
26.626.6 222 2
( )5 5
nn jjjy n A e e Aeππ − −
= =
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
หาผลตอบสนองของ h(n)
1( ) ( )
11
2
j j n
jn
H e h n ee
ω ω
ω
∞−
−=−∞
= =−
∑
DSP3-21
11 1
12 2
j j
jj j
e e
ee e
ω ω
ωω ω−
= =− −
แสดงวา zero มตวเดยว คอ z1=0Pole ม p1=1/2
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
การหาผลตอบสนองความถจากสมการผลตาง (Frequency Response from Difference
Equations) • จากสมการผลตาง
1 0
( ) ( ) ( )N M
l ml m
y n a y n l b x n m= =
+ − = −∑ ∑
ให ( ) j nx n e ω= ดงน &น ( ) ( )j j ny n H e eω ω=
N M
DSP3-22
( ) ( )
1 0
( ) ( )N M
j j n j j n l j n ml m
l m
H e e a H e e b eω ω ω ω ω− −
= =
+ =∑ ∑ตด j ne ω
0
1
( )1
Mj m
mj m
Nj l
ll
b eH e
a e
ω
ω
ω
−
=
−
=
=+
∑
∑EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
ตวอยาง มระบบ LSI ท!อธบายไดดวย สมการผลตาง ของอนพทและเอาทพท
( ) 0.8 ( 1) ( )y n y n x n= − +
จงหา ผลตอบสนองและสญญาณ y(n) เม!อ อนพทเปน
( ) cos(0.05 ) ( )x n n u nπ=วธทา
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP3-23
วธทา ( 1)
( ) 0.8 ( 1) ( )
( ) 0.8 ( )
( ) 0.8 ( )
1( )
1 0.8
j j n j j n j n
j j n j j n j j n
jj
y n y n x n
H e e H e e e
H e e H e e e e
H ee
ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
ωω
−
−
−
− − =
− =
− =
= ⇐−
ผลตอบสนองความถ
ท ( ) cos(0.05 ) ( )x n n u nπ=
0 0.05ω π=
0.05 0.53770.05
1( ) 4.0928
1 0.8j j
jH e e
eπ
π−
−= =
−
ดงน0น
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP3-24
1 0.8e−จงไดจากการแปลง “เฟสเซอร”
[ ]( ) 4.0928 cos(0.05 0.5377)
4.0928 cos 0.05 ( 3.42)
y n n
n
π
π
= −
= −ขนาด เฟส
0
1
x(n)
Input sequence
( )jH e ω( )x n ( )y n
( ) cos(0.05 )x n nπ=
ทดสอบ คา y(n) ทคานวณ
DSP3-25
0 20 40 60 80 100−1
n
0 20 40 60 80 100−5
0
5
n
y(n)
Output sequence
( ) cos(0.05 )x n nπ=
1( ) ( )
1 0.8 jy n x n
e ω−
= − ตางเฟส =3.42
4.092
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
การสมสญญาณ (Sampling)
• ทฤษฎการสมกลาววา “ความถของสญญาณสมจะตองมากกวา 2 เทาของ ความถสงสดของสญญาณ ( fmax)”
• หากความถสม = fs
...สญญาณสม
DSP3-26
• ดงนน
...1
s
Tf
=
max2sf f>EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
สเปคตรม (Spectrum) และ ผลของการสมสญญาณ
• สเปคตรมเปนการแสดงคาการกระจายของสญญาณในเชงความถ
• ผลของการสมทาใหเกด สเปคตรมแบบเปนคาบ (periodic)
• ความถ fmax หรอ f0 เรยกวา ความถไนควสต (Nyquist Frequency)
DSP3-27
Frequency)
• ความถสมตาสดทจะไมเกด aliasing จะเรยกวา อตราไนควสต (Nyquist rate)
ความถ!
สเปคตรม
sf0 =Nyquist Frequencyf = Nyquist rate
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
อะไรคอแอลแอส (Aliasing) ?
• การเกดแอลแอส ในทาง dsp คอ “การเกดการซอนทบของสเปคตรม”
• สาเหตคอ การทความถสมนอยกวาสองเทาของความถไนควสต หรอ 2f f<
DSP3-28
ไนควสต หรอ 02sf f<
sf0f
แอลแอส
ทางแก: 1 ใช Anti-aliasing filter ซ!งเปน วงจรกรองต!าผาน (Low pass filter)2 ทา Oversampling
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
ทฤษฎการสมและคนรปสญญาณ (Sampling and Reconstruction)
( )X jΩ
ผลตอบสนองของสญญาณตอเนองทางเวลา xa(t) คอ ( )aX jΩ
Ω = ความถ!แอนาลอก เปน เรเดยนตอวนาท ( )aX jΩ หาไดจากการแปลงฟรเยรของ ( )ax t
DSP3-29
แปลงฟรเยร
( )ax t
−Ω Ω
( )aX jΩ
0−Ω 0Ωt
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
แปลงฟเรยร
( )x n ( )jX e ω
•ผลของการสม ทาใหการแปลงฟรเยรเปน รายคาบ (periodic)
Tω = Ω
ความถ!แอนาลอกกบ ความถ!ดจตอล สมพนธกนดงน&
ดจตอล แอนาลอก
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP3-30
แปลงฟเรยร
ω− ωt ππ−2π− 2π
0T−Ω0TΩ•สญญาณสม มความถ!= 1/T
ทฤษฎการสม
แปลง อมพลส เปน สญญาณ DT
( )as t
( )ax t ( )sx t ( ) ( )ax n x nT=
DSP3-31
( ) ( )an
s t t nTδ∞
=−∞
= −∑สญญาณสม:
สญญาณแอนะลอกท!ถกสม: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s a a an
x t s t x t x nT t nTδ∞
=−∞
= = −∑
สญญาณไมตอเน!อง (DT): ( ) ( )ax n x nT=
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
การแปลงฟรเยรสาหรบสญญาณแอนาลอก xa(t)
เม!อ คอ ความถ!แอนาลอก หนวยเรเดยนตอวนาท (rad/sec)Ω
( ) ( ) j ta aX j x t e dt
∞− Ω
−∞
Ω ≡ ∫
1 ∞
ทฤษฎการสม (ตอ)
DSP3-32
1( ) ( )
2j t
a ax t X j e dπ
∞Ω
−∞
= Ω Ω∫
ทาการสม สญญาณ แอนาลอก ดวย ความถ! T วนาท
( ) ( )ax n x nT≡
และแปลงฟรเยร กไดเปน สญญาณไมตอเน!องทางเวลา ( )jX e ω
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
( )jX e ω เปน ผลรวมของ ทตางความถ ( )aX jΩ
( ) ( ) ( )j jn jna
n n
X e x n e x nT eω ω ω∞ ∞
− −
=−∞ =−∞
= =∑ ∑
การแปลง DTFT ของ x(n) ไดเปน
สมการแอลแอส (Aliasing formula)
DSP3-33
( )X e เปน ผลรวมของ ทตางความถ a
สมการแอลแอส (aliasing formula)
/
1 2( ) ( ) ( )j
s aTk
X e X j X j j kT T T
ωω
ω π∞
Ω==−∞
= Ω = −∑
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
0
Tπ
<Ω
เมอชวงเวลาในการสม
( )x n
ω− ω
( )jX e ω
t ππ−2π− 2π
0 / T−Ω0 / TΩ
เม!อชวงเวลาในการสม Tπ
>
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP3-34
0
เม!อชวงเวลาในการสม 0
Tπ
>Ω( )x n
ω− ω
( )jX e ω
t ππ−2π− 2π
เกด แอลแอสและไมสามารถคนรปสญญาณได
ความถ!ในการสมสญญาณ Hertz
แบนดวทมากสดของสญญาณ(ความถ!ไนควสต)
00 2
fπ
Ω=
1sf
T=
Hertz
แบนดวทของสญญาณทใชได (คอไมเกดแอลแอส)
( )jX e ω
DSP3-35
ω− ω
( )X e
ππ−2π− 2π
0f sf 02sf f>
สญญาณสมตองมคามากกวาแบนดวท 2 เทา
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
ตวอยาง
• มสญญาณ x(t) ถกสมท! fs = 1kHz โดย
DSP chipTMS320
ตวสมสญญาณ
fs = 1 kHz
x(t) y(n)x(n)
( ) cos(2500 )x t tπ=
1, 250f Hz=
DSP3-36
• มสญญาณ x(t) ถกสมท! fs = 1kHz โดย
• จากความถ!แอนาลอกของ x(t) แปลงเปนความถ!ดจตอล
( ) cos(2500 )x t tπ=
32500 (10 ) 2.5Tω π π−= Ω = = เรเดยน
ตดใหอยในยาน 0 ω π≤ <
0.5ω π=EEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
• ทาใหได สญญาณไมตอเนองทางเวลา x(n) เปน
• แตเนองดวยความเปน “คาบ” ทกๆ
• มสญญาณความถแอนาลอกทกๆ เทาของ x(n)
( ) cos(0.5 )x n nπ=
2π/ TωΩ =2π
DSP3-37
ทใหสญญาณแบบเดยวกบ ใหสญญาณแบบเดยวกบ ใหสญญาณแบบเดยวกบ ใหสญญาณแบบเดยวกบ x(n)
31 1 1
32 2 2
33 3 3
( ) cos( ), 10 (0.5 ) 500
( ) cos( ), 10 (2 0.5 ) 2500
( ) cos( ), 10 (4 0.5 ) 4500
x t t
x t t
x t t
π π
π π π
π π π
= Ω Ω = =
= Ω Ω = + =
= Ω Ω = + =
f1= 250 Hzf2= 1250 Hzf3 =2250 Hz
และตอเน!อง ไปเร!อยๆEEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
fs = 1 kHz 2250Hz
1250 Hz
DSP3-38
250 Hz
dsp_3_7.jpgEEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
สเปคตรม เมอความถ สม Fs= 1 KHz
Fs=1 KHzfs= 1kHz
DSP3-39
250Hz 2250Hz1250Hz
จะเกดความถ!เงาหรอแอลแอสข&น ท! 250 และ 2250
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
เมอ fs มากข นแตยงนอยกวา 2 เทาของ 1250
Hz • เมอ fs =2 kHz จะได
( ) cos(0.25 )x n nπ=
•มสญญาณหลายความถ!แอนาลอกท!ใหสญญาณแบบเดยวกบ x(n)
DSP3-40
31 1 1
32 2 2
33 3 3
( ) cos( ), 2 *10 (0.25 ) 500
( ) cos( ), 2 *10 (2 0.25 ) 4500
( ) cos( ), 2 *10 (4 0.25 ) 8500
x t t
x t t
x t t
π π
π π π
π π π
= Ω Ω = =
= Ω Ω = + =
= Ω Ω = + =
f1= 250 Hzf2= 2250 Hzf3 =4250 Hz
•มสญญาณหลายความถ!แอนาลอกท!ใหสญญาณแบบเดยวกบ x(n)
ยงคงเกด แอลแอสEEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
fs=2 kHz 4250Hz
2250 Hz
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP3-41
250 Hz
dsp_3_6.jpg
สเปคตรม เมอความถ สม Fs= 2 KHz
fs= 2kHz
ความถ!
DSP3-42
fs ความถ!250Hz 2250Hz
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
หาก fs = 2500 Hz (2 เทาของ 1250 Hz)
• นนคอ fs = 2500 Hz จะได
• ได ความถทซาเปนจานวนเทา ของ 1250 Hz
( ) cos( )x n nπ=
DSP3-43
31 1 1
32 2 2
33 3 3
( ) cos( ), 2.5 *10 ( ) 2500
( ) cos( ), 2.5 *10 (2 ) 7500
( ) cos( ), 2.5 *10 (4 ) 12500
x t t
x t t
x t t
π π
π π π
π π π
= Ω Ω = =
= Ω Ω = + =
= Ω Ω = + =
f1= 1250 Hzf2= 2500 Hzf3 =6250 Hz
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
fs = 2500 Hz
6250Hz
2500 Hz
DSP3-44
1250 Hz
dsp_3_8.jpgEEET0485 Digital Signal Processing
http://embedsigproc.wordpress.com Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
สเปคตรมท!ความถ!สมตางๆ
fs
fs= 1kHz
fs= 2kHzความถ!250Hz 2250Hz
x(t)
x(t)
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP3-45
fs= 2kHz
fs= 2.5kHzfs
fs
ความถ!
1250Hz
250Hz
x(t)
x(t)2250Hz
ตดสญญาณ fs ดวย Low pass filter fs= 2.5kHz
fs ความถ!1250Hz
x(t)
สามารถคนรปสญญาณได
Lowpass
DSP3-46
fs= 2.5kHz
fs ความถ!1250Hz
x(t)
สามารถคนรปสญญาณได
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP
ใชวงจรกรองต!าผานอดมคต
การคนรปสญญาณ (Reconstruction)
( )jX e ω ( )jX e ω
กรองต!าผาน
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP3-47
ππ−2π− 2π ππ−2π− 2π
( ) ( ) ( )
... ( 1) ( ) (0) ( ) (1) ( ) ...
sn
x t x n t nT
x t T x t x t T
δ
δ δ δ
∞
=−∞
= −
= + − + + + − +
∑
จากเร!องการสมเราได
แปลงกลบเปนอมพลส
กรองต!าผานอดมคต
( )x n ( )sx t ( )ax t
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP3-48
อมพลส อดมคต
ตวแปลง D/Cอดมคต
( )x n ( )ax t
,( )
0,r
TTH j
T
π
π
Ω ≤Ω =
Ω >
ผลตอบสนองของวงจรกรองต!าผานอดมคต( )rH jΩ
T
πT
π−
T
( )rH jΩ ( )rh tแปลงผกผนฟเรยร sinc( / )t T
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP3-49
( )rH jΩ ( )rh tแปลงผกผนฟเรยรsin( / )
( )/r
t Th t
t T
ππ
= sinc( / )t T=
,recon ( ) ( ) ( )
sin ( ) /( )
( ) /
a rn
n
x t x n h t nT
t nT Tx n
t nT T
ππ
∞
=−∞
∞
=−∞
= −
−=
−
∑
∑
การคนรปสญญาณ
สตรการทา Interpolation
sinc( / )t T
× dsp_3_1.jpg
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP3-50
แตละจดของ x(n) ถกคณดวยsinc function ท!มการเล!อนตาแหนง
dsp_3_2.jpg
ผลการคณของแตละตาแหนง
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP3-51
ผลรวมของการทา interpolation คอสญญาณคนรป
CESdSP EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
DSP3-52dsp_3_9.jpg
สรป
• การแปลง DTFT ทาให หาผลตอบสนองความถของระบบได
• เราสามารถหาผลลพธการประสานไดจากการทา DTFT
• การสมสญญาณทาใหเกดผลตอบสนองความถเปนราย
DSP3-53
• การสมสญญาณทาใหเกดผลตอบสนองความถเปนรายคาบ
• ความถการสมจะตองมากกวา 2 เทา ของ ความถแอนาลอกสงสด โดยคนรปสญญาณไดโดยการใชวงจรกรองตาผานกบสญญาณไมตอเนองทางเวลา
EEET0485 Digital Signal Processing http://embedsigproc.wordpress.com
Assoc. Prof. Dr. P.Yuvapoositanon
CESdSP