'" > '" N" , . . .. --.' .r ." , t, ALAIN PECKER :resseS de rcole nationale des onts et chausses Toute reproduction, mme partielle, de cet ouvrage est interdite, Une copie ou reproduction par quelque procd que ce soit, photographie, microfilm, bande magntique, disque ou autre, constitue une contrefaon passible des peines prvues par la loi du 1 t mars 1957 sur la protection des droits d'auteur, 1984 ISBN 2-85978-072-6 resses de ri,," onts et chausses 28, rue des Saints,Pres, 75007 Patis Dpartement Edition de l'Association Amicale des Ingnieurs Anciens Elves de l'Ecole Nationale des Ponts et Chausses. SOMMAIRE Notations...................................................................................... 11 Chapitre 1: Caractrisation du mouvement sismique.. ........... ........... 13 1. Introduction............................................................................ 13 2. Rappel de tectonique des plaques............................................. 15 3. Dfinitions............................................................................. 18 4. Paramtres caractristiques du mouvement sismique .......... ......... 19 4.1. Grandeurs maximales: acclration, vitesse, dplacement.. .... 21 4.2. Dure.............. ..................... ............. .......... ........... ....... 21 4.3. Spectre de rponse.......................................................... 22 5. Paramtres affectant le mouvement sismique.............................. 24 5.1. Facteurs lis la source .............. ............ ......... ............ .... 25 5.2. Facteurs lis au trajet parcouru... ............ ......... ............ ...... 30 5.3. Facteurs lis aux conditions locales...... .......... ......... ........... 31 5.4. Lois d'attnuation............... .............. ........... ........... .......... 33 6. Evaluation du risque sismique d'une rgion................................. 36 6.1. Dtermination de provinces sismotectoniques ...... ............ ..... 37 6.2. Sismicit historique.............. ............ ........... ............ ........ 38 6.3. Dfinition du mouvement sur le site... ........... ........... ........... 39 7. Conclusions ......... __ ....................................... .......................... 40 Bibliographie.............................................................................. 41 Chapitre Il: Comportement des sols sous chargement cyclique........ 43 1. Introduction ................... .................... ........... ......... ........... ...... 43 2. Description du comportement des sols ........... ......... ........... ........ 43 2.1. Loi de comportement........................................................ 45 2.2. Description exprimentale.................................................. 45 3. ObselVations exprimentales.................................................... 46 3.1. Chargement monotone...................................................... 46 3.2. Chargement cyclique........................................................ 48 4. Notions d'amortissement........... .............. ........... ...................... 52 4.1. Dfinitions des paramtres caractrisant l'amortissement. ....... 52 5 4.2. Matriaux amortissement dpendant de la vitesse de dformation..................................................................... 55 4.3. Matriau amortissement indpendant de la vitesse de dformation..................................................................... 57 5. Modles de comportement....................................................... 57 5.1. Modle lastique.............................................................. 57 5.2. Modle viscolastique linaire ........... ........... .......... ............ 60 5.3. Modles non linaires........ ............. ........... ............ ........... 66 6. Conclusions ........................ :.................................................. 81 Bibliographie .................................... ........... .......... .......... ........... 82 Chapitre III : Liqufaction des sables.............................................. 85 1. Introduction............................................................................ 85 2. Variations de volume d'un sable sous chargement cyclique ........... 86 2.1. Rappels sur les variations de volume en chargement mono-tone............................................................................... 86 2.2. Variations de volume sous chargement cyclique .... ............... 88 3. Observations de cas de liqufaction in situ................................. 92 4. Paramtres affectant la rsistance au cisaillement cyclique non dralnee ............. .................... ...... .......... .......... ......... .............. 92 4.1. Influence de l'tat de contrainte actuel........ ......... ............... 97 4.2. Influence de l'histoire des contraintes et dformations............ 98 4.3. Influence de l'incrment de contrainte appliqu ..................... 102 4.4. Influence de la saturation .................................................. 102 5. Modles de comportement pour l'tude de la liqufaction.............. 103 5.1. Modle du chemin de contraintes effectives ......................... 104 5.2. Modle de MARTIN FINN SEED ........................................ 104 6. Evaluation du risque de liqufaction d'un site .............................. 107 6.1. Approche en contraintes totales ......................................... 108 6.2. Evaluation du risque de liqufaction en contraintes effectives 117 7. Stabilisation de sites liqufiables ............................................... 121 7.1. Accroissement de la densit.............................................. 123 7.2. Amlioration du drainage ................................................... 123 7.3. Amlioration par augmentation de la contrainte dans le sol ..... 123 7.4. MOdification des caractristiques du sol ............................... 123 Bibliographie.............................................................................. 124 Chapitre IV: Mesure des caractristiques dynamiques des sols........ 127 1. Introduction ............................................................................ 127 2. Essais en place....................................................................... 128 2.1 Gnralits......................... ........... .......... ......... ............... 128 2.2. Essais raliss partir de la surface ................................... 130 2.3. Essais raliss dans des forages ....................................... 131 6 3. Essais de laboratoire .................................................... : .......... 138 3.1. Gnralits..................................................................... 138 3.2. Essais de vibration libre .................................................... 138 3.3. Essais de rsonance ........................................................ 139 3.4. Essais de vibration force................................................. 143 4. Comparaisons entre mesures au laboratoire et mesures en place 150 Bibliographie ...................................... ............. .......... ............ ..... 154 Chapitre V: Rponse sismique d'une couche de sol........ ............ .... 157 1. Introduction ............................................................................ 157 2. Propagation d'ondes dans un milieu lastique, isotrope. Rappels .... 158 2.1. Equation de propagation................................................... 158 2.2. Onde monochromatique plane............................................ 159 2.3. Rflexion et rfraction des ondes planes un interface...... ... 161 2.4. Onde sphrique dans un milieu infini .................................. 161 3. Propagation d'ondes planes en milieu lastique semi-infini ............ 163 3.1. Ondes SH dans un milieu semHnfini........... ........... ......... .... 164 3.2. Ondes SH dans une couche d'paisseur limite surmontant un semi-espace ............................................................... 165 3.3. Ondes SH dans un milieu stratifi surmontant un semi-espace 169 3.4. Ondes de surface dans un milieu semi-infini homogne.. ....... 170 3.5. Ondes de surface dans un milieu stratifi ........ ......... ........... 173 4. Problmes spcifiques au gnie parasismique............................. 174 5. Choix des caractristiques de l'onde sismique............................. 175 5.1. Nature de l'onde et angle d'incidence .................................. 175 5.2. Dfinition du pOint de contrle ............................................ 176 6. Rponse sismique d'un profil viscolastique une onde de volume 177 6.1. Modlisation du sol en milieu continu.................................. 177 6.2. Modlisation discrtise du profil de sol............................... 182 6.3. Validit du modle viscolastique linaire quivalent.............. 187 7. Rponse non linaire une onde sismique de volume ................. 189 7.1. Prise en compte des conditions aux limites .......................... 190 7.2. Modlisation du sol en milieu continu .................................. 191 7.3. Modlisation discrtise du profil de sol.......... .......... ........... 193 7.4. Validit des calculs non linaires ........................................ 196 8. Rponse sismique d'un profil viscolastique une onde sismique de surface............................................................................. 197 Bibliographie.................................. .......... .......... ........... .......... ... 201 JI; Chapitre VI : Vibration des massifs de fondation.............................. 203 1. Introduction............................................................................ 203 2. Dfinition de l'impdance d'une fondation ......... .......... .......... ...... 204 2.1. Impdance d'un oscillateur simple un degr de libert......... 205 2.2. Forme gnrale de l'impdance d'une fondation..... .......... .... 206 7 2.3. Analogie entre le demi-espace et l'oscillateur simple. HS1EH (1962) ............................................................................ 208 3. Application des fonctions d'impdance l'tude des vibrations de massifs de fondation............................................................... 209 4. Dtermination des fonctions d'impdance ....... ............ ................ 211 4.1. Solutions continues .......................................................... 212 4.2. Solutions discrtes.............. .............. ........... .......... .......... 213 4.3. Avantages et limitations des mthodes... ........... ......... ......... 213 5. Exemples de fonction d'impdance ............................................ 214 5.1. Impdance d'une fondation circulaire la surface d'un semi-espace.................................................................... 214 5.2. Impdance d'une fondation circulaire en surface d'une couche d'paisseur limite ........................................................... 218 5.3. Impdance d'une fondation de forme quelconque ....... ........... 220 5.4. Impdance d'une fondation enterre ....... ......... ............ ....... 221 6. Conclusions........................................................................... 222 Bibliographie..................................... ............ ........ ......... ............ 223 (Chapitre VII: Interaction sol-structure............................................. 225 1. Introduction............................................................................ 225 2. Formulation d'un problme d'interaction sol-structure ........ ............ 226 ... 3. Mthodes de prise en compte de l'interaction sol-structure... ......... 229 3.1. Mthodes globales........................................................... 229 3.2. Mthodes de sous-structures...... ........... ........... ............ ..... 231 3.3. Mthode hybride.............. ............. ............ .......... ............. 238 3.4. Comparaison des diffrentes mthodes............................... 239 4. Mise en uvre des calculs d'interaction sol-structure..... .............. 239 4.1. Modle de comportement du sol..... ........... .......... .............. 241 4.2. Nature et direction de propagation de l'onde incidente ........... 241 4.3. Modlisation gomtrique du milieu ....... ........... ........... ....... 242 4.4. Schma d'intgration numrique.... ........... ........... ............... 246 5. Exemple de calcul d'interaction sol-structure ........... ......... ........... 249 Bibliographie .................. ........ .............. ............ .......... ............ .... 251 Annexe: Echelle d'intensit macrosismique MSK................................. 253 Index ............................................................................................ 261 B AVANT-PROPOS La prise en compte du risque sismique dans la conception d'un nOl'l1bre grandissant d'ouvrages comme les centrales nuclaires, les grands barrages, les rservoirs CIe gaz naturel liqufie, a contribu au dveloppement rapide d'une science rcente: le Gnie Parasism1.que, Sous ce vocable se trouvent regroupes les disciplines diverses que sont la sismologie, la dynamique des sols, la dynamique des structures et des quipements, l'instrumentation sismique .... Cet essor rapide ae trouve concretis par un nombre important de publications annuelles, de confrences, cours et galement par la mise jour, en France, des nouvelles rgles parasismiques destines remplacer les rgles PS.69. Si la dynamique des structures et la sismologie ont trs tot retenu l'attention des chercheurs et ingnieurs, ce n'est que depuis une quinzaine d'anne que la dynamique des sols est apparue comme une composante fondamentale du Gnie Parasismique. Ce livre a pour objectif de prsenter l'tat actuel de la pratique en dynaIlLique des sols, tout en introduisant les dveloppements les plus rcents. ces dveloppements ayant trait a la modlisation du comportement des sols et aux calculs dynamiques de couches de sol, en relation ou non avec les < appels a prendre une part grandissante dans la pratique courante, Ce .1I{ ' crit a partir des notes constituant la base du cours enseign a l' Ecole des Ponts et Chaus!,!es depuis 5 ans, dans le cadre d'un sminaire dl,! f?EA Gnie Mcanique puis du cours de Mcanique des Sols. , ... : Aprs un chapitre d'introduction qui n'a d' autre prtention que de .. notions lmentaires de sismologie ncessaires a la caractrisation' du mouve-ment sismique.ton aborde le problme de la modlisation du sous Chargement L'tude du comportement est envisag tant du vue expriJnental queldu point de vue de la modlisation thorique, CE! modlisation est aborde sous l'aspect unidililensionnel- le plus utilis dans la pratique - puis gnralise aux sollicitations tridimensionnelles dans le cadre de la thorie de l'lastoplasticit.e avec Pour se conformer a la pratique cou""ante, le problme des sables a t trait sparetMnent bien que ce phnomne concerne un aspect du comportement du sol sous chargement cyclique, celUi du comportement a rupture. Cette tude de la liqufaction est abord partir d'une approche en contraintes totales, ayant fait l'objet d'tudes extensives, mais galement sous l'aspect pluS fondamental reprsent par une approche en contraintes effectives. LeS trois derniers chapitres ont pour objet l'application au dimensionnement d'ouvrages des notions acquises prcdemment. On s'attache plus particulrement al' valuation de la rponse sismique d'une couche de sol en mettant en vidence ce qui distingue l'Valuation de cette rponfle des problmes de propagation d'ondes en lasto-dynamique. En pa.rticulier, {l'influence dits non linarUs du comportement des sols est traite en dtail. ;Les chapitres vibrations de massifs de 9 fondation et aux problmes d'interaction sol-structure permettent de dfinir les notions fondamentales pour l'tude du comportement des ouvrages en relation avec leur sol de fondation, Les notions d'impdance et de mthodes de Bous-structures y sont introduites en parallle avec les mthodes globales par lments finis, L'aspect calCUl des structures proprement dit, qui relve d'un cours de dynamique des structures, n'est pas abord. Les ides exprimes dans ce livre refltent l'exprience acquise dans le domaine depuis une dizaine d'annes, d'abord a de MECASOL, puis a GEODYNAMIQUE et STRUC'l'URE, Elles sont BOuvent le fruit de nombreux changes avec mes collgues de travail sans lesquels cette synthse n'aurait pas t possible, Je tiens. ce t:1t:re, leur exprimer ma gratitude. Je tiens galement a remercier trs chaleureusement MM. P.Y. BARD. M.P, LUONG, J.F, OIES. J .P, WALTER qui ont accept la lourde tache de relire un ou plusieurs chapitres. Leurs remarques et suggestions m'ont t trs prcieuses et ont contribu clarifier l' expos et a corriger certaines imprcisions, Les erreurs qui pourraient ne sont cependant 1Jnputables qu'a moi-mme. Que M. B. HALPHEN qui m'a donn l'occasion d'enseigner ce cours dans le ca4re dU DEA Gnie Mcanique et M. F. SCHLOSSER qui lui a accord une place il'IIportante dans le cours de Mcanique des SOls a l'ENPC soient remercis de leur confiance. Enfin. ces remerciements seraient incomplets sans ceux. les plus sinCres. a4resss a M. J. SALENoN qui, en tant que professeur a l'ENP et. a l'poque. responsable du DEA Gnie Mcanique, m'a donn pour la premire fois l'occasion d'enseigner ce cours de Dynamique des SOls. Sa contribution a l'ouvrage. au travers des nombreuses discussions amicales au cours desquelles il a eu me faire bnficier de son exprience et de ses nombreux encouragements. est de toute importance. La. dactylographie a t ralise par MInes G. GROSSIER et C. WUILLEUMIER, et les dessins par M. A. PROT, Qu'ils soient remercis pour la patience et le soin qu'ils y ont apports, Alain PECIR 10 NOTATIONS - Les tenseurs et vecteurs sont reprsents par une lettre grasse souligne d'un trait 1 G. X. - La drivation par rapport au tempe est reprsente par un (ou plusieurs) points sur la grandeur considere : vitesses , u aoclerat1ons a, 9 - on utilise la convention de sommation sur les indices muets. Le produit contract de deux tenseurs est reprsent par ou 1 suivant qu'il s'agit d'un produit ou doublement contract 1 G e reprsente le tenseur de composantes ale reprsente. le scalaire Le tenseur gradient 2nd ordre est not fonction scalaire f par rapport d'une " 1 11 a pour composantes " un tenseur du - La trace d'un tenseur u second ordre est not et est gal au scalaire GU. En notations matricielle, les vecteurs colonnes sont nots entre { } et les matrices d'ordre nxn entre [ ], Lorsqu'il n 'y a pas d'ambiguit, le symbole ( J est omis pour allger les notations. - La transpose d'une matrice est note [ lX et l'inverse ( ]-1. - oprateur Laplacien , , - . + + ex 'y az - div - oprateur divergence , , , + + az ex 'y - oprateur gradient ( , , , ) ex , 'y az Principaux symboles E G t u,v,W Il,y cr,y u V. Vp - module - module de cisaillement - tenseur contraintes - temps - composantes dU vecteur dplacement X - vitesses - acclrations - pression interstitielle (chapitre III) - vitesse propagation des de cisaillement - vitesse de propagation des ondes de compression (Cl ,.. matrice d'amortissement (Xl - matrice de raideur (M] - matrice masse -amortissement matriel du .01 sous chargement harmonique y -dforma.tion de cisaillement -tenseur des dformations , -coefficient de Lam " -coefficient de Lam (- G) v -coefficient de Poisson p -masse volumique -pulsation Dans certains chapitres, ou pa.ragraphes, les symboles ci-dessus peuvent avoir une signification diffrente. Elle est dans ce cas clairement explicite. 12 Chapitre 1 CARACTRISATION DU MOUVEMENT SISMIQUE 1. :rN'l'RIJllU:'lON ,\'r'-Les tremblements de terre/tont partie des cataclysmes naturels qui ont toujours exerc une grande sur 1 'human1t. rIs sont responsables de la -destruction de villes entires, la cause de millions d'hOlMl\es et ont BOuvent des conSquences conomiques pour les pays touchs. D'un point de vue historique, le tremblement. de terre le plus meurtrier de l 'histoire a vraisemblablement pris place en Chine en 1556 et aurait provoqu la mort de 830 000 personnes. Il ne s'agit malheureusement pas (l'une exception conwe l'indique le tableau l o on a relev quelques-uns des sismes les plus meurtriers de l'histoire. Il faut galement noter que le nOtnbre de morts ne mesure pas toute la gravit d'un Sisme dont les consquences conomiques peuvent tre lourdes, LeS dgats du tremblement de terre de Skopje (Yougoslavie, 1963) ont t valus 3 milliards de francs 1 ceux de Managua (Nicaragua, 1972) 5 milliards de francs et ceux du sisme de San Fernando (Californie, 1971) 3,5 milliards de francs, DeS 50 000 tremblements de terre annuels perceptibles sans l'aide d'aucun instrument, 100 seulement provoquent des dgts plus ou moins importants, Notre connail.sance actuelle des phnomnes est telle que, s'il n'est pas possible 'O'-prdire l'instant o un sisme se produira en un lieu dOnn, il est possible les zones haut risque sismique et d'y construire en consquence. Il est admiS par exemple, que dans un avenir plus ou moins proche, un sisme important se produira dans la rgion de San Francisco, le long de la faille de san Andreas, Cela n'entrave nullement le dveloppement de cette rgion ni ne ret.;ent la majorit des Amricains de souhaiter y vivre. Pour etre en mesure de construire en zone sismique, il est ncessaire d' identi-fier ces zones et donc de comprendre le mcanisme gnrateur des sismes, puis de caractriser un sisme par un certain nombre de grandeurs directement utilisa-bles par l'ingnieur. L'objet de ce chapitre est de fournir ces lments. '3 14 Date 1290 15!>b 1737 1755 1811 1866 390' ).908 ).920 1923 1935 1939 3%0 196::1 1964 1964 1970 1971 1972 1976 1976 1976 1976 1977 1980 1980 Tableau r Quelques sismes de l'histoire Lieu Chih Li (Chine) Chen Si (Chine) Calcutta (lnde) Lisbonne (Portuga1) New Madrid Prou (Equateur) san Francisco (USA) Mennine (Italie) xanau (Chine) TOkyo (Japon) Quetta (Pakistan) Erzincan (Turquie) Agadir (Maroc) Skopje (Yougoslavie) Niigata (Japon) Anchorage (Alaska) Prou Los Angeles (USA) Managua (Nicaragua) Guatemala Gernona (Italie) Caldiran (Turquie) Tang Chan (Chine) Bucarest (Roumanie) El Asnam (Algrie) Irpina (Italie) (d'aprs GRlBBIN. 1978 , BOLT, Nombre de morta (estim ) 100 000 ",0 000 300 000 '0 000 " 000 500 350 000 300 000 343 000 '0 000 40 000 " 000 , 000 "0 300 " 000 300 " 000 23 000 3 000 , 000 '00 000 , 500 3 500 , 500 1978) L'observation de la carte du monde donnant la localisation des sismes ressentis (soit par l'homme, soit par les acclrographes sensibles) montre que sont en majeure partie concentrs le long de lignes relativement bien dfinies. La figure 1 donne a d'exemple la localisation des recenss pendant l'anne 1973 (UNESCQ - annuel d'informations sur les catastrophes naturelles). D'une anne al' autre, l.es picentres des Sismes E!!stent localiss le long des mmes lignes, indiquant ue ceux-ci ne sont pas dMl1buS erratique""" 1 ment a la surface de la terre mais sont lis a la structure du globe. Il est actuellement admis que la tectonique' des plaques permet de rendre compte correctement de ce phnomne. 15 " " u -M " ~ Z ~ - .1 u " ; U : , 0 ~ 0 ;;: , , 1i ~ , , 1 -1 -, -3 , 1 , c '''f. o . _ ' ' ' ' ~ Q -01 < . , , 10 " 20 " Temps.'. " , \0 " 20 2 ~ JO Temps." \0 25 JO Temps s Bgura 5 _ Sisme d'Olympia.Washinglon 1949. Composante S86W 20 suprieure 1008111/s dans du rocher, de l'ordre de quelques centaines de rn/s dans des alluvions et infrieure 100 rn/s dans des dpOts d'argiles IIlOl1es ou de vases, Dans un sol sous nappe, la vitesse de propagation de l'onde de compression est suprieure 1500 rn/s, valeur correspondant la vitesse de propagation de l'onde dans l'eau, Lorsque les ondes et l'nergie qu'elles transportent atteignent un site la surface de la terre, elles engendrent des vibrations dans trois directions (deux horizontales et une verticale). Les enregistrements des acclrations de ces mouvements en fonction du tempe s'effectuent l'aide d'acclrographes, Ils constituent des acclrogrammes. par intgration d'un acclrogranme ou peut obtenir les diagra/fll!s de vitesse et de dplacement en fonction du temps (f:i,.gure 5 ). Le processus d'intgration d'un acclrogramme est une opration dlieJate. L'existence d'un set.lil de dcl.enche-ment des appareil.s enregistreurs fait perdre l'information initiale, Il faut donc procder a diverses corrections, fonction des caractristiques de ces appareils pour obtenir des dplacements rsiduels raisonnables [TRIf'UNAC - LEE, 1973]. L'utilisation des donnes brutes conduit gnralement a une drive de la courbe de dplacement en fonction du temps, Notons cependant que les acclrogra-phes modernes a mmoire permettent d'apprhender le dbut du signal, Sur la figure 5, on n'a reprsent que les 30 premires secondes de l'aoolrogramme d'Olympia (1949), Ceci expli.que les valeurs non nulles trouves pour la vitesse et le dplacement en fin de sisme, En' ralit l'acclrogramme ayant t corrig, ces valeurs sont nulles. 4.L Gxandeurs _ximales 1 acclration, vitesse, dplac:e.ent DanS un acclrogramme (fiqure 5), on peut distinguer une phase i.nitiale pendant laquelle les acclrati.ons sont faibles (0 a 4 s pour l'acclrograJ\'lllEl de la figure 5), une phase a fort ni.veau d'acclration (5 12 s), une phase modre (12 23 s) et une phase trs faible de retour progressif au repos () 23 s). A partir de diagrammes tels que ceux de la figure 5, il est possible de connaitre la valeur maximale, a, de l'acclration (gnralement exprime en nombre de 9), v, de la vitesse (Cl1Vs) et, d, du dplacement (cm). CSs valeurs ne varient pas totalement indpendamment les unes des autres. En particulier pour les sismes rels, le rapport ad/Vz est compris entre 5 et 15 environ [NEWHARK-ROSENBLtlE'l'H, 1971]. ces valeurs maximales, souvent prises en compte pour caractriser la violence d 'un sisme, ne sont pas, a elles seules, caractristiques de celui-ci.. D'autres paramtres ont t introduits cette fin, 4,2, Dure La dure d'un sisme est dlicate dfi.nir directement partir de l'acclra-gramme. Certains si.smologues ont propos de la dfinir a partir du diagramme (l'Husid qui est un moyen commode de quantifier la variation du niveau d'excita-ti.Qn dans le temps. Par dfinition, si a (t) est l' acclrati.on fonction du temps, T la dure totale du sisme, la variation de l'intgrale; 21 t T h(t) .. l J Ia(tl/dt] / [J [a(t)/ dt] o 0 0) constitue le d1agrlJmle d'Husid. L'intgrale au dnominateur de l'quation (1) est une mesure de l' nergie contenue dans l' acclrogramme. Le diagramme Cl 'Hueid correspondant a l'acclrogramme de la figure 5 est donn sur la figure 6. on peul: alors dfinir la dure significative du sisme comme le temps requis pour passer du niveau 5 , au niveau 95 \, soit 20 secondes dans le cas prsent. '9 , -" , '-' .' , , !!gure 6 dl1f6e T == 20 aec 1 " 15 " 25 Tempa .. " Diagramme d'Hu.id _ Sisme d'Olympia 11949) Le spectre de rponse en acclration, vitesse ou dplacement permet de faire intervenir la notion de CQnl:enu en frquence du mouvement. Son but est de caractriser un BiBll1& d'aprs la rponee d'une structure simple. Par dfini-tion, un spectre de rponse en acclration eet la courbe donnant l'acclration simples a un degr de libert et de frqUence propre __ le. un tel oscillateur est reprsent sur la figure 7. Il est: caractris par une Il\aSse M. une ra.:1f:1eur K et un amor,tisseur C. Si le sOle le supportant est soumis a un acclrogruane y( t). le relatif x de l masse M par rapport au socle est rgie par' : .. H (x + y) + C X + K x - 0 ( , ) En introduisant les variables: 22 - pulsation propre - pourcentage d'amortissement critique l'quation (2) prend la forme classique x + 2 .l.J :k + , w x - -Pl c , " y( t) ,S) A pourcentage d'amortissement critique donn, la rsolution de cette quation diffrentielle, pour diverseS valeurs de la frquence propre f .. w/2rr, permet de connai tre l'acclration maximale subie par la masse H, En rptant cette opration pour diffrentes valeurs de 13, on obtient les spectres de rponse de la figure B correspondant a l'acclrogramme de la figure 5 et a des pourcentages d'amortissement critique de 0 %, 5 % et 10 %, K ____ X (repre li .. rassise) 1- .. y(repre fixa) _ Figure 7 _ Oscillateur simple un degr de libert L'utilisation d'un tel spectre est immdiate, Considrons a titre d'exemple un batiment racteur de centrale nuclaire mont sur appuis en ces appuis ont pour proprit de privilgier un mode de dformation correspondant a la translation horizontale du batiment. La structure peut donc tre assimile a un oscillateur simple un degr de libert, Avec les caractristiques usuelles de ce type d'ouvrage, la frquence propre de vibration est de 0,8 Hertz environ et le pourcentage d'amortissement critique de 5 1;, Un tel batiment soumis a un sisme reprsent par l' acclrogranwne de la figure 5, dont les spectres de rponse sont donns sur la figure B, subirait une acclration maximale de 0, 10 9 (point A de la figure B), La force hor1zontale s'exerant sur lui vaudra1t 0,10 fois son poids. Cette not1on de spectre de rponse peut tre tendue au cas des vitesses ou des dplacements, Elle constitue la base de l'analyse modale des structures [CLOOGH-PENZIEN, 1'175]. D'autres notions, comme le spectre de Fourier CI 'un acclrogramme, ont galement t introduites essentiellement par les sismologues. ces notions donnent des 23 renseignements intressants sur la nature Clu mouvement ma1S ne sont pas, actuellement, directement utilisables pour la conception des ouvrages. On pourra se reporter pour une discussion plus complte ~ HOOSNER (1971), , , , ~ l g ; ., ~ ~ 1 0 1 1 o. 0.0 1 Ops {3, Pourcentage d'amortissement critique . JA W' ~ 0% Il 1,-1 r 0/1-(7 .% (3",10% l'/.. Vv '/1 O.' . Frequence Hz " figure 8 _ Spectre de reponse _ Seisme d' Olvmpia (1949) Le mouvement sismique en un point est affect par Cles facteurs lis a la BOurce, au traJet r c o u r u entre le foyer et le site et par Cles facteurs lis Cles conditions locales propres au si t.( [lllHISS, 19781. Pour tre en mesure d'valuer la nature 24 du mouvement sismique sur un s1te, il est. ncessalre de connaitre l'influence de ces facteurs et de les quantifier. Ceci est ralis l'aide de relations dites lois d'attnuation, exprimant un des paramtres caractristiques du mouvement sismique (acclration maximale, acclration spectrale .,,) en fonction de l'ensemble des paramtres caractristiques, S.1. Facteurs 11s a 1a source Ces facteurs sont fonction des dimensions de la ",-one de rupture, des valeurs des contraintes le long de la surface de rupture, du mcanisme de la rupture et de sa propagation le long de 1a faille. D'un point de vue fom1amental, ils sont caractriss par deux parallltres principaux le moment sismique Mo et la chute de contrainte lJ.T. L'utilisation de ces deux paramtres est encore limite aux sismologues, LeS ingnieurs prt:rent caractriser un sisme so!t par sa magnitude, soit par son intensit a l'picen-tre, Une certaine col)f'us!on dans l'utilisation de ces deux derniers paramtres (T ) -m G 4T m (41 ) (48 ) Ai nsi en reprenant la formulation de RP.MBERG-QSGOOD pour l'introduire dans le modle de lWAN, on aurait: 69 $(T) _ R (R-l) Ty [ TTy lR-' ( 49) La description sommaire d'un modle lastoplastique donne ci -dessous ne se veut pas trs gnrale. Pour une etude plus oomplte de ces modles, on pourra se reporter SALENON (1974) et SALEN9QN-HALPHEN (1980). DanS ce type de modles, la dformation totale Subie par un lment de matire est dcompose en la'somme d'une dformation lastique ~ 'et d'une dformation plast:l.que el': ( 50) La dterminat.1on de la dformat.1on lutique a t traite prcdemment (para-graphe 5.1) et on ne s'attachera dans ce paragraphe qu'a 1;:1. dtermination de la dformation plastique, On a vu, lors de la description des observations exprimentales, que cette dformation n'apparaissait qu'au-de1a d'un certain seuil. Les deux problmes a rsoudre pour prciser la valeur de la dformation plastique sont donc 1 1 1 quel moment y a-t-il,apparition de dformations plastiques? C'est la dtermination du critre ou fonction de charge. ii quelle est l'amplitude et la direction de cette dformation? C'est la dtermination de la reglo d'coulement, A ces deux problmes s'ajoute celui de l'volution du critre au cours de l'histoire du chargement, On a vu en effet qu'1l y avait, au cours du chargement, ltII:XIification du domaine d'lasticit du matriau du fait de l'crouissage, La description complte du modle ncessite la connaiasance de cette 101 d'crouis-sage, La. fonction de charge, ou critre, est une fonction de l'tat des contraintes, Il est ~ e , et utile, de la reprsenter comme une surface limitant un domaine convexe dans l'espace des contraintes, Si le point reprsentatif de l'tat des contraintes est situ l'intrieur du domaine limit par la surface f ( ~ ) ( O (point A de la figure 14), les dformations sont lastiques, LOrsque le point atteint la surface, lea dformatione plastiquee apparaiesent, oans le cas d'un matriau crouissable, la fonction de charge dpend non seulement de l'tat des contraintes!!. mais galement de l'hietoire antrieure des chargements, On rend compte de cette dpendance l'aide d'un certain nombre de variables "caches", appeles paramtres d'crouisssage, qui peuvent tre soit des grandeurs scalai-res q, soit des grandeurs tensorielles 0, Le critre s'crit alors SOus la forme gnrale: 70 .. O (51 ) L'tat d'crouissage du matriau n'volue que lorsqu'il ya volution de la dformation plastique, c'est-a-dire uniquement lorsque le point reprsentatif de l'tat des contraintes atteint la fonction de charge. Dans le cas 00 les paramtres d'crouissage sont caractriss par une grandeur scalaire, le dOllliline d'lasticit se transforme par homottie de centre 0 (figure l5a). On dit qu' 11 y a crouissage isotrope [TAYLOR--QUINlY, 19313. Dans le cas o. ils sont caractri-ss par un paramtre tensoriel, les frontires successives du d'lasti-cit se dduisent de la frontire initiale par translation dans l'espace des contraintes (figure 15b). on dit qu'il y a crouissage cinmatique [PRAGER, 1955]. Il est galement possible d'avoir a la fois crouissage isotrope et crouissage cinmatique 1 il Y a alors crouissage combin. L'crouissage cinmatique prsente un effet Bauschinger que ne prsente pas l'crouissage isotrope. f1Q1= 0 Figure 14 Fonction de charge Les fonctions de Charge les plus couraJ\'lll\ent employes sont celles de TRESCA ou VON MISES. Pour le critre de Tresca, le domaine d'lasticit du matriau, suppos isotrope, est limit dans l'espace des contraintes par un prisme hexagonal rgulier d'lIxe (1,1.1). DanS sa forme la plus simple, ce criLra s'crit: (52 ) o. (1-1,3) sont les contraintes principales. En faisant dpendre 00 d'un 71 paramtre scalaire q on obtient un crouissage isotrope. L' crouissage combin s'obtient en crivant la fonction de charge sous la forme : f avec, initialement, une phase contractante suivie d'une phase dilatante. as > w _ ... ,.----e., ------e, Figure 2 Variation de volume sous chargement monotone En conditi..on non draine, sur un sable satur, le volume de l'chantillon TOl'lte constant. On constate ainsi en dbut de chargement une augmentation de pression interstitielle puis, pour les sables oenses, la vitesse de gnration des pressions interstitielles dcro:l.t lorsque le dviateur de contrainte croit et s'annule pour devenir ngative. CeG phases de gnrations positive et ngative des pressions interstitielles correspondent aux phases de contractance et de dilatance du matriau en cisaillement drain, Le niveau de contrainte o Il' inverse le taux de gnration des pressions interstitielles lors Cl' un chargement non drain correspond au seuil de contrain-te o la vitesse de gnration de la dformation volumque est nulle lors d'un essai drai.n. ce niveau de contrainte dfinit un seuil dans le comportement d'un sol granulaire que LUONG (1978) et HABIB - LUONG (1978) ont dnomm tat caractristique. cet tat caractristique est associ a l un taux de variation de volume nul iv = 0 un seuil de changement de comportement J le processus d'enchevtrement des grains est remplac par un processus de dsencheVtrement 1 des dformations du sol faibles et loignes de la rupture 1 une indpendance vis-a-vis de la porosit initiale. L'tat caractristique spare deux types de comportement rhologique du sable: contractant dans le domaine subcaractristique, l ~ i t dans le plan (p,q) par 87 deux droites LC, et dilatant dans le domaine surcaractristique jusqu'A la lilnite de rupture dfinie par les droites LR ( figure 3). Dans le cas de sables laches, les droites caractristiques sont confondues avec les droites de rupture. L'tat caractristique se confond avec l'tat critique [SCHOFIELO - WROTH, 1968). Il LR surcaract6r isti que dilatant 40 Liqufaction Niigata 1964 7.5 Niigata Sable o . 70 O.lB -40 Liqufaction Niigata 1964- 7.5 Niigata Sable O . ,. O.lB >40 lobsence Liq. 1 Niigata 1964- 7.5 Niigata sable 3.7 53 O.lB >40 Absence Liq. Alaflka 1964 8.3 Snaw River sable 0 50 '" 0.15 180 Liqufaction 1Alaska 1964 8.3 Snow River sable , .. .. == 0.15 180 Liqufaction , Alaska 1964 , .3 Quartz Creek Gra.sabl- 0 100 "" 0.12 180 Absence Liq. Alaska 1964 '.3 scott Glacier Sable 0 .5 =- 0.16 180 Liqufacti.on Al 1 O-xz 1 ) de celui ou le cisaillement rsultant ('Tc + C'xz) s'exerce toujours dans la mme direction, Seule la premire configuration peut ventuellemnt conduire a une liqufaction. Ce rsultat a dj t not au paragraphe 2,2 ou il a t indiqu que les essais cycliques dans le domaine subcaractristique, sans alternance du dviateur, conduisent a une stabilisation le lony de la ligne caractristique. L'inverf'ion de la direction du cisaillement permet s e u l ~ d'atteindre les seuils caractris-tiques. La R.e.C. non draine mesure par le rapport TelU est in[luence par la valeur du cisaillement statique initial. Par rapport a la situation sans cisaillement 97 initial. cette rsistance peut tre augmente ou diminue suivant l'tat ne compacit initial du sol et la valeur du cisaillement statique. Pour les sols denses, elle est en gnral augmente comme le montre la figure 10 donnant des rsultats d'essais triaxiaux raliss sur alluvions sablo--graveleuses compac-tes. Il faut noter que si la R,C.C. est exprime a l'aide du rapport + TC)/{1Z' l'application n'un cisaillement statique conduit toujours a une __augmentation de rsistance [FINN, 1991]. 4,2. :Influence (le l'bistoire des contraintes et dfoUlliltiona La nature du sable constitut-.if, le mode de formation du dpOt et l'histoire des sollicitations subies jusqu'a l'tat de contrainte actuel confrent au sol une structure caractrise par une compacit et un certain arrangement des grains. Tous ces facteurs ont une influence sur la R.C.C. non draine du sol. Du point de vue de la rsistance a la liqufaction, il n'est pas possible de diffrencier les sables en fonction de leur granulomtrie. LeS premires tudes (LEE-PI'l"l'ON, 1969] qui faisaient apparaitre une forte dpendance de la R.C.C. sur le du matriau semblent tre entaches d'erreurs exprimentales iJnportan-tes. Tout juste est-il possible de dfinir un fuseau des matriaux liqufiables 1 un tel fuseau est. donn sur la figure Il [THOMPSON-EMERY, 1976]. Par ailleurs, il est vraisemblable que la coroposition minralogique et la forme des grains a une influence sur la R.C.C. Aucune conclusion dfinitive ne peut cependant tre actuellement tire quant a l'influence de ces facteurs . GRAVIERS SABLE .J. SILT ARGILE '\ r-.. ENVELOPPE DE 19 GRANULOMETRIES DE "\1\ \ SABLE UQUEFIES PENDANT DES SEISME AU .JAPON IKISHIDAJ " !t" \ ! \ , SABLES DE NIIGATA ENTRE +--5ET10m -1 , (SEED.IORISS) MAJORITE DES SABLES i , LIQUEFIABLES SUR LA IK BASE D'ESSAIS ., LABORATOIRE : , , '-"\ fu 1 " ,. ,. , , ., _mm_ .,' .,' Cp5\1 Q02 .0.01 5.. 2.. ," SEISME D'ALASKA (1964)- Figure 11 Fuseau granulomtrique des sols liqufiables 98 4.2.1. Inf1uenoe de la densit du sab1e - - - - - - - --- - - - - - - - - - - -La densit constitue le paramtre dont l'influence sur la R.C.C. a t 1apremire reconnue. Tant les observations in situ que les essais de laboratoire (figure 12) ont montr que la R.C .C. d'un sable est pratiquement proportionnelle sa densit relative, tout au moins jusqu' des densits relatives de 70 BO " Au-del de ces valeurs, la R.C.C. croit plus vite que la densit relative. Les essais de laboratoire, tels que ceux de la figure 12, montrent qu'il esl possible d'atteindre une comUtlon de liqufaction (u - am) mme sur des sables trs denses. Ce rsultat a 10ngtemps t l'objet d'une controverse car, en place, 1es dommages conScutifs a une liqufaction n'ont t observs que sur des sab1eS 1dhes. En fait pour les sables denses, C'est--dire pour 1eS sables dont l'tat caractristique n'est pas confondu avec l'tat de rupture, la comUt10n de liqufaction n'est atteinte que temporairement.' Sous 1'efft des sollicitations app1iques (cyc1iques ou permanentes) le point reprsentatif de l'etat de ;contrainte "remonte" dans 16 domaine surcaractristique 2,2), et; le ,! comportement di1atant du sol lui permet de recouvrer une certaine :tsistance au cisai11ement, par suite de la diminution de la pression interstitielle. Il en rsulte que les dformations accompagnant la 1iqufaction restent limites, .. 1 , f'--lM 1\ OS 1"-l'l'' f'.-j'-., t'-, m " N 1')'- '" . .. 1 10 Nombre d. CVcl f!.gure 12 Influence de la densit relative sur la RCC 99 Par opposition, pour un sable lache, il n'existe pas de domaine surcaractris-tique J le comportement du sol est toujours contractant et l'application d'une charge (poids d'un ouvrage par exemple) sur un sable liqufi entraine des dformations pratiquement illumites. Longtemps le terme liqufaction a t rserv ce seul phnomne et certains auteurs ont employ le tenne mobilit cyclique pour dfinir le comportement des sables denses (CASTRO, l.969 J CASAGRANDE, l.976]. Dans la pratique, la liqufaction des sables denses ne prsente pas un caractre fondamental dans la mesure oCi cet tat est temporaire. Seules l.es dformations qui en rsultent, et qui seront supportes par les ouvrages, doivent retenir l.'attention. Aussi est-il prfrable de dfinir des courbes de R,C.C, en se rfrant non pl.us l.'tat c:le l.iqufaction (u - am) mais a une certaine valeur de la dformation, choisie arbitrairement ou en relation avec les dformations d'tre aupportes par l.es ouvrages, Le terme raiatance la liqufaction est aouvent employ abuSp,vement pour dfinir cette rsistance. Si cette confusion est justifie pour Qes sablea l.adhes, il est prfrabl.e de , . conserver l.a c:lnOlnination raistance ,.U cisaill.ement cycl.ique, plus gnrale et moins gnratrice c:le confusion. , , 4.2.2. rnfluence de 1a structure du .BOl -------...,------------.,;.-.c . On dsigne par structure la forme des grains et l'arrangement de ceux-ci. Cette structure rsulte du mode de formation du c:lpOt et de l'histoire des contraintes et dformations subies depuis cette formation. rI est 11nportant de raliser que, les grains n'tant ni sphriques ni tous identiques, l.a densit du sol n'est pa!! caractristique de sa structure J a une c:lensit donne, il est possibl.e d'associer plusieurs arrangements des grains. La. figura 13 prsente des courbes de R,C.C. mesures sur das prouvettes d'un mme sable, prparea a la mme densit mais par des mthodes de mise en place diffrentea [HULILIS et al., l.975] , L'accroissement de R.C,C, peut atteindre l.00" suivant la mthode de prparation. Cette variation rsulte des diffrences de structure des asseltlbl.ages forms. La structure la moins stable correspond A un assemblage l'angle moyen, LOrm par les plane de contact entre grains et la direction de la sol.licitation, est gal a 450 (SEED et al, l.975]. La R,C,C, n'est pas seule modifie par la structure du sol J tout le comportement jusqu'A la rupture est affect comme l.' attestent les diffrences entre les courbes de gnration de pressions interstitielles obtenues pour diverses mthodes de prparation des prouvettes (LAnD, l.976]. Cette influence de la structure forme par l'aElsembl.age des grains est responsa-ble des diffrences de R.C.C. mesures sur dea dhantill.ons ayant subi des chemins de contrainte ou de dformation diffrents surconsol.idation, sollici-tations cycliques antrieures, age du dpt ... La surconsolidation du sol. a pour effet d'accroitre sa R.C.C. Cet accroissement ne peut tre expliqu par la seule augmentation de contrainte moyenne, rsultant d'une augmentation de K" (FINN, 19911. et une part provient de la diffrence de structure, (' De mme, les sollicitations cycliques de faible amplitude augmentent la con-1'1 trainte moyenne mais tendent galement a produire. des assemblages de grains plus stables donc plus rsistants. La figure 14 donne un exemple de variation de 100 0,' 0, ." Dr::: 50 % a!t:::50kPa \ Vibration .. hauta frquance Vibration' ba a Plquag. humide ~ , ; o o '.m hol u.nc. / DIIi ... r ...... nt ~ .ou. l' u ~ Damage humide ~ 0'-' __ .'/ Mo Vibration haut_/ 1 "...;., ue",,_ Piquage i .. c/ , 3 '" Nombre de cycles 30 Figure 13 Influence de la structure sur la RCC (d'aprs Mulms et al 1975 J ~ \ " s:,54% " " ..... '--"" ' o ~ % ,., "" 0,1S ' a ~ ............ 0,10 , , , ' ...... .... Echantillon 00 '0 50 Nombre de cvcles Figure 14 Influence des prvibratiDr1$ sur la RCC ....0"'-prVibr'/ 000 "0 101 B.C.C., mesure sur deux chantillons dont l'un a t prvLbr puis remis en ql1ibre, par dissipation rias pressiona interstitiell.es., Slus l.et.at de contraintes -effectivea initial. Cette variation est importante et mrite d''tre prise en compte dans l'val.uation de la susceptibilit d'un sol. a la l:lufac-tion. C'est le cas, par exemple, des plateformes en mer ou les chargement.s cycliques engendrs par une houle importante sont prcds de sollicitations de plus faible amplitude, dues a Cles houles moins fortes. Si les pressions interstitielles dveloppes par les houles faibles ont le temps de se dissiper avant l'arrive d'une houle plus importante, la rsistance du sol est accrue. Enfin, l'exprience montre que l'age du dpot peut avoir une influence notoire sur sa R,C,C, Plus le dpOt est ancien, plus sa rsistance est leve. Cela provient partiellement d'une augmentation de densit, les dpots du tertiaire tant nettement plus denses que ceux du Plistocne ou de l'Holocne [TOHNO, 1.975], mais galement d'une diffrence de nature (les contacts entre grains, Dans les dpots anciens, les particules les plus fines sont "squeezes" et les contacts entre les grains les plus grossiers plus nonIDreux et plus stables. 4.3. Inf1uence de l'1ncrlDent de contra:1nte appliqu Les essais de laboratoire sont raliss pour des sollicitations unidirec-tionnelles. En place, les sollicitations sismiques engendrent des vibrations tr1directionnelles. DeS essais sur table vibrante ont montr que les vibrations verticales ne modifient que peu la R.C.C. Cela s'explique par le fait que ces vibrations n'induisent que des cisaillements peu importants et donc ne provo--quent pas de variations de volume significatives, Il en est de meme en place oCl les vibrations verticales rsultent de la propagation d'ondes de compression (cf. dhap1tre V) qui, dans des couches (le sol subhorizontales, gnrent essentiel-lement des dformations de compression-extension, par contre les vibrations horizontales engendrent des dfonnations de cisail-lement dans deux directions. L'tude sur table vibrante de l'influence d'une vibration horizontale bidirectionnelle fait apparaitre une (liminution de la R.C.C. du sable. Cette diminution reste cependant lintite 1 il est admis que la R.C.C. sous lIollicitat10n bidirectionnelle est gale a 90" environ de la R.C.C. mesure sous sollicitation unidirectionnelle [SEEO et al, 1975]. 4.4. Influence de la saturat10n L'augmentation de pression interstitielle cre par le cisaillement rsulte de la tendance a la variation de volume du sol. DanS un chantillon parfaitement satur et en condition non draine, la variation de volwne totale est nulle et, l'eau interstitielle tant nettement moins compressible que le squelette, la tendance a la variation de volume est entirement contrebalance par l'augmen-tation de pression de l'eau. Dans un chantillon partiellellU'!nt satur la variation de volume est possible par compression de l'air occlu. Il en rsulte une augmentation plus faible de la pression interstitielle et donc, en condition non draine, une R.C.C. plus leve (figure 15), 102 Cette influence de la saturation peut tre une cause importante d'erreurs exprimentales si l'on ne s'assure pas au laboratoire, par l'utilisation d'une contrepression leve, de la parfaite saturation du sol. Dans le mme ordre d'ides, les dispositifs exprimentaw( ne permettant pas de maintenir constant le volume de l'chantillon peuvent conduirg a. des mesures de R.C.C. errones. A cet gard, l'appareil triaxial est nettement plus fiable que l'appareil de cisaillement simple pour lequel il n'existe, a. notre connaissance, qu'un specimen oprant a volume rigoureusement constant [FINN-VAlD, 19'17]. 0.' 0' O ~ - - - - - - ~ - - - - - - ~ - - - - - - ~ - - - - - - ~ 1 3 10 30 100 Nombre de cycle. ,1..1 Figure 15 Influence du degr de saturation sur la RCC LeS tudes exprimentales, dont les rsultats ont t prsents au paragraphe prcdent, ont trait a la R.C.C. non draine du sol, C'est une approche du phnomne de liqufaction par les contraintes totales dans laquelle on ne s'intresse qu'a la rsistance a rupture du Sol. D'un point de vue plus fondamental, la R,C,C. non draine est gouverne par le comportement du sol, donc par les contraintes effectives. Divers types de modles de cOlTlportement ~ > n t t dvelopps rcelmll!nt de faon spcifique pour l'tude de la liqufaction. Ces modles permettent de suivre l'volution des pressions interstitielles au cours du Chargement, On peut distinguer l 103 des modles empiriques comme le modle nergtique 51101 Nombre de cycle ; Figure 18 Dtermination du nombre de cycles quivalents Pour des tudes pr41iminaires, il est possible d'utiliser une mthode simplifie pour la dtermination de la contrainte T eq [5EEo-IDRISS, 1971]. Cet.te mthode consiste a appliquer l'quation fondamentale de la dynamique a une colonne de section unit et de hauteur h (figure 19). Si la colonne de sol tait parfaitement rigide, la contrainte de cisaillement rnaxilllale serait, dans l' hypothse d'ondes de cisaillement a propagation verticale (a ~ 0 sur les faces verticales) ; avec; g-y -"'max -acclration de la pesanteur poidS spcifique total du sol acclration maximale de surface ( 11) En ralit, le sol possde une certaine flexibilit : T sera infrieure ~ la valeur calcule par l'quation (11). 5EED et IDRISS ont propos une modl.fication 109 110 Cl max .. . u=o U=O , T max Figure 19 Dtermination approche de Tmax 'd Q' ,. / / , / 1/ " ,. / /1 1 " Figure 20 Variation du coefficient Id avec la profondeur (Seed -Idriss 1971) !4 de l'quation (11) par l'introduction d'un coefficient multiplicateur rd' ce coefficient, gal 1 en surface, dcr01t en profondeur. A partir de calculs de rponse dynamique de Bol sur des sites sjlbleux de densits diffrentes, soumis a divers siames, ils ont propos la variation de rd donne a la figure 20. La contrainte de cisaillement cyclique (Teq) quivalente est alors l , Teq - 3 (12 ) L'quation (12) permet de calculer rapidement la valeur de Teq' mais elle ne doit tre utilise que pour des sites sableux, homognes, correspondant aux condi-tions d'tablissement de la courbe de la figure 20.' Par exprience, pour des sites trs htrognes (couches alternes d'argile et sable par exemple), la rigidit globale du systme est fortement mod.ifie, et les valeurs de Teq sont nettement diffrentes de celles donnes par l'quation (12). La m t h ~ e simplifie ci-dessus ne permet pas le calcul du nombre de cycles quivalents. DeS tudes statistiques, portant sur un grand nombre d'acclro-gramnes rels, ont montr que le nombre de cycles quivalents pouvait tre reli a la magnitude M du sisme [SEED et al, 1975]. Les valeurs moyennes proposes, associes a une valeur R - 2/3, sont donnes dans le tableau Ir . . Magnitude Nombre de cycles quivalents 5,5 a 6 , 6.' , , " '.' " , '0 Tableau II 1 correspondance entre magnitude et nombre de cycles quivalents. cette dtermination peut s'envisager partir des essais de laboratoire ou d'essais en place. 6.1.2.1. Essais de laboratoire L'examen des divers paramtres affectant la R.C.C. non draine d'un sable a montre quO il fallait, dans toute la mesure du possible, disposer d'chantillons intacts. rI est en effet impossible de connaitre et de reproduire au laboratoire 111 tous ces pi'.rarntres. La dtermination de la R.C.C. se trouve ainsi confronte au problme du prlvement d'chantillons de sable, qui constitue une des opra-tions les plus de l'chantillonnage des sols. Les sables laches ont tendance a se compacter 10nl du prlvement et les sables compacts a se dilater. cos modifications de compacit peuvent fausser l'valuation de la R.C.C. du sol en place. De plus, l'tude de l'influence du remaniement sur la R.C.C. montre que l'effet de certains facteurs est plus ou moins dtruit lors du prlVement 1 influence d'une prvibra.tion par exemple [MORI et al, 19781, Il est cependant possible, moyennant de grandes prcautioOlil, d'obtenir des chantillons intacts de bonne qualit, spcialement dans les dpOts moyennement denses contenant quelques fines, on peut galement en grande partie lirndner l'influence du prlvement en appliquant a l'chantillon de laboratoire l'his-toin! des contraintes supportes en place, lorsque celle-ci est connue [DUPAS et al, 1979], '0 F--,r---,r-----r,----.,----r,----, C, ... - -.' - -KO=O,4 Ko=0,75 KO=\O 0 , , , , 1 , , 3 , Degr de aurconaolidation OCR Figure 21 Coefficient correcteur appliquer aux rsultats des essais triaxiaux cycliques , Les essais de laboratoire donnent, pour un nombre de cycles N donn, la valeur ds la R.C.C. non draine. cette rsistance peut tre dfinie par la condition de liqufaction U/0'5"'1.0 soit, conventionnellement, par la rsistance mobilise a une certaine valeur de la dformation. On a vu que cette dernire dfinition est prfrable pour les sables denses pour lesquels la liqufaction n'est que de trs courte dure. 112 Si la R,C,C, est obtenue a partir d'essaiS triaxiaux cyCliques, raliss sous conSOlidation isotrope (Ko-l), il est ncessaire de corriger les rsultats bruts des essais pour tenir compte des conditions in situ de consolidation anisotrope et de sollicitation tridirectionnelle. Le facteur correcteur Cr a t dteLmin de faon thorique et exprimentale [S!D et al, 19'1&]. sa variat10n est donne sur la f1gure 21. Le choix du nombre de cycles a t dfini au paragraphe prcdent et: des valeurs approches, fonctions de la magnitude de la so11icitation, sont donnes dans 1e ta);)leau fI. FinaLement la R.C.C. au cisaillement CYClique en place s'crit: a' o 00 a'o contrainte verticale effective en place rsistance N cycles (1 d tant le dViateur _nt. mesure au cyclique, (1; la pression (13) de confine-cette rsistance est comparer a la contrainte induite par la sOllic1tat1on, donne par l'qUation (12). Notons que si la rsistance est obtenue a partir d'essais de cisaillement simple ou de c1s&11l.elllent par torsion, sous des conditions de consolidation reprsen-tant les cOndit1ons in situ, aucune correction n'est appliquer autre que celle due au caractre tridimensionnel de la sollicitation. Les difficults de prlVement d 'c:hantillons de sable ont conduit a recherCher un mode de dtermination de la rsistance au cisaillement cyclique bas sur des essais in situ. Pour obtenir des corrlations exprimentales, il est apparu que l'eSSai le plus couramment utiliS sur des sites ayant subi des sismes, est l'essa! SPT, POur ces sites, on a reprsent (figure 22 d'aprs SEED, 1976) la valeur du NJ. de coups SPT en fonction de la contrainte de cisaillement Ta applique par le sisme et calcule par l'quation (12) a la profondeur critique, La valeur brute N du nombre de coups 5P'l' est convertie en Nl. pour 1iJnl.ner l'influence de la profondeur l ( 14) variation de CN est donne sur la figure 23. 113 '.' ,--,----,--.,--,----,--"r--",--, '.' 0 o o o o .. o o Liq .... factlon Acc:, ... tion .. tim'_ .... dto liq .... factlon o o , , 10 20 30 Nombre de coups normalis N, Figure 22 Dtermination da la rsistance au cisaillement cyclique partir de "essai SPT (Seed 1976) " Une tude en laboratoire, conduite par le Corps of Engineers [MARCUSON-BIEGANOUSKI, 19761, a pe:r:m1.s d'identifier les paramtres influant sur la valeur du nombre N de coups SFrh N est influenc par la structure du mat:r:iau, son degr de surconsolidation, s ~ densit relative et la contrainte verticale effective qu'il supporte. ces paramtres intervenant galement sur la rsistance au cisaillement cyclique des sables, on peut penser qu'il existe une corrlation entre cette rsistance TQ et le nombre N de coups 51"1'. 'Cependant, mme au laboratoire dans des conditons bien contrOles, les rsultats des essais SPT sont disperss. LeS auteurs concluent que l'essai sP'r est trs sensible a de faibles variations de la densit et du degr de surconsolidation. En pratique, cette sensibilit masquera l'effet rel des paramtres. 114 Sur le est constant sur tout plan normal a !' d'quation Vpt o - ix'x - Ry.Y - - constante, et varie sinuaoidalement le long de la direction !. En tout point de l'espace, 4> est priodique, de priode 2ff/W, ces ondes sont des ondes de volume, longitudinales ou transversales, dont les vitesses de propagation sont respectivement Vp et vs' Les ondes longitudinales, ou ondes P, sont des ondes de dl.latation alors que les ondes transversales, ou 159 ondes s, sont des ondes de cisaillement correspondant un mouvement sans variation de volume puisque div 21;2 - div rot f! - o. ces ondes de volume sont les seules exister dans un milieu infini. Les solutions (10) et (11) restent valables si l'une des trois composantes de! est imaginaire. L'interprtation physique de ! est alors diffrente. SUppoSons par exemple Rx et Ry rels et Rz imaginaire pur 1 les solutions reprsentent alors des ondes se propageant dans le plan (x,y) dont l'amplitude decroit (ou croit suivant le signe de tz) exp:men-tiellement suivant Oz. Ces ondes sont appeles ondes de surface gnralises; les ondes de Love gnralises correspondent au cas o. seules des dformations de cisaillement se produisent; les ondE!s de RaYleigh gnralises correspondent au cas o. les dfOrmations de cisaillement sont accompagneS de dformations volumiques. L'existence d'ondes de surface gnralises dpend des conditions aux limites du problme = surface libre, surface de discontinuit des caractris-tiques mcaniques du milieu . Elles ne peuvent exister dans un milieu inTi ni homogne. A partir des solutions (10) et (11) et des relations (4) et (5) on obtient les du dplacement. Posant ,. v p ( (12 ) et fs l'expression correspondante en remplaG'ant vp par Vs' ces composantes ont pour expreSSion 1 ondes longitudinales -ondes transversales i. A Vp 'p Vs fS -(13 ) B ( 14) dsignant le produit vectoriel des deux vecteurs. LeS expressions Ci-dessus montrent que, pour les ondes longitUdinales, le dplacement a lieu dans le sens de la direction de propagation ; pour les ondes transversales, le mouvement prend place dans un plan perpendiculaire a la direction de propagation. Mis part le cas particulier o 2x - Ry 0 et iz - l, C'est--dire o la direction de propagation concide avec l'axe Oz, il est possible de dcomposer le mouvement engendr par les ondes de cisaillement en un mouvement dans un plan horizontal et en Un mouvement dans un plan vertical 1 les ondes correspondant au mouvement horizontal sont dites SH et celles correspondant au mouvement dans un plan vertical sont dites sv. Dfinissant 160 on obtient 1 i. + v " x B z + " y 'sv -,. + v. , x , y " + x B x (1S) (16 ) AsH et Asv reprsentent les amplitudes du mouvement des ondes SR et SV. 2.3. Rflexion et rfraction des ondes planes a une interface Lorsqu'une onde heurte une surface de cUscontlnuitc\ dos caractristiques mcaniques sparant deux milieux, il se produit des phnomnes de rflexion ou de rfraction semblabl.es ceux rencontrs en opt1que. De plus, il se produit des changements de mode. une onde lncic:lente donnant en gnral naissance a des ondes longitudinales et des ondes de cisaillament, ventuellement a des ondes de surface. Les lois de rflexion. ou lois de SNELL, permettent de dterminer les angles des directions de propagation des ondes rflchies et rfractes (figure ,) v Pz v P, sin a sin 13 sin a' -v ., sin /3' - c (H) 00. C est la vitesse apparente de propagation suivant la direction de la surface de sparation 1 (resp, Vpz. Vsz) les vitesses de des ondes longitudinales et transversales du milieu l (resp, milieu 2) et a, (3, 0;', Il' les' angles des directions de avec la surface de sparation des milieux. Les conditions de continuit, de la. contrainte et du dplacement, fournissent les quations ncessaires a la dtermination des amplitudes des ondes, rflchies et rfractes, en fonction de l'amplitude de l'onde incidente, 2, 4. Onde spherique dans un lllilleu mfini prcdemment nous avons donn une solution a l'quation de propagation sous la fonne d'une onde plane, A grande distance d'une source ponctuelle, la courbure du front d'onde est suffisaJ\'lll\ent faible poUl: assimilel: l'onde une onde plane. Par contre, au voisinage immdiat d'une source, le front d'onde ne peut plus tre considr comme plan, C'est le cas par exemple au voisinage du foyer d'un sisme ou encore pour les mesures gophysiques en place, type cross hole (cf, chapjtre IV), Dans le cas d'une source ponctuelle, la solution peut tre obtenue en transfor-mant les quations (8) et ('3) en coordonnes sphriques, soit par exemple pour le potentiel scalaire (le mme traitement s'appliquant au potentiel vecteur n) 161 MILIEU 2 MILIEU 1 Figure 1 Rflexion et rfraction Il une interface , , , . + 2 a. 1 a _ 0 (18 ) --, rOr , , " V at P Posan\: , -r. (19) l'quation (18) s'crit , , , a 1 a - 0 (20 ) , , , ar v al P Pouz:: une onde monochromatique, en spcifiant qu'aucune nergie ne peut proveniZ:: de l'infini, une s01ution gnrale de (19) (20) est Obtenue sous la forme , A . -r Le dplacement, radial, est donn par ,. u -" (t- rfV ) p (21) (22 ) IR. fron\: d'onde, lieu des poin\:s ou 4> '" conB\:an\:e, es\: consti\:u par une sphre 162 centre &. la sourc:e. En se propageant, le front d'onde se dforme et l' ampl i tude du dpla.c:ement u dcroit. L'expansion du front d 'oOOe introduit un amortiseement du mouvement 1 cet amortissement est appel amortissement gomtrique. Il est intressant d.e noter que la solution (21) peut galement tre interprte, en y dveloppant en series de Fourier le terme exp(-ikr). (k .. W/Vp)' comme la superposition d'ondes planes, On montre que [BREKHOVSKIKH, 1960) : rr 1= '" !kA fo oin fo exp [ik k x -ky>' - kzz) J da (23) . - (Vpt 2 rr x avec k .. sin cos a, k .. sin sin B, k ... cos x y z L'intgrale reprsente une onde plane se propageant dans la d.irection de cos: nus directeurs (k,c. ky. kz) Le problme de la propagation d'onCles sismiques depuis une source est un problme essentiellement tr1dlltiensionnel, En cons1drant la source comme constituee d'une ligne (faille) et en se plaant &. une eerta1ne r:Sistance de celle-ci, le problme r:Sevient bidimensionnel 1 toutes les ondes se propagent paralllement a un plan (XOz) et le mouvenlSnt est indepenr:Sant de la coordonne y. La solution gnrale pour une oOOe stationnaire plane s'crit alors ('y" 0) 1 u -, f of- ASV f x p p x z u -'SB f ( 24) Y u -, f - ASV f z p p z x Si .x et tz sont rels, infrieurs &. 1, ils reprsentent les cosinus directeurs ( lx" sin Q, tz" COS Q) de la direction de propagation. Les expressions de fp et (s sont Obtenues &. partir de l'quation (12) avec .y - o. Les quations (24) montrent que, dans le cas d'ondes planes, le dplacement suivant Oy est dcoupl des dplacements suivant Olt et oz. Il ne rsulte que de la propagation d'ondes sa alors que les dplacements suivant ex: et Oz sont fonctions des ondes P et SV, Les deux problmes peuvent tre tudis sparment. Si la direction (!le propagation est verticale, parallle a l'axe Oz (Mx = 1), le problme devient unidimensionnel ; chacune des composantes du est decouple des autres : 163 " - f x s " - f (25 ) Y s " -A f P P Les expressions de fp et fa sont a partir de l'quation (:12) avec lx" O. Ry - 0, iz ... 1. L'tude de la propagation d'ondes SB va nous permettre de dfinir les paramtres intervenant (jans la rponse ci' un profil de sol une onde sismique. On envisagera qalement le cas d'ondes de Rayl.e1gh gnralises (Iy .. 0, 'x rel. I!z 1llIagina.ire) 3.1. ondes SB dans un 1lll.1.eu B8IIi-1nf1n1 Le lplacement horizontal d'une onde SB 1nc1ET J.M. Soi1 amplification of earthquakes. Chp. 19. Numerlcal MelhodB ln Geolechnlca/ Engineering, SCHNABEL P. E., LYSMER J., SEED H. B. Shake. A computer prograrn for earthquake response analysis of horizontally layerel sites. EarlhquaKe EngineerIng Research Center, University of California, Berkeley, Report 1972. STREE'l'ER V.L., WYLIE E.B., RICHARl' F.E. Sail motions computations by characte-riatics method.. Journal of Geotechnlcal EngIneering DiviSion, ASCE, vol. 100, nO GT3, 1974. THOMSON W.T. Transmission of e1astic waves through a stratifiel 801il me X. 0 0 0 0 K En prenant comme inconnues les dplacements (vI du centre de gravit 1 Iv) ... {V}b ... (23) on a la relation {R} ." (KJ. J {v} ( 24) ob [KJ.l est une matrice drive de la matrice d'impdance, 210 K 0 0 0 , 0 K K K , 0 X .. X c (25) [K J ... 0 K K. K .. , 0 .. C 0 0 0 Ke Les quations du mouvement (20) alors sous forme matricielle 1 [M] [v} + [K ] {v} = {QI (26 ) avec: m 0 0 0 [M) -0 m 0 0 (27 ) 0 0 1 0 x 0 0 0 1 z et: K 0 0 0 , 0 K K .. K , 0 x x c [K ] -z (28 ) 0 x .. x x K - 2 Kx. X K x 0 x c c x c 0 0 0 Ke Pour une sollicitation harmonique (Qo}exp(iwt), la solution stationnaire est solution de l'quation 1 W il. [Ml 1 (v) - (Q ) o (29 ) ta solution de l'quation (29) est: aise obtenir, d'autant: que deux degrs de libert seulement: sont coupls. La seule difficult rside dans' la dtenn.1nat1on de la matrice d'impdance [K] (quation 22). +. DEI'ERKIN7.'l'I/ DES l'Ol'IC'l'XONS D':J:MPEDMICE La solution au problme d'une force haunonique applique ilIa surface d'un semi-espace lastique a ete obtenue par LAMB (1904). Par intgration de cette solution lmentaire sur une surface circulaire, Rl-:ISSNER{1936), QUINLAN (1953) et SUNG 211 (1953) ont obtenu des solutions pour le cas de rpartition de contraintes uniforme, parabolique ou e11iptique, Ces solutions ne reprsentent pas l' imp-dance d'une fondation rigide. En effet, sous une fondation la rpartition de contrainte n'est ni uniforme, ni parabolique, ni elliptique 1 de plus elle varie avec la frquence, Le problme a rsoudre est en fait un problme aux conditions aux limites mixtes: contrainte nulle a la surface du sol en dehors de l'emprisn de la fondation, dplacement plan sous la surface d'appui de la fondation, Ce n'est qu'avec les travaux de LYSMER (1965) que les premires solutions (numriqueS) ont t obtenues pour l'impdance verticale d'une fondation rigide a la surface d'un semi-espace lastique. Actuellement, diffrentes procdures sont employes pour la dtermination des impdances de fondation de forme quelconque soumises a une so11icitation hi!-r:monique ( force ou moment). Une procdure donne est plus ou moins bien adapte a la solution d'un problme, et il n'existe pas de mthode universelle pennettant de dterminer l'impdance d'une fondation, quels que soient 1a forme de cette dernire, son enfoncement dans le sol, la stratigraphie du sol de fondation, la frquence d'excitation, .. Il est donc important de connaitre les limitations et avantages principaux de chacune d'entre elles pour choisir la mieux adapte au problme polJ, En reprenant la classification de GAZETAS (1983) on peut distinguer 1 les solutions obtenues a partir d'une formulation continue du problme conduisant a des solutions analytiques ou semi-analyt1.ques les solutions obtenues a partir d'une formulation discrtise du problme 1 mthode des lments finis et plus rarement des diff rences finies, Les caractristiques principales de ces diverses solutions sont examineS ci-aprs sans toutefois entrer dans le dtail de leur formulation mathmatique . 1. SOluti.ons continues Ces solutions sont obtenues a partir des solutions analytiques des quations de l 'lastodynamique dans chaque couche de sol. suivant la faon dont est traite la condition aux limites l'interface sol-fondation, on peut distinguer les solutions entirement analytiques et les solutions serni-analytiques. Les solutions analytiques ne peuvent tre obtenues qU'en simplifiant la condi-tion de contact 1 les contraintes de cisaillement sont supposes nul.les a. l'interface pour les mouvements de translation verticale, ou de balancement autour d'un axe horizontal 1 les contraintes normales sont supposes nulleS pour les mouvements de translation horizontal.e, L'application de transformations intgrales (Fourier ou Hankel) conduit, pour c h a q u ~ mode de vibration, un ensemble d'quations intgrales duales rductible a une quation de Fredholm donl l'valuation est Obtenue numriquement, Des solutions de ce type ont t Obtenues pour des fondations circulaires et filantes sur sol stratifi, visco-lastique, et pour des fondations rectangulaires sur un demi-e"pace, Les solutions semi-analytiques sont obtenues par discrtisation de la surface de contact, Le dplacement, rsultant de l'application d'une sollicitation harmo--212 nique en un des points de la discrtisation, est calcul en tous les autres points de la surface de contact. On obtient ainsi une matrice de coefficients d' influen-ce dynamiques 1 la solution du problme est obtenue en imposant aux dplacements de tous les points de la surface de contact de se trouver dans un plan. Plusieurs techniques nwnriques sont poss1lHes pour l'obtention de la matrice des coeFFi-cients d'influence 1 utilisation de la solution de LalIlh, transformation de Fourier, mthode des quations intgrales ... Des solutions de ce type ont t obtenues pour des fondations de forme quelconque, poses a la surface de sols viscolastiques stratifis horizontalement, et pour quelques cas de fondations enfonces dans un semi-espace homogne . .... 2. Solutions discrtes La plupart de ces SOlutions sont obtenues par la mthode des lments finis. La principale difficult, pour la mise en oeuvre de solutions nwnriques par lments finis, rside dans la simulation des conditions aux limites du modle. Pour Viter les rflections d'ondes heurtant les bords du modle, il est ncessaire d'adjoindre ces limites des frontires absorbantes simulant de faon exacte la prsence, au-del de la frontire, d'un milieu d'extension infinie, L'existence de ce mi1ieu permet la dissipation d'nergie vers l'inFini. un exemple de frontire absorbante a t donn au chapitre V. ACtue11ement, des frontires absorbantes n'ont t dveloppes que pour les problmeS plans ou axisymtriques, Pour les problmeS tridimensionnels, la seule alternative consiste a loigner suffisamment les frontires du mod1e pour permettre l'absorption d'nergie par amortissement matriel, ou a adjoindre aux limites des frontires "visqueuses" (amortisseurs de type Lysrner-Kuh1emeyer) ne repr-sentant le milieu infini que de faon approche. Dans le cadre de ces restrictions gomtriques, des solutions par lments finis peuvent etre obtenues quelques soient les htrognits du Sol et les enfoncements de la fondation. 4,3. Avantages et lilllitations des mthodes De la prsentation ci-descus, il ressort que les mthodes semi-analytiques (ou analytiques) sont bien adaptes aux CaB de fondation de forme quelconque reposant a la surface de semi-espaces (lastiques ou viscolastiques), homognes, ou dont 1es proprits ne varient pas de faon trop brutale avec la profondeur, Leur principal avantage, et non le moindre, est de prendre correctement en compte l'aspect tridimensionnel du problme, De que la stratification devient trop importante, ou pour les fondations enterres, ces mthodes deviennent moins eff1caces. Il en va de mme pour le traitement des frquences leves nces-sitant, dans J.es mthodes semi-analytiques, un grand nombre de points de discrtisation de la. surface de contact.' La mthode des lments finis est bien adapte au tra.itement de problmes plans ou axisymtiques. Aucune limitation n'existe concernant les htrognits du sol ou l'enfoncement de la fondation. Les problmes tridimensionnels sont par contre mal apprhends et la mthode peut devenir prohibitive poUl: le traitement des frquences leves conduisant des dimensions de maille faibles (voir chapitre V, paragraphe 6.2). Notons enfin que les mthodes ont souvent t opposes. Dans la pratique leur application correcte conduit a des rsultats quivalents [HADJIAN et al, 1974). 213 S. EXEMPLES DE POIIC'l'l:ON D ' ~ Une compilation trs complte des fonctions d'i.nIp4dance publies dans la littrature a t prsente par GAZETA.S (1983). Nous ne retiendrons ici, a titre d'illustration, que les cas d'utilisation les plus courants correspondant a une fondation circUlaire reposant, soit sur un semi-espace homogne, soit sur un bicouche constitu d'une couche de sol surmontant une assise rigide. On examinera l'influence de la forme gomtr1que de la fondat1on et de son enfoncement dans le sol, Les rsultats sont prsents BOUS la forme de l'quation (12) en omettant 1'indi.ce .1.. 5.1. :I!IIpdanOe CI' une fondat1on c1zcuJ.a1ze a ].a surfaoe d' un sem:L -ese; Du point de vue CIe la fonnulation mathmatique, ce cas correspond a la configuration la plus simple, Les valeurs de l'impdance correspondant aux quatre degrs CIe libert, y comprie le terme de couplage mouvement horizont-.al -balancement, ont t publies par VELETSOS-WEI (1971), LUCQ-WES'l'MANN (1971) et VELETSOS-VERBIC (1974). LeS valeurs de k et c, correspondant a chaque l1ICXIe de vibration, eont donnee sur la figure 4 pour 0 .. ao" B et {pO. L'expression de la raideur statique est galement indique sur la figure, Pour des valeurs non nulles de l'amortissement matriel (J, l'quation (13) est applicable avec une trs bonne approximation, LeS termes de couplage klC'St, cx4> n'ont pas t reprsents car ils sont trs faibles et peuvent tre raisonnablement ngligs 1 la matrice d'impdance (22) est alors diagonale, Mi,s a part les parties relles kz et de l'impdance en translation verticale et. en balancement, les aut.res coefficients sont pratiquement indpendants du coefficient de Poisson, De mme les coefficients cz cx' kx ne varient. que faiblement avec la frquence et on peut, avec une bonne approximation, les considrer constants. Il en est de mme pour ka' ce et c ~ ds que ao ~ 2. La partie imaginaire de l'impdance correspondant aux l1ICXIes de translation. Cz et ex: est nettement plus leve que celle correspondant aux modes de rotation, En d'autres termes, l'amortissement radiatif issu de ces modes est plus important que celuiiBSU des lIlOdeB de rotation. Ce dernier est: d'ailleurs pratiquement nul pour les lIlOdes de rotation aux faibles valeurs de ao(fondation de dimension rduite ou frquence d' excitation basse), Dans ce cas, le seul amortissement est apport par l'amortissement matriel) il est donc important d'en tenir compte. Par COntre il peut tre nglig devant l'amortissement radiatif pour les modes de translation, Les rsultats de la figure 4 permettent de dterminer, a toute frquence, le mouvement d'une fondation rigide circulaire reposant a la surface d'un sffmi-espace, Il est cependant possible, dans le cas du semi-espace, de simplifier plus avant la dtermination de ce mouvement en dfinissant ..les coefficients d' imp- -dance indpendants de la frquence. ces coefficients sont Choisis de faon a ce que la rponse du massif de fondation soit aussi proche que possible de la rponse exacte. Ainsi, la rponse tant gouverne aux faibles frquences par la raideur statique, la partie relle de l'impdance est choisie gale a k "" 1. Au voisinage de la rsonance, la rponse tant contrOle par l'amortissement du systiM, la partie imaginaire de l'11lIpd.ance est choisie de faon a reproduire le mouvement a son voisinage, En suivant cette approche, L'iSMER (1965), HALL (1967) ont propon 214 1 ~ CoefftcMotlt de poisaon p r C. ~ . , _._._. :;: .,,0-k. , q .-0 , k. q r-0 , kt q. o , k. o , -'-r-' . ./ ........... -.-.--r-K:r.'" 4GR ,. Y , _1 0 'r .- ........ _.- ............ X Kil'" !!!.. '-y L L L ~ , ~ I-, o , c, , Co 80 8 0 1 /.--' -, -'-'---_. . , , , , , , -' , 1 , 1 1 j - , ~ ~ : : ~ ~ : : ~ : : : - ~ . .-. .--=' , 0 Figure 4 Impdance d'une fondation circulaire sur un semi-espace 215 les valeurs d' impdance donnes dans le tableau lIces valeurs sont indpen-dantes de la frquence, Les valeurs des raideurs statiques sont donnes sur la figure 4. Les valeurs donneS dans le tableau l conduisent a une trs bonne approx1.mation de la rponse sur la plage de frqUences dfinie par 0 .. ao .. 4 (exception faite peut-etre du balancement). La figure 5 compare, a titre d'exemple, l'amplification (rapport du dplacement dynamique au dplacement statique) d ',une fondation circulaire, sollicite verticalement, value de faon exacte et avec les coefficients d'impdance indpendants de la frquence. -Impdanea _riable (,.-ll ____ lmpolidBnea eon.tan1a -, 0 a-a .;", .... '" G ..... fr:+l , . Figure 5 Rponse d'une fondation circulaire ri$lide une force verticale {Lyamer _ Richart,19661 Pour mieux approcher la rponse du II'\assif de fondation a l'aide de coefficients d'impdance indpendants de la frquence, certains auteurs ont propos d' ajouter une masse fictive a la fondation 1971J. Cette masse ne reprsente pas une masse de sol "attache" la fondation mais constitue un artifice mathmatique permettant de mieux rendre compte de la rponse de la fondation. Notons enfin que, dans cette approche o les coefficients d'impdance sont pris indpendants de la frquence, le sol de fondation est simplement modlis a l'aide de ressorts et d' amortisseurs (un couple pour chaque degr de libert) de caractristiques constantes. L'analogie de HSIEH prend alors la forme la plus simple possible. La rponse s'value . l'aide de l'quation (29) o la matrice est constante. 216 Coefficients de l'impdance quivalente MOd. d. vibration partie relle Partie imaginaire k, c, ---vertical I 0.95 Horizontal I 0.576 0.30 Balancement I , ( I v) l x I + , 8 P r. V n -r. Torsion I 2 l I + z , p r. Tableau I du semi-espace 1 coefficients 1nd:pendants de la frquence Mod. Raideur statique domaine de de v1J::>rat1on validit 4 G r. 1 r. 1 Vertical I + 1.28 -H > 2 r. I v H 8 G r. 1 I r. 1 Horizontal , o., -- H > r. 2 v H 8 G r. r. -_. [1+0.1.7 1 Balancement - ro < H < ... ro , ( I - V ) H Torsion " -- G r. , Tableau II Raideur statique d'une fondation circulaire sur un mono-couche H > 1..25 ro 217 5.2. rmpdance (l'une fondation circul.aire en surface (l'une couche d'pilisseu.r , ....... Lea 13101131 de fondation ont rarement das proprits constantes sur das profondeurs suffisamment iltIportantes pour pouvoir tre assimils a des serni-espaces hO\1Klg-nes, Un cas d'htrognit typique est Cr par la prsence, a faible profon-deur, d'une couche de sol nettement plus raide que la couche de surface, La rponse d'un massif de fondation sur ce Sol stralifi peut tre fortement diffrente de celle du merne massif sur un sol homogne. DanS le cas 00 la couche sous-jacente peut etre considre comme infiniment rigide, l'impdance dynamique de la fondation circulaire a t valUe par KAUSEL (1974), KAUSEL-ROESSET (1975), KAUSEL-USHI,J'IMA (1979), La raideur statique (tableau rr) et les variations avec la fquence des parties relle et imaginaire de l'impdance (fiqure 6 ) sont toutes deux affectes par la prsenCe d'une COuche rigide a une profondeur H, La raideur en translation verticale, et dans une moindre t'IIesure celle en translation hori:,r:ontale, sont fortement modifies par la prsenCe d'une assise X'OCheuse, par contre les raideurs en balanCement et en torsion sont peu, ou pas, affectes. Les coefficients de l'1lnpdance dynamique dpendent fortement dU rapport B/ro, Leurs variations avec la frquence prsentent des p ~ c s et valles prononCs, alora que, dans le cas du semi-espace, les variations sont plus rgulires. Les pics et valles correSpondent au]!: frquences propres de vibration de la COuche (voir chapitre V) , les ondes mises par la vibration du massif sont rflchies a la e de la couche et renvoient l'nergie vers la fondation, provoquant une augmentation de l'amplitude de vibration a certaines frquences, Lorsque l'amortissement matriel du sol croit, les pics et valles deviennent moins prononCs. un autre Phnomne iltIportant, mis en vidence sur la figure 6, est l'absence d'amortissement racuatif aux faibles frquences (partie imaginaire de l'imp-dance dynamique nulle), A ces frquences, le seul amortisselflnt est apport par l'amortissement matriel, Cela rsulte du fait qu'a ces frquences aucune onCle de surface, dont la direction de propagation est horizontale, n'est Cre dans la couche de sol 1 toute l'nergie est transporte par les onCles de volutne qui sont rflchies en atteignant l'assise rocheuse, L'nergie n'est donc transporte horilG()utalement vers l'infini qu'aprs de multiples rflections, ce phnomne est nettement plus marqu pour les modes de translation, donnant principalement naissnce a des ondes (de compression ou de cisaillell'lnt) a propagation verticale, que pour les modes de rotation, LeS rsultats prcdents mettent clairement en vidence le risque de sous-valuation de la rponse d'un massif, encouru en assimilant son sol de fondation a un semi-aspace homogne, La seule modification de la raideur statique de la fondation ne permet pas de prendre correctement en co!:".pte la prsence de l'assise rigide, Si a la base de la couche de sol existe, non plus une assise rigide, mais un nemi-espace, la raideur statique de la fondation diminue, les pics et valles des impdances dynaJ1'\iques sont moins marqus