E MATEMATICA

PARA EL MAESTRO

EL PROFESOR

EL ESTUDIANTE

Humanización de ia enseñanza

de la matemáticaEn este número:

i Pág.Pág.3 Después de la nueva matemática

(D, J. Wheeler) ........................ 41Carta al lector ............................Categorías y funtores (P. J. Hilton) 4 Humanización de la enseñanza de la

matemática (W. Serváis)...........Clasificación de los conjuntos (J. J.

Rossi) ..........................................

Sobre la extracción de la raíz cua- 10 ’ drada (C. L. Couqueuniot) ... 43

4634 Bibliografía

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Conocer

para resolver. Cifra 111 y Cifra 121:La electrónica

a su alcance.í

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KSgGDSaCEPTOSIDE MATEMATICA

TKHICAHENTE lüNIRDYALAÑO XI - ABR.-MAYO-JUN. 1977 - N° 42A CONCEPTOS

DE MATEMATICAPUBLICACION TRIMESTRAL

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CARTA AL LECTOR

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*<U t'tu¿j¿sr¿¿ .<Uí£e &>i c&r/uc//icú jJUvo cO-£¿c¿c¿/íLc¿có tooyc^v^u.oud

fyut +UA¡-Oyvl&S <li^A¿LfrjL>lCUl*A¿QVO fab'r>l£¿¿nrl¿YUzcm^K¿<lrL¿eA óti.

CUffimcLfcJv~a¡¿) AJyfWuir/^^^káháU nyü/L¿tH¿r atyuuLb.* S^rtsmcu faoJifjL cb^cmíbmc tí$4J/Kc/¿Vrn&/¿&L£ u

cüiMcudLo P*J fathyL,' Cg/é¿^¿¿2t y Fu/id&uLó t<¿óWuxií^oJtJl^¿^(^^ <ti .¿¡>¿d4AartptoJ¡¿03 kSUX&rtútjLA. ÍÍol QjJYbtHJ- btLCL&rt. (ti J' dy3&£f¿., *<3itíae,(hA¿í¿cacu^zoUfxuiaUi- &/t4£j7t¿wzfe&&í^iJZ//íÁdL/ -M"! ^u>í^'^^OdJtXtixi~ .£> (ti l)J* hJA^£^/ "¿kt/íMJÚ (ti tia'TjMa^ V*uxtisnuíJlcaJ\ ^un/x^rujUAX¿CucL ¿fMZU^TLLtt¿ ,rSú&l4 éa &x,/racc¿&7\^ tu^^jddxc' y. 07i¿c^¡fancícc*>i£fL/a¿/ ‘U/n* ímJcoScl C6rJnLOWUO/C (M'dttJzLCC/xlo Qo -tóW, M Skrc(V€U'S/ n

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Redacción y Administración: Paraguay 1949, Piso 6o, Depto. A

Director - EditorJOSE BANFI

Asesaros: José Babini, Frédérique Papy, Georges Papy.

Redactores: Emilio De Ceceo, Juan C. Dalmasso, haydée Fer­nández, Alfredo R. Palacios, Atilio Piaña, Elsa Sabbatiello, Andrés Valeiras y Cristina Ver- daguer de Banfi.

Dibujante: Argq. Julio R. Juan.

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FRANQUEO PAGADO Concesión N° 2687

Av. Ing. HUERGO 839 - Capital Federal - Tel. 34-8881/7 V)

M&tFJ.

I

2. CategoríasA3. Para cada objeto A hay un morfismo 1A:

A-*A tal que para todoDESARROLLOS RECIENTES Para definir una categoría C se requieren tres tipos de datos:10 Una clase de objetos A, B, C,..20 A todo par (A, B) de objetos de C

f : A->B y1Af=f y giA=g

Se ve rápidamente que A determina al mor­fismo 1A de manera única. Corrientemente omitiremos el subíndice y escribiremos 1 en lugar de 1A. Por ejemplo 1 f= 1 y g1=g. Estas últimas igualdades ¡lustran la manera en que usaremos el símbolo 1 para designar al morfis­mo del axioma A3.

La categoría Ens de los conjuntos verifica los axiomas A2 y A3: la composición clásica de las aplicaciones es asociativa y cada conjun­to tiene una aplicación idéntica. Por esta inter­pretación en Ens el morfismo 1A obtiene su nombre de morfismo identidad.

Es necesario decir alguna palabra sobre la interpretación del axioma A1 en Ens. Sea por ejemplo la función seno. Puesto que existe una extensión bien conocida de esta función en el campo complejo, es necesario precisar, cuando se habla de la función seno, si se trata de sen: /?“►/? o de sen: C->C pues, con toda evidencia, esas dos funciones son distintas. Pero si nos restringimos al cuerpo real, podemos pensar a la función seno como aplicación de fí en R o como aplicación de R en R en el intervalo [-1,1] puesto que todas las imágenes parala función seno pertenecen a ese intervalo. Po­dría parecer pedante insistir sobre la diferencia entre esas dos funciones y, sin embargo, seña­laremos nítidamente esa distinción. Veremos, en efecto que resulta útil precisar claramente tanto la imagen de esa función como su domi­nio. En efecto, puesto que dominio — imagen (respectivamente A y B) desempeñan papeles simétricos en el axioma A1, es natural, y es un uso que se amplia cada vez más, reempla­zar el término "imagen" por el término "co- dominio". Subrayemos que la composición de f y g no está permitida más que cuando el codominio de f es el dominio de g.

Diremos que el morfismo f: A->B de C es inversible si y sólo si existe un morfismo g: B->A de C tal que

g : C-*A, se tiene:

Categorías y Funtores estaasociado un conjunto C (A, B) de morfis- mos de A hacia B;

3a A toda terna (A, B, C) de objetos de C corresponde una ley de composición

i

Peter J. HILTON (Inglaterra)

C (A,B) X C(B,C) -> C(A,C)

Antes de citar los axiomas que definen categoría he aquí una terminología auxiliar y algunas notaciones que permitirán ver que lo que tratamos aquí es realmente una generali­zación de nociones familiares

Si f pertenece a C(A,B), escribiremos:

una

guiada evidentemente por las exigencias ae las aplicaciones de otras partes de la matemática.

No tengo la intención de exponer la teoría de las categorías, sino más bien la de introdu­cir los conceptos básicos, conceptos que mere­cen formar parte del equipo de todo matemá­tico. También aquí es legítimo e iluminador un paralelismo con la teoría de los grupos o la topología (Por otra parte, se podría establecer un paralelismo todavía más sorprendente con la teoría de conjuntos: todo hombre educado debe estar familiarizado con el lenguage de la teoría de conjuntos. Esto es lo que ha condu­cido, en numerosas reformas propuestas en la educación matemática, a confundir esta exi­gencia auténtica con la necesidad ilusoria, en esa etapa precoz, de una exposición desmesu­rada de una voraz teoría de conjuntos.) Todo matemático debe saber qué es un grupo, pero necesita, además, los conceptos de grupo con­mutativo, de homomorfismo, de subgrupo dis­tinguido y de grupo cociente, así como ciertp conocimiento de sus relaciones fundaméntale?. Por lo contrario, las delicadas cuestiones que llevan a la estructura de los grupos finitos, por ejemplo, deben dejarse al cuidado del especia­lista. O también, todo matemático debe estar familiarizado con el concepto de espacio topo- lógico, de parte abierta y de parte cerrada, de aplicación continua, de espacio cociente, de espacio compacto, de poliedro, de variedad, de homotopía, pero los problemas más delicados de la topología algebraica o de la topología diferencial, no son de su resorte. De la misma manera, se puede sostener que las nociones que presentamos aquí son indispensables para cualquier matemático.

1. INTRODUCCIONCuando se dice "sea un grupo G..todos

comprenden de inmediato que se trata de un "grupo abstracto". En verdad, a veces también se habla de "grupo abstracto" para indicar que el grupo que se va a considerar no posee estructura suplementaria, opuestamente, por ejemplo, a la expresión "grupo topológico". El adjetivo "abstracto" es un testigo de la evolu­ción histórica: la noción de grupo se introdujo primeramente mediante los grupos de los des­plazamientos, de las transformaciones o de las permutaciones. Sólo en una etapa relativa­mente avanzada se propuso una definición axiomática y el estudio de las propiedades de los grupos independientemente de su función geométrica o combinatoria. Asimismo, sólo después de una prolongada investigación de las propiedades de las partes de un espacio eucli- diano se enunció una definición axiomática de los grupos topológicos.

Si, según un punto de vista perfectamente arbitrario, consideramos como abstracciones de primer nivel a conceptos tales como los de conjunto, grupo, espacio topológico, cuer­po. .., la noción de categoría resulta entonces una abstracción de segundo nivel puesto que sus concretizaciones aparecen en la teoría de conjuntos, en la teoría de los grupos, en topo­logía, etc. De la misma manera que hemos subrayado que la noción axiomática de grupo o la de espacio topológico estaba presente mucho antes de que se la volviera explícita, lo mismo ocurre con la noción de categoría, así como con los conceptos de funtores y de tranformación natural que le acompañan, que aparecen en filigrana en la literatura matemá­tica mucho antes de ser abstraídas y formali­zadas. Además, al lado de la teoría de los grupos y de la topología, que hoy son teorías de amplitud y complejidad impresionantes, la teoría de las categorías se ha desarrollado si­guiendo libremente sus tendencias propias.

ff:A-*B o A->B

El conjunto C(A,B) XC(B,C) está formado por los pares (f,g), de donde

AÍ-B y B^-C

El compuesto de f y g se escribirá f o g o simplemente fg, de modo que

A^C

Un ejemplo de categoría es la categoría Ens1 cuyos objetos son los conjuntos, los mor- fismos son las aplicaciones y la ley de compo­sición es la composición usual de las aplicacio­nes. El único punto no habitual en nuestra descripción de la categoría Ens es el haber designado al compuesto de f y g por fg en tanto que el lector está sin duda acostumbra­do a escribir g(f(a)) o incluso gf(a) para la imagen del elemento a de A por la aplicación compuesta. Esto es puramente cuestión de convención y, en ocasión de esta presentación de un concepto nuevo, no pretendemos ni nos proponemos arrastrar detrás nuestro los incon­venientes de esta desventurada tradición que impone escribir "gf" para decir "efectuar pri­mero f y después efectuar g".

Vamos a los axiomas. El primero no es más que una convención, pero los dos siguientes son mucho más sustanciales.'

y

u

fg=1A Y 9f=1B

Si f es inversible, escribiremos g=f'1 y diremos que A y B son equivalentes. Es fácil ver que se trata realmente de una relación de equivalen-

A1. Los conjuntos C(A^BJ y C(A2,B2) disjuntos excepto si At=A2 y Bi=Bi

A2. Si Af-*B, B^C, Cf->D

entonces f(gh)=(fg)h

son

Como lectura previa a este artículo, recomendamos al lector el notable trabajo de Jorge Bosch, "El punto de vista categorial en la enseñanza de la matemática" publicado en el N° 22 de "Conceptos de Matemática"

1. Usamos la Abreviatura Ens, del francés Ensemble, por estar generalizado su uso.

.54

El objeto O habitualmente se denomina "obje­to nulo".

Retornemos al ejemplo 1 en el cual C= Ens, la categoría de los conjuntos (y, sobren­tiéndase, de las aplicaciones; esta omisión es usual cuando se sabe sin ambigüedad cuáles son los morfismos de la categoría examinada).

En esta categoría hay un (el conjunto vacío) tal que Ens (0,X) conjunto unitario y un objeto Jp| (un juntó unitario) tal que Ens (X,{ pj) se reduz­ca a un único elemento. Decimos entonces que 0 es un objeto inicial en tanto que j p j es un objeto terminal de Ens. Un objeto nulo es un objeto que es la vez inicial y terminal. Se establece fácilmente que si C posee un objeto nulo, entonces todo objeto inicial y todo objeto terminal son equivalentes a 0. Se deriva inmediatamente que Ens no puede te­ner un objeto nulo; en efecto, si así fuera, todo objeto inicial de Ens debería ser equiva­lente a todo objeto terminal mientras que0 no es evidentemente equivalente al conjunto unita­rio | p} • Por la misma razón, Top no puede comprender un objeto nulo. El lector observa­rá que los argumentos empleados son de dos tipos: los argumentos puramente catcgoriales (por ejemplo, "en toda categoría, todos los objetos iniciales son equivalentes") y los argu­mentos propios de la categoría particular exa­minada (por ejemplo, "0 no es equivalente a } pj"). Esto es característico de los razona­mientos modernos; Saunders Mac Lañe ha cali­ficado de "general abstract nonsense" (generali­dad abstracta sin interés) a la parte puramente categorial de una argumentación matemática, pero sería necesario no deducir de tal humora­da que esa parte es siempre trivial. Sin embar­go, debido a la gran generalidad de los concep­tos utilizados en la teoría de las categorías, se espera que la parte difícil del trabajo consista en verificar que una categoría particular, o un objeto de una categoría particular, posea una propiedad sobre la cual podrán ejercerse las "generalidades abstractas sin interés".

ría C(G) todo morfismo es inversible. Esta situación muestra cómo la noción de categoría generaliza la noción de grupo. Consideremos ahora un conjunto ordenado (S,<). Formamos

categoría C(S) en la cual los objetos son los elementos de S. Si x e y son elementos de S,C(S) (x,y) es vacío salvo si x<y caso en el que está formado por el único símbolo "x<y". La ley de composición expresa la tran- sitividad de la relación de orden:

ese momento es necesario definir la noción de transformación de una categoría en otra. Se denominará funtor a cualquiera de esas trans­formaciones. De manera precisa, un funtor

f:C-+D

cia. Debe subrayarse que en la categoría Ens- los morfismos ¡nversibles son las biyecciones. Que "una aplicación sea inversible si y sólo si • es inyectiva y suryectiva sobre su codominio" es un teorema en Ens.

Veamos algunos ejemplos de categorías. En cada uno de ellos la ley de composición no es otra que la usual ley de composición de las aplicaciones.1. La categoría Ens. de los conjuntos y las aplicaciones.2. La categoría Top. de los espacios topoló- gicos y las aplicaciones continuas.3. La categoría G de los grupos y los homo- morfismos de grupos.4. La categoría Ab de los grupos conmutati­vos y los homomorfismos de los grupos con­mutativos.5. La categoría V¡< de los espacios vectoriales sobre el cuerpo K y las aplicaciones lineales.6. La categoría Gcont de los grupos topológi- cos y los homomorfismos continuos.

Resulta totalmente evidente que esta lista podría prolongarse indefinidamente. También es muy evidente que cada categoría lleva con­sigo su propia noción de morfismo inversible y de objetos equivalentes. Así, en Top los mor- físmos ¡nversibles son los homomorfismos; en G, Ab y Vk son los isomorfismos; en Gcont son los homorfismos continuos con inverso con­tinuo. El enunciado "un morfismo es inversible si y sólo si es inyectivo y suryectivo sobre su codominio" es un teorema en G, no es nada en ^cont.fismo de grupos como homomorfismos inyec- tivo y suryectivo sobre su codominio.

He aquí dos ejemplos de naturaleza muy diferente. Nos permitirán ampliar la perspecti­va de la noción de categoría.

Sea un grupo G. Definamos entonces una categoría C(G) tomando como único objeto al mismo grupo G y como morfismos las trasla- cidnes a la derecha para las elementos de G. De modo que a todo elemento g de G asocia­mos la aplicación.

una

es una regla que asocia a todo objeto X de C un objeto XF de D y a todo morfismo f de C(X,Y) un morfismo fF de D(XF,YF) respe­tando las condiciones:

objeto 0, sea un

con-"(1) (fg)F=(fF)(gF) (2) 1x F=1xfX<y) o (y<z) = (x<z)

y la existencia de las identidades proviene de la reflexividad de la relación de orden.

El lector podría tener la impresión de que, en los dos últimos ejemplos, se juega con las palabras. ¡No hay nada de eso! En las catego­rías se puede, en efecto, efectuar gran número de construcciones típicas que, incluso en tales situaciones, tienen un sentido. Sacamos así partido de la unificación introducida por el concepto que encabeza una situación particu­lar, sugiere que se obtendrán teoremas profun­dos en la teoría de las categorías sólo particu­larizando las categorías. Esta constante bús­queda del equilibrio entre generalidad y pro­fundidad constituye el arte de una teoría ma­temática.

Retornando a nuestros seis ejemplos, pode­mos subrayar el siguiente hecho: en los ejem­plos 3 a 6, la categoría C en cuestión posee un objeto O tal que, para todo objeto X de C, los conjuntos C(X,0) y C(0,X) están reduci­dos a un sólo elemento.

En los ejemplos 3 y 4, todo grupo de un elemento es tal objeto O; en el ejemplo 5, tenemos el vectorial nulo y, en el ejemplo 6, todo grupo topológico de un elemento. Es fácil probar que si una categoría C posee un tal objeto O, todo otro candidato a ser O le es equivalente. Además, C(X,Y) posee entoncés un morfismo particular Oxy que puede factorizar- se de la siguiente manera: X->0->Y .

Sin duda, esto evocará en los lectores las propiedades de los homomorfismos algebrai­cos. De hecho, una categoría, lo mismo que un grupo, posee ‘cierta estructura y se impone a los funtores que la respeten. En particular el funtor identidad

1:C-*0

corresponde al automorfismo identidad de un grupo.

Antes de dar ejemplos de funtores, haga­mos algunas observaciones e introduzcamos un concepto importante. Primeramente, dados los funtores

F:C^D y G:D -► E

una ley de composición evidente da lugar al funtor

FG:C -*• E

Desde aquí, podemos hablar de funtores inversibles y de categorías equivalentes. Todo esto nos sugeriría introducir la "categoría de las categorías" U, cuyos "objetos" serían las categorías, y admitiendo a los funtores como "morfismos". Sin embargo, los que conocen la paradoja de Russell saben que eso sería expo­nerse a una serie de peligros fundamentales. Actualmente, la noción de pequeña categoría, es decir, de categoría en las que la colección de objetos es un conjunto, desempeña un pa­pel muy importante en la literatura sobre cate­gorías y la familia de los funtores de una pequeña categoría C hacia otra D es manifies­tamente un conjunto. No obstante, eso no basta para llenar todas las necesidades y se han hecho numerosos trabajos para- superar

dificultades conjuntistas. El desarrollo

Por ello es nefasto definir un isomor-

•y

y para todosRn :G->Gg f: W-+X y g : Y -► zdefinida por 3 FuntoresEn una categoría dada, los conjuntos de

morfismos C(X,Y) sirven para establecer rela­ciones entre los diversos objetos de la catego­ría. Ahora bien, el lenguaje de las categorías ha sido desarrollado para describir los diversos dominios de la matemática y buena parte de la metodología matemática contemporánea es­tudia las relaciones que se pueden establecer de manera natural entre esos dominios. Desde

xRg=xg

para todo elemento x de G. Claro es que R define a g y, por consiguiente, podemos indem tificar a los elementos de G con los morfismos de.C(G). Los axiomas de grupo garantizan el cumplimiento de los axiomas de las categorías pero también proporcionan suplementariamen­te una propiedad muy particular: en la catego-

en C tenemos:

f °xy Owy Y Oxy9 “ ^xz

Exactamente de la misma manera que para el morfismo identidad, suprimiremos los índices y escribiremos simplemente O en lugar de 0Xy. Las igualdades anteriores explican nítida­mente el uso del locución "morfismo nulo".

g esasmás apasionante conduce en ese sentido a la reciente introducción de F.W. Lawvere de la categoría de las categorías como fundamento de la matemática (en los Proceeding of the La Jo lia Conference on CategóricaI Algebra, Springer, 1966)

6 7

4. Transformaciones naturalesLa idea que abordamos puede considerarse

como la primera fuente de la teoría de las categorías porque ai intentar precisar la idea de transformación natural, Eilenberg y Mac Lañe fueron llevados a introducir el lenguaje de las categorías y de los funtores.

Sean F y G funtores de la categoría C hacia la categoría D. Una transformación natu­ral t de F hacia G es una regla que asocia a todo objeto X de C un morfismo

tk: XF XG de D

tal que para todo morfismo

f: X Y de C

(que deja en su lugar a cada elemento de A) y t es una transformación natural del funtor

UL : Ab —> Ab

hacia el funtor identidad sobre Ab. Aquí U : Ab —► »Ens.

dejando a un lado ("olvidando'') la estructura topológica. El lector no tendrá ninguna difi­cultad en reunir gran número de tales funtores de olvido. De primera intención, esos funtores podrían parecer fantasiosos. Lejos de ello: los funtores de olvido desempeñan una función fundamental, no sólo en las formulaciones funtoriales sino también en desarrollos real­mente elaborados de la teoría de las catego­rías.

Veamos algunos ejemplos de funtores. Deja­mos al lector el cuidado de comprobar que se verifican las condiciones funtoriales (1) y (2).

1. Para toda categoría C, existe una noción evidente de subcategoría C0. La inmersión de C0 en C es un funtor. Por ejemplo, podemos sumergir la categoría Ab de los grupos conmu­tativos en la categoría G de los grupos, o la categoría de los espacios compactos en la cate­gorías Top de los espacios topológicos. Se trata de ejemplos de lo que se denomina inmer­siones de subcategoría plena o inmersiones plenas.

C0 es una subcategoría plena de C si siendo X e Y objetos de C0 se tiene C0 (X,Y) = C(X,Y).

Contraejemplo: la categoría de los espacios compactos y de las inmersiones topológicas no es una subcategoría plena de Top.

2. A partir de todo grupo G se puede obte­ner un grupo conmutativo G! "abelizando" a G. Se puede pensar a G¡ como grupo cons­truido sobre G agregando las relaciones: gh=hg, para todos los g y h de G,o, de mane­ra equivalente, -por pasaje al cociente Gj=G/G' de G por el subgrupo conmutador (o derivado). Entonces, todo homomorfismo

P: G H en G

aplica G' en H*' y produce un homomorfismo

De modo que poniendo GÁb=G! y PAB^! se define un funtor

es el funtor de olvido y L : Ens Ab

3. (para los que están familiarizados con la topología albegraica). El célebre homomorfis­mo de Hurewicz (ver, por ejemplo, Hilton y Wylie, Homology theory, Cambridge Univer- sity Press, 1962, pág. 349) entre grupos de homotopía y grupos de homología, es una transformación natural entre funtores de Top hacia Ab.

4. Sea V un vectorial sobre el cuerpo K:V* y V**, respectivamente, su dual y su bidual. Existe una aplicación lineal iv de V hacia V** definida por

5. El concepto de "grupo fundan,er. tal" es uno de los más conocidos y de los más impor­tantes de la topología. Permite asociar un gru­po 7r(X,x0) a todo espacio X en el cual se ha distinguido un punto x0. De allí que se pueda considerar a tt como funtor de la categoría Top de los espacios topológicos con punto distinguido y las aplicaciones continuas que respetan los puntos distinguidos hacia la cate­goría de los grupos.

6. Hemos mostrado que todo grupo se pue­de considerar como una categoría. En esta óptica, los funtores entre esas categorías son precisamente los homomorfismos de grupos.

Antes de llegar a la última de las nociones centrales que expondremos, la noción de transformación natural, llamaremos la atención sobre una técnica muy útil. Dada una catego­ría C, podemos construir una nueva categoría C°P ("op" por opuesto) que tiene los mismos objetos que C pero tales que

el diagrama

> XGxFii

YGVF

sea conmutativo, es decir quetxofG = fFoty

Si para todo X,tx es inversible, entonces t se denomina equivalencia natural. La defini­ción

(f) ((x) iv) = (x)f

para todas las x de.V y f de V*. i es una transformación natural del funtor identidad de Vk hacia el funtor bidual** sobre Vk. Desig­nemos con V'k la subcategoría plena de Vk constituida por los vectoriales de dimensión finita sobre k. Un teorema clave de álgebra lineal enuncia que la restricción de i a V\ es una equivalencia natural. La demostración de aste teorema se basa en el hecho de que si V as de dimensión finita, entonces V y V* son ¡somorfos. Sin embargo, este último isomorfis- mo, contrariamente al isomorfismo iv, no es "natural": para definirlo es necesario fijar una base (vj,.. .,vn) de V y hacerle correspon­der la base dual (vf,.. ..v^) de V*. Así el ismorfismo

(t-Mx = t-‘

da en ese caso una equivalencia natural de G hacia F. Si C es una pequeña categoría, pode­mos formar una categoría cuyos objetos (que forman una clase) son los funtores de C hacia D y en donde los morfismos son las transfor­maciones naturales de esos funtores. Se dispo­ne, en efecto, de una definición evidente de la composición de las transformaciones naturales y las equivalencias naturales son exactamente las transformaciones que son inversibles para dicha composición.

He aquí algunos ejemplos. El último es precisamente la situación en donde se observa una transformación natural.

1. Sea un grupo G y su abelizado Gj. Se sabe que existe una suryección natural

C°P(X,Y)=C(Y,X)

y en donde la ley de composición se deriva naturalmente de la de C. Se dice a menudo que C°P se obtiene a partir de C "invirtiendo las flechas en efecto:

f: X -► Y en C°P

Ab=G -> G

denominado funtor de abelización.3. Sea un conjunto E. Podemos construir

el grupo abeliano libre Ae sobre E. Toda apli­cación

f: E -> F

induce de manera natural un homomorfismo Af: Ae Af

lo que nos da el funtor abeliano libre Fr: Ens -> Ab

definido por EFr=A£ y fFr=Af. Existen evi­dentemente otros funtores libres, por ejemplo de Ens hacia G o de Ens hacia yk.

4. Todo espacio topológico tiene un con­junto-soporte: el conjunto sobre el cual está definido. Se obtiene un funtor de olvido.

Af: Ae Af

iv¡*v¡si y sólo si i

depende de la elección de una base y, por eso, no posee ese carácter natural del isomorfismo iv entre V y V**. Sin embargo, podemos definir un funtor dual*.

f: X ¿ Y en C

Esta herramienta formal nos permite definir un funtor contravariante C-*C como funtor de C-*D°P. Es dé notar que para un funtor con­travariante F: C D, se tiene,

Si f e C (X,Y)

entonces fFED(YF,XF), (fg)F;=(gF)(fF).

i*

tg : G —► Gi= G/G'

y t es una transformación natural del tuntor ¡dentida/d sobre G hacia el factor de abeliza­ción sobre G.

2. Sea un grupo abeliano A y AL el grupo abeliano libre sobre A. Evidentemente se dis­pone de un homomorfismo

VA-*A

(es decir, un funtor contravariante de Vk ha­cia V|¿ que aplica a todo vectorial sobre su dual~y a toda aplicación Ijneal sobre su trans­puesta. Este funtor dual * establece un iso­morfismo (en el sentido de las categorías) en­tre la categoría Vk y su categoría opuesta.

¡Sigue en pág. 37)

V'k

Un sólo ejemplo debería bastar: el concep­to de espacio vectorial dual origina un funtor contravariante

*: Vk Vk

98

mática es, en los diversos sentidos de la pala­bra, la disciplina mayor.

En primer término, es un conjunto de co­nocimientos y métodos que se aprenden con un maestro para convertirse de inmediato, si se puede, en un artesano de su expansión.

En el sentido usual, es un conjunto de reglas de conducta surgidas normalmente de sanciones que se oponen a los miembros de una colectividad.

Por extensión, puede convertirse en un marco de vida que uno se impone a sí mismo

Este carácter global y acumulativo, está to­davía reforzado por la presentación más mo­derna y más estructurada de los temas, lo que da a la matemática una sólida unidad. Por otra parte, esta grande y fuerte conexión de las partes entre sí, asegurada por las nociones fundamentales de los conjuntos, relaciones y funciones, es una ayuda para dominar mejor la abundancia de hechos. También es necesario alcanzar un nivel en que sea posible una visión sinóptica.

Muchos alumnos, por falta de memoria, de capacidad organizadora racional o por falta de tiempo o de ejercicios son desbordados y muy a menudo ahogados por la abundancia de la matemática.

El pánico de los alumnos que sienten abrir­se agujeros debajo de sus pies es muy conoci­do '([1] p. 67, J. Nimier, "Mathématique et affectivité".)

— "Entonces, después de eso, superar tas lagunas en matemática, en tercer año, lo he logrado bien o mal. En cuarto año, reconozco que intenté trabajar. Mis padres me hicieron seguir cursos particulares pero eso no sirvió para superar todas mis lagunas en matemática, y llegué a quinto año, en donde estoy seguro que tendré dificultades para los problemas de física porque tendré lagunas en álgebra:y

El trabajo y la buena voluntad pueden no ser los motivos ([1] p 68):

- "El último año verdaderamente estaba derrotado. Entonces, este año todavía más; porque comprendo los cursos: yo comprendo y todo, pero después, cuando se trata de reha­cer tengo como un agujero y no llego".

TEMAS DE NUESTRO TIEMPO

Humanización de la enseñanza

de la matemáticaWilly Serváis*

(Bélgica)

(1).La matemática es una disciplina exigente.

Lo es incluso para los que la practican con soltura. También lo es, necesario es decirlo, para los que la sufren como una labor impues­ta en la que permanecen extraños.

El carácter constructivo de la matemática nace de un haz de propiedades que posee en el más alto grado entre todas las ciencias.

La matemática es la actividad mental más abstracta, la más virtual con respecto a lo concreto. Es la más relacional, vacía de con­tenido. Es la más esquemática, la más formal por sus figuras, sus diagramas, su formalismo, sus algoritmos. Es la más sistemática, la más organizada, en forma hipotética deductiva a partir de axiomáticas que definen sus estructu-

hecho un esfuerzo cada vez más amplio, cada más consciente para promover su conoci­

miento y su uso.¿Están en relación con los esfuerzos realiza­

dos los resultados.en gran escala y acaso tam­bién las adquisiciones logradas? Ni siquiera los más optimistas responderían afirmativamente.

¿Será posible mejorar ese rendimiento y acercarlo al nivel de nuestras aspiraciones? ¿Cómo se podría intentar hacerlo? He aquí las cuestiones que se plantean.

En su totalidad, o casi, los esfuerzos para una mejor enseñanza se han consagrado siem­pre a mejorar el contenido matemático y su presentación pedagógica específica; este sende­ro de progreso evidente y —parece— inmedia­to, por su importancia ¿es el único cuando se trata de introducir a jóvenes inteligencias en la actividad matemática, domesticarlos y volver­los familiar para que sea mejor asimilado y eficaz?

De manera general, el aspecto psicológico, efectivo y, por decirlo de algún modo, huma­no está descuidado si no es del todo inexisten-

0. La matemática cuestionadavez

Entre las ciencias, la matemática tiene una situación singular y paradójica. Es.sin duda, la obra que el espíritu humano ha desarrollado más mediante sus propias fuerzas y que testi­monia mejor su estructura funcional. Por con­traste, en verdad sorprendente, es una discipli­na que parece ajena a un número demasiado grande de inteligencias. De esa manera, una creación esencialmente humana aparece a mu­chos hombres como inhumana, hasta deshuma­nizante.

La ficción, o la realidad, del grano de la matemática, recuerda que no hay en su reino ningún elegido que no tenga en la frente el signo aristocrático de inteligencia. Para los no predestinados no hay otra promesa que una labor sin alegría,un quehacer lleno de sinsabo­res, una frustración sin remedio, una injusticia congénita.

De todas las disciplinas que se enseñan, la matemática acaso sea aquélla en que el estudio está más jalonado de lágrimas y de castañeteos de dientes. Para muchos alumnos y para mu­chas familias, la matemática es un aguafiestas, que envenena las reuniones familiares y em­ponzoña las vacaciones.

¡Y sin embargo! No hay comprensión del mundo natural, no hay posibilidad de obtener ventajas de él, sin la matemática;no hay ningu­na construcción, cualquiera que sea, en el mundo cultural y técnico, creado por el hom­bre, que no deba a la matemática su forma, su belleza y su eficacia funcional.

La matemática es un componente funda­mental del poder creador y realizador de los hombres. Es un bien y un derecho para todos por tratarse de una de las dimensiones que permiten su realización.

Desde que se ha reconocido la potencia de comprensión y de acción de la matemática, es decir, desde el alba de la civilización, se ha

I

ras.Todas esas propiedades superlativas hacen

de la matemática, que no obstante está abierta a la creación intelectual, una ciudadela cerra­da, severa y temible.

1) El terror matemático

Los alumnos y sus familias consideran a la matemática como la materia más severa y la que provoca mayores preocupaciones. Este pa­pel se ve reforzado por la función de criba de selección para el cual se emplea a la matemáti-

te.Nuestro propósito es examinar la cuestión a

la luz —quisiera decir con la iluminación— de nuestras experiencias cotidianas y con todo el impulso de nuestros deseos. Nuestra reflexión pasará por cinco etapas cuyos títulos ya una crítica y un programa:

Disciplina matemática, docentes, alumnos, educadores, educación matemática abierta.

En las otras ramas no ocurre lo mismo se puede inflar lo que se dice. Además, un error no se propaga como en matemática donde un error en el cálculo o en el razonamiento com- promete todo el desarrollo ulterior ([1] P- 69):

"Uno se equivoca en una pequeña cuestión y todo está en el aire".

Para el alumno poco seguro el buen éxito se le aparece como un golpe de suerte ([1] P- 7D

son ca.La matemática se adecúa bastante bien para

ese empleo pues las pruebas tienen, por una parte, un carácter de objetividad y requieren, por otra parte,cualidades de inteligencia racio­nal, especialmente la jde dominar una vasta materia fuertemente organizada.

La matemática es la rama más acumulativa que existe. En las otras ciencias, la física, por ejemplo, es posible conocer una parte, la calo­rimetría,, e ignorar por decirlo así, la óptica. En matemática, todo se sostiene y, desde los elementos, es indispensable un esfuerzo de la memoria.

1. La disciplina matemática

Entre todas las ramas científicas, la mate-

Conferencia dictada por el autor en las Jornadas de Rennes organizada por la Asociación de Profeso­res de Matemática de la Enseñanza Pública (APMEP) de Francia, en setiembre de 1976.

(1) Ver "Dictionaire de la Langue Philosophique" por P. Foulquie y R. Saint-Jean, PUF.

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_*£$ más bien una especie de mecánica.. !'-+En matemática, s¡e hace alguna cosa co­

mo una máquina.. .*La matemática aísla del mundo y de los

demás ([1] P- 55)_ "y además, lo que muestra también que

la matemática separa del mundo, es que en el momento en que trabajo, Ia matemática no

sirve para nada, en tanto que de las discu­siones de las ideas que yo he retenido puedo siempre hablar de ellas, no importa dónde.

Entonces, si hablo de esa manera a una niña, en el escritorio, por ejemplo, de la sur- yectividad, no veré el interés, ni ella tampoco, y además se tendría la impresión de volverse un poco idiotas para hablar de eso. Y bien, ¡eso es verdadr

- "Por ejemplo, comparando con la litera­tura, podemos vincularnos con obras, e incluso con personajes novelescos o bien con autores que puedan reconfortarnos, digamos.. . soste­nernos, en tanto que con la matemática, no hay nadie, se está sólo".

El rigor disciplinario de la matemática, la deshumanización alienante de su abstracción, la mecanización de los ejercicios y de los cur­sos, el vacío de su objetividad despersonal iza- dora, son especialmente sentidos por los alum­nos vulnerables, de afectividad tierna y capa­cidad lógica reducida. Tiemblan y sienten pá­nico ante ella que se les aparece como una pesadilla. Tal como lo afirma Jacques Nimier ([1] P- 63).

"¿Qué podremos cambiar de las presenta­ciones más rigurosas, más claras de tal teorema para que los comprendan aquéllos para quié­nes la matemática está asociada a un fantasma de destrucción y de muerte?".

2. Las defensas contra la matemática.

— "Por ejemplo, tengo que resolver un ejer­cicio de matemática... i Y bien! Tengo ins tantáneamente la impresión de que no lo lo• graré o que, si lo logro.-será por un golpe de la fortuna".

En las letras, en las artes, los artistas dejan su impronta que testimonian la personalidad subjetiva.

Las ciencias positivas requieren de quienes la practican eliminar su subjetividad por re­nunciamiento, por olvido de sí mismos.

La matemática es, para la mayoría, una disciplina alienante entre todas. Así ocurre porque procede por abstracción y esquemati- zación sucesivas, alcanzándose cada nivel por abandono del contenido del nivel inferior.

Por pérdida progresiva del contenido, las nociones,por la manera de abordarlas, se depu­ran, se simplifican, se vacían de sentido se­mántico, para llegar a un estado lógico que puede reducirse a una sintaxis.

Veamos de que manera se expresa lo dicho: ([1] P. 59).

E — "Creo que deben enseñarse las lenguas antes de aprender otra materia como la mate­mática que nos turba la mente".

N — ¿De qué manera perturba la mente la matemática?

e — "Perturban el espíritu porque la mate­mática no es más que lógica. La lógica es necesaria. Para construir las lenguas, es necesa­rio tener cierta prestancia espiritual; el espíritu anda mejor con las lenguas que con la mate­mática. Por ello, ésta viene a perturbar el espíritu".

Para el alumno débil, el formulismo apro­piado para dar un poco más de claridad y para permitir los cálculos, es una fuente de incom­prensión. ([1] p 52)

— "Pues yo no sé, se podría muy bien escribir la matemática en nuestra lengua en lugar de poner signos y yo pienso que si se lo hiciera así, habría más gente que comprende­ría. Porque es necesario aprender un montón de signos, un montón de expresiones matemá­ticas y muchos se equivocan de vez en cuan­do"

Tomar partido es también una protección ([1]p. 109, p. 13)

— "Eso se queda allá, eso pasa a tres millas de mí".

— "Para mí, la matemática es verdadera­mente otro mundo que siempre ha pasado lejos de mí".

— "La matemática: lo considero como algo superfluo, que está de más; no es porque ten­ga un poco de admiración por aquéllos que hacen matemática que iré a decir que voy hacer mucha matemática para ser absoluta­mente parecido a ellos, no, no lo creo. Since­ramente, yo no soy fuerte en matemática, eso no me domestica y yo no me porto, más mal... eso depende. ..

Un buen remedio es la compensación ([1] P. 83):

—"Asimismo se llega a cierto orgullo de ser nulo en matemática. Por ejemplo, uno se dice: a mí me gusta la literatura y se abando­na completamente".

— "Los que no aman a la matemática, la rechazan. No es cuestión de obligarlos, la re­chazan".

importante. Cuando se habla de la matemática se la piensa como la materia más importante, en la cual se debe trabajar más. Además uno se imagina que la matemática es la materia más difícil, la que se envidia más, le que se desea más."

— "Cuando se sabe que alguien es bueno en matemática, se dice: él es bueno en matemáti­ca. Porque se sabe que la matemática es un poco el futuro en este momento con los orde­nadores; entonces los padres dicen: "es una lástima que no seas bueno en matemática. ¿Qué es lo que no comprendes en ella? ".

En ese clima de valorización de la matemá­tica, ser nulo es'una tara ([1] p. 142):

-"Siempre. .. Desde la escuela primaria, siempre eso: una especie de marca: nulo en matemática, inepto para la matemática y luego ([1]p. 147):

E — "Justamente el peligro es que tengo miedo, me he habituado... es una especie de estado que dura desde hace años; yo soy con­fiado en francés y en lenguas y me siento del todo seguro, por tanto no me hago del todo a la idea de cambiar la situación; si soy un ñoco mas confiado en matemática, ¿qué p

N —"¿Cuál es el riesgo entonces? ,JE — "Justamente, tengo temor de per­

der. .

me

a

La mejor compensación es desvalorizar a la matemática para no sentir su falta: ([1] p. 107)

- "Jamás pude aceptar la idea que eso pu­diera ser algo importante".

- "Porque amo a mi idioma y, desde un punto de vista ideológico, pienso que tiene problemas que son mucho más importantes que la matemática y en dase de literatura se puede hablar de ellos mientras que en mate­mática no sé que eso pudiera ocurrir".

Es verdad que, en nuestra enseñanza, la matemática no se emplea para estudiar proble­mas vitales importantes. Ello conduce a los alumnos a opiniones radicales ([1] p. 107):

- "Para mí la x y las y no representan nada; se trata de algo completamente abstrac-

3. La alegría matemática

Hasta ahora, hemos abierto el sumario con­tra la disciplina matemática. Era necesario ha­cerlo para experimentar todos los pesos con que actúa sobre los alumnos que la sufren. Por inquietud de equidad, es justo hacer oír la voz de los alumnos "buenos en matemática".

Este testimonio es adecuado para reconfor­tar a los profesores de matemática, algunos de los cuales podrían no tener buena conciencia en el fondo de sí mismos. Se sentirán felices al sentir elogiar las alegrías matemáticas que ellos experimentan. ([1] p. 90):

E - "En el fondo, se crea de tal manera el problema, se crea Ia solución. En fin, ella proviene de nosotros, son como los objetos que se hacen, totalmente. ..

N — ¿En el fondo, vosotros fabricáis algo?E — Sí, al hacer matemática se fabrica algo.Entonces, es por eso... Gusta mucho, a

todo el mundo le gusta mucho fabricar algo, yo creo... Porque si no se llegara a fabricar ese algo, en fin..., hallar..hallar la paz, tener justamente la alegría de haberlo hecho, yo creo que no se hará más. *

Todos los alumnos que no comprenden la matemática no parecen sufrir por ello. Algu­nos poseen medios psicológicos de defensa.

Olvidar y perder de vista es una manera de tomar distancias ([(1.), p. 80, 82, 83]).“ "P°r ejemplo, lo que se hace en este

•momento: los conjuntos, eso me llega, eso pasa. Yo pienso matemática, pienso en la cosa en grueso y después, eso es todo, eso va".

— "Yo aprendía mi lección la víspera de la interrogación y eso era todo. Después, se re­partía por un tiempo... y luego a/ final de cuarto se llegaba a un desinterés completo. Allí yo ya había abandonado del todo a la matemática".

to".— "Era preciso copiar teoremas que eran

del todo idiotas".Ello lleva hasta la interpelación:— "Vosotros, como profesores de matemáti­

ca ¿cree/s verdaderamente en todo esos teore­mas? "

La agresividad con respecto a la matemática no data de hoy. Sin duda, se ve reforzada por nuestra sociedad técnica en la cual los padres, ansiosamente, encomian los méritos, el presti­gio y la potencia de la reina de las ciencias ([1],P. 10).

— "Mis padres piensan que es una materia

¿Qué ocurre con el alumno asediado por el bosque de signos cuando éstos, en lugar de ser introducidos con un significado, se convierten en una tipografía en la cual el automatismo de las manipulaciones ocupa el lugar de la com­prensión de las operaciones algebraicas?

i Escuchad I ([ 1 ] p. 47)— "En matemática se repite un truco; en

verdad es la eliminación del cráneo".

1213

considerar las aproximaciones o las ignorancias de los alumnos como injurias peersonales.

2. La hegemonía de los maestros

naza, un peligro, una barrera. Es un obstáculo, un adversario que es necesario vencer ([1]p. 86, 87).

- "Hay dos soluciones: uno halla o no ha­lla. Simplemente, es mi temperamento el que hace eso, pero si no la hallo, me siento verda­deramente vencido, Incluso malhumorado, ver­daderamente malhumorado de no haberla ha­llado. Luego, si la hallo, me siento verdadera­mente vencedor... Si he hecho un proble­ma. .es un poco normal, por otra parte..., un problema que es difícil, y en el que he logrado éxito, es evidente que seré. .. que me sentiré vencedor".

Incluso un grito de triunfo:- "Me siento vencedor, verdaderamente

cuando he logrado... Desde el momento en que os asignáis un objetivo, si lo alcanzáis, es prácticamente evidente que sentiréis alegría... Si obtenéis éxito, verdaderamente os sentiréis feliz".

plicación con respecto a la adición: cualesquie­ra sean los números a, b y c se tiene

(a + b)c ° ac + be y traducida en estilo de obligación:

"Para multiplicar una suma por un número, se multiplica cada uno de los términos de la suma y se suman los productos obtenidos".

Esta regla imperativa es una tontería como lo muestra el siguiente ejemplo:

(47 + 53) X 7 = 100 X 7 =700

"Si verdaderamente no se llega... en el fon­do no se quiere, se abandona porque no se logra salir..hacer algo de por sí. Y eso enerva, eso irrita; se prefiere hacer algo que nos permita hacer algo por nosotros mismos. Si no se logra, se está obligado a demandar la solución a otros".

N — 'Ustedes tienen i a impresión de fabricar algo, pero algo que proviene de ustedes."

E — Ah, si que sale de nosotros. Si. Como algo que se ha pensado, que se ha hallado, que se ha mostrado. Porque un razonamiento ma­temático, eso se muestra... En fin, yo pienso. Entonces, algo que se ha mostrado, que se ha hecho por sí mismo... Si, porque en un pro­blema, con toda seguridad, la partida no viene de nosotros, pero ¡o que debe hacerse luego, lo más importante, eso lo debemos hacer no­sotros. Eso es lo que da satisfacción, una satis­facción personal de haber hecho lo que se hace."

Pero quedan adultos que hacen pesar sobre los alumnos su superioridad matemática.

Escuchad este testimonio ([1] p. 83):— "El joven que llega con las manos en los

bolsillos, que plantea un problema de veinte líneas en el pizarrón y que lo resuelve como si nada en cinco minutos para... fastidiarnos durante horas, eso me hace pensar en un jue­go: el gato y el ratón.

El gato es el profesor, y luego yo... Salud a los pillue/os. Hay quien lo ha resuelto fácil­mente y ustedes, ustedes no lo logran... ¡En fin, no es una generalidad! En todo caso, para mí, lo que yo tengo como experiencia matemática, es* eso.

Y qu¿ pensar de esta confidencia ([1] P- 70):

"Una cosa me ha sorprendido: había una niña que tenía buenas notas al comenzar y que luego ya no fue fuerte. Entonces, el pro­fesor le dijo: "creía que eres inteligente y no lo eres". Yo reaccioné: si la matemática es Iá inteligencia, entonces no debo tener mucha. Estaba en un momento de descorazonamiento y luego me dije: "ando bien en francés, en lenguas; no hay razón, debe haber varias clases de inteligencia".

Feliz el caso en que un niño halla en sí la compensación necesaria para un juicio sobre su inteligencia que podría señalarla en forma definitiva.

Un enunciado bajo forma de autorización."Para multiplicar una suma por un número,

se puede multiplicar cada término de la suma por ese número y sumar los productos obteni­dos. Esta regla polariza la lectura de izquierda a derecha de la igualdad simétrica

Esta lectura pasa en silencio la lectura de derecha a izquierda relativa a la puesta en evidencia del factor c. ¿Por qué no enunciar simplemente la distributividad no como regla sino como proposición lógica?

"El producto de una suma por un factor es igual a la suma de los productos por ese factor de los términos de la suma inicial.

En lugar de interponer entre el alumno y la matemática su propia barrera de autoridad, el profesor debe mostrar al alumno que el mismo está sometido a la autoridad de la matemática. A la vez que se evita al alumno el impacto de su dominación de adulto y se coloca a su lado ante la jurisdicción matemática.

Si no es necesario mecanizar el aprendizaje matemático mediante una teleguía de órdenes e interdicciones, no conviene sin embargo abandonarlo solo y sin ayuda ante la matemá­tica cuando la tarea es demasiado pesada para una inteligencia joven.

Los maestros que tienen un contacto peda­gógico y humano adaptado a cada alumno saben intuitivamente lo que conviene decir a uno para asegurarlo, a otro para estimularlo, a un tercero para desafiarlo, a un -último para animarlo en un esfuerzo hasta entonces poco productivo.

Semejante testimonio, con la espontaneidad del lenguaje hablado que se emplea para ex­presarse mejor, describe a las maravillas la sa­tisfacción del que "hace algo" y lo afirma a sí mismo y a los otros.

La alegría narcisista del creador no está en la cosa creada. Está en la creación en sí.

Aquí no se trata de amar, de manera con­templativa y platónica, a la matemática hecha sino de amar el hacer la matemática. En ver­dad, el móvil psicológico profundo, ¿no es cómo siempre amarse a través de lo que se realiza bien?

Como lo subraya J. Nimier, la matemática procura muchas alegrías ([1] p. 126).

Alegría de ver claro.— "Ayer, hice algo así como un capítulo

que no se había hecho y verdaderamente no comprendía bien del todo y ayer llegué a comprenderlo. Yo no comprendía, es decir, había sobre todo un punto que estaba confuso y he logrado, por mí mismo, llegar a volverlo claro y experimenté esa satisfacción/'

Alegría de lo imprevisto, orgullo de supe-

II LOS MAESTROS

1 — Una maestría difícil de adquirir

La variedad y abundancia de la prolifera­ción matemática son tales que resulta humana­mente imposible adquirir un conocimiento su­ficientemente profundo de los numerosos do­minios de creación.

Tener cultura matemática al día requiere considerable esfuerzo. Es más fácil tener bue­na información de los temas de los programas de la enseñanza secundaria y poseer razonable­mente dominio al precio de un esfuerzo huma­namente posible. Un esfuerzo tal es siempre redituable gracias a las estructuras fundamen­tales que aseguran mucha unidad al conjunto de esos temas lo mismo que cohesión y, por consiguiente, inteligibilidad.

Se sabe qúe, por deficiencias de formación, la enseñanza de la matemática no está siempre asegurada mediante profesores satisfactoria­mente formados y en número suficiente.

De toda forma, el docente, cualquiera sea, debería, en vista del esfuerzo que ha debido hacer para adquirir sus conocimientos de temática moderna, estar lo suficientemente próximo al alumno que aborda esta materia.

Infortunadamente, no siempre es así.Sabemos que uno de los rasgos característi­

cos del docente es el narcisismo.El es quien nos lleva a hacer los mejores

cursos que podemos. Si somos conciernes de ello, podemos limitar sus efectos evitando

3. La autoridad en matemática

En matemática, cuando discutimos una pro­piedad o una demostración, la misma matemá­tica debe ser el árbitro siempre. El maestro no tiene derecho a imponer su autoridad para que prevalezca su punto de vista. También, es ne­cesario que tenga la simplicidad y la finura de reconocer, si se produce el caso, que el alum­no tiene razón.

Hay profesores que, en lugar de adiestrar al alumno para que recurra a las propiedades matemáticas, se limitan a respondér ellos mis­mos a las múltiples cuestiones: ¿se puede ha­cer esto? ¿Entonces, se debe hacer aquéllo? El conocimiento de la matemática está enton­ces disfrazado en un código de obligaciones, de autorizaciones y de interdicciones.

Por ejemplo, la distributividad de la multi-

*

rarse.— "Si, de lo imprevisto. Y además no se

sabe si se va a llegar. No se sabe qué se trata de hallar, y además la alegría una vez que se lo ha hallado. .., de poder decir que se lo ha hecho, de poder explicarlo a los demás... Eso es lo que empuja, que empuja a hacer.. . En fin, eso requiere particularmente superarse des­pués de clasificar las ideas".

Para los alumnos cuya capacidad los vuelve combativos, la matemática ya no es una ame-

4. Los maestros pensantesLos verdaderos maestros de matemática,

son, cada uno a su manera, con los medios que le da su ciencia y su personalidad, maes­tros para aprender a pensar. Cerca de sus jóve­nes discípulos, saben guiarlos cordialmente y hacerles descubrir cómo se investiga, cómo se plantean cuestiones, cómo se adivina, cómo se controla, cómo se construye una demostra-

ma-

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falta un conocimiento plástico, que se modele suficientemente, sobre cada alumno, para per­mitirnos relacionarnos con él, obtener su con­fianza, un intercambio humano.

el entusiasmo sonriente y comunicativo de su convicción einsteiniana.

Los maestros de pruebas, muy diferentes entre sí, nos marcaban muy fuertemente cada uno a su manera. Uno, que era jovial y vivaz,

mostraba los vínculos entre la matemática y la física y cómo se conducía con convicción y firmeza una clase de tercer año en que trabaja la pubertad. El segundo, dictaba la clase con levitón negro y cuello blanco. Neto en espíritu como en moral y en física, era amado y temido por sus jóvenes discípulos a quienes volvía a hallar en los campos a pleno aire del ateneo donde, en pantalones cortos como un scout inglés, les ayudaba con mano firme a armar una tienda de campaña o a vadear un río. El último claudicaba un poco más pero tenía una inteligencia brillante, una bella voz y una cultura más vasta que la de un profesor de letras.

Si me he permitido evocar a los maestros que tuve la buena fortuna de tener, no es sólo para expresar el reconocimiento que les debo, sino también para mostrar cuán diversos eran en su humanidad. Más que la matemática que me enseñaron, su verdadero mensaje estaba en su humanidad.

otra parte, ofrecen, en la infancia y en la adolescencia, una plasticidad suficiente para permitir una acción educativa.

Si se puede decir, de manera general, que el carácter condiciona las conductas, se trata de una extrapolación gratuita afirmar que las de­termina de manera absoluta.

ción, cómo se resuelve un problema. Su tacto, su arte, está más bien hecho de psicología, de contacto humano que de matemática y de lógica.

Que cada uno de nosotros recuerde a sus profesores y maestros.

Mientras os hablo, veo con emoción sus retratos que desfilan en mí memoria donde los reencuentro vivos. Son recuerdos muy anti-

2. Los caracteresnosPara ayudar a un profesor en sus relaciones

con un alumno, es necesario además del cono­cimiento de las funciones de la psicología ge­neral de todos los hombres, el conocimiento de lo que caracteriza a la psicología de un alumno considerado particularmente. No se trata, seguramente, de seguir los mil y un detalles de la psicología individual, sino de buscar el carácter, es decir, por definición, el conjunto de las maneras habituales de sentir, de actuar, de pensai^de un individuo. [2]

La caracterología ha dado lugar a muchas corrientes de investigación.

a) Determinación de algunas propiedades generales de conductas humanas que permitan caracterizar en conjunto la conducta indivi­dual.

3. Los factores caractero/ógicos de estructura

El punto de partida de los trabajos de la escuela francesa ha sido las investigaciones em­prendidas por el psicológo G. Heymans y el psiquiátra E. Wiersma^de Groninga ([4], [5])

Los resultados han mostrado que los múlti­ples rasgos del carácter no están distribuidos al azar en un individuo. Presentan cierta afinidad entre ellos que los agrupan bajo un rasgo más general o factor caracterología) de la estructu­ra. Las encuestas han separado tres factores de estructura fundamentales. Son la emotividad, la actividad y la resonancia de las representa­ciones.

Para los que no conocen la cuestión, me permitiré recordar las grandes líneas, lo que permitirá, con fines de crítica, atestiguar vues­tro carácter.

guos.El primero, el más lamentable de todos,

suscita siempre la misma conmiseración. Prepa­raba escrupulosamente sus cursos; tenía un piza­rrón modelo en donde dibujaba las figuras en colores durante los recreos, desencadenaba un escándalo épico de parte de los muchachos bravos, sin piedad por su flaqueza. Ese profe­sor había descubierto una demostración delpostulado de Euclides y nunca comprendió que no valía nada.

Nuestro profesor de ciencias era la humani­dad sonriente, de una elegancia de raíces mora­les. Trabajábamos todos juntos en un debate que conducía con tanta facilidad natural que pasaba desapercibida. Admiraba las bellas pro­piedades y nos hacía participar de su alegría de comprenderlas. Para preguntarnos si había­mos comprendido, no planteaba ninguna cues­tión. Nos miraba alternativamente con su son­risa luminosa acariciándose la barbilla y ha ciendo un gesto de connivencia; luego nos preguntaba: "¿Y ahora?" La respuesta era fija como un ceremonial. "Es necesario ponerla en la memoria, señor". Todo esto me ha hecho pensar a menudo en la frase de Pascal: "des­pués de darme la alegría de comprender, es necesario darme la fatiga de aprender".

En la Universidad, los maestros difieren mucho entre sí. Nuestro "gran maestro" nos amaba tanto como amaba a la matemática. Nos hizo exponer a nosotros mismos durante cuatro años todos sus cursos: geometría analí­tica, mecánica, geometría proyectiva, geome­tría diferencial, asegurándose la contradicción. ¡Vigorosa contradicción, afectuosa y sin pie­

dad! Ella nos abrió el arte de presentar y de demostrar las proposiciones matemáticas.

Nuestro maestro de intuición enseñaba geo­metría. Poblaba el espacio con gestos de todas sus manos: toda propiedad aparecía con evi­dencia.

Nuestro maestro de rigor fue nuestro profe­sor de análisis, duplicado de un lógico enreda­do en las controversias de Brouwer. Los profe­sores de física eran dos sabios; uno tenía la precisión amena del experimentador; el otro,

b} Estudio de relaciones entre los diferen­tes rasgos de carácter.

c) Investigación de las causas constituciona­les o psicológicas que provocan las conductas individuales.

La escuela francesa de caracterología de Le Senne escribió una serie de obras destinadas a

III.- LOS ALUMNOS La emotividad

Todo suceso del que tomemos conciencia produce en nosotros una emoción más o me­nos fuerte. La intensidad de esta conmoción con respecto a su objeto permite marcar la mayor o menor emotividad.

Un emotivo es, en circunstancias dadas, más violentamente inquieto que el promedio. Se turbará por motivos que no tocan a la mayoría de los hombres y de los cuales es el primero en saber que no valen la pena. Las reacciones exteriores del emotivo son a menu­do vivas (gritos, lágrimas, explosiones de ale­gría, rubor, palidez, movimiento). El emotivo se entusiasma y se indigna fácilmente, pasa fácilmente de la alegría a la tristeza, tiene frecuentemente el sentimiento de estar malhu­morado; es susceptible, fácilmente ofendido. Está obsedido por las dudas con respecto a actos sin importancia, se angustia ante una nueva tarea. La timidez, el miedo, pueden inhibirlo completamente.

• El vínculo de los emotivos con el medio que le rodea es fuerte. Pueden hallar en él una fuente de energía o sentir dolorosamente cuán permeables son y, por consiguiente, cuan vul­nerables.

1. Conocimiento de ios alumnosFrente a la matemática, frente al maestro,

frente al medio, frente a nuestro mundo, los alumnos son niños a menudo desguarnecidos.

Los niños nos preocupan o nos alegran, nos exceden, nos consuelan, nos desesperan o nos reconfortan. Así es porque sus hechos o ges­tos, sus inquietudes, sus alegrías, su desarrollo, su confianza, sus problemas todos han surgido de los nuestros que ellos, muy a menudo, no han hecho más jque expresar ante nosotros. Tales como son, son productos de nuestra sociedad y de nosostros mismos. No tenemos más que a ellos como portadores de nuestras esperanzas, i Debemos darles, para su vida el ímpetu que nos resta!.

Nuestra función es que el mayor número de ellos adquiera el incomparable instrumen­to de pensamiento y de acción que es la matemática. Pero nuestra ciencia, por vasta y sólida que sea, permanecerá vana si no conoce­mos lo suficiente a nuestros alumnos que nuestros compañeros de trabajo. Nuestra ense­ñanza no se dirige al alumno, concepto abs­tracto, sino a los alumnos, niños o adolescen­tes concretos, presentes en una clase. Nos hace

los docentes; esta caracterología se dedica, en efecto, al estudio de los caracteres generales de las conductas que se pueden observar directa­mente en la vida corriente, en particular, en­una clase, lo que permite a los profesores sacar partido y prever y comprender los com­portamientos de sus alumnos. [2], [3], [4],[5], [6], [7],

Otras caracterologías, que se piensan más profundas, requieren los exámenes más pene­trantes del psicólogo y del psicoanalista.

Las encuestas caracterologías que nosotros hemos conducido sucesivamente durante años con los alumnos de las clases superiores del Atenée du Centre han mostrado variedad de rasgos caracterológicos. Esta variación sensible sobre todo en el curso de la pubertad, se atenúa en los dos años superiores, especial­mente en el último. Presenta, en la mayoría de los casos, una evolución hacia la estabili­dad.son

En efecto, por una parte, los caracteres aparecen como bastante permanentes como para que se pueda basarse sobre su figura relativa en la previsión de las conductas. Por

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deben hacer un esfuerzo enorme para momentos/ un golpe de vista pronto y seguro, tiene más raramente el arte de explotar los hallazgos, mientras que el secundario puede sacar partido de sus recuerdos y tiene inten­ciones que llevan lejos. Esto parece explicar que en el pasaje de las clases inferiores a las superiores,Jos primarios, que tenían el primer papel, pasan a segundo plano. Tanto más cuanto que las motivaciones lejanas, la consi­deración del futuro y de la carrera, que actúan sobre los secundarios, los dejan indiferentes.

Emotivo, activo, secundario: E A S;Emotivo, activo, primario: EAP:Emotivo, no activo, secundario: E/? AS, Emotivo, no activo, primario: E n A P No emotivo, activo, secundario: n E A S No emotivo, activo, primario: n E A P No emotivo, no activo, secundario: n En A No emotivo, no activo, primario: n E n A P.

A cada una de estas asociaciones correspon­de un tipo de carácter perfectamente definido. Estos tipos caracterológicos son conceptos abs­tractos, resultantes de una clasificación'dicbtó- mica. No es necesario esperar hallarlos realiza­dos rigurosamente por individuos concretos. En verdad, ¿stos pueden estar ubicados relati­vamente con respecto a los tipos puros. Estos últimos constituyen, pues, un sistema de refe­rencia al cual se relacionan los tipos reales.

El sistema de tipos de Heymans, Wiersma es en la práctica un marco de referencia claro. Para facilitar el lenguaje, los autores introduje-

denominaciones particulares, éstas son:

El no emotivo, conserva su calma y no le perturban más que los sucesos graves, acepta tranquilamente las cosas como son; es de hu­mor parejo y se muestra razonable; está más aislado de lo real, más abrigado, más autóno-

poseenun resultado flojo. Son a menudo alumnos de largo trabajo improductivo, aquellos cuyos pa­dres dicen: "si supiera como trabaja, señor, y no llega nunca".

mo. La resonancia de las representacionesLa emotividad se atenúa en el curso de la vida o, por lo menos, reduce sus manifestacio­nes. La mayoría de los adolescentes son emo­tivos. Su emotividad les da el empuje y el entusiasmo. No obstante, son sobre todo sensi­bles a la vulnerabilidad que provoca. Sin ex­cepción, los estudiantes que respondieron a mis encuestas, incluso los no emotivos, han deseado disminuir su emotividad.

Sin duda, es preciso ver allí el deseo de dominarse a sí mismos, como el adulto. ¿No se debe también a que la emotividad, y por tanto el papel dinámico, es tan importante en la investigación, vuelve también muy sensible a la menor perturbación y no permite una con­centración fácil?

Todas nuestras representaciones y nuestras impresiones ejercen sobre nosotros dos accio-

Una acción inmediata que ocurre cuando las representaciones están efectivamente pre-

la conciencia clara; es su función

nes

sentes enprimaria. Una acción diferida o secundaria que

prolonga cuando las representaciones han desaparecido del campo de la conciencia.

Estas dos funciones se denominan primari- dad y secundaridad. Según que. un individuo

mudo para la primaridad o la secundari­dad, se dice de él que es primario o secunda-

Un secundario no olvida ni un aliento niuna reprimenda. Es preciso saber que las pala­bras del maestro estén libradas a su pensa­miento interior, que no es necesario ni agran­darlas ni repetirlas, mientras que el primario necesita réditos pacientes. Sin considerar la malicia que el profesor imagina, se desliga a

de toda promesa, olvida los consejos,

se

sea

rio. vecespierde de vista los trabajos lejanos. Los estu­dios, sobre todo los matemáticos, desarrollan

secundaridad adquirida, sin hacer desapa- realmente la primaridad poseída.

En el primario, un dato mental presente actualmente en la conciencia rechaza los efec­tos de datos pasados. El primario vive intensa­mente el momento presente. Es espontáneo, sin rencor, rápido y superficial. Sus alegrías, sus penas, sus cóleras, sus buenas resoluciones son todas pasajeras, exteriores y sin prolonga­ción.

unaLa actividad ronrecer

La actividad aparente es el comportamiento del que actúa y se agita mucho; debe distin­guirse con cuidado de la actividad en el senti­do caracterológico que es la disposición a ac­tuar por sí mismo con comodidad.

El activo vive para actuar, el inactivo actúa contra su voluntad. No hay que equivocarse; el inactivo caracterológico, si es emotivo, po­drá tener una actividad exterior desbordante siempre que lo empuje su emotividad, pero, luego de su esfuerzo, quedará abatido, incapaz de reaccionar durante un tiempo. Por lo con­trario, el activo se recupera fácilmente, tiene el sueño tranquilo, reparador, puede velar sin gran fatiga: la acción le cuesta poco. Está incesantemente ocupado; sin otra obligación que su deseo de actuar controla el trabajo que debe hacer. Las dificultades le estimulan y toma decisiones inmediatas y las ejecuta sobre el campo. La visión del trabajo de otros lo incita a pasar a la acción.

Para el inactivo, la distracción pasiva, la contemplación inmóvil del trabajo de otros son los empleos del tiempo más agradable. El pasaje de la decisión a la ejecución es penosa. Es llevado a diferir lo que debe hacer y se descorazona fácilmente ante la menor dificul­tad.

Sin embargo, conservo el recuerdo de esos alumnos, bohemios de la matemática que, pese a todos mis ¡esfuerzos y mis alientos, jamás han logrado la iluminación del hallazgo.

Apasionado: E A S, Colérico: E A P, Sentimental: En AS, Nervioso: E n A P, Flemático: n E A S Sanguíneo: n E A P Apático: n E n A S, Amorfo: n E n A P.

En el secundario, hay remanencia de! dato mental. La secundaridad liga su acción presen­te con el pasado y la proyecta en el futuro. Es el hombre de los recuerdos y las previsiones olvida difícilmente las injurias y los beneficios hace planes, programas. Sus emociones, canali zadas al instante, son más inferiores y se po nen en evidencia mientras duran. Sus reaccio nes son lentas, profundas, organizadas.

La primaridad, ligada a la actividad, da alumnos reactivos, fogosos, siempre dispuestos a responder, a intervenir, a tomar la palabra para decir una irreflexión o proponer una bue­na idea.

En matemática, los primarios caracterológi­cos son los que animan las clases inferiores con la vivacidad de sus respuestas.

La secundaridad,* sobre todo con ausencia de emotividad, hace alumnos reflexivos que se callan, se concentran y rumian, los ojos cerra­dos, cuando se plantea la cuestión. Sus conoci­mientos están organizados y conservados por una memoria fiel. Si su actividad es suficiente, saben desarrollar una idea, seguir el hilo de una demostración sin perder de vista lo q ha dado, lo que se pide, lo que se ha adquiri­do, lo que resta por hacer.

Si el primario puede tener, en sus buenos

Los tipos fundamentales

Cada uno de los factores caracterológicos: emotividad, actividad, resonancia, puede pre­sentar grados de mayor o menor intensidad.

Todo individuo es más o menos emotivo, más o menos activo, más o menos primario o se­cundario.

Para representar fácilmente los recursos del marco de referencia psicológicos constituido por los ocho tipos fundamentales, podemos recurrir a una figura geométrica.

Sean tres aristas de un cubo que parten de un mismo vértice. Ubiquemos ejes correspon­dientes respectivamente a los tres factores: E A S. Convenimos que el vértice origen repre­senta 'al amorfo nEnAP y que los segundos vértices sobre los ejes E, A, S, corresponden respectivamente a Er?AP (nervioso), nEAP (sanguíneo), nEnAS (apático).

En el extremo de una misma diagonal, co­locamos los caracteres antagónicos que se opo­nen para cada uno de los factores tales que:

EAS (apasionado) y nEnAP (amorfo)EAP (colérico) y nEnAS (apático) nEAS (flemático) y EnAP (nervioso) nEAP (sanguíneo) y EnAS (sentimental)

Si, esquemáticamente no consideramos más que los extremos, esos factores no presentarán más que dos intensidades:<v

emotivo: E activo: A secundario: S

no emotivo: n E no activo: n A primario: P

¿Es necesario decirlo? La actividad caracte- rológica es una disposición preciosa, una ga­rantía de éxito en los estudios y especialmente en los estudios de matemática. Los que no la

Asociemos de todas las maneras posibles una intensidad extrema de un factor con cada una de las intensidades de los otros dos facto­res; obtenemos ocho casos:

ue se

1819

La rapidez del vigor de su inteligencia, su sentido del concreto, su reflexión, su memoria organizada de buen alumno, a menudo esce-

A que los profesores no tengan que congratularse de la docilidad del flemático, conviene que cultiven su emotividad débil para no dejarlos que se hundan en las tareas escolares.

ASanguíneo

n E A F }>lente estudiante en letras, ciencias naturales y matemática. Trabaja solo, conscientemente pa-

Colérico E AP

/ ra ensayar con placer sus jóvenes fuerzas. Gus­ta de la geometría, que habla a su gusto por lo concreto y que a menudo requiere tanta imaginación como lógica.

5. La oposición a la matemáticaLos caracteres más naturalmente cerrados si

no hostiles a la matemática, son, en forma general, los amorfos (nEnAP) y los nerviosos (EnAP) que carecen a la vez de actividad y de secundaridad. Los coléricos (EAP) y los senti­mentales (EnAS) muestran a menudo poco gusto natural debido a su emotividad que no es servida por la primaridad de los primeros y por la falta de actividades de los segundos.

En fin, encbntramos jentre los sanguíneos . (nEAP) y los apáticos (nBnAS), en quienes la emotividad es débil, algunos alumnos que afir­man disposiciones medias en matemática, espe­cialmente en las clases inferiores.

En las clases siguientes, la falta de secunda­ridad de los sanguíneos y la actividad de los apáticos, no les permite sostener sus promesas de los primeros años.

ApasionadoFlemático J n E AS E AS

Los flemáticos (nEAS)

El joven flemático muestra muy pronto que sabe razonar, su inteligencia es conceptual me­lódico, quizá un poco lento pero seguro. Su sentido del orden, su puntualidad, su necesi­dad de hábitos, hacen del flemático el más escolar de los alumnos: regular, dócil y traba­jador. Muy objetivo, desprovisto de afectación, dignq de fe, tiene el sentido del humor y de la gracia. Está lleno de paciencia y de tenacidad. Le gustan los sistemas abstractos, los princi­pios, las reglas y las leyes. Adquiere un verda­dero placer por la matemática. Su sentido mo­ral es elevado, su civismo profundo. Por más

E n A PE n.AP -->EP NerviosoSentí njental/

/Apático n E n A S ! E nAP

Amorfo i

S

examinen con objetividad en qué medida po­seen esos factores. Podemos también releer desde ese punto de vista declaraciones hechas por los alumnos.

En verdad, en los dos tipos caracterológicos donde hay más matemáticos es en los apasio­nados y en los flemáticos. ([2]).

Daremos la filiación ([10]).

Un individuo concreto en el que los facto­res EAS presentan, en escalas cualitativas da­das, intensidades, determinadas se representará por un puntu del cubo. De esa manera, se verá cómo se ubica con respecto a los tipos de referencia.

El estudio de las correlaciones entre los rasgos de carácter ha permitido determinar los más frecuentes de cada tipo y ha dado una base estadística al funcionamiento de cada uno.

AA

EAPnE AP

Los apasionados (EAS)

Desde el final de la infancia, el apasionado se manifiesta por un conjunto de rasgos: im­presiones fuertes, donde la observación, acción decidida y vigorosa, espíritu de continuación, amor de la independencia y gusto por la pun­tualidad, ausencia de vanidad unida a una or- gullosa ¡dea de sí mismo, buena fe, serviciali- dad, bondad para con los débiles, amistad ha­cia los animales ‘amor hacia la familia y la patria.

Adolescente, el apasionado tiene una activi­dad que anima su razón que le hace elegir sus actos. Tiene el sentido del derecho y de la justicia.

A menudo bien adaptado a sus condiscípu­los y al maestro, puede, en forma reflexiva y sin ostentación, por una buena causa, afrontar a un grupo de escándalosos.

La escuela francesa de caracterología ha establecido estos señalamientos con mucho cuidado y en forma directamente usable por el profesor. Muchas obras de caracterología rela­tivas a la educación muestran cuán preciosos >Euson los conocimientos en la materia para com­prender a los ajumnos y sus problemas ([4][5] [6] [7])

4. Predisposición para la matemáticaDe acuerdo con la descripción hecha, la

actividad y la secundaridad son factores que dan a la inteligencia investida por un carácter que los posee una predisposición para hacer matemática con facilidad y éxito.

Es interesante que los profesores de mate­mática que se sientan dotados para esa ciencia,

En AS

S

2120

contrato que tenemos con los alumnos mucho más todavía que con la sociedad. El contrato es de tomarlos de la mano allí donde ellos están y humanamente, con todas nuestras fuerzas, de todo corazón, marchar con ellos como ellos pueden, lo más lejos posible en el camino de su formación como hombres.

2. El rendimiento del profesor¿Cómo apreciar nuestro rendimiento como

profesor de matemática? Esta evaluación es muy difícil ([8]).

¿Basta observar a un profesor en acción desde el fondo de su clase? Ese juicio frag­mentario podrá ser muy diferente si es produ­cido por un inspector, un director, un colega. Por otra parte, la presencia de un observador extraño es un elemento de perturbación en el comportamiento de los alumnos y del profe-

Sin embargo, la eficacia de un profesor es cuestión fundamental pues muchas deci­

siones descansan, o deberán descansar, sobre ellos en lo que concierne a la formación, pro­moción y readiestramiento de los docentes, sin hablar de la puesta en vigencia de programas, uso de manuales, etc.

A causa de la importancia del ' problema, el School Mathematies Study Group, uno de los equipos que, en los Estados Unidos, ha desple­gado más medios fiara la modernización de la enseñanza, ha conducido desde 1962 una vas­ta encuesta que duró 5 años ([8]).

Puesto que los juicios sobre la eficacia de un profesor están sujetos a caución, se decidió medir esa eficacia sólo en función de las ad­quisiciones que testimonian los alumnos. Esta adquisición se apreció en dos puntos: la capa­cidad para el cálculo y la comprensión de los conceptos matemáticos. Estos elementos, es preciso decirlo, por fundamentales que sean, no constituyen más que una ínfima parte de los objetivos de la enseñanza de la matemáti-

y el grupo de control .recibieron el mismo programa de matemática y usaron el mismo libro. La única diferencia es que los grupos experimentales tuvieron dos años para estudiar la misma materia que los grupos de control la desarrollaron en un año. Esos grupos de con­trol entran en acción un año después que los grupos experimentales.

El análisis de los resultados de los tests empleados mostró que en séptimo año los alumnos del grupo experimental respondían tan bien, pero no del todo, como los estudian­tes del grupo de control. Además, se vio que los estudiantes del grupo experimental habían aprendido mucho más en dos años que lo que habían aprendido en un año ordinario. En noveno año, los estudiantes del grupo experi­mental tuvieron, en la batería de tests finales, mejores resultados que los de los grupos de control.

Esta experiencia muestra cómo se puede llevar a un buen nivel a un alumno débil siempre que se le permita consagrar a un pro­grama previsto para un año los dos años que le son necesarios. Este sistema de dos años de estudio por uno es más eficaz que el de repeti­ción del año que humilla al alumno haciendo recomenzar al mismo ritmo todas las materias.

enseñanza, formación superior al mínimo re­querido por la función, readiestramiento re­ciente, etc.; la segunda, de la que se desconta­ba cierto efecto sobre el rendimiento de los alumnos, consistía en informes sobre la perso­nalidad del profesor y sus aptitudes relativas a la enseñanza de la matemática y de los alum­nos. Esta última información fue extraída de respuestas del profesor a largos cuestionarios.

El análisis regresivo mostró que en todos los casos, cierta extensa cantidad de infor­mación relativa a los profesores no daba cuen­tas más que de una pequeña fracción de la variación, en la mayoría de los casos menor que el todo en la eficacia de un docente.

Comprobamos'que los resultados engañosos de esta larga encuesta, obtenidos con la ayuda de medios considerables, no se referían más que a la habilidad de los alumnos en el cálculo y a la comprensión de los conceptos matemá­ticos.

Hemos ubicado en la figura las disposicio­nes caracterológicas .para la matemática me­diante círculos o circunferencias ubicadas en los vértices del cubo de referencia. Esos círcu­los o circunferencias (grandes o pequeñas) in­dican respectivamente una disposición favora­ble o no.

La configuración muestra claramente como funcional la oposición de los caracteres antago­nistas.

6. Capacidad para aprender matemáticaLa caracterología confirma la existencia de

tipos más dispuestos a la matemática y acredi­ta así, en cierta forma, la existencia del grano congénito.

No es necesario concluir de ello que la capacidad para aprender faltaría en quienes no lo poseen. Nuestro sistema de enseñanza acuerda, en general, el mismo tiempo, para la adquisición de un volumen dado de conoci­mientos. Si un alumno desengaña y se emba­rranca, recomienza su año con el mismo pro­grama y la misma cadencia. Esta práctica per­judica y humilla a los alumnos de espíritu lento. ¿Son por ello menos reflexivos y menos inteligentes? Recuerdo al más lógico de mis maestros. Era incapaz de responder instantá­neamente una objeción. La anotaba cuidadosa­mente y al día siguiente nos daba una explica­ción definitiva.

Un psicólogo y educador americano, John Carrol, sugirió hace algunos años otra de ver que la de admitir que la habilidad matemática es tal que los estudiantes que no la tienen más que débilmente, no pueden aprender tanta matemática con tanta profundi­dad como los estudiantes mejor dotados ál comienzo . Arriesga la hipótesis de que todos, o casi todos, pueden ser llevados a un mismo grado de cumplimiento en no importa qué rama, pero la cantidad de instrucción que se­ría necesaria para llevar a un estudiante a un nivel dado variaría de un estudiante a otro.

En ese momento, el sSchool Mathematies Study Group organizó una experiencia que confirmó esa hipótesis ([3] p 105).

Dos grupos de estudiantes, uno experimen­tal, el otro de control, fueron constituidos con estudiantes del séptimo año (12 a 13 años) y de noveno año (14 a 15 años). Los dos grupos experimentales eran de nivel inferior al prome­dio (del 25 al 50 %), mientras los dos grupos de control eran de nivel superior al medio (50 al 75 %). En cada caso, el grupo experimental

sor.

Ahora bien, los objetivos de la enseñanza son mucho más vastos puesto que cubren toda la formación relativa a conocimientos y méto­dos de la matemática propiamente dicha y también las capacidades de aplicación de los modelos matemáticos al mundo real. Además más allá de los objetivos precedentes que le

específicos, la matemática participa de manera importante en objetivos generales de la educación que conciernen a la formación inte­lectual, estética y moral de la juventud. De todos esos objetivos numerosos y variados, só­lo los más sumarios pueden ser el objeto de

prueba de control: exámenes o tests. To­dos los demás objetivos más complejos y más elevados no se dejan satisfacer por una medi­ción tan rudimentaria. Su evaluación, total­mente cualitativa,se hace a más largo plazo.

) una

son

IV. LOS DOCENTES

1. El contrato con el alumnoEnseñar matemática no es presentarla a un

auditorio en exposiciones magistrales. Enseñar matemática es aceptar el aprendizaje de los alumnos guiándolos, estimulándolos en las jores condiciones posibles.

Se sabe que las condiciones materiales: pro­gramas, horarios, población de las clases, mate­rial didáctico, locales.. . no son a menudo ideales y, a veces, fallan demasiado. ¿Qué ha­cer? ¿Dejar caer los brazos? ¿Formular requisitoria de críticas y de grietas, incluso fundadas.para transferir a otros la responsabili­dad de una situación desfavorable desde el comienzo?

A pesar de todo, ¿no sería mejor enfrentar­los pensando en el futuro de los alumnos? Ellos sufren la situación como nosotros. Ten­drán que vivir una vida ya hipotética de por

manerauna

me-

3. Los buenos jueces¿Quién puede ser un buen juez del rendi­

miento y de la .calidad de una enseñanza? Primeramente, el mismo profesor si tiene, frente a su trabajo, suficiente espíritu de críti­ca, buen sentido y conciencia para no mentir­se a sí mismo.

Los mejores jueces resultan nuestros alum­nos ven vivir con sus ojos, en nuestros

una

9 ca.Las comparaciones se hicieron según todas

las reglas de los tests americanos. Los resulta­dos fueron engañosos.

En cada caso hubo diferencias significativasnos:buenos días lo mismo que en los malos y, detrás del profesor que le presentamos saben,

perfección de niño, a veces despiadada­mente, descubrir al Jiombre o la mujer que somos. En lo que concierne —el mí es aborre­cible- cuando era profesor en la clase de "científicos" en que el horario es de siete,

y en la mayoría de ellos variaciones muy gran­des en la eficiencia de los profesores. Pero esas variaciones no parecen estar en relación con lo que se sabía respecto de los profesores. Ahora bien, para cada uno de éstos se habían reunido

cantidad de observaciones que eran de

sí.con

Cualesquiera sean las acciones realizadas fuera déla escuela para ponerla a la altura de sus responsabilidades, para cada uno de noso­tros en nuestra clase queda por cumplir el

grandos especies: la primera estaba constituida por datos de hecho: edad, sexo, experiencia en la

2322

pedagógica que tiene para organizar las mate­rias en un orden que se preste lo mejor posi­ble para la adquisición conceptual y práctica de las nociones matemáticas

"Tratará de mostrar, mediante aplicaciones bien elegidas, el interés y el alcance de la teoría. En lo que a esta concierne, por más que las posibilidades de abstracción de los alumnos sean mayores que en los años prece­dentes, el profesor matizará sus exigencias so­bre el conocimiento de demostraciones. Si al­gunas de éstas pueden ser halladas por los alumnos, otras, más sutiles, aun cuando com­prensibles, no deben ser memorizadas. Final­mente, los desarrollos teóricos que el profesor presentará para apaciguar sus escrúpulos mate­máticos, serán reemplazados más útilmente por trabajos en que la actividad de los alum­nos tiene la mejor parte".

De tales precauciones psicológicas hay que valerse para evitar que los profesores, por nar­cisismo, cometan en sus cursos "el pecado teórico" perdiendo de vista que la matemática es en primer término una destreza que sólo se adquiere por compromiso personal.

6. La formación psicológicaEs indispensable que los docentes, en parti­

cular los responsables de la matemática,tengan una formación psicológicamente adaptada a su función y a su responsabilidad.

Veremos,en primer término, nociones sufi­cientes de psicología general, especialmente de psicología diferencial. Mientras que la primera permite comprender el desarrollo genético de los adolescentes desde los puntos de vista afec­tivo, intelectual y moral, la segunda da la base de conocimientos caracterológicos necesarios para el acercamiento y la comprensión huma­na de los seres en su individualidad propia.

7. La caracterología

¿Es necesario subrayar el interés del estu­dio del carácter en el ejercicio cotidiano de la enseñanza?

En primer término, importa que el profesor conozca su propio carácter. Es una manera de precisar la parte de subjetividad psicológica que se manifiesta en todos los juicios hechos sobre los alumnos y la materia enseñada.

a un consejo de clase para notar cómo las apreciaciones relativas mismo alumno varían de un profesor a otro. Es verdad que las disciplinas enseñadas pueden revelar aspectos diferentes, pero es necesario

ocho y a veces diez horas semanales de mate­mática, para honrar a un viejo programa dilu­viano para ingresar a las "Grandes Escuelas", se me preguntó que apodo me habían dado mis discípulos. Respondí que no tenía sobre­nombre pero que era, según los días y el clima de la clase, designado por tres apelativos dife­rentes. Al final de ciertos días yo era "Ser­váis", muy secamente. Me ocurrían tiempos mejores de ser "Wllly". Después me convertí en "elpadre" con toda la afectación y el sentido psicoanalítico que ese vocablo puede tener en una cabeza de adolescente. He hecho de lo mejor para ser a menudo "el padre".

El juicio sobre nosotros y sobre nuestra acción educativa se aclarará y se fijará en el espíritu de nuestros alumnos cuando estos se vuelvan adultos. Entonces su opinión será sin discusión como lo son nuestras opiniones de hombres sobre los que fueron nuestros maes­tros.

Adaptación de los gruposLa misma diversidad se comprobará con

respecto a la enseñanza individual y colectiva.Los flemáticos, los sentimentales^trabajan y

juegan solos como los apáticos.Los coléricos y los amorfos gustan de los

equipos, los primeros para conducirlos, los se­gundos para hallar una corriente que los lleve.

Los apasionados pueden ser alternativamen­te solitarios o dominadores.

Los sanguíneos sacarán partido de los otros con oportunismo.

contar en toda apreciación con una parte im­portante debida a la proyección del carácter del profesor sobre el alumno.

Imaginad a un profesor de francés que sea colérico, un profesor de matemática flemático y un profesor de música nervioso. He aquí su informe sobre el mismo alumno.

— "Alumno inteligente, concienzudo, pero más bien escolar en sus análisis literarios don­de le falta temperamento".

— "Alumno muy dotado en matemática, de espíritu lógico superior a su edad, muy abierto a la abstracción. De espíritu naturalmente dul­ce, no le interesa ser jefe de equipo".

— 'Alumno cualquiera, descolorido, que no tiene nada en el vientre".

Para quien conozca el perfil caracterología) completo del alumno en cuestión (1) estos tres informes de profesores se explican en parte por el hecho de que cada uno de ellos valori­za, en el carácter del joven hombre, los rasgos propios de su carácter personal y rechaza los otros.

Adaptación de las pruebas

Nuestros métodos de apreciación, según su naturalezajavorecen a uno y otro tipo. .

Los flemáticos y los amorfos tienen la larga paciencia necesaria en los exámenes escritos donde los apasionados roen su freno y donde los nerviosos deben ser llamados al orden.

Los coléricos y los sanguíneos asombraran por su facilidad en los exámenes orales que son sesiones de tortura para los sentimentales.

Los tests que desconciertan a ciertos flemá­ticos por su novedad, presentan a los nerviosos un juego original al cual podrán aplicarse du­rante corto tiempo. Se comprende que, inde­pendientemente de sus aptitudes, los exámenes escritos u orales no pueden dar resultados con­cordantes.

\

I4. Testimonios del hombre

Enseñar es un oficio difícil, a veces despia­dado, pues no podemos dar a nuestros alum­nos más que lo que somos.

Lo mejor de nuestra enseñanza es, a fin de cuentas, .la humanidad que hay en nosotros.

Si no proponemos nada de humano, nues­tra función es irrisoria

Escuchemos: ([1]p. 50).E — "Por ejemplo, M, X. .., para mi, no es

M, X. . .j.es un libro. Quisiera conocer bien el exterior de su curso, de su pequeña tiza y de su blusa blanca.

N - ¿Y qué os lo impide?.E — Y bien. El hecho de que lo considere

como un libro, para mí, él se ha vuelto un libro, yo he borrado su personalidad que esta­ba detrás del libro. Para mí es un libro ambu­lante, eso es todo".

Para enseñanzar matemática, ciertamente conviene conocerla bien. Pero esta condición necesaria lejos está de ser suficient^si se quie­ra aportar al trabajo la humanidad; no se hace más que un trabajo estéril, seco e improducti-

En el conjunto de los profesores de mate­mática se hallan, naturalmente, desde el punto de vista caracterología): apasionados y flemá­ticos, algunos sanguíneos y pocos coléricos, apáticos; esos profesores están en oposición de carácter con los alumnos nerviosos, amorfos o sentimentales. Esto explica muchas de las ten­siones en las clases, tanto más cuanto que la mayor parte de los profesores ha sido buen alumno en matemática y no son los mejor ubicados para comprender sin esfuerzo a aque­llos alumnos que no tienen las mismas disposi­ciones naturales.

Pronósticos caracterológicos

Los tests de aptitudes intelectuales, en la medida en que detectan la inteligencia desnu­da, no pueden proporcionar más que pronósti­cos azarosos pues siempre se trata, en el traba­jo intelectual de inteligencia investida por un carácter y subordinado a él; en ese punto de vista P. Grieger reveló significativas correlacio­nes entre la inteligencia y el carácter [6],

La caracterología acaso permita un pronós­tico más seguro porque esta basada sobre ma­neras de sentir, actuar y reflexionar que son actitudes profundamente ancladas en el indivi­duo.

Adaptación de las conductasEl profesor debe conocerse y conocer al

alumno individual para adaptarse mejor a este último para obtener un rendimiento mejor. Una observación, un aliento, lo sabemos, no deben ser los mismos para todos los alumnos.

Un sentimental, un flemático son sensibles a una amonestación o a un estímulo de orden moral, que prolongan y meditan largamente.

A un colérico le gustará ser agitado por una observación un poco viva.

A un nervioso se lo deberá reprender y alentar sin cesar; podrá endurecerse ante un alud de reproches; si es grande y, por consi­guiente contento de sí mismo, tendrá cabeza y se engalanará con prestigio a ojos de toda la clase. Bajo el mismo alud, el amorfo permane­cerá impasible y sonreirá dulcemente. Habrá que hablarle de notas y resultados.

yvo.

B. El psicoanálisisMás profunda que la descripción caractero­

logía de las maneras habituales del compor-5. Tacto de adaptación

Sobre el plan del mismo contenido de la enseñanza, es necesario ser lo bastante psicólo­go para adaptar lo que se hace a las capacida­des reales .de los alumnos. He aquí lo que dicen las instruí ciones pedagógicas belgas.

"El profesor sacará partido de la libertad

Basta asistira un ! (1) Comprendiéndo además de los tres factores fun­

damentales E, A, S seis factores complementarios: amplitud del campo de conciencia, pasión intelectual, polaridad, ternura, interés sensorial, avidez 110].

24 25

;Idiferencial, de técnica de grupos, no tratan de

formar psicólogos de corto alcance.Lo que importa es darles informaciones

prácticas, usables en su oficio. Es indispensa­ble que las herramientas psicológicas que se pondrán a su disposición, y de las cuales algu­nas son potentes instrumentos de condiciona­miento y de manipulación, puedan usarlas con pureza y generosidad, para bien de la juven­tud, respetando las personalidades del futuro.

tamiento de un individuo es la explicación psicoanalítica de su comportamiento.

También en ese dominio la enseñanza debe poseer información adecuada que le explique las raíces subconscientes de actitudes a veces extrañas de muchos alumnos.

En las ciencias positivas, especialmente en matemática, una especie de higiene racional consiste en poner fuera de circuito, conscien­temente, los aspectos psicológicos y afectivos. Pero una actitud semejante de exclusión, de gran comodidad metodológica aparentemente, no elimina los elementos perturbadores, las re­chaza a las profundidades del subconciente. Notoriamente en matemática, como lo subraya J. Nimier, [1],hay que estar atentos para elimi­nar razones de fracaso,de repulsa o de odio.

Por su naturaleza constructora, impersonal, la matemática aparece a ciertos individuos co­mo una disciplina alienante y dominadora que alimenta en ellos los fantasmas de lo imagina-

alumnos una construcción personal.La matemática no es como ciertas ciencias

un conjunto de conocimientos exteriores que se organiza; es un sistema de pensamientos cohe­rentes que se construye.

Es necesario distinguir entre matemática ex­terior y comprensión.

Escuchad este testimonio vehemente ([1] P 31)

-"Mi matemática, yo la hacía porque era’ necesario. No comprendía. No trataba de com­prender, la hacía. Bien, bueno. Tenía buenas notas. Aprendía mis lecciones, hacía mis debe­res, obtenía resultados y eso era bueno.

Pero, finalmente, yo no comprendo.Eso es lo que no admito. No admito que los

otros alumnos puedan hacer lo que yo he hecho, es decir, hacer cosas sin comprender lo que se hace".

deseo general. Las grandes líneas de avance están delante nuestro. Vosotros las véis en lo que podéis hacer y cambiar en vuestra acción de todos los días. Os indicaremos algunas. Por reflexión, hallaréis otras.1, Tener un buen contacto pedagógico adaptado a cada alumno.

Si la matemática hecha es un edificio lógico, el aprendizaje de la matemática y su enseñanza son, en primer término, cuestión de psicología.

El profesor, como adulto, debe ser conscien­te de su carácter y del de sus alumnos. Puede superar las oposiciones caracterológicas, como no dejarse seducir por las concordancias agrada­bles, para evitar conducirse como adolescente retardado entre jóvenes púberes en crecimiento.

La madurez debe permitirle tener en cuenta las reacciones afectivas de sus alumnos, sus dudas y sus rechazos. Debe aceptar y respetar las personalidades en desarrollo de sus alumnos. Sin ser protector, debe saber secundarlos para ayudarlos a volverse los mejores posibles por sí mismos. Debe poner lo mejor de sí para hacer­les aceptar la matemática como un bien ofreci­do a todos los jóvenes. Sabiendo que el amor hacía la matemática, que es la alegría de hacer­la, no puede imponerse por la fuerza, pondrá todo el tacto que pueda para presentir los bloqueos afectivos e intentar desanudarlos.

Pero, diréis, no es necesario ser ingenuo e idealizar demasiado la realidad de nuestros alumnos, algunos de los cuales superar todos los límites.

Es verdad, los tiempos han cambiado y cambian. Los profesores, como la matemática, han sido cuestionados.

Los adolescentes rebeldes, algunos de los cuales discuten desesperadamente hasta el ab­surdo, ¿no son en su mayoría infortunados? ¿Han sido tan maltratados por la vida que han superado para siempre esos grillos de no comu­nicación que vuelven casi imposible todo diálo­go y toda armonía?

¿No es demasiado rudimentario y muy bru­tal afrontarlo con una reacción correctiva en tanto que muchos de ellos piden y llaman a un interlocutor acogedor, abierto, sin crítica, sin idea de recuperación para el sistema?

Debemos escuchar para entender y correr el riesgo de vernos a veces chasqueados, segura­mente, para no ser inhumanos.

2. Asegurar un aprendizaje para ¡a comprensión

Es necesario que la matemática sea para los

9. Psicología de la inteligenciaEn este vasto dominio, lo más importante

para el profesor de matemática es la parte correspondiente a su rama.

La obra de Piaget, Bruner y otros aporta elementos útiles ([11], [12], [13]).

Trabajos realizados partiendo de la mate­mática, en heurística por G. Glaeser ([14] y en lenguaje matemático por J. Adda ([ 15])# son directamente utilizables.

Finalmente, investigaciones de reeducación en matemática hechas por F. Jaulin-Mamoni ([16]) lo llevaron a subrayar toda la importan­cia del inconsciente lógico-cognoscitivo.

Explica que la marcha que cumple el sujeto para lograr la comprensión de una estructura se borra cuando esta queda instaurada. Así, el profesor que ha comprendido una noción, ol­vida el camino seguido. Por lo tanto, no sabe cómo puede llegar el niño a comprender esa noción puesto que el mismo ha olvidado1 el camino que le condujo a ella.

kV. EDUCACION MATEMATICA ABIERTÁ

La enseñanza que reemplaza la comprensión real, profunda, por reflexiones rutinarias, es considerada por R. Skemp ([17] p. 117) como una injuria para la inteligencia.

"Tratar de comprender algo implica una acomodación de nuestros esquemas. En la medi­da en que lo que se comunica no es inteligible, el que lo recibe ensaya acomodar sus esquemas para asimilar algo desprovisto de sentido. Hacerlo equivaldría a la destrucción de esos esquemas, es decir, a lo equivalente a una injuria corpo­ral".

rio.Los docentes de matemática que tienen,

como los. alumnos dotados, regulados bastante pronto los problemas subconscientes, creen a menudo que su disciplina se sitúa enteramente a nivel de la conciencia en la luz de la razón.

Sin embargo, los impulsos subconscientes se manifiestan ya en cuestiones de vocabulario.

Tal profesor se siente aliviado cuando habla de "factorizar un polinomio" más bien que de "descomponerlo en factores". La descomposi­ción tiene para él sabor macabro.

¿Qué decir de la voracidad de los elemen­tos absorbentes ya sentidos como tales Dor los alumnos?

El término tan apacible de elemento neutro de una operación,-no da en la acción el verbo neutralizar que en ciertos contextos tiene una connotación homicida como liquidar. En la resolución de ecuaciones, basta ver con que agresividad los alumnos hacen desaparecer un término en un miembro neutralizándolo por la adición de su opuesto a los dos miem­bros de la ecuación. Análogamente, neutrali­zan un factor no nulo,multiplicando a los dos miembros por la inversa de ese factor. Por lo demás, esta neutralización es más sugestiva y menos mecánica que el pasaje de un término de un miembro al otro de una ecuación.

Conviene advertir a los profesores de mate­mática sobre los juegos subterráneos del sub­consciente. La cuestión no es hacer psicoana­listas aficionados; eso sería transformarlos en aprendices de brujo.

Parecidamente, los elementos de psicología

lii

"Visto de esta manera, se comienza a com­prender por qué ciertos estudiantes adquieren no sólo falta de entusiasmo para la matemática sino también una repulsión positiva. En esas circunstancias tienen mucha razón de actuar de tal manera porque una de sus facultades más altas, su inteligencia en desarrollo, está expuesta a una influencia perniciosa".

Hay alumnos que se acomodan muy bien para no comprender en profundidad lo que hacen en matemática. Es más fácil y más eco­nómico para ellos atenerse a la aplicación mecá­nica de las reglas.

Durante cierto tiempo, pueden actuar si el profesor no escarba más allá del barniz de las palabras. Sin embargo, cuando los temas se complican la memoria y la reproducción ciega no pueden bastar. Entonces, se descubren in­comprensiones reales tan grandes que resulta imposible colmar las lagunas.

En matemática, la comprensión debe ser profunda. No se puede contentarse con com­prender con inteligencia lo que se dice ni satisfacer lo que esta hecho, lo necesario es

Todo lo que acabamos de ver nos debe convencer sobre una verdad evidente: la ñanza de la matemática tiene mucho nar si es más humana.

ense­que ga-

La enseñanza, tradicional o moderna, sufre de una misma indigencia: se reduce a proponer

matemática desencarnada, rumiante sobre sí misma. Tieneuna

sus programas, puramente in­ternos, que es preciso cubrir, ignorando chas veces los alumnos que el profesor está reducido a condicionarlo más rápidamente niendo muy poco en su mejoramiento personal.

¿Cómo mejorar tal estado de nos puede satisfacer?

El camino no se lograra por nuevas refor­mas sino que debe venir de los hombres y mujeres que somos. Debemos, ante todo, refle­xionar sobre todos y cada uno de nosotros. Una revolución puede hacerse por nuestro solo

Imu-

te-cuenta su afectividad y

icosas que no

i

:I

i26 27

\

¿Es cero un número?, «.cómo mostraría, si o no, que es uno?

Luego de discutir calculando con él y los demás números.

La conclusión fue cero es un número, pero extravagante.

2o) Un día tuve la curiosidad de preguntar-

" Cuando en el curso de geometría pronuncio la palabra "espacio" ¿de qué creéis que os ha­blo?

la buena respuesta conduce a un condiciona­miento que es una verdadera domesticación. En matemática, no basta tener, bajo un estímulo una respuesta exacta; también es necesario com­prender la razón de la respuesta que se da.

Así durante todo el tiempo que un alumno no nos alerte por una respuesta errónea, no tenemos más que una presunción de una com­prensión correcta. La respuesta o la aserción inexacta de un alumno puede provenir simple­mente de que ha dicho lo primero que le pasó por la cabeza. Totalmente distinta es la afirma­ción errónea que proviene de que el alumno tiene una comprensión o un marco de pensa­miento diferente de nosotros. En ese caso, saber el por qué lo ha dicho es comprender cómo ha pensado.

Muy a menudo, me he valido de errores de los alumnos para llegar a comprender mejor, ellos y yo.

He aquí algunos ejemplos:10) En una discusión un alumno dijo con

tranquila convicción: "cero no es un número".Uno puede quedarse atónito, encogerse de

hombros, considerar su afirmación como una estupidez, reprocharle y sancionarlo con una mala nota: es más útil explotar el error.

La escena era bien conocida por mis alum-

Sin embargóles posible conducir esta inte­gral por la ¡nvestigaciónde. yn isomorfismo derivable entre los grupos (R *,.) y (R, +).

Hemos mostrado cómo una problemática, en el seno de la teoría matemática elemental, puede conducirse naturalmente esas, nociones y otras. ([18]).

Nos quisiéramos dar aquí más que un ejem­plo, el de los casos de ¡sometría de triángulos.

Los famosos "casos de igualdad" han sido tan desacreditados, tan ridiculizados/ que los programas ni siquiera osan mencionarlos. Ahora bien, en las ¡sometrías del plano, tienen una significación profunda.

Se sabe, en efecto, que una ¡sometría está determinada cuando se dan los lados de un triángulo y sus respectivas imágenes y que, por otra parte, todo triángulo no es ¡sométrico todo otro triángulo. Es pues, perfectamente natural preguntarse bajo qué condiciones un triángulo es isométrico a otro. Los casos de ¡sometría responden esta cuestión con ayuda de los invariantes fundamentales longitudes y án­gulos.

comprender por qué se lo dijo y por qué se lo I Mee.

Eso es lo que expresa un alumno ([1 ] P. 128).

"No había comprendido la segunda vez. El no veía nada más que lo que uno no compren­día. Decía: pero si es fácil, es necesario saber

es:eso."Creo que se trata siempre de profundizar

una cuestión donde se dice que es como en otro caso; no hay que intentar comprender: símbolo. Pero nosotros queremos siempre saber más. ¿Queremos saber por qué es así? ¿Por qué es necesario decir eso? ¿Por qué? ¡Por qué nos lo dice! ¡Pero acaso sea verdad! ".

"¿Cómo demostrarlo? Entonces, nos dice siempre: pero es así, es necesario aceptarlo tal cual es. Eso no nos satisfacía tampoco. ¿Por qué es así? Eso me embrutece. No se puede buscar el origen de todo eso, no se puede. Es decir, en clase acaso se podría profundizar, investigar verdaderamente, pero sería necesario ir muy lejos. Pero en dase se nos dice: he aquí tal fórmula, es necesario aceptarla... ¡pero no se nos dice cómo ha sido lograda esa fórmula!

¿Es raro, excepcional, el ejemplo de compor­tamiento de ese profesor?

¿No comprende lo que hay que compren­der? ¿Ha alcanzado un nivel en el que no se acuerda más ‘del camino que ha debido tran­sitar?

es un

El escrutinio de las respuestas resultó asom­broso.

"El espacio con sus estrellas y nebulosas"."El interior de la dase"."Algo que uno piensa en su cabeza".3o) Habiendo descubierto y convenido que

se trataba del espacio abstracto inventado partir del espacio físico, estudiamos la trasla­ción.

%a a

Nueva pregunta: ¿se puede hacer una tras­lación del espado?

El espacio sideral entró en escena para buena aparición con su cortejo de nebulosas.

Un excelente alumno, buen lógico, me ha dicho con aire de suficiencia definitivo: "es

una

Los casos de semejanza responden cuestión análoga para el grupo de las semejanzas del plano ([19] II y III).

En las afinidades del plano, todo triángulo es equivalente a cualquier otro triángulo y ía cuestión carece de interés.

En todas las situaciones en que interviene un de ¡sometría o de semejanza de triángulos,

se puede continuar construyendo con ayuda de traslaciones, rotaciones, simetría, homotecias, la transformación que se requiera. Es un juego agradable de composición. Pero los físicos no tienen ni el gusto de liberarse de ellos. Acaso sea esta la razón por la cual emplean la herra­mienta simple y cómoda que les ofrecen los "casos" que entonces es necesario prepararles;

a una

imposible".A mi vez argumenté: dada una traslación.1. Si tomo un punto del espacio ¿su ima­

gen por la traslación es también un punto del espacio?

2. Si tomo un punto del esapcio ¿es ¡ma­la traslación, de un punto del espa-

nos."¿Habéis entendido lo que dijo vuestro ca­

marada? ""Tomad una hoja de pape!, escribid la cues­

tión. .. ¿Es cero un número? Reflexionad so­bre ello. En los siguientes días, colocad sobre !a hoja vuestro punto de vista personal. . . con las indicaciones útiles: fecha, edad y dase y si queréis vuestro nombre".

Ellos sabían por qué. Yo les había dicho: yo trato de mejorar la enseñanza matemática. Voso­tros podéis ayudarme explicándome libremente lo que pensáis. No es un deber escrito. Es entre nosotros.

Llegado el día, leí las respuestas una a una ante toda la clase, sin citar a los autores, todos firmantes.

¡Hemos aprendido muchas cosas!Por ejemplo, con respecto a cero, toda una

patología:— "Desde que era pequeño se me dijo "cero

es nada del todo".— "Cuando se agrega cero a un número es

si no se agregara nada del todo.— "Cuando se multiplica un número por

cero, eso da cero".—"No se puede dividir por cero".

Les pregunté: "¿Qué quiere decir la pregunta:

¿Acaso la clase ofrece la ocasión de hacer comprender que no se puede remontar indefini­damente y qué es necesario admitir puntos de partida, axiomas?

Nadie cree que los alumnos al ir construyen­do la matemática reharán el trabajo de más de dos mil años.

Pero los profesores armados de ¡deas esclare- cedoras modernas pueden guiarlos prender la matemática "por su interior".

Desde ese punto de vista, los cursos tradicio­nales o nuevos .contienen demasiadas defini­ciones, demostraciones, vale decir, presentacio­nes abruptas que para ser lógicamente correctas no son, al mismo tiempo, inteligibles en el contexto de una construcción matemática que no da ninguna razón para comprenderla.

Basta recordar la presentación antigua de los logaritmos con ayuda de las progresiones arit­méticas y geométricas. Todo era allí magia y misterio. ¿Qué decir de la introducción mediante la integral;

caso

gen, por do?

El me detuvo en seco: "Veo, dijo, Ud. quiere darme el golpe de los lugares geométri­cos".

"Os comprendo pero no creo"."Con una recta eso funciona. Puedo hacer­

lo así".Había puestos sus dedos índices uno contra

el otro y los había apartado conservándolos paralelos. "Pero si hago esto agregó haciendo deslizar sus índices uno a lo largo del otro "¿qué pasa en el infinito? ".

Recomenzo con planos, separando las pal­mas de las manos y después haciéndolas desli­zar una contra la otra.

"Pero con el espacio, yo ya no tengo lugar para separar. ¿Qué pasa en el infinito? ".

Plantée la pregunta:"¿Cómo se puede demostrar que se puede

hacer una traslación del espacio abstracto? ".Permaneció sin decir nada y se alejó. El

lunes siguiente sonreía: "he comprendido".

para com-)

3. Sacar partido favorable del Aprendemos sobre todo

error por nuéstros erro­res.

¡Somos tan indulgentes con respecto tros errores, cualquiera sea el precio!

¿Por qué no ser también benévolos con los errores de nuestros alumnos? Sería a menudo desculpabilizar

a nues-

los más vulnerables y los másaescrupulosos.

Hay una pedagogía bien intencionada que intenta que el alumno de, con toda seguridad, una respuesta exacta a toda cuestión. El error es acosado para ser denunciado, borrado, extirpa- do, lo más rápidamente posible, impura. Llega el momento

nueva como

I k. dt caída del cielo?como una falta

en que ese culto de2928

;¿

salgan airosos. No se trata de asignarles notas mentirosas, sino de hacerles experimen­tar la alegría del hallazgo, aunque no sea más que en un problema adecuado a sus medios. Cuando un alumno encuentra placer en su propia actividad matemática, eso le propor­ciona la mejor motivación para su trabajo. En esas condiciones, resolver un problema se con­vierte en un desafío a sí mismo. La elección personal de un trabajo matemático es también un factor de interés.

Para dar al curso de matemática todo su alcance, el profesor no puede limitarse a dar

formación en matemática teórica y aplica-

y a formular problemas. El profesor con los alumnos, irá haciendo una exploración mate­mática para enseñarles a experimentar con ejemplos, a hilvanar un contra ejemplo en el caso

En lugar de ser una sociedad, en pequeño, que reproduce diferencias y jerarquías, la clase matemática debe ser una comunidad de traba­jo democrático.

Para el profesor, no se puede tratar, como se le aconseja, de marchas con el promedio de la clase; debe tratar de que cada uno progrese a su ritmo con la ayuda de todos.

Los grupos de trabajo no pueden reducirse pequeñas formaciones creadas al azar, que

llenan fichas alrededor de una misma mesa. Deben ser equipos de alumnos mutualmente elegidos para cumplir tareas de las cuales ha tomado la responsabilidad. En ello, los más fuertes ayudan a los más flojos y estos hacen cosas adecuadas a su talla.

El maestro, que ya no es el dispensador único de la ciencia, es el coordinador, el guía, el consejero, la autoridad reconocida por su eficiencia. Buen animador, sabe conducir todo el esfuerzo de la clase convergentemente, so­bre un problema complicado. Sabe también animar los diversos caminos de la imaginación que busca por vías diferentes.

Se aprende a discutir, a practicar una lógica en acción con la referencia, no de la autoridad del maestro, sino de la prueba matemática. Se eliminan argumentos defectuosos en las de­mostraciones lo mismo que en la publicidad o en la información. Se ejercita en la deducción de lo probable tanto como de lo seguro. El profesor no desconfía en arriesgarse, en mos­trarse en situación de investigación reconocien­do simplemente sus errores, con respecto a los cuales sus alumnos pueden volverse muy vigi-

Una respuesta, una pregunta de un alumno que nos haya desconcertado, raramente son idiotas.

Fue un niño pequeño quien me hizo com­prender que la definición clásica de triángulo isósceles no es buena.

Como le preguntara: ¿es isósceles un trian- guio equilátero? Su respuesta fue neta: "No". "¿Por qué? Porque tiene tres lados Iguales".

Por eso tomé la definición "un triángulo isósceles es un triángulo que tiene, por lo menos, dos lados iguales".

Desde entonces, me gusta la definición: "un triángulo es isósceles si tiene, por lo nos un eje de simetría".

Habría mucho que decir acerca de nuestras maneras de exponer, que nuestros alumnos comprenden a pesar de todo.

"Construir un triángulo conociéndo los tres lados", ¡pero entonces el triángulo está dado!

nos

:de un enunciado dudoso.

Abandonando las exposiciones rectilíneas, el maestro dará a sus discípulos el gusto de re-

!

volcarse en el bosque de la matemática como el cazador furtivo que sabe esperar a una presa por muchos recodos.

Las fuentes: manuales y obras de referencia, deben ser variadas para permitir elecciones y comparaciones.

Cada programa debe ser adecuado para una ponderación, que le es propia, de las diversas componentes indispensables. Desde ese punto de vista conviene observar que los programas de los cursos superiores con horario reducido tienden a dar buen lugar a los elementos de análisis y de probabilidades.

Los programas deben permanecer flexibles a partir de un esqueleto de temas importantes. Son guías y no anteojeras u obstáculos para la enseñanza.

He aquí lo que dice un alumno ([1] p. 93):- "Hay un término que no amo realmente,

es programa. Muchos profesores dicen: "Bien, éste es el programa, eso, eso no lo es" Uno se detiene".

a

uname-da. Debe participar en la expansión humana de sus alumnos,'lo más amplia posible. En cada ocasión, alentará el trabajo o el compor­tamiento de un niño o de un adolescente y la aparición de cualidades que surgen de los obje­tivos generales de la educación, pero que la matemática ayuda mucho a adquirir. Es una

de mostrar que la educación matemá-'maneratica supera en todas partes a la instrucción matemática en sentido estricto, y contribuye a la formación general de la personalidad me­diante el desarrollo de actitudes intelectuales

4. Dar una alimentación matemática equilibrada

La matemática, por la conciencia que nosdan las visiones modernas, puede presentarse de manera unificada y clara. No es necesario derse en miles de detalles para introducir y ¡deas fundamentales sobre métodos

del gusto por la belleza y de los rasgos mora­les. Esos objetivos de naturaleza cualitativa

susceptibles de transferencia. Deben ser alcanzados progresivamente en el curso de los estudios, al mismo tiempo que los objetivos específicos que le sirven de soporte.

per- usar

y estruc- sonturas.

- Y no lo amo porque, evidentemente, es realmente necesario limitarse a algo. Uno ha de desbordar, no importa dónde, uno deba detenerse sistemáticamente cuando se llega al límite del programa, eso me molesta

poco. Me gustaría bastante ir hasta el co­mienzo de algunos trucos...

N - ¿Qué molestia sentís?E — Bien, justamente cuando se cierra la

puerta, qué cosa. Cuando se encierra a la ma­temática, es allí cuando estoy molesto.

N — ¿Qué es lo que pasa?E — Bien... ¡Es un poco como un hombre

que se coloca en la prisiónl Cuando pierde su libertad, la libertad que tiene, no está conten­to; yo amo a la matemática justamente porque todo está vinculado, porque, en fin, es libre.

Y si se comienza a enfermar a la matemáti­ca, eso va más allá, la matemática pierde su libertad."

Cada alumno, en toda la extensión en quepuede asimilar, debe recibir una alimentación matemática balanceada. Es la mejor para que cada uno encuentre en ella lo que le place y que conviene mejor a su tipo de inteli­gencia.

pero quemanera

a) Formación intelectual

1. Ejercitar el juicio, distinguir lo verdadero de lo falso aplicable (a hechos reales), lo de­mostrado, lo no demostrado (aplicables a un enunciado en el seno de una teoría deductiva).

2. Adiestrar en la organización lógica del pensamiento. Ordenar las ideas, reconocer las hipótesis, las consecuencias, las causas, los me­dios, los efectos.

3. Aprender a reflexionar sobre los diversos aspectos de una situación, separar lo esencial de lo accesorio, afinar el espíritu de análisis, reforzar el poder de síntesis.

4. Desarrollar la actividad mental y favore­cer así la imaginación, la intuición y la inven­ción creadora.

5. Hacer adquirir un sentido crítico cons­tructivo.

6. Formar el espíritu científico: objetivi­dad, precisión, gusto por la investigación.

b) Formación estética

unlantes.

En matemática, más que en cualquier otra los contactos humanos son más

A veces, siguiendo instrucciones o sus gus­tos personales, los profesores dan una materia que es demasiado algebraica, demasiado rama en que

afectivos, el maestro debe tratar de formar un clima de corporación fraternal donde cada debe sentirse más querido, más valorizado, más libre. En tal atmósfera, los alumnos sien-

instintivamente lo que puede aportar la razón de medida y de equidad en las relacio-

geo-métrica, demasiado numérica. Perdiendo de vista la unidad funcional de la matemática, se llegará a romper, mediante unilateral, la simbiosis entre el álgebra y la geometría haciendo desempeñar a esta una función constructiva o presentándola única­mente bajo el aspecto sectorial o analítico. Así pueden instalarse carencias que dejan la­gunas y que pueden engendrar repulsiones y hastíos.

uno

una presentaciónten

nes humanas.

6. Estimular la expansión personal

Los alumnos no deben ser adiestrados sólo para reproducir o buscar demostraciones de teoremas, aprender definiciones y resolver pro­blemas totalmente hechos. Para tener un papel más creador, es importante que también aprendan a encontrar enunciados de proposi­ciones, a expresar definiciones a circunscribir

En la escuela secundaria los adolescentes, a los más huraños, están muy interesados5. Desarrollar un espíritu democrático

La dificultad inherente constituye’ una inteligencia

vecesen la afirmación y la expansión de sí mismos. Por ello, luego de un fracaso, los que tienen buen concepto de su persona, dejan a menu­do, a un lado, a la matemática.

En todos los casos, conviene que los alum-

a la matemática vara para medir una forma de

y para clasificar a los alumnos como también puede asegurar dominadora del una supremacía

maestro.30 31

'■

muchos jóvenes en mayor o menor grado, han dejado caer matemática cuando justamente llegan las aplicaciones significativas. La poten­cia de la matemática^e la que se habla tanto, es para ellos una promesa que tarda mucho en cumplirse. Hay en ello un defasage que los cursos científicos son los primeros en padecer. Para suprimir ese retardo es posible iniciar al mismo tiempo en las ciencias y en la mate­mática como lo hace la enseñanza renovada

1) Despertar y asegurar el gusto por la belleza matemática presente en ciertas rela­ciones, fórmulas, figuras, demostraciones y teorías.

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(71 R. VERDIER, La Caractérologie dans Ten- seignementsecondaire, P.U.F. (1957).

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[11] P.C. WASON y R N. JOHNSON-LAIRD. Thinking and reasoning (1968),Penguin Books.

2) Cultivar el gusto en la expresión del pensamiento: claridad, orden, concisión, ele­gancia.

3) Hacer aparecer y apreciar los vínculos entre la matemática y la belleza formal en lasartes: i

-equilibrio arquitectural,—composición de las artes plásticas (dibujo,

escultura, pintura),—ritmo y estructura en las artes temporales

(música, cine).Volver sensible a la belleza de las formas y

de la organización en la naturaleza y en las técnicas.

c) Formación moral

1. Gusto de la verdad, de la objetividad,de la equidad.

2. Necesidad de rigor, de discernimiento y de claridad en la verificación y en las pruebas.

3. Inquietud por conocer y comprender los principios de las cosas, los fundamentos y los a prior i de las doctrinas y opiniones.

4. Hábito de investigar las presuposiciones y las justificaciones de las afirmaciones.

5. Probidad y lucidez con respecto sus propias observaciones, sus ignorancias, sus opi­niones y sus deducciones personales.

6. Capacidad de atención, de concentra­ción y de esfuerzo.

7. Voluntad de perfección.

7. Mantener todos los vínculos con la vida

belga en una senda abierta hace años por el doctor Decroly ([20]).

Para humanizar la enseñanza de la matemá­tica no basta darle como campo de acción las ramas cjentíficas: física, química, biología geografía, informática. Es necesario conectarla con la enseñanza de la lengua materna.

Con mayor amplitud, la matemática está relacionada con toda la vida. Como lo muestra

Emma Castelnuovola obra pedagógica de ([21]). La vida es la mejor motivación de la enseñanza de la matemática y la fuente inago­table de temas pedagógicos variados cautivan­tes para los jóvenes alumnos que descubren al mismo tiempo los hechos y su matematiza- ción.

\

Uno de los matemáticos que ha consagrado más de sí mismo la educación matemática, H. Freudenhal ([22]) en su última exposición MathematicaI instruction in the year 2000" expresa en estos términos:

"Podéis descubrir matemática donde quie­ra, con vuestro ojo desnudo y vuestro buen sentido; la matemática es justamente la única cosa que es tan evidente que, sin esfuerzo de vuestra parte, cada uno se convencerá de que vale la pena que se la conozca, aprenda, enseñe.

Los alumnos viven en un medio dondeexisten a menudo como concurrentes o anta- /gonistas, un universo natural y un mundo creado por el hombre. La historia está allí para testimoniar la función de la matemática en el descubrimiento, la comprensión y el dominio parciales del universo lo mismo que en la invención y la realización del mundo tecnológico.

En la enseñanza secundaria, la matemática, el más potente de nuestros instrumentos de pensamiento, es a menudo reducido, durante muchos años a no pensar en nada fuera de sí misma. Para todos los alumnos atraídos por la vida es presentada como lengua muerta sin vínculo significativo con el mundo. Es bueno decirle "Eso servirá más adelante". Por falta de apetito, por temor, por descorazonamiento,

Como la matemática es tan verdadera y tan convincente, estoy seguro que se enseñará en el futuro. Pero al mismo tiempo y por la misma razón es el tipo de puede enseñar como algo separado. Debe pro­venir de la acción,como la lectura, la escritura, el dibujo, el canto, la respiración; en una educación integrada. Se aprenderá más mate­mática que nunca en la educación general y, sin embargo, no se la enseñará separada excepto, evidentemente, a edad más elevada, en la educación especializada, la cual, realmente, tendrá más alumnos Pero no pidáis nunca

(Viene de pág. 9)

ConclusiónEste artículo no es, de ninguna manera, un

alegato para introducir la teoría de las catego­rías como disciplina matemática indispensable. He expuesto simplemente los rudimentos del vocabulario fundamental del lenguaje de las categoría y los funtores. No obstante, estoy convencido que ese lenguaje debería ser fami­liar, y lo será muy pronto, para todo estudian­te que aborde un ciclo matemático en la uni­versidad y, sin duda, muy pronto. Creo ade­más que el lenguaje de las categorías revelará cuán cercanas están numerosas teorías mate­máticas diferentes e indicarán cómo pueden vincularse entre sí. Debido a su generalidad, la

teoría de las categorías es una preciosa fuente de conjeturas matemáticas significativas; como contrapartida, siempre en virtudt! ) de su ge­neralidad, es también rica en teoremas superfi­ciales.

cosa que no se

'como rama

Para los que deseen avanzar más, recomiendo la obra de S. Mac Lañe y G. Birkhoff, Algebra, Mac Millan, Nueva York, 1957, 589 pág. que está traducida al francés por Gauthier-Villars y publicada en dos to­mos, honrados por un prefacio de J. Dieudonné. Se trata de una exposición de álgebra moderna en una óptica categorial.

El experto en potencia consultará el libro más especializado de B. Mitchell, Theory of Categories, Academic Press, Nueva York, 1965, 273 pág.

que hoy. que se os diga cuánta

matemática puede aprender un niño. Pregun­tad, más bien, cuánta matemática puede, en la educación, contribuir a la dignidad humana del niño ([23]).

3233

)

I

LA ENSEÑANZA ELEMENTAL Ide "alumnos del aula'" En este Universo se podrán hacer todo tipo de clasificaciones que tengan por elementos a los alumnos y cuya cantidad o amplitud está dada por la restric­ción de tener que estar indefectiblemente en el aula.

Nos será sumamente útil en nuestro estudio trabajar con un material utilizado como refe- rencial, que bien puede ser confeccionado por nosotros mismos. Los Bloques Lógicos de Dienes y Hull son un buen conjunto referen­cia! para hacer clasificaciones. Este material tiene la ventaja de que las diferentes combina­ciones de atributos, de sus 48 piezas, están estructuradas. Todos sus elementos poseen atri­butos de forma, color, tamaño y grosor; y cada uno de ellos, sus respectivas variables de atributos: cuadrado, círculo, triángulo o rec­tángulo para la forma; rojo, azul o amarillo para el color; grande o chico para el tamaño, y grueso o fino para el grosor. Observemos que, al menos, esos cuatro atributos se dan simultáneamente en cualquier pieza conside­rada/ en cambio, serán excluyentes entre sí las variables de atributos para un mismo bloque.

Las variables de atributos se forman en la mente del niño por comparación; y con esta comparación la mente toma analogías y con­trastes.

Comparando bloques de distinta forma, ob­servamos que ésta es una característica de los mismos y, al comparar con los de la misma forma, se adquiere la ¡dea de redondo, cuadra­do, etc. La mente humana tiene el poder de prescindir de algunos atributos y de fijar su atención en otros.

Convengamos, para lo sucesivo, en conside­rar los atributos de los elementos del material como propios de los objetos mismos, sin tener en cuenta aquellas características que en deter­minadas situaciones podría tener, por ejemplo, por su posición relativa a los demás. Esto nos evitará discutir situaciones ambiguas. Como aclaración, digamos que, en un mazo de car­tas, tomado como referencial, al naipe siete de espadas !o tomaremos como tal; es decir, que tiene como variables de atributos "ser un sie­te" y "de espadas" a la vez, independientemen­te de que la carta se halle dóda vuelta, parada o en cualquier otra posición en que pudiésemos observarla.. De esta forma lograremos clasifica­ciones absolutas, precisas y claras para algún eventual observador ajeno a nosotros mismos.

:

De la clasificación de los con untos .

Juan José ROSSI (Argentina)

Clasificación UniversoSi comenzamos nuestro estudio acerca de la

clasificación buscando el significado de la mis­ma, podríamos hallar definiciones como la si­guiente:

A menudo, cuando deseamos clasificar los elementos que nos rodean, nuestra atención se dispersa en gran número de objetos de rica variedad. Son demasiadas y muy heterogéneas las cosas que se hallan a nuestro alrededor. Así, si nos propusiéramos clasificar los árboles de acuerdo con el tipo de hoja que tienen, podríamos lograrlo perfectamente por medio de nuestros conocimientos de botánica. Pero aquí se presenta una cuestión no prevista ante­riormente: ¿cuáles son los árboles que entra­rán, o que consideraremos, en la clasificación? Las respuestas pueden ser variadas: podrán ser los que están cerca, o los de esta plaza, o más aún, los de toda la zona, etc. De esta formaba medida que varía el dominio en consideración, cambia también el número de árboles que ten­dremos en cuenta para la clasificación. Este in­conveniente, planteado

"Acción y efecto de clasificar. Ordenación y repartición de un conjunto de objetos en varios grupos menores y parciales, coordinados y subordinados, de acuerdo criterios.

Hacer una clasificación de acuerdo dicho nos hace tropezar de inmediato varios problemas, entre ellos el uso de voca- bles como "conjunto", "coordinados", "crite­rios", etc., que el lenguaje común, en un in­tento acomodaticio, ha tratado de explicitar no siempre con buen éxito. Siguiendo este camino, nos veríamos superados por un nivel de lenguaje que se apoya en nuestra intuición a menudo, vaga. ¿Cuál debería ser el camino para dar una interpretación de lo que significa clasificar?

■

con uno o varios

a locon

Propiedades o Atributos de los elementos del Referencial

Detengamos nuestra atención, ahora, en los objetos o elementos que forman nuestro Uni­verso o Conjunto Referencial. Podemos; decir que poseen por lo menos una "propiedad", pues de alguna manera los estamos diferen­ciando del resto de elementos que no pertene­cen a nuestro Universo. Analizando los atribu­tos más fácilmente distinguibles que poseen los objetos dentro de un material como los Bloques Lógicos, los mismos, son reconocibles en sus piezas sin tener en cuenta para ello^, otras consideraciones más que las piezas mis­mas. Es muy probable que los niños aprendan a diferenciar en primer lugar las variables de atributos de la forma y del color, quizá por­que la experiencia recogida en el medio am­biente haga que no sea necesaria su compara­ción con los demás elementos del material. No ocurre así con las variables del tamaño y del grosor en las que, si bien son relativas como las anteriores, será indispensable, para su reco­nocimiento, tener en cuenta a los otros blo­ques para decidir su variable de atributo co­rrespondiente. Sin embargo, es conveniente aclarar que la ¡dea de "redondo" no podemos obtenerla con el examen de un objeto redon­do. Ni siquiera podríamos obtenerla si todos los objetos que existieran fuesen redondos.

Criterios de clasificación. Partición del Uni­verso.

Efectuar una clasificación con un material significará que, dado un criterio clasificatorio, se pueden distribuir los elementos de ese ma­terial en conjuntos que respondan a ese crite­rio adoptado. La elección de un criterio debe­rá hacerse siempre teniendo en cuenta los atri­butos que poseen los objetos a clasificar. Un sólo criterio hará que todos los elementos se distribuyan, inequívocamente de tal forma que los atributos que entran en juego agrupen dichos elementos respondiendo al mismo crite­rio clasificatorio.

Tomemos, por ejemplo, el atributo color en los bloques lógicos. El resultado de efectuar una clasificación por el color, agrupará a todos los bloques en tres (3) conjuntos distintos, ca­da uno de los cuales estará formado por piezas cuyas variables de atributos serán el color ro­jo, el color azul o el color amarillo, respectiva­mente. El criterio que se utilizó, correctamen­te enunciado, fue "tener el mismo color que". Esto significa que cada bloque de cualquiera de los conjuntos que han quedado formados tiene el mismo color que todos y cada uno de los demás elementos integrantes de ese conjun-

por la ambigüedad que supone no conocer la cantidad de los árbo­les afectados a la clasificación, es fácilmente superable. Sólo debemos, previo a la clasifi­cación, delimitar en forma precisa cuál será la amplitud del dominio sobre el cual podremos actuar. A ese dominio o ámbito lo llamaremos Universo, Referencial, o Conjunto Base. Este marco de referencia nos indicará, en todo mo­mento, cuáles son los elementos que inevita­blemente tendremos ción

La respuesta no debemos buscarla en unesfuerzo de clarificación etimológica de los términos. Reparemos simplemente en un he­cho importante que a veces no valoramos. Un niño, ante un material determinado manipular, en algún momento de concluirá por hacer la clasificación tros

.

que puede su examen,

que noso-habíamos intentado definir. Para efectuar­

la, el niño no necesitó valerse del significado de palabras previas. Esta actitud primitiva es la que, probablemente, adoptó el hombre en sus comienzos al tratar de discernir la cualidad de los objetos que le rodeaban.

Es decir, podremos considerar a la clasifica­ción como una actividad elemental en la cual decidimos naturalmente juntar o agrupar entre sí objetos de nuestro medio en los que reco­nocemos algún atributo o propiedad percepti­ble que los hace diferentes de los demás, en tanto ese reconocimiento sea accesible al suje­to que clasifica.

en cuenta en la clasif¡ca­que en él efectuamos. Es claro

determinado.que, en '

momento, podremos variar tro Universo en amplitud objetos que lo

nues-o en la cualidad de

componen,con lo cual el Uni­verso elegido no sólo nos delimitará la canti­dad de los elementos que se desean clasificar, sino también a cuáles de ellos, por su cuali­dad, les será aplicable la clasificación rada. conside-

Veamos el siguiente ejemplo: tomemos el Universo de alumnos del aula. El conjunto base está bien definido, por supuesto, si se ha aclarado a qué nos referimos cuando hablamos

3435

I i

por haber aplicado un criterio clasificatorio por enumeración si, elegido un Universo, for­mamos arbitrariamente los conjuntos de mane­ra que las variables de atributos de cada uno de sus elementos sean descriptas explícita­mente. Un ejemplo de partición utilizando un criterio clasificatorio por enumeración, podría ser el representado en la fig. 2.

Cualquier elemento de un conjunto referen­cial partido, ya sea con un criterio por com­prensión o con un criterio por enumeración, forma parte, sin ambigüedad, de uno y sólo uno de los conjuntos creados. En este caso, decimos que dicho elemento pertenece al con­junto del cual es integrante. La única posibi­lidad contraria es que tal elemento no perte­nezca al conjunto. Este concepto de pertenen­cia, que ahora hemos aclarado, es también tan primitivo que su uso ya fue necesario para la determinación del Universo sobre el que íba-

clasificar. Es decir: en esa determina-

negros". Juan, Ana y Carlos son los entes materiales concretos que constituyen la enu­meración de Z.

Recorramos el camino de la formación de conjuntos en sentido inverso, es decir que, en forma totalmente arbitraria, comenzamos agru­pando nosotros los elementos de un Universo en conjuntos, para luego ver si es posible ha­llar el criterio clasificatorio que, teniendo en cuenta los atributos de los objetos, los hubiese distribuido de la misma forma. Podemos prác- ticar una partición del Universo, no por un criterio adoptado previamente, sino que por enumeración decidimos a voluntad cómo van a formarse los conjuntos de ese Universo.

¿Se podrá siempre hallar el criterio clasifi­catorio por comprensión que hubiese dispues­to los elementos así como lo hemos hecho nosotros y sólo de esa forma? Es probable que ello no ocurra teniendo en cuenta los atributos inmediatamente perceptibles de los

tación es obvia: en efecto, hubo una partición del Universo en un solo conjunto que coincide

el referencial. Todos sus elementos ponden al criterio elegido, y el atributo "ser de madera", que participa, es común a todos ellos y sólo a ellos.

to ai que 61 pertenece, y sólo de ese conjunto. Se produjo de esta forma, una PARTICION del Universo que responde a un criterio clasifi­catorio determinado. Es decir, todos los ele­mentos del referencial tienen la oportunidad de pertenecer a uno y sólo un conjunto de los formados por la partición. De igual manera se podía haber optado por el criterio "tener la misma forma que" y, entonces, el conjunto de los bloques lógicos hubiese quedado partido en cuatro (4) conjuntos cuyos elementos res­ponden a la propiedad de tener, entre sí, la misma variable de atributo triangular, cuadran­glar, rectangular o circular respectivamente.

con res-

Formación de conjuntosHasta ahora se han aclarado los nombres de

algunos temas que se deseaban tratar. Sin em­bargo, no escapará al lector que hay otros tantos nombres que la claridad de la lectura impuso para poder explicar los conceptos vis­tos. A esos términos de uso muy frecuente, resulta difícil sustituirlos por otros que sean más precisos y, aun en ese caso, sólo se conse­guirían sinónimos del término en cuestión. Tal es el caso de las palabras conjunto y pertenen­cia ya usadas.

Se dijo que al efectuar una partición que respondía a cierto criterio clasificatorio, el Universo tratado, automáticamente, se des­componía en conjuntos perfectamente delimi­tados. El concepto de conjunto utilizado hace referencia a todos los elementos que quedaron vinculados entre sí o ligados, circunstancial­mente, por poseer uno o varios atributos co­munes que fu.eron expresados por el criterio que se empleó. Consecuentemente con lo ante­rior digamos que un conjunto es un ente pri­mitivo que no podemos definir pero sí formar a través del proceso de clasificación. Muy es­pecialmente, se debe tener en cuenta que un conjunto es una entidad abstracta, aun cuando los elementos que lo integran o que le perte­necen sean entidades concretas. No existe terialmente el conjunto de los bloques azules. Sí existen los bloques de madera azules forman el conjunto.

La propiedad

mos ación, se han seleccionado de manera conve­niente los elementos que iban a pertenecer o no al Universo.

objetos.En el siguiente g'ráfico se ejemplifica un

de partición utilizando un criterio clasifi­casocatorio por enumeración. iCambio de Universo. Subconjuntos.

Al llegar a este punto, quizá el nombre mismo del tema nos ayude a desarrollarlo. Efectuada una clasificación se obtienen, a con­secuencia de ello, conjuntos. El paso siguiente sería: o bien volver a hacer una clasificación con distinto criterio y el mismo universo, o bien variar el proceso. Es decir, practicar, sí,

clasificación, pero tomando como

Fig. 1

Debemos, asimismo, tener cuidado al elegir los criterios, descartando aquellos que no sir­van para partir todo el Universo en conjuntos, es decir, los criterios que contemplan atributos que no poseen todos los elementos del referen­cial en que se está trabajando. Si con los bloques hubiésemos adoptado el criterio "te­ner el mismo número de lados que", evidente­mente nos hubieran quedado sin poder ubicar los círculos. Dicho criterio sólo nos sirva para partir algunos de los bloques del Universo, esto es, los que son cuadrados, rectángulos o triángulos.

¿Qué ocurre si elegimos dentro del conjun­to de los bloques lógicos el criterio "ser del mismo material que"?

Por ser todos los elementos del mismo ma­terial, en este caso, de madera, pertenecerán todos al mismo conjunto coincide con el referencial. ¿Hubo caso

una nuevareferencial uno cualquiera de los conjuntos formados anteriormente. Se ve de inmediato que el procedimiento puede repetirse hasta agotar las posibilidades de clasificación.

Resulta comprensible llamar subconjuntos a cada uno de los nuevos conjuntos que se for-

al efectuar, por algún criterio, una parti­ción del conjunto que se tomó como base.

Universo el conjunto de los bloques rojos o azules. Si en él se clasifica por el criterio "mismo color que", los conjun-

forman son el de los bloques rojos

ma­

sólo se consideraron bloques finos.

En este caso, es visible que no existe un criterio clasificatorio por comprensión que hu­biese partido de la misma manera el Universo restringido considerado. Sintetizando lo ante­rior, digamos que:

a) Elegido un Universo, en él podemos efectuar una partición que sea el resultado de aplicar un criterio clasificatorio por compren­sión, el cual deberá, necesariamente, enunciar el o los atributos comunes de todos los ele­mentos que clasifica. Por ejemplo, en el Uni­verso de los Bloques Lógicos, un criterio clasi­ficatorio por comprensión podría ser "tener lamisma forma que".

b) Diremos que se práctica una partición

queman

que agrupa los elementos de un conjunto se puede considerar como la com­prensión del mismo; todos y cada uno de los elementos que forman el conjunto puede siderarse • de los cuales

Tomemos como

con­como la enumeración de elementos

es predicable la propiedad.Los niños que tienen

necen al

tos que sey el del losbloquesazules. Haciendo una nueva clasificación dentro del conjunto de los bloques rojos, mediante el criterio "misma forma que", quedará partido, él mismo, en cuatro subconjuntos (círculos rojos, cuadrados rojos, rectángulos rojos y triángulos rojos) que vez podrán ser tomados, cada uno de ellos, como conjuntos en los que se podrán volver a efectuar otras clasificaciones. Así, en el con­junto de triángulos rojos se puede aplicar el

zapatos negros perte- conjunto cuya propiedad o compren­

sión es precisamente ía de niños cuyo atributo Juan, Ana y Carlos, que llevan ción de la

que casualmente en este

una partición del Universo? Antes de contestar la pregunta, reparemos en lo siguien­te: solemos decir que a un número lo dividi­mos aun cuando lo estemos haciendo por la unidad. El resultado de tal cociente es el mis­mo número. Si este ejemplo sirvió para decidir

respuesta a la pregunta anterior, la contes-

estar- formado pores poseer zapatos negros, que son los únicos niños

zapatos negros, forman la enumera- propiedad del conjunto. A dicho

conjunto lo podíamos haber nominado, por ejemplo, con la letra Z.

En resumen: Z simboliza al ente abstracto cuya comprensión es "niños que tiene zapatos

a su

una 37

36

las

!

;considera posible la formación de conjuntos cuyos elementos han sido arbitrariamente ele­gidos. Es decir que, por comprensión o enu­meración, se puede definir perfectamente un conjunto, entendiendo por "definir" que se conocen, sin lugar a dudas, los elementos que forman el conjunto. Suele decirse que dicho conjunto está definido por comprensión si se da una propiedad común que caracteriza a los objetos que lo constituyen. Asimismo, estará definido por enumeración o extensión cuando se nombran explícitamente todos los elemen­tos que le pertenecen.

Para cualquiera de las dos formas que haya­mos elegido para definir nuestro conjunto C, todos sus elementos y sólo ellos poseen la propiedad P que los agrupa y caracteriza. Si únicamente algunos de los elementos del Uni­verso participan de la propiedad P, entonces el resto de los elementos no la poseen, pues de lo contrario deberían pertenecer al conjun­to C. Esos elementos que no poseen la propie­dad P ¿tendrán alguna propiedad en común que los pueda agrupar? Sí, la tienen. Y justamente la negación de la propiedad P, es decir, la propiedad-P (léase: noP), que tam­bién se considera una propiedad. Ya elementos están agrupados ahora por una pro­piedad -P común, están perteneciendo conjunto C llamado complementario del rior. Si en primer lugar tenemos en cuenta al conjunto C, entonces su complementario será el conjunto C, pues negando la propiedad —P del conjunto C obtenemos nuevamente la pro­piedad P del conjunto C. En otras palabras: la negación de la negación de una propiedad da como resultado la misma propiedad; o tam­bién: el complementario del complementario de un conjunto es el mismo conjunto. En símbolos -(-P) equivale a P; C = C.

Esta forma de clasificar el Universo permite en todos los conjuntos: uno

criterio "mismo tamaño que", quedando el subconjunto de triángulos rojos grandes y el subconjunto de triángulos rojos chicos. Un úl­timo criterio permite volver a partir a cual­quiera de esos dos conjuntos. Aplicando "mis­mo grosor que" habremos llegado a formar, finalmente, el subconjunto de triángulos rojos grandes gjuesos y el subconjunto de triángulos rojos grandes finos. Se observa que estos sub­conjuntos últimos son unitarios, es decir que a cada uno de ellos pertenece uno y sólo un elemento.

En el Universo de los bloques, ¿qué ele­mentos pertenecerán al conjunto complemen­tario del conjunto cuyos elementos se agrupan por la propiedad "ser de madera"? En este caso, como todos los bloques son de madera, pertenecerán al conjunto C; luego, el conjun­to C no poseerá bloque alguno, en cuyo caso se llama vacío. Extendiendo el lenguaje, suele decirse que al conjunto vacío pertenecen los elementos que poseen una propiedad P que no es cumplida por elemento alguno.

Ejemplo: Un conjunto vacío V podría ser el formado por todos los niños de una sala de jardín de infantes que tienen 28 años de edad.

los mismos elementos; que la igualdad de con­juntos se refiere a los elementos en sí mismos y no a las propiedades de los elementos. La igualdad de los conjuntos implica una identi­dad real, material y esencial de los elementos de estos conjuntos y un objeto no es ni puede ser idéntico más que a sí mismo.

La idea de igualdad entre conjuntos no se hace explícita más que cuando nos encontra­mos en presencia de definiciones diferentes de un mismo conjunto. Ello ocurrió cuando efec­tuamos las dos particiones al comienzo del tema.Es probable que en este momento surja la

siguiente pregunta: ¿No será el Universo mis­mo que hemos tomado como conjunto inicial de trabajo, un subconjunto de otro conjunto más vasto que podría ser su referencial?

Los que aún no hayan reparado en esta cuestión, quizá tengan ahora una ventana abierta al infinito: ¿Cuál es el Universo que detrás de cada Universo deja de ser subconjun­to de otro conjunto llamado Universo? Cuan­do un conjunto es subconjunto de otro dire­mos que éste se halla incluido en aquél. Es ésta, entonces, una relación que vincula la parte con el todo, al conjunto incluido con el incluyente. Todos los conjuntos determinados por una partición estarán incluidos en el refe­rencial elegido. El conjunto de los círculos azules es parte o subconjunto de los bloques azules; en consecuencia, la inclusión se verifica en este caso para el conjunto de los círculos azules en el de los bloques azules.

Resultará un ejercicio interesante bar con el material de

Un juego interesante para prácticar la igual­dad de conjuntos, resulta cuando se define un conjunto por enumeración y pedimos a un alumno que al mismo conjunto lo defina por comprensión. Con los bloques podremos defi­nir el conjunto.

Criterios distintos que clasifican de la misma forma

Intentemos efectuar en un referencial de bloques dos particiones que respondan a lo siguiente:

Primera partición: definida por objetos que ruedan y objetos que no ruedan.

Segunda partición: definida por los bloques que son círculos y los que son no círculos.

Los criterios utilizados han sido distintos en ambos casos; sin embargo las particiones determinan los mismos conjuntos. Es bastante

'

!

Res

Simbolizado por los elementos que se ha­llan entre llaves, pidiéndose luego que se nos dé el mismo por comprensión, que deberá ser

[triángulos grandes finos}*

Esta igualdad es tal, porque se refiere a los objetos mismos y no a los signos expresados en el papel, que son distintos. Las imágenes de los objetos sólo nos sirven para representarlos. La siguiente igualdad que relaciona a dos con­juntos definidos por enumeración, también es válida en tanto las palabras usadas representen al mismo objeto:

[lápiz, goma = goma, lápiz}

El cambio del orden en los elementos de un conjunto, no altera su identidad; este prin­cipio es conocido con el nombre de conser­vación de los conjuntos.

Combinación de atributosEs probable que al clasificar un material,

surja la necesidad de tener en cuenta más de un atributo del mismo para proseguir clasifi­cando. Los atributos perceptibles generalmente son pocos, lo cual impide efectuar muchas clasificaciones; pero resulta interesante usar la combinación de esos mismos atributos para

la variedad de particiones que resultan posibles. En esta etapa, es muy importante concretar las clasificaciones que se deseen ha-

que esosfácil, con un material estructurado por noso­tros, hacer que varios criterios diferentes y utilizados uno por vez, distribuyan los elemen­tos del Universo de igual forma. Observemos entonces esta regla general: a toda propiedad corresponde un solo conjunto de cuyos ele-

predicable tal propiedad; y a todo conjunto corresponde por lo menos una pro­piedad que lo caracteriza.

El hecho de que las dos particiones anterio­res distribuyan los elementos de igual forma, hace que los conjuntos que han quedado for­mados sean los mismos.

Decimos que dos conjuntos son iguales cuando están compuestos exactamente por los mismos elementos y no por elementos simple-

parecidos. Aunque nos resulte chocan-

a un ante-

compro- nuestro Universo, que

todo elemento de un conjunto incluido en otro siempre pertenece por sus atributos al conjunto incluyente. Se puede, entonces, lle­gar a deducir de la propiedad de un subcon­junto, la propiedad del conjunto que lo inclu­ye. Como ejemplo del ejercicio anterior, se podrá tomar un círculo azul cualquiera: este elemento pertenece al conjunto de los bloques azules por participar de la comprensión del mismo.

mentos es

casos partir el Universo en dosy su complementario.

mentete, un conjunto formado por un bloque cua­drado amarillo grande y grueso, y otro conjun­to al que le pertenece un bloque cuadrado amarillo grande y grueso de otro juego de bloques, no presentan diferencias de atributos alguna: sin embargo, no son iguales en cuanto a los objetos materiales que poseen, puesto

de madera dis-

Partidón del Universo complemantario.

A las dos formas anteriores de clasificar un Universo, se agrega esta tercera, cuya caracte­rística es partir siempre en dos conjuntos al referendal.

Dado un conjunto base se puede, mediante propiedad selectora de variables de atribu­

tos, agrupar aquellos elementos y sólo aquellos posean dicha propiedad. Este principio

en un conjunto y su

que sus elementos son trozos tintos. Ambos son iguales por los atributos de sus elementos. Por lo tanto, es necesario sub-

sólo hay igualdad de conjuntos

una ver

Ejemplo de partición de un universo en un conjunto y su complementario.

rayar quecuando estos conjuntos están constituidos por

que

38 39

i

cíente. Sí permitimos que se ajuste el criterio dado, probablemente surgirá ahora el siguien­

do bien triángulo o bien cuadrado"; res­exactitud se podrá confirmar con

cer pues, entonces, se verá que no siempre resulta sencillo distribuir los objetos del mate­rial de acuerdo al criterio propuesto.

Tomemos un bloque cualquiera y nombre­mos sus variables de atributos para caracteri­zarlo. Si el bloque que tenemos en la mano es círculo rojo grande y fino resulta necesario, en este caso, combinar las variables de atributos que posee. Lo que ocurre, en forma precisa, es que dicho bloque posee simultáneamente las cualidades de ser círculo y de ser rojo y de ser grande y de ser fino. Notemos cómo hemos

ESPACIO DE POLEMICAte:puesta cuyalos bloques que se extraigan. Se amplían las posibilidades de combinar atributos mediante

partícula de conexión. Los atributos del material se pueden combinar de manera que se cumpla "o tal cosa. . .o tal otra". Claro está que no se excluye la posibilidad de que el criterio haga referencia a ambas propiedades simultáneamente. Se podrían haber puesto en la misma bolsa .todos los bloques cuadrados con todos los bloques azules; entonces, si el criterio que se ajustaba a cualquier pieza sacada hubiese sido "o bloque cuadrado o bloque azul", es evidente que se podía haber extraído un bloque cuadrado azul, con lo cual, en este caso particu­lar, los bloques cuadrados azules que se hallan en la bolsa cumplen las dos condiciones al mismo tiempo.

Después de a nueva matemáticaotra

David H. Wheeler (Gran Bretaña)

ido agregando variables de atributos mediante la partícula 'y' y como ellos reducen el con­junto de todos los bloques a una y sólo una pieza. Para aclarar el ejemplo, consideremos todos los círculos: tendremos 12 piezas. Agre­guemos a la condición anterior la de ser rojos: quedarán 4 piezas. El siguiente atributo agre­gado, de ser grande, los reduce a 2 bloques y, finalmente, la condición de que sea fino, iden­tifica una única pieza. Siempre que imponga­mos nuevas condiciones mediante la partícula Y estaremos restringiendo el número de ele­mentos del conjunto que "a la vez" las posea a todas. No resultará difícil formar conjuntos con atributos combinados, utilizando para ello elementos del aula que podrían ser los mismo niños. Podría pedirse que se agrupen en un rincón solamente aquellos niños que "a la

. y. .Es decir, por ejemplo, los que a la vez sean varones y tengan más de anco años. Los criterios que utilizan más de un atributo permitirán, en efecto, hacer particio­nes en un referencial dado. Así como se había partido el Universo de los bloques mediante el criterio "mismo color que", podremos ahora hacerlo didendo "mismo color y forma que", con lo cual se habrá conseguido una partición de doce (12) conjuntos, cada uno de los cua­les estará formado por cuatro piezas ponden al criterio clasificatorio dado.

En forma natural.

tica por su propio interés y por el interés de todos los estudiantes.

El casi universal desencanto con respecto a la "nueva matemática" ofrece algunas leccio-

y oportunidades a los docentes de mate­mática. Un movimiento educativo que llevó consigo corrientes de buena voluntad casi sin precedentes —buena voluntad de los agentes que lo promovieron, los educadores que lo experimentaron y el público que lo aceptó,— falló no obstante en el logro de ventajas. Aho-

la educación matemática ha salido del

No existe manera de prevenir a cualquiera que se dedique por sí mismo al mejoramiento de la educación matemática y haga sus propios descubrimientos dondequiera se halle, pero a menos que tenga alguna manera de atraer la atención de otros eduacadores por su trabajo y a menos que exista un público informado (incluso si es pequeño) que pueda apreciarlo, ubicarlo en su perspectiva, aprobarlo o recha­zarlo, ampliarlo, etc., no habrá ningún avance en la acumulación de conocimiento público.

Nadie duda que este mecanismo social exis­te en las ciencias puras y es un rasgo indispen­sable del crecimiento y del desarrollo del saber y de las técnicas. También parece actuar, si •bien más lenta y menos confiadamente, en las ciencias aplicadas y en ciertas ciencias huma-

la antropología y la psicología. Pero

nes

Se debe tener especial cuidado cuando, uti­lizando atributos combinados, partimos un Universo en un conjunto y su complementa­rio. Recordemos que si un conjunto tenía la propiedad P, su complementario tendrá la pro­piedad -P. Ahora bien, si combinamos atribu­tos, el conjunto C tendrá, por ejemplo, la pro­piedad R y Q. En tal caso, el conjunto C ten­drá la negación de dicha propiedad, es decir, "no ocurre que la vez R y Q. En símbolos -(R y Q). Es incorrecto, si se desea expresar la misma propiedad, negar los atributos por separado utilizando la partícula "y" de cone­xión.

ra queproscenio y es improbable que reaparezca por algún tiempo, los educadores, que saben que todavía hay mucho que hacer para dar a la enseñanza de la matemática su justa dimen­sión, tienen posibilidad de reagruparse, de jun­tar sus ingenios reflejados en las evidencias de los últimos años y de ponerse en contacto más estrecho con la realidad de los desafíos provo­cados por la ambición de dar a todo el mundo un estado de competencia matemática.

La necesidad de continuar trabajando, o de comenzar de nuevo, puede sintetizarse en tres

vez..

ñas comoeri educación no hay un mecanismo reconoci­do para el escrutinio público y crítico de cualquiera de los resultados de cualquier pen­samiento e investigación educativa. Un nuevo trabajador en ese campo tiene la posibilidad de señalar su presencia, de acuerdo con✓ su •diosincracia, sea mediante una literatura mis­celánea o colocándose aparte para comenzar de nuevo virtualmente desde la partida.

Cuando un matemático o un científico po- circulación un teorema o un descubri-

Lo mismo, ocurre cuando el conjunto C se forma mediante la combinación de atributos, R o Q. Al conjunto C complementario pertene­cerán los elementos que no cumplen la propie­dad R o Q. Es decir: —(R o Q).

Se propone el siguiente ejercicio, utilizando bloques lógicos: El conjunto C está formado por bloques rectangulares azules. ¿Es verdadero afirmar: "al conjunto C pertenecen los bloques que son o no rectángulos o no azules"?

Habiendo manejado ya y hecho práctica de las conectivas de atributos 'y' y 'o', que son los conceptos de conjunción y disyunción lógi­ca, respectivamente, podremos abordar ahora dos operaciones básicas apoyan en los

1. La nueva matemática resulta ser la res­puesta equivocada a cierto número de cuestio­nes fundamentales, pero las cuestiones subsis­ten y necesitan tener una respuesta.

2. Si una extremada precaución es la única respuesta al reciente fracaso, la educación ma­temática se estancará nuevamente. Estaríamos mejor protegidos si supiéramos en dónde está­bamos equivocados y lo usáramos para educar-

nosotros mismos. No obstante, más ge-

que res­

frecuente que surja otra manera de combinar atributos. Para indu­cir a ello, hagamos lo siguiente: introduzcamos en una bolsa todos los bloques que son trián­gulos además de todos lo que son cuadrados. Pidamos a un alumno que de la bolsa retire sin que los demás lo vean, un bloque cualquie­ra. Se puede invitar a los alumnos a decir de antemano qué cualidades pueden asegurar que tendrá el bloque extraído. Podrán decir será un cuadrado, con lo cual es muy probable que así sea. Sin embargo, el bloque extraído podría haber sido un triángulo, y entonces se verá que la condidón antidpada no era sufi-

no esne enmiento, acepta la responsabilidad de sus mani­festaciones y de su adhesión a ciertas normas de prueba y validez. Sabe que si ha sido negli­gente en el enfoque de su descubrimiento e irresponsable en sus conclusiones, su desljz aparecerá tarde o temprano puesto que existen ciertas personas, aunque sean pocas, que anali­zarán su trabajo y aplicarán normas de juicio aceptadas por todos, incluso por él. En desqui­te, la mayor parte de los escritos en el campo de la educación es descuidada, evasiva e irres­ponsable; con todo, nadie parece ser capaz de establecer esos defectos y de condenar esos

nos aneralmente, es necesario desarrollar criterios-

pueda emplear para prevenir que los groseros puedan tener tanta influencia

en el futuro, que den a todos I9S que estén en situación de tomar decisiones las armas para

que se •errores

entre conjuntos que se conceptos lógicos anteriores. hacer mejores juicios.

3. La nueva matemática fue un movimien­to impuesto desde arriba y fue promovida por poderosas fuerzas sociales que los maestros no resistieron y acaso no pudieron resistir. Los profesores de matemática necesitan lograr el control del destino de la enseñanza matemá-

Unión e Intersección de conjuntosLa unión de dos conjuntos

de agrupar en

quei

es la operación un solo conjunto los elementos

que pertenecen a uno o al otro conjunto. Se observa que el conjunto resultante posee las

(Siguen en pág. 45)40 41

■

I1

!.

promoción de su investidura particular, investidura que puede ser, y frecuentemente lo es, por alguna causa relacionada, buena o no, pero que de por sí nada importa en la educa­ción matemática. Los educadores de tica probablemente no verán ninguna para modificar sus estructuras de dad hasta que por lo menos el estudio de la educación matemática per se comience a mos­trar cierto rédito en forma de resultados cuya aplicación hagan, demostrablemente, más fáci­les y mejor remuneradas sus vidas profesionales.

La historia de la ciencia nos muestra que para progresar no es necesario atacar todas las cuestiones al mismo tiempo. El fenómeno de los descubrimientos "accidentales” no invalida la generalización de que los científicos, y to­dos los estudiantes serios, trabajan sobre blemas de los que saben que tienen posibilida­des de resolver. No debemos descorazonarnos al ver que es imposible encontrar inmediata­mente una respuesta para cualquier cuestión que pudiera concebiblemente pertenecer a la provincia de la educación matemática. Una parte de la disciplina en el estudio, reside en enfocar problemas que se pueden resolver que permanezcamos enterados de que el co­ciente de solubilidad de cualquier cuestión pueda recesitar ser recalculado continuamente.

Hay suficientes problemas no resueltos en la educación matemática para que cualquiera trabaje gustosamente durante un tiempo inde­finido. El mensaje implícito de los párrafos anteriores es que alguna acción deliberadamen­te iniciada pueda constituir un centro, un fo­co, un núcleo que actualmente está faltando y que parece esencial para el desarrollo visible de la educación matemática como estudio con carácter e integridad intrínsecos propios. Una acción tal no podría forzar el desarrollo; lo último que se espera es algún cuerpo judicial de "alto nivel” compuesto por personas elegi­das en su "status” corriente. Lo que se requie­re ahora es el tipo de oportunidad que pueda atraer a los trabajadores en una nueva activi­dad de interacción que mancomune intereses, genere, critique, y que tendrá éxito sólo en la medida que el trabajo producido sea convin­cente por el hecho de llevar verdad y saber

•flue (todos pueden usar. Puede ser optimista suponer que la verdad ha de ser reconocida allí donde esté, pero esto es ciertamente la piedra angular del caso: que la iniciativa co­mience con los que saben y cuando ellos ten­gan la esperanza de que sus acciones incremen­tarán eventualmente el número de los mismos.

trabajos de una vez por todas y de escoger losa un análi-

una inquietudes docentes

Sobre la extracción de

la raíz cuadrada

pocos trabajos que pueden superarsis riguroso.

¿No hay equivalente de los hechos y teo­rías científicas en la educación matemática? ¿No hay- posibilidad de erudición? ¿O de pro­bidad intelectual? ¿No hay manera de apelar a la sensibilidad universal? ¿No hay partes de ella que puedan ser sabidas?

Hay algunas dificultades intrínsecas acerca de la forma de responder afirmativamente a estas cuestiones. La educación matemática es un campo aplicado y no puede ser estudiado exclusivamente desde un sofá. Igualmente que todos los campos aplicados, presenta difíciles cuestiones sobre los procedimientos a adoptar para testimoniar los resultados y las relaciones más apropiadas entre sus generalizaciones y las observaciones empíricas. En segundo término, se trata de un campo humano y no se lo puede estudiar exclusivamente en un laborato­rio. Se debe tomar en cuenta el hecho de que sus componentes humanos —porque la gente implicada tiene su propio albedrío- introdu­cen un ingrediente de impredictibilidad y cier­to grado de variabilidad que vuelven imposible la réplica experimental y frecuentemente más significativas las diferencias entre las situacio-

matemá-razón

responsabili-

iCarlos L. COQUEUGNIOT*

(R. Argentina)

La práctica de la ejecución de las diversas operaciones aritméticas ha ido evolucionando a través de los años a medida que se vio que un niño de escuela primaria es capaz de asimilar mucho más de lo que se creía en la época lejana en que se decía "la letra con sangre entra" y en que se recurría a castigos de diversa índole creyendo, con eso, facilitar la comprensión.

24523 X 20005

12261549046pro-490582615

El caso referido es el más primitivo que me ha tocado conocer; pero pasemos a la división y veremos que, aun hoy, son muchos los adultos mayores que las hacen como figura en el ejem­plo siguiente:

Por suerte, ese tiempo ya pasó; pero ha dejado sus resabios que es necesario desterrarla uno de ellos me quiero referir.aun-

Hagamos un poco de historia: conocí, hace unos cincuenta años, a un señor entonces de elevada edad, quien, posiblemente, en su lejana niñez, había aprendido de un muy primitivo maestro lo poco que sabía de aritmética. Para

multiplicación tal como

4956468 [347que sus semejanzas. En tercer término,

existe un campo, no una disciplina unificada, y no se lo-puede sacar exclusivamente de sistema de argumento y valoración. Se debe respetar la integridad de cada uno de los ele­mentos contribuyentes: la matemática misma, la psicología del aprendizaje, la ciencia del conocimiento, la biología y la neurofisiología del desarrollo humano, la sociología de los grupos pequeños, etc.

Estas dificultades pueden sin embargo, pali­decer frente a otras que raramente se recono­cen. El estado social y la reputación de las personas implicadas en la educación matemá­tica nunca ha llegado a asociarse con sus con­tribuciones al conocimiento o a las mejoras en los métodos de estudio. Acaso sólo en política sea más fácil que en educación nombre o hacer

nes 142833471486un 1388

hacer una 24523x20005 escribía todo lo que indico a

984694

continuación: 2906. 277624523 x 20005 1308

12261500000

0000000000

49046

1041267

Sin embargo, es bien sabido que hoy no hay (o no debe haber, (1), un niño de escuela primaria que haga las divisiones en esa forma. La experiencia ha demostrado que un niño normal, cuando llega a aprender la división, es capaz (si se la enseñan así desde un principio y con dificultades bien graduadas) de efectuar las divisiones sin escribir los productos del divisor por cada cifra del cociente y todos resuelven mentalmente la doble operación de multiplicar, cifra por cifra, el divisor por una cifra del cociente y de restar los sucesivos productos del resto parcial anterior con lo cual la operación

. precedente queda reducida a:

4905826155

»conseguir un una carrera por razones que

no tienen nada que ver con la eficiencia en la práctica o la integridad en la prosecución de su estudio. En cada nivel aprovechan la venta­ja de trabajar en un campo donde nada está "realmente conocido", de cios no pueden ser ni las actividades criticadas

y decía: cero por tres cero, cero por dos cero.I etc.

Esta operación produciría hoy la risa de niño bien enseñado de segundo grado; éste no pierde tiempo y espacio para hacer quince multiplicaciones por cero, sino que las pasa por alto y coloca las unidades de cada producto parcial no nulo debajo de la cifra del multiplica­dor con la cual opera y la operación precedente queda reducida a:

un

manera que los jui- exitosamente contradichos

con precisión. Casi nadie parece aceptar un reclamo mayor sobre su interés por la educación matemática que la

42 43

.

]

1sión para operar mentalmente y el resultado es que, al egresar de 5o año, casi no hay un bachiller capaz de extraer una raíz.

Para extraer una raíz cuadrada como la que indico a .continuación no es necesario escribir nada más que lo contenido en este como lo justificaré *nás adelante:

4956468 1347 hallado (16) formando así el número 163 y se baja la segunda cifra del segundo período for­mando el número 573.

c) Ahora, también con una operación men­tal igual a la que se hace en la división, se multiplica el número formado a la derecha (163) por la cifra de sus unidades (3) y simultá­neamente se resta el producto (sin escribirlo) del resto parcial anterior. Se obtiene el nuevo resto 84. La cifra 3 se lleva al siguiente lugar del resultado.

Ya está a la vista que repitiendo ahora indefinidamente lo indicado en los párrafos a), b) ye), precedentes, se termina la operación. Pero quiero señalar todavía.otra ventaja de la disposición que propicio.

que figura en el ejemplo "A” dado precedente­mente y con una disposición que resulta clara, ordenada y, por lo mismo, más fácil de recor-

1428314869842906 dar.

1308267 Para terminar, cabe esta reflexión: si casi

nunca se tiene en la práctica ocasión de extraer una raíz cuadrada; si para las actividades co­munes no se sale de las cuatro operaciones fundamentales; si en las profesiones técnicas se recurre a los logaritmos, a la regla de cálculo, a las máquinas de calcular y a las computadoras ¿no sería el caso, lisa y llanamente, de eliminar la raíz cuadrada numérica como se eliminan las raíces de orden superior?

ejemplo.

Ahora pregunto yo: si todos los niños son capaces de efectuar este doble trabajo mental cuando realizan una división ¿porqué no se aprovecha esa capacidad para simplificar el me­canismo de la extracción de la raíz cuadrada?

De necho, todos los niñus encuentran, en general, muy complicada esa operación. Tam­bién es un hecho que, si la aprenden en la escuela primaria, sólo por rarísima excepción se encuentra en primer año secundario un alumno que recuerde cómo se extrae una raíz cuadrada.

Pero esto no es nada. Lo peor es que se le enseña nuevamente en primer año secundario en la forma complicada que resulta de no aprovechar la capacidad adquirida con la divi-

y/ 6973051y2806 835048573 163

(A) 8405 166580192813391206

30502

1670041670088

La pregunta queda planteada; pero mientras siga figurando ese tema en los programas, sería tiempo de enseñarla de una manera sencilla y clara en vez de hacer de esta operación una tortura para los estudiantes.

Para calcular, en cada renglón, el duplo de la parte de raíz hallada, debe aprovecharse el trabajo ya realizado. En el primer renglón (163)

duplicadas las decenas de la parte de

Esa misma operación resuelta en la forma que se indica en buenos textos en uso actual­mente es como sigue: tenemos

raíz hallada y no las unidades por consiguiente, si a 163 le sumamos otras tres unidades se obtiene 166 que es el duplo de la parte de raíz hallada hasta el segundo renglón; lo mismo a 1665 le sumamos 5 y obtenemos, en forma más simple, el duplo de 835 y así sucesivamente.

• El profesor COQUEUGNIOT, veterano y presti­gioso docente argentino, nos ha enviado estas reflexio-

hacemos conocer a nuestros lectores (N.de R.)V 697305192806 835048

nes que64573 8x2= 16

83x2= 166573: 16 = 3 163x3 = 489

840: 166= 5(1} Me he enterado con asombro, mirando carpetas de tareasescuelasyse vuelve a enseñar hoy la división escribiendo los sucesivos-productos del divisor por las cifras del cociente. Considero que es un grave error pues es difícil más tarde desterrar esa mala costumbre y

adultos que nunca dejarán de efectuar la división en esa forma anticuada.

489 1665 x5 = 8325 de mi nieta menor que, por lo menos en algunas84058325

Con lo dicho queda bien evidenciado que, la práctica operatoria adquirida por

tros alumnos para la división, pueden extraer raíz cuadrada sin escribir nada más que lo

801928668016

835x2= 1670 801: 1670 = 08350x2 = 16700 835504 x 2 = 167008 13391206: 167008 = 8

nues-con80192: 16700 = 4 167004x4 = 668016

1670088 x8=13360704-volveremos a tener13391206

133607043050!?

una

(Viene de la pág. 40)propiedades de ambos conectadas con la partí­cula 'o'. De esta manera, el conjunto unión podrá estar formado por elementos que po-

otra propiedad, o ambas, dé los conjuntos que intervienen en la operación.

El tratamiento que se ha hecho de la partí­cula lógica 'y', de conexión de atributos, se corresponde con la operación de intersección entre conjuntos. Esta operación determina un nuevo conjunto cuyos elementos pertenecen, a la vez, a los conjuntos operados.

Esta presentación de posibles operaciones entre conjuntos, por estar directamente rela­cionada con las formas vistas de conectar atri­butos ha sido breve en su bargo, tuvo la intención de arraigar los con­ceptos que, posteriormente, al introducir la etapa de representación podrán ser tratados con mayor amplitud.

Lo escrito sólo puede ser afortunado en la conexión de ¡deas que hasta elHe tomado un radicando de muchas cifras

para hacer resaltar más cuanta escritura innece­saria hay si se compara esta operación con la del ejemplo "A".

Veamos ahora porqué digo que toda esa escritura no es necesaria (Seguir la explicación en el ejemplo "A").

cuanto amomento, y a nivel práctico, parecería que se han trabajado desconectadas unas de otras. Tratar de amalgamar el concepto subyacente de clasificación —tan importante en el desarro­llo mental del niño- con el contenido mate­mático que se corresponde, debería ser sólo el punto de partida del trabajo armonioso entre psicólogos y matemáticos. Aun más deseable sería entrelazar ambas disciplinas con la labor de pedagogos y el nexo fundamental de la maestra con los niños. Fruto de ese esfuerzo será, seguramente, una mayor comprensión del

de aprendizaje activo, creando, el mis-

del primer período, su excedente sobre el ma­yor cuadrado (5).

I seen una ua) El duplo de la parte de raíz hallada

(8 x 2) se escribe debajo del 8 del resultado sin que sea necesario escribir nuevamente 8x2 =^16; por ese motivo aconsejo escribir la primera cifra de la raíz dejando siempre un lugar a su izquierda, aunque sólo es necesario cuando esa cifra es mayor que 4.

b) Se debe ahora bajar una cifra del segundoperiodo (7) con lo que se forma el número 57 ycalcular (mentalmente) el cociente entero de losdos números que están en el mismo renglón (57y 16). Es ésta una operación mental igual a laque se hace siempre para la división. El cocienteEntero (3) se escribe a la derecha del duplo

♦

Es sabido que, separado el radicando en períodos de dos cifras a ambos lados de la coma, el primer paso consiste en determinar el mayor cuadrado contenido en el primer perío­do; como éste sólo puede tener el mayor cuadrado contenido cuadrado de un dígito, los

desarrollo. Sin em­ procesomo tiempo, en los alumnos un hábito agrada­ble hacia lo que requiera un esfuerzo mental y

entrañable amistad al pensamiento pro­

una o dos cifras, en él será el

que se saben dé memoria; se escribe directamente en el resulta­do la raíz de ese mayor cuadrado (8) y, debajo

unafundo.

4544

!

BIBLIOGRAFIALEDESMAge Cantor, sus tesis centrales y sus contradic­

ciones internas y los intentos de solución, las principales escuelas de filosofía de la matemá­tica, deteniéndose en I) D. Hilbert (Enumera­ción de problemas y requisitos previos para su solución), II) El sistema de la lógica de las funciones de verdad, III) La lógica de los pre­dicados y las teorías formales; IV) Propiedades metateóricas de la aritmética, 1) Lógica y arit­mética (Frege, Peano y Russell; 2) El progra­ma de Hilbert, 3) Los metateoremas de Gódel de 1931.

En las páginas finales.se refiere a la estruc­turación contemporánea de la matemática que. afirma, corresponde a la tesis de Nicolás Bour- baki, en la cual coinciden una serie de distin­guidísimas influencias, las más conspicuas del último siglo de la historia de la matemática, cuyas ¡deas sintetiza en las siguientes asevera­ciones. 1) La matemática se subdivide en ma­temática pura y aplicada, 2) La matemática pura es una jerarquía de estructuras matemáti­cas, (propuesta ésta que explícita la estructura de la matemática); 3) El concepto central de la matemática es el de estructura matemática); 4) La matemática pura se estructura a partir de la teoría de conjuntos; 5) El método de la matemática es el método axiomático; 6) La matemática, así estructurada, es un todo uni­tario. (Por eso, debe hablarse de matemática y no de matemáticas.

Eso hasta hoy; lo demás es futuro.Un libro que presenta tan abigarrado con­

junto de ¡deas y de crítica epistemológica, no es necesariamente un libro de fácil lectura. Requiere un amplio esfuerzo pero, no tene­mos ninguna duda que ese esfuerzo redundará muy provechosamente en beneficio de los do­centes, a quienes esta dedicado.

Finaliza el libro con una nutrida bibliogra­fía fundamental, la cual, como es lógico, con­tiene mayoría de obras en lenguaje extranjero, pero, a la vez, contiene la referencias a los libros publicados en nuestro idioma, muchas veces en traducciones, que no son tan escasos como algunos suponen.

Quedamos reconocidos al esfuerzo realizado por el autor, traducido en esta valiosa entrega, y mucho esperamos de su obra futura.

Reconocemos también el esfuerzo de la Editorial "El Coloquio".

Las Teorías Científicas, GOMEZ,Ricardo J., Desarrollo - Estructura Fundamentación, 424. Editorial EL COLOQUIO, Buenos Aires, 1977.

Resulta alentador que un prestigioso, do­cente argentino, el profesor Ricardo J. Gómez, haya emprendido la ardua tarea de realizar esta obra destinada a presentar en la forma más clara y rigurosa posible temas y proble­mas de la filosofía científica.

El autor emprende su tarea indicando que didácticamente conviene dividir el tema, tan vasto, en dos partes: Filosofía de las ciencias formales (Lógica y matemática) y Filosofía de las ciencias fácticas. La primera parte es la que se desarrolla en este volumen de acuerdo con el siguiente índice: Consideraciones prelimina­res: 1. Contenido, 2. Tesis, 3. Desarrollo; In­troducción: 1. La concepción tradicional de ¡a ciencia y su crítica, 2. El lenguaje científico, 3. Ciencias formales y ciencias fácticas, Las Teorías científicas formales,' Cap. I. Loj Ele­mentos de Euclides, Cap. II. Geometrías no eu- clidianas, Cap. III. Teoría de los conjuntos. Cap. IV. Matemática y metamatemática, Cap. V. Conclusiones.

En el desarrollo, trata de presentar en la forma más sistemática posible las opiniones sobre las teorías científicas de las distintas escuelas de la filosofía científica partiendo de una suposición básica: "todo análisis filosófico sobre las ciencias presupone el esclarecimiento de los hechos históricos sobre las mismas".

Pero un tratamiento filosófico requiere ana­lizar el aspecto histórico, el aspecto lógico metodológico de su estructura y de su funda- mentación que explique las peculiaridades del desarrollo. El autor expresa que su trabajo "está guiado por una ¡dea rectora: la constitu­ción, a lo largo del desarrollo histórico del concepto de "teoría científica matemática" y de "teoría fáctica".

El autor se detiene en la matemática para mostrar que hay una relación entre el concep­to de teoría matemática, de lógica subyacente/ y el criterio de progreso. Anuncia que se de­tendrá en la concepción de la matemática de algún modo sea más vigente. Para desarro­llar esta concepción de raigambre bourbakiana, encara el estudio del desarrollo de la geome­tría desde Euclides que desemboca en el naci­miento de las geometrías no euclidianas, el estudio de la teoría de los conjuntos de Geor-

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