e 展開を用いた ユニタリー・フェルミ気体の研究
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e 展開を用いた ユニタリー・フェルミ気体の研究. 西田 祐介 (INT, ワシントン大学 ). 実験的背景 : ユニタリー・フェルミ気体 理論: e 展開の定式化 ( e = 4-d, d-2) LO + NLO での結果 まとめと結論. “ e expansion for a Fermi gas at infinite scattering length” Y. N. & D. T. Son, Phys. Rev. Lett. 97, 050403 (2006) Phys. Rev. A 75, 063617 (2007) - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
展開を用いたユニタリー・フェルミ気体の研究
西田 祐介 (INT, ワシントン大学 )
1. 実験的背景 : ユニタリー・フェルミ気体2. 理論: 展開の定式化 ( = 4-d, d-2)
3. LO + NLO での結果4. まとめと結論
“ expansion for a Fermi gas at infinite scattering length” Y. N. & D. T. Son, Phys. Rev. Lett. 97, 050403 (2006)
Phys. Rev. A 75, 063617 (2007) Y. N., Phys. Rev. A 75, 063618 (2007)
2/15フェルミ粒子からなる様々な系引力相互作用 超伝導・超流動
金属超伝導 ( 電子 )Kamerlingh Onnes (1911), Tc = ~9.2 K
液体ヘリウム 3Lee, Osheroff, Richardson (1972), Tc = 1~2.6 mK
高温超伝導 ( 電子 or ホール )Bednorz and Müller (1986), Tc = ~160 K
冷却原子気体 (40K, 6Li)Regal, Greiner, Jin (2003), Tc ~ 50 nK
• 核物質 ( 中性子 ): ?, Tc ~ 1 MeV
• カラー超伝導 ( クォーク ): ??, Tc ~ 100 MeV
BCS theory
(1957)
3/15フェッシュバッハ共鳴
原子間の引力の強さを外磁場によって任意に制御できる
C.A.Regal and D.S.Jin, Phys.Rev.Lett. (2003)
S 波散乱長 “ a” : [0, ]
a<0 束縛状態なし
40K
a (rBohr)
引力大 a+0 引力小 a-0
a>0
束縛分子を形成
フェッシュバッハ共鳴
ゼロ束縛エネルギー|a|
B (Gauss)
原子気体 実験環境を自由にデザイン (統計性、分極、格子、・・・)
4/15BCS-BEC クロスオーバー
原子気体の BCS 状態弱い引力 : akF-0
束縛分子の BEC 状態弱い斥力 : akF+0
Eagles (1969), Leggett (1980)Nozières and Schmitt-Rink (1985)
ユニタリー・フェルミ気体• 強結合極限 : |a kF|• 原子気体 @ フェッシュバッハ共鳴
超流動相
強結合領域
0
?
強結合系のプロトタイプ (高温超伝導、クォーク物質、・・・)原子気体 強相関量子多体系を議論する理想的な環境
5/15ユニタリー・フェルミ気体 George Bertsch (1999), “Many-Body X Challenge”
原子気体 @ フェッシュバッハ共鳴 : r0 << kF-1 << |a|
散乱長が無限大 (a ) の コンタクト相互作用
(r0 0) をする スピン 1/2 のフェルミ粒子 強結合極限 a kF= : 摂動展開は破綻 展開パラメータがないため 解析計算は難しい
• これまでのアプローチ…1. 平均場近似( + 揺らぎ)2. モンテ・カルロ数値シュミレーション …
• 空間次元による系統的な展開 展開
6/15展開によるアプローチ ( = 4-d, d-2)
BECBCS 強結合の
ユニタリー領域
d=4
d=2
g
g
• d4 : 弱く相互作用する フェルミ & ボーズ粒子の系 有効結合定数 : g~(4-d)1/2
• d2 : 弱く相互作用する フェルミ粒子の系 有効結合定数 : g~(d-2)
様々な物理量について、“ 4-d” あるいは “ d-2” を展開パラメータとする系統的な“摂動”展開が可能
7/15
一般の空間次元 d での T 行列
場の理論を用いた定式化
iT =
(p0,p) 1 n
“a”
散乱振幅は d=2,4,… にゼロ点を持つゼロ相互作用極限に対応
コンタクト相互作用するスピン 1/2 のフェルミ粒子 :真空中での 2 体散乱 ( ゼロ密度 =0)
8/15
d=4- (<<1) のときの T 行列
d=4, d=2 近傍での振る舞い
iT = ig igiD(p0,p)
フェルミ & ボーズ粒子間は弱い結合g = (82
)1/2/m
d=2+ (<<1) のときの T 行列
iT =ig
フェルミ粒子間は弱い結合
g = 2 /m
9/15計算例1 : 有効ポテンシャル( NLO )
O(1) O()
+ +Veff (0,) =
• d=4 近傍での有効ポテンシャルとギャップ方程式
+ O(2)
O(1) O()
+Veff (0,) =
• d=2 近傍での有効ポテンシャルとギャップ方程式
+ O(2)
10/15ゼゼゼゼゼゼゼゼゼゼゼ
• d=4, d=2 近傍での普遍パラメータ
ゼゼゼゼゼゼ (=4-d, d-2) を用いた系統的な展開 !
• ユニタリー・フェルミ気体の状態方程式
1粒子当たりのエネルギー :
11/15計算例2 : 超流動中の準粒子
- i (p) =
• フェルミ準粒子の分散関係 : (p)
エネルギー・ギャップ :
対応する運動量 :
NLO 自己エネルギー
0
=4-d による展開
=d-2 による展開
or
O() O()
12/15d=4- ゼゼゼゼゼゼゼゼゼゼゼ• LO + NLO の結果を =1 に外挿
J.Carlson and S.Reddy,
Phys.Rev.Lett.95, (2005)
モンテ・カルロ数値シュミレーションの結果とよく一致
NLO 項は LO 項と比べて小さい
5 ~ 35 %
NLO 項は LO 項の 100 %cf. d=2+ ゼゼ d=3 へ外挿
13/154-d 展開と d-2 展開のマッチング• ボレル変換 + パデ近似子
• d=3 に内挿した結果
“d-2” による展開結果
d
♦=0.42
4d
2d
“4-d” による展開
14/15超流動相転移の臨界温度• 4-d, d-2 展開による臨界温度
NLO の補正項は
小さい ~4 %
• d=3 に内挿した結果
数値シュミレーション
d
Tc / F
4d
2d
• Bulgac et al. (’05): Tc/F = 0.23(2)
• Lee and Schäfer (’05): Tc/F < 0.14
• Burovski et al. (’06): Tc/F = 0.152(7)
• Akkineni et al. (’06): Tc/F 0.25
15/15
1. ユニタリー・フェルミ気体の問題は =4-d, d-2 を使って“摂動論”的に解ける!• d=4 近傍では、弱く相互作用するフェルミ & ボーズ粒子の系• d=2 近傍では、弱く相互作用するフェルミ粒子の系
2. 様々な物理量 (, , 0, Tc ,…) を LO+NLO で計算• 4-d 展開の NLO 項は LO 項に比べて十分小さい• d=3 に外挿した結果は、 MC シミュレーションとよく一致
3. 今後の課題• 高次補正項の計算 + 展開の解析的性質の理解
信頼できる定量的な方法へ
まとめと結論
弱く相互作用するフェルミ & ボース粒子の系というユニタリー・フェルミ気体の描象は現実の d=3 でもよい出発点かもしれない
16/15
Back up slides
17/15d=4 と d=2 の特殊性2 体の( s 波)相対波動関
数
Z.Nussinov and S.Nussinov, cond-mat/0410597
2 体の相対波動関数は原点に集中
ユニタリー・フェルミ気体は d4 で自由なボーズ気体に帰着
ユニタリー極限 ( a ) での規格化積分は d4 のとき原点 (r0) で発散
d2 では、どんな引力ポテンシャルも束縛状態を持つ
“a” はゼロ相互作用に対応
d2 で自由なフェルミ気体に帰着
18/15 展開の結果( NLO )と比較• 基底状態のエネルギー MC 平均
場数値計算 近似
~0.42 0.591
• フェルミ準粒子の励起エネルギー・ギャップ
~1.2 1.16
• 凝縮の割合 ~0.58 0.699
• 臨界温度 ~ 0.25 0.500
数値計算と定量的に近い ・ 平均場近似より改善
1.31
0.249
0.661
0.475
19/15NNLO correction for • NNLO correction for
Arnold, Drut, Son, Phys.Rev.A (2006)
Fit two expansions using Padé approximants
d
Interpolations to 3d
• NNLO 4d + NNLO 2d
cf. NLO 4d + NLO 2d
Nishida, Ph.D. thesis (2007)
20/15Unitary Fermi gas George Bertsch (1999), “Many-Body X Challenge”
r0
V0(a)
kF-1
kF is the only scale !
Atomic gas : r0 =10Å << kF-1=100Å << |a|=1000Å
Energy per particle
0 r0 << kF-1 << a
cf. dilute neutron matter |aNN|~18.5 fm >> r0 ~1.4 fm
is independent of systems
What are the ground state properties ofthe many-body system composed of
spin-1/2 fermions interacting via a zero-range,
infinite scattering length contact interaction?
21/15
• Mean field approx., Engelbrecht et al. (1996): <0.59• Linked cluster expansion, Baker (1999): =0.3~0.6• Galitskii approx., Heiselberg (2001): =0.33• LOCV approx., Heiselberg (2004): =0.46• Large d limit, Steel (’00)Schäfer et al. (’05): =0.440.5
Universal parameter
Models
Simulations
Experiments Duke(’03): 0.74(7), ENS(’03): 0.7(1), JILA(’03): 0.5(1),
Innsbruck(’04): 0.32(1), Duke(’05): 0.51(4), Rice(’06): 0.46(5).
No systematic & analytic treatment of unitary Fermi gas
• Carlson et al., Phys.Rev.Lett. (2003): =0.44(1)• Astrakharchik et al., Phys.Rev.Lett. (2004): =0.42(1)• Carlson and Reddy, Phys.Rev.Lett. (2005): =0.42(1)
• Strong coupling limit Perturbation a kF=
• Difficulty for theory No expansion parameter
22/15
Boson’s kinetic term is added,
and subtracted here.
=0 in dimensional regularization
Expand with
Ground state at finite density is superfluid :
Lagrangian for expansion
• Hubbard-Stratonovish trans. & Nambu-Gor’kov field :
• Rewrite Lagrangian as a sum : L = L0+ L1+ L2
23/15Feynman rules 1
• L0 :
Free fermion quasiparticle and boson
• L1 :
Small coupling “g” between and
(g ~ 1/2)
Chemical potential insertions ( ~ )
24/15
+ = O()
Feynman rules 2
• L2 :
“Counter vertices” to cancel 1/ singularitiesin boson self-energies
p p
p+k
k+ = O()
p p
p+k
k
1.
2.
O()
O()
25/15
1. Assume justified later
and consider to be O(1)
2. Draw Feynman diagrams using only L0 and L1
3. If there are subdiagrams of type
add vertices from L2 :
4. Its powers of will be Ng/2 + N
5. The only exception is = O(1) O()
Power counting rule of
or
or
Number of insertions
Number of couplings “g ~ 1/2”
26/15Expansion over = d-2
1. Assume justified later
and consider to be O(1)
2. Draw Feynman diagrams using only L0 and L1
3. If there are subdiagrams of type
add vertices from L2 :
4. Its powers of will be Ng/2
Lagrangian
Power counting rule of
27/15
(i) Low : T ~ << T ~ /
(ii) Intermediate : < T < /
(iii) High : T ~ / >> ~ T
• Fermion excitations are suppressed
• Phonon excitations are dominant
Hierarchy in temperature
T
(T)
0Tc ~ /
(i) (ii) (iii)
At T=0, (T=0) ~ / >> 2 energy scales
• Condensate vanishes at Tc ~ /• Fermions and bosons are excited
Similar power counting• /T ~ O()• Consider T to be O(1)
~
28/15Large order behavior
• d=2 and 4 are critical pointsfree gas r0≠02 3 4
• Borel transform with conformal mapping=1.23550.0
050
• Boundary condition (exact value at d=2)=1.23800.0
050
O(1) 2 3 4 5 Lattice
1 1.167 1.244 1.195 1.338 0.892 1.239(3)
• Critical exponents of O(n=1) 4 theory (=4-d 1)
expansion is asymptotic series but works well !
29/15
• Borel summation with conformal mapping=1.23550.0050 & =0.03600.0050
• Boundary condition (exact value at d=2)=1.23800.0050 & =0.03650.0050
expansion in critical phenomena
O(1) 2 3 4 5 Lattice Exper.
1 1.167 1.244 1.195 1.338 0.892 1.239(3)
1.240(7) 1.22(3) 1.24(2)
0 0 0.0185 0.0372 0.0289 0.0545 0.027(5) 0.016(7) 0.04(2)
Critical exponents of O(n=1) 4 theory (=4-d 1)
expansion isasymptotic seriesbut works well !
How about our case???
30/15Critical temperature
Veff = + + + insertions
• Gap equation at finite T
• Critical temperature from d=4 and 2NLO correctionis small ~4 %
Simulations : • Lee and Schäfer (’05): Tc/F < 0.14• Burovski et al. (’06): Tc/F = 0.152(7)• Akkineni et al. (’06): Tc/F 0.25
• Bulgac et al. (’05): Tc/F = 0.23(2)
31/15
d
Tc / F
4d
2d
Matching of two expansions (Tc)
• Borel + Padé approx.
• Interpolated results to 3d
Tc / F P / FN E / FN / F S / N
NLO 1 0.249 0.135 0. 212 0.180 0.698
2d + 4d 0.183 0.172 0.270 0.294 0.642
Bulgac et al. 0.23(2) 0.27 0.41 0.45 0.99
Burovski et al. 0.152(7) 0.207 0.31(1) 0.493(14) 0.16(2)
32/15Comparison with ideal BEC
• Unitarity limit
1 of 9 pairs is dissociated all pairs form molecules
• Ratio to critical temperature in the BEC limit
• BEC limit
Boson and fermion contributions to fermion density at d=4
33/15
unitarity
BCS BEC
Gapped superfluid
1-plane waveFFLO : O(6)
Polarized normal state
Polarized Fermi gas around d=4• Rich phase structure near unitarity point in the plane of and : binding energy
Stable gapless phases (with/without spatially varying condensate) exist on the BEC side of unitarity point
Gapless superfluid