dynamic of structures_appointments (in portuguese)

Dinâmica de Estruturas 1

Dinâmica de Estruturas

João J. R. T. Azevedo

Jorge Miguel S. F. M. Proença

1991


1 - OSCILADOR LINEAR DE 1 GRAU DE LIBERDADE 4 1.1 Reposta em Regime livre 4 1.2 Resposta em Regime Forçado 8 1.2.1 Acções Harmónicas 8 1.2.2 Acções Periódicas 13 1.2.3 Acções não Periódicas. Integral de Duhamel 14 1.2.4 Acções não Periódicas. Método de Iwan 16 1.2.5 Resposta a Movimento do Solo 19 1.3 Espectro de Resposta 24 2 - OSCILADORES DE VÁRIOS GRAUS DE LIBERDADE 27 2.1 Método de Rayleigh 28 2.1.1 Sistemas contínuos 29 2.1.2 Sistemas discretos 34 2.2 Determinação de Frequências 40 2.3 Determinação de Modos de Vibração 46 2.4 Análise Modal 49 2.4.1 Condições de Ortogonalidade 49 2.4.2 Equações em Coordenadas Modais 51 2.4.3 Resposta em Regime Livre 54 2.4.4 Reposta a Forças Aplicadas 56 2.4.5 Resposta a Acções Sísmicas 59 2.5 Método de Stodola 60 2.6 Matriz de Massas Consistente 65 3 - ANÁLISE SÍSMICA 67 3.1 Resposta Dinâmica a uma Aceleração de Base 67 3.2 Análise Sísmica por Espectro de Resposta 68 3.3 O Método CQC de Combinação Modal 77 3.4 A Adaptação para a Consideração de Movimentos de Base Independentes 79 3.4.1 Necessidade de Adaptação 79 3.4.2 Eq. de Mov. para Excitações Diferentes nos Vários Suportes 79 3.4.3 Os Deslocamentos Pseudo-estáticos 82 3.4.4 Resposta da Estrutura 83

BIBLIOGRAFIA 85


A organização clássica da dinâmica de estruturas envolve o estudo de sistemas de 1 g.l. - grau de liberdade - seguido do estudo de sistemas de vários g.l. procurando evidenciar nestes estudos a formulação da resposta em regime livre, resposta a excitações determinísticas (harmónicas, periódicas e não periódicas) e resposta a excitações estocásticas. Antes de nos debruçarmos sobre estes aspectos vamos abordar os seguintes conceitos:

(1) Critérios de discretização

(2) Formulação das equações de movimento A representação numérica dum sistema sujeito a acções com carácter dinâmico envolve

sempre certas hipóteses simplificativas com particular relevo para aquelas decorrentes do método de discretização adoptado. De facto, apresentando os sistemas reais infinitos graus de liberdade, é normalmente necessário proceder a hipóteses simplificativas no sentido de os modelar como sistemas de finitos graus de liberdade. Neste âmbito é corrente distinguir os seguintes critérios de discretização:

(i) Procedimento de concentração de massas. Consiste em localizar as características de

inércia do sistema real em certos pontos criteriosamente escolhidos. O nº de graus de liberdade do sistema resulta então igual ao nº de deslocamentos independentes dos pontos onde se procedeu à concentração de massas.

Considere-se como ilustração o sistema constituído por uma viga contínua de vão l,

massa uniformememte distribuída de m,_

e peso W a meio vão. Optando por concentrar a massa estrutural a 1/4, 1/2 e 3/4 do vão obtém-se:

l

W m_

1 2 3

l / 4 l / 4 l / 4 l / 4

em que

m 1 = 4

m l m 2 =

m l +

gW

m 3 = 4

m l

Desprezando simul

de rotação das massas, overticais dos pontos selec

(ii) Conceito de cinerciais razoavelmente falível. Uma alternativa cdum conjunto pré-determ

24

taneamente a deformabilidade axial da viga bem como as inércias sistema em causa reduz-se a um sistema de 3 g.l. (deslocamentos cionados).

oordenadas generalizadas. Em sistemas com as características distribuidas no seu domínio, o método anterior resulta muito onsiste em assimilar a deformada do sistema à combinação linear inado de funções de forma ψn(x). Exige-se a estas a verificação das


condições de apoio específicas do problema bem como a continuidade nos troços em que o sistema real apresente continuidade de deslocamentos. Os graus de liberdade, designados de coordenadas generalizadas, já não representam explicitamente deslocamentos mas revestem-se aqui do significado de amplitude Zn das funções de forma seleccionadas

q(x) = ∑n

Zn ψn(x)

( 1 )

Para o exemplo utilizado em (i) admitindo funções de forma correspondentes ao desenvolvimento da deformada em série de Fourier restrita aos N primeiros termos obtém-se:

q(x) = ∑n=1

N

Zn sen( l

2nπx )

(iii) Método dos elementos finitos. Neste método o sistema é subdividido num nº

discreto de elementos finitos (elementos de barra, de casca, de placa, etc..) delimitados por nós. Os graus de liberdade, neste método, são então as componentes dos deslocamentos nodais e a determinação dos deslocamentos em pontos que não os nodais obtém-se através de funções de forma adequadas.

q(x) = ∑n

qn ψn(x)

( 2 )

em que qn representa a nésima coordenada generalizada e ψn(x) a respectiva função

interpoladora(corresponde à configuração deformada do sistema quando se impõe valor unitário para a nésima coordenada generalizada e valor nulo para as restantes). No caso se tratar duma estrutura recticulada a função interpoladora corresponde a um polinómio cúbico hermitiano. Este método que combina as técnicas de ambos os anteriores apresenta a vantagem de fácil automatização sendo consequentemente aquele que maior aplicação apresenta em sistemas de engenharia.

A formulação das equações de movimento ou de equilíbrio dinâmico pode ser feita de

três formas diferentes. A primeira estabelece o equilíbrio com base no princípio de d'Alembert ou,

equivalentemente, através da 2ª lei de Newton. Este princípio diz-nos que quando uma

massa m é actuada por uma força Q,∅

(t) desenvolvem-se forças de inércia proporcionais à

aceleração da massa q,¨,∅(t) tal que

Q→

(t) - m q→

(t) = 0→..

(3)


Refira que a resultante das forças aplicadas combina as forças internas elásticas, forças de atrito viscoso e forças externas.

A segunda formulação baseia-se no princípio dos trabalhos virtuais e diz-nos que se um sistema sujeito a um conjunto de forças está em equilíbrio, o trabalho realizado por todas as forças é nulo quando este é sujeito a um campo de deslocamentos virtuais compatíveis com as ligações existentes. Evidentemente ao equacionar o equilíbrio dinâmico, o trabalho produzido pelas forças de inércia tem de ser contabilizado.

Uma terceira hipótese, baseia-se no princípio de Hamilton e tem a sua aplicação

prática nas equações de equilíbrio de Lagrange. O princípio de Hamilton traduz-se por

∫t1

t2

δ(C-P) dt + ∫t1

t2

δWnc dt = 0

( 4 )

em que C é a energia cinética do sistema, P a energia potencial, incluindo a energia de deformação e a energia potencial de quaisquer forças externas conservativas, Wnc o trabalho

realizado pelas forças não conservativas que actuam o sistema incluindo o amortecimento e forças externas arbitrárias, e δ indica uma variação ao longo do tempo. Refira-se que relativamente às formulações anteriores o princípio de Hamilton não depende implicitamente das forças de inércia (expressas em C), das forças de atrito (através de Wnc) e

forças de deformação internas (através de P).

Se a energia e o trabalho realizado puderem ser expressos em termos de coordenadas generalizadas qi a equação (4) pode ser reescrita sob a forma (aplicável a sistemas de vários

graus de liberdade)

ŽtŽ

(Žqi

ŽC ) -

Žqi

ŽC +

Žqi

ŽP = Qi .

( 5 )

em que Qi é a força externa correspondente à coordenada generalizada qi .

As equações (5) são conhecidas como equações de Lagrange e têm inúmeras aplicações

em engenharia estrutural e mecânica.


1 - Oscilador linear de um grau de liberdade

Se se considerar que um sistema pode ser reduzido a uma massa concentrada num único ponto e que essa massa pode ter apenas uma componente de deslocamento, diz-se que estamos perante um oscilador com um grau de liberdade. Na figura 1.1 mostram-se exemplos de osciladores de um grau de liberdade.

q

q

q

Fig. 1.1 - Modelos de osciladores com um grau de liberdade

A equação de movimento obtida por qualquer dos princípios atrás referidos e

correspondente à discretização do sistema por qualquer dos procedimentos descritos reduz-se sempre à seguinte equação diferencial linear de 2º grau não homogénea:

m q + c q + k q = Q(t) .. .

(6)

em que m, c e k são respectivamente a massa, o amortecimento e a rigidez do sistema, enquanto que Q(t) traduz a acção, variável no tempo, responsável pelo movimento.

1.1 - Resposta em regime livre Analize-se seguidamente a resposta dum oscilador de 1 g.l. na ausência de acção

exterior. A equação de movimento é então:

m q + c q + k q = 0 .. .

(7)

a qual, dividindo ambos os membros por m ,se reescreve

q + 2ζp q + p2 q = 0.. .

(8)

em que as variáveis p e ζ se obtêm através de


p = mk

ζ = cc

c =

2mpc

em que p -frequência própria angular não amortecida- traduz a frequência da

resposta na ausência de amortecimento e ζ -coeficiente de amortecimento- representa o amortecimento adimensionalizado ao amortecimento crítico cc. A frequência própria cíclica

f relaciona-se com a frequência angular p da seguinte forma

f = 2π

p =

2π

1

mk

A solução da equação (8) depende do valor de ζ ser inferior, igual ou superior à

unidade, situações que se designam respectivamente de amortecimento subcrítico, crítico e sobrecrítico.

No caso de amortecimento subcrítico (ζ<1) a equação (8) admite a seguinte solução

q(t) = e- ζpt (A sen(pd t) + B cos(pd t)) (9a)

ou, indiferentemente

q(t) = e- ζpt (q cos(pd t - θ))

(9b)

em que pd-frequência amortecida- se relaciona com p e ζ através da seguinte

expressão

pd = p 1-ζ2

(1 0 )

Observe-se da equação (10) que, dado nos sistemas estruturais reais que serão estudados, o factor de amortecimento raramente exceder 10-15%, se pode assimilar pd a p.

As variáveis A e B ou q,_

e θ traduzem as condições iniciais que, no presente caso, são as únicas responsáveis pelo movimento. No caso mais corrente de as condições iniciais

corresponderem a deslocamento q0 e velocidade inicial q,. 0 no instante t=0 obtém-se

A = pd

q0 + ζp q0 .

( 1 1 a )

B = q0 (1 1 b )

ou

q = pd

(q0 + ζp q0)2 + pd

2 q0. 2

_

( 1 2 a )


θ = arctg(pd q0

q0 + ζp q0).

( 1 2 b )

Na figura 1.2 mostra-se a forma geral da equação (9a ou 9b). Nela se pode ter uma ideia do significado das constantes pd e ζ .

Resposta em Regime Livre Amortecido

t

q(t)

Td

q e- ζpt

- q e- ζpt

Fig. 1.2 - Gráfico de vibração livre amortecida

Embora não se trate em rigor dum movimento periódico observa-se que os máximos/mínimos relativos da resposta se verificam em instantes afastados de múltiplos de Td-período amortecido- que se relaciona com a frequência amortecida da seguinte forma

Td = pd

2π =

p 1-ζ2

2π

( 1 3 )

Como exemplo, suponhamos que para o terceiro modelo indicado na figura 1.1, o

peso do piso rígido é de 300 KN, para cada pilar (L=3.5 m), I=0.00213 m4 e que o módulo de elasticidade é de 2.9 *107 KN / m2. Assim a rigidez dos dois pilares é k=2 *12 EI / L3 ou seja k=34577 KN/m e a massa m = w / g vale 30.6 KN seg2/m. O período de vibração é então:

T d = 2 π3 4 5 7 73 0 . 6

= 0 . 1 8 7 s

A observação da figura 1.2 evidencia também uma forma simples de determinar o

coeficiente de amortecimento de um sistema em vibração em regime livre. Considerando que os valores máximos da resposta se registam quando o termo harmónico que afecta a


exponencial negativa na equação (9b) é unitário, a razão entre as amplitudes máximas para os ciclos i e i+j é dada por

qi+jm ax

qim ax

= e

- ζ p Td (i+j) q

e- ζ p Td i q

= eζ p Td j

( 1 4 )

Assimilando p a pd e afectando de logaritmo neperiano ambos os membros desta

igualdade obtém-se a seguinte expressão:

2πζ = j1

ln(qi+j

max

qimax

)

( 1 5 )

É corrente designar-se a quantidade 2πζ por decremento logarítmico. A expressão (15) permite a partir da observação dos picos da resposta de um sistema de 1 g.l., quando libertado de uma posição deformada, determinar experimentalmente o valor do coeficiente de amortecimento.

Observemos agora o que se passa no caso de ζ=1 -amortecimento crítico-. Neste caso a

solução da equação (8) é da forma

q(t) = e- ζpt (A t + B)

(16)

em que A e B traduzem as condições iniciais de movimento. Por observação da equação (16) conclui-se que a resposta do sistema já não é periódica e que não há movimento vibratório. cc representa assim o menor valor de c para o qual não existe um

movimento oscilatório. No caso de ζ>1 -amortecimento sobrecrítico- a solução da equação (8) é de forma

q(t) = e- ζpt (A senh(pt) + B cosh(pt))^ ^ (17)

em que p,^ se relaciona com p através de

p = p ζ2-1^ o que corresponde também a uma resposta não periódica e sem movimento vibratório.


1.2 - Resposta em regime forçado Pretende-se neste subcapítulo determinar a resposta de sistemas de 1 g.l. a excitações

determinísticas. A equação do movimento é nestas circustâncias a equação (6) em que o termo independente não nulo Q(t) representa a excitação, supostamente conhecida, aplicada ao nível do g.l.. Procede-se em seguida ao estudo das situações em que esta excitação é harmónica, periódica ou não periódica.

1.2.1 - Acções harmónicas Suponhamos agora que a estrutura é actuada por uma acção harmónica aplicada ao

nível do grau de liberdade com a forma

Q(t) = Q cos(ωt)

(18)

Neste caso a equação de movimento toma a forma

m q + c q + k q = Q cos(ωt).. .

(19)

ou, dividindo ambos os membros por m

q + 2ζp q + p2 q = mQ cos(ωt).. .

( 2 0 )

A solução desta equação diferencial é composta pela sobreposição da solução geral da equação homógenea correspondente (da forma da equação 9, 16 ou 17) e da solução particular da equação não homógenea (equação 20) que, no presente caso, tem a forma

qp(t) = C cos(ωt) + D sen(ωt)

(21 a)

ou alternativamente

qp(t) = qp cos(ωt-φ)

(21 b)

É corrente designar a solução geral como de regime transitório e a solução particular como de regime permanente. De facto, independentemente do valor de ζ, a parcela de regime transitório atenua-se ao longo do tempo enquanto que o regime permanente fica invariável, pelo que a resposta total é redutível ao regime permanente. A função da resposta em regime transitório destina-se então a, conjugada com a resposta em regime permanente, verificar as condições iniciais específicas do problema em estudo.


Substituindo a equação 21 a) na equação 20 e identificando os termos em sen(ωt) e cos(ωt) (deixa-se ao cuidado do leitor este exercício analítico) obtêm-se os valores de C e D.

C = kQ

(1-ω2)2 + (2ζω)2

1 - ω2

( 2 2 a )

D = kQ

(1-ω2 )2 + (2ζω )2

2ζ ω

( 2 2 b )

com

ω = pω

Duma forma similar considerando a solução particular no formato da equação 21 b)

obtém-se

qp = β1 kQ

( 2 3 a )

com β1, também designado de factor de amplificação dinâmica, dado por

β1 = (1-ω2 )2 + (2ζω)2

1

( 2 4 )

e φ , que representa o desfasamento entre a acção e a resposta, dado por

φ = arctg(1-ω2

2ζω )

( 2 3 b )

A figura 1.3 mostra o andamento geral do factor de amplificação dinâmica β1 em

função do valor do quociente ω,_ e do coeficiente de amortecimento ζ .


ζ=0.6

ζ=.05

ζ=0.2

ζ=0.3ζ=0.4

ζ=0.5ζ=0.7

ζ=0.8

ζ=0.1

3.02.52.01.51.00.50.00

1

2

3

4

5

6Função de Transferência 1

ω

β1

Fig. 1.3 - Factor de amplificação dinâmica - β1

Pela análise da fig. 1.3 pode constatar-se que o factor de amplificação dinâmica toma

um valor de pico para um valor de ω,_

aproximadamente igual a 1 (na realidade para ω,_

≈ 1-2ζ2 ). A esse fenómeno, que faz corresponder um grande factor de amplificação dinâmica para valores da frequência de excitação ω que correspondem ao valor da frequência própria da estrutura p, dá-se o nome de ressonância. Fica assim bem clara a importância de correctamente determinar a frequência própria da estrutura bem como a importância de conhecer o melhor possível o conteúdo de frequência das acções dinâmicas que a actuam.

Outra constatação a fazer da observação da curva β1 refere-se ao comportamento

desta para os valores extremos de ω,_

. De facto, para ω,_ <<1 , as diversas curvas

apresentam valores quase unitários, situação explicável pelo facto de que sendo p>>ω as forças de inércia são desprezáveis quando comparadas com as forças de restituição pelo que

a resposta do sistema é praticamente estática. No outro extremo, isto é para ω,_ >>1, as

forças de inércia apresentam-se bastante superiores às de restituição pelo que o deslocamento exibido pelo sistema é inferior ao apresentado em regime estático.

A curva de β1 , generalizável a sistemas de vários g.l., fundamenta diversos métodos

de identificação experimental das características dinâmicas de sistemas estruturais. Com efeito é relativamente simples obter experimentalmente a curva β1 para um dada estrutura,

bastando para tal efeito a aplicação de excitação harmónica com diversas frequências ω no g.l. pretendido, e determinação dos valores discretos da curva β1. A frequência própria do sistema é então determinada pela ordenada do "pico" da curva experimental de β1, enquanto

que para a determinação do coeficiente de amortecimento se definem dois métodos.


O primeiro, designado de método da amplitude de pico, faz uso da expressão

simplificada de β1 para ω,_

=1.

β1(ω=1) = 2ζ

1

ou explicitando em ordem a ζ

ζ = 2β1(ω=1)

1

( 2 5 )

A grande dificuldade da aplicação deste método reside no facto de depender quase exclusivamente da identificação da frequência de ressonância.

No sentido de obstar ao inconveniente apontado pode aplicar-se o método da meia

potência que depende não tanto da frequência de ressonância quanto da forma da curva β1

na vizinhança desta. Com efeito é intuitivo que o "fecho" da curva β1 na vizinhança da

ressonância é tanto mais acentuado quanto maior fôr o coeficiente de amortecimento. Em

particular, considerando como valores de referência os valores ω,_

1 e ω,_

2 para os quais β1 é igual a 1/ 2 do valor de pico, obtém-se

2

1 2ζ

1 =

(1-ω2 )2 + (2ζω)2

1

ou seja

ω2 = 1-2ζ2± 2ζ 1+ζ2

ou ainda para pequenos valores de ζ

ω2 - 1-2ζ2± 2ζ

pelo que desprezando mais alguns termos de segunda ordem

ω = 1 - ζ2 ± ζ

que admite, como esperado, duas soluções

ω1 = 1 - ζ2 - ζ

ω2 = 1 - ζ2 + ζ

o que conduz a que

ζ = 21

(ω2 - ω1)

(

2 6 )


Poder-se-á argumentar que nem uma estrutura real pode ser representada por um modelo de um grau de liberdade, nem as forças dinâmicas aplicadas podem ser descritas por uma acção harmónica do tipo da descrita na equação (18). Na prática, conclui-se que os resultados obtidos para modelos de um grau de liberdade podem ser, em certas condições, extrapolados para modelos de vários graus de liberdade. De facto, não só qualquer acção dinâmica fisicamente realizável pode ser decomposta numa soma de funções do tipo da descrita na equação (18) como se pode reescrever as equações de movimento dum sistema de vários g.l. como várias equações de 1 gl.. A aplicação exaustiva do princípio da sobreposição dos efeitos, válido na classe de sistemas lineares à qual nos restringimos, permite então a extensão dos estudos até aqui desenvolvidos a sistemas/acções mais complexos.


1.2.2 - Acções periódicas A resposta de um oscilador a acções periódicas pode ser facilmente deduzida a partir

da solução obtida para a resposta a acções harmónicas. Com efeito qualquer acção periódica Q(t) com período T e com um mínimo de

regularidade que as funções fisicamente realizáveis apresentam, pode ser desenvolvida em série de Fourier, ou seja, pode ser substituida pela soma de componentes harmónicas de períodos múltiplos do período de referência

Q(t) = 2a0 + ∑

i=1

�

(ai cos(T

2iπ t) + bi sen(

T2iπ

t))

( 2 7 )

em que os termos ai e bi designados por coeficientes de Fourier se calculam por

ai = T2

∫0

T

Q(t) cos(T

2iπ t) dt (i=0,1,2,. . ,�)

( 2 8 a )

bi = T2

∫0

T

Q(t) sen(T

2iπ t) dt (i=1,2,. . ,�)

( 2 8 b )

É evidente da expressão (28 a) que o termo a0/2 representa a parcela estática,

responsável pelo valor médio não nulo da excitação.

Pelo princípio de sobreposição (admitindo um oscilador linear) a resposta do sistema

pode ser obtida a partir da sobreposição das respostas a cada uma das componentes harmónicas da excitação.

Assim, a resposta em regime permanente é dada por

q(t) = k1 { a0 + ∑

i=1

�

(ai β1i cos(ωit - φi) + bi β1i sen(ωit - φi)}/2

( 2 9 )

sendo β1i dado pela equação (24)

β1i = β1(ω=Tp2iπ

)

e

ωi = T

2iπ

e φi dado pela equação (23 b)

φi = φ(ω=Tp2iπ

)


1.2.3 - Acções não periódicas. Integral de Duhamel. Considere-se ainda o sistema de um grau de liberdade sujeito a uma força arbitrária,

não periódica Q=Q(τ). Note-se a utilização de uma variável τ diferente de t para designar a variabilidade da força ao longo do tempo. A equação do movimento pode assim ser escrita

m q + c q + k q = Q(τ) .. .

(6 rep)

A força por unidade de massa Error!, provoca ao longo de um intervalo de tempo

elementar dτ um impulso, que por sua vez provoca uma variação elementar da velocidade do sistema

dq = m

Q(τ) dτ.

( 3 0 )

A resposta incremental de um sistema a uma velocidade incremental inicial dq,. aplicada no instante τ , pode ser obtida no instante t por (ver equações 9a), 11a) e 11b))

dq = e- ζp(t-τ) mpd

Q(τ) sen(pd(t-τ)) dτ

( 3 1 )

Dado que cada impulso incremental E dτ para 0<τ<t provoca uma resposta

incremental no instante t, a resposta à força genérica é dada, no instante t por rror!

q(t) = m pd

e- ζpt

∫0

t

e ζpτ Q(τ) sen(pd(t-τ)) dτ

( 3 2 )

A equação (32) é vulgarmente referida como o integral de Duhamel. Outra forma de apresentação do integral de Duhamel que faz intervir o conceito de função resposta ao impulso instantâneo unitário h(t-τ) é a seguinte

q(t) = ∫0

t

Q(τ) h(t-τ) dτ

( 3 3 )

com

h(t-τ) = m pd

e- ζp(t-τ)

sen(pd(t-τ))

( 3 4 )

em que o significado de h(t-τ) é obviamente o da resposta no instante t a um impulso unitário aplicado no instante τ. Refira-se apenas que a expressão (33) é também designada por integral de convolução porque apresenta a resposta do sistema como resultante da


convolução, no domínio do tempo, da acção e da função resposta ao impulso instantâneo unitário.

De salientar que a integração a efectuar de acordo com a equação (32) é feita no

domínio de τ e não de t, significando que é feita no domínio da variável que representa a acção e não a resposta.

Deixa-se ao cuidado do leitor deduzir a expressão que permite obter a velocidade do

sistema q,. , em função de uma força genérica Q=Q(τ).

A expressão genérica da resposta de um sistema sujeito a uma força genérica, e ainda a um deslocamento e velocidade iniciais é dada por:

q(t) = m pd

e- ζpt

∫0

t

e ζpτ Q(τ) sen(pd(t-τ)) dτ + e- ζpt (q0 cos(pdt) + pd

q0+ζpq0 sen(pdt)).

( 3 5 )

expressão que é conhecida como forma geral do integral de Duhamel. Como exemplo da aplicação do integral de Duhamel iremos analisar a resposta de um

sistema de um grau de liberdade, a uma força Q definida como Q(τ)=Q0+Q,_ τ

A resposta é dada por

q(t) = m pd

e- ζpt

∫0

t

e- ζpτ(Q0 + Qτ) sen(pd(t-τ)) dτ =

= k

Q0 (1-e- ζpt(cos(pdt) + ζ sen(pdt)) + kQ(

p-2ζ

+ e- ζpt(p

2ζcos(pdt) - pd

(1-ζ2) sen(pdt))

d d

( 3 6 )

) )


1.2.4 - Ações não periódicas. Método de Iwan Em muitas situações, não é possível representar uma acção através de uma expressão

analítica, e vulgarmente são conhecidos apenas alguns dos seus valores ao longo do tempo. Considere-se a situação em que se dispõe apenas dos valores da acção em instantes

igualmente espaçados no domínio do tempo. Nestas circunstâncias pode proceder-se a uma interpolação entre os pontos conhecidos, a qual pode ser efectuada quer admitindo valores constantes num intervalo de tempo ∆t (equidistância entre abcissas) centrado nos pontos conhecidos, quer utilizando interpolação linear ou de grau superior.

Examinaremos o caso em que se admite interpolação linear entre os pontos conhecidos

(fig. 1.4).

Q(t)

ti-1 ti ti+1

Qi-1

QiQi+1

t

Fig. 1.4 - Função arbitrária (Interpolação linear)

Neste caso, a resposta no instante ti depende da resposta no instante ti-1 e da força actuante entre ti-1 e ti (intervalo de tempo ∆ti).

Tendo em conta a equação (35) que representa a forma geral do integral de Duhamel, a

equação (36) que representa a resposta de um sistema a uma força do tipo da apresentada na figura 1.4 e a equação similar à equação (36) para a resposta em termos da velocidade, poder-se-ia concluir que a resposta do sistema no instante ti é , no caso de um sistema não

amortecido, dada por


qi = qi-1 cos(p ∆ti) + p

qi-1 sen(p ∆ti) + k

Qi-1 (1-cos(p ∆ti)) + pk∆ti

∆Qi (p ∆ti - sen(p ∆ti)) .

( 3 7 a )

qi = -qi-1 p sen(p ∆ti) + qi-1 cos(p ∆ti) + k

Qi-1 p sen(p ∆ti) + k ∆ti

∆Qi (1-cos(p ∆ti)). .

( 3 7 b )

No caso de estarmos perante um sistema com amortecimento, um método numérico conhecido por método de Iwan, permite de uma forma similar à apresentada nas equações (37 a) e (37 b) determinar a resposta no instante ti (deslocamento e velocidade) em função dos valores da resposta no instante ti-1 , do valor da acção nos dois instantes e do intervalo

de tempo ∆t, que toma neste caso um valor constante. O algoritmo de cálculo que pode ser apresentado de forma matricial consiste na

aplicação da equação q i

q i.

q i-1

q i-1.

b 1 1 b 1 2

b 2 1 b 2 2

a 1 1 a 1 2

a 2 1 a 2 2

Q i-1

∆ Q i

+=

( 3 8 )

em que

a11 = e- ζp ∆t (1-ζ2

ζ sen(pd ∆t) + cos(pd ∆t))

( 3 9 )

a12 = pd

e- ζp ∆t

sen(pd ∆t)

( 4 0 )

a21 = e- ζp ∆t (1-ζ2

-p sen(pd ∆t))

( 4 1 )

a22 = e- ζp ∆t (cos(pd ∆t) - 1-ζ2

ζ sen(pd ∆t))

( 4 2 )

b11 = k1

(1-e- ζp ∆t cos(pd ∆t) + 1-ζ2

ζ sen(pd ∆t))

( 4 3 )

b12 = k ∆t

1 (∆t - 2

pζ + e- ζp ∆t (2

pζ cos(pd ∆t) -

pd

(1-2ζ2) sen(pd ∆t)))

( 4 4 )

b21 = k1

e- ζp ∆t (1-ζ2

p sen(pd ∆t))

( 4 5 )


b22 = k1 e- ζp ∆t (

1-ζ2 sen (pd ∆t))

∆t 1 -

ζcos(pd ∆t)+{ }

( 4 6 )

Relativamente ao método de Iwan e métodos similares, saliente-se que para que

possam conduzir a resultados correctos, o valor de ∆t não deve nunca ser superior a metade do inverso da frequência mais elevada a considerar, ou seja

∆t < 2fmax

1


1.2.5 - Resposta a movimento do solo Suponha-se que um oscilador de um grau de liberdade é sujeito a acelerações ao nível

do solo. Defina-se a variável

q* = q - qs (4 7 a)

sendo q* o deslocamento relativo entre o sistema e solo, q o deslocamento absoluto do sistema e qs o deslocamento do solo. Nesse caso derivando em ordem ao tempo

q* = q - qs.. .

(47 b)

q* = q - qs.. .. ..

(4 7 c)

Nestas condições o equilíbrio dinâmico do sistema pode ser escrito em termos da força

de inércia mq,.. , força de amortecimento cq,

. * e força de restituição kq*.

m q + c q* + k q* = 0.. . (48)

equação que pode ser reescrita como

m q* + c q* + k q* = -m qs.. . ..

(4 9 )

ou

q* + 2ζp q* + p2 q* = - qs .. . ..

(4 9 )a

Comparando a equação (49) com a equações (6) pode constatar-se que a análise da

resposta de um sistema a uma aceleração do solo processa-se de uma forma similar à então referida, assumindo uma força fictícia aplicada ao sistema

Q(t) = -m qs(t)..

(50)

sendo a resposta obtida em termos de q*, deslocamento relativo solo-sistema. A equação (24) representa o factor de amplificação dinâmica de um sistema sujeito a

uma força exterior. Se pensarmos no produto β1Error!ele representa a função de

transferência entre uma força aplicada F e o deslocamento sofrido pelo oscilador.


Dado que a resposta de um sistema (em termos de deslocamento relativo) a uma aceleração de base pode ser comparada à resposta de um sistema (em termos de deslocamento absoluto) a uma força, pode dizer-se que o mesmo coeficiente β1 pode ser

utilizado para representar o factor de amplificação dinâmica entre o deslocamento relativo

q* e a aceleração de base q,.. s = a cos(ωt).

Nesse caso bastará lembrar que a "força equivalente" ao nível do grau de liberdade é -m a cos(ωt) pelo que

q* = β1 km a

cos(ωt-φ) = -β1 p2a

cos(ωt-φ)-

( 5 1 )

Suponha-se agora que se pretende conhecer o deslocamento absoluto em termos da

aceleração de base (q,.. s = a cos(ωt)). Neste caso a equação de movimento pode ser escrita

m q + c q + k q = k qs + c qs.. . .

(52)

Assumindo que q é da forma A cos(ωt)+B sen(ωt), substituindo essa solução em (52) e individualizando os termos em cos(ωt) e sen(ωt) obtêm-se os valores de A e B que por sua vez permitem obter a solução em termos de amplitude sob a forma

q = β2 a cos(ωt-φ2)..

(53)

com β2 e φ2 dados por

β2 = (1-ω2 )2 + (2ζω)2

1 + (2ζω)2

( 5 4 )

φ2 = arctg(1-ω2 + (2ζω)2

ω2 2 ζ ω )

( 5 5 )

representam o factor de amplificação dinâmica entre acelerações na base e acelerações absolutas ao nível do grau de liberdade, e o respectivo desfasamento.

Deixa-se ao cuidado do leitor demonstrar que o mesmo β2 representa também o factor

de amplificação dinâmica entre um deslocamento de base e o deslocamento absoluto ao nível do grau de liberdade ou seja quando o oscilador é sujeito a um deslocamento de base da forma qs=d cos(ωt), a resposta é dada por

q = d β2 cos(ωt-φ2) (56)


Um terceiro factor de amplificação dinâmica poderia ser obtido para representar a função de transferência entre um deslocamento de base qs e o deslocamento relativo solo-estrutura q*. Esse factor, β3, pode ser escrito como

β3 = (1-ω2 )2 + (2ζω)2

ω2

( 5 7 )

tal que

q* = qs β3 cos(ωt-φ3) (

58)

e sendo

φ3 = arctg(1-ω2

2ζω)

( 5 9 )

Valores de β2 e β3 para vários coeficientes de amortecimento são apresentados em

função de ω,_

=E respectivamente nas figuras 1.5 e 1.6 . rror!

ζ=.05

ζ=0.2ζ=0.3

ζ=0.4ζ=0.5ζ=0.7ζ=0.8

ζ=0.1

3.02.52.01.51.00.50.00

1

2

3

4

5


ω

β2

Fig 1.5 - Factor de amplificação dinâmica - β2


3.02.52.01.51.00.50.00

1

2

3

4

5


ω

β3ζ=.05

ζ=0.2

ζ=0.3ζ=0.4

ζ=0.5 ζ=0.6ζ=0.7 ζ=0.8

ζ=0.1

Fig 1.6 - Factor de amplificação dinâmica - β3

Algumas aplicações interessantes podem retirar-se das curvas β1 , β2 e β3 .

Relativamente à curva β1 ela permite, se obtida experimentalmente e utilizando os

método referidos em 1.2.1, determinar para um dado sistema o seu coeficiente de amortecimento e respectiva frequência própria.

Como exemplo de aplicações dos princípios expressos nas curvas de amplificação β2

refira-se o relativo ao isolamento de vibrações. Suponha-se que uma massa m deve ser isolada de um movimento de base através de

uma mola de rigidez k e de um amortecedor c. A relação deslocamento de base-deslocamento de massa ou aceleração da base-aceleração da massa é traduzida pelas curvas β2 .

Para melhor isolar o sistema da excitação de base, é conveniente que o valor de ω,_

seja o mais elevado possível, ou seja que o valor de p seja o mais reduzido possível. Duas formas alternativas são reconhecidas para materializar este objectivo

(i) diminuição do valor de k. Consiste em interpôr um elemento flexível entre a base e o sistema. De aplicação limitada pelo facto de que os elementos flexíveis são simultaneamente aqueles que menor resistência apresentam. (i) aumento do valor de m. Consiste na interposição de um "maciço de inércia". De extensa utilização em aplicações práticas.


Simultaneamente, e como pode ser visto pela figura 1.5, o amortecimento deve ser o

mais reduzido possível já que na zona ω,_

> 2 as maiores amplificações correspondem aos maiores valores de amortecimento.

Algo de semelhante se passa no que diz respeito ao isolamento de vibrações

transmitidas por máquinas a estruturas. A força máxima F transmitida ao pavimento por uma máquina rotativa

desenvolvendo uma força Q(t) = Q,_ cos(ωt), pode ser calculada através da curva β2, ou

seja

F = Q β2 (6 0 )

Note-se que evitar a transmissão de forças ao pavimento corresponde neste caso a

aumentar o valor de ω,_

, o que tem o inconveniente de não evitar as vibrações ao nível da máquina, o que só poderia ser conseguido, de acordo com as curvas β1, diminuindo o valor

ω,_

.

Uma referência final para o facto de os acelerómetros e sismómetros basearem o seu funcionamento nas curvas de amplificação.

Os primeiros através das curvas β1, relacionando os valores medidos de

deslocamentos relativos, com as acelerações de solo que se pretendem determinar,

recorrendo a elevados valores de p (ω,_ reduzidos) e valores de ζ≈0.7. Refira-se que para

este coeficiente de amortecimento a curva β1 é praticamente plana para valores de ω,_

compreendidos entre 0 e 0.6 pelo que a resposta registada no acelerómetro é proporcional à amplitude da aceleração imposta na base.

Os sismómetros funcionam através das curvas β3, relacionando os valores medidos de

deslocamentos relativos com os deslocamentos absolutos impostos pelo solo. Estes aparelhos fazem uso da propriedade que a curva β3 apresenta de ser praticamente plana

para o coeficiente de amortecimento de ζ≈0.5 e ω,_ superior à unidade havendo apenas que

dotar o aparelho de frequência própria p inferior às gamas de frequência mais baixas esperadas para sismos.


1.3 - Espectro de resposta

Suponha-se que um oscilador com um grau de liberdade é actuado por uma acção externa, seja ela uma força aplicada, um deslocamento imposto, ou movimento de solo. É possível com base nos princípios já enunciados, determinar a resposta do sistema, quer seja em termos de deslocamento (absoluto ou relativo), acelerações, velocidades, ou mesmo esforços induzidos no sistema, ou ainda reacções.

Suponha-se que conhecida a acção, as características dinâmicas do sistema, e definida

a resposta que interessa analisar, se determina essa resposta ao longo de um período de tempo. Essa resposta será variável ao longo do tempo, mas terá um valor máximo que pode ser facilmente determinável, e que representará uma espécie de envolvente da resposta. Suponha-se agora que a mesma acção é aplicada a um sistema, também de um grau de liberdade, com caracteristicas dinâmicas diferentes (diferente frequência e possivelmente diferente coeficiente de amortecimento). Imagine-se que da mesma forma é determinado o valor máximo da resposta.

Se este procedimento for repetido para uma gama suficientemente lata de frequências

e amortecimentos, o conjunto dos valores máximos de resposta representam o que é vulgarmente conhecido por espectro de resposta. Usualmente determinam-se vários espectros de resposta, cada um para um dado coeficiente de amortecimento, efectuando o varrimento no domínio da frequência.

Poder-se-ia definir espectro de resposta como um gráfico das respostas máximas de

uma dada quantidade (deslocamento, aceleração, momento flector, etc) em função da frequência própria ou período de um sistema de um grau de liberdade quando actuado por uma acção (força, deslocamento, aceleração de solo, etc).

São particularmente utilizados os espectros de resposta de aceleração (ou

deslocamento) para acções sísmicas, que representam a aceleração máxima, (ou deslocamento máximo) previsível para um dado sistema de um grau de liberdade quando actuado por uma dada acção sísmica. Tais espectros podem ser determinados com base na resposta de sistemas de um grau de liberdade a registos sísmicos (acelerogramas).

Para representação dos espectros de resposta de acções sísmicas é vulgarmente

utilizado o papel trilogarítmico. O papel trilogarítmico consegue um tipo de representação


gráfica que permite quantificar os três espectros (deslocamentos relativos, velocidade relativa e aceleração absoluta) através de um único gráfico.

Supondo que a acção sísmica pode ser assimilável a uma sobreposição de movimentos

harmónicos, a velocidade espectral é dada em função do deslocamento espectral Sd e da

frequência do movimento p

Sv = p Sd = 2π f Sd (6 1 )

e a aceleração espectral por

Sa = p Sv = 2π f Sv = 4π2 f2 Sd (62 )

Se a representação for feita numa escala logarítmica tendo por eixos log Sv e log f e

tendo em conta que log Sv= 1 + log + log fC Sd

( 6 3 )

e

Clog Sv= 2 + log - log fSa ( 6 4 )

é possível ver que valores constantes de log Sd correspondem a uma relação do

tipo log Sv = Cte + log f ou seja linhas a 45o e que valores constantes de log a

correspondem a linhas a 135o ou seja a uma relação do tipo log Sv = Cte - log f .

Na figura 1.7 apresenta-se um exemplar de papel trilogarítmico com indicações dos eixos que representam Sa, Sv e Sd em função de T=E . rror!


Fig. 1.7 - Papel trilogarítmico para representação de espectros de resposta


2 - Osciladores de vários graus de liberdade

Se um sistema estrutural é composto por várias massas que correspondem a outros tantos graus de liberdade, está-se perante um sistema com vários graus de liberdade. Exemplos de modelos de sistemas com vários graus de liberdade são apresentados na figura 2.1 .

q1

q1

2q2q

2q

3q

3q

3q 4q

q5

q1

Fig. 2.1 - Modelos de osciladores de vários graus de liberdade

Para os sistemas de vários graus de liberdade, o tratamento que foi feito para os sistemas com um grau de liberdade não pode ser aplicado. Deixa de haver apenas uma frequência própria e passam a haver tantas frequências próprias como o número de graus de liberdade. A sua determinação, especialmente através de métodos numéricos com aplicabilidade em computadores serão objecto de análise.

Entre os diferentes métodos contam-se os métodos aproximados dos quais se

apresentará o método de Rayleigh, os métodos iterativos dos quais se apresentará o de Stodola e os métodos directos baseados na determinação analítica directa de valores e vectores próprios.


2.1 - Método de Rayleigh

O método de Rayleigh, previsto no actual Regulamento de Segurança e Acções para Estruturas de Edifícios e Pontes (artº 31.2) é um método aproximado de determinação de frequências. A sua aplicabilidade embora não restrita, estende-se na prática apenas à determinação da frequência fundamental (frequência própria mais baixa).

Para aplicação do método torna-se necessário arbitrar qual a configuração deformada

da estrutura durante a vibração. Quanto melhor a configuração idealizada corresponder à configuração de vibração, melhor será a aproximação da frequência obtida, a qual é no entanto sempre superior à frequência real.

O método de Rayleigh fundamenta-se no princípio da conservação de energia dum

sistema a oscilar em regime livre, desprezando consequentemente a contribuição das forças de amortecimento. A determinação da frequência corresponde assim à igualdade entre as energias cinética e potencial máximas para a configuração de vibração adoptada.

É ainda corrente diferenciar a aplicação do método de acordo com a maior ou menor

distribuição das características de inércia e flexibilidade do sistema distinguindo-se neste âmbito as formulações do método para sistemas contínuos e sistemas discretos.


2.1.1 - Sistemas contínuos Considere-se nesta secção a aplicação do método de Rayleigh a sistemas cujas

características de inércia e/ou flexibilidade se encontram distribuidas no domínio do sistema.

Para exemplificar a aplicação do método considere-se uma viga simplesmente apoiada

de vão l, massa distribuida m(x) e rigidez de flexão EI(x). Arbitrando uma configuração deformada que depende harmonicamente do tempo

q ( x , t ) = q ψ ( x ) s e n ( p t )

( 6 5 )

em que q,_

e ψ(x) representam respectivamente a amplitude de vibração (eliminada nos cálculos subsequentes) e uma função de forma que relaciona os deslocamentos das diversas secções. Relembrando o exposto no início destes apontamentos relativamente ao conceito de coordenadas generalizadas, esta configuração deformada tem apenas que verificar as condições de apoio do sistema e continuidade nos troços em que o sistema a apresente.

A energia potencial é num dado instante

V(t) = 21

∫0

l

EI(x) (Žx2

Ž2 q(x, t) ) dx = 21

q2sen2(pt) ∫

0

l

EI(x) ψ2(x) dx ' '

( 6 6 )

em que o sobrescrito (') designa derivada em ordem à coordenada de posição x.

Em particular, o valor máximo da energia potencial atinge-se quando a parcela harmónica é unitária

Vmax = 21

q2 ∫0

l

EI(x) ψ2(x) dx ' '

( 6 7 )

Nas mesmas circustâncias, a energia cinética é, num dado instante

C(t) = 21

∫0

l

m(x) (Žt

Žq(x,t))2dx =

21

q2 p2 cos2(pt) ∫

0

l

m(x) ψ2(x) dx

( 6 8 )

cujo valor máximo é


Cmax = 21

q2 p2 ∫

0

l

m(x) ψ2(x) dx

( 6 9 )

Igualando os valores máximos da energia potencial e cinética extrai-se a seguinte equação

p2 =

∫0

l

m(x) ψ2(x) dx

∫0

l

EI(x) ψ2(x) dx''

( 7 0 )

A equação (70) traduz a frequência própria que o sistema apresentava se vibrasse com a configuração adoptada. Na realidade, a configuração fundamental é, dentro das infinitas configurações deformadas em conformidade com as condições impostas inicialmente, aquela cuja frequência, designada aqui de frequência fundamental, é a menor. Um critério para arbítrio da configuração fundamental consiste em verificar, para além das condições cinemáticas, as condições estáticas (em termos do andamento dos esforços) verificadas no sistema real. De facto, distribuições de esforços incompatíveis com o sistema real traduzem a existência de restrições artificiais que têm por efeito rigidificar o sistema ou, o que é o mesmo, aumentar a frequência fundamental.

Considere-se a aplicação da expressão (70) ao sistema em análise, supondo que a

massa e a rigidez de flexão são ambas uniformemente distribuidas , isto é

m(x) = cte.

EI(x) = cte.

Admitindo como configuração de vibração uma função polinomial do 2º grau, ou seja

ψ(x) = a x2 + b x + c

impondo a verificação das condições de apoio (ψ(0)=ψ(l)=0) determina-se o valor das constantes a, b e c

a = l21

b = - l1

c = 0

substituindo na equação (70) obtém-se o seguinte valor para a frequência fundamental

correspondente a esta configuração de vibração


p2 = m l4

120 EI

Repetindo este procedimento para uma configuração sinusoidal

ψ(x) = sen(l

π x)

a frequência correspondente é

p2 = m l4

π4 EI

Observe-se que a frequência determinada inicialmente é cerca de 23% superior à

correspondente à configuração sinusoidal. De facto, a configuração parabólica pressupõe um diagrama de momentos constante (relembre-se que o diagrama de momentos é proporcional à curvatura da deformada) violando, entre outras, a condição de anulamento dos momentos nos apoios. Em contrapartida, a configuração sinusoidal, aliás a verdadeira configuração fundamental, verifica a condição de anulamento dos momentos sobre os apoios apresentando adicionalmente o momento máximo a meio vão. Serve este exemplo para acentuar que a melhor aproximação à frequência/configuração fundamental é aquela que, dentro das configurações que verificam as condições cinemáticas, melhor aproxima as condições estáticas.

Na existência de rigidezes concentradas, a expressão (67) generaliza-se a

Vmax = 21

q2 ∫0

l

EI(x) ψ2(x) dx ' ' + 21

q2∑

iKi ψ

2(xi)

( 7 1 )

em que Ki e xi referenciam a i–ésima rigidez concentrada e a respectiva posição. Da

mesma forma tem-se que na ocorrência de massas concentradas, a expressão (69) para a energia cinética máxima altera-se para

Cmax = 21

q2 p2 ∫

0

l

m(x) ψ2(x) dx + 21

q2 p2 ∑

j Mj ψ

2(xj)

( 7 2 )

em que Mj e xj referem respectivamente a massa e a coordenada de posição da j-

ésima massa concentrada. No sentido de tornear a dificuldade no arbítrio da configuração fundamental

desenvolveu-se um outro procedimento também designado de método de Rayleigh simplificado que consiste em admitir que a configuração de vibração corresponde à deformada do sistema quando se aplica o carregamento gravítico. De facto, na inexistência


de forças viscosas a configuração fundamental corresponde à deformada do sistema quando se aplica o carregamento inercial, ou seja

Qf(x) = m (x) q f

m ax(x)..( 7 3 )

em que o subescrito (f) refere a configuração fundamental. Como à partida desconhecemos a configuração fundamental é impossível determinar correctamento Qf(x).

Se no entanto admitirmos que a aceleração máxima em cada secção é igual à aceleração da gravidade, isto é

Q g ( x ) = m ( x ) g = W ( x )

( 7 4 )

a correspondente deformada é, ao longo do tempo

q ( x , t) = q g( x ) s e n ( p t) = q g ψ g( x ) s e n ( p t)

( 7 5 )

em que qg(x) e q,_

g representam respectivamente a deformada devida á aplicação do

carregamento gravítico e a amplitude da respectiva função de forma. Nestas circunstâncias a energia potencial máxima pode ser entendida como o trabalho das forças gravíticas na deformada gravítica cujo valor máximo é

Vm ax = 21

∫0

l

(x ) q g(x) dx = 21

g q g ∫0

l

m (x ) ψ g(x ) dxW

( 7 6 )

pelo que a respectiva frequência fundamental é

p2 = qg

g

∫0

l

m(x) ψg2(x) dx

∫0

l

m(x) ψg(x) dx

= g

∫0

l

m(x) qg2(x) dx

∫0

l

m(x) qg(x) dx

( 7 7 )

Atente-se que a configuração deformada adoptada, a deformada do sistema quando é aplicado o carregamento gravítico, verifica não só as condições cinemáticas, pois é uma deformada real, como também as condições estáticas do sistema, pois equilibra um determinado carregamento. Deixa-se ao cuidado do leitor confirmar que a aplicação deste método ao exemplo atrás considerado conduz à seguinte frequência própria

p2 = m l4

97. 548 EI

valor apenas 0.14% superior ao real. Refira-se por fim que embora o carregamento em causa seja um carregamento gravítico

este pode ser aplicado em qualquer sentido (inclusivé no sentido vertical ascendente) e em


qualquer direcção (inclusivé na direcção horizontal) consoante a configuração deformada que se pretende impôr.

Deixa-se ao cuidado do leitor deduzir as expressões das energias potencial e cinética

máximas para um sistema contínuo com rigidezes e/ou massas concentradas correspondentes ao método de Rayleigh simplificado.


2.1.2. Sistemas discretos Considere-se que por aplicação do procedimento de concentração de massas o sistema

contínuo da subsecção anterior se reduzia ao sistema de três graus de liberdade ilustrado na figura 2.2.

q g1 g3qg2q

Fig. 2.2 - Ilustração da aplicação do método de Rayleigh

Admitindo como configuração de vibração a deformada correspondente à aplicação estática dos pesos correspondentes, a energia potencial máxima resulta equivalente ao trabalho exterior, ou seja

Vmax = 21

∑i

Wi qgi

( 7 8 )

em que Wi representa o peso atribuído ao grau de liberdade i e q

gi o respectivo

deslocamento na configuração de vibração adoptada . Da mesma forma a energia cinética máxima é

Cmax = 21

∑i

mi qgi2 .

( 7 9 )

o que, supondo movimento harmónico e amortecimento nulo

Cmax = 21

g p2 ∑i

Wi qgi2

( 8 0 )

Igualando as energias potencial e cinética máximas determina-se a frequência de vibração

p2 = g

∑i

Wi qgi2

∑i

Wi qgi

( 8 1 )

Deixa-se ao cuidado do leitor demonstrar que atribuindo 1/4 da massa estrutural aos nós 1 e 3 e a restante ao nó 2 se obtém


qg1 = qg2 = 6144

76 m g

EIl4

qg2 = 3072

54 mg

EIl4

o que substituindo na equação (81) conduz a

p2 = 64.822 m l4EI

(rad/s)

valor apenas 0.04% superior ao que se obteria para o modo fundamental de vibração

resolvendo a equação característica correspondente ao modelo discretizado. Refira-se o facto de a frequência determinada pelo método de Rayleigh para o modelo

com massas concentradas ser inferior à correspondente à distribuição uniforme de massa. Isto resulta exclusivamente de que ao concentrarmos as massas em determinados pontos estamos indirectamente a considerar outro sistema que não o original. Embora as frequências não sejam equiparáveis realce-se que o procedimento de concentração de massas conduz geralmente a sistemas com menor frequência fundamental.

Considere-se agora a aplicação deste método à estrutura indicada na figura 2.3.

Fig. 2.3 - Exemplo de aplicação do método de Rayleigh


Suponha-se que as massas dos três pisos são respectivamente

m 1 = 200 K N s 2/m

m 2 = 300 K N s 2/m

m 3 = 400 K N s 2/m

e que a rigidez dos elementos estruturais entre pisos é ,

k1 = 120 000 K N /m

k2 = 240 000 K N /m

k3 = 360 000 K N /m

Os deslocamentos correspondentes à aplicação de forças estáticas equivalentes aos pesos de cada piso são dados por:

q 1 = ∆ s 3 + ∆ 32 + ∆ 21

q 2 = ∆ s 3 + ∆ 32

q 3 = ∆ s 3

em que ∆ij representa o deslocamento relativo do piso i em relação ao piso j sendo o

solo designado por s.

Calculando os valores de ∆ , obtém-se

∆ s3 = 360 000

900 g

∆ 32 = 240 000

500 g

∆ 21 = 120 000

200 g

pelo que os deslocamentos ao nível dos pisos são

q1 = 7 20045 g

q2 = 7 20033 g

q3 = 7 20018 g

substituindo na equação (81) conduz a

p 2 = [ 2 0 0 g * ( 4 5 g ) 2 + 3 0 0 g * ( 3 3 g ) 2 + 4 0 0 g * ( 1 8 g ) 2 ] / 7 2 0 0 2

g [ 2 0 0 g * 4 5 g + 3 0 0 g * 3 3 g + 4 0 0 g * 1 8 g ] / 7 2 0 0


o que corresponde a um valor de p=14.77 rad/seg ou seja f=2.35 Hz ou um período fundamental T=0.425 seg. Para efeitos de comparação, saliente-se que o valor exacto da 1ª frequência própria desta estrutura é de p=14.5 rad/seg. O erro cometido é apenas 1.9% e, como esperado, por excesso.

Para calcular aproximadamente a frequência própria de edifícios pode portanto

recorrer-se a programas de cálculo de análise estática de pórticos planos. Para uma dada direcção aplicam-se, simultaneamente ao conjunto de pórticos com desenvolvimento na direcção considerada e ao nível de cada piso, as forças estáticas horizontais equivalentes às cargas verticais permanentes do piso respectivo, e calculam-se os deslocamentos ao nível de cada piso. Uma vez calculados os deslocamentos, a aplicação das equação (81) dá o valor da frequência em rad/s.

De salientar, tal como o faz o R.S.A, que na aplicação deste método há que ter em conta

não só a rigidez e massa dos elementos estruturais considerados como resistentes, mas também as dos elementos considerados não resistentes que lhes estão ligados, tal como paredes de alvenaria e similares, os quais podem contribuir para um aumento da rigidez do edifício, dando assim origem a valores mais elevados da frequência própria fundamental. Como a valores mais elevados de frequência correspondem também valores mais elevados dos coeficientes sísmicos, a não consideração da massa e da rigidez dos elementos não estruturais, pode ser não conservativa e portanto contra a segurança.

Para finalizar saliente-se que a determinação de frequências próprias superiores à

primeira através do método de Rayleigh, envolve a utilização de uma deformada correspondente a uma configuração de vibração diferente da adoptada. Para tanto torna-se necessário conhecer as características dinâmicas do edifício, o que se torna complexo a menos que seja realizada uma análise dinâmica exacta.

O método de Rayleigh torna-se no entanto suficiente quando se pretenda apenas

proceder a uma análise estática equivalente. As condições de aplicabilidade dessa análise estática a edifícios, designados vulgarmente por "edifícios correntes", são definidas no artº 30.4 do R.S.A. da seguinte forma:

"Não apresentarem, em planta, distribuições desproporcionadas entre a massa e a rigidez; Não apresentarem, no seu desenvolvimento em altura, grandes variações de massa ou de rigidez;


Terem uma estrutura em malha ortogonal e não demasiado deformável; Terem os pisos constituídos de forma que possam considerar-se como diafragmas indeformáveis no seu plano" Pretende-se com a primeira condição que os efeitos da torção, não contabilizados na

análise plana simplificada, sejam pouco significativos. Entende-se a condição como satisfeita quando o centro de massa dos pisos, determinado considerando a combinação quase permanente de acções, não dista do centro de rigidez de mais de 15% da dimensão do edifício na direcção perpendicular à actuação do sismo.

A cláusula relativa a variações em altura da massa ou rigidez pretende excluir da

análise estática equivalente os edifícios com acentuadas variações das características dinâmicas em altura. A elevada concentração de esforços e deformações nos pisos de transição, completamente mensurável apenas através duma análise dinâmica, justifica esta condição.

A obrigatoriedade dos edifícios correntes apresentarem estrutura em malha ortogonal explica-se por este tipo de estrutura exibir um comportamento dinâmico mais simples em geral e particularmente por apresentarem efeitos de torção controlados. Quanto à cláusula relativa à excessiva deformabilidade da estrutura esta destina-se a acautelar as seguintes ocorrências:

(i) contribuição significativa dos efeitos geometricamente não lineares. Entende-se que uma análise de primeira ordem é suficiente quando os correspondentes deslocamentos horizontais relativos entre dois pisos não excedem 1,5% da distância entre estes. (ii) contribuição significativa dos modos superiores. Esta situação verifica-se quando a frequência fundamental é tão baixa que o 2º modo (de frequência superior de 2 a 3 vezes) se situa na zona de maior conteúdo de frequências da acção sísmica. Considera-se que a estrutura não é excessivamente deformável sempre que a frequência fundamental seja superior quer a 0.5 Hz quer ao quociente de 8 pelo nº de pisos. Por fim a condição relativa à indeformabilidade dos pisos no seu plano destina-se a

garantir que as forças de inércia desenvolvidas durante a actuação do sismo sejam absorvidas pelas sub-estruturas que lhe resistam (pórticos ou paredes) proporcionalmente à rigidez dessas mesmas sub-estruturas. Assim se garante que todas as sub-estruturas são proporcionalmente esforçadas devido à acção sísmica.


2.2 - Determinação de frequências

As equações de movimento para um sistema de vários graus de liberdade têm uma forma análoga à equação de movimento para os sistemas de um grau de liberdade.

Assim para o grau de liberdade i da estrutura poder-se-ia escrever uma equação em

tudo similar à equação de movimento de um sistema de um grau de liberdade em que as forças de inércia Fii, as forças de amortecimento Fai e as forças de restituição elástica Fri são

agora as devidas aos efeitos das várias massas do sistema, dos vários amortecimentos e dos vários elementos da rigidez do sistema, sobre o movimento do grau de liberdade i.

As equações tomam assim uma forma matricial com os seguintes componentes:

Fr1Fr2::Fri::FrN

K11 K12 . . . . . K1i . . . . . K1NK21 K22 . . . . . K2i . . . . . K2N::Ki 1 Ki 2 . . . . . Ki i . . . . . Ki N::KN1 KN2 . . . . . KNi . . . . . KNN

::

::

::

::

::

::

q1q2::qi::qN

=

( 8 2 )

=

C11 C12 . . . . . C1i . . . . . C1NC21 C22 . . . . . C2i . . . . . C2N::Ci 1 Ci 2 . . . . . Ci i . . . . . Ci N::CN1 CN2 . . . . . CNi . . . . . CNN

::

::

::

::

::

::

q1q2::qi::qN

.

.

.

.

Fa1Fa2::Fai::FaN

( 8 3 )

=

M11 M12 . . . . . M1i . . . . . M1NM21 M22 . . . . . M2i . . . . . M2N::Mi 1 Mi 2 . . . . . Mi i . . . . . Mi N::MN1 MN2 . . . . . MNi . . . . . MNN

::

::

::

::

::

::

Fi1Fi2::Fii::FiN

q1q2::qi::qN

..

..

..

..

( 8 4 )


Assim os elementos Kij são os elementos da matriz de rigidez da estrutura, de tal

forma que a força de restituição correspondente ao grau de liberdade i é calculada como

Fri = ∑n

Kin qn

( 8 5 )

e pode ser intrepretada como o somatório em n, das forças ao nível do grau de liberdade i devidas a um deslocamento unitário no grau de liberdade genérico n, (Kin) vezes o deslocamento correspondente ao grau de liberdade n (qn).

De igual forma se poderia intrepretar a construção das matrizes correspondentes às

forças de amortecimento e de inércia. As equações de movimento para vibrações em regime livre, podem assim ser escritas

de uma forma matricial:

M q + C q + K q = 0 . . .

( 8 6 )

em que é a matriz de massa, a matriz de amortecimento, a matriz de rigidez e o vector de deslocamentos.

Normalmente admite-se, em sistemas discretizados e sem condensação, que a matriz

de massa é uma matriz diagonal, o que é o mesmo que dizer que uma aceleração correspondente a um grau de liberdade apenas provoca forças de inércia nesse mesmo grau de liberdade.

Para determinação das frequências próprias do sistema e semelhantemente ao que foi

feito para os sistemas com um grau de liberdade, despreza-se a contribuição do amortecimento. Assim, a equação (86) pode ser reescrita (apenas para efeito de determinação de frequências) como

M q + K q = 0. .

( 8 7 )

Por analogia com o comportamento dos sistemas de um grau de liberdade pode-se admitir que o movimento de resposta numa dada frequência toma a forma

q ( t) = q c o s ( p t- φ )

( 8 8 )

em que é um vector que representa a configuração da deformada de vibração, a qual não se altera com o tempo (apenas a amplitude varia de acordo com o valor do coseno).

A segunda derivada de (t) em ordem ao tempo toma a forma


q ( t) = - p 2 q c o s ( p t- φ ) = - p 2 q ( t). .

( 8 9 )

Substituindo as equações (88) e (89) na equação (87) obtêm-se

- p 2 M q c o s ( p t - φ ) + K q c o s ( p t - φ ) = 0

( 9 0 )

equação que pode ser reeescrita sob a forma

[ K - p 2 M ] q = 0

( 9 1 )

A única solução não trivial ( ≠ ) para este sistema de equações corresponde ao anulamento do determinante do primeiro factor da equação (91)

d e t ( K - p 2 M ) = 0

( 9 2 )

pelo que se conclui que a determinação de frequências e modos de vibração redunda num problema tradicional de valores e vectores próprios.

O desenvolvimento do determinante da equação (91), também designada de equação

característica, redunda na determinação das raízes de um polinómio de grau n em p2, vulgarmente designado por polinómio característico. As raízes desse polinómio (valores próprios) são os quadrados das frequências próprias do sistema. A cada valor próprio (frequência) corresponde uma solução para o vector a qual é o vector próprio associado com essa frequência. Esse vector representa a configuração da estrutura (modo de vibração) correspondente à vibração na frequência respectiva.

Como exemplo de aplicação escolha-se novamente a estrutura apresentada na figura

2.3 . As matrizes de massa e de rigidez são:

200 0 0 0 300 0 0 0 400

M = [KN s2 / m]

K = 120 000 -120 000 0-120 000 360 000 -240 000 0 -240 000 600 000 [KN / m]


Fig 2.4 - Exemplificação da formação da matriz de rigidez

pelo que a equação (92) toma a seguinte forma

6 0 0 - p 2 -6 0 0 0-6 0 0 1 8 0 0 -1 . 5 p 2 -1 2 0 0

0 -1 2 0 0 3 0 0 0 -2 p 2

2 0 0 = 0

A respectiva equação polinomial é assim:

( 6 0 0 - p 2 ) [ ( 1 8 0 0 - 1 . 5 p 2 ) ( 3 0 0 0 - 2 p 2 ) - 1 2 0 0 2 ] + 6 0 0 [ - 6 0 0 ( 3 0 0 0 - 2 p 2 ) ] = 0

Esta equação tem três raízes que são aproximadamente:

p 12 = 2 1 0 p 1 = 1 4 . 5 rad /s

p 22 = 9 6 6 p 2 = 3 1 . 1 rad /s

p 32 = 2 1 2 4 p 3 = 4 6 . 1 rad /s

e que são as frequências próprias da estrutura. Como se pode constatar, e tal como na

devida altura tinha sido referido, o método de Rayleigh conduziu a uma boa aproximação do valor da 1ª frequência.

Uma outra forma de determinar as frequências próprias de uma estrutura é utilizar

uma alternativa à equação (91). Tal alternativa tem talvez uma mais fácil aplicabilidade a microcomputadores, já que a determinação explícita dos coeficientes da matriz de rigidez, não é possível para a maior parte dos programas.

Pré-multiplicando ambos os membros da equação (91) pelo matriz de flexibilidade a

equação característica toma a seguinte forma

F [ K - p 2 M ] = 0q

( 9 3 )

ou fazendo

p 2

1 = ¥ 2

( 9 4 )

e dado que =

[ F M - ¥ 2 I ] = 0q

( 9 5 )


A determinação das frequências próprias resume-se da mesma forma à resolução de um sistema de valores próprios análogo ao anterior. A vantagem que esta metodologia pode ter sobre a metodologia que emprega a matriz de rigidez, resulta do facto de que, dispondo por exemplo de um programa de cálculo de pórticos planos, os coeficientes da matriz de flexibilidade podem ser facilmente obtidos através da aplicação de forças unitárias ao nível de cada piso. Assim o coeficiente Fij da matriz de flexibilidade não é mais do que o

deslocamento ao nível e segundo a direcção do grau de liberdade i quando se aplica uma força unitária ao nível e segundo a direcção do grau de liberdade j.

O método para determinação de frequências baseado na resolução directa da equação

característica tem apenas aplicação prática quando as raízes dessa mesma equação são fáceis de determinar. Como tal não é o caso para estruturas com mais do que dois ou três graus de liberdade, torna-se necessário recorrer a outros métodos de determinação dos valores próprios.

É corrente distinguir os seguinte algoritmos de determinação de valores e vectores

próprios: (i) Métodos de iteração de vectores. Consistem em algoritmos que utilizam a equação característica duma forma recursiva. Dentre destes é ainda possível distinguir os métodos de iteração directa e métodos de iteração inversa que utilizando a equação característica em duas formas distintas (correspondentes às equações 91 e 95) facultam a determinação dos valores próprios inferiores e superiores respectivamente. O método de Stodola, objecto de estudo na secção 2.5, corresponde ao método da iteração inversa. (ii) Métodos de transformação. Consistem em transformar as matrizes do sistema de forma à matriz de massa igualar a matriz identidade e a matriz de rigidez assumir uma forma diagonal em que cada elemento diagonal corresponde ao valor próprio associado. Destaca-se nesta classe de métodos o método de Jacobi. (iii) Métodos de iteração em polinómio. Fundamentam-se na determinação de zeros da polinómios que, no presente caso, corresponde ao polinómio característico. (iv) Métodos compostos. Consistem na conjugação de dois ou mais métodos dos anteriormente citados. Destaca-se dentro de estes métodos o método da iteração em


subespaços que conjugando os métodos referidos em (i) e (ii) consiste no algoritmo mais adequado a sistemas de grande dimensão. Dada a acessibilidade de subrotinas de cálculo automático para determinação de

valores e vectores próprios, não será dado especial ênfase aos métodos numéricos neste domínio.


2.3 - Determinação dos modos de vibração Na aplicação do método de Rayleigh à determinação de frequências, viu-se que a

configuração de vibração arbitrada influenciava o valor calculado da frequência. Assim conclui-se que a cada frequência está associada uma configuração de vibração. Quer isto dizer que se a estrutura vibra com uma frequência correspondente a uma frequência própria, a deformada de vibração é, a menos da amplitude máxima, uma característica dessa mesma frequência.

Reveja-se o sistema de equações (91), supondo-se que já se conhecem os valores

próprios (frequências). Para cada frequência pi pode-se reescrever o sistema de equações sob

a forma.

[ K - p i2 M ] q = 0

( 9 6 )

Dado que o determinante da "matriz" que multiplica o vector é nulo, o sistema de equações é homogéneo, com equações linearmente dependentes e portanto indeterminado. Esse facto implica que não possam ser calculados os valores do vector (amplitudes dos deslocamentos para cada grau de liberdade), e que apenas se possam estabelecer relações entre esses mesmos valores.

Na prática isso significa que apenas se pode determinar a forma da configuração de

vibração, mas que os valores dos deslocamentos dos vários graus de liberdade, apenas podem ser conhecidos em função de um deles. Geralmente supõe-se que o deslocamento do primeiro grau de liberdade, ou daquele a que corresponde maior deslocamento, é unitário, determinam-se os outros valores, e assim se determina para cada frequência o modo de vibração, ou vector próprio que lhe está associado. Refira-se, como vai ser descrito em 2.4, ser corrente normalizar os modos de vibração relativamente à matriz de massa com as vantagens que na altura serão detalhadas.

Uma forma possível de determinar para cada frequência o vector próprio associado, é

através da matriz adjunta da matriz característica [ -pi2 ]. A matriz adjunta é a matriz

transposta da matriz dos cofactores. A matriz dos cofactores é calculada, substituindo cada elemento de uma matriz (aij) pelo valor do determinante da matriz que se obtém por

eliminação das linha e coluna a que pertence o elemento (linha i, coluna j), multiplicado por (-1)(i+j).


Na prática, dado que a matriz característica é simétrica, não se torna necessário fazer a transposição da matriz dos cofactores. Também não se torna necessário calcular a matriz dos cofactores de todos os elementos da matriz característica, mas apenas os cofactores da última coluna desta matriz.

Como exemplo, determinem-se os vectores próprios (modos de vibração) da estrutura da figura 2.3, para a qual já foram determinadas as frequências próprias.

A matriz característica é

[

600 - p2 - 600 0

- 600 1800 - p

2 - 1200

0 - 1200 3000 - 2p2]

Substituindo para o valor da 1ª frequência (p12=210) obtém-se

[ 0

390 - 600 0

- 600 1485 - 120

0 - 1200 258 0 ]

alcu dos mentos da última coluna obtém-se C lando os cofactores ele

[ - 600 * - 1200 * ( -1 ) 4

390 * - 1200 * ( -1 ) 5

(390 * 1485 - (-600 ) 2) * ( -1 )

6 ] = [720000

468000

219150 ]

[1.0

0.65

0.30 ]norm alizan do

Em que o critério de normalização consistiu em impôr valor unitário da componente

correspondente ao deslocamento do último piso. Para obtenção do 2º e 3º modos de vibração, seria necessário substituir na matriz

característica o valor de p2 respectivamente por 966 e 2124, e proceder de uma forma análoga.

Na figura 2.5 são apresentados os três modos de vibração. Em qualquer deles optou-se

por normalizar através da fixação de um valor unitário para o deslocamento modal correspondente ao primeiro grau de liberdade.


Fig. 2.5 - Modos de vibração - Exemplo

Uma análise dos três modos de vibração, permite detectar uma característica própria

dos modos de vibração de sistemas deste tipo. O primeiro modo tem todos os deslocamentos modais com o mesmo sinal, o que significa que quando a estrutura vibra nessa frequência, todos os pontos estão em movimento e com o mesmo sentido. Em relação ao segundo modo, pode detectar-se um ponto entre o 2º e o 3º piso que não sofre qualquer deslocamento. Para o terceiro modo podem detectar-se dois desses pontos. Tal característica é importante quando se precisar idealizar a deformada da estrutura para um dado modo de vibração.

A metodologia usada para determinação dos vectores próprios (através da matriz

adjunta), tem pela sua simplicidade, aplicabilidade a microcomputadores. A determinação das frequências próprias e dos modos de vibração de uma estrutura são os passos essenciais da análise dinâmica de qualquer estrutura. A implementação de métodos numéricos de determinação de valores próprios (frequências) e de vectores próprios (modos de vibração) é portanto condição necessária de qualquer análise dinâmica.


2.4 - Análise modal 2.4.1 - Condições de ortogonalidade Os modos de vibração têm determinadas propriedades que justificam a sua utilização

na análise dinâmica de sistemas de vários graus de liberdade. Essas propriedades são conhecidas por condições de ortogonalidade.

Tal como atrás foi referido, as equações de movimento em regime livre podem ser

escritas sob a forma

K q n = p n2 M q n

( 9 7 )

em que n representa o vector de deslocamentos quando a estrutura vibra com a frequência pn. Na equação (97), n pode ser substituido por n (vector próprio

correspondente à frequência de ordem n) em ambos os lados da equação, já que bastará para tanto dividir ambos os membros pelo valor da amplitude do movimento. Assim a equação (97) pode ser reescrita como

K v n = p n2 M v n

( 9 8 )

Igual equação pode ser escrita para o modo m, dando lugar a

K v m = p m2 M v m

( 9 9 )

Premultiplicando a equação (98) por mT e posmultiplicando a transposta da equação

(99) por n obtém-se respectivamente

v mT

K v n = p n2 v m

T M v n

( 1 0 0 )

v mT

K v n = p m2 v m

T M v n

( 1 0 1 )

Como se pode ver o lado esquerdo das duas equações é igual, pelo que a diferença das duas equações conduz a

( p n2 - p m

2 ) v mT

M v n = 0

( 1 0 2 )

v mT

M v n = 0

( 1 0 3 )

para (m≠n) o que traduz a ortogonalidade dos modos de vibração com respeito à matriz de massa.


Se dividirmos as equações (100) e (101) por pn2 e pm

2 respectivamente, a diferença

entre as duas equações dá lugar a

( p n

2

1 -

p m2

1 ) v m

T K v n = 0

( 1 0 4 )

o que traduz também a ortogonalidade dos modos de vibração com respeito à matriz de rigidez.

Refira-se ainda que como consequência, se pode afirmar que os modos de vibração são

ortogonais em relação a qualquer matriz que seja uma combinação linear da matriz de massa e de rigidez.

Ainda como consequência das propriedades de ortogonalidade pode constatar-se que,

se se definir como a matriz modal ou seja a matriz cujas colunas são os modos de vibração, os produtos

VT

M V = M G

( 1 0 5 )

VT

K V = K G

( 1 0 6 )

representam matrizes de massa e de rigidez normalizadas, as quais são necessariamente matrizes diagonais.


2.4.2 - Equações em coordenadas modais Se voltarmos a escrever a equação de equilíbrio em regime livre

M q + K q = 0. .

( 1 0 6 )

e a premultiplicarmos por T e inserirmos a matriz identidade

I = V V-1

(1 0 7 )

antes de e obtém-se

V

T M V V

-1 q + V

T K V V

-1 q = 0

. .( 1 0 8 )

que pode ser reescrita como

MG q G + K G q G = 0 . .

(1 0 9 )

sendo

qG = V-1

q ou q = V qG (1 1 0 )

qG = V-1

q ou q = V qG.. . . . . . .

(111)

A equação (109) representa um sistema de equações diferenciais de segunda ordem

independentes já que as matrizes G e G são diagonais.

Desta forma o problema da resolução de um sistema de N equações diferenciais em

coordenadas normais pode ser, caso se efectue a transformação de coordenadas acima descrita, reduzido ao problema de N equações independentes, em tudo similares às utilizadas no estudo de sistemas de 1 grau de liberdade. Mostra-se assim que a solução de um sistema de N graus de liberdade pode ser encarado como a sobreposição das soluções de N sistemas de um grau de liberdade.

As novas coordenadas introduzidas, as coordenadas generalizadas ou modais, já não

representam, como as coordenadas inciais, explicitamente deslocamentos mas sim amplitudes de configurações deformadas. A vantagem deste procedimento reside no facto de que as matrizes características do sistema, quando referidas às coordenadas modais, se apresentam diagonais, permitindo o estudo separado de cada novo grau de liberdade.

Como foi oportunamente referido, a matriz modal pode ser determinada a menos das

amplitudes modais ou seja, cada modo de vibração pode ser determinado a menos de uma


const

em que

ante. Uma das formas utilizadas para representar a matriz modal é admitir amplitudes unitárias para um dos graus de liberdade. Existem contudo vantagens ao nível da formulação posterior em adoptar como critério o de normalizar os modos de vibração relativamente à matriz de massas, isto é:

φ iT M φ i = 1

( 1 1 2 )

i representa o vector i normalizado de acordo com este critério.

φ i = v i M v i

v

Deixa-se ao cuidado do leitor a demonstração, a partir das eqs 100 e 112, das matrizes

de massa e rigidez generalizadas de acordo com este critério de normalização.

em que

T

i

( 1 1 3 )

M G = Φ T M Φ = I

( 1 1 4 a )

K G = Φ T K Φ = [ p 2 ]

( 1 1 5 )

e [p2] são respectivamente a matriz modal normalizada e uma matriz diagonal na qual cada termo diagonal é o quadrado da frequência própria correspondente. No ca eso do sist ma apresentar uma matriz de amortecimento ortogonalizavel pelos modos de vibração, situação que se refere como de amortecimento modal, é ainda possível definir a matriz de amortecimento generalizada G dada por:

C G = Φ T C Φ = [ 2 ζ p ]

( 1 1 6 )

Se as equações de equilíbrio em regime livre com amortecimento forem escritas nas coordenadas principais ou generalizadas tem-se

Premultiplicando por

M Φ q + C Φ q + K Φ q = 0. . .

G G G

( 1 1 7 )

T obtém-se

G ou seja

Tirando partido do critério de normalização referido

+ [ 2ζp ] q + [ p 2 ] q = . . .

ou, individualizando uma das equações

Φ Τ M Φ q + Φ T C Φ q + Φ T K Φ q = 0. . . (1 1 8 )G G

M G q G + C G q G + K G q G = 0 . . .

( 1 1 9 )

q G G G

0 ( 1 2 0 )


q i G = 0

pelo que a equação de movimento duma determinada coordenada generalizada, ou o que é

ara demonstrar os conceitos apresentados estudaremos o sistema de três graus de liberd

matriz modal

q i G + 2ζ ip i q i G + p i2.. .

( 1 2 1 )

o mesmo dum determinado modo, representa a equação de movimento dum sistema de 1 grau de liberdade com massa unitária, rigidez igual ao quadrado da frequência e amortecimento duplo do produto da frequência pelo coeficiente de amortecimento modal.

Pade apresentado na figura 2.3 em que se admite coeficiente de amortecimento modal

de 5%. A normalizada de acordo com o critério exposto é então:

A matriz

[ ]Φ =

0.05251 0 .03406 0.01585

0.04496 -0.02727 -0.03052

0.01488 -0.03781 0.03629

-1 necessária para transformar as coordenadas iniciais em coordenadas

gener e

ou seja

As equações de comportamento do sistema reduzem-se consequentemente a três equaç

q 2 G + 3 .11 q 2 G + 966 q 2 G = 0 .. .

q3 G + 4 .61 q3 G + 2124 q 3 G = 0.. .

Como cada uma das equações representa a resposta de um sistema de um grau de

liberd

alizadas pod ser obtida, dado já se tratar de matriz modal normalizada em relação à matriz de massas, a partir da seguinte propriedade evidente quando comparada a eq. 114 com a equação que relaciona uma dada matriz com a sua inversa:

Φ - 1 = Φ Τ M

( 1 1 4 b )

Φ-1 = [10.502 13.488 5.952

6.812 -8.181 -15.124

3.17 -9.156 14.516 ]

ões diferenciais desacopladas de 2ª ordem.

.. .q 1G + 1 .4 5 q 1G + 210 q 1G = 0

ade, as técnicas utilizadas na análise de resposta de sistemas de um grau de liberdade poderão ser aplicadas.


2.4.3 - Resposta em regime livre Da análise de sistemas com um grau de liberdade podemos dizer que a resposta de um

sistema em regime livre não amortecido é da forma (ver eq. 9 a) com ζ=0).

q = q0 cos(pt) + pq0 sin(pt).

( 1 2 2 )

Assim para determinar a resposta de um sistema de N graus de liberdade deve proceder-se à transformação de coordenadas dos vectores das condições iniciais através de

qG0 = Φ-1 q0 = ΦT M q0 (123)

qG0 = Φ-1 q0 = ΦT M q0. . .

es.

e

(124)

e utilizar depois a equação (122) Utilizando o exemplo atrás referido, desprezando o amortecimento e supondo que a

estrutura era libertada duma deformada com deslocamento unitário no último piso e nulo nos restant

q0 = [ ]1.000

0.000

0.000

tem-s

10.502

6.812

3.17

qG = [ ]0

e ainda

qG0 = q0 = 0. .

pelo que as equações de movimento em coordenadas generalizadas são

q 1G (t) = 1 0 .5 0 2 c o s(1 4 .5 t)

q 2G (t) = 6 .8 1 2 co s(3 1 .1 t)

q 3G (t) = 3 .1 7 c o s(4 6 .1 t)

Para obter os resultados nas coordenadas iniciais não há mais do que aplicar a transformação inversa.


q1(t) = 0.5515 cos(14.5t) + 0.30 3 cos(31.1t) + 0.0472 cos(46.1t)

q2(t) = 0.3577 cos(14.5t) - 0.1858 cos(31.1t) - 0.1199 cos(46.1t)

q3(t) = 0.1665 cos(14.5t) - 0.2079 cos(31.1t) + 0.1150 cos(46.1t)

6

Constata-se assim que, para estudar a resposta de um sistema, deve primeiro

transformar-se o problema para coordenadas principais, utilizar as soluções existentes para equações desacopladas e voltar a efectuar uma transformação de coordenadas para obter os resultados nas coordenadas iniciais.

Deixa-se ao cuidado do leitor demonstrar que quando as condições iniciais

correspondem a um campo de deslocamentos e/ou velocidades com a configuração dum determinado modo o sistema responde em coordenadas iniciais apenas nesse modo.


2.4.4 - Resposta para forças aplicadas No caso da existência de forças aplicadas, a equação de movimento

M q + C q + K q = Q ( t)...

( 1 2 5 )

pode ser transformada em

Φ T M q + Φ T C q + Φ Τ K q = Φ T Q (t). . .

( 1 2 6 )

equação que tirando partido do critério de normalização referido pode ser reescrita

q G + [ 2ζp ] q G + [ p2 ] q G = Q

. . .G(t)

( 1 2 7 )

em que G(t), vector das forças generalizadas, é o resultado da transformação de

coordenadas para as forças aplicadas (t). Como será fácil de constatar, o sistema representado na equação (127) é ainda um

sistema de equações diferenciais desacopladas, sendo possível para cada uma delas determinar a resposta com base nos conceitos apresentados quando do estudo dos sistemas de um grau de liberdade sujeitos a forças externas, nomeadamente as soluções descritas em 1.2.

Estudam-se seguidamente as formulações aplicáveis nos casos de excitação harmónica,

periódica e não periódica. Quando o sistema é sujeito a uma excitação harmónica com frequência ω, isto é sujeito

a um vector de forças aplicadas (t) do tipo:

Q (t) = Q co s (ω t)

(128)

a resposta em coordenadas generalizadas é, para o iésimo grau de liberdade (ver eq.21 b e 23 a)):

qiG(t) = β1i pi

2

QiG cos(ωt+ϕi)

( 1 2 9 )

com β1i e ϕi dados pelas eqs.23 b e 24 (para p=pi e ζ=ζi) e Q,_

iG dado por

QiG = ∑j=1

N

Φ ji Qj

( 1 3 0 )

Ao transpôr a resposta para coordenadas iniciais obtém-se:


qi(t) = ∑j=1

N

Φij β1j pj

2

QjG cos(ωt+ϕj)

( 1 3 1 )

ou seja a resposta do sistema resume-se a uma sobreposição de harmónicas desfasadas de frequência igual à da excitação em que cada harmónica desfasada representa a contribuição dum determinado modo para a resposta final. A existência dum factor β1 a

modelar a resposta de cada modo permite concluir que se a frequência de excitação se aproximar bastante da frequência dum determinado modo a estrutura responde quase exclusivamente no referido modo dependendo este fenómeno de ressonância dos coeficientes de amortecimento modais dos restantes modos e da afinidade da excitação com a configuração modal ressonante. Refira-se que, independentemente das considerações expostas, a existência do denominador pj2 na expressão anterior indica que é previlegiada a

contribuição dos modos inferiores. Quando o sistema é sujeito a uma excitação periódica é ainda possível proceder à

decomposição em série de Fourier de cada um dos elementos do vector das forças aplicadas e recorrer à formulação exposta atrás para determinar a resposta a cada componente harmónica da excitação em coordenadas generalizadas.

Relativamente à situação em que o sistema é sujeito a uma excitação determinística

não periódica existe ainda formulação analítica adequada ao problema. Com efeito, transformando a excitação para coordenadas generalizadas (ver eq.127) é possível, aplicando o conceito de integral de Duhamel, determinar a resposta em cada modo após o que, por aplicação da eq.110, se determina a resposta em coordenadas iniciais.

Como exemplo, suponha-se que à estrutura da figura 2.3 e desprezando os efeitos do

amortecimento, é aplicada uma força constante Q=1 ao nível do primeiro grau de liberdade. O vector das forças generalizadas é então:

Q G(t) = ΦT Q(t) =

[ 0.05251

0.03406

0.01585]

Utilizando os resultados expostos na eq.36 para o caso particular de força constante e condições de massa e rigidez características das coordenadas generalizadas quando se adopta o critério de normalização dos modos relativamente à matriz de massas (m=1, k=p2):

q(t) = p2

Q (1-cos(pt))


Deixa-se ao cuidado do leitor confirmar que a resposta em coordenadas iniciais é a seguinte:

q(t) = [

14..432 + 13.114cos(14.5t) + 1.199cos(31.1t) + 0.118cos(46.1t)

10.041 + 11.299cos(14.5t) - 0.860cos(31.1t) - 0.228cos(46.1t)

2.655 + 3.716cos(14.5t) - 1.331cos(31.1t) + 0.2707cos(46.1t) ] x 10e-6


2.4.5 - Resposta a acções sísmicas A resposta de um sistema de vários graus de liberdade a acções sísmicas pode ser

efectuada utilizando as técnicas referidas na análise da resposta de sistemas a forças aplicadas.

Com efeito, tal como se referiu previamente, a resposta a uma aceleração de solo é

idêntica à resposta do sistema a forças aplicadas ao nível dos vários graus de liberdade e iguais ao produto do valor da aceleração de base correspondente ao grau de liberdade em questão, pela massa respectiva.

Assim se um sistema está sujeito a uma aceleração, por exemplo segundo a direcção x,

a análise da resposta pode ser efectuada, supondo aplicadas a todos os graus de liberdade segundo a direcção x forças equivalentes ao valor da aceleração de solo vezes a massa correspondente a esse mesmo grau de liberdade.

Tal é equivalente a fazer actuar sobre o sistema um vector de forças definido como

Q (t) = - M 1 x q sx..

( t)

( 1 3 2 )

em que q,¨ sx (t) é o valor da aceleração do solo, e x é um vector formado por

elementos unitários nas posições correspondentes aos graus de liberdade segundo a direcção da aceleração e elementos nulos em todas as outras posições.

Na ocorrência simultânea de aceleração do solo em várias direcções o raciocínio

exposto é generalizável à seguinte expressão (caso tridimensional):

Q (t) = - M 1{ qsxqsyqsz}. .

. .

. .

( 1 3 3 )

em que representa uma matriz constituída por três colunas em que cada coluna é

preenchida por elementos nulos excepto nas posições correspondentes a graus de liberdade de translação segundo a direcção a que se reporta, isto é:

1 = {1 x 1 y 1 z}

( 1 3 4 )


2.5 Método de Stodola O método de Stodola, também conhecido por Stodola-Vianello, é um método iterativo

de determinação de frequências próprias e modos de vibração particularmente adaptado a microcomputadores.

Este método fundamenta-se na equação (95) que, reescrita para o modo genérico n,

conduz a:

D φ n = p n

2

1 φ n

( 1 3 5 )

em que também designada de matriz dinâmica é o produto da matriz de flexibilidade pela matriz de massas.

O processo iterativo preconizado para determinar a configuração fundamental de

vibração e respectiva frequência é o seguinte:

(1) arbitrar a estimativa inicial para o 1º modo ,_

(0) . (2) utilizando a expressão 135 na forma recursiva determinar a estimativa seguinte

v (k)

= D v

(k-1)

(3) normalizar por qualquer critério a estimativa de ordem k

v

(k) = norm ( v

(k))

(4) critério de paragem. Verificar se as estimativas normalizadas correspondentes aos ciclos (k) e (k-1) são aceitavelmente iguais. Proceder para (5) ou repetir passos (2), (3) e (4) até satisfação do critério de paragem respectivamente. (5) determinar aproximação à configuração e frequência fundamental através de:

φ 1 = v

( k ) TM v

( k )

v ( k )

(

1 3 6 )

p12 =

∑i∑

jvj

(k)Mjivi

(k)

∑i∑

jv j

(k)Mjivi

(k-1)

( 1 3 7 )


Observe-se que a expressão 137 resulta do facto de se tratar dum processo iterativo. De facto, como é demonstrado seguidamente, no limite (k→ ∞) a estimativa de ordem k do 1º modo coincide com este e verifica-se a seguinte igualdade:

v (k)

= D v

(k-1)=

p12

1 v

(k )-1

( 1 3 8 )

pelo que o quociente do mesmo elemento das estimativas consecutivas conduz, independentemente do elemento, ao valor de p1.

Na prática, o facto de se interromper o ciclo de Stodola com um número finito de

iterações conduz à existência de elementos i e j tais que:

vj

(k-1)

v j (k)

< p1

2

1 <

vi

(k-1)

vi (k)

(

1 3 9 )

pelo que a média ponderada destes quocientes preconizada na expressão 137 conduz à melhor aproximação para cálculo da frequência fundamental.

Falta apenas demonstrar porquê a utilização da expressão 135 na forma recursiva a

partir duma estimativa inicial arbitrária conduz a aproximações progressivamente refinadas da configuração fundamental. Com efeito observe-se que a estimativa inicial é implicitamente uma combinação linear das diversas configurações modais, isto é:

v

(0 ) = c1 φ 1 + c2 φ 2 + . . + cn φ n + . . + cNφ N

( 1 4 0 )

Após o 1º ciclo de Stodola obtém-se:

v (1 )

= D v

(0 )= c1 D φ 1 + c2 D φ 2 + . . + cn D φ n + . . + cND φ N

( 1 4 1 )

tirando partido da expressão 135

v (1 )

= p1

2

c1 φ 1 + p2

2

c2 φ 2 + . . + pn

2

cn φ n + . . + pN

2

cN φ N

( 1 4 2 )

ou, individualizando a fracção com p, 1 2

v (1 )

= p 1

2

1 { c 1 φ 1 + c 2 (p 2

p 1 )2

φ 2 + . . + c n (p n

p 1 )2

φ n + . . + c N(p N

p 1 )2

φ N}

( 1 4 3 )

Generalizando esta expressão para o késimo ciclo determina-se a seguinte expressão:

v (k )

= p 1

2 k

1 { c1 φ 1 + c2 (

p 2

p 1 )2 k

φ 2 + . . + cn (p n

p 1 )2 k

φ n + . . + cN(p N

p 1 )2 k

φ N}

( 1 4 4 )


o que tendo em conta a ordem relativa das frequências próprias serve como demonstração ao pretendido.

Outra observação possível de extrair da expressão anterior é que, se por algum

processo se eliminasse da estimativa inicial a componente do 1º modo, as estimativas posteriores convirgiriam não para o 1º mas para o 2º modo. É precisamente nesta propriedade que se radica a extensão do método de Stodola para a determinação de frequências e modos superiores.

Com efeito atente-se a que:

φ 1T M v

( 0 ) = c φ 1

T M φ 1 + c 2 φ 1T M φ 2 + . . + c n φ 1

T M φ n + . . + c N φ 1T M φ N1

( 1 4 5 )

o que, atendendo às relações de ortogonalidade:

φ 1T M v

(0 ) = c 1

( 1 4 6 )

,´(0) obtido da seguinte forma Nestas circunstâncias resulta que o vector

v´(0 )

= v(0 )

- φ 1 φ 1T M v

(0 ) = { I - φ 1 φ 1

T M } v(0 )

( 1 4 7 )

não apresenta componente do 1º modo pelo que o posterior processamento pelo ciclo de Stodola conduz a aproximações progressivamente afinadas do 2º modo. Observe-se que este procedimento é extensível à determinação dos modos superiores. Com efeito admitindo o conhecimento as estimativas dos primeiros (n-1) modos é possível através da seguinte expressão:

v´ ( 0 )

= v( 0 )

- φ 1T M v

( 0 ) - φ 2

T M v( 0 )

- . . - φ n - 1T M v

( 0 )φ n - 1φ 2 φ 1

( 1 4 8 )

ou equivalentemente

v´(0 )

= { I - φ 1 φ 1T M - φ 2 φ 2

T M - . . - φ n -1 φ n -1T M } v

(0 )

( 1 4 9 )

eliminar da estimativa inicial as componentes dos modos inferiores a n. O posterior processamento desta estimativa conduz ao nésimo modo. Na prática, a existência de erros de arredondamento numérico aconselha à eliminação das componentes dos modos inferiores dentro do próprio ciclo de Stodola. Nestas circunstâncias define-se a matriz de varrimento correspondente ao nésimo modo:

S n = { I - φ 1 φ 1T M - φ 2 φ 2

T M - . . - φ n -1 φ n -1T M} = S n -1 - φ n -1 φ n -1

T M

( 1 5 0 )

e redefine-se a matriz dinâmica D n = F M S n = D S n

( 1 5 1 )


Como exemplo de aplicação, o método de Stodola será utilizado para calcular as duas primeiras frequências próprias da estrutura previamente apresentada.

O primeiro passo consiste em determinar a matriz de flexibilidade quer por aplicação

de forças unitárias ao nível dos pisos quer ainda por inversão da matriz de rigidez. Neste caso a matriz de flexibilidade é dada por :

[

F = 720000

1

11 5 2 5 5 2 2 2 2

] [ m/KN ]

A aplicação do método de Stodola conduz ao quadro 2.1. Observe-se que cada elemento da estimativa inicial do primeiro modo corresponde à

soma dos termos respectivos da mesma linha da matriz 1. Este vector não é mais que a

deformada que a estrutura apresenta quando a cada nível se aplica a massa do piso ou seja este vector corresponde à deformada utilizada pelo método de Rayleigh.

Refira-se por fim a importância de desenvolver convenientemente os ciclos de Stodola

relativos aos primeiros modos por forma a evitar que, na determinação dos modos superiores, a ortogonalização efectuada pela matriz n não seja eficaz.


S1 = I

[D1 = F M = 720000

1

2200 1500 800 1000 1500 800 400 600 800 ]

1.000 1.000 1.000 1.000 1.0000.733 0.669 0.653 0.649 0.6490.400 0.320 0.306 0.303 0.302

0.00503 0.00480 0.00476 0.00475 0.004740.00336 0.00314 0.00309 0.00308 0.003080.00161 0.00147 0.00144 0.00143 0.00143

v (k)

v (k)

k=1 k=2 k=3 k=4 k=5p1 = 14.52 rad/s

φ1T = ( 0.05251, 0.03406, 0.01585 )

S2 = S1 - φ1 φ1T M

[D2 = F M S2 =

--

44 -46.1 -46.830.7 43.3 8.7123.4 6.54 63.5 ] x 10

-5

1.000 1.000 1.000 1.000-1.000 -0.605 -0.606 -0.606-1.000 -0.682 -0.680 -0.679

0.00137 0.00104 0.00104 0.00104-0.00083 -0.00063 -0.00063 -0.00063-0.00093 -0.00071 -0.00071 -0.00071

p2 = 31.05 rad/s

φ2T = ( 0.04495, -0.02726, -0.03053)

k=1 k=2 k=3 k=4

v (k)

v (k)

Quadro 2.1 - Exemplo de aplicação do método de Stodola


2.6 - Matriz de massa consistente Na generalidade dos casos a matriz de massa é supostamente diagonal (lumped-mass) o

que corresponde a concentrar a massa do sistema nos seus nós. Casos há em que a distribuição contínua de massa ao longo dos elementos, que se

verifica, com maior o menor relevância, nos sistemas reais, justifica a utilização de uma matriz de massa que tenha em conta a distribuição da massa ao longo da estrutura e que se denomina por matriz de massa consistente. Essa matriz de massa é obtida a partir da sobreposição das matrizes de massa de cada membro, de uma forma semelhante à utilizada na formação de matriz de rigidez global a partir das matrizes elementares. Na matriz de massa de cada elemento, a posição Mjk representa a força de inércia que se desenvolve no

grau de liberdade j quando se aplica uma aceleração unitária segundo o grau de liberdade k.

No caso particular de um elemento de barra a matriz de massa do elemento pode ser

escrita como (sendo m,_

e l respectivamente a densidade linear de massa e o comprimento do elemento):

q 1

q 2 q 3

q 4

q 5 q 6

i j

Fig. 2.7 - Esquema de numeração dos graus de liberdade em elemento barra

420m l

[ ]210 0 0 0 0 0 0 156 54 0 22l -13l 0 54 156 0 13l -22l 0 0 0 210 0 0 0 22l 13l 0 4l -3l 0 -13l -22l 0 -3l 4l2

222

( 1 5 2 )

Considere-se como exemplo o pórtico representado na fig.2.8 com os três graus de

liberdade.


q1

q2 q3

m

2m

m l

2l Fig. 2.8 - Pórtico de aplicação de matriz de massa consistente

As matrizes de massa diagonal e consistente serão neste caso respectivamente :

[ ] 2100 0 0 0 0 0 0 0 0420

mlM =

[ ]1992 22l 22l

22l 68l -48l 22l -48l 68l 22

22420mlM =


3 - Análise sísmica

3.1 - Resposta dinâmica a uma aceleração de base

Quando, em vez de actuada por forças ao nível de cada grau de liberdade, a estrutura é actuada por movimentos na base, situação verificada durante a actuação de sismos, as equações que caracterizam a resposta dinâmica tomam uma forma diferente das descritas nas eqs. 6 e 86.

Nessas condições o equilíbrio dinâmico pode ser escrito da seguinte forma em sistemas

de 1 grau de liberdade:

m q * + c q * + k q * = - m q s. . . . .

( t) = F i ( t)

( 4 8 r e p )

em que q* representa o deslocamento relativo solo-estrutura Vemos assim que a análise de uma estrutura sujeita a uma aceleração de base e q,¨ s é

equivalente à análise dessa mesma estrutura, sujeita a uma força de inércia Fi(t) igual ao

produto da sua massa pela aceleração do solo. Para um oscilador de vários graus de liberdade, a equação acima toma uma forma matricial em que o segundo membro é o produto da matriz de massa por um vector com todos os termos iguais à aceleração do solo (ver eq. 133).

Se a aceleração do solo puder ter uma representação similar à da equação (18), ou seja Fi(t)=Ficos(ωt), conclui-se que tudo o que foi dito para resposta em regime forçado (secção

1.2) pode ser extrapolado para resposta dinâmica a acções sísmicas. Dado que uma acção sísmica pode ser idealizada como a sobreposição de harmónicas,

com diferentes amplitudes para as diferentes frequências, a análise torna-se possível com os conhecimentos anteriormente apresentados. A solução da equação de movimento pode ser obtida quer recorrendo a técnicas de resolução numérica da eq.125, quer através de técnicas de análise modal. O primeiro tipo de análise não será objecto de referência e o segundo foi descrito nas secções 2.4.4 e 2.4.5. Abordaremos agora, pela sua facilidade de aplicação a análise por espectros de resposta.


3.2 - Análise sísmica por espectro de resposta O actual Regulamento de Segurança e Acções, prevê a possibilidade de utilização das

técnicas de análise sísmica por espectro de resposta. O espectro de resposta (no caso do R.S.A., espectro de resposta de acelerações) é o valor máximo da aceleração que um oscilador de um grau de liberdade sofreria quando excitado por uma dada acção sísmica (o R.S.A. define espectros para dois tipos de sismo e três tipos de terrenos). A partir da analogia que existe entre a resposta de osciladores de vários graus de liberdade e um oscilador de um grau de liberdade é possível quantificar através de espectros de resposta os valores máximos de resposta de um oscilador de vários graus de liberdade.

Para tanto relembremos que a resposta de um sistema de vários graus de liberdade

pode ser imaginada como a sobreposição das respostas para cada um dos seus modos de vibração. Dado que a configuração de vibração para um determinado modo é conhecida, a resposta para esse modo pode ser idealizada como a resposta de um oscilador de um grau de liberdade. Na realidade, tendo em conta que para um determinado modo, as relações entre os deslocamentos dos diversos graus de liberdade são interdependentes, o sistema comporta-se como um sistema com um único grau de liberdade, que não é mais do que a amplitude pela qual tem de ser corrigida a configuração de vibração respectiva.

No estudo sísmico de estruturas por espectros de resposta a aceleração do solo pode

ser escrita na forma

qs(t) = qsx(t) + qsy(t) + qsz(t). . . . . . . .

( 1 5 3 )

em que as parcelas representam as acelerações do solo segundo as três direcções x, y, e z. Isolando o efeito da aceleração do solo segundo a direcção x conclui-se que a equação de movimento relativa ao modo i é então

qiG + 2ζ ip i q iG + pi2 qiG = - P ix qsx

. . . . .

(1 5 4 )

em que pi e ζi representam respectivamente a frequência e o coeficiente de

amortecimento do modo de ordem i e qiG é a iésima coordenada generalizada ou, o que é

igual, a amplitude da iésima configuração modal. A variável Pix designada de factor de participação modal (modo i, direcção x) é

definida para uma acção de base rígida da seguinte forma (ver eqs. 132 e 133)

P ix = φ iT M 1 x

( 1 5 5 )


pelo que se constata que o factor de participação modal é uma entidade independente da acção que solicita a estrutura. Este factor, que apresenta na eq.154 um efeito amplificador da aceleração do solo, depende essencialmente do conteúdo e coerência dos movimentos segundo x da iésima configuração modal.

Recorrendo ao conceito de deslocamento espectral, o valor máximo da iésima

coordenada generalizada é então

q iGm ax = P i x S x(p i)x

( 1 5 6 )

em que Sx (pi) é o deslocamento espectral na direcção x, correspondente à frequência pi. Nestas circunstâncias, o campo de deslocamentos máximo que a estrutura apresenta

considerando a acção específica que solicita a estrutura e a contribuição exclusiva do modo i obtém-se da seguinte forma

q i(m ax)

= q iG(m ax) φ i = P ix S x(pi) φ ix x

( 1 5 7 a )

De modo idêntico as respostas máximas correspondentes às direcções y e z são

q i(m ax)

= q iG(m ax) φ i = P iy S y(p i) φ iy y

( 1 5 7 b )

q i(m ax)

= q iG(m ax) φ i = P iz S z(p i) φ iz z

( 1 5 7 c )

em que os termos Piy e Piz representam os factores de participação do modo i relativamente às direcções y e z

Piy = φ iT M 1 y

( 1 5 8 )

P iz = φ iT M 1 z

(1 5 9 )

Na hipótese, preconizada pelo R.S.A., de independência dos movimentos do solo segundo as diversas direcções, a resposta total máxima correspondente ao modo i é então

q i(max)

= (q ix(max))

2+ (q iy

(max))2+ (q iz

(max))2

( 1 6 0 )

ou alternativamente

q i(m ax)

= q ix(m ax)

+ q iy(m ax)

+ q iz(m ax)

( 1 6 1 )

O cálculo da resposta modal máxima a partir da soma dos valores absolutos das componentes nas três direcções ortogonais, não estando de acordo com o previsto como admissível no R.S.A, é no entanto extremamente semelhante ao ali preconizado. Com efeito, o R.S.A. permite que o cálculo da resposta máxima possa ser efectuado através duma


combinação quadrática das respostas nas três direcções (eq. 160). De salientar que o facto de se efectuar uma soma dos valores absolutos das componentes nas três direcções ortogonais, representa em relação às condições previstas no regulamento, uma análise ligeiramente mais conservativa. Dado que na maioria dos casos há uma preponderância nítida de uma das componentes, os dois métodos acabam no entanto por conduzir a resultados similares.

Relativamente à regra de combinação das respostas máximas para os diferentes

modos, o R.S.A. prevê que a resposta global possa ser calculada por uma combinação (também quadrática) das respostas calculadas para cada um dos modos.

q(max)

= ∑i

(q i(max))

2

( 1 6 2 )

Refira-se que a regra de combinação quadrática entre os modos se encontra condicionada no R.S.A. a determinadas hipóteses relativas ao afastamento das frequências próprias do sistema. Quando tais hipóteses são violadas é ainda possível efectuar uma combinação das respostas modais, desta feita através duma combinação quadrática completa -CQC- (ver secção 3.3).

Nas condições da combinação quadrática simples, a ordem pela qual se efectuam as

combinações é irrelevante, já que, tratando-se de combinações quadráticas, pode ser calculada primeiramente a resposta para uma determinada direcção através da combinação das respostas modais para essa mesma direcção, e posteriormente ser feita a combinação das respostas para cada uma das direcções.

Tendo como objectivo a utilização da formulação apresentada a aplicações destinadas

a microcomputador, como alternativa mais elaborada ao método das forças estáticas equivalentes, apresentam-se seguidamente alguns exemplos, necessariamente sumários, das diversas fases do algoritmo proposto.

Suponha-se para começar que um oscilador de um grau de liberdade (peso W) está

sujeito na zona A, a uma acção sísmica tipo 1 em terreno tipo II e que o seu amortecimento é de 5%. Suponha-se ainda que a frequência própria desse oscilador é de 1.5 Hz . De acordo com a Fig. III-3 do R.S.A., o valor de aceleração espectral correspondente a essa frequência e amortecimento é de 200 cm/seg2 o que corresponde a dizer que a massa (m) desse oscilador vai ficar sujeita a uma força horizontal igual a 200*m o que é o mesmo que dizer que o coeficiente sísmico é de 200/980 ou seja 20.5%. Assim, uma análise "dinâmica" simplificada permite determinar a frequência própria do sistema e, conhecida a aceleração espectral correspondente, calcular as forças actuantes ao nível do grau de liberdade ((w/980)*200).


No caso de osciladores de vários graus de liberdade, o processo torna-se mais

complexo, mas é ainda relativamente simples, quando aplicado a análises planas de estruturas de edifícios em que se possa supôr que devido à elevada rigidez dos pavimentos no seu próprio plano, possuem apenas um grau de liberdade por piso.

Para tanto, torna-se primeiro necessário determinar as frequências e os modos de

vibração. Na realidade não é necessário calcular todas as frequências e modos de vibração, já que, como veremos, apenas alguns dos modos, geralmente os que correspondem a frequências mais baixas, têm contribuição efectiva na resposta.

A análise é efectuada modo a modo, após o que se efectua uma combinação das

respostas modais. Depois da determinação das frequências fj (Hz) e modos de vibração vij torna-se necessário calcular para cada modo de vibração j, a massa efectiva ou generalizada desse modo Mj e o "factor de contribuição" (não confundir com factor de participação) desse modo para a resposta ao sismo Pj .

Se denominarmos por mi a massa correspondente ao grau de liberdade i e por vij o

valor correspondente ao elemento de ordem i do modo de vibração j , por hipótese normalizado por qualquer outro critério que não o da normalização relativamente à matriz de massas.

Mj = ∑i

mi vij2

( 1 6 3 )

Pj = ∑i

mi vij

( 1 6 4 )

Saliente-se que o quociente Error!não é mais do que o factor de participação do modo j definido na eq.155

Uma vez calculados estes valores, os deslocamentos qij e as forças modais Fij máximas

(deslocamentos e forças máximas para o grau de liberdade i, para a resposta no modo de vibração j) podem ser calculados

qij = v ij Mj

P j 4π 2fj

2

S aj

( 1 6 5 )

F ij = m i v ij M j

P j S aj

( 1 6 6 )


em que Saj é o valor da aceleração espectral correspondente à frequência fj. De notar que fj é expresso em Hz o que explica o denominador 4p2fj2 na primeira expressão.

A partir dos valores dos deslocamentos e forças ao nível dos diversos graus de

liberdade, é possível determinar os deslocamentos e esforços em qualquer ponto da estrutura. Designaremos qualquer uma dessas quantidades por rj, seja esforço ou

deslocamento, em que o índice j significa que se trata da resposta no modo de vibração j.

Adoptando a já referida regra de combinação quadrática das respostas modais a resposta máxima global é então:

r = ∑j

rj2

( 1 6 7 )

Como exemplo de aplicação far-se-á a análise da estrutura de três graus de liberdade (um por piso) para a qual já foram determinadas as frequências próprias e os modos de vibração.

Na Figura 3.1 apresentam-se as diversas grandezas necessárias para os cálculo a

desenvolver.


v

SM P

q

Fig. 3.1 - Exemplo de análise simplificada por espectro de resposta

De salientar em relação ao quadro de cálculo da fig. 3.1 , que todos os valores qij e Fij

são calculados tendo em atenção os respectivos sinais. Faça-se uma análise dos resultados em termos das forças obtidas. Para a resposta no

primeiro modo de vibração (j=1) obtiveram-se os seguintes valores

F 1 = 823 K N

F 2 = 803 K N

F 3 = 494 K N

a que corresponde a um esforço tranverso total na base de

Fh = ∑i

Fi = 2120 KN

Se combinarmos quadraticamente os valores correspondentes ao 1º e ao 2º modos de

vibração obtém-se:

F1 = 8232 + (-403)2 = 916 KN

F2 = 8032 + 3682 = 883 KN

F3 = 4942 + 5482 = 737 KN

Fh = 21202 + 5132 = 2181 KN

Se incluirmos nessa combinação os resultados para o terceiro modo obtém-se:


F1 = 8232 + (-403)2 + 732 = 919 KN

F2 = 8032 + 3682 + (-278)2 = 926 KN

F3 = 4942 + 5482 + 3542 = 818 KN

Fh = 21202 + 5132 + 1492 = 2186 KN

De salientar que o valor de Fh não é igual à soma das forças aos vários níveis (∑Fi). Tal

deve-se ao facto de cada um dos valores das forças aos diversos níveis ser o valor máximo esperado para essas forças, enquanto que o valor máximo da força ao nível do solo, não tem necessariamente de ser a soma dos máximos, dado que esses máximos podem não ocorrer simultaneamente.

Tal facto significa que ao fazer uma análise por espectro de resposta, a resposta para

cada modo de vibração tem de ser calculada separadamente, seja ela um deslocamento, um esforço normal ou um momento flector numa dada barra, e só depois dessa quantidade ser calculada para todos os modos de vibração é que a combinação pode ser efectuada.

Chame-se também a atenção para o facto de que, por vezes, não se torna necessário

calcular a resposta para todos os modos de vibração. Com efeito, se se tivesse desprezado a contribuição do terceiro modo, estar-se-ia a cometer um erro por defeito de apenas 0.2% para o valor da força Fh. Esse erro seria de 3% se se tivesse desprezado a influência dos 2º e 3º

modos. Por aqui se pode ver que os modos que correspondem a frequências mais altas, têm geralmente uma contribuição menor para o valor global da resposta.

Para tal concluir basta atentar que a contribuição imputável a cada modo para a

resposta final resulta dos seguintes dois efeitos: factor de participação modal e deslocamento espectral. Os factores de participação associados aos modos inferiores são, regra geral, bastante maiores que os restantes. Este facto deve-se à maior coerência apresentada pelas configurações modais mais baixas (com todas as parcelas envolvidas no cálculo do factor de participação aditivas). Relativamente ao efeito do deslocamento espectral é imediado concluir que nos espectros preconizados pelo R.S.A. se observa uma atenuação do deslocamento particularmente significativa a partir de valores na vizinhança de 1 Hz. Repare-se apenas que no cálculo de grandezas estáticas (forças, etc..) pretende-se não o deslocamento mas sim a aceleração espectral, grandeza sensivelmente constante a partir dos 1-2 Hz. Nestas situações apenas se faz sentir o efeito do factor de participação modal pelo que a contribuição dos modos superiores já não é tão desprezável quanto o verificado no cálculo de grandezas cinemáticas.


Este tipo de considerações não deve contudo ser cegamente generalizado pois casos há

em que certas especificidades próprias de determinadas estruturas se sobrepõem aos efeitos analizados originando contribuições significativas dos modos superiores. Citam-se a título de exemplo as estruturas muito flexíveis (pontes, edifícios altos, ..etc) em que, devido às baixas frequências dos modos fundamentais, os maiores deslocamentos espectrais estão associados a modos que não os de frequências mais baixas.

Finalmente comparem-se os resultados obtidos, com os que se obteriam efectuando

uma análise estática equivalente de acordo com o previsto no R.S.A. (pags. 48 a 52). De acordo com o R.S.A. teríamos como alternativa calcular a frequência própria pela

fórmula simplificada

f = n

12

ou ainda pelo método de Rayleigh. Pela primeira via obter-se-ia 4Hz, a que corresponderia, para terreno tipo II, um

coeficiente sísmico de 0.40. Pela segunda via admita-se que se obteria a frequência correcta de 2.31 Hz, a que corresponde um coeficiente sísmico de 0.304. A razão para esta disparidade deverá residir no facto de que o exemplo seleccionado não representa convenientemente as características de rigidez/massa dos edifícios reais para os quais foi ajustada a expressão de cálculo aproximada de frequências próprias preconizada no R.S.A..

Compararemos os resultados que se obtêm pelas duas vias, admitindo o valor da

frequência fundamental determinado pelo método de Rayleigh. Nesse caso, as forças aos diversos níveis podem ser calculadas de acordo com o regulamento (pag. 98) e admitindo alturas uniformes entre pisos (h) :

F1 = 9.8*(100*3h+150*2h+200*h)

0.304*3h*200*9.8*(9.8*(100+150+200)) = 1005 KN

F2 = 9.8*(100*3h+150*2h+200*h)

0.304*3h*300*9.8*(9.8*(100+150+200)) = 1005 KN

F3 = 9.8*(100*3h+150*2h+200*h)

0.304*1h*400*9.8*(9.8*(100+150+200)) = 670 KN


O valor correspondente de Fh é de 2680 KN .

Tal representa um acréscimo de 22.6% em relação ao resultado previamente obtido. Se

se fizer a comparação por exemplo entre os esforços inter-pisos (F1, F1+F2 e F1+F2+F3=Fh)

os acréscimos são respectivamente de 9.4%, 8.9% e 22.6%. Se em vez de se ter utilizado o valor da frequência calculado, se tivesse optado pela

fórmula simplificada, o acréscimo, por exemplo do esforço ao nível do solo, seria de 61%. As comparações aqui efectuadas não podem obviamente ser extrapoladas para todas

as situações. Poderá inclusive dar-se o caso de uma análise por meio de espectro de resposta conduzir em certos pontos da estrutura a valores mais elevados. Esta comparação foi feita, apenas com a intenção de sensibilizar para o facto de que genericamente é vantajoso proceder a uma análise mais elaborada, dado que de um modo geral conduzirá a esforços menos elevados do que aqueles que se obtêm por uma análise simplificada, em que, obviamente, há um preço a pagar pela incerteza associada com as simplificações efectuadas.

Ainda de salientar que, os valores de F1, F2 e F3 que se apresentaram, não devem ser

utilizados para cálculo de esforços. Eles correspondem apenas aos valores máximos das forças ao nível de cada piso, os quais não é lógico supor que actuem simultaneamente. Para determinação dos esforços, devem pois calcular-se os esforços correspondentes a cada modo, e apenas depois efectuar a combinação final.


3.3 - O método CQC de combinação modal

A versão original da análise por espectro de resposta realiza a combinação das respostas modais máximas através do método da combinação quadrática ou da raiz quadrada da soma dos quadrados, que é vulgarmente designado por SRSS (Square-Root-of-Sum-of-Squares).

De acordo com tal princípio a resposta total r(max), quer em termos de deslocamentos

quer em termos de forças, pode ser obtida por

r(max) = ∑j

(rj(max))

2

( 1 6 8 )

onde rj (max) é a resposta máxima no modo j.

A experiência de largos anos de aplicação permitiu detectar que para análise tridimensional e no caso de existirem frequências próprias aproximadas que correspondam a modos de vibração com componentes de torção importantes, o método pode causar erros significativos.

Na sequência de tal observação, vários métodos de combinação das respostas modais

têm sido propostos. Um deles, o método da combinação quadrática completa, (Complete Quadratic Combination) CQC , propõe uma metodologia que segue a filosofia base do SRSS mas que entra também em linha de conta com a autocorrelação existente entre as respostas modais.

Assim, propõe para uma componente típica de deslocamento, qk

qk = ∑i

∑j

qki µ ij qkj

( 1 6 9 )

e para uma componente típica de força Fk � � Os coeficientes de correlação modais, �ij, são função da duração e do conteúdo de

frequência da acção e das frequências modais e seus amortecimentos. Quando a duração da acção sísmica é suficientemente longa comparada com os períodos de vibração da estrutura,


e se o espectro de resposta é regular para uma larga faixa de frequências é possível aproximá-los por

� �

com r = pi

pj

Para amortecimento modal constante ζ, a eq.171 reduz-se a

µij = (1-r2)2 + 4ζ2r(1+r)2

8ζ2(1+r)r23

( 1 7 2 )

Para r=1 (pi=pj), µij=1 e para r=0 (frequências não relacionadas), µij=0, situação em

que os resultados obtidos pelo método de CQC coincidem com os obtidos pelo método de SRSS.

De salientar que os termos cruzados das equações (169) podem tomar valores positivos

ou negativos consoante correspondam a respostas modais com o mesmo sinal ou sinais opostos.

A partir dos coeficientes de correlação modais calcula-se a resposta da estrutura tendo

em conta a correlação entre as respostas modais (equações 169). Esta metodologia, dado não afectar significativamente a complexidade ou tempo de execução da análise, é perfeitamente justificada mesmo para casos em que a separação de frequências deixa antever ausência de correlação entre as respostas modais.


3.4 - A adaptação para a consideração de movimentos de base independentes

3.4.1 - Necessidade da adaptação A análise por espectro de resposta, ou mesmo a análise, no domínio do tempo, da

resposta de uma estrutura a uma acção sísmica definida através de um acelerograma são apenas aplicáveis, da forma como foram previamente enunciadas, quando um mesmo espectro, ou um mesmo acelerograma são aplicados a toda a base de ligação ao exterior (espectro de base rígida ou acelerograma aplicado a toda a base da estrutura).

A fim de contemplar a possibilidade de existência de movimentos independentes

aplicados a apoios individuais, torna-se necessário introduzir algumas alterações. Tais alterações baseiam-se na metodologia que seguidamente se enuncia.

3.4.2 - Equações de movimento para excitações diferentes nos vários suportes As equações gerais de movimento antes de aplicar as condições de fronteira podem ser

escritas da seguinte forma

Mc q

c + C

cq

* c + K

cq

* c = Q

. . . c

( 1 7 3 )

com

qc =

q

qb

( 1 7 4 )

em que e b são respectivamente os graus de liberdade acima dos apoios e os graus de liberdade da base. Em relação aos primeiros tem-se

q = qs + q*

(175)

sendo s os deslocamentos pseudo-estáticos (deslocamentos correspondentes à

deformada da estrutura resultante de deslocamentos estáticos impostos a nível dos apoios) e * os deslocamentos relativos solo-estrutura.

Por outro lado, e dado não existirem forças aplicadas à estrutura mas tão somente

deslocamentos impostos na sua base, o vector de forças c pode também ser decomposto num sistema de forças aplicado ao nível dos graus de liberdade acima da base ,


necessariamente nulo, e num sistema de forças existente ao nível da base, b, o qual é igual às reacções totais provocadas nos apoios pela acção sísmica ( ) diminuidas de um sistema de forças auto-equilibrado que corresponde às reacções provocadas por movimentos relativos impostos entre os vários apoios.

Qc = =

Q

Qb[ ] ]o

q[ q bK bb-K b)( T-R

s

(

1 7 6 )

Tendo em conta a equação 176 e ainda que

+= ]q*q

qb[ ] q

qb[ s

( 1 7 7 )

fazendo a partição das matrizes (completas c) indicadas em 173,

M Mb

Mb b( M

b)T

K Kb

Kb b( K

b)T

C Cb

Cb b( C

b)T

q*.

q*

+ + =[ ]][[[ ]] ]] [[[ 0

Q]. .q. .q b b0 0

( 1 7 8 )

. .

resulta

M qs + M q

* + M

bq

b + C q

* + K q

* = 0

. . . . . . .

( 1 7 9 a )

(Mb)

Tq

s + (M

b)T

q* + M

bb q

b (K

b)T

q* =

. . . . . .

=

+

q q bK b b-K b )( T-

(Cb)

T q

*.+

sR

( 1 7 9 b )

podendo a equação 179 a) ser reescrita da seguinte forma

M q*

+ C q*

+ K q*

= - M qs - M

bq

b. . .. .

(

1 8 0 )

Dado o princípio da reciprocidade

K qs = + K

b q

b0

( 1 8 1 )

ou


K qs = - ∑i

gi q ib

( 1 8 2 )

em que i é a coluna i da matriz b.

Considere-se

b i = K-1

g i ( 1 8 3 )

Nesse caso

K-1 K qs = - ∑

i K

-1 gi q i

b

( 1 8 4 )

ou ainda

qs = - ∑i

bi q ib

( 1 8 5 )

em que i é portanto o vector deslocamento na estrutura devido a qib=1 ou seja, os

deslocamentos na estrutura devidos a um deslocamento unitário correspondente ao iésimo grau de liberdade da base.

Nestas circunstâncias

qs = - ∑i

bi qib

(

1 8 6 )

ou, transformando a eq. (180)

M q* + C q

* + K q* = - ∑

i M bi q i

b - Mb q

b

.. . . ...

( 1 8 7 )

No caso de não haver massas concentradas ao nível da fundação a eq. 187 reduz-se a

M q* + C q

* + K q * = - ∑

i M b i q i

b . . . ..

( 1 8 8 )

que é a equação fundamental de equilíbrio de movimento para movimentos de base independentes.

De notar que no caso de haver um movimento de base rígida (i=1), i é um vector de

elementos unitários para os graus de liberdade correspondentes à direcção do movimento pelo que a eq. 188 resulta em


+ C q + K q = - M 1 q

or outro lado, e feitas as devidas simplificações, a equação 179b pode ser usada para determinar as reacções ao nível do solo.

al como foi mostrado na secção 3.4.2 a consideração de movimentos de base indep

M q* * * b. . . . .

( 1 8 9 )

que é uma equação formalmente idêntica à equação 173. P

3.4.3 - Os deslocamentos "Pseudo-Estáticos" Tendentes, obriga à determinação dos coeficientes i definidos pela eq. 183.

Tais coeficientes não são mais do que os deslocamentos correspondentes à deformada

da estrutura quando "actuada" estaticamente por um deslocamento imposto a nível de um dos apoios. Podem assim ser encarados como uma linha de influência correspondente a um deslocamento unitário em um dos apoios. Dada a sua característica de corresponderem a deslocamentos que se verificariam na estrutura se não existissem forças de inércia nem de amortecimento, tais deslocamentos, quando multiplicados pelo correspondente valor do deslocamento imposto num dos apoios são designados por deslocamentos "pseudo-estáti

pois necessário proceder separadamente, para cada um dos movimentos de base, a uma análise estáti

e, através do número correspondente a cada grau de liberdade, garante-se que se faz corresponder os deslocamentos calculados aos respectivos graus de liberdade em análise dinâm

cos". Numa análise sísmica por espectro de resposta com movimentos independentes dos

vários apoios, tais deslocamentos podem ser fornecidos como dados. Torna-se

ca prévia, para determinar os deslocamentos "pseudo-estáticos" correspondentes. No seu cálculo podem utilizar-se as capacidades de análise estática do próprio

programa,

ica. Os coeficientes i são posteriormente utilizados para "alterar" os factores de

participação de resposta modal, tal como será posteriormente descrito. Simultaneamente os deslocamentos "pseudo-estáticos", bem como os esforços que lhes correspondem, são também utilizados, como se verá também mais tarde, para calcular uma componente da


resposta que representa uma parcela "pseudo-estática" correspondente aos deslocamentos relativos dos apoios.

epois de definida a acção sísmica na base de cada apoio, sob a forma de espectros de respo

" para movimentos unitários impostos separadamente a cada um dos graus de liberdade da base. Assim sendo, os factores de participação, por exemplo do modo i para a direcção x, são paracada

as em que o vector

3.4.4 - Resposta da Estrutura Dsta diferenciados, procede-se a uma análise da resposta dinâmica de acordo com o

exposto nas secções 3.4.2 e 3.4.3. Assim, são primeiramente determinados os deslocamentos "pseudo-estáticos

movimento de base dados por uma equação semelhante à eq. 155, que se repete

P ix = φ iT M 1 x

( 1 5 5 r e p )

m x é substituido pelo vector de deslocamentos "pseudo-estáticos"

j, qu

mplo se supõe ser segundo a direcção x).

A equação que permite calcular os "novos" factores de participação para o modo devibra

resposta estrutural é calculada para cada movimento de base j, por um processo simila

e é o vector de deslocamentos correspondente a um deslocamento unitário segundo o

grau de liberdade da base j (que neste exe

ção i e movimento de base j é assim

P ixj = φ iT M b j ( 1 9 0 )

Ar ao descrito nas eqs. 157 em que o vector é substituido pelo vector de deslocamentos

pseudo-estáticos. Para um determinado apoio, a resposta total máxima é obtida pela soma das respostas

devid

ência estocástica entre os movimentos em cada um dos apoios. Assim, parece correcto assumir que a parcela dinâmica da resposta

as aos movimentos correspondentes a cada um dos graus de liberdade de base do respectivo apoio, segundo uma fórmula igual à da eq. 160 ou 161 e 162

Na combinação das respostas correspondentes a cada um dos apoios, e a fim de

calcular a parcela dinâmica correspondente à resposta máxima global, assumiu-se que de acordo com o modelo idealizado, existe independ


máxim

amento estático igual ao valor de pico de deslocamento, imposto no respectivo grau de liberdade de base. Tal como se fez para a componente dinâmica da respo

Finalmente, pode também optar-se por uma combinação quadrática das parcelas "dinâmica" e "estática" da resposta. Assim, a resposta total é, no seguimento das equações 18, e escrita para um valor de resposta generalizado (deslocamento ou força) :

a total pode ser obtida fazendo uma combinação quadrática das respostas dinâmicas devidas aos movimentos de cada um dos apoios.

Seguidamente, procede-se, também com base nos valores obtidos pela análise pseudo-

estática, à determinação dos deslocamentos e esforços estáticos correspondentes a um deslocamento de base de cada apoio. Considera-se para tanto o valor de pico de deslocamento do solo para a acção sísmica em questão. Assim para cada um dos movimentos de base (qb

j), calculam-se os esforços e deslocamentos introduzidos na

estrutura, para um desloc

sta global, faz-se uma combinação quadrática das parcelas estáticas das respostas para cada movimento de base.

q k = ∑j

(∑m

∑n

q km µ m n q kn)2 + ∑ ( T kj q

b

j)

2

jj

em que Tkj é a matriz de transformação do deslocamento de base j na resposta

generalizada k. A primeira parcela da equação 191 corresponde à componente dinâmica da resposta e a segunda à componente estática.

( 1 9 1 )


BIBLIOGRAFIA 1 - DYNAMICS OF STRUCTURES Ray W. Clough e Joseph Penzien McGraw-Hill- Internacional Student Edition - 1975 2 - VIBRATION PROBLEMS IN ENGINEERING S. Timoshenko, D. H. Young e W. Weaver, Jr. John Wiley & Sons, Inc. , 4th Edition - 1974 3 - NUMERICAL METHODS IN FINITE ELEMENTS ANALYSIS Klaus-Jürgen Bathe e Edward L. Wilson Prentice-Hall, Inc. - 1976 4 - DYNAMICS OF STRUCTURES W. C. Hurty e M. F. Rubinstein Prentice-Hall, Inc. - 1970 5 - DINÂMICA DE ESTRUTURAS R. Teixeira Duarte Curso de Mestrado em Engª. de Estruturas - IST - 1983 6 - DINÂMICA DE ESTRUTURAS Artur Ravara Laboratório Nacional de Engenharia Civil - 1969

dynamic of structures_appointments (in portuguese)

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