e in materia1. 2 condizioni al contorno 1.campo elettrico stazionario 2.materiale dielettrico
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E in materia 1
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E in materia 2
Condizioni al contorno
1. Campo elettrico stazionario
2. Materiale dielettrico
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E in materia 3
In linea di principio valgono tutti i teoremi che abbiamo visto nel vuoto…
(tutti gli esperimenti che hanno portato a tali teoremi sono stati effettuati nella materia)
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E in materia 4
q
E = 204
1
r
q
r
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E in materia 5
q
E
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E in materia 6
q
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E in materia 7
Dimensioni atomiche
Un fattore 10-4 equivale a 1cm/100m
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E in materia 100 m circa
1 cm
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E in materia 9
204
1
r
q
204
1
r
q
204
1
r
q
204
1
r
q
2
04
1
r
q
204
1
r
q
204
1
r
q
204
1
r
q
2
04
1
r
q
204
1
r
q
204
1
r
q
q
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E in materia 10
…in pratica vi sono molte difficoltà nella loro applicazione.
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E in materia 11
Supponiamo che nel bicchiere ci siano 18 g di acqua (pari ad una grammomolecola).
Il numero di molecole sarà quindi (numero di Avogadro)
NA= 6.02 1023 Poiché nell’ H2O vi sono 1 atomo di ossigeno e 2 di idrogeno avremo 10 cariche positive (ed altrettante negative) per molecola,quindi in totale vi sono circa 10* 6.02 1023 =6*1024 cariche positive ed altrettante negativeCiascuna di queste concorre al campo elettrico con un termine del tipo:
02
1
4
q
r
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E in materia 12
204
1
r
q
204
1
r
q
204
1
r
q
204
1
r
q
2
04
1
r
q
204
1
r
q
204
1
r
q
204
1
r
q
2
04
1
r
q
204
1
r
q
204
1
r
q
q
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E in materia 13
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E in materia 14
31 2
10
324F
1 rr
r
q qq
rK q
Forza di Coulomb
CaricheGeometria
Materiale
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E in materia 15
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
- - - - - - - - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +
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E in materia 16
Supponiamo di avere due condensatori uguali nel vuoto:
Se metto la stessa carica q su di ognuno di essi
00
q
VC
trovo ovviamente lo stesso potenziale e posso definire una Capacità
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E in materia 17
Se adesso riempio un condensatore con un dielettrico e vi metto la stessa carica q
trovo un potenziale diverso V1 e di conseguenza una differente capacità
11
q
VC
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E in materia 18Da Halliday,Resnick,Walker Fondamenti di Fisica
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E in materia 19
Poichè Q è la stessa (e ) dovrà essere variata la capacità
C0 C '
Variando il dielettrico trovo che posso mettere
C' = r C0
con r > 1 dipendente dal dielettrico
QV=
C
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E in materia 20
• Materiale r
• Acqua a 25 0C 78• Aria secca a 1 atm e 25 0C 1.0005• Carta paraffinata 2• Gomma 3• Mica 4.5-7.5• Porcellana 6• Vetro 4-10
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E in materia 21
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E in materia 22
Sperimentalmente si vede che se si mette un dielettrico tra le facce di un condensatore piano sui lati del dielettrico si presenta una densità ±p
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E in materia 23
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - -
+ + ++ + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - -
+ + + + + + + + ++ + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - -
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E in materia 24
Questo porta ad una modificazione del campo elettrico e quindi della differenza di potenziale
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E in materia 25
la carica qest messa dall’esterno non cambia, ma ad essa si aggiunge la qpol che ha segno diverso. Quindi la carica totale è qest + qpol < qest
Poiché è V=Qest/C se V diminuisce aumenterà la capacità
Conseguentemente il campo elettrico e la differenza di potenziale diminuiranno
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E in materia 26
Possiamo considerare il sistema in due modi possibili
+++++++++++ +++++++++++
+ + + + + +------------ ------------
- - - - - - - -
+++++++++++
------------
00
1 1
r r
EE
E =0
1( )p
p
p
r
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E in materia 27
Trattando il condensatore come un doppio strato possiamo scrivere
00
1 1
r r
EE
Se invece sostituiamo al condensatore pieno uno vuoto, ma con sulle armature una carica tale da avere lo stesso campo elettrico, avremo un campo
E = da cui si ricava
= ==> p = - (1- ) = -
quindi le p sono di verso opposto e proporzionali alle .
0
1( )p
1
r
r 1
r0
1( )p
0
1
r
che rapporto c'è tra r e p?
+++++++
-------
r
+++++++++
+ + + + +---------
- - - - - -p
p
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E in materia 28
00 3
1
4
M rV
r
02 1
1 2
1 2
0
0
1 2
0 2
0
1
4
1
4
( )
cos |
1
4
cos
q qV
r r
q r r
r r
r r vero se r
qV
r
M q
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E in materia 29
Campo elettrico e potenziale di un dipolo
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E in materia 30
Campo elettrico e potenziale di un dipolo
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E in materia 31
Se il dipolo di cariche viene immerso in un campo
elettrico E, il momento meccanico delle forze cui
è sottoposto risulta essere:
P qE M E
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E in materia 32
Dipolo in campo elettrico
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E in materia 33
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E in materia 34
1 10 3 3
0 0 0 0
Q( )
1 1 1 1
4 4 4
P
4
n n
i i ii i
q q RR
VR R R R
iove P=Q= q ( )e i iq
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E in materia 35
Il primo termine è nullo se Q=0 cioè se il sistema è neutro.
0 3 30 0 0 0
1 11 1 1 1
4 4 4 4
( )P R
πε R
n
i ii
n
ii
qV
R R
q
R
QR
Il secondo termine si può vedere che è nullo se il sistema è simmetrico.
Il secondo termine dipende dalle coordinate a meno che il sistema totale abbia carica Q=0 quindi si può parlare di momento di dipolo intrinseco al sistema solo quando questo abbia carica totale nulla (esempi tipici sono atomi e molecole).
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E in materia 36
Conduttori e dielettrici
Gli atomi sono costituiti da un nucleo formato (tra l’altro) da cariche positive (protoni) circondate da cariche negative (elettroni) che, attratte dal nucleo, costituiscono un sistema stabile
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E in materia 37
Un atomo è un sistema legato, nel senso che è necessaria una data
energia (energia di ionizzazione, o, cambiando il segno, energia di
legame) per poter estrarre un elettrone e portarlo all’ infinito. Esso
può essere rappresentato come in figura come una buca di
potenziale.
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E in materia 38
Ricordiamo adesso che un insieme di cariche (in approssimazione di dipolo ed un atomo è appunto questo), produce un potenziale dato da:
30
0
0 4)1(
41
r
rpr
gradpVi
i
quindi ogni atomo produce una variazione del
potenziale sugli atomi vicini o, se vogliamo, ogni atomo
risente della variazione di potenziale creato da tutti gli
atomi circostanti.
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E in materia 39
In alcuni casi questa variazione è
maggiore della energia di legame
e quindi gli elettroni (esterni)
sono messi in comune tra tutti gli
atomi, si ha un conduttore.
In altri casi questa variazione non è sufficientemente alta e quindi l’atomo resta un sistema legato e si ha un isolante (dielettrico).
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E in materia 40
Energia di legame
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E in materia 41
Nel caso sia presente un campo elettrico esterno gli elettroni
sono liberi di muoversi e si dispongono come in figura in
modo che all’ interno il campo elettrico totale sia nullo
CONDUTTORI
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E in materia 42
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E in materia 43
q
E
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E in materia 44
q
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E in materia 45
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E in materia 46
1 1 00 3 3
0 0 0 0
( )p1 1 1 1
4 4
Q
4 4
n n
i i ii i
q q RR
VR R R R
0iove e p = (Q= q )i iq
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E in materia 47
• Sia il momento di dipolo elettrico della molecola.
• è uguale a zero se la molecola ha una simmetria tale che il centro di massa delle cariche positive coincide con quello delle negative (sostanze non polari ad es elio, neon, ossigeno, idrogeno),
• è diverso da zero nel caso non vi sia simmetria (sostanze polari ad es. acqua, NaCl).
0p
0p
0 )p = ( i iq
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E in materia 48
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E in materia 49
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E in materia 50
L’ ordine di grandezza di
( )si può ottenere moltiplicando il valore di alcune cariche elettroniche (qualche unità in 10–19C) per una frazione del diametro della molecola (10-11m) si ottiene dell’ ordine di 10-30 C m.
0p
0p
0 )p = ( i iq 0p
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E in materia 51
Molecola P0 in 10-30Cm
NaCl
AgCl
H2O
H2S
HCl
NO
CO
SO2
30.0
19.1
6.23
3.67
3.60
0.52
0.33
5.34
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E in materia 52
In generale i momenti di dipolo (delle molecole che lo hanno) sono distribuiti casualmente nel tempo (di osservazione) e nello spazio (in cui avviene la misura) per cui la media è = 0.
In presenza di un campo esterno tendono ad orientarsi parallelamente al campo esterno (contrastati dalla agitazione termica)
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E in materia 53
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E in materia 54
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E in materia 55
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E in materia 56
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E in materia 57
Inoltre tutti gli atomi e le molecole, sia che abbiano momento proprio uguale o diverso da zero, tendono a deformarsi, dando luogo a nuovi momenti di dipolo.
Per i sistemi con momento proprio diverso da zero, i momenti ottenuti per deformazione si aggiungono a quelli propri.
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E in materia 58
Nel caso dei dielettrici si hanno due effetti:
per tutti materiali si ha
una dell’ atomo;
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E in materia 59
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E in materia 60
Per alcuni elementi, i cui atomi o molecole posseggano un momento di dipolo elettrico, si ha anche un
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E in materia 61
RIASSUMENDO
Polarizzazione per deformazionead es
Polarizzazione per orientamentoad es.
H2, Elio, Neon, Ossigeno, CO2
in cui il campo elettrico esterno provoca una deformazione che è la causa dell' insorgere di un momento di dipolo proprio.
avviene per le molecole che hanno già un momento di dipolo proprio.
Acqua, NH3
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E in materia 62
Polarizzazione di un dielettrico
• sia un dielettrico polare che uno apolare, quando sottoposti ad un campo elettrico E ≠ 0, subiscono polarizzazione, ossia i dipoli interno (propri o indotti da E) tendono ad orientarsi parallelamente ad E, tutti con lo stesso verso
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E in materia 63
Si supponga di mettere tra le piastre di un condensatore un dielettrico: inizialmente i dipoli sono orientati a caso, se però ai capi del condensatore si mette una differenza di potenziale V i dipoli si allineano sotto l’azione del campo esterno Eest applicato. A seguito dell’allineamento, però, i dipoli creano a loro volta un campo Eint interno al dielettrico di verso opposto a quello esterno
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E in materia 64
Conseguentemente, il campo elettrico risultante all’interno del dielettrico risulta inferiore rispetto a quello che si avrebbe in assenza del materiale, ossia rispetto al campo elettrico Eest
Etot = Eest + Eint < Eest
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E in materia 65
• Inoltre, sulle superfici del dielettrico che si affacciano sugli elettrodi appare una carica (CARICA DI POLARIZZAZIONE) dovuta ai dipoli che si affacciano su tali superfici
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E in materia 66Da Halliday,Resnick,Walker Fondamenti di Fisica
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E in materia 67
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E in materia 68
è il momento elettrico proprio (per orientazione o deformazione di ciascuna molecola).
p
p 0
è il momento elettrico medio della molecola (mediato nel tempo e nel numero di molecole presenti nel volume considerato) in una data direzione
n = numero di molecole/unità di volume
= n è il vettore intensità di polarizzazione momento elettrico dell' unità di volume.P
p
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E in materia 69
In caso di isotropia in un volume si ha la seguente situazione. Le cariche interne si annullano e si vedono solo le cariche sulla superficie.
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E in materia 70
In tal caso dato un volume V= l S questo ha un momento elettrico dato da PV. Ma il momento può essere calcolato come q l quindi si ha
PV = q l ==> P(S l) = q l = (pS)l da cui
p = P
pp
l
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E in materia 71
Più in generale se il campo elettrico esterno (e quindi , non è normale alla superficie) si ottiene
p=
Essendo la normale alla superficie.
P
nP
n
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E in materia 72
Se la polarizzazione del dielettrico non è uniforme allora su
ogni prismetto ci sarà una carica pds – ’p ds cioè
PdS - P'dS = dQp dPP'=P+ dl
dl
p
dP dPdQ = Pds -P'ds = Pds -(P+ dl)ds = - dlds
dl dl
e quindi la densità di carica è pp
dQ dP=ρ = -
dV dl
ma poichè possiamo scrivere
abbiamo:
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E in materia 73
Più in generale se i prismetti sono disposti in modo qualsiasi si può
dimostrare che sussiste la
p = - divP
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E in materia 74
la somma delle cariche di polarizzazione deve essere nulla dato che si ha solo uno spostamento di cariche; in effetti si ha:
Per il teorema della divergenza si vede che è qp=0
VSV
p
S
pp dV)Pdiv(dSnPdVdSq
NOTA
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E in materia 75
Nel vuoto il teorema di Gauss si scrive :
dove è la densità di carica relativa alle cariche messe dall’esterno.
Nella materia in cui oltre alle cariche esterne vi sono le cariche di polarizzazione p , possiamo scrivere:
0
Ediv
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E in materia 76
e ponendo div = - p
( = vettore di polarizzazione) si ha
Cioè
divE
0
p
0
P
P
PdivEdiv
0
)P]E([div 0
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E in materia 77
se introduciamo il vettore = 0 +questo gode della relazione
Div = cioè gode della stessa proprietà di 0 nel
vuoto.
D
E
P
D
E
![Page 78: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/78.jpg)
E in materia 78
(vettore di polarizzazione) è proporzionale a .E
P
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E in materia 79
Infatti, per la polarizzazione per deformazione lo spostamento delle cariche, almeno per piccole deformazioni, è proporzionale al campo elettrico esterno ed il momento di dipolo è proporzionale allo spostamento.
![Page 80: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/80.jpg)
E in materia 80
![Page 81: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/81.jpg)
E in materia 81
Nel caso poi di Polarizzabilità per orientamento si ha che, dato un momento di dipolo p0 in un campo elettrico alla temperatura T si può dimostrare che la componente di p0 nella direzione di è data da:
E
E
![Page 82: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/82.jpg)
E in materia 82
p = p0 L(a) con
L(a) =
funzione di Langevin, ove
a =
con K = costante di Boltzmann= 1.38 10-23 J/k
1a a
a a
e e
e e a
KT
Ep0
![Page 83: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/83.jpg)
E in materia 83
Come si arriva a questa formula?
Supponiamo di avere un insieme di molecole, aventi momento proprio, immerse in un campo elettrico esterno…
![Page 84: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/84.jpg)
E in materia 84
In queste condizioni si raggiunge un equilibrio termico, in cui le molecole aventi il momento p0 parallelo e nello stesso verso del campo sono un poco di più di quelle aventi la stessa direzione ma verso opposto, e quindi, se si calcola la polarizzazione media delle molecole questa avrà una componente non nulla nella direzione del campo.
E
![Page 85: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/85.jpg)
E in materia 85
Una molecola di momento elettrico p0 orientato a formare un angolo con
la direzione di , ha una componente del momento elettrico lungo pari a p0cos.
E
E
p0
Ep0 cos
![Page 86: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/86.jpg)
E in materia 86
Il valore medio, di questa componente sarà:
avendo indicato con il valore medio di (cos calcolato su di un gran numero di molecole.
θcos
θcospp 0
![Page 87: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/87.jpg)
E in materia 87
Per calcolare faremo uso della distribuzione di Boltzmann la quale ci dice che, in un sistema termodinamico in equilibrio termico, il numero di molecole di energia potenziale U è descritto dalla funzione P(U) di Boltzmann
cos
P(U)Ae U
KT
![Page 88: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/88.jpg)
E in materia 88
dove
A è una costante di normalizzazione
U è l’ energia del dipolo ( =
con angolo tra e )
K è la costante di Boltzmann (1.38 10-23 JK-1)
T è la temperatura assoluta del dielettrico
P(U)Ae U
KT
U p 0
E
p0E cos
p 0
E
![Page 89: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/89.jpg)
E in materia 89
e quindi ogni valore dell'angolo comparirà con probabilità proporzionale a
0p Ecosθ
kTf(θ)=Ae
![Page 90: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/90.jpg)
E in materia 90
Per calcolare il valore medio di cos occorre mediare su tutte le possibili orientazioni delle molecole eseguendo l’integrale:
ddsenf
ddsenf
)()(
)()(coscos
![Page 91: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/91.jpg)
E in materia 91
dove l’integrale a denominatore è stato introdotto per normalizzare ad 1 la probabilità totale, e l'integrazione va eseguita sull'elemento di angolo solido
d = sen d d,
con variabile tra 0 e 2π, variabile tra 0 e π. Le funzioni integrande non dipendono da e quindi l’integrazione in d può essere immediatamente eseguita
ddsenf
ddsenf
)()(
)()(coscos
![Page 92: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/92.jpg)
E in materia 92
avendo posto
x=cos, dx= -sind
Eseguendo l'integrazione si ha infine il risultato:
1
0
1
0
0
cos
0
cos
)(2
)(cos2
cos0
0
dxe
dxxe
dsene
dsene
ax
ax
kT
Ep
kT
Ep
ap0E
kT
![Page 93: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/93.jpg)
E in materia 93
= L(a)a
1
ee
eecos
aa
aa
e per il momento elettrico medio delle molecole nella direzione del campo
)a(Lpcospp 00
![Page 94: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/94.jpg)
E in materia 94
La funzione L (a) è detta funzione di
Langevin ed è rappresentata in figura:
aee
eeaa
aa 1
![Page 95: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/95.jpg)
E in materia 95
E
)(0 aLpp
Per piccoli valori di a L(a)cresce proporzionalmente ad a, cioè cresce proporzionalmente ad ; al crescere di a essa tende ad 1, cioè tutte le molecole si allineano nella direzione del campo e p tende a po.
kT
Epa 0
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E in materia 96
Nella pratica la zona di interesse è quella dei piccoli valori di a.
Infatti possiamo pensare che po sia dell'ordine della carica dell'elettrone moltiplicata per una lunghezza dell'ordine di 10-10 m, (cioè circa 10-30Cm)
- la costante di Boltzmann vale k = 1,38 x 10-23 J/K; - assumendo temperatura ambiente T = 300 0K - e un campo E = 106 V/m, si ha che
a è dell’ordine di 4 10-3 << 1
kT
Epa 0
![Page 97: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/97.jpg)
E in materia 97
per a piccoli allora si può sviluppare L(a) in serie e si ottiene che per a <<1 L(a) si riduce a
L(a)
quindi risulta p=p0L(a)
0 polarizzabilità per orientamento o polarizzabilità dipolare, definita come il rapporto, indipendente da E, tra il momento elettrico medio dovuto all'orientamento delle molecole e il campo agente sulla molecola. Quindi 0 =
3
a
EKT
Epap
33
20
0
p02
3kT
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E in materia 98
In generale anche le molecole polari subiscono una deformazione della nube elettronica sotto l’azione di un campo elettrico e la loro polarizzabilità (detta spesso polarizzabilità molecolare) è quindi la somma di due termini
= el +
quindi può dipendere ( a seconda dell' approssimazione dato che in genere el è più piccolo di ) da E ed allora si usa
mettere sotto la forma
p02
3 kT
20
3
p
kT
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E in materia 99
anche se spesso (E) = = costante
P = E = 0(E) E
![Page 100: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/100.jpg)
E in materia 100
se introduciamo il vettore = 0 +vettore induzione elettrica questo gode della relazione
Div =
cioè gode della stessa proprietà di 0 nel vuoto.
D
E
P
D
E
)P]E([div 0
RIASSUMENDO
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E in materia 101
(vettore di polarizzazione) è una funzione di .E
P
Può quindi essere messo sotto la forma
0P=f(E)=ε χ(E)E
P=f(E)
0
f(E)χ(E)=
εBasta definire
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E in materia 102
anche se spesso (E)= =costante suscettività elettrica
inserendola nella si ha
cioè
))(( 00 EEEdiv
)( 0 PEdiv
P = E = 0(E) E
0
1+χ(E)ρ
div[( )E)]=ε
��������������
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E in materia 103
Nel caso (molto frequente) in cui (E) sia indipendente da E si ha
0
0r r
EdivE div
��������������
��������������
0εχ)(1
ρEdiv
si ricava 1+= r
da cui, ricordando che
: 00
0r
EE die vE
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E in materia 104
EEEEEED
PED
r
0000
0
)(1)(
come scriversi allora può
vettoreil
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E in materia 105
mentre nel vuoto basta per descrivere tutto lo stato del sistema,
nella materia sono necessari due vettori (qualunque tra E,D,P) tradizionalmente si usano
e
E
E D
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E in materia 106
Nel vuoto Nei dielettrici
0div(ε E)=ρ
rotE=0
0rotE =0
div D=ρ
![Page 107: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/107.jpg)
E in materia 107
• La costante dielettrica relativa R dipende essenzialmente dal grado di polarizzazione (o spostamento del baricentro delle cariche positive e negative) che può avvenire nel materiale.
• I fenomeni di polarizzazione (che sono strettamente collegati alla costante dielelettrica) possono essere divisi in due categorie: per orientamento o di polare e per deformazione che può a sua volta essere divisa in : elettronica, atomica e ionica.
• La polarizzazione totale, ad ogni frequenza, è la somma dei contributi che ciascun tipo di polarizzazione può dare a quella frequenza
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E in materia 108
Polarizzazione dipolare
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E in materia 109
Polarizzazione per deformazione elettronica
• Essa è dovuta ad un leggero spostamento della nuvola elettronica caricata negativamente degli atomi relativamente al nucleo caricato positivamente.
![Page 110: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/110.jpg)
E in materia 110
Polarizzazione per deformazione atomica
• Essa è dovuta ad un leggero spostamento relativo di ioni adiacenti di segno opposto, che si riscontra quindi solo in reticoli di sostanze di tipo ionico o covalente-polare.
![Page 111: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/111.jpg)
E in materia 111
Polarizzazione per deformazione ionica o interfacciale
• Essa si verifica in materiali che non sono dei dielettrici 'ideali' ma nei quali può avvenire una migrazione di carica su distanze macroscopiche.
![Page 112: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/112.jpg)
E in materia 112
• I meccanismi di polarizzazione non sono istantanei, ma richiedono un certo tempo per raggiungere l’equilibrio.
Il tempo necessario a raggiungere l'orientazione di equilibrio viene detto tempo di rilassamento, ed il suo reciproco frequenza di rilassamento. Quando la frequenza del campo applicato supera quella di rilassamento di un particolare processo di polarizzazione, i dipoli non possono riorientarsi abbastanza velocemente e quel particolare processo si disattiva.
![Page 113: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/113.jpg)
E in materia 113
Ogni tipo di polarizzazione è caratterizzato da un suo tempo di rilassamento. Polarizzazione Tempo di rilassamento (sec.) elettronica 10-16
atomica 10-12
molecolare 10-3 ÷ 10-8
Se questo tempo è relativamente elevato, ad alte frequenze la polarizzazione del materiale non potrà piu seguire le variazioni del campo elettrico. Al contrario a basse frequenze sarà possibile per ogni tipo di polarizzazione seguire l'andamento del campo elettrico e la costante dielettrica raggungerà il suo massimo valore
![Page 114: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/114.jpg)
E in materia 114
![Page 115: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/115.jpg)
E in materia 115
DipoloLF
DipoloMF
DipoloHF
![Page 116: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/116.jpg)
E in materia 116
Comportamento di nella superficie di separazione tra due
dielettrici.
DeE
![Page 117: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/117.jpg)
E in materia 117
00 dsEquindiErotE
Componente tangenziale
![Page 118: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/118.jpg)
E in materia 118
'3dl
''3dl
''4dl
'4dl
![Page 119: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/119.jpg)
E in materia 119
' '' ' ''1 3 2 3 1 4 2 4E dl E dl E dl E dl
nei tratti 3 e 4 l' integrale è = 0 per due ragioni: 1) perchè sono infinitesimi di ordine superiore. 2) perchè se 1 e 2 sono infinitesimi non c'è ragione
perchè l' integrale su 3 debba differire da quello su 4 quindi:
0ldEldE 2211
0ldEldE 2211
![Page 120: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/120.jpg)
E in materia 120
0coscos 222111 dlEdlE
da cui
ET1 = ET2
![Page 121: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/121.jpg)
E in materia 121
Componente normale.
Ddiv
Si prenda un cilindretto con superficie laterale infinitesima all' ordine superiore rispetto alle basi
QdVDdivdSnDDcilVolcilSup
S ....
![Page 122: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/122.jpg)
E in materia 122
Q=0 poichè non ci sono cariche esterne all' interno del cilindro si ha
0)( DS
e poichè il flusso laterale è = 0 (infinitesimo di ordine superiore) si ha
S2D) + S2(D) = 0
![Page 123: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/123.jpg)
E in materia 123
D1cos1 - D2cos2 = 0
D1n = D2n
poichè è
abbiamo 1En1 = 2En2 che combinate con ET1= ET2 danno
ED
2
1
2
2
1
1
N
T
N
T
E
E
E
Etg1 = tg2
2
1
![Page 124: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/124.jpg)
E in materia 124
MISURA DEL CAMPO IN UN DIELETTRICO
E
L’ intensità del campo elettrico Eo in un punto dello spazio vuoto è stata definita
dalla relazione dove F indica la
forza agente su una carica di prova q posta nel punto in questione.
q
FE
![Page 125: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/125.jpg)
E in materia 125
In presenza di dielettrici, la definizione precedente per i punti dello spazio interni al dielettrico non è più valida: infatti, se il dielettrico, è solido, per introdurvi la carica di prova q si deve praticare, una cavità nel dielettrico e sulle pareti della cavità si formano delle cariche di polarizzazione che modificano il campo preesistente e tale modifica, in generale, non tende a zero al diminuire delle dimensioni della cavità; se, invece, il dielettrico è liquido, o aeriforme non c'è difficoltà nell'introdurre il corpicciolo contenente la carica di prova ma questo risente delle forze di superficie dovute al contatto col dielettrico.
![Page 126: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/126.jpg)
E in materia 126
Se nel dielettrico viene praticato un taglio parallelo alle linee di forza del campo elettrico e di piccolo spessore, lungo i bordi del taglio non si hanno cariche di polarizzazione (infatti è parallelo ai bordi, perciò p = = 0), mentre le cariche di polarizzazione sulle basi (piccole) del taglio contribuiscono in maniera trascurabile al campo elettrico all'interno della cavità.
P n P
ET1= ET2
![Page 127: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/127.jpg)
E in materia 127
CONDENSATORE CON 2 DIELETTRICI
(caso condensatore piano)
Condensatore con dielettrico r 0ε ε S
C=d
![Page 128: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/128.jpg)
E in materia 128
CONDENSATORE CON 2 DIELETTRICI
(caso condensatore piano)
Se si ha un doppio condensatore (con 2 dielettrici 1e 2) si ha:
1
C
1
C1
1
C2 S
d
S
d
20
2
10
1
1
S
d1
01
d2
02
1
01Sd1
1
2
d2
= = =
=
![Page 129: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/129.jpg)
E in materia 129
C 01S
d1 1
2
d2
![Page 130: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/130.jpg)
E in materia 130
Sul luogo di separazione si ha D1n = D2n cioè
1En1 = 2En2
inoltre la d.d.p. tra 1 e 3 sarà E1d1
la d.d.p. tra 3 e 2 sarà E2d2
e quindi si avrà:
V2-V1= E1d1 + E2d2
Abbiamo quindi due equazioni lineari in E1 e E2 che risolte danno:
![Page 131: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/131.jpg)
E in materia 131
E1 V2 V1
d1 1
2
d2
E2 V2 V1
d2 2
1
d1
![Page 132: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/132.jpg)
E in materia 132
RIGIDITA' DIELETTRICAL' atomo è un sistema legato: occorre una certa energia per portare l' elettrone all' infinito; questa energia è chiamata energia di ionizzazione.Metodi per ionizzare (cioè cedere energia sufficiente all' atomo) sono:1) Calore (sorgenti di ioni a filamento caldo(attenzione, normalmente sono sorgenti di elettroni), stelle,….)2) Luce (=energia) => effetto fotoelettrico, occorrono normalmente sorgenti X o )3) Particelle di alta energia da acceleratori o anche ioni accelerati da campi elettrici.
![Page 133: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/133.jpg)
E in materia 133
Normalmente nell' aria ci sono sempre ioni (provenienti da urti di radiazione cosmica) Se il campo elettrico è alto, ma non troppo, essi vengono accelerati ed urtano altri atomi producendo solo passaggio di cariche ed aumento termico.Se il campo elettrico supera un dato valore, nell' intervallo tra un urto ed un altro lo ione guadagna sufficiente energia da ionizzare l' atomo contro cui urta; si ha quindi un nuovo ione e, continuando, una reazione a catena e quindi una scarica.
![Page 134: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/134.jpg)
E in materia 134
Il campo elettrico necessario per iniziare la scarica (= rigidità dielettrica) dipende dal mezzo (massa dello ione), dallo stato del materiale (distanza tra le molecole) e da condizioni iniziali (umidità od altro) che fanno variare la meccanica del processo.
( Nell'aria in condizioni normali è 31 KV/cm)
![Page 135: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/135.jpg)
E in materia 135
Costante dielettrica e rigidità dielettrica: tabella
Costante dielettrica assoluta del vuoto o = 8,854·10-12 [F/m] Mezzo dielettrico Costante dielettrica
relativa Rigidità dielettrica
[KV/mm] Aria secca (alla pressione di 1 [bar]) 1,0006 3 Acqua pura 81,07 15 Olio minerale 2,2 2,5 7,5 16 Olio per trasformatori 2 2,5 12 17 Bachelite 5,5 8,5 10 Carta comune 2 6 Carta paraffinata 2,5 4 40 50 Carta da condensatori 5 5,5 30 Gomma 2,2 2,5 15 40 Mica 6 8 50 100 Polietilene 2,3 50 Porcellana 4 7 12 30 Vetro 6 8 25 100 Ossido di titanio 90 170 5 Titanati di Ba-Sr 1000 10000 5
![Page 136: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/136.jpg)
E in materia 136
Esempio
si consideri un condensatore piano in aria
( d= 2 cm) a cui è applicata la tensione di 60.000 V.
Allora risulta E= 30.000 V/cm e non avviene la scarica.
![Page 137: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/137.jpg)
E in materia 137Da Halliday,Resnick,Walker Fondamenti di Fisica
![Page 138: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/138.jpg)
E in materia 138
Inseriamo adesso 0.2 cm di cartone presspan (rigidità 200 kV/cm ed r=4)
Allora si ha nel cartone E1 = = =
= 8.100 V/cm
nell' aria E2 = = =
= 32.400 V/cm
V2 V1
d1 d2
1
2
60000
0.2 1.841
V2 V1
d2 d1
2
1
60000
1.8 0.214
![Page 139: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/139.jpg)
E in materia 139
Quindi scocca la scintilla nell' aria che diviene conduttrice e tutta la tensione viene allora applicata al cartone cioè 60.000/0.2 = 300.000 V/cm e quindi superando la rigidità dielettrica del cartone si ha la scarica .
![Page 140: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/140.jpg)
E in materia 140
![Page 141: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/141.jpg)
E in materia 141
CONDENSATORE REALEIl caso del condensatore nel vuoto è poco diffuso. Molto meglio il condensatore con dielettrico perchè:
1) la capacità aumenta di r quindi di valore anche alti
(casi particolari con r dell’ ordine di 1000-10000)2) dato che spesso d deve essere piccola il dielettrico serve ad impedire che le armature vengano a contatto.
3) il dielettrico può avere una alta rigidità dielettrica e quindi il condensatore può avere una alta d.d.p. sulle armature.
r 0 r 0
SC=ε C =ε ε
d
![Page 142: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/142.jpg)
E in materia 142
![Page 143: E in materia1. 2 Condizioni al contorno 1.Campo elettrico stazionario 2.Materiale dielettrico](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022061606/5542eb59497959361e8c426d/html5/thumbnails/143.jpg)
E in materia 143
10 cm
10 cm
3
r 0
SC=ε ε
d
8.86 10-12
10-2
30 10-6
= 8.86 10-9 F
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E in materia 144
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E in materia 145
ENERGIA DEL CAMPO ELETTROSTATICO
Nel vuoto avevamo trovato per la energia del campo elettrico la formula:
0
22
00 2
1
2
1
C
qVCU
che per un condensatore piano da
U 0
1
2
q2d
0S
che nel dielettrico può essere scritta come
U
1
2
q2d
S
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E in materia 146
poichè all’ esterno E = 0 mentre all’ interno del condensatore è
E
q
SDa cui, poiché il modulo della induzione dielettrica D è D = = q/S si ricava
SdDE2
1U
ed essendo Sd il volume in cui è compreso il campo elettrico, ricordando che è
E parallelo a
D si ricava per
U S
dq
2
2
1
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E in materia 147
la densità di energia l’ espressione
e quindi per l’ energia in un volume V
DE2
1u
dv)(2
1 V
DEU
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E in materia 148