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볼-빔 시스템에서의 -슬라이딩 평면을 이용한

강인한 제어기 설계

논 문

59-8-16

Robust Control Design Using the -sliding Surface for Ball and Beam System

김 진 수*․최 호 림

†

(Jin-Soo Kim․Ho-Lim Choi)

Abstract - The ball and beam system is one of the most popular models for studying control systems because of its

nonlinearity and several control techniques have been proposed. Sliding mode control is a popular robust control method

which rejects the external disturbance. In this paper, we propose a robust controller using the -sliding surface. On the

-sliding surface, the system robustness and convergence can be manipulated via a use of . We show the stability

analysis and convergence analysis on the -sliding surface. In addition, the experimental results show the validity of the

proposed controller.

Key Words : Ball and Beam System, -Sliding Surface, Sliding Mode Control, Input-Output Feedback Linearization

* 준 회 원 : 동아대학교 공과대학 전기공학과 석사과정

† 교신저자, 정회원 : 동아대학교 전기공학과 조교수

E-mail : hlchoi@dau.ac.kr

접수일자 : 2010년 4월 1일

최종완료 : 2010년 6월 15일

1 . 서 론

볼-빔 시스템은 모터와 빔이 직접 연결되어 모터의 제어

를 통하여 볼의 위치를 제어하는 시스템으로서 불안정한 시

스템의 안정화와 관련하여 다양한 제어기법이 사용되어 왔

다 [1]-[5]. 그 중 슬라이딩 모드 제어기(Sliding mode

controller)는 시스템의 구조를 변경하여, 시스템의 상태를

슬라이딩 평면상에 구속시킴으로써 강인성을 얻을 수 있는

비선형 제어기법이며, 큰 의미에서는 가변구조 제어기라고도

한다. 이 제어기는 모델의 불확실성과 외란이 존재할 경우

에도 제어 시스템의 상태를 슬라이딩 평면에 있도록 한다.

슬라이딩 평면은 폐루프 제어 시스템의 거동을 결정지으며,

본래의 시스템의 동특성과 관계없이 설정이 가능하다. 또한

시스템의 상태가 슬라이딩 평면에 구속되어 있는 경우 시스

템의 차수는 슬라이딩 평면의 차수만큼 낮아지며 정합 조건

을 만족하는 모델의 불확실성과 파라미터 변동, 외란 등에

대하여 영향을 받지 않는 강인성을 가진다.

본 논문에서는 볼-빔 시스템에서 -슬라이딩 평면을 이

용하여 슬라이딩 모드 제어기를 설계하였으며 -슬라이딩

평면에서의 값에 따른 안정성 및 수렴성을 분석하였으며,

이득 값에 따라 강인성과 수렴속도를 향상 시켜 제어기의

성능 조절이 가능한 것을 실험을 통해 검증하였다.

2. 슬라이딩 모드 제어기 설계

2.1 근사적 입-출력 궤환 선형화 기법

볼-빔 시스템의 모델링은 다음 식 (1)과 같다 [8].

여기에서 시스템의 모델 이득인 는 다음과 같다.

이때, 는 볼의 위치, 는 모터의 각, 는 정상상태 이

득, 는 시간상수, 는 볼의 질량, 는 중력 가속도,

은 스크류와 모터기어와의 거리, 는 볼의 반경, 은

빔의 길이, 는 볼의 관성 모멘트이다.

입-출력 궤환 선형화 기법(Input-output feedback

linearization)은 비선형 시스템에 상태 궤환을 가하여 결과

적인 궤환 시스템이선형의 특성을 갖도록 하는 것이다 [7].

먼저 식 (1)을 상태 방정식 형태로 나타내기 위해 식 (2)와

같이 설정하면

(2)

상태 방정식의 형태는 다음과 같다.

Trans. KIEE. Vol. 59, No. 8, AUG, 2010

볼-빔 시스템에서의 -슬라이딩 평면을 이용한 강인한 제어기 설계 1445

인 입-출력 상태 궤환 선형화를 통해 식 (4)와 같이

표현할 수 있다.

여기에서 와 는

2 . 2 ε-슬라이딩 평면을 이용한 슬라이딩 모드 제어기 설계

비선형 시스템에 대해서 입-출력 궤환 선형화 기법을 이

용한 강인한 제어기법이 연구되어 왔으며 [6], 볼-빔 시스템

에서 슬라이딩 평면을 결정하는 방법도 연구되어 왔다 [5].

볼-빔 시스템에서 슬라이딩 모드 제어기를 설계하기 위해

다음 식 (6)과 같이 -슬라이딩 평면을 정의하면

여기서 Signum 함수를 다음과 같이 정의할 수 있다.

Sigumum 함수의 스위칭에 의해서 항상 을 만족해야

한다. 따라서 는 다음 식 (7)과 같이 나타낼 수 있다.

식 (7)에 의해서 은 다음과 같이 설계 할 수 있다.

식 (8)을 식 (7)에 대입하여 정리하면 최종적으로 다음 식과

같다.

(9)

여기서 항상 하고 그러므로 을 만족하므로 시스

템이 항상 안정한 것을 알 수 있다.

2.2 ε-슬라이딩 평면에서의 안정성 분석

식 (6)에 의해서 다음과 같은 Hurwitz 다항식을 생각해보

자.

(10)

여기서 오차를 그리고 라고 하면 ,

그리고 이다. 오차벡터를 라 하면 식

(11)로 표현할 수 있다.

(11)

는 다음 식 (12)와 같다.

(12)

한편, 를 다음 식 (13)과 같이 생각해보자.

(13)

여기서 diag ⋯ 로 정의하면 다음 식 (14)와

같은 관계식을 만족하게 된다 [6].

(14)

가 Hurwitz 일때 다음 Lyapunov 식이 성립하고

(15)

식 (14)를 정리하여 와 를 구하면

전기학회논문지 59권 8호 2010년 8월

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이제, 식 (15)와 식 (16)에서 다음의 Lyapunov 방정식을 얻

는다.

(17)

좌변에 있는 을 제거하고 각각의 항에 을 곱해서 식

을 정리하면

(18)

로 정의하고 식 (18)을 최종적으로 정리

하면 다음 식 (19)와 같다.

(19)

Lyapunov 함수를 식 (20)과 같이 설정해 보면

(20)

따라서 식 (11)의 궤적에 따른 는 식 (19)을 이용하면

식 (21)에 의해서 인 조건에서 항상 이므로 -

슬라이딩 평면에서 시스템은 항상 안정하다라는 것을 알 수

있다.

2.4 ε-슬라이딩 평면에서의 수렴성 분석

Lyapunov 함수에 의해 식 (20)으로부터 다음 식 (22)를

얻을 수 있다 [7].

≤ ≤

(22)

식 (21),(22)로부터 다음 식 (23)을 얻는다.

≤

(23)

식 (22)와 (23)에 의해서 다음과 같이 표현이 가능하고

≤ ≤

(24)

이를 정리하여 나타내면

≤

(25)

따라서 최종적으로 다음과 같이 표현 할 수 있다.

≤

(26)

여기서 의 값이 작아질 수록 0으로 수렴하는 시간이 빨라

지므로 을 이용하여 제어기의 성능을 조절 할 수 있다라는

것을 알 수 있다.

3. 시뮬레이션

표 1은 볼-빔 시스템의 사양을 나타낸 것이다. -슬라이

딩 평면에서의 극점을 ± 으로 정하였고, 로

설정하였을 때 값에 따른 결과를 비교 분석 하였다.

표 1 볼-빔 시스템의 사양

T able 1 Ball and Beam specifications

Parameter Description Value

Beam length

Distance between SRV02

output gear shaft and coupled

joint

Radius of ball

Mass of ball

Gravitational constant

Moment of inertia of ball×

Stedy-state gain

Time constant

그림 1은 일 때의 볼의 위치와 모터의 각 그리고

입력전압을 나타낸 그림이고 그림 2는 일 때의 볼의

위치와 모터의 각, 그리고 입력전압을 나타낸 그림이다. 그

림 1과 2에서 알 수 있듯이 일 때보다 일 때 성

능이 향상 되는 것을 알 수 있다. 하지만 일 때 정착시

간이 느리다는 점에 비해 각의 변동이 작다라는 사실을 알

수 있고 일 때 정착시간은 빨라지나 각의 변동이 크

다라는 것을 알 수 있다. 따라서 의 변화에 따라 제어기의

성능을 조절 할 수 있다라는 것을 알 수 있다. 또한 의 값

을 정할 때에는 정착시간과 각의 변동을 잘 고려해서 설정

해야 한다.

Trans. KIEE. Vol. 59, No. 8, AUG, 2010

볼-빔 시스템에서의 -슬라이딩 평면을 이용한 강인한 제어기 설계 1447

그림 1 시뮬레이션 결과 :

Fig. 1 Simulation result :

그림 2 시뮬레이션 결과 :

Fig. 2 Simulation result :

4 . 실험결 과

실험 구성은 그림 3과 같다. 이 실험 장비는 Quanser사

의 볼-빔 시스템이며 전원공급 장치 또한 Quanser사의

UPM 1503을 사용하였다. 볼-빔 시스템에 대한 사양은 표 1

과 같으며 UPM의 사양은 ± 이다.

그림 3 볼-빔 시스템

Fig. 3 Ball and beam system

그림 4, 5는 값에 따른 성능을 실험을 통해 검증하였다.

실험결과에서도 알 수 있듯이 일 때 8초 부근에서 외

란에 의해 제어기의 성능이 저하되었으며 수렴 속도 또한

일 때 보다 빠르지 못하다.

그림 4 실험 결과 :

Fig. 4 Experimental result :

전기학회논문지 59권 8호 2010년 8월

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본 실험 결과를 통해 일 때 일 보다 제어기의

강인성과 성능이 향상된다라는 것을 알 수 있으며 시뮬레이

션 결과와 마찬가지로 실험결과에서도 의 이득 값에 의해

제어기의 성능을 조절 할 수 있다는 것을 알 수 있다. 또한

실험결과는 시뮬레이션과 달리 이 에 완전히 수렴 못

하는 것은 센서에 의해 측정되지 않는 볼의 속도와 모터의

각속도에 의한 것이며 이러한 문제를 해결하기 위해 관측기

를 사용한다면 이에 발생하는 오차를 줄일 수 있을 것이다.

그림 5 실험 결과 :

Fig. 5 Experimental result :

5 . 결 론

본 논문에서는 을 이용한 슬라이딩 모드 제어기를 설계

함으로써 값에 따른 제어기의 안정성과 수렴성을 분석하였

으며 또한 값에 따른 제어기의 강인성과 수렴속도를 조절

할 수 있음을 실험을 통해 검증해 보였다. 추후 연구과제로

는 슬라이딩 모드의 단점인 채터링을 줄일 수 있는 방안을

모색하고 측정되지 않는 볼의 속도와 모터의 각속도에 대해

관측기를 사용하여 에러를 줄 일 수 있는 방안을 모색하려

한다.

감사의 글

본 논문은 동아대학교 학술연구비 지원에 의하여

연구되었음.

참 고 문 헌

[1] J. Hauser, S. Sastry, and P. Kokotovic, “Nonlinear

control via approximate input-output linearization :

The ball and beam example," IEEE Trans. Automat.

Contr., vol. 37, no. 3, pp. 392-398, 1992.

[2] F. O. Rodriguez, Yu. W. Feregrino, R.L. Serrano, and

J.D.J.M, “Stable PD control for ball and beam

system," in: proc. International Symposium on

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333-338, 2004.

[3] F. Mazenc, A. Astolfi, and R. Lozano, “Lyapunov

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IEEE Conference on decision and control., vol. 2,

pp. 1208-1213, 1999.

[4] 장한종, 오성권, 김현기, “볼빔 시스템에 대한 계층적

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[5] N. B. Almutaiti and M. Zribi, “On the sliding mode

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[6] H.-L. Choi and J.-T. Lim, “On robust approximate

feedback linearization," IEICE Trans. Fundamentals,

vol. E87-A, no. 2, pp. 502-504, 2004.

[7] H. K. Khalil, Nonlinear systems, 3rd, Prentice Hall

Inc., 2002.

[8] Quanser, Ball and beam user manuals, 2008.

저 자 소 개

김 진 수(金 進 修)

2009년 동아대학교 전기공학과 졸업

2009년 ∼ 현재 동 대학원 석사과정 재

학중 관심분야는 입-출력 궤환선형화 및

슬라이딩 모드 제어 기법, 관측기 설계

기법 등

최 호 림(崔 虎 林)

1996년, Univ. of Iowa, USA(학사). 1999

년, 2004년 KAIST(석·박사). KAIST 정

보전자연구소 연구조교수, KIST 인지로

봇연구단 선임연구원, 2007년∼현재 동아

대학교 전기공학과 조교수, 관심분야는

비선형 시스템의 궤환선형화 기법, 시지

연 시스템, DEDS등.

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