È possibile misurare la fortuna? È possibile misurare la fortuna? laboratorio scientifico classi...
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È possibile misurare
la fortuna?
LABORATORIO SCIENTIFICOClassi III
LABORATORIO SCIENTIFICOClassi III
Scuola edia Rainerum
Un po’ di storia…
Un po’ di storia…
Il gioco dei dadi ha sempre affascinato l’umanità: era una sfida alla fortuna.
Giocavano a dadi gli Egiziani nel 5000a.C., i Greci, gli Etruschi, i Romani …
Si giocava a dadi nelle più diverse parti del mondo e in tutte le epoche: nel Medioevo, nel Rinascimento … sempre.
Il matematico G. Cardano (1501-1576) scrive il
“Liber de ludo aleae” (Libro sul gioco dei dadi),
che verrà pubblicato solo 87 anni dopo la sua morte.
X V Isecolo
il cavaliere De Méré si pose questo quesito:
”È preferibile, scommettere sull’uscita di
ALMENO un 6 lanciando 4 volte un dado
oppure
ALMENO un doppio 6 lanciando 24 volte due dadi?”
X V IIsecolo
De Meré chiese a Blaise Pascal e Pierre De Fermatdi studiare il problema
Dagli studi dei due matematici scaturì la moderna
Teoria delle Probabilità (1650 circa)
X V IIsecolo
1656
L’olandese C. Huygens,prendendo spunto dal carteggio tra Pascal e Fermat, pubblica“De ratiociniis in ludo aleae” (Ragionamenti nel gioco dei dadi)
X V IIsecolo
Nel 1713 viene pubblicato postumo il volume
”Ars conjectandi” (L’arte di congetturare)
dello svizzero J. Bernoulli.
Nel volume si propone l’uso della probabilità nel campo della medicina e della meteorologia.
X V III
secolo
Il tedesco C.F. Gauss utilizza la probabilità nello studio della geodesia e topografia.
L’abate G. Mendel pone le basi della genetica usando metodi probabilistici.
X I Xsecolo
L’inglese K. Pearson introduce l’indagine statistica nella medicina
e nella biologia.Nel 1944 l’americano di origine unghereseJ.Von Neumann pubblica
“Theory of Games end Economic Behavior”(Teoria dei giochi e comportamento economico),
dando inizio alle applicazioni della teoria dei giochi nelle scienze sociali, nelle strategie elettorali, nell’economia.
X X secolo
Un po’ di terminologia
…
Un po’ di terminologia
…
T E R M I N O L O G I A
EVENTO (E) Ogni possibile risultato dell’esperimento
Esperimento: lancio di una moneta
Evento (Risultati possibili):Testa , Croce
Esperimento: lancio di un dado
Evento (Risultati possibili):1, 2, 3, 4, 5, 6,
# pari , # dispari,3 o 5, 1 o 2 o 6, …,
# < 2, # <4, … ,# > 1, # >3, … ,
SPAZIO DEGLI EVENTI (S)
l’INSIEME di tutti i risultati dell’esperimento
Esperimento: lancio di una moneta Esperimento: lancio di un dado
Spazio degli Eventi:
{1,2,3,4,5,6,#pari,#dispari,3o5,1o2o6,#<2,#<4,#>1,#>3, …}
{Testa, Croce}
Spazio degli Eventi:
S
TC
S
1 23
54
6
< 2< 5
pari
dispari
< 6
< 3> 6
> 3 …
T E R M I N O L O G I A
EVENTO CERTO
Evento che SICURAMENTE si verificherà
Esperimento: lancio di una moneta
EVENTO CERTO:Esce
TESTA o CROCE
Esperimento: lancio di un dado
EVENTO CERTO:Esce
un numero compreso tra 1 e 6
T E R M I N O L O G I A
EVENTO POSSIBILE
Evento che PUÒ verificarsi
Esperimento: lancio di una moneta
EVENTI POSSIBILI:Esce TESTAEsce CROCE
Esperimento: lancio di un dado
EVENTI POSSIBILI:Esce 1Esce 2
Esce un # 3Esce numero pari
…
T E R M I N O L O G I A
EVENTO IMPOSSIBILE
Evento che NON PUÒ verificarsi
Esperimento: lancio di una moneta
EVENTI IMPOSSIBILI:Esce 1
Esce Giallo…
Esperimento: lancio di un dado
EVENTI IMPOSSIBILI:Esce 0
Esce un # 7Esce Testa
…
T E R M I N O L O G I A
Iniziamo (iniziate)a lavorare
…
Iniziamo (iniziate)a lavorare
…
1^ Prova1^ Prova
Lavoro a coppie
ogni coppia lancia un dado esaedrico regolare NON truccato e compila la scheda n°1, n°2, n°4, n°5 consegnatale
Confronta i risultati dell’istogramma con quanto dichiarato inizialmente.
Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione
Scheda 1Scheda 1
1 2 3 4 5 6
Prima di iniziare a lanciare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ
FREQUENTEMENTE.
Se riesci giustifica la risposta
10 lanci di un dado
ISTOGRAMMA
Esegui i 10 lanci riportando ogni volta il risultato (in BLU)
nell’ISTOGRAMMA.
Evento: Numero sul dado
Nu
mero
Uscit
e
Confronta i risultati dell’istogramma con quanto dichiarato inizialmente.
Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione
Scheda 2Scheda 2
1 2 3 4 5 6
Prima di iniziare a lanciare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE.
Se riesci giustifica la risposta
125 lanci di un dado
ISTOGRAMMA
Riporta i dati dell’istogramma precedente e aggiungi (in VERDE) i
risultati di ulteriori 115 lanci.
Evento: Numero sul dado
Nu
mero
Uscit
e
T E R M I N O L O G I A
FREQUENZA ASSOLUTA fA(E)
Numero di volte che si è verificato l’evento E
XX X
X X XX X X XX X X XX X X X XX X X X X X
1 2 3 4 5 6
Rappresenta l’ALTEZZA della colonna dell’istogramma
ISTOGRAMMA
Evento: Numero sul dado
Nu
mero
Uscit
ef A
(E)
fA(1) = 5
fA(2) = 4
fA(3) = 6
fA(4) = 1
fA(5) = 2
fA(6) = 7
È il rapporto tra la Frequenza Assoluta e il numero totale di lanci effettuati
XX X
X X XX X X XX X X XX X X X XX X X X X X
1 2 3 4 5 6
ISTOGRAMMA
Evento: Numero sul dado
Nu
mero
Uscit
ef A
(E)
leLanciNumeroTota
EfEf A
r
0.20
25
5
leLanciNumeroTota
1f1f51f A
rA
0.16
25
4
leLanciNumeroTota
2f2f52f A
rA
0.24
25
6
leLanciNumeroTota
3f3f63f A
rA
T E R M I N O L O G I A
FREQUENZA RELATIVA fr(E)
Essendo la Frequenza Relativa un numero compreso tra 0 e 1,
a volte si preferisce esprimerla in percentuale:ciò significa che si moltiplica per 100 il suo valore e si scrive il simbolo %
%20120.01 % ffr
%8208.02 % ffr
%4404.04 % ffr
T E R M I N O L O G I A
FREQUENZA RELATIVA fr(E)
Relativamente all’ultimo istogramma (quello con i 125
lanci), ogni coppia calcoli, per ogni Evento,
Frequenza AssolutaFrequenza Relativa
Frequenza Relativa in percentuale
Eseguiti i calcoli passare la scheda alla coppia alla propria destra per la correzione
Scheda 3Scheda 3 calcolo frequenze
Due gruppi si uniscono e creano un unico istogramma di 250 dati. Confrontano i tre istogrammi (10, 125 e 250 lanci) ponendo attenzione su: Frequenze Assolute e Relative
500 lanci di un dadoDue gruppi si uniscono, formandone uno di 8 persone, e
creano un unico istogramma di 500 dati. Verificano se le osservazioni precedenti sono ancora valide. Porre l’attenzione su:
Frequenze Assolute (si osservino le differenze)Frequenze Relative (si osservino i valori)
Scheda 4Scheda 4 250 lanci di un
dado
Creiamo un istogramma di 1000 lanci utilizzando tutti i dati che avete rilevato.
Simuliamo con un foglio di calcolo (‘Calc’ o ‘Excel’) 1000000 lanci di un dado.
Tiriamo le conclusioni :
Scheda 5Scheda 5 1000 lanci di un
dado
O S S E R V A Z I O N I
Osservazione Qualitativa
Aumentando il numero dei lanci l’istogramma ‘assume’ la forma di un rettangolo (distribuzione rettangolare)
100 Lanci 1000000 Lanci
Aumentando il numero dei lancile differenze tra i valori delle fA di ogni evento si riducono avvicinandosi a zero, ossia
Frequenza ASSOLUTA:
Frequenza RELATIVA:
Aumentando il numero dei lanci
PossibiliNumeroCasi
FavorevoliNumeroCasi
iNumeroLanc
teEventoNumeroUsciEfr
PossibiliNumeroCasi
FavorevoliNumeroCasiEfA
O S S E R V A Z I O N I
Osservazione Qualitativa
O S S E R V A Z I O N I
Osservazione Qualitativa
Abbiamo un dado NON truccato con 6 facce uguali tra di loro, allora non vi è alcun motivo di pensare che una faccia debba
mostrarsi più volte di un’altra.
Si può quindi ipotizzare che ogni faccia debba comparire un numero di volte pari a 1/6 del numero dei lanci totale
1/6 perché:“1” è il numero dei casi favorevoli“6” è il numero dei casi possibili Definiamo
PROBABILITÀ Matematica dell’evento E il numero
itiPossibilNumeroEven
FavorevoliNumeroCasiEP
C O N C L U S I O N I
Abbiamo fatto vedere che
l’espressione Matematica indicante la PROBABILITÀ
che esca un valore sul dado è nota prima del lancio
ed è confermata dall’esperienza se vengono effettuate un numero estremamente elevato di prove
PROBABILITÀ Matematica dell’evento E
itiPossibilNumeroEven
FavorevoliNumeroCasiEP
PossibiliNumeroCasi
FavorevoliNumeroCasi
iNumeroLanc
teEventoNumeroUsciEfr
La PROBABILITÀ P(E)
è una stima numerica del verificarsi di un determinato
evento
2^ Prova2^ Prova
Si vuole studiare cosa avviene se anziché lanciare 1 dado se ne lancino 2.
Questo studio avverrà confrontando i risultati del lancio di 2 dadi esaedrici con il lancio di 1 dado dodecadrico
Confronteremo poi il risultato anche con un secondo esperimento che preveda la somma di 2 numeri ‘casuali’: il gioco del ‘pari o dispari’
Lavoro: 5 coppie e 2 terne
4 coppie: lancio di due dadi esaedrici regolari NON truccati e compilazione della scheda n°6, n°7 e n°8
1 coppia: lancio di 1 dado dodecaedrico regolare NON truccato e compilazione della scheda n°8a
terna: due elementi giocano a ‘pari e dispari’ , il terzo segna i risultati; viene compilata la scheda n°6b e n°8b
2^ Prova2^ Prova
Confronta i risultati dell’istogramma con quanto dichiarato inizialmente.
Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione
Prima di iniziare a lanciare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ
FREQUENTEMENTE.
Se riesci giustifica la risposta
Esegui i 50 lanci riportando ogni volta il risultato (in BLU)
in un ISTOGRAMMA.
Scheda 6Scheda 6 50 lanci di due
dadi
Confronta i risultati dell’istogramma con quanto dichiarato inizialmente.
Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione
Prima di iniziare a lanciare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ
FREQUENTEMENTE.
Se riesci giustifica la risposta
Riporta i dati dell’istogramma precedente e aggiungi (in VERDE) i
risultati di ulteriori 150 lanci.
Scheda 7Scheda 7 200 lanci di due
dadi
Creiamo un istogramma di 1000 lanci utilizzando tutti i dati che avete rilevato.
E simuliamo al calcolatore 1000000 di lanci
Scheda 8Scheda 8 1000 lanci di due
dadi
Creiamo un istogramma di 1000 lanci.
E simuliamo al calcolatore 1000000 di lanci
Scheda 8aScheda 8a1000 lanci di un dado
dodecaedrico
Confronta i risultati dell’istogramma con quanto dichiarato inizialmente.
Se NON sono coerenti cerca di spiegarne la ragione
Prima di iniziare a giocare indica quale numero, secondo te, uscirà PIÙ FREQUENTEMENTE.
Se riesci giustifica la risposta
Esegui i 500 scambi riportando ogni volta il risultato (in BLU) in un ISTOGRAMMA.
IMPORTANTE: “ NON giocare per vincere “
Scheda 6bScheda 6b 500 scambi a ‘pari/dispari’
Creiamo un istogramma di 1000 scambi utilizzando tutti i dati che avete rilevato.
Scheda 8BScheda 8B 1000 scambi a
‘pari/dispari’
O S S E R V A Z I O N I
Lancio di 1 dado dodecaedrico
Avete (abbiamo) ottenuto un risultato analogo al lancio di un dado esaedrico in quanto ogni evento (uscita di un numero compreso tra 1 e 12) è equivalente agli altri.Aumentando il numero dei lanci l’istogramma ‘assume’ la forma di un rettangolo (distribuzione rettangolare)
Aumentando il numero dei lanci l’istogramma ‘assume’ la forma di un triangolo (distribuzione triangolare)
O S S E R V A Z I O N I
Lancio di 2 dadi esaedrici
Confrontiamo come si ‘formano’ gli eventi che analizziamo
1 dado 2 dadi
O S S E R V A Z I O N I
Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici
1 dado 2 dadi
121211111010998877665544332211
661256,6511
46,55,641036,45,54,639
26,35,44,53,62816,25,34,43,52,617
45,24,33,42,51641,23,32,415
12,22,21412,213
112
O S S E R V A Z I O N I
Confronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici
121211111010998877665544332211
661256,6511
46,55,641036,45,54,639
26,35,44,53,62816,25,34,43,52,617
45,24,33,42,51641,23,32,415
12,22,21412,213
112
Ogni determinazione ha un UNICO ‘modo’ per potersi verificare:
(Evento ELEMENTARE)
Le determinazioni hanno un numero di ‘modi’ diversi per potersi verificare:
(Evento COMPOSTO)
O S S E R V A Z I O N IConfronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici
Per mostrare l’esito del lancio di 2 dati è anche possibile utilizzare una
TABELLA A DOPPIA ENTRATA
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 910
5 6 7 8 910
11
6 7 8 910
11
12
T E R M I N O L O G I A
TABELLA A DOPPIA ENTRATA
Come si legge la Tabella a doppia entrata
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 910
5 6 7 8 910
11
6 7 8 910
11
12
determinazioni 1° dado
dete
rmin
azi
oni 2°
dado
Ci sono 2 casi favorevoli all’ 11
Determinazioni 1°+ 2° dado:
36 casi possibili
36
2
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore11P
36
4
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore9P
Ci sono 4 casi favorevoli al 9
36
6
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore7P
Ci sono 6 casi favorevoli al 7
T E R M I N O L O G I A
E S E R C I Z I OA questo punto, utilizzando la tabella a doppia entrata, calcola la probabilità di uscita di ogni
determinazione ottenibile con il lancio di 2 dadi
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 910
5 6 7 8 910
11
6 7 8 910
11
12
36
1
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore2P
36
2
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore3P
36
3
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore4P
36
4
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore5P
36
6
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore7P
36
1
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore12P
36
2
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore11P
36
3
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore10P
36
4
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore9P
36
5
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore6P
36
5
ibiliEventiPoss
voliCasiFavore8P
TC
T CTT TCCT CC
1ª moneta
2ª monetaDeterminazioni 2 monete:
TT, TC, CC
4
1
ibiliEventiPoss
voliCasiFavoreTTP
4
2
ibiliEventiPoss
voliCasiFavoreTCP
4
1
ibiliEventiPoss
voliCasiFavoreCCP
E S E R C I Z I OConsideriamo il lancio di 2 monete:
- individua le possibili determinazioni- compila la relativa tabella a doppia entrata- calcola la probabilità di ogni determinazione
2 dadi Per il gioco del “pari dispari" mi aspetto qualcosa di analogo
al lancio di 2 dadi.
Prima confrontiamo le due tabelle a doppia entrata
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 910
5 6 7 8 910
11
6 7 8 910
11
12
+ 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 7
3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 9
5 6 7 8 910
Poi verifichiamo l’ipotesi osservando l’istogramma ottenuto
dai due gruppi
O S S E R V A Z I O N IConfronto: 2 dadi esaedrici e “pari dispari”
RISULTATI STUDENTI
….
O S S E R V A Z I O N IConfronto: 1 dado dodecaedrico e 2 dadi esaedrici
L’evento certo ha probabilità 1:
1EP0
PossibiliNumeroCasi
FavorevoliNumeroCasiEP
A B B I A M O
V I S T O C H E
La PROBABILITÀ dell’evento E è un numero compreso tra 0 e 1
È possibile determinare la PROBABILITÀdell’evento E tramite la relazione
1EP
E ora alcuni calcoli …
E ora alcuni calcoli …
Esistono situazioni in cui l’espressione
PossibiliNumeroCasi
FavorevoliNumeroCasiEP
è di difficile utilizzo perché è complesso il calcolo di- Numero dei casi favorevoli- Numero dei casi possibili
Vediamo alcune situazioni in cui il calcolo della probabilità può essere eseguito con semplici calcoli
Eventi EQUIPROBABILIEventi EQUIPROBABILI
Eventi che SI ESCLUDONO RECIPROCAMENTEEventi che SI ESCLUDONO RECIPROCAMENTE
Eventi che NON SI ESCLUDONO RECIPROCAMENTEEventi che NON SI ESCLUDONO RECIPROCAMENTE
Eventi INDIPENDENTIEventi INDIPENDENTI
Lancio di un dado esaedrico: 6 eventi identiciLancio di un dado esaedrico: 6 eventi identici
Lancio di una moneta: 2 eventi identiciLancio di una moneta: 2 eventi identici
Estrazione di una carta da un mazzo da briscola: 40 eventi identiciEstrazione di una carta da un mazzo da briscola: 40 eventi identici
Estrazione di un numero della tombola: 90 eventi identiciEstrazione di un numero della tombola: 90 eventi identici
La probabilità di un eventoè data dalla relazione:
Identici Eventi Numero
1EP
401EP
901EP
21EP
61EP
Esperimento che genera eventi equiprobabili
Esperimento che genera eventi equiprobabili
Lancio di un dado esaedrico: uscita 3 o 5Lancio di un dado esaedrico: uscita 3 o 5
Lancio di una moneta: uscita T o CLancio di una moneta: uscita T o C
Estrazione di una carta da un mazzo da briscola: 5 o 3Estrazione di una carta da un mazzo da briscola: 5 o 3
Estrazione di un numero della tombola: 36 o 57Estrazione di un numero della tombola: 36 o 57
31
62
61
615P3P5 o 3P
122
21
21CPTPC o TP
201
402
401
4013sP5cP3s o 5cP
451
902
901
90157P36P57 o 36P
Dati gli eventi E1 , E2 ed E3
che si escludono vicendevolmenteLa probabilità P(E1 o E2 o E3) è data da:
P(E1 o E2 o E3) = P(E1) + P(E2) + P(E3)
Eventi che si escludono reciprocamenteEventi che si escludono reciprocamente
Eventi che NON si escludono reciprocamente
Eventi che NON si escludono reciprocamente
Estrazione di una carta da un mazzo da briscola: Re o una carta di coppeEstrazione di una carta da un mazzo da briscola: Re o una carta di coppe
A 2 3 4 5 6 7 F D
A 2 3 4 5 6 7 F C
A 2 3 4 5 6 7 F C
A 2 3 4 5 6 7 F C
R
R
R
R
A 2 3 4 5 6 7 F C R R
R
R
R
In questo modo il [R] viene considerato 2 volte e dobbiamo tenerlo presente nel calcolo dei casi favorevoli
In questo modo il [R] viene considerato 2 volte e dobbiamo tenerlo presente nel calcolo dei casi favorevoli
I casi favorevoli sono dati da10 carte di COPPE4 carte con il RE
casi favorevoli = 4 [ R ] + 10 [ ] – 1 [ R ] = 13
P([R] o []) =Casi Favorevoli
Numero Casi Possibili1340
=
Lancio di due dadi esaedrici: numero 8 o numero multiplo 3Lancio di due dadi esaedrici: numero 8 o numero multiplo 3
In questo modo abbiamo 5 valori 8 e multipli di 3 dobbiamo tenerli presente nel calcolo dei casi favorevoli
In questo modo abbiamo 5 valori 8 e multipli di 3 dobbiamo tenerli presente nel calcolo dei casi favorevoli
I casi favorevoli sono dati da12 valori multipli di 315 valori 8
casi favorevoli = 12 [ mult. 3 ] + 15 [ 8 ] – 5 [ (mult. 3) 8 ] = 22
P([mult. 3] o [ 8]) =Casi Favorevoli
Numero Casi Possibili2240
=
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 910
5 6 7 8 910
11
6 7 8 910
11
12
Eventi che NON si escludono reciprocamente
Eventi che NON si escludono reciprocamente
Estrazione di un Re o una carta di coppe
A 2 3 4 5 6 7 F C R
A 2 3 4 5 6 7 F C R
A 2 3 4 5 6 7 F C R
A 2 3 4 5 6 7 F C R
Casi Favorevoli = 4 [R] + 10 [] – 1 [R]
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 910
5 6 7 8 910
11
6 7 8 910
11
12
Lancio di 2 dadi # 8 o # multiplo 3Lancio di 2 dadi # 8 o # multiplo 3
CF= 12 [mult. 3] + 15 [ 8] – 5 [(mult. 3) 8]
Dati i 2 eventi E1 ed E2 che NON si escludono vicendevolmente
La probabilità P(E1 o E2) è data da:
P(E1 o E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)
Eventi che NON si escludono reciprocamente
Eventi che NON si escludono reciprocamente
Sono eventi che NON si influenzano reciprocamenteSono eventi che NON si influenzano reciprocamente
Eventi INDIPENDENTI
Eventi INDIPENDENTI
Lancio (consecutivi o contemporanei) di due dadiL’esito del 1° dado non influenza il risultato del 2° dado
Lancio (consecutivi o contemporanei) di due dadiL’esito del 1° dado non influenza il risultato del 2° dado
Lancio (consecutivi o contemporanei) di due moneteL’esito della 1ª moneta non influenza il risultato della 2ª moneta
Lancio (consecutivi o contemporanei) di due moneteL’esito della 1ª moneta non influenza il risultato della 2ª moneta
Doppia estrazione di una carta da un mazzoL’esito della 1ª estrazione non influenza il risultato della 2ª
Doppia estrazione di una carta da un mazzoL’esito della 1ª estrazione non influenza il risultato della 2ª
T C 21TP 2
1CP 2ª moneta 21TP 2
1CP T C2ª moneta
21TP 2
1CP
Lancio di due moneteLancio di due monete
41
21
21TPTPTTP 4
12
12
1CPCPCCP
41
21
21CPTPTCP 4
12
12
1TPCPCTP
Risultati in accordo con quanto già vistoRisultati in accordo con quanto già visto
Sono eventi che NON si influenzano reciprocamenteSono eventi che NON si influenzano reciprocamente
Eventi INDIPENDENTI
Eventi INDIPENDENTI
T C1ª moneta
361
61
611P1P1 e 1P
In accordo con quanto già vistoIn accordo con quanto già visto
1
1 2 3 4 5 6
361
61
612P3P2 e 3P
361
61
614P6P4 e 6P
2
1 2 3 4 5 6
3
1 2 3 4 5 6
4
1 2 3 4 5 6
5
1 2 3 4 5 6
6
611P 6
12P 613P
614P 6
15P 616P
1 2 3 4 5 6
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6P
Lancio di due dadiLancio di due dadi
Sono eventi che NON si influenzano reciprocamenteSono eventi che NON si influenzano reciprocamente
Eventi INDIPENDENTI
Eventi INDIPENDENTI
1° dado2° dado
Dati i 2 eventi INDIPENDENTI E1 ed E2 (= NON si influenzano vicendevolmente)
La probabilità P(E1 e E2) è data da:
P(E1 e E2) = P(E1) P(E2)
Dati i 2 eventi INDIPENDENTI E1 ed E2 (= NON si influenzano vicendevolmente)
La probabilità P(E1 e E2) è data da:
P(E1 e E2) = P(E1) P(E2)
n
1 2 3 4 5 6
Lancio di due dadiLancio di due dadiLancio di due monete
T
T C
C
T C
Eventi INDIPENDENTI
Eventi INDIPENDENTI