1

Тема 5 Приближение сплайнами§1 Эрмитовы сплайны

Пусть на сетке

заданы значения

Определение:

( ) ( ),ii xfxy =

−====+== ∑

=++

n

iiniiiih abhbxaxnihxxx

1011

_

,,;,...,1,:ω

( ) ( ) ;...,,0, nixfxy ii =′=′

( ) ( ) [ ] ;1,0,,, 13 −=∈∀∈ + nixxxxPxS iii

( ) [ ] ;1,baСxS ∈

( ) ( ) ( ) ( ) ;...,,0,, nixfxSxfxS iiii =′=′=

2

( ) ;1,...,0,32 −=+++= nixbxaxdсxS iiii

( ) ( ) ( ) ( );1,...,0,

62

32

−=−+−+−′+= nixx

bxx

axxyyxS ii

iiiii

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ;1...,,0,,

,,

11

11

−=′=′′=′==

++

++

nixfxSxfxS

xfxSxfxS

iiii

iiii

( ) ( ) ( ) ( ),

62

31

21

11ii

iii

iiiiii

xxb

xxaxxyyxS

−+−+−′+= ++++

( ) ( ) ( ),

2

2i

iiii

xxbxxayxS

−+−+′=′

( ) ( ) ( ),

2

21

11ii

iiiiii

xxbxxayxS

−+−+′=′ +++

3

,2

12

1

1121

−−′+′

=+

++

+ i

iiii

ii h

yyyy

hb

( ) ,62 1

31

21

11 +++

++ =++′+= ii

ii

iiiii yh

bh

ahyyxS

( ) ,2 1

21

11 ++

++ ′=++′=′ ii

iiiii yh

bhayxS21+× ih

31+× ih

,224611

111

31

31 ++

+++++ ′+′−′−−=

− i

ii

iiiiiii

i

hy

hyhyyy

hhb

,333211

111

21

21 ++

+++++ ′+′−′−−=

− i

ii

iiiiiii

i

hy

hyhyyy

hha

,3

26

1

11

1

−+′+′

−=+

++

+ i

iiii

ii h

yyyy

ha

4

Полиномиальные сплайны

Пусть на сетке

заданы значения

Определение полиномиального сплайна степени m дефекта k:

( ) ( ) ;,...,0, nixfxy ii ==

−====+== ∑

=++

n

iiniiiih abhbxaxnihxxx

1011

_

,,;,...,1,:ω

( ) ( ) [ ] ;1,0,0,,, 1 −=≥∈∀∈ + nimxxxxPxS iimim

( ) [ ] ;1,, mkСxS kmbam ≤≤∈ −

( ) ( ) ;,,...0, nixfxS ii ==

5

§2 Нелокальные кубические сплайны

Пусть на сетке

заданы значения

Определение:

( ) ( ) ;,...,0, nixfxy ii ==

−====+== ∑

=++

n

iiniiiih abhbxaxnihxxx

1011

_

,,;,...,1,:ω

( ) ( ) [ ] ;1,0,,, 13 −=∈∀∈ + nixxxxPxS iii

( ) [ ] ;2,baСxS ∈

( ) ( ) ;,,...0, nixfxS ii ==

6

Краевые условия1.

2.

3.

4.

( ) ( ) ( ) ( );, bfbSafaS ′=′′=′

( ) ( ) ( ) ( );, bfbSafaS ′′=′′′′=′′

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );,, bSaSbSaSbSaS ′′=′′′=′=

( ) ( ) ( ) ( );00,00 1111 −′′′=+′′′−′′′=+′′′ −− nn xSxSxSxS

ax =0 bxn =1x 1−nx

( )xP 0,3 ( )xP 1,3 ( )xP n 2,3 − ( )xP n 1,3 −

7

8

§3 Построение сплайна через наклоны

Введем обозначения

( ) ( ) ( ) ;, iiiiii myxSyxfxS =′=′==

( ) ( ) ;,,...0,, niMxSmxS iiii ==′′=′

( ) ( ) ( ) ( );1,...,0,

62

32

−=−+−+−′+= nixx

bxx

axxyyxS ii

iiiii

( ) ( ) ( ),

2

2i

iiii

xxbxxayxS

−+−+′=′

,3

26

1

11

1

−++−=+

++

+ i

iiii

ii h

yymm

ha

,2

12

1

1121

−−+=+

++

+ i

iiii

ii h

yymm

hb

9

( ) ( ) [ ]1,, +∈−+=′′ iiiii xxxxxbaxS

( ) ( ) [ ]iiiii xxxxxbaxS ,, 1111 −−−− ∈−+=′′

( ) ( ),00 +′′=−′′ ii xSxS

iiii ahba =+ −− 11

+−−=

−−++

+−− +

+

+

+

−−−−

3

26

2

12

3

26 1

1

1

1

1111 ii

i

ii

ii

iiii

i

ii

i

ii

i

mm

h

yy

hh

yymm

h

mm

h

yy

h

21

21

111

1

1

22

3

2

3

2

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii

i

ii

h

yy

h

yy

h

mm

h

mm

h

mm −

+

+−−

+

+ −+−=+++−+3×

10

−+−=+

++ −

+

+−

++

+2

121

11

11

1 311

2i

ii

i

ii

i

i

iii

i

i

h

yy

h

yy

h

m

hhm

h

m

1

1

+

+

+×

ii

ii

hh

hh

;1;;11

1 =++

=+

=++

+ii

ii

ii

ii

ii hh

h

hh

h µλλµ

−+−=++ −

+

++−

i

iii

i

iiiiiiii h

yy

h

yymmm 1

1

111 32 µλλµ

nn mmmmni ,,...,,;1,...,1 110 −−=ig

11

1 ( ) ( ) ( ) ( );, bfbSafaS ′=′′=′

( ) ( );,0 bfmafm n ′=′=

−−

100...0

2...0

......

0...20

0...02

0...0001

11

22

11

nn λµ

λµλµ

( )

( )

′

′

−

bf

g

g

g

af

n 1

2

1

...

−

n

n

m

m

m

m

m

1

2

1

0

...=

12

2 ( ) ( ) ( ) ( );, bfbSafaS ′′=′′′′=′′

( ) ( ) ( )afmm

h

yy

haxabaaS ′′=

+−−==−+=′′3

26 10

1

01

10000

( )afh

h

yymm ′′−−=+

232 1

1

0110

( ) ( ) ( )bfxbbabS nnn ′′=−+=′′ −−− 111

( )n

nnnnn h

yybf

hmm 1

1 32

2 −−

−+′′=+

( )bfh

yymm

h

mm

h

yy

h n

nnnn

n

nn

n

nn

n

′′=

−−++

+−− −−−− 1111

2

12

3

26

0g=

ng=

13

−−

210...0

2...0

......

0...20

0...02

0...0012

11

22

11

nn λµ

λµλµ

−

n

n

g

g

g

g

g

1

2

1

0

...

−

n

n

m

m

m

m

m

1

2

1

0

...=

14

3. Условие периодичности

( ) ( ) ( ) ( ),..., 11 xfxfbfaf n == +

,..., 110 mmmm nn == +

,...,...,, 112211 µµ === +++ nnn hhhh

121101 2:1 gmmmi =++= λµ

nnnnn gmmmni =++= +− 111 2: λµ112112 gmmm n =++ µλ

nnnn gmmm =++ − 2111 µλ

15

−−

20...

2...0

......

0...20

0...02

...002

11

33

22

11

nn

nn

µλλµ

λµλµ

µλ

−

n

n

g

g

g

g

g

1

3

2

1

...

−

n

n

m

m

m

m

m

1

3

2

1

... =

16

4

обозначим

( ) ( ) ( ) ( );00,00 1111 −′′′=+′′′−′′′=+′′′ −− nn xSxSxSxS

( ) [ ]1,, +∈=′′′ iii xxxbxS

,10 bb =

−−+=

−−+

2

1212221

010121 2

12

2

12

h

yymm

hh

yymm

h,

6

21h×

,12

1 γ=hh

( )

−−−=−−+ 21

2

12

1

012

21

2110 21 γγγ

h

yy

h

yymmm

17

−+−=++=1

011

2

12121101 32:1

h

yy

h

yymmmi µλλµ

( )

−−−=−−+ 21

2

12

1

012

21

2110 21 γγγ

h

yy

h

yymmm

( ) ( ) =+++− 21112

21111 2 γµλγµµ mm

1µ×

( )1

011

2111

2

12 23h

yy

h

yy −++−= µγµλ

18

упростим выражения

=++=+

++=+− 11122

21

21

21

2111 112 γλλλγµµ

h

h

hh

h

( ) 12

12

21

111 1111 γγλ +=+

++=++=

h

hh

hh

h

11112111 γγλλγµλ =+=+

( )111112111 232323 γλγλλγµλ +=+=+

19

Задание: исключая из правого краевого условия и последнего

уравнения системы линейных алгебраических уравнений для

наклонов, самостоятельно получить уравнение

( ) =++ 21111 mm γγ( )

1

011

2

1211 23

h

yy

h

yy −+−+= µγλ

( ) =++ −− 12 1 nnnn mm γγ

nm

( )n

nnn

n

nnnn h

yy

h

yy 11

1

211 23 −

−−

−−−

−+−+= λγµ

1g

1ˆ −ng1−

=n

nn h

hγ

20

+

+

−−

nn

nn

γγλµ

λµλµ

γγ

10...0

2...0

......

0...20

0...02

0...001

22

33

22

11

−

−

1

2

2

1

ˆ

...

ˆ

n

n

g

g

g

g

−

−

1

2

2

1

...

n

n

m

m

m

m

=

21

• Задание:

Построить формулы для вычисления кубического нелокального

сплайна через моменты для всех четырех типов краевых

условий.• Указания.

( ) ( ) ( ) ( );1,...,0,

62

32

−=−+−+−+= nixx

bxx

axxсyxS ii

iiiii

( ) ( ) ( ),

2

2i

iiii

xxbxxaсxS

−+−+=′

( ) ( )( ) ( ) 111,

,

+++ =+=′′==′′−+=′′

iiiiiiii

iii

MhbaxSMaxS

xxbaxS

( ) 11 ++ −= iiii hMMb

22

( ) ,62 1

31

21

11 +++

++ =+++= ii

ii

iiiii yh

bh

ahсyxS

( )11

311

1

21

1

1

62 ++

++

+

+

+

+ −−−−=ii

iii

i

ii

i

iii hh

hMM

h

hM

h

yyc

( )iii

i

iii MM

h

h

yyc 2

6 11

1

1 +−−= ++

+

+

( ) [ ]iii

iiiii xxh

bhaсxS , на ,2 1

2

111 −−−− ++=′

( ) [ ]1, на +=′ iiii xxсxS

23

§4 Задачи дифференцирования и интегрирования

1. Сплайн определен через наклоны.

( ) ,ii mxS =′

( ) ( ) ==∑∫∫−

=

+dxxSdxxS

n

i

x

x

b

a

i

i

1

0

1

( ) ( ) ( ) ( );1,...,0,

62

32

−=−+−+−+= nixx

bxx

axxmyxS ii

iiiii

21

11

1

122 ++

++ −++= i

iii

ii hmm

hyy

( ) ( ) ( ) =−+−+′=′2

2i

iiii

xxbxxayxS

( ) ( ),

2

6

3

26

1

112

1

21

1

1

1

−−+−+

+−−−+=+

++

+

+

+

+

+ i

iiii

i

iii

i

ii

i

ii h

yymm

h

xxmm

h

yy

h

xxm

24

2. Сплайн определен через моменты.

( )

( ) ( )ii

iii

ii

xxh

MMMxS

MxS

−−+=′′

=′′

+

+

1

1

,

( ) ( ) ,1

0

1

dxxSdxxSn

i

x

x

b

a

i

i∑∫∫

−

=

+=

( ) ( ) ( ) ( )2

26

2

1

11

1

1

1 i

i

iiiiii

i

i

ii xx

h

MMxxMMM

h

h

yyxS

−++−++−−=′+

++

+

+

+

31

11

1

242 ++

++ +−+= i

iii

ii hMM

hyy

25

§5 Метод монотонной прогонки

niFuCuBuA iiiiiii ,...,0,11 ==++ +−

,0,00 == nCA

xx0...0

xxx...0

......

0...xxx0

0...0xxx

0...00xx

26

прямой ход прогонки

111 +++ += iiii uu βα

( ) iiiiiiiii FuCuBuA =+++ +1βα

iii

iiii

iii

ii BA

AFu

BA

Cu

+−+

+−= + α

βα 1

1+iα1+iβ

iii

ii BA

C

+−=+ α

α 1

iii

iiii BA

AF

+−=+ α

ββ 1

01000 FuCuB =+

0

01

0

00 B

Fu

B

Cu +−=

0

01 B

C−=α0

01 B

F=β

1,1 −= n,...i

27

обратный ход прогонки

алгоритм: 1. 2.

3.

4.

111 +++ += iiii uu βα

nnnn uu βα =−−1

nnnnn FuBuA =+−1nnn

nnnn AB

AFu

αβ

+−=

0,...,2,1 −−= nni

11, βαn,...i ,2=ii βα ,

nu

0,...,2,1 −−= nniiu

28

§6 Вычислительная устойчивость монотонной прогонки

а) существование и единственность решения системы

в) ни один знаменатель в формулах не равен нулю

с) обеспечивается устойчивость счета по рекуррентным

формулам

,,...,0 ,

,0,0,0 0

niCAB

CACA

iii

nii

=+≥==≠≠

1≤iα

условие монотонности

,,...,0 ,0

,0,0,0 0

niCAB

CACA

iii

nii

=≤++==>>

29

0>≥−≥−≥+ kkkkkkkkk CABABBA αα

0

01 B

C−=α 11 ≤α

ki,i ,...,2 1 =≤α 11 ≤+kα

знаменатель числитель

если нет хотя бы одного строгого неравенства в определении

???0,AВAВAB nnnnnnnn =−=−≥+ αα

Доказательство

!!!,0=−>−≥+ nnnnnnnn AВAВAB αα

30

Устойчивость счета по рекуррентным формулам

Пусть при вычислениях по формулам

ni,i ,...,1 1 =≤α

111~

+++ += mmm uu δ

оценим погрешность

=+= +++ 111~~

mmmm uu βα

111 +++ += iiii uu βα

( ) 111111 ++++++ +=++= mmmmmmm uu δαβδα

mδ

111 +++ ≤≤ mmmm δδαδ