测度论 ( measure theory ) theory-2018.pdf · 测度论( measure theory ) 主讲老师：刘勇...
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测度论 ( Measure Theory )
主讲老师：刘勇
电子邮件：[email protected]
办公室：理科一号楼 1574 办公电话：62758519
http://www.math.pku.edu.cn/teachers/liuyong/teachingindex.html
助教: 白成 （[email protected]）黄翔宇 （[email protected]）
2017-2018 学年第二学期
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Outline
1 2 月 26 日2 3 月 2 日3 3 月 9 日4 3 月 14 日5 3 月 16 日6 3 月 23 日7 3 月 28 日8 3 月 30 日9 4 月 6 日10 4 月 11 日11 4 月 13 日12 4 月 27 日
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课程要求
1 先修课程：概率论；实变函数 或 实变与泛函
2 作业：每两周收一次，双周周五上课时交做作业，单周周五上课时发作业。
3 答疑：暂定周二下午 3:00-4:00，理科一号楼15884 要求：作业按时交；不迟到；不早退
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课程要求
1 先修课程：概率论；实变函数 或 实变与泛函
2 作业：每两周收一次，双周周五上课时交做作业，单周周五上课时发作业。
3 答疑：暂定周二下午 3:00-4:00，理科一号楼15884 要求：作业按时交；不迟到；不早退
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课程要求
1 先修课程：概率论；实变函数 或 实变与泛函
2 作业：每两周收一次，双周周五上课时交做作业，单周周五上课时发作业。
3 答疑：暂定周二下午 3:00-4:00，理科一号楼15884 要求：作业按时交；不迟到；不早退
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课程要求
1 先修课程：概率论；实变函数 或 实变与泛函
2 作业：每两周收一次，双周周五上课时交做作业，单周周五上课时发作业。
3 答疑：暂定周二下午 3:00-4:00，理科一号楼15884 要求：作业按时交；不迟到；不早退
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特点：抽象，难学
经验：找例子，与实变函数，概率论，数学分析等课程相联系要求阅读的内容一定要读
成绩：平时成绩：10% 作业＋出勤期中考试：30% 随堂考试 时间：待定？？期末考试：60% 6 月 22 日上午
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特点：抽象，难学
经验：找例子，与实变函数，概率论，数学分析等课程相联系要求阅读的内容一定要读
成绩：平时成绩：10% 作业＋出勤期中考试：30% 随堂考试 时间：待定？？期末考试：60% 6 月 22 日上午
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特点：抽象，难学
经验：找例子，与实变函数，概率论，数学分析等课程相联系要求阅读的内容一定要读
成绩：平时成绩：10% 作业＋出勤期中考试：30% 随堂考试 时间：待定？？期末考试：60% 6 月 22 日上午
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特点：抽象，难学
经验：找例子，与实变函数，概率论，数学分析等课程相联系要求阅读的内容一定要读
成绩：平时成绩：10% 作业＋出勤期中考试：30% 随堂考试 时间：待定？？期末考试：60% 6 月 22 日上午
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教材与教学参考书
教材：测度论与概率论基础 程士宏 编著 北京大学出版社
教学参考书：
测度论讲义 第二版 严加安 编著 科学出版社现代概率论基础 第二版 汪嘉冈 编著 复旦大学出版社概率论基础 第二版 严士健 王秀骧 刘秀芳 编著 科学出版社测度与概率 第二版 严士健 刘秀芳 编著 北京师范大学出版社Measure Theory P. HalmosProbability Theory M. Loéve...
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教材与教学参考书
教材：测度论与概率论基础 程士宏 编著 北京大学出版社
教学参考书：
测度论讲义 第二版 严加安 编著 科学出版社现代概率论基础 第二版 汪嘉冈 编著 复旦大学出版社概率论基础 第二版 严士健 王秀骧 刘秀芳 编著 科学出版社测度与概率 第二版 严士健 刘秀芳 编著 北京师范大学出版社Measure Theory P. HalmosProbability Theory M. Loéve...
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教材与教学参考书
教材：测度论与概率论基础 程士宏 编著 北京大学出版社
教学参考书：
测度论讲义 第二版 严加安 编著 科学出版社现代概率论基础 第二版 汪嘉冈 编著 复旦大学出版社概率论基础 第二版 严士健 王秀骧 刘秀芳 编著 科学出版社测度与概率 第二版 严士健 刘秀芳 编著 北京师范大学出版社Measure Theory P. HalmosProbability Theory M. Loéve...
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教材与教学参考书
教材：测度论与概率论基础 程士宏 编著 北京大学出版社
教学参考书：
测度论讲义 第二版 严加安 编著 科学出版社现代概率论基础 第二版 汪嘉冈 编著 复旦大学出版社概率论基础 第二版 严士健 王秀骧 刘秀芳 编著 科学出版社测度与概率 第二版 严士健 刘秀芳 编著 北京师范大学出版社Measure Theory P. HalmosProbability Theory M. Loéve...
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教材与教学参考书
教材：测度论与概率论基础 程士宏 编著 北京大学出版社
教学参考书：
测度论讲义 第二版 严加安 编著 科学出版社现代概率论基础 第二版 汪嘉冈 编著 复旦大学出版社概率论基础 第二版 严士健 王秀骧 刘秀芳 编著 科学出版社测度与概率 第二版 严士健 刘秀芳 编著 北京师范大学出版社Measure Theory P. HalmosProbability Theory M. Loéve...
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第零章 基础概率论的简单回顾
目的: 为什么要学测度论？务虚: 现代概率论，理论统计学的基本语言和平台 Why？务实: 抽象
统一：计数，Lebesgue 积分，奇异分布，无穷维空间严格的数学基础：前行之保障
注记 1 概率论 vs 测度论注记 2 实变函数 vs 测度论
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第零章 基础概率论的简单回顾
目的: 为什么要学测度论？务虚: 现代概率论，理论统计学的基本语言和平台 Why？务实: 抽象
统一：计数，Lebesgue 积分，奇异分布，无穷维空间严格的数学基础：前行之保障
注记 1 概率论 vs 测度论注记 2 实变函数 vs 测度论
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第零章 基础概率论的简单回顾
目的: 为什么要学测度论？务虚: 现代概率论，理论统计学的基本语言和平台 Why？务实: 抽象
统一：计数，Lebesgue 积分，奇异分布，无穷维空间严格的数学基础：前行之保障
注记 1 概率论 vs 测度论注记 2 实变函数 vs 测度论
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第零章 基础概率论的简单回顾
目的: 为什么要学测度论？务虚: 现代概率论，理论统计学的基本语言和平台 Why？务实: 抽象
统一：计数，Lebesgue 积分，奇异分布，无穷维空间严格的数学基础：前行之保障
注记 1 概率论 vs 测度论注记 2 实变函数 vs 测度论
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第零章 基础概率论的简单回顾
目的: 为什么要学测度论？务虚: 现代概率论，理论统计学的基本语言和平台 Why？务实: 抽象
统一：计数，Lebesgue 积分，奇异分布，无穷维空间严格的数学基础：前行之保障
注记 1 概率论 vs 测度论注记 2 实变函数 vs 测度论
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第零章 基础概率论的简单回顾
目的: 为什么要学测度论？务虚: 现代概率论，理论统计学的基本语言和平台 Why？务实: 抽象
统一：计数，Lebesgue 积分，奇异分布，无穷维空间严格的数学基础：前行之保障
注记 1 概率论 vs 测度论注记 2 实变函数 vs 测度论
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第零章 基础概率论的简单回顾
参考：概率论基础 第三版 李贤平 编著 p1-17 内容
一. 随机现象: 试验 (trial) 随机事件 偶然性
二. 频率稳定性: FN(A) = nN 在某个固定常数附近摆动
随机事件发生可能性大小是随机事件的客观属性如何度量这种客观属性：概率 P(A)
三. 频率与概率0 ≤ FN(A) ≤ 1, 0 ≤ P(A) ≤ 1可加性
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第零章 基础概率论的简单回顾
参考：概率论基础 第三版 李贤平 编著 p1-17 内容
一. 随机现象: 试验 (trial) 随机事件 偶然性
二. 频率稳定性: FN(A) = nN 在某个固定常数附近摆动
随机事件发生可能性大小是随机事件的客观属性如何度量这种客观属性：概率 P(A)
三. 频率与概率0 ≤ FN(A) ≤ 1, 0 ≤ P(A) ≤ 1可加性
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第零章 基础概率论的简单回顾
参考：概率论基础 第三版 李贤平 编著 p1-17 内容
一. 随机现象: 试验 (trial) 随机事件 偶然性
二. 频率稳定性: FN(A) = nN 在某个固定常数附近摆动
随机事件发生可能性大小是随机事件的客观属性如何度量这种客观属性：概率 P(A)
三. 频率与概率0 ≤ FN(A) ≤ 1, 0 ≤ P(A) ≤ 1可加性
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第零章 基础概率论的简单回顾
参考：概率论基础 第三版 李贤平 编著 p1-17 内容
一. 随机现象: 试验 (trial) 随机事件 偶然性
二. 频率稳定性: FN(A) = nN 在某个固定常数附近摆动
随机事件发生可能性大小是随机事件的客观属性如何度量这种客观属性：概率 P(A)
三. 频率与概率0 ≤ FN(A) ≤ 1, 0 ≤ P(A) ≤ 1可加性
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第零章 基础概率论的简单回顾
四. 样本空间, 样本点五. 事件 (event): 定义为样本点的某个集合. 称某事件发生当且仅当它包含的某个样本点出现.事件与集合相联系
六. 事件的运算若 A 中的每一个样本点都包含在 B 中，则记为 A ⊂ B 或B ⊃ A, 亦称事件 B 包含了事件 A, 这时事件 A 发生必导致事件 B 发生.Ac：A 的对立事件或逆事件A ∩ B 或者 ABA ∪ B...交换律，结合律，分配律，De Morgan 定理
七. 随机变量
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第零章 基础概率论的简单回顾
四. 样本空间, 样本点五. 事件 (event): 定义为样本点的某个集合. 称某事件发生当且仅当它包含的某个样本点出现.事件与集合相联系
六. 事件的运算若 A 中的每一个样本点都包含在 B 中，则记为 A ⊂ B 或B ⊃ A, 亦称事件 B 包含了事件 A, 这时事件 A 发生必导致事件 B 发生.Ac：A 的对立事件或逆事件A ∩ B 或者 ABA ∪ B...交换律，结合律，分配律，De Morgan 定理
七. 随机变量
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第零章 基础概率论的简单回顾
四. 样本空间, 样本点五. 事件 (event): 定义为样本点的某个集合. 称某事件发生当且仅当它包含的某个样本点出现.事件与集合相联系
六. 事件的运算若 A 中的每一个样本点都包含在 B 中，则记为 A ⊂ B 或B ⊃ A, 亦称事件 B 包含了事件 A, 这时事件 A 发生必导致事件 B 发生.Ac：A 的对立事件或逆事件A ∩ B 或者 ABA ∪ B...交换律，结合律，分配律，De Morgan 定理
七. 随机变量
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第零章 基础概率论的简单回顾
四. 样本空间, 样本点五. 事件 (event): 定义为样本点的某个集合. 称某事件发生当且仅当它包含的某个样本点出现.事件与集合相联系
六. 事件的运算若 A 中的每一个样本点都包含在 B 中，则记为 A ⊂ B 或B ⊃ A, 亦称事件 B 包含了事件 A, 这时事件 A 发生必导致事件 B 发生.Ac：A 的对立事件或逆事件A ∩ B 或者 ABA ∪ B...交换律，结合律，分配律，De Morgan 定理
七. 随机变量
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第零章 基础概率论的简单回顾
难道概率论只是测度论的一个特例吗？
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Outline
1 2 月 26 日2 3 月 2 日3 3 月 9 日4 3 月 14 日5 3 月 16 日6 3 月 23 日7 3 月 28 日8 3 月 30 日9 4 月 6 日10 4 月 11 日11 4 月 13 日12 4 月 27 日
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集合系 (集类)
定义： σ 域, σ 代数，事件域
满足下列条件的集合系 F 称为 σ 域:1. X ∈ F ;2. A ∈ F =⇒ Ac ∈ F ;3. An ∈ F , n = 1, 2, · · · =⇒
∪∞n=1 An ∈ F .
定义： 可测空间
非空集合 X 和它上面的一个 σ 域 F 放在一起写成的 (X,F ) 称为可测空间.
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集合系 (集类)
定义： σ 域, σ 代数，事件域
满足下列条件的集合系 F 称为 σ 域:1. X ∈ F ;2. A ∈ F =⇒ Ac ∈ F ;3. An ∈ F , n = 1, 2, · · · =⇒
∪∞n=1 An ∈ F .
定义： 可测空间
非空集合 X 和它上面的一个 σ 域 F 放在一起写成的 (X,F ) 称为可测空间.
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集合系 (集类)
定义： π 系
如果 X 上的非空集合系 P 对交的的运算是封闭的, 即
A,B ∈ P =⇒ A ∩ B ∈ P,
则称 P 为 π 系.
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集合系 (集类)
定义： 半环
满足下列条件的 π 系 D 称为半环：对于任意的 A,B ∈ D 且A ⊃ B, 存在有限个两两不交的Ck ∈ D , k = 1, · · · , n, 使得
A \ B =
n∪k=1
Ck.
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集合系 (集类)
定义： 环
如果非空集合系 R 对并和差的运算是封闭的, 即
A,B ∈ R =⇒ A ∪ B, A \ B ∈ R,
则称 R 为环.
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集合系 (集类)
定义： 域, 代数满足下列条件的 π 系 A 称为域:
X ∈ A ; A ∈ A =⇒ Ac ∈ A .
定义： 域, 代数满足下列条件的集合系 A 称为域:
1. A 非空;2. A ∈ A =⇒ Ac ∈ A ;3. A,B ∈ A =⇒ A ∪ B ∈ A . (有限并的运算封闭)3.’ A,B ∈ A =⇒ A ∩ B ∈ A . (有限交的运算封闭)
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集合系 (集类)
定义： 域, 代数满足下列条件的 π 系 A 称为域:
X ∈ A ; A ∈ A =⇒ Ac ∈ A .
定义： 域, 代数满足下列条件的集合系 A 称为域:
1. A 非空;2. A ∈ A =⇒ Ac ∈ A ;3. A,B ∈ A =⇒ A ∪ B ∈ A . (有限并的运算封闭)3.’ A,B ∈ A =⇒ A ∩ B ∈ A . (有限交的运算封闭)
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集合系 (集类)
定义： 域, 代数满足下列条件的 π 系 A 称为域:
X ∈ A ; A ∈ A =⇒ Ac ∈ A .
定义： 域, 代数满足下列条件的集合系 A 称为域:
1. A 非空;2. A ∈ A =⇒ Ac ∈ A ;3. A,B ∈ A =⇒ A ∪ B ∈ A . (有限并的运算封闭)3.’ A,B ∈ A =⇒ A ∩ B ∈ A . (有限交的运算封闭)
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集合系 (集类)
命题：
半环是 π 系; 环是半环; 域是环.
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集合系 (集类)
定义：单调系
如果对集合系 M 中的任何单调序列 An, n = 1, 2, · · · 均有limn→∞ An ∈ M , 则称 M 为单调系.
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集合系 (集类)
定义：λ 系
集合系 L 称为 λ 系, 如果它满足下列条件:1. X ∈ L ;2. A,B ∈ L 且 A ⊃ B =⇒ A \ B ∈ L；
3. An ∈ L 且 An ↑=⇒∪∞
n=1 An ∈ L .
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集合系 (集类)
命题：
λ 系是单调系; σ 域是 λ 系.
命题：
一个既是单调系又是域的集合系是 σ 域.
命题：
一个既是 λ 系又是 π 系的集合系是 σ 域.
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集合系 (集类)
命题：
λ 系是单调系; σ 域是 λ 系.
命题：
一个既是单调系又是域的集合系是 σ 域.
命题：
一个既是 λ 系又是 π 系的集合系是 σ 域.
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σ 域的生成
定义： 生成
称 S 为由集合系 E 生成 的环 (或单调系, 或 λ 系, 或 σ 域), 如果下列条件被满足:
1. S ⊃ E；
2. 对任一环 (或单调系, 或 λ 系, 或 σ 域) S ′ 均有
S ′ ⊃ E =⇒ S ′ ⊃ S .
由集合系 E 生成 的环 (或单调系, 或 λ 系, 或 σ 域), 也就是包含E 的最小的环 .
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σ 域的生成
定义： 生成
称 S 为由集合系 E 生成 的环 (或单调系, 或 λ 系, 或 σ 域), 如果下列条件被满足:
1. S ⊃ E；
2. 对任一环 (或单调系, 或 λ 系, 或 σ 域) S ′ 均有
S ′ ⊃ E =⇒ S ′ ⊃ S .
由集合系 E 生成 的环 (或单调系, 或 λ 系, 或 σ 域), 也就是包含E 的最小的环 .
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σ 域的生成
命题：
由集合系 E 生成 的环 (或单调系, 或 λ 系, 或 σ 域) 均存在.
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σ 域的生成
定理：
如果 D 是半环, 则
r(D) = ∪∞n=1
∪n
k=1 Ak : Ak ∈ D , k = 1, · · · , n两两不交.
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集 (合) 形式单调类定理
定理： 集 (合) 形式单调类定理如果 A 是域, 则
σ(A ) = m(A ).
推论：
如果 A 是域, M 是单调系, 则
A ⊂ M =⇒ σ(A ) ⊂ M .
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集 (合) 形式单调类定理
定理： 集 (合) 形式单调类定理如果 A 是域, 则
σ(A ) = m(A ).
推论：
如果 A 是域, M 是单调系, 则
A ⊂ M =⇒ σ(A ) ⊂ M .
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集 (合) 形式单调类定理
定理：集 (合) 形式单调类定理如果 P 是 π 系, 则
σ(P) = l(P).
推论：
如果 P 是 π 系, L 是 λ 系, 则
P ⊂ L =⇒ σ(P) ⊂ L .
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集 (合) 形式单调类定理
定理：集 (合) 形式单调类定理如果 P 是 π 系, 则
σ(P) = l(P).
推论：
如果 P 是 π 系, L 是 λ 系, 则
P ⊂ L =⇒ σ(P) ⊂ L .
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Outline
1 2 月 26 日2 3 月 2 日3 3 月 9 日4 3 月 14 日5 3 月 16 日6 3 月 23 日7 3 月 28 日8 3 月 30 日9 4 月 6 日10 4 月 11 日11 4 月 13 日12 4 月 27 日
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可测映射和可测函数
定义： 映射
设 X 和 Y 是任意给定的集合, 如果对每个 x ∈ X, 存在惟一的f(x) ∈ Y 与之对于, 则称对应关系 f 是从 X 到 Y 到映射或定义在X 上取值于 Y 的函数 . 对于任何 x ∈ X, f(x) 称为映射 f 在 x 处的值.
定义： 原像
对任何 B ⊂ Y, 称
f−1B def= f ∈ B = x : f(x) ∈ B
为集合 B 在映射 f 下的原像.
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可测映射和可测函数
定义： 集合系 E 在映射 f 下的原像对任何 Y 上的集合系 E , 称
f−1E def= f−1B : B ∈ E
为集合系 E 在映射 f 下的原像 .
命题：
f−1∅ = ∅; f−1Y = X;
B1 ⊂ B2 =⇒ f−1B1 ⊂ f−1B2;
(f−1B)c = f−1Bc, ∀B ⊂ Y.
f−1∪t∈T
At =∪t∈T
f−1At; f−1∩t∈T
At =∩t∈T
f−1At.
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可测映射和可测函数
命题：
对于 Y 上的任何集合系 E , 有
σ(f−1E ) = f−1σ(E ).
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可测映射和可测函数
定义：可测映射, 随机元给定可测空间 (X,F ) 和 (Y,S ) 以及 X 到 Y 的映射 f. 如果
f−1S ⊂ F ,
就把 f 叫做从 (X,F ) 到 (Y,S ) 的可测映射或随机元, 而
σ(f) def= f−1S
叫做使映射 f 可测的最小 σ 域.
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可测映射和可测函数
定理：
设 E 设 Y 上任给的集合系. 则 f 是 (X,F ) 到 (Y, σ(E )) 的可测映射当且仅当
f−1E ⊂ F .
定理：
设 g 是可测空间 (X,F ) 到 (Y,S ) 的可测映射, f 是 (Y,S ) 到可测空间 (Z,Z ) 的可测映射, 则
(f g)(·) def= f(g(·))
是 (X,F ) 到 (Z,Z ) 的可测映射.
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可测映射和可测函数
定理：
设 E 设 Y 上任给的集合系. 则 f 是 (X,F ) 到 (Y, σ(E )) 的可测映射当且仅当
f−1E ⊂ F .
定理：
设 g 是可测空间 (X,F ) 到 (Y,S ) 的可测映射, f 是 (Y,S ) 到可测空间 (Z,Z ) 的可测映射, 则
(f g)(·) def= f(g(·))
是 (X,F ) 到 (Z,Z ) 的可测映射.
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广义实数
定义： 广义实数
R def= R ∪ −∞ ∪ ∞
定义： 广义实数的序
两个实数按原序；
−∞ < a < ∞, ∀a ∈ R.
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广义实数
定义： 广义实数
R def= R ∪ −∞ ∪ ∞
定义： 广义实数的序
两个实数按原序；
−∞ < a < ∞, ∀a ∈ R.
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广义实数
定义： 广义实数的四则运算
(±∞) + a = a + (±∞) = a − (∓∞) = ±∞, ∀a ∈ R;(±∞) + (±∞) = (±∞)− (∓∞) = ±∞;(±∞)− (±∞) 不被允许
a · (±∞) = (±∞) · a =
±∞, 0 < a ≤ ∞,0, a = 0,∓∞, −∞ ≤ a < 0.
a±∞ = 0, ∀a ∈ R.±∞±∞ 不被允许
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广义实数
定义： 广义实数的四则运算
(±∞) + a = a + (±∞) = a − (∓∞) = ±∞, ∀a ∈ R;(±∞) + (±∞) = (±∞)− (∓∞) = ±∞;(±∞)− (±∞) 不被允许
a · (±∞) = (±∞) · a =
±∞, 0 < a ≤ ∞,0, a = 0,∓∞, −∞ ≤ a < 0.
a±∞ = 0, ∀a ∈ R.±∞±∞ 不被允许
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广义实数
定义： 广义实数的四则运算
(±∞) + a = a + (±∞) = a − (∓∞) = ±∞, ∀a ∈ R;(±∞) + (±∞) = (±∞)− (∓∞) = ±∞;(±∞)− (±∞) 不被允许
a · (±∞) = (±∞) · a =
±∞, 0 < a ≤ ∞,0, a = 0,∓∞, −∞ ≤ a < 0.
a±∞ = 0, ∀a ∈ R.±∞±∞ 不被允许
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广义实数
定义： 广义实数的四则运算
(±∞) + a = a + (±∞) = a − (∓∞) = ±∞, ∀a ∈ R;(±∞) + (±∞) = (±∞)− (∓∞) = ±∞;(±∞)− (±∞) 不被允许
a · (±∞) = (±∞) · a =
±∞, 0 < a ≤ ∞,0, a = 0,∓∞, −∞ ≤ a < 0.
a±∞ = 0, ∀a ∈ R.±∞±∞ 不被允许
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广义实数
定义：广义实数的正部，负部
a ∈ R, 记
a+ = max(a, 0) = a ∨ 0; a− = max(−a, 0) = (−a) ∨ 0.
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广义实数
定义：广义实数上的 Borel 域
B(R)def= σ
(B(R), ∞, −∞
).
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广义实数
定义： 广义实数上的区间
对于任意的 a, b ∈ R,
(a, b) = x ∈ R : a < x < b;
[a, b) = x ∈ R : a ≤ x < b;
(a, b] = x ∈ R : a < x ≤ b;
[a, b] = x ∈ R : a ≤ x ≤ b.
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广义实数
命题： 广义实数上的 Borel 域的表示
B(R) = σ([−∞, a) : a ∈ R)
= σ([−∞, a] : a ∈ R)
= σ((a,∞] : a ∈ R)
= σ([a,∞] : a ∈ R)
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可测函数, 随机变量
定义：
从可测空间 (X,F ) 到 (R,B(R)) 的可测映射称为 (X,F ) 上的可测函数. 特别地, 从 (X,F ) 到 (R,B(R)) 的可测映射称为(X,F ) 上的有限值可测函数或随机变量.
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可测函数, 随机变量
定理： 可测函数, 随机变量的判别法下列说法等价
(1) f 是可测空间 (X,F ) 上的可测函数 (或随机变量);(2) f < a ∈ F , ∀a ∈ R;(3) f ≤ a ∈ F , ∀a ∈ R;(4) f > a ∈ F , ∀a ∈ R;(5) f ≥ a ∈ F , ∀a ∈ R.
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可测函数, 随机变量
推论：
如果 f, g 是可测函数, 则
f < g, f ≤ g, f = g ∈ F .
特别地, f = a ∈ F , ∀a ∈ R.
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Outline
1 2 月 26 日2 3 月 2 日3 3 月 9 日4 3 月 14 日5 3 月 16 日6 3 月 23 日7 3 月 28 日8 3 月 30 日9 4 月 6 日10 4 月 11 日11 4 月 13 日12 4 月 27 日
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可测函数的运算
定理：
如果 f, g 是可测函数, 则(1) 对任何 a ∈ R, af 是可测函数;(2) 若 f + g 有意义, 即 ∀x ∈ X, f(x) + g(x) 均有意义, 则 f + g是可测函数;
注: 即不出现 ∞+ (−∞) 或 (−∞) +∞ 的情况.(3) fg 是可测函数;(4) 若 g(x) = 0, 且 f(x)
g(x) 有意义 ∀x ∈ X, 则 fg 是可测函数.
注: 即不出现 ±∞±∞ 的情况.
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可测函数的运算
定理：
如果 f, g 是可测函数, 则(1) 对任何 a ∈ R, af 是可测函数;(2) 若 f + g 有意义, 即 ∀x ∈ X, f(x) + g(x) 均有意义, 则 f + g是可测函数;
注: 即不出现 ∞+ (−∞) 或 (−∞) +∞ 的情况.(3) fg 是可测函数;(4) 若 g(x) = 0, 且 f(x)
g(x) 有意义 ∀x ∈ X, 则 fg 是可测函数.
注: 即不出现 ±∞±∞ 的情况.
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可测函数的运算
定理：
如果 f, g 是可测函数, 则(1) 对任何 a ∈ R, af 是可测函数;(2) 若 f + g 有意义, 即 ∀x ∈ X, f(x) + g(x) 均有意义, 则 f + g是可测函数;
注: 即不出现 ∞+ (−∞) 或 (−∞) +∞ 的情况.(3) fg 是可测函数;(4) 若 g(x) = 0, 且 f(x)
g(x) 有意义 ∀x ∈ X, 则 fg 是可测函数.
注: 即不出现 ±∞±∞ 的情况.
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可测函数的运算
定理：
如果 f, g 是可测函数, 则(1) 对任何 a ∈ R, af 是可测函数;(2) 若 f + g 有意义, 即 ∀x ∈ X, f(x) + g(x) 均有意义, 则 f + g是可测函数;
注: 即不出现 ∞+ (−∞) 或 (−∞) +∞ 的情况.(3) fg 是可测函数;(4) 若 g(x) = 0, 且 f(x)
g(x) 有意义 ∀x ∈ X, 则 fg 是可测函数.
注: 即不出现 ±∞±∞ 的情况.
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可测函数的极限
定理：
如果 fn, n = 1, 2, · · · 是可测函数列, 则
infn
fn, supn
fn, lim infn→∞
fn, lim supn→∞
fn
仍是可测函数.
注记：
p16 定理 1.5.2 证明有错, 修订如下：
infn
fn ≥ a =
∞∩n=1
fn ≥ a.
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可测函数的极限
定理：
如果 fn, n = 1, 2, · · · 是可测函数列, 则
infn
fn, supn
fn, lim infn→∞
fn, lim supn→∞
fn
仍是可测函数.
注记：
p16 定理 1.5.2 证明有错, 修订如下：
infn
fn ≥ a =
∞∩n=1
fn ≥ a.
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可测函数的构造
定义： 有限分割，有限可测分割
有限个两两不交的集合 Ai ⊂ X, i = 1, · · · , n 如果满足∪ni=1 Ai = X, 就把它称为空间 X 的一个有限分割.如对每个 i = 1, · · · .n 有 Ai ∈ F , 则 X 的有限分割Ai, i = 1, · · · , n 称为可测空间 (X,F ) 的有限可测分割
定义： 简单函数
对于可测空间 (X,F ) 上的函数 f : X → R, 如果存在有限可测分割 Ai ∈ F , i = 1, · · · , n 和实数 ai, i = 1, · · · , n 使
f =n∑
i=1
ai1Ai ,
则称之为简单函数
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可测函数的构造
定义： 有限分割，有限可测分割
有限个两两不交的集合 Ai ⊂ X, i = 1, · · · , n 如果满足∪ni=1 Ai = X, 就把它称为空间 X 的一个有限分割.如对每个 i = 1, · · · .n 有 Ai ∈ F , 则 X 的有限分割Ai, i = 1, · · · , n 称为可测空间 (X,F ) 的有限可测分割
定义： 简单函数
对于可测空间 (X,F ) 上的函数 f : X → R, 如果存在有限可测分割 Ai ∈ F , i = 1, · · · , n 和实数 ai, i = 1, · · · , n 使
f =n∑
i=1
ai1Ai ,
则称之为简单函数
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可测函数的构造
定义： 有限分割，有限可测分割
有限个两两不交的集合 Ai ⊂ X, i = 1, · · · , n 如果满足∪ni=1 Ai = X, 就把它称为空间 X 的一个有限分割.如对每个 i = 1, · · · .n 有 Ai ∈ F , 则 X 的有限分割Ai, i = 1, · · · , n 称为可测空间 (X,F ) 的有限可测分割
定义： 简单函数
对于可测空间 (X,F ) 上的函数 f : X → R, 如果存在有限可测分割 Ai ∈ F , i = 1, · · · , n 和实数 ai, i = 1, · · · , n 使
f =n∑
i=1
ai1Ai ,
则称之为简单函数
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可测函数的构造
有界: f 可测函数, 如果存在 0 < M < ∞ 使得|f(x)| < M, ∀x ∈ X.正部: f+(x) = max(f(x), 0), 负部：f−(x) = max(−f(x), 0),∀x ∈ X.点点收敛：可测函数列 fn, n = 1, 2, · · · 当 n → ∞ 时点点收敛到可测函数 f，即
fn(x) → f(x), ∀x ∈ X.
则记为 fn → f.
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可测函数的构造
有界: f 可测函数, 如果存在 0 < M < ∞ 使得|f(x)| < M, ∀x ∈ X.正部: f+(x) = max(f(x), 0), 负部：f−(x) = max(−f(x), 0),∀x ∈ X.点点收敛：可测函数列 fn, n = 1, 2, · · · 当 n → ∞ 时点点收敛到可测函数 f，即
fn(x) → f(x), ∀x ∈ X.
则记为 fn → f.
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可测函数的构造
有界: f 可测函数, 如果存在 0 < M < ∞ 使得|f(x)| < M, ∀x ∈ X.正部: f+(x) = max(f(x), 0), 负部：f−(x) = max(−f(x), 0),∀x ∈ X.点点收敛：可测函数列 fn, n = 1, 2, · · · 当 n → ∞ 时点点收敛到可测函数 f，即
fn(x) → f(x), ∀x ∈ X.
则记为 fn → f.
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可测函数的构造
定理：
下列命题成立：
(1) 对任何非负可测函数 f，存在非负简单函数列fn, n = 1, 2, · · · 使fn ↑ f;如果 f 是非负有界可测的, 则存在非负简单函数列fn, n = 1, 2, · · · 使 fn(x) ↑ f(x) 对 x ∈ X 一致成立.
(2) 对任何可测函数 f，存在简单函数列 fn, n = 1, 2, · · · 使fn → f;如果 f 是有界可测的, 则存在简单函数列 fn, n = 1, 2, · · · 使 fn(x) → f(x) 对 x ∈ X 一致成立.
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可测函数的构造
定理：
设 g 是 (X,F ) 到 (Y,S ) 的可测映射, 则 h 是 (X, g−1(S )) 上的可测函数 (或随机变量，或有界可测函数) 当且仅当存在 (Y,S )上的可测函数 (或随机变量，或有界可测函数)f 使得 h = f g.
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概率论, 测度论典型方法
当需要证明 (X,F ) 上的可测函数关于某命题成立时，常有以下几个步骤
1. 证明对于 ∀A ∈ F , 1A 成立;2. 证明非负简单函数成立；3. 证明对非负非降简单函数列的极限成立；4. 证明对一般可测函数成立.
1.1 设 A 是域 (P 是 π 系), 且 F = σ(A )(或 F = σ(P)). 证明对于任意的 A ∈ A (或 A ∈ P), 1A 关于命题成立.
1.2 证明 F 中所有使得命题成立的集合系 S 是单调系 (或 λ系)；
1.3 利用集形式的单调类定理得对于 ∀A ∈ F , 1A 成立.
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概率论, 测度论典型方法
当需要证明 (X,F ) 上的可测函数关于某命题成立时，常有以下几个步骤
1. 证明对于 ∀A ∈ F , 1A 成立;2. 证明非负简单函数成立；3. 证明对非负非降简单函数列的极限成立；4. 证明对一般可测函数成立.
1.1 设 A 是域 (P 是 π 系), 且 F = σ(A )(或 F = σ(P)). 证明对于任意的 A ∈ A (或 A ∈ P), 1A 关于命题成立.
1.2 证明 F 中所有使得命题成立的集合系 S 是单调系 (或 λ系)；
1.3 利用集形式的单调类定理得对于 ∀A ∈ F , 1A 成立.
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概率论, 测度论典型方法
当需要证明 (X,F ) 上的可测函数关于某命题成立时，常有以下几个步骤
1. 证明对于 ∀A ∈ F , 1A 成立;2. 证明非负简单函数成立；3. 证明对非负非降简单函数列的极限成立；4. 证明对一般可测函数成立.
1.1 设 A 是域 (P 是 π 系), 且 F = σ(A )(或 F = σ(P)). 证明对于任意的 A ∈ A (或 A ∈ P), 1A 关于命题成立.
1.2 证明 F 中所有使得命题成立的集合系 S 是单调系 (或 λ系)；
1.3 利用集形式的单调类定理得对于 ∀A ∈ F , 1A 成立.
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概率论, 测度论典型方法
当需要证明 (X,F ) 上的可测函数关于某命题成立时，常有以下几个步骤
1. 证明对于 ∀A ∈ F , 1A 成立;2. 证明非负简单函数成立；3. 证明对非负非降简单函数列的极限成立；4. 证明对一般可测函数成立.
1.1 设 A 是域 (P 是 π 系), 且 F = σ(A )(或 F = σ(P)). 证明对于任意的 A ∈ A (或 A ∈ P), 1A 关于命题成立.
1.2 证明 F 中所有使得命题成立的集合系 S 是单调系 (或 λ系)；
1.3 利用集形式的单调类定理得对于 ∀A ∈ F , 1A 成立.
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概率论, 测度论典型方法
当需要证明 (X,F ) 上的可测函数关于某命题成立时，常有以下几个步骤
1. 证明对于 ∀A ∈ F , 1A 成立;2. 证明非负简单函数成立；3. 证明对非负非降简单函数列的极限成立；4. 证明对一般可测函数成立.
1.1 设 A 是域 (P 是 π 系), 且 F = σ(A )(或 F = σ(P)). 证明对于任意的 A ∈ A (或 A ∈ P), 1A 关于命题成立.
1.2 证明 F 中所有使得命题成立的集合系 S 是单调系 (或 λ系)；
1.3 利用集形式的单调类定理得对于 ∀A ∈ F , 1A 成立.
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概率论, 测度论典型方法
当需要证明 (X,F ) 上的可测函数关于某命题成立时，常有以下几个步骤
1. 证明对于 ∀A ∈ F , 1A 成立;2. 证明非负简单函数成立；3. 证明对非负非降简单函数列的极限成立；4. 证明对一般可测函数成立.
1.1 设 A 是域 (P 是 π 系), 且 F = σ(A )(或 F = σ(P)). 证明对于任意的 A ∈ A (或 A ∈ P), 1A 关于命题成立.
1.2 证明 F 中所有使得命题成立的集合系 S 是单调系 (或 λ系)；
1.3 利用集形式的单调类定理得对于 ∀A ∈ F , 1A 成立.
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概率论, 测度论典型方法
当需要证明 (X,F ) 上的可测函数关于某命题成立时，常有以下几个步骤
1. 证明对于 ∀A ∈ F , 1A 成立;2. 证明非负简单函数成立；3. 证明对非负非降简单函数列的极限成立；4. 证明对一般可测函数成立.
1.1 设 A 是域 (P 是 π 系), 且 F = σ(A )(或 F = σ(P)). 证明对于任意的 A ∈ A (或 A ∈ P), 1A 关于命题成立.
1.2 证明 F 中所有使得命题成立的集合系 S 是单调系 (或 λ系)；
1.3 利用集形式的单调类定理得对于 ∀A ∈ F , 1A 成立.
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概率论, 测度论典型方法
当需要证明 (X,F ) 上的可测函数关于某命题成立时，常有以下几个步骤
1. 证明对于 ∀A ∈ F , 1A 成立;2. 证明非负简单函数成立；3. 证明对非负非降简单函数列的极限成立；4. 证明对一般可测函数成立.
1.1 设 A 是域 (P 是 π 系), 且 F = σ(A )(或 F = σ(P)). 证明对于任意的 A ∈ A (或 A ∈ P), 1A 关于命题成立.
1.2 证明 F 中所有使得命题成立的集合系 S 是单调系 (或 λ系)；
1.3 利用集形式的单调类定理得对于 ∀A ∈ F , 1A 成立.
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概率论, 测度论典型方法
定理： 函数形式的单调类定理 I设 A 是一个域, M 是一个由 X 上的非负广义实值函数组成的单调类, 即它是 X 上具有下列性质的由非负广义实值函数组成的集合：
(1) 对于任何 f, g ∈ M 和实数 a, b ≥ 0, af + bg ∈ M ;(2) 对于任何 fn ∈ M , n = 1, 2, · · · , 若 fn ↑ f, 则 f ∈ M ;(3) f, g ∈ M , f ≥ g 且 f − g 有意义则 f − g ∈ M .如果对每个 A ∈ A 都有 1A ∈ M , 则对一切 (X, σ(A )) 上的非负可测函数都属于 M .
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概率论, 测度论典型方法
定理： 函数形式的单调类定理 II设 P 是一个 π 系, L 是一个由 X 上的非负广义实值函数组成的 λ 类, 即它是 X 上具有下列性质的由非负广义实值函数组成的集合：
(1) 1 ∈ L , 即 1X ∈ L ;(2) ∀f, g ∈ L 和 α, β ∈ R, 如果 αf + βg ≥ 0, 则
αf + βg ∈ L .
(3) 对于任何 fn ∈ M , n = 1, 2, · · · , 若 fn ↑ f, 则 f ∈ L .如果对每个 A ∈ P 都有 1A ∈ L , 则对一切 (X, σ(P)) 上的非负可测函数都属于 L .
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Outline
1 2 月 26 日2 3 月 2 日3 3 月 9 日4 3 月 14 日5 3 月 16 日6 3 月 23 日7 3 月 28 日8 3 月 30 日9 4 月 6 日10 4 月 11 日11 4 月 13 日12 4 月 27 日
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测度空间：测度的定义及性质
定义： 非负集函数函数
给定空间 X 上的集合系 E . 定义在 E 上, 取值于 [0,∞] 的函数称为非负集函数.
定义： 可列可加性
设 µ 是 E 上的非负集函数. 如果对任意可列个两两不交的集合A1,A2, · · · ∈ E , 只要
∪∞n=1 An ∈ E，就一定有
µ(
∞∪n=1
An) =∞∑
n=1
µ(An),
则称 µ 具有可列可加性.
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测度的定义及性质
定义： 测度
设 E 是 X 上的集合系且∅ ∈ E , 若 E 上的非负集函数 µ 有可列可加性且µ(∅) = 0, 则称之为 E 上的测度.若 ∀A ∈ E , µ(A) < ∞，则称测度 µ 是有限的.若 A ∈ E , 存在满足 µ(An) < ∞ 的 An ∈ E , n = 1, 2, · · · 使得
∪∞n=1 An ⊃ A, 则称测度 µ 是σ 有限的.
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测度的定义及性质
定义： 有限可加性
若 E 中任意有限个两两不交且∪n
i=1 An ∈ E 的集合 A1, · · · ,An均有
µ(
n∪i=1
Ai) =n∑
i=1
µ(Ai),
则称非负集函数 µ 具有有限可加性.
定义： 可减性
若 A,B ∈ E , A ⊂ B, B \ A ∈ E , 只要 µ(A) < ∞ 就有
µ(B \ A) = µ(B)− µ(A),
则称 µ 有可减性.
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测度的定义及性质
命题
测度具有有限可加性和可减性.
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测度空间
定义： 测度空间
设 (X,F ) 是可测空间, µ 是定义于 σ 域 F 上的测度, 则称三元组 (X,F , µ) 为测度空间.(1) 若 µ(X) < ∞, 则称 µ 为有限测度, 称 (X,F , µ) 为有限测度空间.
(2) 若 µ(X) = 1, 则称 µ 为概率测度, 称 (X,F , µ) 为概率测度空间或概率空间.
(3) 若存在 An ∈ F , n ≥ 1, 使得∪∞
n=1 An = X, 且使 µ(An) < ∞对一切 n ≥ 1 成立, 则称 µ 为σ 有限测度, 称 (X,F , µ) 为σ有限测度空间.
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测度空间
定义： 测度空间
设 (X,F ) 是可测空间, µ 是定义于 σ 域 F 上的测度, 则称三元组 (X,F , µ) 为测度空间.(1) 若 µ(X) < ∞, 则称 µ 为有限测度, 称 (X,F , µ) 为有限测度空间.
(2) 若 µ(X) = 1, 则称 µ 为概率测度, 称 (X,F , µ) 为概率测度空间或概率空间.
(3) 若存在 An ∈ F , n ≥ 1, 使得∪∞
n=1 An = X, 且使 µ(An) < ∞对一切 n ≥ 1 成立, 则称 µ 为σ 有限测度, 称 (X,F , µ) 为σ有限测度空间.
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测度空间
定义： 测度空间
设 (X,F ) 是可测空间, µ 是定义于 σ 域 F 上的测度, 则称三元组 (X,F , µ) 为测度空间.(1) 若 µ(X) < ∞, 则称 µ 为有限测度, 称 (X,F , µ) 为有限测度空间.
(2) 若 µ(X) = 1, 则称 µ 为概率测度, 称 (X,F , µ) 为概率测度空间或概率空间.
(3) 若存在 An ∈ F , n ≥ 1, 使得∪∞
n=1 An = X, 且使 µ(An) < ∞对一切 n ≥ 1 成立, 则称 µ 为σ 有限测度, 称 (X,F , µ) 为σ有限测度空间.
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测度空间
定义： 测度空间
设 (X,F ) 是可测空间, µ 是定义于 σ 域 F 上的测度, 则称三元组 (X,F , µ) 为测度空间.(1) 若 µ(X) < ∞, 则称 µ 为有限测度, 称 (X,F , µ) 为有限测度空间.
(2) 若 µ(X) = 1, 则称 µ 为概率测度, 称 (X,F , µ) 为概率测度空间或概率空间.
(3) 若存在 An ∈ F , n ≥ 1, 使得∪∞
n=1 An = X, 且使 µ(An) < ∞对一切 n ≥ 1 成立, 则称 µ 为σ 有限测度, 称 (X,F , µ) 为σ有限测度空间.
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测度空间
1. (X,F , µ), 若 N ∈ F , µ(N) = 0, 则称 N 为 µ 零测集.2. (X,F ,P) 概率空间, F 中的集合又称为事件, P(A) 又称为事件 A 发生的概率.
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测度空间
1. (X,F , µ), 若 N ∈ F , µ(N) = 0, 则称 N 为 µ 零测集.2. (X,F ,P) 概率空间, F 中的集合又称为事件, P(A) 又称为事件 A 发生的概率.
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回忆 Lebesgue 测度的建立
(1) D = (a, b], a, b ∈ R, m((a, b]) = b − a.D ′ = (a, b), a, b ∈ R.
(2) 外测度: E ⊂ R
m∗(E) = inf∑k≥1
m((ak, bk)), (ak, bk) ∈ D ′,E ⊂∪k≥1
(ak, bk).
(3) Caratheodory 条件 (定理) E ⊂ R, 对于任意 T ⊂ R, 若 E 满足
m∗(T) = m∗(T∩
E) + m∗(T∩
Ec)
则称 E 满足 Caratheodory 条件.
L = E ⊂ R : E 满足 Caratheodory 条件,
则 L 为 σ 域, 即 Lebesgue 可测集，m∗ 限制在 L 上为一个测度.
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回忆 Lebesgue 测度的建立
(1) D = (a, b], a, b ∈ R, m((a, b]) = b − a.D ′ = (a, b), a, b ∈ R.
(2) 外测度: E ⊂ R
m∗(E) = inf∑k≥1
m((ak, bk)), (ak, bk) ∈ D ′,E ⊂∪k≥1
(ak, bk).
(3) Caratheodory 条件 (定理) E ⊂ R, 对于任意 T ⊂ R, 若 E 满足
m∗(T) = m∗(T∩
E) + m∗(T∩
Ec)
则称 E 满足 Caratheodory 条件.
L = E ⊂ R : E 满足 Caratheodory 条件,
则 L 为 σ 域, 即 Lebesgue 可测集，m∗ 限制在 L 上为一个测度.
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回忆 Lebesgue 测度的建立
(1) D = (a, b], a, b ∈ R, m((a, b]) = b − a.D ′ = (a, b), a, b ∈ R.
(2) 外测度: E ⊂ R
m∗(E) = inf∑k≥1
m((ak, bk)), (ak, bk) ∈ D ′,E ⊂∪k≥1
(ak, bk).
(3) Caratheodory 条件 (定理) E ⊂ R, 对于任意 T ⊂ R, 若 E 满足
m∗(T) = m∗(T∩
E) + m∗(T∩
Ec)
则称 E 满足 Caratheodory 条件.
L = E ⊂ R : E 满足 Caratheodory 条件,
则 L 为 σ 域, 即 Lebesgue 可测集，m∗ 限制在 L 上为一个测度.
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1 2 月 26 日2 3 月 2 日3 3 月 9 日4 3 月 14 日5 3 月 16 日6 3 月 23 日7 3 月 28 日8 3 月 30 日9 4 月 6 日10 4 月 11 日11 4 月 13 日12 4 月 27 日
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抽象测度建立的 “程序”
1. D 半环. why？2. µ 为 D 上的一个测度.3. 由 µ 生成的外测度 µ∗. (非负，单调，半可列可加性)4. Caratheodory 定理
(1) U = A ⊂ X : A 满足 Caratheodory 条件, U 为 σ 域;(2) D ⊂ U ;(3) σ(D) ⊂ U ,
1 σ(D)∣∣∣µ∗是测度;
2 U∣∣∣µ∗是测度.
3 两者之间的关系？
(4) 唯一性.
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抽象测度建立的 “程序”
1. D 半环. why？2. µ 为 D 上的一个测度.3. 由 µ 生成的外测度 µ∗. (非负，单调，半可列可加性)4. Caratheodory 定理
(1) U = A ⊂ X : A 满足 Caratheodory 条件, U 为 σ 域;(2) D ⊂ U ;(3) σ(D) ⊂ U ,
1 σ(D)∣∣∣µ∗是测度;
2 U∣∣∣µ∗是测度.
3 两者之间的关系？
(4) 唯一性.
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抽象测度建立的 “程序”
1. D 半环. why？2. µ 为 D 上的一个测度.3. 由 µ 生成的外测度 µ∗. (非负，单调，半可列可加性)4. Caratheodory 定理
(1) U = A ⊂ X : A 满足 Caratheodory 条件, U 为 σ 域;(2) D ⊂ U ;(3) σ(D) ⊂ U ,
1 σ(D)∣∣∣µ∗是测度;
2 U∣∣∣µ∗是测度.
3 两者之间的关系？
(4) 唯一性.
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抽象测度建立的 “程序”
1. D 半环. why？2. µ 为 D 上的一个测度.3. 由 µ 生成的外测度 µ∗. (非负，单调，半可列可加性)4. Caratheodory 定理
(1) U = A ⊂ X : A 满足 Caratheodory 条件, U 为 σ 域;(2) D ⊂ U ;(3) σ(D) ⊂ U ,
1 σ(D)∣∣∣µ∗是测度;
2 U∣∣∣µ∗是测度.
3 两者之间的关系？
(4) 唯一性.
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抽象测度建立的 “程序”
1. D 半环. why？2. µ 为 D 上的一个测度.3. 由 µ 生成的外测度 µ∗. (非负，单调，半可列可加性)4. Caratheodory 定理
(1) U = A ⊂ X : A 满足 Caratheodory 条件, U 为 σ 域;(2) D ⊂ U ;(3) σ(D) ⊂ U ,
1 σ(D)∣∣∣µ∗是测度;
2 U∣∣∣µ∗是测度.
3 两者之间的关系？
(4) 唯一性.
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抽象测度建立的 “程序”
1. D 半环. why？2. µ 为 D 上的一个测度.3. 由 µ 生成的外测度 µ∗. (非负，单调，半可列可加性)4. Caratheodory 定理
(1) U = A ⊂ X : A 满足 Caratheodory 条件, U 为 σ 域;(2) D ⊂ U ;(3) σ(D) ⊂ U ,
1 σ(D)∣∣∣µ∗是测度;
2 U∣∣∣µ∗是测度.
3 两者之间的关系？
(4) 唯一性.
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抽象测度建立的 “程序”
1. D 半环. why？2. µ 为 D 上的一个测度.3. 由 µ 生成的外测度 µ∗. (非负，单调，半可列可加性)4. Caratheodory 定理
(1) U = A ⊂ X : A 满足 Caratheodory 条件, U 为 σ 域;(2) D ⊂ U ;(3) σ(D) ⊂ U ,
1 σ(D)∣∣∣µ∗是测度;
2 U∣∣∣µ∗是测度.
3 两者之间的关系？
(4) 唯一性.
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抽象测度建立的 “程序”
1. D 半环. why？2. µ 为 D 上的一个测度.3. 由 µ 生成的外测度 µ∗. (非负，单调，半可列可加性)4. Caratheodory 定理
(1) U = A ⊂ X : A 满足 Caratheodory 条件, U 为 σ 域;(2) D ⊂ U ;(3) σ(D) ⊂ U ,
1 σ(D)∣∣∣µ∗是测度;
2 U∣∣∣µ∗是测度.
3 两者之间的关系？
(4) 唯一性.
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非负集函数的一些术语
设 µ 为 E 上的非负集函数
定义： 单调性
A,B ∈ E , 且 A ⊂ B, 则 µ(A) ≤ µ(B).
定义： 有限可加性
Ai ∈ E , 1 ≤ i ≤ n 两两不交,∪n
i=1 Ai ∈ E , 则
µ(
n∪i=1
Ai) =n∑
i=1
µ(Ai).
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非负集函数的一些术语
设 µ 为 E 上的非负集函数
定义： 单调性
A,B ∈ E , 且 A ⊂ B, 则 µ(A) ≤ µ(B).
定义： 有限可加性
Ai ∈ E , 1 ≤ i ≤ n 两两不交,∪n
i=1 Ai ∈ E , 则
µ(
n∪i=1
Ai) =n∑
i=1
µ(Ai).
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非负集函数的一些术语
定义： σ 可加性, 可列可加性Ai ∈ E , i ≥ 1 两两不交,
∪∞i=1 Ai ∈ E , 则
µ(
∞∪i=1
Ai) =∞∑i=1
µ(Ai).
定义： 半 σ 可加性, 半可列可加性Ai ∈ E , i ≥ 1,
∪∞i=1 Ai ∈ E ,
µ(
∞∪i=1
Ai) ≤∞∑i=1
µ(Ai).
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非负集函数的一些术语
定义： σ 可加性, 可列可加性Ai ∈ E , i ≥ 1 两两不交,
∪∞i=1 Ai ∈ E , 则
µ(
∞∪i=1
Ai) =∞∑i=1
µ(Ai).
定义： 半 σ 可加性, 半可列可加性Ai ∈ E , i ≥ 1,
∪∞i=1 Ai ∈ E ,
µ(
∞∪i=1
Ai) ≤∞∑i=1
µ(Ai).
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非负集函数的一些术语
定义： µ 从下连续性
An ∈ E , n ≥ 1, An ↑ A ∈ E , 则若
µ(A) = limn→∞
µ(An).
定义： µ 从上连续性
若 An ∈ E , n ≥ 1, An ↓ A ∈ E , 且 µ(A1) < ∞, 则
µ(A) = limn→∞
µ(An).
定义： µ 在空集处连续
若 An ∈ E , n ≥ 1, An ↓ ∅, 且 µ(A1) < ∞, 则
limn→∞
µ(An) = 0.
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非负集函数的一些术语
定义： µ 从下连续性
An ∈ E , n ≥ 1, An ↑ A ∈ E , 则若
µ(A) = limn→∞
µ(An).
定义： µ 从上连续性
若 An ∈ E , n ≥ 1, An ↓ A ∈ E , 且 µ(A1) < ∞, 则
µ(A) = limn→∞
µ(An).
定义： µ 在空集处连续
若 An ∈ E , n ≥ 1, An ↓ ∅, 且 µ(A1) < ∞, 则
limn→∞
µ(An) = 0.
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非负集函数的一些术语
定义： µ 从下连续性
An ∈ E , n ≥ 1, An ↑ A ∈ E , 则若
µ(A) = limn→∞
µ(An).
定义： µ 从上连续性
若 An ∈ E , n ≥ 1, An ↓ A ∈ E , 且 µ(A1) < ∞, 则
µ(A) = limn→∞
µ(An).
定义： µ 在空集处连续
若 An ∈ E , n ≥ 1, An ↓ ∅, 且 µ(A1) < ∞, 则
limn→∞
µ(An) = 0.
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测度的性质
定理： P31, 定理 2.1.5半环上的测度具有单调性，可减性, 半可列可加性, 从上连续性,从下连续性.
定理： 《测度论讲义》第二版, P17 命题 1.4.4设 µ 为半环 E 上的一非负集函数 (约定 µ(∅) = 0) , 则要 µ 是 σ可加的必需且只需 µ 为有限可加且半 σ 可加的.
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测度的性质
定理： P31, 定理 2.1.5半环上的测度具有单调性，可减性, 半可列可加性, 从上连续性,从下连续性.
定理： 《测度论讲义》第二版, P17 命题 1.4.4设 µ 为半环 E 上的一非负集函数 (约定 µ(∅) = 0) , 则要 µ 是 σ可加的必需且只需 µ 为有限可加且半 σ 可加的.
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测度的性质
命题： P28, 2.1.3半环 D 上的有限可加的非负集函数 µ 必有单调性和可减性.
命题： P28, 2.1.4半环 D 上的可列可加的非负集函数 µ 具有半可列可加性, 从上连续性和从下连续性.
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测度的性质
命题： P28, 2.1.3半环 D 上的有限可加的非负集函数 µ 必有单调性和可减性.
命题： P28, 2.1.4半环 D 上的可列可加的非负集函数 µ 具有半可列可加性, 从上连续性和从下连续性.
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测度的性质
定理： P31, 2.1.6 或《测度论讲义》第二版, P13 定理1.3.4设 E 为域, µ 为 E 上的一有限可加非负集函数 (µ(∅) = 0 ), 则 µ有单调性及可减性，此外
µ为可列可加⇔ µ 从下连续⇒ µ 从上连续⇒ µ 在 ∅ 处连续.
若进一步µ(X) < ∞,
则上述条件等价.
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外测度
定义： 外测度
由 X 的所有子集组成的集合系 T 到 R 的函数 τ 称为 X 上的外测度，若
(1) τ(∅) = 0;(2) A ⊂ B ⊂ X, 则 τ(A) ≤ τ(B);(3) An ∈ T , n = 1, 2, · · · 有 τ(
∪∞n=1 An) ≤
∑∞n=1 τ(An).
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外测度
定理： 由 µ 生成的外测度
设 E 是一个集合系且 ∅ ∈ E . 如果 E 上的非负集函数 µ 满足µ(∅) = 0, 对每个 A ∈ T , 令
τ(A) = inf∞∑
n=1
µ(Bn) : Bn ∈ E , n ≥ 1;
∞∪n=1
An ⊃ A.
则 τ 是一个外测度, 称为由 µ 生成的外测度.
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Caratheodory 定理
设 τ 为 X 上的外测度：
Caratheodory 条件称 A ⊂ X 满足 Caratheodory 条件，如果对于 ∀D ∈ T ,
τ(D) = τ(D∩
A) + τ(D∩
Ac).
A 称为 τ 可测集.
Fτ = A ⊂ X : A 满足 Caratheodory 条件.
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Caratheodory 定理
定义： 测度空间的完备性（完全性）
如果 µ 的任一零测集的子集还属于 F , 即
A ∈ F , µ(A) = 0 =⇒ B ∈ F , ∀B ⊂ A,
则称测度空间 (X,F , µ) 是完备性 (完全性).
定理： Caratheodory 定理如果 τ 是外测度, 则 Fτ 是一个 σ 域, (X,Fτ , τ) 是一个完备的测度空间.
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Caratheodory 定理
定义： 测度空间的完备性（完全性）
如果 µ 的任一零测集的子集还属于 F , 即
A ∈ F , µ(A) = 0 =⇒ B ∈ F , ∀B ⊂ A,
则称测度空间 (X,F , µ) 是完备性 (完全性).
定理： Caratheodory 定理如果 τ 是外测度, 则 Fτ 是一个 σ 域, (X,Fτ , τ) 是一个完备的测度空间.
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Outline
1 2 月 26 日2 3 月 2 日3 3 月 9 日4 3 月 14 日5 3 月 16 日6 3 月 23 日7 3 月 28 日8 3 月 30 日9 4 月 6 日10 4 月 11 日11 4 月 13 日12 4 月 27 日
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Caratheodory 定理的证明
1. Fτ 是 σ 域；
2. τ 限制在 Fτ 上是测度；
3. 完备性 (完全性).
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Caratheodory 定理的证明
1. Fτ 是 σ 域；
1.1 Fτ 是域;1.1.1 Fτ 非空. 事实上, 只需要证明 ∅ ∈ Fτ .
τ(D) = τ(D∩
∅) + τ(D∩
X), ∀D ⊂ X.
1.1.2 Fτ 对取 “余” 运算封闭, 即 A ∈ Fτ ⇒ Ac ∈ Fτ .
τ(D) = τ(D∩
A) + τ(D∩
Ac), ∀D ⊂ X.
1.1.3 “有限交” 运算封闭.
1.2 “可列并” 运算封闭.
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Caratheodory 定理的证明
1. Fτ 是 σ 域；
1.1 Fτ 是域;1.1.1 Fτ 非空. 事实上, 只需要证明 ∅ ∈ Fτ .
τ(D) = τ(D∩
∅) + τ(D∩
X), ∀D ⊂ X.
1.1.2 Fτ 对取 “余” 运算封闭, 即 A ∈ Fτ ⇒ Ac ∈ Fτ .
τ(D) = τ(D∩
A) + τ(D∩
Ac), ∀D ⊂ X.
1.1.3 “有限交” 运算封闭.
1.2 “可列并” 运算封闭.
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Caratheodory 定理的证明
1. Fτ 是 σ 域；
1.1 Fτ 是域;1.1.1 Fτ 非空. 事实上, 只需要证明 ∅ ∈ Fτ .
τ(D) = τ(D∩
∅) + τ(D∩
X), ∀D ⊂ X.
1.1.2 Fτ 对取 “余” 运算封闭, 即 A ∈ Fτ ⇒ Ac ∈ Fτ .
τ(D) = τ(D∩
A) + τ(D∩
Ac), ∀D ⊂ X.
1.1.3 “有限交” 运算封闭.
1.2 “可列并” 运算封闭.
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Caratheodory 定理的证明
1. Fτ 是 σ 域；
1.1 Fτ 是域;1.1.1 Fτ 非空. 事实上, 只需要证明 ∅ ∈ Fτ .
τ(D) = τ(D∩
∅) + τ(D∩
X), ∀D ⊂ X.
1.1.2 Fτ 对取 “余” 运算封闭, 即 A ∈ Fτ ⇒ Ac ∈ Fτ .
τ(D) = τ(D∩
A) + τ(D∩
Ac), ∀D ⊂ X.
1.1.3 “有限交” 运算封闭.
1.2 “可列并” 运算封闭.
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Caratheodory 定理的证明
1. Fτ 是 σ 域；
1.1 Fτ 是域;1.1.1 Fτ 非空. 事实上, 只需要证明 ∅ ∈ Fτ .
τ(D) = τ(D∩
∅) + τ(D∩
X), ∀D ⊂ X.
1.1.2 Fτ 对取 “余” 运算封闭, 即 A ∈ Fτ ⇒ Ac ∈ Fτ .
τ(D) = τ(D∩
A) + τ(D∩
Ac), ∀D ⊂ X.
1.1.3 “有限交” 运算封闭.
1.2 “可列并” 运算封闭.
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Caratheodory 定理的证明
1. Fτ 是 σ 域；
1.1 Fτ 是域;1.1.1 Fτ 非空. 事实上, 只需要证明 ∅ ∈ Fτ .
τ(D) = τ(D∩
∅) + τ(D∩
X), ∀D ⊂ X.
1.1.2 Fτ 对取 “余” 运算封闭, 即 A ∈ Fτ ⇒ Ac ∈ Fτ .
τ(D) = τ(D∩
A) + τ(D∩
Ac), ∀D ⊂ X.
1.1.3 “有限交” 运算封闭.
1.2 “可列并” 运算封闭.
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Caratheodory 定理的证明
1. Fτ 是 σ 域；
1.1 Fτ 是域;1.1.1 Fτ 非空. 事实上, 只需要证明 ∅ ∈ Fτ .
τ(D) = τ(D∩
∅) + τ(D∩
X), ∀D ⊂ X.
1.1.2 Fτ 对取 “余” 运算封闭, 即 A ∈ Fτ ⇒ Ac ∈ Fτ .
τ(D) = τ(D∩
A) + τ(D∩
Ac), ∀D ⊂ X.
1.1.3 “有限交” 运算封闭.
1.2 “可列并” 运算封闭.
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Caratheodory 定理的证明
1.2 “可列并 (或可列交)” 运算封闭.
首次进入分解转换成两两不交并. Key Point: Fτ 是域.
τ(D) =∑∞
i=1 τ(D∩
Bi) + τ(D∩(∑∞
i=1 Bi)c).
τ(D) ≥∑∞
i=1 τ(D∩
Bi) + τ(D∩(∑∞
i=1 Bi)c)
≥ τ(D∩∑∞
i=1 Bi) + τ(D∩(∑∞
i=1 Bi)c)
≥ τ(D).
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Caratheodory 定理的证明
1.2 “可列并 (或可列交)” 运算封闭.
首次进入分解转换成两两不交并. Key Point: Fτ 是域.
τ(D) =∑∞
i=1 τ(D∩
Bi) + τ(D∩(∑∞
i=1 Bi)c).
τ(D) ≥∑∞
i=1 τ(D∩
Bi) + τ(D∩(∑∞
i=1 Bi)c)
≥ τ(D∩∑∞
i=1 Bi) + τ(D∩(∑∞
i=1 Bi)c)
≥ τ(D).
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Caratheodory 定理的证明
1.2 “可列并 (或可列交)” 运算封闭.
首次进入分解转换成两两不交并. Key Point: Fτ 是域.
τ(D) =∑∞
i=1 τ(D∩
Bi) + τ(D∩(∑∞
i=1 Bi)c).
τ(D) ≥∑∞
i=1 τ(D∩
Bi) + τ(D∩(∑∞
i=1 Bi)c)
≥ τ(D∩∑∞
i=1 Bi) + τ(D∩(∑∞
i=1 Bi)c)
≥ τ(D).
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Caratheodory 定理的证明
1.2 “可列并 (或可列交)” 运算封闭.
首次进入分解转换成两两不交并. Key Point: Fτ 是域.
τ(D) =∑∞
i=1 τ(D∩
Bi) + τ(D∩(∑∞
i=1 Bi)c).
τ(D) ≥∑∞
i=1 τ(D∩
Bi) + τ(D∩(∑∞
i=1 Bi)c)
≥ τ(D∩∑∞
i=1 Bi) + τ(D∩(∑∞
i=1 Bi)c)
≥ τ(D).
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Caratheodory 定理的证明
1.2.1 Bi ∈ Fτ , i = 1, · · · , n 两两不交, D ∈ T ,
τ(D∩ n∑
i=1
Bi) =n∑
i=1
τ(D∩
Bi).
1.2.2 Bi ∈ Fτ , i = 1, 2, · · · 两两不交, D ∈ T ,
τ(D) ≥∞∑i=1
τ(D∩
Bi) + τ(D∩( ∞∑
i=1
Bi)c).
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Caratheodory 定理的证明
2. τ 限制在 Fτ 上是测度: 在下式中取D =∑∞
i=1 Bi
τ(D) =∑∞
i=1 τ(D∩
Bi) + τ(D∩(∑∞
i=1 Bi)c).
3. 完备性: 即证 τ(A) = 0 ⇒ A ∈ Fτ 即可.
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Caratheodory 定理的证明
2. τ 限制在 Fτ 上是测度: 在下式中取D =∑∞
i=1 Bi
τ(D) =∑∞
i=1 τ(D∩
Bi) + τ(D∩(∑∞
i=1 Bi)c).
3. 完备性: 即证 τ(A) = 0 ⇒ A ∈ Fτ 即可.
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测度的扩张
定义： 测度的扩张
设 µ 和 τ 分别是集合系 E 和 E 上的测度, 且 E ⊂ E . 如果∀A ∈ E 均有
µ(A) = τ(A),
则称 τ 是 µ 在 E 上的扩张 .如果 E 上还有一个测度 τ ′ 使得对每个 A ∈ E ,
µ(A) = τ ′(A)
也成立, 就必须有 τ ′ = τ , 即 τ ′(A) = τ(A), ∀A ∈ E , 则称扩张是惟一的.
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测度的扩张
命题：
设 P 是一个 π 系, 如果 σ(P) 上的测度 µ, ν 满足
(1) 对每个 A ∈ P 有 µ(A) = ν(A);(2) ♠ 存在两两不交的 An ∈ P, n = 1, 2, · · · 使得∪∞
n=1 An = X 且 µ(An) < ∞ 对每个 n = 1, 2, · · · 成立，
则对任何 A ∈ σ(P) 有
µ(A) = ν(A).
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测度的扩张
测度扩张定理
对于半环 D 上的测度 µ, 存在 σ(D) 上的测度 τ 使得对 ∀A ∈ D有
τ(A) = µ(A);
如果条件 ♠ 中的 P 换成 D 后成立, 则满足上式的 τ 惟一.
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测度扩张定理的证明
Key Points:1. τ 为 µ 生成的外测度, 应用 Caratheodory 定理；2. τ
∣∣∣D= µ, 即 τ(A) = µ(A), ∀A ∈ D ;
3. D ⊂ Fτ .3.1 对任意的 A,D ∈ D 有
τ(D) ≥ τ(D ∩ A) + τ(D ∩ Ac)
3.2 对任意的 D ∈ D 和 D ∈ T
τ(D) ≥ τ(D ∩ A) + τ(D ∩ Ac)
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测度扩张定理的证明
Key Points:1. τ 为 µ 生成的外测度, 应用 Caratheodory 定理；2. τ
∣∣∣D= µ, 即 τ(A) = µ(A), ∀A ∈ D ;
3. D ⊂ Fτ .3.1 对任意的 A,D ∈ D 有
τ(D) ≥ τ(D ∩ A) + τ(D ∩ Ac)
3.2 对任意的 D ∈ D 和 D ∈ T
τ(D) ≥ τ(D ∩ A) + τ(D ∩ Ac)
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测度扩张定理的推论
推论：
设 D 是一个半环且 X ∈ D , 对于 D 上的 σ 有限测度 µ, 存在σ(D) 上的惟一测度 τ 使得对 ∀A ∈ D 有
τ(A) = µ(A).
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测度扩张定理的推论
定理： P41, 定理 2.3.4设 τ 是半环 D 上的测度 µ 生成的外测度
(1) 对每个 A ∈ Fτ , 存在 B ∈ σ(D) 使得 B ⊃ A 且 τ(A) ⊃ τ(B);(2) 如果条件 ♠ 中的 P 换成 D 成立, 则对于每个 A ∈ Fτ , 存在 B ∈ σ(D) 使得 B ⊃ A 且 τ(B \ A) = 0.
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测度空间的完备化
定理：
对任何测度空间 (X,F , µ)
Fdef= A ∪ N : A ∈ F , ∃B ∈ F , µ(B) = 0 使得 N ⊂ B.
是一个 σ 域. 如果对每一个 A ∪ N ∈ F , 令
µ(A ∪ N) = µ(A),
则 (X, F , µ) 是一个完备的测度空间且对每一个 A ∈ F，
µ(A) = µ(A).
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测度空间的完备化
定理：
设 τ 是关于半环 D 上的 σ 有限测度 µ 生成的外测度, 则(X,Fτ , τ) 是 (X, σ(D), τ) 的完备化.
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Outline
1 2 月 26 日2 3 月 2 日3 3 月 9 日4 3 月 14 日5 3 月 16 日6 3 月 23 日7 3 月 28 日8 3 月 30 日9 4 月 6 日10 4 月 11 日11 4 月 13 日12 4 月 27 日
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测度扩张定理的应用
(1) 准分布函数: R 上的右连续非降实值函数 F.(2) 分布函数: 满足 limx→−∞ F(x) = 0 和 limx→∞ F(x) = 1 的准分布函数.
概率空间 (Ω,F ,P), 随机变量 (r.v.) f
定义：
F(x) def= P(f(ω) ≤ x), 称为随机变量 f 的分布函数, 也称为 f 服
从F, 记为 f ∼ F.
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可测函数的几种收敛性
定义： 几乎处处
在测度空间 (X,F , µ) 上, 关于 X 的元素 x 的一个命题, 如果存在 (X,F , µ) 中的零测度集 N 使得该命题对于所有的 x ∈ Nc 成立, 就说这个命题几乎处处成立, 记为 a.e.
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可测函数的几种收敛性
定义：
设 fn, n = 1, 2, · · · 和 f 是测度空间 (X,F , µ) 上的可测函数, 如果
µ( limn→∞
fn = f) = 0,
则说可测函数列 fn 几乎处处以 f 为极限, 记为 fn a.e.→ f.如果 f a.e. 有限且 fn a.e.→ f, 则说可测函数列 fn 几乎处处收敛到f.
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可测函数的几种收敛性
定理：
fn a.e.→ f 当且仅当 ∀ϵ > 0, 有
µ(
∞∩n=1
∞∪m=n
|fm − f| ≥ ϵ) = 0.
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可测函数的几种收敛性
定义： 几乎一致收敛
fn, n = 1, 2, · · · 和 f 是测度空间 (X,F , µ) 上的可测函数, 如果对 ∀ϵ > 0, 存在 A ∈ F , 使得 µ(A) < ϵ 且
limn→∞
supx/∈A
|fn(x)− f(x)| = 0,
则说 fn 几乎一致收敛到 f. 记为 fn a.u.→ f.
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可测函数的几种收敛性
命题：
fn a.u.→ f 当且仅当 ∀ϵ > 0, 有
limn→∞
µ(∪i=n
|fn − f| ≥ ϵ) = 0.
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可测函数的几种收敛性
定义： 依测度收敛
fn, n = 1, 2, · · · 和 f 是测度空间 (X,F , µ) 上的可测函数, 如果对 ∀ϵ > 0, 都有
limn→∞
µ(|fn − f| ≥ ϵ) = 0,
则称 fn 依测度收敛到 f. 记为 fnµ→ f.
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可测函数的几种收敛性
定理：
下列结论成立：
(1)fn a.u.→ f ⇒ fn a.e.→ f 和 fn
µ→ f;
(2) 如果 µ(X) < ∞, 则
fn a.u.→ f ⇔ fn a.e.→ f,
fn a.e.→ f ⇒ fnµ→ f.
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可测函数的几种收敛性
定理：
fnµ→ f 当且仅当 fn 的任一子列存在该子列的子列 fn′ 使得
fn′a.u.→ f.
当 µ(X) < ∞ 时, 等价于 fn′a.e.→ f.
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可测函数的几种收敛性
考虑 (Ω,F ,P) 为概率空间, fn, n = 1, 2, · · · 和 f 是其上的随机变量.
fn a.e.→ f ⇔ P( limn→∞
fn = f ) = 1
fn a.e.→ f, 几乎必然收敛, 记作 fn a.s.→ f.
fn P→ f, 依概率收敛到 f .
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Outline
1 2 月 26 日2 3 月 2 日3 3 月 9 日4 3 月 14 日5 3 月 16 日6 3 月 23 日7 3 月 28 日8 3 月 30 日9 4 月 6 日10 4 月 11 日11 4 月 13 日12 4 月 27 日
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可测函数的几种收敛性
(1) 准分布函数: R 上的右连续非降实值函数 F.(2) 分布函数: 满足 limx→−∞ F(x) = 0 和 limx→∞ F(x) = 1 的准分布函数.
概率空间 (Ω,F ,P), 随机变量 (r.v.) f
定义：
F(x) def= P(f(ω) ≤ x), 称为随机变量 f 的分布函数, 也称为 f 服
从F, 记为 f ∼ F.
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可测函数的几种收敛性
定义： 随机元, 分布设 f 从概率空间 (Ω,F ,P) 到可测空间 (Y,S ) 的可测映射称为随机元. 它在 (Y,S ) 上自然导出的概率测度
(Pf−1)(B) def= P(f−1B), ∀B ∈ S ,
称为随机元 f 的概率分布或分布.
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可测函数的几种收敛性
定义： 准分布函数的左连续逆
设 F 是一个准分布函数, 对每个 t ∈ (F(−∞),F(∞)), 令
F←(t) = inf x ∈ R : F(x) ≥ t.
性质：
设 F 是一个 (准) 分布函数, 有(1) 对于任意的 t ∈ (F(−∞),F(∞)), F←(t) ∈ R;(2) F←(t) 左连续；(3) ∀t ∈ (F(−∞),F(∞)), x ∈ R 有
F←(t) ≤ x ⇔ F(x) ≥ t.
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可测函数的几种收敛性
定义： 弱收敛
Fn, n = 1, 2, · · · , F 是非降实值函数, 若对于 F 的每一个连续点x, 都有 limn→∞ Fn(x) = F(x), 则称 Fn 弱收敛到 F, 记 Fn
w→ F.
定义： 依分布收敛
设 fn ∼ Fn 是概率空间 (X,F ,P) 上的随机变量列, 而 F 是一个分布函数. 若 Fn
w→ F, 则称随机变量 fn 依分布收敛到分布函数 F. 记作 fn d→ F, 若 f ∼ F, 而且 fn d→ F, 则称 fn 依分布收敛到f. 记作 fn d→ f 或 fn L→ f.
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可测函数的几种收敛性
定理： P53 定理 2.5.6
fn P→ f ⇒ fn d→ f.
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可测函数的几种收敛性
用 f d= g 表示两个随机变量 f 和 g 有相同的分布函数. 但这两个
随机变量可以定义在不同的概率空间上.
定理： Skorokhod 表示定理, 表现定理, 实现定理
设 fn 和 f 是概率空间 (X,F ,P) 上的随机变量. 如果 fn d→ f,则存在一个概率空间 (X, F , P), 在它上面定义着随机变量 fn和 f 使得
fn d= fn, n = 1, 2, · · · f d
= f,
而且fn a.s.→ f.
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Outline
1 2 月 26 日2 3 月 2 日3 3 月 9 日4 3 月 14 日5 3 月 16 日6 3 月 23 日7 3 月 28 日8 3 月 30 日9 4 月 6 日10 4 月 11 日11 4 月 13 日12 4 月 27 日
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积分的定义
(X,F ,P)1. 非负简单函数的积分2. 非负可测函数的积分3. 一般可测函数的积分
积分：加权求和，加权平均
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积分的定义
(X,F ,P)1. 非负简单函数的积分2. 非负可测函数的积分3. 一般可测函数的积分
积分：加权求和，加权平均
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积分的定义
非负简单函数的积分f 为简单函数：f =
∑ni=1 ai1Ai , ai ≥ 0
♣ ∫X
f dµ def=
n∑i=1
aiµ(Ai).
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积分的定义
命题：
f, g 和 fn 都是 (X,F ,P) 上的简单非负函数.(1)
∫X 1A dµ = µ(A), ∀A ∈ F ;
(2)∫
X f dµ ≥ 0;(3)
∫X (af) dµ = a
∫X f dµ, a ∈ R \ R−;
(4)∫
X (f + g) dµ =∫
X f dµ+∫
X g dµ;(5) f ≥ g, 则
∫X f dµ ≥
∫X g dµ;
(6) fn ↑ 且 limn→∞ fn ≥ g，则 limn→∞∫
X fn dµ ≥∫
X g dµ.
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积分的定义
命题：
f, g 和 fn 都是 (X,F ,P) 上的简单非负函数.(1)
∫X 1A dµ = µ(A), ∀A ∈ F ;
(2)∫
X f dµ ≥ 0;(3)
∫X (af) dµ = a
∫X f dµ, a ∈ R \ R−;
(4)∫
X (f + g) dµ =∫
X f dµ+∫
X g dµ;(5) f ≥ g, 则
∫X f dµ ≥
∫X g dµ;
(6) fn ↑ 且 limn→∞ fn ≥ g，则 limn→∞∫
X fn dµ ≥∫
X g dµ.
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积分的定义
命题：
f, g 和 fn 都是 (X,F ,P) 上的简单非负函数.(1)
∫X 1A dµ = µ(A), ∀A ∈ F ;
(2)∫
X f dµ ≥ 0;(3)
∫X (af) dµ = a
∫X f dµ, a ∈ R \ R−;
(4)∫
X (f + g) dµ =∫
X f dµ+∫
X g dµ;(5) f ≥ g, 则
∫X f dµ ≥
∫X g dµ;
(6) fn ↑ 且 limn→∞ fn ≥ g，则 limn→∞∫
X fn dµ ≥∫
X g dµ.
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积分的定义
命题：
f, g 和 fn 都是 (X,F ,P) 上的简单非负函数.(1)
∫X 1A dµ = µ(A), ∀A ∈ F ;
(2)∫
X f dµ ≥ 0;(3)
∫X (af) dµ = a
∫X f dµ, a ∈ R \ R−;
(4)∫
X (f + g) dµ =∫
X f dµ+∫
X g dµ;(5) f ≥ g, 则
∫X f dµ ≥
∫X g dµ;
(6) fn ↑ 且 limn→∞ fn ≥ g，则 limn→∞∫
X fn dµ ≥∫
X g dµ.
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积分的定义
命题：
f, g 和 fn 都是 (X,F ,P) 上的简单非负函数.(1)
∫X 1A dµ = µ(A), ∀A ∈ F ;
(2)∫
X f dµ ≥ 0;(3)
∫X (af) dµ = a
∫X f dµ, a ∈ R \ R−;
(4)∫
X (f + g) dµ =∫
X f dµ+∫
X g dµ;(5) f ≥ g, 则
∫X f dµ ≥
∫X g dµ;
(6) fn ↑ 且 limn→∞ fn ≥ g，则 limn→∞∫
X fn dµ ≥∫
X g dµ.
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积分的定义
命题：
f, g 和 fn 都是 (X,F ,P) 上的简单非负函数.(1)
∫X 1A dµ = µ(A), ∀A ∈ F ;
(2)∫
X f dµ ≥ 0;(3)
∫X (af) dµ = a
∫X f dµ, a ∈ R \ R−;
(4)∫
X (f + g) dµ =∫
X f dµ+∫
X g dµ;(5) f ≥ g, 则
∫X f dµ ≥
∫X g dµ;
(6) fn ↑ 且 limn→∞ fn ≥ g，则 limn→∞∫
X fn dµ ≥∫
X g dµ.
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积分的定义
非负可测函数的积分f 非负可测函数
♣♣ ∫X
f dµ def= sup
∫X
g dµ : g非负简单且g ≤ f.
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积分的定义
命题：
f 是非负可测函数.(1) 如果 f 是非负简单函数, 则由 ♣ 和 ♣♣ 确定的
∫X f dµ 值
相同;(2) fn 是非负简单函数且 fn ↑ f, 则
limn→∞
∫X
fn dµ =
∫X
f dµ.
(3) ∫X
f dµ = limn→∞
[ n2n−1∑k=0
k2nµ(
k2n ≤ f < k + 1
2n )+nµ(f ≥ n)];
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积分的定义
命题：
f 是非负可测函数.(1) 如果 f 是非负简单函数, 则由 ♣ 和 ♣♣ 确定的
∫X f dµ 值
相同;(2) fn 是非负简单函数且 fn ↑ f, 则
limn→∞
∫X
fn dµ =
∫X
f dµ.
(3) ∫X
f dµ = limn→∞
[ n2n−1∑k=0
k2nµ(
k2n ≤ f < k + 1
2n )+nµ(f ≥ n)];
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积分的定义
命题：
f 是非负可测函数.(1) 如果 f 是非负简单函数, 则由 ♣ 和 ♣♣ 确定的
∫X f dµ 值
相同;(2) fn 是非负简单函数且 fn ↑ f, 则
limn→∞
∫X
fn dµ =
∫X
f dµ.
(3) ∫X
f dµ = limn→∞
[ n2n−1∑k=0
k2nµ(
k2n ≤ f < k + 1
2n )+nµ(f ≥ n)];
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积分的定义
命题：
f 是非负可测函数.(1) 如果 f 是非负简单函数, 则由 ♣ 和 ♣♣ 确定的
∫X f dµ 值
相同;(2) fn 是非负简单函数且 fn ↑ f, 则
limn→∞
∫X
fn dµ =
∫X
f dµ.
(3) ∫X
f dµ = limn→∞
[ n2n−1∑k=0
k2nµ(
k2n ≤ f < k + 1
2n )+nµ(f ≥ n)];
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积分的定义
命题：续
(4)∫
X f dµ ≥ 0;(5)
∫X (af) dµ = a
∫X f dµ;
(6)∫
X (f + g) dµ =∫
X f dµ+∫
X g dµ;(7) 若 f ≥ g, 则
∫X f dµ ≥
∫X g dµ.
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积分的定义
命题：续
(4)∫
X f dµ ≥ 0;(5)
∫X (af) dµ = a
∫X f dµ;
(6)∫
X (f + g) dµ =∫
X f dµ+∫
X g dµ;(7) 若 f ≥ g, 则
∫X f dµ ≥
∫X g dµ.
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积分的定义
命题：续
(4)∫
X f dµ ≥ 0;(5)
∫X (af) dµ = a
∫X f dµ;
(6)∫
X (f + g) dµ =∫
X f dµ+∫
X g dµ;(7) 若 f ≥ g, 则
∫X f dµ ≥
∫X g dµ.
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积分的定义
命题：续
(4)∫
X f dµ ≥ 0;(5)
∫X (af) dµ = a
∫X f dµ;
(6)∫
X (f + g) dµ =∫
X f dµ+∫
X g dµ;(7) 若 f ≥ g, 则
∫X f dµ ≥
∫X g dµ.
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积分的定义
一般可测函数的积分
定义：
(X,F ,P) 上的可测函数 f，如果满足
min∫
Xf+ dµ,
∫X
f− dµ < ∞,
则称其积分存在或积分有意义.如果满足
max∫
Xf+ dµ,
∫X
f− dµ < ∞,
则称它是可积的.∫X
f dµ def=
∫X
f+ dµ−∫
Xf− dµ
叫做 f 的积分或积分值.
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积分的定义
定义：
设 A ∈ F , 只要可测函数 f1A 的积分存在或可积, 就分别说 f 在集合 A ∈ F 上的积分存在或者可积，并把∫
Af dµ def
=
∫X
f1A dµ
叫做 f 在集合 A ∈ F 上的积分.
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积分的定义
定理：
设 f 是 (X,F ,P) 上的可测函数(1) 若 f 积分存在, 则
∣∣∣ ∫X f dµ∣∣∣ ≤ ∫
X |f| dµ;(2) f 可积当且仅当 |f| 可积；(3) 若 f 可积, 则 |f| < ∞ a.e..
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积分的定义
定理：
设 f, g 是 (X,F ,P) 上的可测函数(1) 若 f 积分存在, ∀A ∈ F , 且 µ(A) = 0, 有∫
Af dµ = 0;
(2) f, g 积分存在且 f ≥ g a.e., 则∫
X f dµ ≥∫
X g dµ;(3) 若 f = g a.e., 则只要其中任一个的积分存在，另一个的积分也存在而且两个积分值相等.
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积分的定义
推论：
设 f 是 (X,F ,P) 上的可测函数, f = 0 a.e. 则∫
X f dµ = 0; 反之,若
∫X f dµ = 0 且 f ≥ 0 a.e., 则 f = 0 a.e..
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1 2 月 26 日2 3 月 2 日3 3 月 9 日4 3 月 14 日5 3 月 16 日6 3 月 23 日7 3 月 28 日8 3 月 30 日9 4 月 6 日10 4 月 11 日11 4 月 13 日12 4 月 27 日
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积分的性质
定理：
f, g 是 (X,F ,P) 上的积分存在的可测函数(1) ∀a ∈ R, af 积分存在且∫
X(af) dµ = a
∫X
f dµ ;
(2) 若∫
X f dµ+∫
X g dµ 有意义, 则 f + g, a.e. 有意义，其积分存在且 ∫
X(f + g) dµ =
∫X
f dµ+
∫X
g dµ.
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积分的性质
定理：
设 f, g 是 (X,F ,P) 上的可积函数(1) 若
∫A f dµ ≥
∫A g dµ, ∀A ∈ F , 则 f ≥ g a.e.;
(2) 若∫
A f dµ =∫
A g dµ, ∀A ∈ F , 则 f = g a.e..
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积分的性质
定理： 积分的绝对连续性
若 f 可积, 则对任何 ϵ > 0，存在 δ > 0 使得对于任何满足µ(A) < δ 的 A ∈ F , 均有∫
A|f| dµ < ϵ.
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三大积分收敛定理: 积分号下取极限
定理： Levi 定理设 fn, n = 1, 2, · · · 和 f 均为 a.e. 非负可测函数，如果fn ↑ f a.e., 则 ∫
Xfn dµ ↑
∫X
f dµ.
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三大积分收敛定理: 积分号下取极限
设 An ∈ F , n = 1, 2, · · · 是两两不交的集合序列且∪∞n=1 An = X, 则称其为 (X,F ) 的 (可列) 可测分割.
推论：
若 f 的积分存在, 则对任一可测可列划分割 An, n = 1, 2, · · · 有∫X
f dµ =∞∑
k=1
∫An
f dµ.
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三大积分收敛定理: 积分号下取极限
推论： 《测度论讲义》第二版 p51 定理 3.2.3设 fn, n = 1, 2, · · · 积分存在,(1) fn a.e. 单增且 fn → f a.e.，若
∫X f1 dµ > −∞, 则 f 的积
分存在且 ∫X
fn dµ ↑∫
Xf dµ.
(2) fn a.e. 单减且 fn → f a.e.，若∫
X f1 dµ < ∞, 则 f 的积分存在且 ∫
Xfn dµ ↓
∫X
f dµ.
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三大积分收敛定理: 积分号下取极限
定理： Fatou 引理对任何 a.e. 非负可测的函数序列 fn, n = 1, 2, · · · 有∫
Xlim infn→∞
fn dµ ≤ lim infn→∞
∫X
fn dµ.
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三大积分收敛定理: 积分号下取极限
推论：
设 fn, n = 1, 2, · · · 是可测函数序列,(1) 若存在可积函数 g, 使得 fn ≥ g, 则 lim infn→∞ fn 积分存在且满足 ∫
Xlim infn→∞
fn dµ ≤ lim infn→∞
∫X
fn dµ.
(2) 若存在可积函数 g, 使得 fn ≤ g, 则 lim infn→∞ fn 积分存在且满足 ∫
Xlim sup
n→∞fn dµ ≥ lim sup
n→∞
∫X
fn dµ.
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三大积分收敛定理: 积分号下取极限
推论： 《测度论讲义》第二版 p51 定理 3.2.4设 fn 可测函数序列，每个 fn 积分存在(1) 若存在 g 可测函数,
∫X g dµ > −∞, 使得 ∀n ≥ 1,
fn ≥ g a.e.，则 lim infn→∞ fn 积分存在且有∫X
lim infn→∞
fn dµ ≤ lim infn→∞
∫X
fn dµ.
(2) 若存在 g 可测函数,∫
X g dµ < ∞, 使得 ∀n ≥ 1, fn ≤ g a.e.，则 lim supn→∞ fn 积分存在且有∫
Xlim sup
n→∞fn dµ ≥ lim sup
n→∞
∫X
fn dµ.
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三大积分收敛定理: 积分号下取极限
定理：Lebesgue 控制收敛定理设 fn 可测函数序列，f 可测函数. 若存在非负可积函数 g，满足 ∀n ≥ 1, |fn| ≤ g, 则 fn a.e.→ f 或 fn
µ→ f
=⇒
limn→∞
∫X
fn dµ =
∫X
f dµ.
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三大积分收敛定理: 积分号下取极限
定理：Lebesgue 有界控制收敛定理(X,F , µ) 是有限测度空间, 设 fn 可测函数序列，f 可测函数.若存在常数 M，满足 ∀n ≥ 1, |fn| ≤ M, 则 fn a.e.→ f 或 fn
µ→ f
=⇒
limn→∞
∫X
fn dµ =
∫X
f dµ.
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积分变换公式
定理： 积分变换公式
设 g 是由测度空间 (X,F , µ) 到可测空间 (Y,S ) 的可测映射,(1) 对于每个 B ∈ S，令 ν(B) = µ(g−1B)，则 (Y,S , ν) 还是一个测度空间;
(2) 对于 (Y,S , ν) 上的任何可测函数 f，只要等式∫Y
f dν =
∫X
f g dµ
之一端有意义, 就一定成立.
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Outline
1 2 月 26 日2 3 月 2 日3 3 月 9 日4 3 月 14 日5 3 月 16 日6 3 月 23 日7 3 月 28 日8 3 月 30 日9 4 月 6 日10 4 月 11 日11 4 月 13 日12 4 月 27 日
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Lp(X,F , µ), 0 < p ≤ ∞
定义： 1 ≤ p < ∞
Lp(X,F , µ)def= f |f 关于F可测, 且
∫X|f|p dµ < ∞
∥f∥pdef=
(∫X|f|pdµ
) 1p, 范数, 模
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Lp(X,F , µ), 1 ≤ p < ∞
(1) 等价：f = g µ-a.e. 视 Lp 中几乎处处相等的函数为同一个元，即 Lp 为按 µ 等价关系所作的商空间.
(2) ∀a ∈ R, f ∈ Lp, ∥af∥p = |a|∥f∥p.(3) 线性空间, 对线性运算封闭: ∀a, b ∈ R 有
f, g ∈ Lp =⇒ af + bg ∈ Lp.
Minkowski 不等式
∥f + g∥p ≤ ∥f∥p + ∥g∥p, p ≥ 1.
(∫|f + g|pdµ
) 1p ≤
(∫|f|pdµ
) 1p+
(∫|g|pdµ
) 1p, p ≥ 1
Lp(X,F , µ) 是赋范线性空间.
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Lp(X,F , µ), 1 ≤ p < ∞
(4) 距离：ρ(f, g) def= ∥f − g∥p.
(5) 完备性：
定理 3.3.81 ≤ p < ∞, fn ⊂ Lp, 满足
limn,m→∞
∥fn − fm∥p = 0,
则存在 f ∈ Lp,lim
n→∞∥fn − f∥p = 0.
Lp(X,F , µ) 是 Banach 空间.p = 2 时称为 Hilbert 空间.
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Lp(X,F , µ), p = ∞
定义： L∞(X,F , µ)
称 F 可测的实值函数 f 本性有界，如果存在非负实数 c，使得
µ(x, |f(x)| > c) = 0.
L∞(X,F , µ)def= f | f本性有界F可测函数.
∥f∥∞ def= infc ≥ 0|µ(x, |f(x)| > c) = 0.
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Lp(X,F , µ), p = ∞
定理：
∥ · ∥∞ 是 L∞(X,F , µ) 是的一个范数. L∞(X,F , µ) 在范数 ∥ · ∥∞下是一个 Banach 空间.
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Hölder 不等式
Hölder 不等式如果 1 < p.q < ∞ 满足 1
p + 1q = 1,∫
X|fg|dµ ≤
(∫X|f|pdµ
) 1p(∫
X|g|qdµ
) 1q.
或 p = 1, q = ∞, ∫X|fg|dµ ≤
(∫X|f|dµ
)∥g∥∞.
总之有，∥fg∥1 ≤ ∥f∥p∥g∥q.
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Lp(X,F , µ), 0 < p < 1
定义： 0 < p < 1
Lp(X,F , µ)def= f |f 关于F可测, 且
∫X|f|p dµ < ∞
∥f∥pdef=
∫X|f|pdµ,
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Lp(X,F , µ), 0 < p < 1
(1) 等价：f = g µ-a.e. 视 Lp 中几乎处处相等的函数为同一个元，即 Lp 为按 µ 等价关系所作的商空间.
(2) ∀a ∈ R, f ∈ Lp, ∥af∥p = |a|p∥f∥p. 不是范数.(3) 线性空间, 对线性运算封闭: ∀a, b ∈ R 有
f, g ∈ Lp =⇒ af + bg ∈ Lp.
Minkowski 不等式
∥f + g∥p ≤ ∥f∥p + ∥g∥p, 0 < p < 1.
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Lp(X,F , µ), 0 < p < 1
(4) 距离：ρ(f, g) def= ∥f − g∥p.
(5) 完备性：
定理 3.3.80 < p ≤ ∞, fn ⊂ Lp, 满足
limn,m→∞
∥fn − fm∥p = 0,
则存在 f ∈ Lp,lim
n→∞∥fn − f∥p = 0.
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Lp(X,F , µ)
定义：p 阶平均收敛, 0 < p < ∞fn ⊂ Lp, 如果存在 f ∈ Lp 满足
limn→∞
∥fn − f∥p = 0,
则称 fn p 阶平均收敛到 f. fnp→ f.
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Lp(X,F , µ)
定理
设 0 < p < ∞, fn ⊂ Lp, f ∈ Lp
1. 若 fnLp→ f，则 fn
µ→ f 且 ∥fn∥p → ∥f∥p.
2. 若 fn a.e.→ f 或 fnµ→ f, 则
∥fn∥p → ∥f∥p ⇔ fnLp→ f.
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Lp(X,F , µ), 0 < p < 1
定义：弱收敛
若当 1 < p < ∞ 时或 p = 1 且 (X,F , µ) 为 σ 有限测度空间时，fn, f ⊂ Lp，如果任意的 g ∈ Lq, 1
p + 1q = 1
limn→∞
∫X
fng dµ =
∫X
fg dµ.
记为 fn(w)Lp→ f.
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Lp(X,F , µ)
定理
设 1 < p.q < ∞, 1p + 1
q = 1, fn, f ⊂ Lp, 若 fn a.e.→ f 或 fnµ→ f 且
∥fn∥p 有界，则 (fn) 在 Lp 中弱收敛到 f.
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Lp(X,F , µ)
定理
设 fn, f ⊂ L1. 若 ∥fn∥1 → ∥f∥1 且 fnµ→ f 或者 fn a.e.→ f 成立，则
(1) fn L1→ f;
(2) fn(w)L1→ f;
(3)∫
A fndµ →∫
A fdµ, A ∈ F .
定理
1 ≤ p < ∞, fnLp→ f 蕴含 fn
(w)Lp→ f.
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Lp(X,F , µ)