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动态测试与分析技术Dynamic Measurement and

Analysis Technology

余征跃

[email protected]上海交通大学工程力学实验中心

http://cc.sjtu.edu.cn/vibt.html


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第2章动态信号特性分析

被测对象

激振系统

测量系统分析系统

反馈系统

信号是信息的载体。广义的说，信号是随着时间变化的某种物理量。只有变化的量中，才可能含有信息。


2.1 动态信号的分类

1. 确定性

（1）周期信号

(a) 正弦信号

(b) 一般周期信号，复合周期

（2）非周期信号（准周期，瞬态）

2. 非确定性，随机信号

（1）平稳随机信号

（2）非平稳随机信号

可用明确的数学方程精确地描述一个物理现象的动态过程

演示者

演示文稿备注

当信号是一确定的时间函数时，给定某一时间值，就可以确定一相应的函数值。这样的信号称为确定信号。随机信号不是确定的时间函数，只知道该信号取某一数值的概率。带有信息的信号往往具有不可预知的不确定性，是一种随机信号。除实验室发生的有规律的信号外，通常的信号都是随机的，因为确定信号对受信者不可能载有信息。


2.1 动态信号的分类

连续信号

离散信号

模拟信号

数字信号

f(t)

0 t 0 t

f(t)f0f1

f2

0 1 2 3 4-1 t

f(tk)

(3)(2)

(4.5)

(1.5)

(6)

(-1)

f(t)

0 t 0 t

f(t)f0f1

f2

0 1 2 3 4-1 t

f(tk)

(3)(2)

(4.5)

(1.5)

(6)

(-1)

演示者

演示文稿备注

如果在某一时间间隔内，对于一切时间值，除若干不连续点外，该函数都能给出确定的函数值，此信号称为连续信号。和连续信号相对应的是离散信号。代表离散信号的时间函数只在某些不连续的时间值上给定函数值。一般而言，模拟信号是连续的（时间和幅值都是连续的），数字信号是离散的。连续信号模拟信号


2.2 确定性动态信号的时域和频域特性

2.2.1 正弦信号

( )0( ) sin 2x t X f t θ= π +

0

1pT

f=



2.2.2 一般周期信号

( )( ) 1, 2,3,px t x t nT n= ± = L

表现：周期是的正弦波（称为基波）的整数倍的波形（称为谐波）。

pT

pT nT=周期：

演示者

演示文稿备注

用确定的时间函数表示的信号，可以分为周期信号和非周期信号。当且仅当上式则信号f(t)是周期信号，式中常数T 是信号的周期。换言之，周期信号是每隔固定的时间又重现本身的信号，该固定的时间间隔称为周期。非周期信号无此固定时间长度的循环周期。


三角傅立叶Fourier级数展开：

( )01 1

1( ) cos 2 sin 2 1,2,3,

2 n nn

ax t a f t b f t n∞

=

= + π + π =∑ L



11

p

fT

= 称为基频

10

2 ( ) cos 2 , 0,1,2,pT

np

a x t nf tdt nT

= π =∫ L

10

2 ( )sin 2 , 0,1, 2,pT

np

b x t nf tdt nT

= π =∫ L


三角傅立叶Fourier级数展开的另一种形式：

( )0 11

( ) cos 2 1,2,3,n nn

x t X X nf t nθ∞

=

= + π − =∑ L



00 2

aX =

2 2 , 1, 2,3,n n nX a b n= + = L

1tan , 1,2,3,nn

n

b na

θ − = =

L

幅值

相角

静态分量，也称直流量

周期信号由静态分量和无限个称为谐波的简谐分量组成，频率是基频的整数倍。




离散谱特征


信号合成与分解


方波


带有直流分量的信号



2.2.3 非周期信号

准周期信号，由周期信号混合组成，但无公共整数倍的周期，但是能用频域的离散谱表征。

瞬态信号，能用时变函数描述，但无周期特征，不能用频域的离散谱表征。：

瞬态信号可用Fourier积分表示成连续谱

2( ) ( ) j ftX f x t e dt∞ − π

−∞= ∫

( )( ) ( ) j fX f X f e θ−=


指数信号

瞬态信号

矩形脉冲信号


2.3 随机信号的统计特性

随机动态信号是指一类信号数据不能用精确的数学关系式描述，因为这种信号的每次观察都不一样。任何一次观察只代表许多可能的结果之一。这些信号在性质上是随机的，只能用概率术语和统计平均来描述。



2.3.1 随机过程

样本函数或样本记录：

描述随机信号的单个时间历程，称为样本函数或样本记录

随机过程：

表示随机信号的全部样本函数的集合，称为随机过程

随机过程分为：

平稳随机过程，又分各态历经和非各态历经

非平稳随机过程

如何判断？


2.3.1 随机过程随机过程的统计指标

总体平均值，又称均值

随机过程在某一时刻的均值（一阶矩）可将总体中各样本函数在的瞬时值相加，然后除以样本函数的个数而得到

随机过程两不同时刻之值的相关性（二阶矩）又称自相关函数

用和两时刻瞬时值乘积的总体平均值得到


1t1t

∑=

∞→=

N

kkNx tx

Nt

111 )(1lim)(µ

1t τ+1t

∑=∞→

+=+N

kkkNx txtx

NttR

11111 )()(1lim),( ττ


2.3.1 随机过程随机过程的统计指标

，随变化，非平稳过程

，不随变化，弱平稳过程，或平稳过程

各态历经过程：

若平稳随机过程的任何单个样本时间平均所得的均值和自相关函数都等于由全体样本集平均所得的相应值。

这样，各态历经随机过程的均值、自相关函数等所有特性可用单个样本函数的时间平均来描述。


)( 1txµ 1t),( 11 τ+ttRx

xx t µµ =)( 1

)(),( 11 ττ xx RttR =+

)( 1txµ 1t),( 11 τ+ttRx



2.3.2 均方值、均值与方差假定随机信号是平稳的和各态历经的，从而可用单个样本记录的时间平均

来研究它的特性。

均方值，总体强度（平均功率或能量）

均方值的正平方根称为均方根值（RMS，root mean square ）

均值，静态分量

方差，动态分量（波动分量）

三者关系

∫∞→=

T

Tdttx

Tlin

x 0

22 )(1ψ

∫∞→=

T

Tdttx

Tlin

x 0)(1µ

[ ]∫ −=∞→

T

xTdttx

Tlin

x 0

22 )(1 µσ

222xxx

µψσ −=

方差的正平方根称为标准差



2.3.3 概率密度函数

概率密度函数是为了表示瞬时数据落在指定幅值范围的概率

TT

xxtxxob x

T ∞→=+≤< lim])([Pr ∆




概率密度函数定义为：

瞬时值小于或等于某值的概率定义为概率分布函数或累计概率分布函数

用概率密度函数表示均值和均方值

∆=

∆∆+≤<

=∞→→∆→∆ T

Txx

xxtxxobxp x

Txxlim1lim])([Prlim)(

00

)(tx x

( ) ξξ dpxtxobxPx

∫ ∞−=≤= ])([Pr)(

( )dxxxpx ∫∞

∞−=µ

( )dxxpxx ∫

∞

∞−= 22ψ



2.3.4 自相关函数，时域分析

随机信号的自相关函数是描述一个时刻的瞬时值与另一个时刻的瞬时值之间的依赖关系

( ) ( ) ( )dttxtxT

RT

Tx ∫ +=∞→ 0

1lim ττ




工程应用：

（1）根据自相关图的形状判断原信号的性质

正弦信号自相关图仍为同周期的正弦函数；随机信号自相关图，但均值等于零时，，则

（2）用自相关函数检测混在随机过程中的确定性信号

∞→τ ( ) 0→τxR



2.3.5 自功率谱密度函数，简称自谱，频域分析定义：随机信号的均方值的谱密度描述信号在频率结构也反

映了信号的能量在各个频率上的分析，是随机过程的最重要的特征参数之一。

随机信号的均方值与功率谱密度函数的关系为：

均方值等于功率谱密度函数曲线下的总面积。

( ) ( ) ( )∫∫∞∞

∞−

− ==0

2 2cos42 ττπτττ τπ dfRdeRfG xfj

x

( )∫∞

=0

2 dffGxψ

∫∞→=

T

Tdttx

Tlin

x 0

22 )(1ψ 时域分析

时域表达式与频域表达式的区别


2.4 随机信号的联合特性

2.4.1 联合概率密度函数

两个随机信号的样本记录的联合概率密度函数，代表两个样本记录在某瞬间同时落在某对指定幅值范围内的概率。



2.4.1 联合概率密度函数

联合概率密度：

联合概率密度分布函数：

若两个随机信号是统计独立，则联合概率密度函数为：

∆∆

=∆∆

∆+≤<∆+≤<=

∞→→∆→∆

→∆→∆ T

Tyxyx

yytyyxxtxxobyxp yx

Tyx

yx

,

00

00

lim1lim])(,)([Prlim),(

( ) ηξηξ ddpytyxtxobyxPyx

∫∫ ∞−∞−=≤≤= ,])(,)([Pr),(

)()(),( yPxPyxP =



2.4.2 互相关函数

工程应用：

（1）根据互相关函数确定信号通过时间

( ) ( ) ( )dttytxT

RT

Txy ∫ +=∞→ 0

1lim ττ



2.4.2 互相关函数工程应用：

（2）信号传递通道的确定

互相关函数建立在时间滞后，若振动或噪声信号通过几个通道传至测点，则相关图对各传递通道滞后时间出现峰值，可以根据滞后时间和峰值，判断对测点传递效果明显的通道。



2.4.2 互相关函数工程应用：

（3）检拾和回收隐藏在外界噪声中的信号

周期信号在任何给定的输入噪声比和样本长度下，互相关函数提供的输出信噪比，要比自相关函数提供的输出信噪比高。



2.4.3 互功率谱密度函数

互谱密度函数与自谱密度函数有下列关系

并可用一个相关性系数来描述，取决于频率，通常称为相干函数，又称为凝聚函数

其物理意义，反映了信号y(t)在数量上多大程度来源于信号x(t)。

( ) ( ) ττ τπ deRfG fjxyxy ∫

∞

∞−

−= 22

)()()(2

fGfGfG yxxy ≤

10,1)()(

)()( 2

2

2 ≤≤≤= xyyx

xyxy fGfG

fGf γγ



2.4.3 互功率谱密度函数功率谱密度函数的工程应用：

（1）大型结构固有频率的测定

（2）模拟随机振动环境

（3）寻找振源与噪声源

（4）用于机器设备的振动监视与故障检测

（5）研究机械或电气系统的特性

（6）研究振动的类型

（7）功率谱阵的应用

)()()( 2 fGfHfG xy =

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