課文 b...1 單元一：平方根與近似值 課文a：根號的意義...
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目 錄
單元一：平方根與近似值......................................................................................... 1
課文 A：根號的意義 ......................................................................................... 1
課文 B：根號的值 ........................................................................................... 12
課文 C：平方根的意義 ................................................................................... 27
單元二：根式的運算............................................................................................... 33
課文Ａ：多項式............................................................................................... 33
課文 B：最簡根式與分母有理化 ................................................................... 41
課文 C：根式的加減 ....................................................................................... 50
課文 D：根式的四則運算 ............................................................................... 59
單元三：畢氏定理................................................................................................... 66
課文 A：畢氏定理 ........................................................................................... 66
課文 B：平面上兩點間的距離 ....................................................................... 78
1
單元一：平方根與近似值
課文 A：根號的意義
這一章要學習的內容是根號與畢氏定理。
關鍵：什麼是根號呢？
我們從正方形的面積與邊長關係討論起。
已知一個正方形的面積是 1，那麼它的邊長是多少？
我們馬上知道它的邊長是 1，因為 1 × 1 = 1。
如果給一個大一點的正方形，已知它的面積是 4，請問它的邊長是多
少？
我們也可以算出它的邊長是 2，因為 2 × 2 = 4。
那你心裡會不會想：在正方形面積從 1 到 4 中間，有沒有一種正方
形它的面積是 2？或是有沒有一種正方形它的面積是 3？
當然有！我們先把它畫出來。
那你會不會好奇，它們的邊長分別會是多少呢？
2
我們來做一點簡單的觀察，你會發現當正方形面積為 1 時邊長為 1，
當正方形面積為 4 時邊長為 2，面積 2 和面積 3 的正方形夾在面積 1
和面積 4 中間。
所以面積為 2 和 3 的正方形，邊長應該夾在 1 和 2 中間。
我們可以大膽的猜測，邊長是 1 和 2 中間的一半，也就是1.5。
而當邊長為1.5時，正方形面積為1.5 × 1.5 = 2.25。
這代表在面積為 2 和面積為 3 的正方形間，還夾有一個正方形，它
的邊長是 1.5，面積是 2.25。
由於面積2.25 的正方形比我們要求的面積 2 的正方形還要大。
所以我們要試試比 1.5 小一點的邊長。
我們來試試邊長 1.4 的正方形吧!
邊長 1.4 的正方形面積，等於1.4 × 1.4 = 1.96 。
所以我們可以發現邊長 1.4 的正方形面積1.96 比 2 來得小！
3
這代表在面積 2 的正方形前面有一個正方形的面積是 1.96。
如下圖所示，
因此，我們又可以知道面積 2 的正方形，它的邊長應該夾在 1.4 到1.5
中間。
我們繼續來試一下邊長 1.45 。算一下 1.45 × 1.45 = 2.1025，又比面
積是 2 的正方形大一點點。
接著再試邊長 1.41，算一下1.41 × 1.41 = 1.9881，那我就知道面積
為 2 的正方形夾在邊長為 1.41 和 1.45 的中間。
1.41 和 1.45 的中間是什麼數字？
我們猜一下數字1.413，面積等於1.413 × 1.413 = 1.996569，越來越
接近 2 了！
雖然我們可以這樣一直做下去，讓面積越來越接近 2。
4
但事實上，不管怎麼找，我們其實找不到一個曾經學過的數，它所
圍成的正方形面積會剛好等於 2！
關鍵：那麼，面積為 2 的正方形邊長究竟是什麼呢？
於是數學家們利用〝 √ 〞(唸作根號)這個符號，創造出一種新的
數來解決這個問題。
例如，正方形面積為 2 ，我們就將邊長直接表示為〝 √ 2 〞，唸作
「根號 2 」；
同樣的，正方形面積是 3，那我們就將邊長直接表示為〝 √ 3 〞，
唸做「根號 3 」。
我們將 √ 2 和 √ 3 這樣的數，稱做「根號數」。
有了這個符號〝 √ 〞，表示一個正方形的邊長就輕鬆多了。我們
連算都不用算！只要在前面掛一個 √ 就好。
正方形面積為 2 的邊長是 √2 ，正方形面積為 3 的邊長是 √3 。
所以，我們可以將正方形面積和邊長的關係寫出下面的等式：
√正方形面積 = 邊長
5
我們都知道正方形面積算法是「邊長2
= 邊長 × 邊長 = 面積」。
因此，如果√2 代表正方形面積為 2 的邊長，那麼 (√2)2 就會是在算
這個正方形面積，也就是 2，我們就可以寫出下面的等式
(√2)2 = √2 × √2 = 2。
從這個等式，我們可以觀察到兩件事：
⊙第一：√ 2 的平方會等於 2，也就是(√ 2 )2 = 2，
⊙第二：√2 × √2 = 2。
所以，當我們看到某一個根號數的平方時，就可以直接求出答案，
如(√ 7 )2就可以馬上知道(√ 7 )2 = 7，同樣的道理(√ 11 )2 = 11。
而當兩個相同的根號數相乘時，我們同樣也可以直接求出答案，如
√ 7 × √ 7 = 7，√ 11 × √ 11 = 11。
接著，我們來做三個例題.。這些例題的目標如下:
例題 1.以根號數表示正方形的邊長或求出面積
例題 2.求出根號數的平方之值
例題 3.比較根號數的大小關係
6
Ex 1：
正方形面積為 5 ，則邊長為何？正方形邊長為 √7 ，則面積為為何？
解：我們利用〝 √ 〞這個符號，來表示一個正方形的邊長。
所以正方形面積為 5 ，則邊長就會是 √ 5 ；
那麼正方形邊長為 √ 7 ，則面積就會是 7。
Ex 2：計算下列各式.
(1) (√ 11 )2 = 。
(2) (√ 4.9 )2 = 。
(3) (√ 2
3 )2 = 。
解：(1) (√11)2
= √11 × √11 = 11。
(2) (√4.9)2 = √4.9 × √4.9 = 4.9 。
(3) (√2
3)2 = √
2
3× √
2
3=
2
3。
7
關鍵：根號裡面的數可以是負數嗎?
既然我們利用√ (根號)來表示一個正方形面積的邊長的話，它就
會有一些限制！
想一下，前面說的〝 √正方形面積 = 邊長〞。
我們知道正方形面積與邊長不會有負值，所以根號內的數和根號本
身的值也不可以為負。
例如，因為不會有正方形的面積是 −3，所以在國中階段不會有 √−3
這種數。
而因為也沒有正方形的邊長會是 −3，所以也不會有一個數 a的根號
值是 −3，也就是不會有√ a = −3。
關鍵：如何比較兩個根號數的大小
接下來我們要來談一談，如何比較兩個根號數的大小。
以√2 和√ 5
3 當作例子。當我們要比較 √2 和√
5
3 的大小時，我們可以
利用根號的意義來想一下。
√2 表示正方形面積為 2 的邊長，√5
3 表示正方形面積為
5
3 的邊長。
8
如下圖所示：
很明顯的知道面積為 2 的正方形比面積為 5
3 的正方形還要大，所以正
方形面積為 2 的邊長 √2 當然比正方形面積為 5
3 的邊長 √
5
3 還要大。
Ex 3：試比較 √99 和 10 的大小。
解：首先，我們知道:
以√99為邊長的正方形，其面積為(√99)2 = 99；
而以 10為邊長的正方形，其面積為(10)2 = 100。
因為當正方形的面積愈大，其邊長也愈大，
所以，由 100 > 99 ，可得10 > √99 。
2 5
3 √2 √
5
3
9
重點提問
1. 請問在上面的課文中，「√ 」唸成什麼？請你用自己的話解釋
什麼是「√ 」？
2. 從上面的課文中，我們利用到根號來表示正方形邊長的大小，也
就是√正方形面積 = 邊長，請問這會讓根號產生什麼限制？
3. 要如何比較 √7 和 √8 的大小？為什麼可以這樣比較？
10
․隨堂練習：
1. 以下都是正方形，請填寫它的邊長。
2. 以下都是正方形，請填寫它的面積。
3. 請算出以下的值。
(1) √6 × √6 =
(2) √11 × √11 =
(3) (√15)2 =
(4) (√23)2 =
？ 面積=12 面積=6 面積=8 ？
？
？
面積=15
面積= √5 面積= √11
11
4. 比較下列各小題中，兩數的大小關係：(在空格中填入>、=、<)
(1) √8 √11
(2) √25 5
(3) √17 4
(4) √11
4 √3
(5) √0.1 0.1
還是不太懂，請看下面影片:
根號的意義(1)
https://www.youtube.com/watch?
v=VVDCF--actE
還是不太懂，請看下面影片
根號的意義(2)
https://www.youtube.com/watch?
v=egPP9W_Hk7w
12
課文 B：根號的值
從課文 A 我們知道根號(√ )可以用來表示正方形的邊長。
例如:面積為2 的正方形，其邊長是 √2 ；
面積為3 的正方形，其邊長是 √3 ；
面積為4 的正方形，其邊長是 √4 。
而 4 剛好是 2 的平方(22) ，也就是面積為 4 的正方形，它的邊長其
實就是 2 ，所以 √4、√22、2 這三個其實是相等的，也就是：
√4 = √22 = 2
如此一來，我們就可以將√4的值算出來了。
那麼，除了√4以外，還有沒有其他數的根號值可以算出一個準確的
值？當然有！
例如：√9 = √32 = 3、√16 = √42 = 4、√25 = √52 = 5、...
你有沒有發現以上這些可以直接算出一個準確根號值的數，根號裡
面的數剛好都是某一個整數的平方，如9 = 32、16= 42、25= 52，
像這樣恰好是另一個整數的平方的數，我們稱作「完全平方數」。
只要根號內的數是「完全平方數」，就可以直接算出根號數的值，
如√9 = √32 = 3、√16 = √42 = 4、√25 = √52 = 5。
13
接著，我們來做六個例題。這些例題的目標如下:
例題 1.算出完全平方數的根號值
例題 2.算出分子與分母均為完全平方數之分數的根號值
例題 3.算出帶分數的根號值
例題 4.算出小數的根號值
例題 5.利用十分逼近法，求根號數的近似值
例題 6.利用查表，求根號數的近似值
Ex 1：計算下列各數
(1) √81 (2) √441 (3) √784
◎解題思維：
我們要算出一個根號的值，要試著去看看根號內的數是否為「完全
平方數」。例如 81 我們一下就知道是 9 的平方了。
但是如果那個數比較大，沒辦法直接看出來，那就要先將那個數做
因數分解，再將結果兩兩配對成某個數的平方，例如 441 這個數字
就稍微大了一些，所以我們利用短除法做因數分解，
14
會發現 441 = 32 × 72 ，有 2 個 3 、2 個 7 ，
所以 441 = (3 × 7)2。接下來就可以直接算出根號的值了！
解：(1) 81 = 92，所以 √81 = √92 = 9。
(2) √441 = √32 × 72
= √(3 × 7)2
= 3 × 7 = 21
441 = 32 × 72
(3) √784 = √42 × 72
= √(4 × 7)2
= 4 × 7 = 28
784 = 42 × 72
除了正整數以外，有些分數也可以利用同樣的想法去計算！
Ex 2：Ex2.計算下列各數
(1) √81
121 (2) √
100
441
◎解題思維：
在計算分數根號的值時，其實是跟整數的道理是一樣的，我們也是
試著將分數處理成某個分數的平方，例如 81
121 ，分子、分母分別利用
短除法來因式分解，像是 81 = 92、121 = 112 ，因此 81
121=
92
112=
(9
11)2。接下來就可以直接算出根號的值了！
15
解：
(1)
81
121=
92
112= (
9
11)2
√81
121=
9
11
(2)
100
441=
102
32×72=
102
(3×7)2= (
10
21)2
√100
441=
10
21
441 = 32 × 72
那當遇到帶分數時，要怎麼處理呢？
Ex 3：計算 √19
16 之值。
◎解題思維：
我們在計算帶分數的根號時，我們必須要先將帶分數化成假分數，
19
16=
25
16 ，然後再處理成某個分數的平方，
25
16= (
5
4)2 。接下來就可
以直接算出根號的值了！
16
解： 19
16=
25
16=
52
42= (
5
4)2
√1 9
16 = √
25
16= √(
5
4)2 =
5
4
★常見的錯誤省思：
有些同學會以為，在計算 √19
16 時，認為根號內的 1是12、9是32 ，
而 16是42。所以就將√19
16 誤認為會等於 1 +
3
4 。
如果，√19
16 真的等於 1
3
4 ，那代表1
3
4 平方後會等於1
9
16。
我們試著來做一下13
4 的平方，看看它會不會真的等於1
9
16。
(13
4)2 = (
7
4)2 =
49
16= 3
1
16
你有沒有發現13
4 平方後，並不會等於1
9
16。
換句話說，√19
16 並不等於 1
3
4 。
所以千萬記得，在計算帶分數的根號值時，必須要先化成假分數才
可以喔！
17
如果是要算小數的根號時，要怎麼做呢？
Ex 4：計算下列各數
(1) √0.04 (2) √20.25
◎解題思維：
我們利用前面計算分數的根號之經驗，先將小數化成分數，就可以
繼續算下去了。
解：(1) 0.04 =4
100=
22
102= (
2
10)2
√0.04 = √4
100=
2
10= 0.2
(2) 20.25 =2025
100=
52×92
102= (
5×9
10)2
√20.25 =5×9
10=
45
10= 4.5
當根號內的數值是某個整數或是分數的平方時，我們可以輕易的把
結果算出來，例如 √4、√64、√4
9 、√0.25 等…。
但是像是 √2、√3 這類不是某個整數或是分數的平方的，我們就沒
辦法準確得算出大小，所以我們必須透過一些方法估算出 √2 或 √3
的近似值，那有什麼方法呢？
分別是十分逼近法、查表法及使用計算機。
18
關鍵：估算 √𝟐 或 √3 的近似值
方法一：十分逼近法
我們用一個例子來說明十分逼近法是什麼：
Ex 5：請以十分逼近法計算出 √2 的近似值，並以四捨五入法取到
小數點後第 2位。
◎解題思維：
要算到小數點第二位，我們就要算小數點第三位，然後針對小數點
第三位四捨五入才有辦法算出來。
依照前面的討論，面積為 2的正方形，其邊長就是√2。
因為 12 = 1、22 = 4，所以√2是在 1~2 之間。
那 1~2 之間我們把它 10 等分，得到 1.1、1.2、1.3、1.4、1.5 …一直
到 1.9。我要的是哪一點呢？
假設用 1.3，1.32 = 1.69 還不到 2 ，所以繼續下去；1.42 = 1.96，很
接近 2 了，再繼續下去 1.52 = 2.25 ，超過 2 了。而因為我們知道 2 在
1.96~2.25 之間，所以平方等於 2 的這個數也會在 1.4~1.5 之間。
2 1
4 1
√2
2
19
那我再繼續把它 10 等分分成 1.41、1.42、1.42、…、1.49 。
那我們猜 1.41 好了， 1.412 = 1.9881、1.422 = 2.0164，發現 2 在這
兩數之間，因此平方等於 2 的這個數會在 1.41~1.42 之間。
我們可以繼續分成 1.411、1.412、…、1.419 。
那要猜哪一個？比方說猜 1.4112 ≒ 1.990921 還不到 2，所以繼續
1.4122 ≒ 1.9937 也還不到 2，1.4132 ≒ 1.9965 也不到 2，
1.4142 ≒ 1.9993 很接近了，1.4152 ≒ 2.0022 超過 2 了，所以知道此
數在 1.414 和 1.415 中間。
而這兩數中間有 1.4141、1.4142、1.4143、…、1.4149，所以又可
以 10 等分繼續算下去。
像這樣子每個段落都給它 10 等分，慢慢地逼近 √2 的值，這種方法
就稱為十分逼近法。
算到最後，我們可以得到 √2 = 1.414 … 一直下去，不過這題目沒有
到這麼多位，只要求到小數第二位，所以算到 1.414 再對第三位四捨
五入就可以了。
20
解：
第一步：
12 = 1
22 = 4
√2 介於 1 和 2 之間，
√2 = 1.…
第二步：
(1.1)2 = 1.21
(1.2)2 = 1.44
(1.3)2 = 1.69
(1.4)2 = 1.96
(1.5)2 = 2.25
√2 介於 1.4 和 1.5 之間，
√2 = 1.4…
第三步：
1.412 = 1.9881
1.422 = 2.0164
√2 介於 1.41 和 1.42 之間，
√2 = 1.41…
第四步：
1.4112 ≒ 1.990921
1.4122 ≒ 1.9937
1.4132 ≒ 1.9965
1.4142 ≒ 1.9993
1.4152 ≒ 2.0022
√2 介於 1.414 和 1.415 之間，
√2 = 1.414…
經過小數點第三位四捨五入後，√2 ≒ 1.41
2
2
2
2
21
方法二：查表法
接下來要介紹求根號數的近似值第二種方法：查表法。
既然叫「查表法」，那麼就會有一張表，這張表叫「乘方開方表」。
𝑁 𝑁2 √𝑁 √10𝑁 14 196 3.7416 11.8321 15 225 3.8729 12.2744 16 256 4.0000 12.6491 17 289 4.1231 13.0384
既然叫做「乘方開方表」，表上當然可以看到有乘方也有開方。
例如當 𝑁 = 14 時，𝑁2 也就是 142 會等於 196 ；
√𝑁 也就是 √14 ， √14 會接近 3.7416 (這個是近似值， 3.74162 不會
剛剛好等於 14 )；√10𝑁 也就是 √140 會接近 11.8321 。
利用這張表，就可以計算相關數字的根號了！
那我們利用例題 6來看一下應該要怎麼使用。
Ex 6：利用乘方開方表，查出下列近似值。
(1) 172 (2) √15 (3) √160 (4) √324
22
解：
𝑁 𝑁2 √𝑁 √10𝑁 14 196 3.7416 11.8321 15 225 3.8729 12.2744 16 256 4.0000 12.6491 17 289 4.1231 13.0384 18 324 4.2426 13.4164
(1)172：查 𝑁 = 17 ，對到 𝑁2，得到 172 = 289。
(2)√15：查 𝑁 = 15 ，對到 √𝑁，得到 √15 ≒ 3.8729。
(3)√160：查 𝑁 = 160 ，對到 √10𝑁，得到 √160 ≒ 12.6491。
(4)√324：在 𝑁 這欄當中，發現沒有324，但是整張表可以看到
𝑁 = 18 ，對𝑁2，得到 182 = 324，所以可以知道
√324 = √182 = 18。
方法三：使用計算機
除了十分逼近法和查表法之外，我們還可以使用計算機，雖然通常
考試中不能使用，但是在生活中卻是一個很好的幫手喔！
首先，準備一臺有√ 鍵的計算機，我們就是利用這個按鍵來計算
根號的近似值。
例如想要計算√3的值
23
第一步：輸入數字 3
第二步：按下 √ 鍵
第三步：就可以得到答案了
√3 ≒ 1.7320508075
可以驗證一下，用計算機計算
1.7320508075 × 1.7320508075
發現非常接近 3 ！
重點提問
請舉出一個可以準確計算出根號值的數字。這類數字有什麼樣的特
性？
24
B.隨堂練習：
1. 計算下列各數
(1) √100 = (2) √324 = (3) √576 =
2. 計算下列各數
(1) √16
25= (2) √
225
784= (3) √
441
121=
3. 計算下列各數
(1) √111
25= (2) √3
13
81= (3) √1
25
144=
4. 計算下列各數
(1) √0.25 = (2) √1.96 = (3) √6.76 =
25
5. (1) √5 會介於哪兩個正整數之間？
(2) √8 會介於哪兩個正整數之間？
(3) √20 會介於哪兩個正整數之間？
6. 請利用十分逼近法計算出 √14 的近似值到小數點底下第 2位。
7. 利用乘方開方表，查出下列近似值。
𝑁 𝑁2 √𝑁 √10𝑁 17 289 4.123 13.038 18 324 4.242 13.416 19 361 4.358 13.784 20 400 4.472 14.142 40 1600 6.324 20.000
(1) 182 = (2) √19 = (3) √170 =
(4) √361 = (5) √400 =
26
還是不太懂，請看下面影
片
(十分逼近法)
https://www.youtube.com
/watch?v=g7nrMiqiC3U
還是不太懂，請看下面影
片
(查表法)
https://www.youtube.co
m/watch?v=PUsmj3pG_cg
還是不太懂，請看下面影
片
(計算機)
https://www.youtube.com/
watch?v=1wkpVssJH0E
還是不太懂，請看下面影
片根號的意義(例 1~例 5)
https://www.youtube.com/
watch?v=MAnymh61HQc
還是不太懂，請看下面影
片根號的意義(例6~例7)
https://www.youtube.com/
watch?v=gcYNaIoJ5l8
還是不太懂，請看下面影
片利用完全平方數作化
簡
https://www.youtube.com/
watch?v=lr9GJ5U7RFk
27
課文 C：平方根的意義
接下來我們來看一下「平方根」的意義。
我們以前學過平方的概念，當𝑏2 = 𝑎 時，我們會說 𝑎 是 𝑏 的平方，
例如 32 = 9，我們會說 9 是 3 的平方。
現在我們也可以相反地過來說。
當𝑏2 = 𝑎 時，我們除了可以說 𝑎 是 𝑏 的平方之外，也可以反過來說
𝑏 是 𝑎的「平方根」。
比方說，32 = 9，我們可以說 9 是 3 的平方，也可以反過來說 3 是
9的「平方根」。
所以我們可以這樣來解釋平方根：
某個正數 a的平方根是 m，
就是指 m平方後會等於 a，也就是m2 = a。
因此，我們在判斷一數是否為另一數的平方根時，只要將它平方後
確認是否相等，如果真的相等，它就是另一數的平方根。
例如要判斷 15 是否為 225 的平方根，只要算出 15 的平方(即152)，
確認是 225 後，就可以確定 15 是 225 的平方根。
28
關鍵：那麼一個正數的平方根只有一個嗎？
我們知道 3是 9的平方根，因為32 = 9 。而(−3) 的平方也會等於 9 ，
即(−3)2 = 9，所以 (−3) 也會是 9 的平方根。
因此，我們知道一個正數的平方根會有兩個，一個是正數、另一個
是負數。
以 7的平方根來說，要找 7的平方根，就是要找到某一個數平方後
會等於 7。
我們知道 (√7)2 = 7 ，所以 √7 是 7 的一個平方根。
那麼 7的另一個平方根是多少？
因為一個正數的的平方根會有兩個，一個是正數、另一個是負數。
所以 7的另外一個平方根會是負數，也就是−√7，因為(−√7)2 =
(−√7) × (−√7) = 7
從上面的討論中，我們可以知道：
一個正數的平方根會有兩個，一個是正的，另一個是負的；正的
就稱為正平方根、負的就稱為負平方根，兩個互為相反數！
29
接著，我們來做四個例題。這些例題的目標如下:
例題 1.求出給定已知數的平方根
例題 2.平方根與平方的關係
例題 3.平方根與平方的關係
例題 4.平方根與平方的關係
Ex 1：求下列各數的平方根
(1) 17 (2) 64 (3) 25
81 (4) 1
9
16 (5) −169
解：
(1) 17 不是完全平方數，所以直接就知道正平方根 √17 ，但是平方
根有兩個且互為相反數，所以負平方根就是 −√17 。
(2) 64 是 8 的平方，所以就知道 64 的平方根是 8 和 −8 。
(3) 25
81 的正平方根是√
25
81= √
52
92=
5
9 ，但是平方根有兩個且互為相反
數，所以負平方根就是 −5
9 。
(4)要求 19
16 的正平方根 √1
9
16= √
25
16= √
52
42=
5
4 ，但是平方根有兩
個且互為相反數，所以負平方根就是 −5
4 。
(5)不會有一個數的平方會是負的，所以不存在。
30
Ex 2：回答下列問題
(1)若 𝑎 的正平方根為 √31 ，則 𝑎 = ，又 𝑎 的負平方根為何？
(2)若 𝑏 的負平方根為 −3 ，則 𝑏 = ，又 𝑏 的正平方根為何？
解：
(1) 𝑎 的正平方根為 √31，代表 √31 的平方為 𝑎 ，
所以 𝑎 = (√31)2 = 31 ，而 𝑎 的負平方根為 −√31 。
(2) 𝑏 的負平方根為 −3 ，代表 −3 的平方為 𝑏 ，
所以 𝑏 = (−3 )2 = 9 ，而 𝑏 的正平方根為 3 。
Ex 3：已知 −7 是 2𝑘 + 3 的負平方根，則 𝑘 =
◎解題思維：
−7 是 2𝑘 + 3 的負平方根，所代表的意思是 2𝑘 + 3 是(−7) 的平方，
即 2𝑘 + 3 = (−7)2 ，這樣就可以解出 𝑘 了。
解： 2𝑘 + 3 = (−7)2
⇒ 2𝑘 + 3 = 49
⇒ 2𝑘 = 46
⇒ 𝑘 = 23
31
Ex 4：回答下列問題
(1)若 𝑚2 = 225 ，則 𝑚 = 。
(2)若 𝑛2 = 51 ，且 𝑛 < 0，則 𝑛 = 。
解：
(1) 𝑚2 = 225 ，指的意思是 𝑚 是 225 的平方根。而 225 是 15 的平
方，也等於(−15 )的平方，所以 𝑚 為 15 或 −15 。
(2) 𝑛2 = 51 ，且 𝑛 < 0，指的意思是 𝑛 是 51 的負平方根，所以 𝑛 為
−√51 。
重點提問
依據課文的解釋，請你說明一下什麼是「平方根」？
並舉一個例子來解釋。
32
․隨堂練習：
1. 求下列各數的平方根
(1) 100 (2) 324 (3) 25
144 (4) 1
21
100 (5) 1.96
2. 回答下列問題
(1)若 𝑎 的正平方根為 8 ，則 𝑎 = ，又 𝑎 的負平方根為何？
(2)若 𝑏 的負平方根為 −√24 ，則 𝑏 = ，又 𝑏 的正平方根為何？
3. 已知 6 是 3𝑚 + 3 的正平方根，則 𝑚 =
4. 已知−9 是 2𝑛 − 1 的負平方根，則 𝑛 =
5. 回答下列問題
(1)若 𝑥2 = 576 ，則 𝑥 = 。
(2)若 𝑦2 = 68 ，且 𝑦 > 0，則 𝑦 = 。
還是不太懂，請看下面影片平
方根的意義(例 1)
https://www.youtube.com/watc
h?v=xuN_L-nF3p0
還是不太懂，請看下面影片平
方根的意義(例 2~例 5)
https://www.youtube.com/watch
?v=10dh6PpomdA
33
單元二：根式的運算
課文Ａ：多項式
在這個單元中，我們要學根式的運算！
關鍵：什麼是根式呢？
根式就是指含有根號的數或式子，像是 √5、√2 × √5、√12 ÷ √2 、
√27 − √12…等都叫根式。
回想一下，我們在國一學代數式時，有一些簡記的方式，而在根式
當中，也可以利用這些簡記規則去簡記一些根式。例如：
2 × 𝑥 簡記成 2𝑥；2 × √3 就可以簡記成 2√3。
(−1) × 𝑥 簡記成 −𝑥；(−1) × √7 就可以簡記成 −√7。
4
5× 𝑥 簡記成
4
5𝑥 或是
4𝑥
5；
4
5× √3 簡記成
4
5√3 或是
4√3
5。
接下來，我們來看看根式的乘法運算。
34
關鍵：根式的乘法運算。
√3 × √7 這個式子會等於什麼呢？
我們先將它平方，結果如下:
(√3 × √7)2 = (√3 × √7) × (√3 × √7) = √3 × √7 × √3 × √7
= (√3 × √3) × (√7 × √7) = (√3)2 × (√7)2 = 3 × 7
我們將 √3 × √7 平方後，發現 (√3 × √7)2 = 3 × 7；
利用前面學過的觀念：
若一個正數 a的平方等於 b，則 a就是 b的正平方根。
因此，√3 × √7 是 3 × 7的正方平根；
而3 × 7的正方平根本來就可以直接寫成√3 × 7
因此，得到 √3 × √7 = √3 × 7。
從上面的這個例子，我們可以得到一個結論：
若 𝑎、𝑏 均大於等於 0，則 √𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × 𝑏
接著，我們來做三個例題。這些例題的目標如下:
例題 1.利用根式的乘法運算求值
例題 2.利用根式的乘法運算求值
例題 3.利用根式的除法運算求值
有兩個 √3 、兩個 √7！
我們換位置乘一下！
35
Ex 1：計算下列各根式的乘積：
(1) √7 × √13 (2) √6 × √5
2 (3) √
9
10× √
5
2
解：(1) √7 × √13 = √7 × 13 = √91
(2) √6 × √5
2= 6
3 5
2 = √15
(3) √9
10× √
5
2=
9
10 2
5
2= √
9
4
注意！√9
4 還可以繼續化簡，√
9
4= √(
3
2)2 =
3
2
Ex 2：計算下列各根式的乘積：
(1) 2√7 × 5√3 (2) √7
5× 8√5 (3)
2
5√11 ×
3
4√3
◎解題思維：
這題根式的乘法計算已經跟上題有些不一樣了，每個根號前面多了
一個數。
我們來想一下，從前面根式的簡記可以知道：
2√7 = 2 × √7 ；5√3 = 5 × √3。
36
所以我們計算 2√7 × 5√3 時，
2√7 × 5√3 = 2 × √7 × 5 × √3 = 2 × 5 × √7 × √3
= (2 × 5) × (√7 × √3) = 10 × √21 = 10√21
仔細看這個計算的過程，其實會發現這個根式乘積的計算就是：
“根號外面乘根號外面，根號裡面乘根號裡面”
例如在計算 2√7 × 5√3 時，
根號外面乘根號外面就是 2 × 5，根號裡面乘根號裡面就是 7 × 3，
所以 2√7 × 5√3 = (2 × 5)√7 × 3 = 10√21。
解：(1) 2√7 × 5√3 = (2 × 5)√7 × 3 = 10√21
(2) √7
5 其實就是
1
5√7，根號外面就是
1
5 ，根號裡面就是 7。
√7
5× 8√5 =
1
5√7 × 8√5 = (
1
5× 8) √7 × 5 =
8
5√35
(3) 2
5√11 ×
3
4√3 = =
3
10√33
看完根式的乘法運算後，來看一下根式的除法運算。
37
關鍵：根式的除法運算。
我們如果要計算√11 ÷ √2 這個式子呢？
回憶一下，我們之前有學過除法與分數的關係，例如 3
4 可以想像成有
兩種唸法，一種是由下往上唸，唸成「4 分之 3」；而另一種就是由
上往下唸，唸成「3 除以 4」。
所以 √11 ÷ √2 其實就是 √11
√2。那這個分數會等於什麼？
我們先將√11
√2平方，結果如下:
(√11
√2)2 =
√11
√2×
√11
√2 =
√11×√11
√2×√2=
(√11)2
(√2)2=
11
2
我們將 √11
√2 平方後，發現 (
√11
√2)2 =
11
2；
利用前面學過的觀念，
若一個正數 a的平方等於 b，則 a就是 b的正平方根。
因此，√11
√2 是
11
2 的正方平根；
而 11
2 的正方平根本來就可以直接寫成√
11
2
因此，得到 √11
√2= √
11
2 。
而 11
2 其實就是 11 ÷ 2 ，所以 √11 ÷ √2 =
√11
√2= √
11
2= √11 ÷ 2
38
所以我們得到一個結論：
若 𝑎 ≥ 0、𝑏 > 0 ，則 √𝑎 ÷ √𝑏 =√𝑎
√𝑏= √
𝑎
𝑏= √𝑎 ÷ 𝑏
我們來試試看例題 3。
Ex 3：計算下列各式：
(1) √48 ÷ √12 (2) √4
3÷ √
2
9 (3) √12 ÷ √
4
5
解：
(1) √48 ÷ √12 = √48 ÷ 12 = √4 = 2
= √6 (2) √4
3÷ √
2
9= √
4
3÷
2
9=
= √15 (3) √12 ÷ √4
5= √12 ÷
4
5=
√4還可以化簡為 2 ！
39
重點提問
1. 請問根式的乘法怎麼運算？請用這個運算規則計算 5√6 × 3√5。
2. 請問根式的除法怎麼運算？請用這個運算規則計算 √36
7÷ √7。
還是不太懂，請看下面影片(1)
根式的乘法運算
https://www.youtube.com/watch
?v=vbbYeHt0BLk
還是不太懂，請看下面影片(2)
根式的除法運算
https://www.youtube.com/watch
?v=kR5DsEqRqgo
40
․隨堂練習
1.計算下列各根式的乘積：
(1) √6 × √35 (2) √14 × √3
7 (3) √
6
5× √
10
3
2.計算下列各根式的乘積：
(1) 3√5 × 2√2 (2) √2
3× 9√3 (3)
3
2√5 ×
4
9√7
3.計算下列各式：
(1) √98 ÷ √2 (2) √7
15÷ √
7
30 (3) √18 ÷ √
6
5
41
課文 B：最簡根式與分母有理化
在根式的運算中，我們常常會希望式子可以盡量的簡單清楚而且有
一致性，所以我們就會借用最簡根式來做化簡處理。
關鍵：什麼是最簡根式呢？
就是指根式已經化簡到無法再化簡的根式！
像√8 就是可以繼續化簡的根式：
√8 = √22 × 2 = √22 × √2 = 2 × √2 = 2√2
2√2 已經無法再化簡了，所以我們就稱 2√2 是 √8 的最簡根式。
又像是 √12：
√12 = √22 × 3 = √22 × √3 = 2 × √3 = 2√3 ，
2√3 已經無法再化簡了，所以我們就稱 2√3 是 √12 的最簡根式。
8 可以拆成 22 × 2
根式的乘法運算：√𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × 𝑏；
這個等式反過來看，即√𝑎 × 𝑏 = √𝑎 × √𝑏
42
接著，我們來做六個例題。這些例題的目標如下:
例題 1.根號內為正整數的根式化簡
例題 2.根號內為正整數連乘積的根式化簡
例題 3.利用根式的乘法進行化簡
例題 4.分子、分母都有根號的化簡
例題 5.根號內為正分數的根式化簡
例題 6.根號內為正小數的根式化簡
Ex 1：將下列各式化為最簡根式：
(1) √72 (2) √80 (3) √360
◎解題思維：
我們在化簡根式的時候，只要是完全平方數就可以再往外提出去，
目標就是要提到不能再提為止。所以我們在對根號內的數因數分解
時，可以盡量用完全平方數去分解。
解：
(1)
√72 = √4 × 9 × 2 = √4 × √9 × √2 = 2 × 3 × √2 = 6√2
(2)
√80 = √4 × 4 × 5 = √4 × 4 × √5 = 4 × √5 = 4√5
(3)√360 = √36 × 10 = 6√10
(1)
(2)
(3)
剛好兩個 4 ！
43
Ex 2：將下列各式化為最簡根式：
(1) √22 × 33 × 5 (2) √24 × 35 (3) √24 × 54
◎解題思維：
跟上一題一樣，我們在化簡根式的時候，只要是完全平方數就可以
再往外提出去，這一個過程我們可以利用「集滿兩個換出去」這個
口訣記。
這個口訣是什麼意思呢？
像是 √22 × 33 × 5 = √22 × 32 × 3 × 5 = √22 × √32 × √3 × 5
= 2 × 3 × √15 = 6√15
我們利用這個口訣，可以這樣想：
√22 × 33 × 5 = 2 × 3 × √3 × 5 = 6√15
根號裡面有 2 個 2、3 個 3、1 個 5
原本裡面 2 個 2，
換出去外面變成 1 個 2
原本裡面 3 個 3，
其中 2 個 3 換出去外面變成 1 個 3；
根號裡面留下 1 個 3。
原本裡面 1 個 5，
集滿兩個才能換出去，
所以繼續留在裡面。
44
再例如 √24 × 35 ：
√24 × 35 = 22 × 32 × √3 = 4 × 9 × √3 = 36√3
解：(1) √22 × 33 × 5 = 2 × 3 × √3 × 5 = 2 × 3 × √15 = 6√15
(2) √24 × 35 = 22 × 32 × √3 = 36√3
(3) √24 × 54 = 22 × 52 = 100
Ex 3：計算下列各式，並將結果化為最簡根式：
(1) √6 × √8 × √12 (2) √10 × √14 × √98
解：(1) √6 × √8 × √12 = √6 × 8 × 12 = √6 × (4 × 2) × (2 × 6)
= √6 × 4 × 4 × 6 = 6 × 4 = 24
(2) √10 × √14 × √98 = √10 × 14 × 98
= √(5 × 2) × (2 × 7) × (7 × 14) = 2 × 7 × √5 × 14 = 14√70
原本裡面 4 個 2，
換出去外面變成 2 個 2
原本裡面 5 個 3，
其中 4 個 3 換出去外面變成 2 個 3；
根號裡面留下 1 個 3。
根號裡面有 4 個 2、5 個 3
45
除了上面那種「根號內仍有可以提出到根號外的因數」的根式可以
繼續化簡以外，還有兩大類可以繼續化簡：
(一) 分母有根式，例如：2
√3、
√3
√50 等…。
(二) 根號內仍有小數或分數，例如：√2
3、√0.2 等…。
這兩類在化簡的時候，我們的目標是想將分母的根式消去，讓它成
為有理數，這個過程我們稱為分母有理化。
關鍵：分母有理化
最簡單的方法就是，我們可以利用「 √𝑎 × √𝑎 = 𝑎」將分母有理化。
舉例來說，2
√3 的分母是 √3 ，那我們知道 √3 × √3 = 3，
所以我們分母再乘一個 √3 就可以將分母的根式消掉了。
但是不能只單單乘以分母，我們要維持分數的相等，因此分子分母
應該要同時都乘以 √3 。
所以 2
√3=
2×√3
√3×√3=
2√3
3 。那麼
2√3
3 就是
2
√3 的最簡根式了！
就讓我們來看一題範例吧！
46
Ex 4：將 √3
√50 化為最簡根式。
◎解題思維：
√3
√50的分母是 √50 ，那我們知道 √50 × √50 = 50，所以分子分母應該
要同時都乘以 √50 。
√3
√50=
√3×√50
√50×√50=
√150
50
=5 6
5010
=√6
10
除了這樣算以外，
我們知道分母是 √50 = √52 × 2 ，所以其實只要再乘 √2 就可以將分
母有理化了！
√3
√50=
√3 × √2
√52 × 2 × √2=
√6
5 × 2=
√6
10
答案會是一樣！
解：√3
√50=
√3×√2
√52×2×√2=
√6
5×2=
√6
10
分子 √150 = √25 × 6 = 5√6 ，
所以還可以化簡。
47
關鍵：如果根號內仍有分數怎麼辦呢？
Ex 5：將下列各式化為最簡根式：
(1) √2
3 (2) √
5
18
◎解題思維：
先將 √2
3 化成
√2
√3 ，接著，分子、分母同時乘以 √3 ，就可以繼續算下
去了！
解：(1) √2
3=
√2
√3=
√2×√3
√3×√3=
√6
3
(2) √5
18=
√5
√18=
√5×√2
√32×2×√2=
√10
6
關鍵：如果根號內仍有小數怎麼辦呢？
Ex 6：將下列各式化為最簡根式：
(1) √0.2 (2) √3.2
◎解題思維：
我們只要將小數化成分數，就可以繼續算下去了！
解：(1) √0.2 = √2
10=
√2×√10
√10×√10=
√20
10
=√5
5 =
= √16
5=
√16
√5=
4×√5
√5×√5=
4√5
5 (2) √3.2 =
注意！√20 可以繼續化簡，
√20 = √22 × 5 = 2√5。
48
重點提問
1. 從上面的課文中，大致上有三類的根式不是最簡根式，請問是哪
三類？
2. √108 是不是最簡根式？為什麼？
如果不是的話，請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。
3. √7
12 是不是最簡根式？為什麼？
如果不是的話，請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。
4. 3
√11 是不是最簡根式？為什麼？
如果不是的話，請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。
49
․隨堂練習
1.將下列各式化為最簡根式：
(1) √108 (2) √128 (3) √450
(4) √23 × 32 × 52 (5) √26 × 53 (6) √33 × 77
3.計算下列各式，並將結果化為最簡根式：
(1) √10 × √20 × √8 (2) √18 × √12 × √44
4. 將 √8
√27 化為最簡根式。
5. 將下列各式化為最簡根式：
(1) √6
7 (2) √
9
50 (3) √0.9 (4) √5.6
還是不太懂，
請看下面影片(1)最簡根
式與有理化
https://www.youtube.com/
watch?v=Pd9e865QaNw
還是不太懂，
請看下面影片(2)最簡根
式與有理化(例 1~例 3)
https://www.youtube.com/
watch?v=RCWjcpGJCog
還是不太懂，
請看下面影片(3)最簡根
式與有理化(例 4~例 5)
https://www.youtube.com/
watch?v=ANEKsnygRuU
50
課文 C：根式的加減
我們接下來要說的是根式的加減。
關鍵：根式的加減
先回憶一下，二元一次式的化簡。
今天如果要化簡 5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑥 − 5𝑦 這個二元一次式的話，
因為同類項才可以合併，所以可以先將同類項標記出來：
然後知道含有 𝑥 項的是 5𝑥 和+2𝑥 合併化簡得到 7𝑥，
含有 𝑦 項的是+3𝑦 和 −5y 合併化簡得到−2𝑦。
所以 5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑥 − 5𝑦 = 7𝑥 − 2𝑦。
而根式的加減也有類似的規則，
那就是「同類方根能進行合併，非同類方根不能合併」。
關鍵：什麼是同類方根呢？
𝑎, 𝑏 均為正數，若將 √𝑎 與 √𝑏 化為最簡根式後，根號內的數相同，
我們就稱為它們為同類方根。
51
舉個例子，√12 與 √27。
先化簡成最簡根式：√12 = √4 × 3 = 2√3，√27 = √9 × 3 = 3√3。
像這樣子，√12 的最簡根式 2√3 與 √27 的最簡根式 3√3 的根號部分
都是 √3 ，我們就稱 √12 與 √27 是同類方根。
同類方根在根式的加減非常好用，因為我們只要把同類方根進行合
併就好，不是同類方根就沒辦法合併。
接著，我們來做五個例題。這些例題的目標如下:
例題 1.同類方根的加法
例題 2.不同類方根的加法
例題 3.方根的加減法
例題 4.方根的加減法
例題 5.分子、分母含有方根的加減法
52
Ex 1：計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
(1) 5√3 + 2√3 (2) 7√2 − √2
◎解題思維：
5√3 + 2√3 所代表的是 5 個 √3 加上 2 個 √3 ，那加完之後就是有
(5 + 2) 個 √3 ，也就是 (5 + 2)√3 = 7√3。
7√2 − √2 所代表的是 7 個 √2 扣掉 1 個 √2 ，那扣完之後就是有
(7 − 1) 個 √2 ，也就是 (7 − 1)√2 = 6√2。
解：(1) 5√3 + 2√3 = (5 + 2)√3 = 7√3
(2) 7√2 − √2 = (7 − 1)√2 = 6√2
Ex 2：計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
(1) 5√3 − 2√2 + √3 + 3√2
(2) 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6
解：(1)
5√3 − 2√2 + √3 + 3√2 = 6√3 + √2
說明：
這題有不同類型的同類方根。
一類是與 √3 有關的同類方根。有兩個，分別是 5√3 和 +√3，兩個
53
合併化簡後會得到 6√3 。
另一類是與 √2 有關的同類方根。也有兩個，分別是 −2√2 和
+3√2，兩個合併化簡後會得到 +√2。
所以 5√3 − 2√2 + √3 + 3√2 合併化簡出來的結果是 6√3 + √2。
(2)
2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6 = −√11 + 3√6 + 2
說明：
我們要先分組： 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6
與 √11 有關的同類方根有兩個，分別是 2√11 和 −3√11，兩個合併
化簡後會得到 −√11。
與 √6 有關的同類方根也有兩個，分別是 +2√6 和 +√6 ，兩個合併
化簡後會得到 +3√6。
另外有一個+2 ，沒有跟它同類的。
所以 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6 合併化簡出來的結果是
−√11 + 3√6 + 2。
★省思：
當我們遇到有多組不同類型的同類方根要進行加減時，我們必須先
將同類方根分為同一組，再把同組的同類方根進行合併。
54
Ex 3：計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
(1) √63 − √75 (2) √48 + 5√12
◎解題思維：
要先把各個根號化成最簡根式，再利用「同類方根進行合併，非同
類方根不能合併」去合併化簡。
解：
(1) √63 − √75 = 3√7 − 5√3
說明：
√63 = √9 × 7 = 3√7、√75 = √25 × 3 = 5√3，這兩個根式不是同
類方根，所以不能再進行加減法的合併，
所以 √63 − √75 = 3√7 − 5√3 就已經是化到最簡了！
(2) √48 + 5√12 = 4√3 + 5√22 × 3 = 4√3 + 10√3 = 14√3
說明：
√48 = √16 × 3 = 4√3；5√12 = 5√4 × 3 = 5 × 2 × √3 = 10√3，
發現這兩個都是與 √3 有關的同類方根，所以合併後就是 14√3。
55
Ex 4：計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
(1) √63 − 3√28 + √175 (2) √20 + √80 + √125 + √180
解：
(1) √63 − 3√28 + √175 = 3√7 − 6√7 + 5√7 = 2√7
(2) √20 + √80 + √125 + √180 = 2√5 + 4√5 + 5√5 + 6√5
= 17√5
Ex 5：計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
(1) 1
√2+
√2
2 (2) √
5
4− √
4
5
解：
(1) 1
√2+
√2
2=
1×√2
√2×√2+
√2
2=
√2
2+
√2
2= √2
(2) √5
4− √
4
5=
√5
√4−
√4
√5=
√5
2−
2√5
5= (
1
2−
2
5) √5 =
1
10√5
56
重點提問
1.請用自己的話解釋什麼是「同類方根」？
2. 連連看，將同類方根連在一起。
√2 √24 √5
2 3√7
√2
√12
‧ ‧ ‧ ‧ ‧
‧ ‧ ‧ ‧ ‧
3
√3 √5 2√6 2√2
1
7√7
3. 請問根式的加法怎麼運算？
請用這個運算規則計算 2√5 + 5√2 − √5 − 3√2 。
4. 「4√8 + √3 − √2 + 2√3 − √5」
(1)上面根式當中，請問有幾類同類方根？
(2)計算上面根式，並將結果化為最簡根式。
57
․隨堂練習
1.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
(1) 3√3 + 2√3 (2) 6√6 − √6 (3) √7 + 3√7
2.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
(1) 6√2 + 4√3 + √2 − 2√3
(2) 6√13 + 3√7 − 5 − 6√7 − √13
3.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
(1) √27 − √24 (2) 2√75 + √108
58
4.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
(1) √363 − 2√27 + 4√48
(2) √5 + √45 + √125 + √245
5.計算下列各式，並將結果化為最簡根式。
(1) 2
√3+
√3
2 (2) √
8
9− √
9
8
還是不太懂，
請看下面影片
根式的加減
https://www.youtube.com/
watch?v=IOkWt2x8WhU
59
課文 D：根式的四則運算
接下來我們要來看根式的四則運算，既然是四則運算，當然有加減
跟乘除還有括號都存在。
我們來做四個例題。這些例題的目標如下:
例題 1.利用分配律，進行根式的化簡
例題 2.利用分配律，進行根式的化簡
例題 3.利用乘法公式，進行根式的化簡
例題 4.利用平方差公式，進行根式的化簡
Ex 1：計算 √3(√15 + √21)，並化為最簡根式。
解：√3(√15 + √21) = √3 × √15 + √3 × √21
= √3 × √3 × 5 + √3 × √3 × 7=3√5 + 3√7
說明：
這其實是分配律，括號中的 √15 跟 √21 其實共同擁有外面的 √3，
我們將 √3 乘進去，
即 √3(√15 + √21) = √3 × √15 + √3 × √21，然後再進行化簡。
60
Ex 2：計算 (3√5 − 2)(4√5 + 3)，並化為最簡根式。
解：
(3√5 − 2)(4√5 + 3) = 3√5 × 4√5 + 3√5 × 3 − 2 × 4√5 − 2 ×
3
= 60 + 9√5 − 8√5 − 6 = 54 + √5
說明：
這是兩個根式乘以兩個根式，就是利用分配律分別相乘，
(3√5 − 2)(4√5 + 3)
然後再進行化簡。
接下來我們來看一下跟乘法公式有關的題目！
Ex 3：計算下列各式，並化為最簡根式。
(1) (3 − 2√7)2 (2) (2√5 + 3√2)2 (3) (√5 + 1)(√5 − 1)
1
2
3
4
1
2
3
4
61
解：(1) (3 − 2√7)2
= 32 − 2 × 3 × 2√7 + (2√7)2
= 9 − 12√7 + 28 = 37 − 12√7
說明：
這一小題其實就是利用差的平方公式：(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
把 (3 − 2√7)2
括號內的 3 當成 𝑎，2√7 當成 b 。
所以 (3 − 2√7)2
= 32 − 2 × 3 × 2√7 + (2√7)2
( 𝑎 − 𝑏 )2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
= 9 − 12√7 + 28 = 37 − 12√7
(2) (2√5 + 3√2)2 = (2√5)2 + 2 × 2√5 × 3√2 + (3√2)2
= 20 + 12√10 + 18 = 38 + 12√10
說明：
這一小題其實就是利用和的平方公式：(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
把 (2√5 + 3√2)2 括號內的 2√5 當成 𝑎，3√2 當成 b 。
所以 (2√5 + 3√2)2 = (2√5)2 + 2 × 2√5 × 3√2 + (3√2)2
( 𝑎 + 𝑏 )2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
= 20 + 12√10 + 18 = 38 + 12√10
2 × 3 × 2√7 (2√7)2 = 2√7 × 2√7 = 4 × 7
(2√5)2
= 2√5 × 2√5
= 4 × 5
2 × 2√5 × 3√2 (3√2)2
= 3√2 × 3√2
= 9 × 2
62
(3) (√5 + 1)(√5 − 1) = √52
− 12 = 5 − 1 = 4
說明：
這一小題其實就是利用平方差公式：(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2
√5 當成 𝑎，1 當成 b 。
所以 (√5 + 1)(√5 − 1) = √52
− 12
( 𝑎 + 𝑏 )( 𝑎 − 𝑏 ) = 𝑎2 − 𝑏2
= 5 − 1 = 4
關鍵：奇怪分數 2
√5+1
看完一些根式的四則運算後，我們來看個奇怪分數：2
√5+1。
𝟐
√𝟓+𝟏 是不是一個最簡根式？當然不是啊！看它的分母：√5 + 1 ，含
有根式，而且實際上它還可以繼續化簡，化簡到分母不含有根式。
文本 B當中有提到，當分母為一個 √𝑎 時，再乘一個 √𝑎 就會使得
「√𝑎 × √𝑎 = 𝑎」，分母的根式就會消除。
如果我們 2
√5+1 分子分母同乘以 √5 ，會發現 (√5 + 1) × √5 = 5 + √5，
分母一樣會有根式。那該怎麼辦呢？
63
我們就利用平方差公式：(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 來解決這個問題。
分母是 (√5 + 1) ，就把它當成是 (𝑎 + 𝑏) ，那還需要乘以一個
(𝑎 − 𝑏) 來湊成平方差公式，也就是還需要乘以 (√5 − 1)。
(√5 + 1)(√5 − 1) = (√5)2 − 12 = 5 − 1 = 4 ，這樣分母就成功消除
根式了。
分母乘以 (√5 − 1)，要維持分數的相等，當然分子也要乘以(√5 − 1)。
=(√5−1)
2 ，
(√5−1)
2 就是
2
√5+1 的最所以
2
√5+1=
2(√5−1)
(√5+1)(√5−1)=
簡根式。
我們來看例題 4。
Ex 4：將下列根式化為最簡根式
(1) 7
√13−√6 (2)
2
√21+5
解：
(1) 7
√13−√6=
7(√13+√6)
(√13−√6)(√13+√6)=
7(√13+√6)
√132
−√62 =
7 ( 13 6)
7
= √13 + √6
說明：
分母是 (√13 − √6) ，要利用平方差公式將分母有理化，所以將它的
分子、分母同時乘以 (√13 + √6)。
64
=5−√21
2 (2)
2
5+√21=
2(5−√21)
(5+√21)(5−√21)=
2(5−√21)
52−√212 =
說明：
分母是 (5 + √21) ，要利用平方差公式將分母有理化，所以將它的
分子、分母同時乘以 (5 − √21)。
重點提問
請問如何化簡一個分母為 √𝑎 − √𝑏 的根式呢？
請利用這個方法將 1
√7−√6 化為最簡根式。
․隨堂練習
1.計算 √10(√15 + √6)，並化為最簡根式。
2.計算 (2√7 + 3)(√7 − 4)，並化為最簡根式。
65
3.計算下列各式，並化為最簡根式。
(1) (5 + 3√2)2 (2) (5√2 − 2√3)2
(3) (4 + 3√7)(4 − 3√7)
4.將下列根式化為最簡根式
(1) 11
√15−√4 (2)
9
√18+6
還是不太懂，
請看下面影片(1) 根式的
四則運算(例 1~例 3)
https://www.youtube.com/
watch?v=iomMCSYednY
還是不太懂，
請看下面影片(2) 根式的
四則運算(例 4~例 6)
https://www.youtube.com/
watch?v=GFQ9STVpq4E
還是不太懂，
請看下面影片(3) 最簡根
式與有理化
https://www.youtube.com/
watch?v=Pd9e865QaNw#t=
03m23s
還是不太懂，
請看下面影片(4) 最簡根
式與有理化(例 4~例 5)
https://www.youtube.com/
watch?v=ANEKsnygRuU#t=
04m57s
66
單元三：畢氏定理
課文 A：畢氏定理
我們國小學過，一個三角形當中如果有一個角是直角，那麼我們就
稱那個三角形是直角三角形。這單元當中，直角三角形很重要！
如右圖，在直角三角形當中，
直角的兩個旁邊，我們都稱為「股」；
不是直角的旁邊，是直角的對面，我們稱它為「斜邊」。
關鍵：那這兩股與斜邊之間有什麼關係呢？
我們從下面的圖來試著觀察看看！
在圖中，有 4 個直角三角形跟 1 個正方形甲，合成一個大正方形。
而且這 4 個三角形其實都是一樣的。
股
股
斜邊
67
所以 正方形甲的面積 = 大正方形 − 四個直角三角形面積
= − 四個
𝑐2 = (𝑎 + 𝑏)2 − 4 ×𝑎𝑏
2
= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏
= 𝑎2 + 𝑏2
從上面的說明，我們就可以知道：𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2，
而 𝑎, 𝑏, 𝑐 其實就是直角三角形的三邊長，
𝑐 就是這個直角三角形的斜邊，𝑎, 𝑏 就是這個直角三角形的兩股，
所以 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 代表的就是
「直角三角形中，斜邊平方等於兩股平方和」，
這種關係我們就稱作畢氏定理。
在中國古代數學名著《九章算術》中，直角兩旁較短的邊為「勾」、
較長的邊為「股」；直角的對面，稱為「弦」。所以，畢氏定理也可
稱為勾股定理或勾股弦定理。
68
接著，我們來做五個例題。這些例題的目標如下:
例題 1.已知直角三角形的兩股長，求斜邊長
例題 2.已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長
例題 3.利用畢氏定理，求出長方形的對角線長
例題 4.已知直角三角形的兩股長，求斜邊上的高
例題 5.利用畢氏定理，解決生活中的應用問題
Ex 1：已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊長。
(1) (2)
解：
(1) 假設斜邊為 𝑥 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，
𝑥2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169
𝑥 = ±√169 = ±13
因為斜邊長 > 0，所以斜邊長= 13。
(2) 假設斜邊為 𝑦 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，
𝑦2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625
𝑦 = ±√625 = ±25
因為斜邊長 > 0，所以斜邊長= 25。
69
上面這題是我們知道兩股長，利用畢氏定理求斜邊長。
接下來我們知道斜邊及其中一股長，要利用畢氏定理求另一股長。
Ex 2：已知下列各直角三角形的斜邊及一股長，求另一股長度為何？
(1) (2)
解：
(1)設要求的股長為 𝑥 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，
𝑥2 + 32 = 52 ⇒ 𝑥2 + 9 = 25 ⇒ 𝑥2 = 25 − 9 = 16
𝑥 = ±√16 = ±4 ，股長必為正的，所以另一股為 4 。
(2)設要求的股長為 𝑦 ，根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，
𝑦2 + 82 = 172 ⇒ 𝑦2 + 64 = 289 ⇒ 𝑦2 = 289 − 64 = 225
𝑥 = ±√225 = ±15 ，股長必為正的，所以另一股為 15 。
70
Ex 3：求出下列各矩形的對角線長。
(1) (2)
◎解題思維：
將長方形的兩邊看成兩股，對角線看成斜邊，
接下來，就可以利用
畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」，
求出矩形的對角線長了！
解：(1) 將對角線令為 𝑥 ，
根據畢氏定理可以列式：𝑥2 = 82 + 132
𝑥2 = 82 + 132 = 64 + 169 = 233，
𝑥 = ±√233 (因為對角線長是長度，所以負不合)
所以對角線長= √233。
(2) 將對角線令為 𝑦 ，
根據畢氏定理可以列式：𝑦2 = 62 + 42
𝑦2 = 62 + 42 = 36 + 16 = 52，
𝑦 = ±√52 = ±√4 × 13 = ±2√13(對角線長是長度，故負不合)
所以對角線長= 2√13。
對角線
13
8 𝑥
4
6 y
71
好，再來我們看一些畢氏定理的應用！
Ex 4：如圖直角三角形邊長為 5、12、13，
求斜邊上的高。
◎解題思維：
要算直角三角形的面積，有兩種算法：
⊙第一種：
用 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 當底，因為 ∠C 是直角，所以 𝐵𝐶̅̅ ̅̅̅ 就是高，這樣直角三角形面
積就是 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ×𝐵𝐶̅̅ ̅̅
2 。
⊙第二種：
也可以用斜邊 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅ 當底，這時候的高就是 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ，而面積就是 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ×𝐶𝐷̅̅ ̅̅
2 。
這兩個算的是同一個三角形的面積，所以會一樣。
然後就可以解出斜邊上的高 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 了！
72
解：從圖中我們可以知道三角形面積=5×12
2
設斜邊上的高為 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ，則三角形面積=13×𝐶𝐷̅̅ ̅̅
2，
5×12
2=
13×𝐶𝐷̅̅ ̅̅
2
兩邊都有 2 ，所以把 2 約掉，
5 × 12
2=
13 × 𝐶𝐷̅̅ ̅̅
2
要求 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ，所以把 13 移過去，
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ =5 × 12
13=
60
13
★省思：
我們上面整個過程整理一下:
一個直角三角形，兩股分別為 𝑎、𝑏，斜邊為 𝑐。
因為 𝑎×𝑏
2=
𝑐×ℎ
2 (都是直角三角形的面積)
所以， ℎ = 𝑎×𝑏
𝑐。
也就是，一個直角三角形中，其斜邊上的高等於兩股乘積除以斜邊。
73
Ex 5：如圖，放著一把 5 公尺的長梯於牆上，
梯腳離牆角 1.4 公尺，求：
(1)梯頂離地面多少公尺？
(2)若欲將梯頂降低 80 公分，則梯腳須向後移動多少公分？
解：
(1)
首先，我們先看紅色這把梯子。
梯腳離牆角 1.4 公尺，梯子長 5 公尺，
要求梯頂距離地面的高度，也就是下圖中棕色這段的長度，
這裡就形成一個直角三角形。
這個紅色直角三角形，斜邊是 5，其中一股長 1.4，
就可以假設要求的為 ℎ。
ℎ2 = 52 − 1.42 = 25 − 1.96 = 23.04
ℎ = ±√23.04。那 23.04 怎麼開根號呢？
先把 23.04 化成分數，再來上面開上面，下面開下面：
√23.04 = √2304
100=
√2304
10
74
接著 2304 利用短除法算一下：
2304 = 42 × 122 4 2304
4 576
12 144
12
知道 2304 開出來是 48，因為有兩個 4，和兩個 12。
所以
√23.04 = √2304
100=
√2304
10=
48
10= 4.8
因此 ℎ = ±4.8，那因為是高度，所以負不合。
所以梯頂離地面 4.8 公尺。
(2)
如果要將梯頂降低 80 公分，也就是 0.8 公尺。
原本高度 4.8 公尺，降低了 0.8 公尺，變成 4 公尺。
再想想看樓梯的長度會不會隨著它降低而改變？
看圖，樓梯掉落（藍色變紅色）長度依然不變，還是維持 5 。
所以這裡形成新的直角三角形。
看綠色直角三角形，斜邊 5，一股長為 4，就可以假設所求為 𝑎 。
𝑎2 = 52 − 42 = 25 − 16 = 9
𝑎 = ±√9 = ±3（負不合）
5
𝑎 𝑎
4
75
但題目是問梯腳後移多少？
原本梯腳離牆角為 1.4，但後來的梯腳離牆角為 3，所以要後移多
少？當然就是 3 − 1.4 = 1.6，所以後移 1.6 公尺。
重點提問
1. 請問什麼是「畢氏定理」？
請根據上面的課文用自己的話解釋這個定理。
2. 根據上面的課文，一個直角三角形斜邊上的高如何計算？
請利用這個方法計算直角三角形邊長為 7、24、25 斜邊上的高。
76
․隨堂練習
1.已知下列各直角三角形的兩股長，求斜邊長。
(1) (2)
2.已知下列各直角三角形的斜邊及一股長，求另一股長度為何？
(1) (2)
3.求出下列各矩形的對角線長。
(1) (2)
4.如圖直角三角形邊長為 3、4、5，求斜邊上的高。
77
5.平安拿一鋁梯在離牆 6公尺處斜放在牆邊，
此時梯頂剛好離地面 6公尺(如圖所示)，求：
(1)鋁梯有多長？
(2)今移動此鋁梯使它在離牆 2公尺處斜放，則
梯頂離地面多少公尺？
還是不太懂，
請看下面影片(1) 畢氏定
理(例 1~例 3)
https://www.youtube.com/
watch?v=yADZ1P2n8zQ
還是不太懂，
請看下面影片(2) 畢氏定
理(例 4~例 5)
https://www.youtube.com/
watch?v=IVoKpc5I_t0
78
課文 B：平面上兩點間的距離
接下來我們來看坐標平面上兩點間的距離。
關鍵：坐標平面上兩點間的距離
首先，先來看兩點在同一水平線上。
兩點在同一水平線上會發生什麼事情呢？
舉個例子，如右圖，有兩點 A(1,2)、B(4,2)，
這兩點是水平的，而它們之間的距離就是藍色的那段，
那要怎麼算呢？數一下，會發現距離就是 3 。
但當數字很大的時候就很難用數的就可以數的出來了！
所以我們分析一下，距離 3 還可以怎麼算出來？
A、B 兩點的 y 坐標都是 2 ；
而 A 的 𝑥 坐標是 1 ，B 的 𝑥 坐標是 4。
會發現在同一水平線上的這兩點距離其實就是它們 𝒙 坐標的差，
所以其實就是 4 − 1 = 3。
79
Ex 1：如右圖，坐標平面上有 P(5,2)、Q(−3,2) 兩點，
求 P、Q 兩點之間的距離 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = ？
再來我們來看一下在同一鉛垂線上的兩點間距離。
舉個例子，如右圖，有兩點 B(4,2)、C(4,6)，
這兩點是鉛直的，而它們間的距離就是粉紅色的那段，
那要怎麼算呢？
我們來看一下 B、C 兩點的 𝑥 坐標都是 4 ；
而 B 的 𝑦 坐標是 2 ，C 的 𝑦 坐標是 6。
會發現在同一鉛垂線上的這兩點距離其實就是它們 𝒚 坐標的差，
所以其實就是 6 − 2 = 4。
解： P、Q 的 y 坐標都相同，P、Q 在同一水平線上，
所以它們的距離會是它們 𝑥 坐標的差 5 − (−3) = 5 + 3 = 8。
80
Ex 2：如圖，坐標平面上有 P(1,2)、Q(1, −3) 兩點，
求 P、Q 兩點之間的距離 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = ？
解：P、Q 的 𝑥 坐標都相同，P、Q 在同一鉛垂線上，
所以它們的距離會是它們 𝑦 坐標的差 2 − (−3) = 2 + 3 = 5。
最後一種就是不在同一水平線也不是在同一鉛垂線上的兩點距離。
舉個例子，如右圖，有兩點 A(1,2)、C(4,6)，
A、C 兩點的 𝑥 坐標不相同，而且 𝑦 坐標不相同，
所以不在同一水平線上也不在同一鉛垂線上。
那該怎麼求出它們的距離呢？
這時候就要利用到畢氏定理了！
畢氏定理是指直角三角形的三邊關係：
「斜邊平方等於兩股平方和」，
所以必需要製造一個直角三角形，怎麼製造呢？
我們畫一條通過 A 的水平線、一條通過 C 的鉛垂線，
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兩條線會交一點，我們先稱它為 B 。
B 與 A 在同一水平線上，所以 𝑦 坐標與 A 的 y 坐標一樣是 2 ；
B 與 C 在同一鉛垂線上，所以 𝑥 坐標與 C 的 𝑥 坐標一樣是 4 。
因此 B 點坐標就是 (4,2) 。
這樣我們就有一個直角三角形 ABC 了，
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 、𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 是這個直角三角形的兩股，A、C兩點間距離 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 則是斜邊。
B 與 A 在同一水平線上，𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ，就是 𝒙 坐標的差： 4 − 1 = 3；
B 與 C 在同一鉛垂線上，𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ，就是 𝐲 坐標的差： 6 − 2 = 4。
根據畢氏定理 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 2 + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2，
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 2 + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25，
因為 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 是距離，所以為正，因此 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 5。
每次都要這麼麻煩嗎？其實可以不用那麼麻煩。
我們看一下式子 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 2 + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2，
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 2 其實就是 (4 − 1)2。括號中的 4 是 B 點的 𝑥 坐標，也是 C 點的 𝑥
坐標；括號中的 1 是 A 點的 𝑥 坐標。
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2 其實就是 (6 − 2)2。括號中的 6 是 C 點的 𝑦 坐標；括號中的 2 是
B 點的 𝑦 坐標，也是 A 點的 𝑦 坐標。
A B
C
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所以 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 2 + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2
= (𝐵的𝑥坐標 − 𝐴的𝑥坐標)2
+ (𝐶的𝑦坐標 − 𝐵的𝑦坐標)2
= (𝐶的𝑥坐標 − 𝐴的𝑥坐標)2
+ (𝐶的𝑦坐標 − 𝐴的𝑦坐標)2
所以我們可以得到一個結論，
平面任意兩點的距離= √(𝑥坐標差)2 + (𝑦坐標差)2，
即兩點 A(𝑥1, 𝑦1)、B(𝑥2, 𝑦2) 的距離為 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2。
我們舉一個例子。
Ex 3：如圖，坐標平面上有 P(−2,5)、Q(4, −3) 兩點，
求 P、Q 兩點之間的距離 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = ？
解：P、Q 的 𝑥 坐標、𝑦 坐標都不相同，它們是斜的，
所以可以利用兩點間的距離公式： √(𝑥坐標差)2 + (𝑦坐標差)2
𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = √(−2 − 4)2 + [5 − (−3)]2
= √(−6)2 + 82
= √36 + 64
= √100 = 10。
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重點提問
請問如何計算兩點的距離？
請利用這個方法計算 (4, −2)、(7,1) 兩點間的距離。
․隨堂練習
1.已知坐標平面上有 A(5,2)、 B(5,6) 兩點，求 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 的長。
2.已知坐標平面上有 A(3, −4)、 B(3,5) 兩點，求 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 的長。
3.已知坐標平面上有 A(2,2)、 B(6,6) 兩點，求 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 的長。
還是不太懂，
請看下面影片
平面上兩點的距離
https://www.youtube.com/
watch?v=qqEiJfBzF4g