dynamika systémů s proměnnou hmotnostígeo.mff.cuni.cz/seminar/g-121205-patocka.pdfpodmínka:...
TRANSCRIPT
Vojtěch Patočka Univerzita Karlova - MFF
• Buquoyovy úlohy
• Práce a energie v řešení Buquoyových úloh
• Mnohočásticové modely
• Problém rakety
• Pružné a nepružné srážky
• Fundemtální zákon vs. kinematická podmínka
Vojtěch Patočka Univerzita Karlova - MFF
Buquoyovy úlohy
• Harpuna
• Stoupající balónek
• Nakloněný pás
(Obrázky a řešení převzaty od Kamila Daňka)
Vojtěch Patočka Univerzita Karlova - MFF
Stoupající balónek
nahoru: dolů:
pohybová rovnice celistvě:
(Obrázky a řešení převzaty od J. Podolského)
Vojtěch Patočka Univerzita Karlova - MFF
Práce vnějších sil a kinetická energie proměnného systému obecně
člen navíc
Vojtěch Patočka Univerzita Karlova - MFF
Mnohočásticové modely
(1) Uvažujme soustavu hmotných bodů ve svetě klasické fyziky (nikoli relativistické, ani kvantové). Máme dány jejich polohy, hmotnosti arychlosti v určitém okamžiku (počáteční podmínky). Nebudeme uvažovat žádné vnější pole na body působící. Hmotné body na sebe budou vzájemněpůsobit centrálními silami. Závislost velikosti těchto sil na vzájemnévzdálenosti nám bude známa.
(2) Takto zadanou úlohu můžeme s použitím rovnice: „Výslednice vnějších sil působících na hmotný bod se rovná hmotnosti bodu krát zrychlení bodu (ve vektorovém smyslu)“ vyřešit. Vyřešením mám na mysli určit polohy a rychlosti všech bodů v libovolném okamžiku.
Vojtěch Patočka Univerzita Karlova - MFF
(3) Nyní se podíváme na toto řešení a provedeme následující: v okamžiku t=0 vybereme určitou část z daných bodů a budeme jim říkat "těleso". Postupně budeme do našeho "tělesa" přibírat další a další body (například ty, které jsou v daném okamžiku za určitou hranici, například počátkem souřadnicové soustavy). Zakreslíme křivku závislosti hmotnosti tělesa (součet hmotností bodů, kterým říkáme "těleso") na čase. Tuto závislost vyhladíme. Zakreslíme závislost hybnosti tělesa (součet hybností bodů, kterým říkáme "těleso") na čase. Tuto závislost vyhladíme. Zakreslíme závislost vnějších sil na těleso (součet sil působících na body tvořící "těleso", jejichžpůvod není ve vzájemném působení dvou bodů, které jsou oba v "tělese") na čase. Tuto závislost vyhladíme.
(4) A teď to klíčové: podíváme se, zda-li platí vztah: Výslednice vnějších sil na těleso působících se rovná derivaci hybnosti tělesa. Ja tvrdím, že tomu tak nemusí vždy být (resp. obecně tomu tak nebude, ale náhodou tomu tak být může).
http://en.wikipedia.org/wiki/Elastic_collision
Vojtěch Patočka Univerzita Karlova - MFF
Problém raketyPohybová rovnice:
Zde je první věta impulzová evidentně aplikována na systém o konstantní hmotnosti, nikoli na systém o hmotnosti proměnné, přestože z ní odvodíme
rovnici pro rychlost rakety, jejíž hmotnost se mění !
Vojtěch Patočka Univerzita Karlova - MFF
Pružné a nepružné srážky
V obou případech se zachovává celková hybnost částic
Pouze v případě dokonale pružné srážky se zachovává i kinetická energie
Vojtěch Patočka Univerzita Karlova - MFF
• V případě dokonale pružné srážky potřebujeme k určení trajektorie těles po srážce nejen zákon zachování hybnosti, ale také zákon zachování kinetické energie. Kdyby nás ovšem zajímala pouze trajektorie těžiště soustavy, stačil by nám k řešení úlohy zákon zachování hybnosti
• V případě dokonale nepružné srážky vlastně řešíme výše zmíněnou úlohu, tedy hledáme trajektorii těžiště – a k tomu nám stačí zákon zachování hybnosti. To druhé, co nám definuje nepružnou srážku, je kinematická podmínka: obě tělesa se po srážce budou pohybovat jako těleso jedno, tedy stejnou rychlostí. Tato podmínka omezující libovolnost v řešení úlohy, pokud bychom zapojili pouze zákon zachování hybnosti, nám jednoznačně určuje řešení, a tedy i množství kinetické energie ztracené při srážce
Vojtěch Patočka Univerzita Karlova - MFF
Fundamentální zákon vs. kinematická podmínka
Formulace pohybové rovnice u výše řešených příkladů je velice podobná
formulaci problému nepružné srážky – jedná se o kombinaci první věty
impulzové a kinematické podmínky, spočívající většinou v tom, že systém
se hýbe jako těleso, tedy jednotnou rychlostí
Při hlubším studiu daných úloh je však zřejmé, že rovnice
pro systém popsaný pomocí obecně neplatí !
Vojtěch Patočka Univerzita Karlova - MFF
1. Pro účely formulace pohybové rovnice je třeba pracovat se systémem s konstantní hmotností, pouze na takový systém lze vždy aplikovat první větu impulzovou
2. Lze toho dosáhnout typicky tak, že zahrneme i tu hmotu, která nás v dané úloze „nezajímá“ do našeho systému
3. Dále aplikujeme kinematické podmínky daného problému, tedy znalost toho, co se pohybuje jednolitě, tedy jako jedno těleso určitou rychlostí
4. Tento postup je důležitý především pro správné ocenění hybnosti té hmoty, která vstupuje, respektive vystupuje z objektu, který nás v dané úloze „zajímá“
Jak tedy obecně postupovat při formulaci pohybové rovnice?
Vojtěch Patočka Univerzita Karlova - MFF
References• Podolský J., Šíma V.: Buquoy’s problem – Eur. J. Phys. 26 (2005) 1037 – 45
• Daňek K.: Dynamika systémů s proměnnou hmotností – bakalářská práce, Ústav teoretické fyziky, MFF UK, 2008