離散数学 i 第10 - gunma university 2018-06-12 · コンパイラ...

離散数学 I 第 10回再帰

荒木徹

電子情報理工学科

2018年度

荒木徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 10 回 2018 年度 1 / 24

前回の演習

チェス盤の敷き詰め問題

縦横が 2n × 2nのチェス盤から，任意に一つの正方形を取り除いて得られるものを，欠損チェス盤 Bnとする．このとき，どんな Bnも何枚かの B1

で敷き詰めることができることを証明せよ．

証明．nに関する帰納法で証明する．n = 1のとき．明らかに B1は B1で敷き詰めることができる．

n = k のときに，任意の Bk が B1で敷き詰めることができると仮定する．

任意の Bk+1を考える．Bk+1は 2k+1 × 2k+1の欠損チェス盤である．こ

れを図のように 2k × 2k の大きさに 4分割し，これらを A,B,C ,Dと呼ぶことにする．

Bk+1で欠けている正方形は Aにあると仮定しても一般性を失わない1

1注：もし欠けている正方形が他の領域にあったとしても，同じ方針で証明ができる．

そこで無駄な場合分けを避けるために使われれる決まり文句．荒木徹 (電子情報理工学科) 離散数学 I 第 10 回 2018 年度 2 / 24

帰納法の仮定により，Aは B1で敷き詰めることができる．

また，B の左下，C の右上，D の左上を欠いたチェス盤を考える．それぞれは，また帰納法の仮定により B1で敷き詰めることができる．

最後に，B,C ,D で欠けた部分は，1枚の B1で敷き詰めることができる．

以上より，Bk+1は B1で敷き詰めることができる．

Figure: 欠損チェス盤 B1 と Bk+1．


課題 2：フィボナッチ数

任意の正整数 nに対して，n∑

i=1

Fi = Fn+2 − 1であることを証明せよ．

証明．nに関する帰納法で証明する．n = 1のとき．（左辺）= F1 = 1．（右辺）= F3 − 1 = 2− 1 = 1．したがって n = 1のとき成り立つ．k ≥ 1に対して，

∑ki=1 Fi = Fk+2 − 1であると仮定する．

このとき，∑k+1

i=1 Fi = Fk+3 − 1であることを示す．

k+1∑i=1

Fi = Fk+1 +k∑

i=1

Fi

= Fk+1 + Fk+2 − 1

= Fk+3 − 1.

したがって帰納法により成り立つことが証明できた．


The Tower of Hanoi

以下のルールに従って，すべての円盤を右端の杭に移動せよ．

最初は，すべての円盤が小さいものが上になるように積み重ねられ

ている．

円盤を一回に一枚ずつどれかの杭に移動させることができる．

ただし、小さな円盤の上に大きな円盤を乗せることはできない．


小さな例題


完成までのステップ数

ディスクが 1枚のとき 1ステップ



ハノイの塔

ディスクが n枚あるときの，完成までの最小のステップ数を求めよ．


ハノイの塔の解法を考える

ハノイの塔の解くためには

1 まず上の n − 1枚の小さいディスクを 2番めの杭に移す

2 一番大きなディスクを右端に移す

3 2番めの杭にある n − 1枚のディスクを 3番めの杭に移す


再帰的に考える

大事な考え方

「n − 1枚のハノイの塔」が解ければ，n枚のハノイの塔も解ける．

なお「1枚のハノイの塔」は簡単に解ける．


Tn：n枚のディスクを移す最小ステップ数

Example：T1 = 1，T2 = 3，T3 = 7．

前のスライドから分かること

Tn ≤ 2Tn−1 + 1．

このように動かせば解ける

ちょっと考えると分かること

Tn ≥ 2Tn−1 + 1．

一番大きなディスクを動かすためには，上の n− 1枚をどこか 1本の杭に移さなければならない

一番大きなディスクは，少なくとも 1回は動かさなければならない

その後に，一番大きなディスクの上に，上の n− 1枚を動かさなければならない．


ハノイの塔の最小ステップ数

再帰式

1 T1 = 1，

2 n ≥ 2に対して Tn = 2Tn−1 + 1．

最小ステップ数

任意の n ≥ 1に対して，Tn = 2n − 1．

nに関する帰納法で証明する．


平面上の直線によってできる領域

問題

平面上に n本の直線を書いたとき，直線で囲まれる半平面の領域の数 Lnは，最大でいくつか？

Example：小さな値の nで考える．

Ln =???


再帰的に考える

n本目の直線を考える

直線がすでにある領域を横切ると，その領域は 2つに分割される

よって，その横切った領域の数だけ，新しい領域が増える．

n本目の直線は，すでにある直線と n − 1回まで交差できる．

したがって，横切れる領域の数は n個まで．


領域の数

前のスライドから分かること

Ln ≤ Ln−1 + n．

多くても n個しか領域を増やせない

しかし

どの 2本の直線も平行でなく

どの 3本の直線も 1点で交わらない

ようにすれば，n番目の直線は他の n − 1本と交差する．

領域の数の最大数

1 L1 = 2,

2 n ≥ 2に対して，Ln = Ln−1 + n．


関数を再帰的に定義する

例題：次の関数は何を意味する？

関数 f : N+ × N+ → N+を次のように定義する．

f (m, n) =

{m m < nのとき

f (m − n, n) m ≥ nのとき

例題：次の関数は何を意味する？

関数 g : N+ × N+ → N+を次のように定義する．

g(m, n) =

{0 m < nのとき

1 + g(m − n, n) m ≥ nのとき


集合を再帰的に定義する

例題：次の集合 Eは何を意味する？

1 0 ∈ Eである．2 k ∈ Eならば，k + 2 ∈ Eである．3 上の２つの条件を適用して得られるものだけが，Eの元である．

例題：次の集合 S は何を意味する？

1 5 ∈ S である．

2 x ∈ S かつ y ∈ S ならば，x + y ∈ S である．

3 上の３つの条件を適用して得られるものだけが，S の元である．


文字列とは

文字列：コンピュータサイエンスにおいて最も重要な概念の一つ

アルファベット

使用する文字の集合をアルファベットという．この講義では Σで表す．

文字列（string）

Σの要素を有限個並べてできる列 x = x1x2 . . . xnを，Σ上の文字列（または語）という．

空語（文字がない文字列）を λで表す．

文字列の連接（concatenation）

Σをアルファベットとし，x と y をΣ∗上の文字列とする．x と y の連接とは，x の後に y をつなげてできる文字列 x · y である．任意の x ∈ Σに対して，x · λ = λ · x = x と定義する．


文字列の再帰的な定義

文字列（38ページ，55ページ）

Σを文字の集合とする（これをアルファベットと呼ぶ）．Σ上の文字列とは，次を満たすものである．

1 λは Σ上の文字列である．λを空語という．

2 s が Σ上の文字列であり，かつ x ∈ Σならば，x · s は Σ上の文字列である．

Σ上のすべての文字列の集合を Σ∗で表す．

例．Σ = {a, b}とする．Σ∗の要素は

λ

a, b

aa, ab, ba, bb

aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb


文字列の長さ：再帰的な定義

文字列の長さ

文字列 s ∈ Σ∗の長さ |s|を，次のように定義する．1 |λ| = 0

2 s ∈ Σ∗かつ x ∈ Σならば，|x · s| = 1 + |s|．

|aba| = 1 + |ba|= 1 + (1 + |a|)= 1 + (1 + (1 + |λ|))= 1 + (1 + (1 + 0))

= 3

関数の再帰的定義

これは，関数 | · | : Σ∗ → Nを再帰的に定義している．


カッコの対応がとれている括弧列

例題

Σ = {(, )}とする．左右のカッコがきちんと対応している括弧列の集合 Pを定義しなさい．

“(()())”や “((()(())))”は対応がとれている括弧列．したがって(()()), ((()(()))) ∈ P．

“(((((()”は対応がとれていない括弧列．したがって (((((() ̸∈ P

“)()()(”や “())(()”も対応がとれていない括弧列.

コンパイラ

プログラミング言語のコンパイラをイメージしてみよう．カッコが多す

ぎたり足りなかったりすると，コンパイラがエラーを出して教えてくれ

ているはず．


考え方

Σ = {(, )}とする再帰的定義の基底：λ ∈ P とする

s ̸= λの場合を考えると，最初の文字は ‘(’ のはず．

先頭の ‘(’と対応する ‘)’の位置は，次の 2通りのいずれかのはず．

全体の括弧列の最後にある．つまり括弧列 s が対応がとれていて，かつ全体が (s)の形をしている．全体の括弧列の中間にある．つまり対応がとれた括弧列 s1, s2があって，かつ全体が (s1)s2 の形をしている．つまり，全体が対応がとれた二つの括弧列の連接になっている．


括弧列の再帰的な定義

対応がとれた括弧列の再帰的定義

Σ = {(, )}とする．括弧列の集合 P を次のように定義する．

1 λ ∈ P

2 s ∈ P ならば，(s) ∈ P である．

3 s1, s2 ∈ P ならば，s1 · s2 ∈ P である．

(()())() = (()()) · ()= ([()()]) · ([λ])= ([() · ()]) · ([λ])= ([([λ]) · ([λ])]) · ([λ])

→ （関連）テキスト 58ページ例 2.6，60ページ問 2.14


今日の演習

課題 1

任意の n ≥ 1に対して，Ln = (n2 + n + 2)/2であることを証明せよ．

課題 2：関数の再帰的な定義

関数 pを，整数 n, k，ただし n ≥ k，に対して，p(n, k) = n(n − 1) . . . (n − k + 1)とする．関数を pを再帰的に定義せよ．

課題 3：回文

回文（上から読んでも下から読んでも同じになる文字列）を定義せよ．

ママが私にしたわがまま（ママガワタシニシタワガママ）

数学解くガウス（スウガクトクガウス）

ガウス（1777～1855）はドイツの天才数学者．離散数学（整数論）について大きな業績を残した．


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