T.C. MLL ETM BAKANLII MAKNE TEKNOLOJS DZLEMLERN ARAKESTLER 520TC0010 Ankara, 2011 Bumodl,meslekiveteknikeitimokul/kurumlarndauygulanan ereveretimProgramlarndayeralanyeterliklerikazandrmaya ynelik olarak rencilere rehberlik etmek amacyla hazrlanm bireysel renme materyalidir. Mill Eitim Bakanlnca cretsiz olarak verilmitir. PARA LE SATILMAZ. i AIKLAMALAR .................................................................................................................... ii GR ....................................................................................................................................... 1 RENME FAALYET-1 ..................................................................................................... 3 1.DZLEMLE DORUNUN KESMES ............................................................................ 3 1.1. Delme Noktasnn Tanm ............................................................................................. 3 1.2. Delme Noktasnn Yardmc z Dm Metoduyla Bulunmas .................................... 4 1.3. Delme Noktasnn Dzlem Geirme Metoduyla Bulunmas......................................... 6 1.4. Grnrlk Saptama ve Prensipleri .............................................................................. 9 1.5. zel Hllerde Delme Noktasnn Bulunmas .............................................................. 11 UYGUYLAMA FAALYET............................................................................................ 14 LME VE DEERLENDRME .................................................................................... 16 RENME FAALYET -2 .................................................................................................. 17 2. Dzlemle Dzlemin Kesimesi .......................................................................................... 17 2.1. Arakesitin Tanm ....................................................................................................... 17 2.1.1. ki Dzlemin Uzaydaki Konumlar...................................................................... 17 2.2. Arakesitinin Yardmc z Dm Metodu ile Bulunmas ........................................... 17 2.3. Arakesitin Dzlem Geirme Metodu ile Bulunmas ................................................... 21 2.4. Arakesitin Kesme Dzlemleri Metodu ile Bulunmas ................................................ 22 2.4.1. Dzlemler Arasndaki Alar ............................................................................... 23 2.5. Grnrl Saptama ................................................................................................. 26 UYGULAMA FAALYET .............................................................................................. 27 LME VE DEERLENDRME .................................................................................... 30 3. DZLEMLE CSMN KESMES .................................................................................. 31 3.1. Dzlemlerle Cisimlerin Konumlar Bakmndan zellikleri ...................................... 31 3.2. Cisimlerle Dzlemlerin Kesimeleri ........................................................................... 32 3.3 Yardmc z Dm Metodu ile Dzlemlerle Cisimlerin Kesimesi ............................ 33 3.4. Dzlem Geirme Metodu ile Dzlemlerle Cisimlerin Arakesitleri ............................ 35 3.5. Kesme Dzlemleri Metodu ile Dzlemlerle Cisimlerin Arakesitleri .......................... 36 3.6. Dndrme Metodu ile Dzlemlerle Cisimlerin Arakesitleri ....................................... 37 3.7 Grnrl Saptama .................................................................................................. 39 UYGULAMA FAALYET .............................................................................................. 40 LME VE DEERLENDRME .................................................................................... 42 MODL DEERLENDRME .............................................................................................. 43 CEVAP ANAHTARLARI ..................................................................................................... 44 KAYNAKA ......................................................................................................................... 47 NDEKLER ii AIKLAMALAR KOD520TC0010 ALANMakine Teknolojisi DAL/MESLEKBilgisayar Destekli Makine Ressaml MODLN ADIDzlemlerin Arakesitleri MODLN TANIMI Makineparalarnngeometrikekillerinegre arakesitlerinin izimini anlatan renme metaryalidir. SRE40/24 N KOUL TasargeometridersininNoktannveDorularnz Dm,DzlemlerinveCisimlerinzDmmodllerini alm olmak YETERLKMakine paralarnn arakesitlerini izmek MODLN AMACI Genel Ama Dzlemlerin arakesitlerini izebileceksiniz. Amalar 1.Verilenkoordinatlaragredzlemledorunun kesimesinieprdzlemizerinedoruolarak izebilecekvedelmenoktasnmetotuygulayarak bulabileceksiniz. 2.Verilenkoordinatlaragredzlemledzlemin kesimesinieprdzlemizerinedoruolarak izebilecekvearakesitinimetotuygulayarak bulabileceksiniz. 3.Dzlemlecisimlerinkesimesinieprdzlemizerine doruolarakizebilecekvearakesitinimetot uygulayarak bulabileceksiniz.ETM RETM ORTAMLARI VE DONANIMLARI Ortam:Teknikresimizimsnf,bilgisayardestekli izim ortam Donanm:izimaragereleri,eprvediedrdzlem tahtalar, rnek dzlemler, resim masas, tepegz, data show LME VE DEERLENDRME Modliindeyeralanherrenmefaaliyetindensonraverilen lme aralar ile kendinizi deerlendireceksiniz. retmenmodlsonundalmearac(oktansemeli test,doru-yanltesti,bolukdoldurma,eletirmevb.) kullanarakmodluygulamalarilekazandnzbilgive becerileri lerek sizi deerlendirecektir.AIKLAMALAR 1 GR Sevgili renci, Yzyln gerei, gelien teknoloji sayesinde endstriyel alanlarda ok hzl deime ve gelimeler meydana gelmektedir. Dnya apndaki bilgi alveriinin kolaylamas ve bunun toplumlardasaladbtnlemesonucundateknolojiyiiyianlayan,doruuygulayabilen, verimli,kalitelimalvehizmetlerretebilenigcihtiyacortayakmtr.Budaan deikenteknolojikgereksinimlerineuyguninsanyetitirilmesininneminiortaya koymaktadr. Teknikteuluslararastekanlamadiliolanteknikresmintemelinioluturandikiz dm metodu, tamamen tasar geometri bilimi iinde oluturularak kuramsallatrlmtr. Teknikresmintmesaslartasar geometrideki iz dmkurallarndanalnmtr. Bu nedenleteknikresimdersiiintasargeometrininbirrndrdenilebilir.Herhangibir makine parasnn veya makinenin btnnn tasarlanmas, projelendirilmesi ve neticesinde imaledilmesiteknikresimkurallarnierenresimlersayesindegerekletirilmektedir.Bu nedenle tasar geometri ve teknik resim gibi teknik ierikli derslerin retimi, mesleki eitim faaliyetleri ierisinde nemli bir yer tutmaktadr. Teknik eitimin her aamasnda uzaydaki cisimleri boyutlu dnmek, tasarlamak, kavramakveproblemlerizerekizimleriniyapabilmekennemlikonudur.Tasar Geometrimodlleri sizleri kendibanabir bilim dal olarak ispatlad teorem vekoyduu kurallarlauzayproblemleriniikiboyutluktzerindenboyutluzmegtrr. Sizlerinbirteknikelemanolaraktasavvuretmek,kavramak,problemlerizmlemekve izim yapabilmek yeteneklerinizin gelitirilmesini ve disiplin altna alnmasn salar. Tasargeometridersi,teknikresmintemelkavramlarnkavratmannyanndateknik resmintemelresimizmekurallarndaizimlerdekullanaraksizrencilerin resimizme becerilerinigelitirir.Atlyeveteknoloji konularnaparalel ilerledii konumdaise grn karmaveyapmresmiizmebecerilerinizinokgelitiiakagrlecektir.Bumodl iindeyeralandelmenoktalar,dzlemlerin kesimeleri, dzlemlerlecisimlerinarakesitleri konularuzaydakidoru,dzlemlervecisimlerarasndakiilikiyiincelemekteve zmlemekte, konumlar kavratmakta ve analiz etmektedir.GR 2 3 RENME FAALYET-1 Verilenkoordinatlaragredzlemledorununkesimesinieprdzlemizerine doru olarak izebilecek ve delme noktasn metot uygulayarak bulabileceksiniz. rnek dzlemlerle dorularn kesimelerini boyutlu uzayda izleyiniz ve maket hazrlayarak snftaki arkadalarnzla paylanz. 1.DZLEMLE DORUNUN KESMES 1.1. Delme Noktasnn Tanm Uzaydaki bir dorunun bir dzlem ile deiik konumu bulunur. Doru dzlemin zerindedir (ekil 1.1a). Doru dzlemin dnda, dzleme pareleldir (ekil 1.1b). AABBCCYYaaybbc cyyy yya b ekil 1.1a: Doru dzleme akkekil 1.1b: Doru dzleme paralel Doru ile dzlem diktir veya aralarnda bir a vardr (ekil 1.2 a.b). Dorudzlemeakkyadapareleldeilsedoruiledzlemkesiir.Doruile dzlemin kesime noktasna delme noktas denir. RENME FAALYET1 ARATIRMA AMA 4 ABAByY Ya bD dD dyy ekil 1.2: Doru ile dzlemin asal konumlar Tasargeometri problemlerinintanm vezmlerindedoru vedzlemler genellikle snrlolarakgsterilir.Busebeplearanandelmenoktalarbazkonumlarda,dzlemlerin snrlardndaveyadorununuzantsndabulunabilir.Bugibihllerdeeldeedilendelme noktasna hayal delme noktas denir. Doru ve dzlemin ortak noktalar olan delme noktasnn bulunmas iin; Yardmc iz dm metodu,Dzlem geirme metodu uygulanr. 1.2. Delme Noktasnn Yardmc z Dm Metoduyla Bulunmas Delme noktas doru ile dzlemin ortak noktasdr. Bu noktann elde edilii, doru ile dzlemin temel iz dm dzlemlerindeki grnlerine baldr. Bunun iin; Doru, temel iz dm dzlemlerinden birine dik konumlu ise dzlem ile ilikin delmenoktas,dorunun noktagrntsvereniz dm ileakk bulunur. Delmenoktasnnkomuizdmdekiyeridedorununnoktagrntsnden geendzleminherhangibir dorusu ilesaptanr vegrnrlk salanr (ekil 1.3a). Dzlem, temel iz dm dzlemlerinden birine dik konumlu ise doru ile ilikin delmenoktas,dzleminizgigrntsverenizdmzerindebulunur. izgigrntsneaitizdmdedorunundzlemikestiinokta,aranan delme noktasnn yerini belirtir. Komu iz dm tamamlamak iin bu noktay dierizdmdekidoruzerinetamakvesonragrnrlsaptamak gerekir (ekil 1.3b). 5 DELMENOKTASIBAKIDORULTUSUaabbccAAAeeffAAYYYYYaaabbcceeffAAAAAAAAYYYYYYYdddAYDELMENOKTASIBAKIDORULTUSUb ekil 1.3: Delme noktasnn nokta tama yolu ile bulunmas Dzlemingeliigzelkonumdaolmashlinde,grnler.Gsini vermeyeceindenyardmcizdmmetoduuygulaypdzleminizgi grntsnbulmakgerekir.ekil1.4te,alnveyatayizdmleriylebelirli ABCgeliigzeldzlemiyleEFdorusunundelmenoktalarnnyardmciz dm metoduyla bulunuu grlmektedir. abccabeeffAAAAAYYYYYAY11 ekil 1.4a: Geliigzel doru ile geliigzel dzlemin kesimesi izimdedzleminalndorusundanfaydalanlmtr.Dzleminyataydorusundan faydalanarak delme noktas aratrlsayd yine ayn nokta bulunmu olacakt. Grafik zm: Problem incelendiinde uzaydaki dzlemin geliigzel durduu anlalyor. Dzlemin iz dm zerinde bir doru alnr. Burada aln dorusu alnmtr. 6 Bu doruya parelel bir bak ile yardmc dzlem alnr. Yardmc dzlem bak dorultusuna dik konumdadr. abccabeeffAAAAAYYYYYAYA 1efbca11111d1dAdYTB11.G ekil 1.4 .b Yardmc z Dm Metodu ile Delme Noktasnn Bulunmas Dzleminizgiiledorununkesitiiortakd1noktasalndzlemindekiiz dme tanr. Doruyu kestii nokta aln dzlemindeki dA delme noktasdr. Delme noktasnn yatay dzlemdeki iz dm dy bulunur. Grnrlkaratrlarakizilir.Dzleminaltndakalanyergrnmezolarak gsterilir. 1.3. Delme Noktasnn Dzlem Geirme Metoduyla Bulunmas Uzaydabulunanbirdorudangeenvetemelizdmdzlemlerindenbirinedik konumdaolanbirdzlemiizmekherzamanmmkndr.ekil1.5teABdorusundan geen (doruyu zerine alan) ve aln iz dmne dik olan N dzlemi izilmitir. Eprde de grld gibi AB dorusu, alnda ve yatayda N dzleminin dorusu olacaktr. 7 AAYEFGNB12abeeffggaabbdd1122AAAAAAYYYYY Yb ekil 1.5: Dzlem Geirme Metodu ile Delme Noktasnn Bulunmas ABdorusuileNdzlemininkonumlarnbozmadanEFGgibibirdzleminde varlnkabullenecekolursakalnadikolanNdzlemi,EFGdzlemini1ve2noktalar boyuncakeser. Bylece 1 ve2dorusu,N veEFG dzlemlerininortak dorusu olur(ekil 1.5a). Dier taraftan AB dorusu da N dzlemi zerinde bulunduundan bu doru ile 1 ve 2 dorusununkesimenoktasolanD,dorunundzlemideldiinoktaolur(ekil1.5b). Tanm yaplan dzlem geirme metodunun eprde uygulan gstermektedir. Dorudan dzlem geirme metoduyla delme noktasn bulmada iki grn yeterlidir. izim daha az yer kaplar. Arakesitigrnlerzerinetarkenhatayapmaihtimalivardr.zdm metodlarna dikkat edilmelidir. 8 ekil 1.6: ABCD dzlemini delen EF dorusu ekil 1.6da grlen ve koordinatlar verilen EF dorusunun ABCD dzlemini deldii noktay dzlem geirme metodu ile bulunuz ve grnrl saptaynz. (K,U,A) A (5,5,32)B (43,18,40)C (54,43,18)D (16,30,10) E (13,3545)F (50,15,8) ekil 1.7: Dzlem geirme metodu ile delme noktasnn bulunmas 9 zm: AlnveprofildegrnleriverilenABCDdzlemiveEFdorusuverilen koordinat deerleriyle izilir (ekil 1.7). Doruvedzleminbirbirinedeer gibi grnen1ve2 nu.lnoktalardandier dzleme n gnderilerek iz dm bulunur. 1 ve 2 nu.l noktalarn aras yardmc doru ile birletirilerek doruyu kestii dP noktas (delme noktas) alndaki EF dorusu zerine tanarak dA delme noktas bulunur. Alndaki1noktasnprofiletayannzerindenprofildzleminedoru baklrsancedzlemeaitCDdorusugrlr.Alndzleminegelinerek dzleminCDdorususttediyeyorumlanr.Dzlemidelmenoktasnakadar sttediryanigrnr.Doruisegrnmezyanialttakabuledilerekgrnmez ve grnr olular doru izgi eitleriyle izilerek ifade edilir. 1.4. Grnrlk Saptama ve Prensipleri Yeterikadarizdmlerletanmlanmasistenenekillereaitsnrdorularnvebu dorularla ilikin yzeyleri her zaman grmek mmkn olmaz.Bunun iin hangi dorunun grnr, hangisinin grnmez olduunu ilgili iz dmlerde belirtmek gerekir. Teknikresimdegrnendorularkaln,grnmeyendorulardakesikizgilerle belirtilir. Grnrle ait baz prensipler: Grnleri snrlayan izgiler daima grnr izgilerdir (ekil 1.8). Bakdorultusunagrebirdorudzleminarkasndabulunuyorsadzlemin snrizgileriiindekalanksmgrnmeyeceindendorununbuksmkesik izgi ile belirtilir. 10 aabbccddeeffAAAA AAYYYYYYYA ekil 1.8: Kesimeyen doru ve dzlemin grnrln saptama b baacceef fg gAAAAAAPPPPPPDD121212334 4A P1 ekil 1.9: Kesien doru ve dzlemin grnrln saptama zdmlerindekesimigibigrnenikiaykrdorudanhangisiningrnr olduunusaptamakiinkesimigibigrnennoktadan(dierizdmdekiuzaklklar aratrmakiin)yerekseninediktamaizgisiizilir.Komuizdmdeyerekseninden uzak olan nokta grnr, dieri grnmez olur (ekil 1.10).Sonu almada, kotlu iz dm kurallarn da hatrlamak ve komu iz dmdeki analizi buna gre yapmak faydal olur. 11 aaaabbbbccccddd dAAAAAAAAAAPPPPPYYYY1111222233334444BDBD ekil 1.10: Aykr dorularda grnrlk saptama 1.5. zel Hllerde Delme Noktasnn Bulunmas Delmenoktassnrlolarakverilendzlemindndadaolabilir.Bugibi hllerde,dzlemgeirmemetoduyladelmenoktasnnbulunabilmesiiiniz dmlerdekisnrdorularndanuygunolanikisinin,metodunuygulanaca doruyu kesinceye kadar uzatlmas gerekir. ekil 1.11de verilen ABC dzlemi ile EF dorusunun delme noktasn bulmak iin; EF dorusundan geirilen dzlem profile dik alnmtr. Profilizdmdebudzlem,snrlolarakverilmiABCdzlemini kesmediindenuygundenABveACkenarlaruzatlarakbukenar dorularyla ilikin 1 ve 2 noktalar elde edilmitir. 1 ve 2 noktalar ve bunu birletiren doru ABC dzlemine ait olduundan alnizdmndedeilikinkenarlaruzatlarak1ve2noktalarnniz dmleri bulunmutur. 12 a ab bc ceeff112AAAAAAPPPPPPd dPA2 ekil 1.11: Delme noktasnn dzlemin dnda olmas durumunda delme noktasnn bulunmas Alndaki1ve2dorusununEFdorusunukestii(dA)noktas,aranan delmenoktasnnaln izdmnverir.(dA)noktasndanA/Pkatlama izgisinedikizilentamaizgisiylededelmenoktasnnprofiliz dm olan (dP) noktas elde edilmitir. aabbcceeff1122ddAAAAAAYYYY YY ekil 1.12: Delme noktasnn dzlemin dnda olmas durumunda delme noktasnn bulunmas Dzlemindndakidorutemelizdmdzlemlerinedikolupikigrn dekatlamaizgisineparelelverilmiise1.ktakigibiilem,bunlarndelme noktalar iin aynen uygulanr. 13 Dzlemindndakidorunungrnlerindenbirinoktagrntsndeise uygulamadzlemi,noktagrntsnnbulunduutemelizdmdzlemine dik alnr (ekil 1.12). Delmenoktasileilikindorudzlemindndaiseveyardmcizdm metodununuygulanmasisteniyorsazmiinncedzleminGsielde edilir.Gsininuzantsalnarakdoruilekesitirildiindearanandelme noktas bulunmu olur (ekil 1.12). 14 UYGUYLAMA FAALYET Dorunun dzlemi deldii noktay dzlem geirme metodu ile bulunuz. lem Basamaklarneriler A4 izim kdn, izim ara gerelerini ya da bilgisayar uygulama sayfasn ayarlaynz. Verilen koordinat deerleriyle ABC dzlemini ve EF dorusunu iziniz. (K,U,A) A (58,45,89) B(104,33,118) C (120,71,91) E (62,56,117) F (125,48,80) Uygun kt ve kalemlerinizi, izim masanz hazrlaynz. ki boyutlu bilgisayarl izim programnda izim sayfanz hazrlaynz. Verilen koordinat deerleriyle ABC dzlemini ve EF dorusunu doru olarak iziniz. UYGULAMA FAALYET 15 Dzlem geirme metodu ile EF dorusunun ABC dzlemini deldii noktay bulunuz ve grnrl saptaynz. Dzlem geirme metodunu uygulayarak delme noktalarn tespit ediniz. Grnrl tespit ediniz. ABC dzlemini EF dorusunun deldii noktalar 1-2 olarak tespit ediniz. 1-2 dorusu geirilen dzlemin dorusudur ve iki dzlemin arakesitidir. 1-2 numaral kesme noktalarnda iz drc n tayarak 1 ve 2 arakesit izgisinin A arakesit izgisinin EF dorusunu kestii delme noktas mnin kardan grnn bulunuz. Bak dorular alarak grnrl saptaynz. Buna gre grnmez olan yerleri kesik izgiyle ifade ediniz 16 LME VE DEERLENDRME Bu faaliyet sonunda kazandklarnz aadaki sorular cevaplandrarak lnz. Aadaki sorular dikkatlice okuyunuz ve doru seenei iaretleyiniz.ER LENDRME 1.Aln iz dmne parelel veya akk olan dorular profilde hangi alar verir?A)Profil ve alnla yapt alar B)Alnla ve yatayla yapt alar C)Yatayla ve profille yapt alar D)Hibir a vermez. 2.Delme noktasnn tanm nedir? A)Dorularn uzayda bulutuu noktadr. B)Doru ile dzlemin kesime noktasna denir. C)Dorunun dndrlerek nokta grntsne getirildii noktadr. D)Hibiri 3.Tam boy nedir?A)Dorularn iz dm dzlemlerindeki boyutudur. B)Dorularn iz dm dzlemlerindeki uzantsdr. C)Dorularn uzaydaki boyudur. D)Dorularn iz dm dzlemlerinin eprleri zerinde meydana getirdii gerek boyudur. 4.Geliigzeldorununokluizdmdetamboyunubulmakiinhangisratakip edilir? A)Bir nceki dzlemden ller alnr, dzleme dik nlar izilir, doruya parelel dzlem alnr. B)Doruya parelel dzlem alnr, dzleme dik nlar izilir, bir nceki dzlemden ller alnr. C)Dzleme dik nlar izilir, bir nceki dzlemden ller alnr, doruya parelel dzlem alnr. D)Hibiri 5.Dzlemin zerinde izilen doruya ne denir? A)Dzlemin zerinde izgi B)Profil dorusu C)Yatay doru D)Dzlemin dorusu DEERLENDRME Cevaplarnzcevapanahtarylakarlatrnz.Yanlcevapverdiinizyadacevap verirkentereddtettiinizsorularlailgilikonularfaaliyetegeridnerektekrarlaynz. Cevaplarnzn tm doru ise bir sonraki renme faaliyetine geiniz. LME DEERLENDRME 17 RENME FAALYET -2 Verilen koordinatlara gre dzlemle dzlemin kesimesini epr dzlemi zerine doru olarak izebilecek ve arakesitini bulabileceksiniz. evrenizdegrdnzfarkldzlemlerinbirbiriylenaslkesitiini gzlemleyipoluanarakesitlerimaketalmasylahazrlaypsnfagetirinve arkadalarnzla paylanz. Makineparalarnnyapmresimlerindeoluabilecekarakesitlerernekolacak makine paralar bulup snfa getiriniz ve arkadalarnzla tartnz. 2. DZLEMLE DZLEMN KESMES 2.1. Arakesitin Tanm Dzlemlerinkesimesiilemeydanagelenortakdoruyaarakesitdenir.Dzlemler genelkavramilesonsuzbyklktedir.Tasargeometriproblemlerininzmiinsnrl byklkte alnr. ki dzlemin kesimesi ile meydana gelen arakesit doru izgidir. 2.1.1. ki Dzlemin Uzaydaki Konumlar Dzlemler uzayda parelel konumdadr. Bu hlde dzlemler kesimezler. Dzlemler uzayda akk konumdadr. Bu hlde dzlemler kesimez. Dzlemler uzayda dik veya geliigzel konumdadr. Bu hlde dzlemler kesiir. 2.2. Arakesitinin Yardmc z Dm Metodu ile Bulunmas Bir dzlemi delen dorular dier bir dzlemin dorular ise elde edilen noktalar her iki dzlemin ortak noktalar ve bu noktalar birletiren doru da dzlemlerin ortak dorusu yani arakesiti olur. Yardmc izdmmetoduylaarakesitbulunmak istenirsedzlemlerdenbirinin izgi grntsalnpbuizdmdedierdzlemeaitsnrdorularndanenazikisinindelme RENME FAALYET-2 AMA ARATIRMA 18 noktalarnbulmakgerekir.Delmenoktalarnn aras bir doruilebirletirildiindearakesit bulunmu olur. Kesienikidzlemdenbiriizgigrntsndeise izdm bir doru gibi grnr. Doru ile dzlemin kesimesinde belirtildii gibi kesme noktas bu doru zerinde bulunur. Her iki dzlemin ortak noktasdr. ekil 2.1a: Dzlemlerden biri izgi grntsnde ekil 2.1ada grlen dzlemler, verilen koordinat deerlerine gre izildiinde ABC dzlemininalnizdmdzleminedikveDEFdzlemiilekesitiigrlmektedir.ABC dzlemialndzleminedikolduundanizgigrnmndedir.DEFdzlemiABC dzleminin izgi grntsn 1 ve 2 noktalarnda keser. Kesime noktalar dier iz dme tanarakdelmenoktalartespitedilirvegrnrlkaratrlarakizimtamamlanr(ekil 2.1b). 19 ekil 2.1b: Dzlemlerden biri izgi grntsnde ise arakesitin bulunmas 20 Dzlemler geliigzel konumlu ise dzlemlerden biri izgi grntsne getirilir. ekil 2.2degrldgibiABCdzlemiizgigrntsnegetirilmitir.Dierdzlemdeizgi grntsne getirilerek ayn sonuca varlabilir. ekil 2.2: Yardmc iz dm metodu ile arakesitin bulunmas ABC dzlemi zerinde zel bir doru (A1v) alnr. Bu doru yatay doru olduundan yatay iz dmde tam boydadr. BudorultuyadikalnanyardmcizdmdzlemindeABCdzlemininizgi grntsnde elde edilir. Yardmc iz dmdeki 1-2 arakesit dorusu nce yatay, sonra aln iz dmlerindeki grnlere tanr. Grnrlk aratrlarak problem zm tamamlanr. 21 2.3. Arakesitin Dzlem Geirme Metodu ile Bulunmas Delmenoktasnincelerkendoruyuiinealanbirdzlemilekesmeksuretiyle bulduumuzu grmtk. Bu yolla delme noktasn bulmak iin yardmc grn gerekmez. kidelmenoktasnbulmakyeterlidir.Kenardorularndandzlemlergeirilir.Bulunan delme noktalar grnler zerine tanarak arakesit bulunur. VerilenkoordinatdeerlerinegreABCveEFGdzlemlerininarakesitinidzlem geirme metoduyla bulunuz ve grnrl saptaynz. ekil 2.3: Dzlem geirme metodu ile arakesitin bulunmas Kesmedzlemialnveyayatayizdmedikalnr.ekil2.3tekesmedzlemleri alna dik alnmtr. Grnleri verilen iki dzlemin arakesitini bulmak iin dzlemin kenar dorularndan dzlem geirilmitir. EFGdzlemininEGveFGkenarlarndanD1veD2dzlemlerigeirilmitir.D1ve D2dzlemlerinindierdzleminkenarlarnkestii1,2,3,4noktalaryatayizdme tanarakbirletirilir.D1dzleminingeirildiiEGveD2dzleminingeirildiiFG kenarlarilekesitiinoktalararakesitdorusunumeydanagetirir.Arakesitdorusununiki noktas dier grne tanr. Grnrlk aratrlarak izim tamamlanr. 22 2.4. Arakesitin Kesme Dzlemleri Metodu ile Bulunmas Temelizdmdzlemlerinedikdzlemleruygulamayoluilekesienikidzlemin arakesitinin bulunmas metoduna kesme dzlemleri metodu denir. Bu metot uygulanrken verilecek iki grn zm iin yeterli olacandan yardmc iz dmler aranmasna gerek yoktur.Arakesitin bu yolla bulunabilmesi iin u kurallara uymamz gerekir: En az iki kesme dzlemi uygulanmaldr. Kesmedzlemleri,izimkolaylbakmndanbirbirlerineparelelalnmaldr (Problem nden ve stten grnl ise yataya veya alna dik, nden ve yandan grnlerle verilmi ise profile veya alna dik kesme dzlemleri kullanlr.). Arakesitinhataszkmasiinkesmedzlemlerininuygunaralklarda alnmasna dikkat edilmelidir. Kesmedzlemlerininizdmlerindenbiriizgieklindegrneceinden metodun uygulanmasna bu grnten balanr. En son ilem olarak grnrlk aratrlp problem tamamlanr. ekil 2.4te verilen problem nden ve yandan grnlerle verildiinden kesme dzlemleri profile parelel konumlu alnmtr.

ekil 2.4: Kesme dzlemleri metodu ile arakesitin bulunmas B.D. B.D. 23 2.4.1. Dzlemler Arasndaki Alar Arakesitmeydanagetirendzlemlerbirbirlerinibellibiraaltndakeser.Buann gerek deeri, dzlemlerin her ikisinin de izgi grnts veren iz dmlerinde bulunur. abcdcdbaA1a,b1 1Od1c1YYYYTBAAAAAYAB ekil 2.5: ki dzlem arasndaki ann bulunmas Kesienikidzleminarakesiti,herikidzlemindeortakdorusudur.Budorunun nokta grnts, elde ettiimiz grnte iki dzlemde izgi grntsnde olur. Kesiendzlemlerinarakesitleriherzamanbelliolmayabilir.Bununiinproblemin veriliine gre kesien dzlemleri; Arakesitleri belli olduuna gre, Arakesitleribelliolmadnagresnflandrmakvezmleribusrayagre yapmak gerekir. 24 abc cabeeffAAAAAAPPPPPP11TBA1ecfab1111112abcfe22222GBTB.G.2fcee33333OgGBTB ekil 2.6: Doru ile dzlem arasndaki ann bulunmas okluyardmcizdmmetoduyataydauygulanarakABCdzlemiveEFdorusu arasndakiannbulunabilmesiiinncedzleminizgigrntsvegerekbykl bulunmutur. nc yardmc iz dmde de dorunun tam boyu ile dzlemin izgi grnts elde edilerek aranan a saptanmtr. Dzlemler arakesitleriyle verilmise bu arakesitlerin nokta veya TBli grnts olup olmad aratrlr. Grnlerdetamboyvarsabirinciyardmcizdmmetodu,eergrnlerde arakesit geliigzel konumlu ise oklu yardmc iz dm metodu uygulanarak bu dorunun nokta dolaysylada dzlemlerin izgi grnts elde edilir. okluyardmcizdmmetoduylailedzlemlerarasndakiabulunurken geliigzel konumlu arakesit dorusunun nce tam boy, sonra da nokta grnts elde edilir (ekil 2.7). Problemin zm yaplrken elde edilecek oklu grnlerin izim sahasnn dna tamamasna dikkat edilmelidir. Bunun iin de zme uygun grnten balamak gerekir. 25 ekil 2.7: Arakesit dorusundan yararlanarak dzlemler arasndaki ann bulunmas 26 2.5. Grnrl Saptama Grnrlsaptamaprensipleri1.4konubalaltndaanlatlmtr.Dzlemlerin kesimesiyleoluanarakesitlerinbulunmasveardndangrnrlnsaptanmas aamasnda maketlerden ve boyutlu izim programlarndan faydalanlabilir. 27 UYGULAMA FAALYET Koordinatlari verilen iki dzlemin arakesitini bulunuz. lem Basamaklarneriler Verilen koordinat deerleriyle ABCD ve EFG dzlemlerini iziniz. (K,U,A) A (31.7.39)B (52.31.8)C (24.52.4)E (44.35.35)F (53.13.13) G (18.13.13) H (9.35.35) Yardmc dzlem geirme metoduyla EFG dzlemini izgi grntsne getiriniz. Delme noktalarn iaretleyerek A4 izim kdnz ve izim ara gerelerinizi hazrlaynz. Bilgisayarl izim ortamnda A4 sayfasn anz, izim ayarlarn yapnz. Verilen koordinat deerleriyle ABCD ve EFG dzlemlerini kt zerinde veya bilgisayar ortamnda iziniz. ABCD dzleminin aln iz dmnde zel dorusunu iziniz. zel doruyu yatay iz dme taynz, zel doruya dik yardmc iz dm dzlemi geiriniz (Y1). EFG dzleminin izgi grntsn ve ABCD dzleminin iz dmn Y1 dzlemine dik nlar gndermeye zen gstererek iziniz. Dzlemin izgi grnts ile dier dzleme ait UYGULAMA FAALYET 28 dier dzlemlere taynz. Arakesitleri saptayarak grnrl belirleyiniz, iz dmleri tamamlaynz. snr dorularnn kesime yerlerini, delme noktas olarak iaretleyiniz. Bu noktalar, yatay ve aln iz dmlerine tayarak grnlerdeki arakesit izgilerini belirleyiniz. Grnrl saptayarak izgileri dzenleyiniz. Dzlemlere ait u ve ke kodlamalarn doru olarak yapnz. 29 KONTROL LSTES Bufaaliyetkapsamndaaadalistelenendavranlardankazandnzbecerileriin Evet,kazanamadnzbecerileriinHayrkutucuuna(X)iaretikoyarakkendinizi deerlendiriniz. Deerlendirme ltleriEvetHayr 1.Uygun kt ve izim ara gerelerini hazrladnz m? 2.Bilgisayarda uygun program ap sayfa dzeni ayarlamalarnz yaptnz m? 3.Verilen koordinat deerleriyle kesiendzlemleri izdiniz mi? 4.Uygun metot seimini yaptnz m? 5.Dzlemledzleminkesimesisonucundaoluanarakesitiizip nlarla dier dzlemlere tadnz m? 6.Dzlemlerinuzaydakiduruunadikkatederekbak dorultusunu belirleyip grnrl saptadnz m? 7.Dzlemlerinduruunagregrnrluygunizgiyle gsterdiniz mi? 8.Dzlemlere ait u ve ke kodlamalarn doru yaptnz m? DEERLENDRME DeerlendirmesonundaHayreklindekicevaplarnzbirdahagzdengeiriniz. Kendiniziyeterligrmyorsanzrenmefaaliyetinitekrarediniz.Btncevaplarnz Evet ise lme ve Deerlendirmeye geiniz. 30 LME VE DEERLENDRME Bu faaliyet sonunda kazandklarnz aadaki sorular cevaplandrarak lnz. Aadaki sorular dikkatlice okuyarak doru seenei iaretleyiniz. 1.Arakesitmeydanagetirendzlemlerbirbirlerinibelliaaltndakeserler.Buanngerek deeri hangi iz dmlerinde bulunur?A)Dzlemlerin her ikisinin de izgi grnts veren iz dmlerinde B)Dzlemlerin her ikisinin de gerek bykln veren iz dmlerinde C)Profil dzleminde bulunan iz dm ile yapt alar D)Hibiri 2.Alnda yardmc iz dm dzleminde elde edilen tam boylu dorunun hangi dzlemle yapt a okunabilir? A)Profil ile yapt a B)Yatayla yapt a C)Yardmc iz dm dzlemi ile yapt a D)Hibiri 3.Kesien dzlemlerin arakesitlerini ararken dzlemleri nasl snflandrrz? A)Dzlemlerin adna gre B)Arakesitlerinin belli olup olmadna gre C)Dzlemlerin birbiriyle yapt alara gre D)Geliigzel veya dik konumlu olularna gre 4.Dzlemlerinarakesitlerinikesmedzlemlerimetoduylabulurkenproblemndenve stten grnl ise kesme dzlemleri nasl alnmaldr? A)Yataya ve alna parelel B)Yataya ve profile parelel C)Alna ve profile dik D)Yataya veya alna dik 5.Dzlemlerin kesimesiyle meydana gelen ortak doruya ne denir? A)Arakesit B)izgi grnts C)Gerek byklk D)Tam boy DEERLENDRME Cevaplarnzcevapanahtarylakarlatrnz.Yanlcevapverdiinizyadacevap verirkentereddtettiinizsorularlailgilikonularfaaliyetegeridnerektekrarlaynz. Cevaplarnzn tm doru ise bir sonraki renme faaliyetine geiniz. LME VE DEERLENDRME 31 RENME FAALYET-3 Verilen koordinatlara gre dzlemle cisimlerin kesimesini epr dzlemi zerine doru olarak izebileceksiniz ve arakesitini metot uygulayarak bulabileceksiniz. Birdzlemlekesilmicisimaratrmasyapnz,bu konumdamakineparalar bularaksnfagetirinizvearkadalarnzagsteriniz,retmeninizlekonum belirleme tartmas yapnz. 3. DZLEMLE CSMN KESMES 3.1. Dzlemlerle Cisimlerin Konumlar Bakmndan zellikleri Uzaydabulunandzlemlerlecisimler, konumlar bakmndanayr zellikgsterir. Bu zellikler: Cisimlereaitayrtveyaelemanlarnboylarsnrldr.Boylarsnrlolanayrt veyaelemanlarnhibiri,uzaysaldzlemdedelmenoktasvermiyorsabudzlemle cisim kesimez (ekil 3.1). ekil 3.1: Kesimeyen dzlem ve cisim RENME FAALYET-3 AMA ARATIRMA 32 Na ANBbN ekil 3.2: Cisme teet dzlem Cismin ayrt, eleman veya herhangi bir noktas, verilen uzaysal dzleme akk konumdaolupdierleridzlemdedelmenoktasvermiyorsabudzlemcisme teettir (ekil 3.2). Cisminyzeylerindealnanveboylarsnrlolanayrtveyaelemanlardzlem zerindedelmenoktalarveriyorsaveyabununtersiolarakdzlemindorularcismin yzeylerini deliyorsa uzaysal dzlem ile cisim kesiir (ekil 3.3). ekil 3.3: Kesien dzlem ve cisim 3.2. Cisimlerle Dzlemlerin Kesimeleri Dzlemilecisminkesimesiarakesitmeydanagetirir.Cisimdnelyzeylisilindir, koni veya an erisi yzey ise zel hller dnda, arakesit eri izgidir. Dzlemlerin cisimlerle kesimesi makine endstrisinin en nemli konusudur. Sacmalzemedenyaplandepo,kazan,silo,damtmakaplar,dinlendirmekaplar, redksiyon balantlar, borular ve balantlar tasarlanr. Arakesitler belirlenir. Anmlarsacolarakhazrlanr,birplansrasilebirletirilerekkapalcisimelde edilir. 33 Dzlemlerincisimlerikesmesiilekesitvearakesitlereldeedilir.Arakesitdzlemile cismin ortak izgisidir. Kesitolarakeldeedilenmakineparasmakineninbirelemanolabilir.Cisimolarak bildiimizbirmakineelemankesitolarakincelendiindebirokgrnmezi,bilinmezi aklar, problemleri zmler. Buzelliindendolaymakinekalplarnn,makinemodellerinin,makine tasarmlarnn projelerinin yapmnda dzlemlerle cisimlerin kesimesinden yararlanr. Bu zelliinden dolay cisimler deiik konumlarda dzlemlerle kesitirilir. Dzlemlerlecisimlerinarakesitlerinibulmakiinumetotlardanbirisinden yararlanlr: Yardmc iz dm metodu Dzlem geirme metodu Kesme dzlemleri metodu Dndrme metodu 3.3 Yardmc z Dm Metodu ile Dzlemlerle Cisimlerin Kesimesi Bumetodunuygulanmasndakiama,verilenizdmlerdekiizgigrntsnde bulunmayan(cisimlearakesitistenen)dzlemiizgigrntsnegetiripcisminayrtveya elemanlarnn bu dzlemi deldii noktalar bulmaktr. ekil3.4tekipiramitileNdzlemininarakesitinibulmakiinyardmcizdm almaya gerek yoktur. nk dzlem aln iz dmde izgi grntsndedir. 112 233ooaa bbccAAAAPPPPN ekil 3.4: Dzlem izgi grnts veriyorsa arakesitin bulunmas Pramiteaitayrtlarndzlemideldii(1,2,3)noktalar,profilizdmde,ilgili ayrtlaratanrvegrnrlkaratrlpbirbirleriylebirletirilirseistenenarakesitelde edilir. ekil 3.4 incelendiinde; 34 1-2 arakesit dorusu OAB dzlemi ile N dzlemine, 2-3 arakesit dorusu OBC dzlemi ile N dzlemine, 1-3 arakesit dorusu OCB dzlemi ile N dzlemine aittir. Kesmedzlemiilepramitayrtlarnnortaknoktalarkonumundabulunan(1,2,3) noktalarnn belirttii ekil, cisimle dzlemin arakesitini verir. ml kcklob132AAAAAAAAlm321omlkcbYYYYYYYlblkmkm123l11 ekil 3.5: Yardmc iz dm metodu ile arakesitin bulunmas ekil3.5tegrnleriverilenyzl,geliigzelkonumluABCdzlemiile kesimektedir. 35 Dzlemin cismi hangi noktalardan kestii belirsizdir. Bu durumda yardmc iz dm metodundan yararlanlarak dzlem izgi grntsne getirilir. ABCdzlemininkesiendorularndanbiri,yatayizdmdetamboydadr (yatay doru). Bu doruya parelel bak ile yardmc iz dm dzleminde ABC dzleminin izgi grnts elde edilir. Cisminyardmcdzlemlerdekiizdmbulunur.Dzleminizgigrnts ile kesien noktalar iaretlenir. Kesime noktalarnn iz dm yatay ve aln iz dmne tanr. Sras ile birletirilir. Arakesitin yatay ve aln dzlemindeki iz dm bulunur. Grnrlk aratrlr. izim tamamlanr. 3.4. Dzlem Geirme Metodu ile Dzlemlerle Cisimlerin Arakesitleri Bu metodu uygulamaktaki ama, (yardmc iz dm metodunda olduu gibi dzlemi izgi grntsne getirmek iin yeni bir grne bavurmadan) verilen dzleme veya cisme aitdorularzerinealanvetemelizdmdzlemlerindenbirinedikolandzlemler geirilerek zm bulunur. Problem iki grnte zmlenebilir. Bu metot zellikle cisimlerle ilikin arakesitleri bulmada tercih edilmelidir. zm dikkatle uygulamak gerekir (ekil 3.6). 36 aabbccddooeeffgg56677pppppppp11223344AAAAAAAAAAAAYYYYYYYYYYY5 ekil 3.6: Dzlem geirme metodu ile arakesitin bulunmas 3.5. Kesme Dzlemleri Metodu ile Dzlemlerle Cisimlerin Arakesitleri Bu metot dzlemlerin kesimesinde meydana gelen arakesiti bulmak iin uygulanmtr. zellikleeriyzeylicisimlerdzlemtarafndankesildiindemeydanagelenarakesiti bulmak iin uygulanr. Az yer ve zaman alr. Dzlemincismikesmesiilemeydanagelenikiyzeyvekesmedzlemindeortak noktaiaretlenir.Yeterikadarortaknoktabulunarakuygunekildebirletirilir.Arakesit bulunur. 37 KDKDKD3KD412aaccbbeee112233344AAAYYYYRR2aAAAaAbbaKD111222333444AYYYc55KD2 ekil 3.7a: Kesme dzlemleri tabana paralel ekil 3.7b: Kesme dzlemleri eksene paralel ekil3.7deeiksilindirleABCdzlemininarakesiti,kesmedzlemlerimetodu yardm ile istenmektedir. ekil3.7adakesmedzlemleri,alnizdmdesilindirtabannaparalelalnmtr. KD2yiinceleyecekolursak bu dzlemin cismikestii, R yarapnaeit olan,R2 yarapl daireyi verecektir. Budaireemberi,hemcisminhemdekesmedzlemininzerindedirvezelbir arakesitdurumundadr.DiertaraftanKD2ileABCdzlemideEFarakesitinimeydana getirir.R2yaraplarakesitleEFarakesitinin kesitii 2 nu.lnoktalar, herdzlemin de ortaknoktalarvedolaysileABCdzlemiilesilindirinarakesitinivereceknoktalardan ikisidir. Yetersaydaalnandierkesmedzlemleriileaynilemedevamedildiindeve bulunan noktalar uygun yaylarla birletirildiinde aranan arakesit elde edilmi olur. ekil 3.7 bde ise kesme dzlemleri silindir eksenine parelel olarak alnmtr. Kesme dzlemlerinincisimveABCdzlemiileolanarakesitlerininkesitiklerinoktalar,her yzeyin ortak noktalarn verecektir. 3.6. Dndrme Metodu ile Dzlemlerle Cisimlerin Arakesitleri Verilengrnlerdedzlemilecisminkesimesiizgigrntsndebulunmuyorsa yardmc grn veya dndrme metodu uygulanr. 38 Bumetodunuygulanmasndakiamaizgigrntseldeetmektir.izgigrnts bulunduktansonracisimilekesiendzlemdedelmenoktalarbulunur.Bulunannoktalar temel iz dm dzlemlerine tanarak grn tamamlanr. badcbacd12341432111111111AAAAAAAAAfdabdcbaeoAAAAA AAAAADCbadabceopppppppppobcda234badc1ppppppppP P dP P P1 1 11111111P1 ekil 3.8: Dndrme metodu ile arakesitin bulunmas ekil3.8dealnveprofilizdmleriyleverilenprizmavedzlemin,dndrme metoduuygulanarakarakesitibulunmutur. Buproblemin zmndeuilem basamaklar izlenmitir: ki dorusu ile belirli dzlemin TBli dorusu EF bulunur. Tamboyuverenalnizdm,Feksenietrafndaprofiledikgelecekekilde dndrlr. Dndrmesonucu,profilizdmdedzlemizgigrntsndeelde edildiindenA,B,C,Dayrtlarnndzlemideldii1,2,3,4noktalariaretlenir. Bulunan noktalar ya direkt olarak profil iz dme oradan da alna tanr veya ncealndakidndrlmgrne,oradandaesasgrnleretanarak dzlemle prizmann arakesiti bulunur. 2 ve 4 nu.l noktalar alnarak her iki yolla da tan gsterilmitir. 39 3.7 Grnrl Saptama Grnrlsaptamaprensipleri1.4konubalaltndaanlatlmtr.Dzlemle cisminkesimesiyleoluanarakesitlerinbulunmasveardndangrnrlnsaptanmas aamasnda maketlerden ve boyutlu izim programlarndan faydalanlabilir. 40 UYGULAMA FAALYET gAdaeofAAAAAAcdabof cPPPPPg PePPbAA P UYGULAMA FAALYET 41 lem Basamaklarneriler Pramitle dzlemi verilen koordinat deerleriyle kda ya da bilgisayar ortamna iziniz. K A U A( 42,68,61) B(65,46,50) C(54,13,90) D(31,36,102) O(113,44,120) E(89,67,19) F(101,3,19) G(16,36,129) Gerekli izim ara ve gerelerini hazrlaynz. A3 formasnda izim kd hazrlaynz. Bilgisayar izim ekrann A3 formatna ayarlaynz. Verilen koordinat deerleriyle pramit ve dzlemi iziniz. Dzlemin izgi grntsn bulunuz. izgi grntsnde, pramit ayrtlarnn dzlemi deldii noktalar iaretleyiniz. Delme noktalarn, pramitin ilgili grnlerindeki ayrtlarna taynz. Grnrl saptayp iz dmleri tamamlaynz. Aln iz dmnde EFG dzlemini dndrerek ve bunu profile tayarak EFG dzleminin izgi grntsn bulunuz.EFG dzleminin izgi grnts zerinde, pramitin kenar ayrtlaryla EFG dzleminin birbiriyle kesitii 1,2,3,4,5 noktalarn iaretleyiniz. Bu noktalar ya direkt olarak nce profil sonra da aln iz dme ya da nce alndaki dndrlm iz dme, oradan da esas grnlerdeki ayrtlara tayarak arakesite ait iz dmleri tamamlaynz (1 ve 4 nu.l noktalar uygulamada her iki yolla da tanmtr.). Uygun bak noktalarn retmeninizle belirleyip grnrl saptaynz. Uygun izgilerle grnrl ifade ediniz. Ke ve ayrtlara ait, uygun kodlamalar gzden geiriniz ve problemin doruluunu kontrol ediniz. 42 LME VE DEERLENDRME Bu faaliyet sonunda kazandklarnz aadaki sorular cevaplandrarak lnz. Aadaki sorular dikkatlice okuyunuz ve doru seenei iaretleyiniz. 1.Dzlemindorularcisminyzeylerinideliyorsauzaysaldzlemiledoruiinne sylenebilir? A)Dzlemle cisim birbirine teettir. B)Dzlem ile cisim kesiir. C)Dzlem ile cisim pareleldir. D)Dzlem cisme diktir. 2.zellikleeriyzeylicisimlerindzlemtarafndankesildiindemeydanagelen arakesitinibulmakiinazyervezamanharcanmasbakmndanhangimetot uygulanr? A)Yardmc iz dm metodu B)Kesme dzlemleri metodu C)Dndrme metodu D)Dzlem geirme metodu 3.Dndrme metodunun yardmc iz dm metodundan en nemli stnl nedir? A)Ayn dzlem zerinde yardmc iz dm dzlemi alrz. B)Bir bak dorultusu almaya gerek yoktur. C)Ayn dzlem zerinde istediimiz sonuca ularz. D)Daha dar yerde daha uzun zamanda iz dm elde ederiz. 4.Verilenbirdzlemlecisminkesimesindearakesitaranrkenvecisminhangi noktalardan kestii belirsizken yardmc iz dm metodu neden kullanlr? A)Dzlemin izgi grntsn bulmak iin B)Cismin grnlerini bulmak iin C)Kesime noktalarn bulmak iin D)Aralarndaki ay bulmak iin 5.Aadakilerden hangisi merkez ayrtl cisim deildir? A)Dikdrtgen tabanl prizma B)Koni C)Yedigen tabanl prizma D)Kp DEERLENDRME Cevaplarnzcevapanahtarylakarlatrnz.Yanlcevapverdiinizyadacevap verirkentereddtettiinizsorularlailgilikonularfaaliyetegeridnerektekrarlaynz. Cevaplarnzn tm doru ise Modl Deerlendirmeye geiniz. LME VE DEERLENDRME 43 MODL DEERLENDRME DEFdzlemitarafndankesilenOABCpiramitininizdmleriniistediinizbir yntemi uygulayarak tamamlaynz. MODL DEERLENDRME DEERLENDRME Cevaplarnzcevapanahtarylakarlatrnz.Yanlcevapverdiinizyadacevap verirkentereddtettiinizsorularlailgilikonularfaaliyetegeridnerektekrarlaynz. Cevaplarnzn tm doru ise bir sonraki modle gemek iin retmeninize bavurunuz. MODL DEERLENDRME 44 CEVAP ANAHTARLARI UYGULAMA FAALYET-1N CEVAP ANAHTARI RENME FAALYET-1N DEERLENDRME CEVAP ANAHTARI 1A 2B 3D 4B 5D CEVAP ANAHTARLARI 45 UYGULAMA FAALYET-2NN CEVAP ANAHTARI RENME FAALYET-2NN CEVAP ANAHTARI 1A 2C 3B 4D 5A RENME FAALYET-3N CEVAP ANAHTARI 1B 2D 3C 4A 5D 46 UYGULAMA FAALYET-3 CEVAP ANAHTARI oea3dcT.B.fAAAAAA254b1111111AgA1dae35421ofAAAAAAced3ab1542of cPPPPPPPPEabo4321cd gP PPPPP11 11111A PfP1 47 KAYNAKA BAYVASevki,NecmettinDERCOLU,OsmanZGNL,Tasar Geometri I, Ankara,1969. ZDENERFikret,TasarGeometri,OstimMesleki EitimMerkezi,Ankara, 2001. AKIR M.Ali, Tasar Geometri II, Gktrk Ofset, stanbul, 1984. KAYNAKA