e s {w;z} s {prim;prim} -...
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Bernoulli-Versuche:
Ein Zufallsversuch mit nur zwei möglichen Ergebnissen heißt einstufiger Bernoullieinstufiger Bernoullieinstufiger Bernoullieinstufiger Bernoulli----VersuchVersuchVersuchVersuch.
Wir nennen künftig die Ergebnisse meistens E ( Erfolg)und ( Misserfolg)≙E
≙
Daniel Daniel Daniel Daniel Bernoulli Bernoulli Bernoulli Bernoulli 1700170017001700----1782178217821782SchweizerMathematiker
Beispiele:Beispiele:Beispiele:Beispiele: E=W oder umgekehrtS {W ; Z}=Münzwurf
Würfeln / Augenzahl prim ?
S {prim;prim }= E=prim
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Bernoulli-Versuche:
Ein n-stufiger Bernoulli-Versuch ist die n-malige Durchführung eines einstufigen Bernoulli-Versuchs.
Daniel Daniel Daniel Daniel Bernoulli Bernoulli Bernoulli Bernoulli 1700170017001700----1782178217821782SchweizerMathematiker
Beispiel:Beispiel:Beispiel:Beispiel:
≙E W
S {(w | w | w );.......(z | z | z )} # S 8= =3-maliger Münzwurf
3 mal Erfolg 0 mal Erfolg
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Bernoulli-Versuch n=10 p=0,5 (Erfolg: Kugel nach rechts)
http://www.learnhttp://www.learnhttp://www.learnhttp://www.learn----line.nrw.de/angebote/eda/medio/galton/galton.htmline.nrw.de/angebote/eda/medio/galton/galton.htmline.nrw.de/angebote/eda/medio/galton/galton.htmline.nrw.de/angebote/eda/medio/galton/galton.htm
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Bernoulli-Versuch n=10 p=0,5
Galton.exeGalton.exeGalton.exeGalton.exehttp://www.uni-koeln.de/ew-fak/Mathe/Projekte/VisuPro/galton/galton.html
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10-stufiger Bernoulli-Versuch Erfolg: Kugel nach rechts p=0,5
Galton.exeGalton.exeGalton.exeGalton.exe
9 90 428 1137 2071 2498 2069 1105 465 117 11
Ergebnis nach 10000 Durchführungen (10000 Kugeln)
n=10
p=0,5
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Bernoulli-Versuch n=10 p=0,5 („rechts“)
TTTT0 0 0 0 TTTT1111 TTTT2 2 2 2 TTTT3333 TTTT4444 TTTT5 5 5 5 TTTT6 6 6 6 TTTT7777 TTTT8888 TTTT9 9 9 9 TTTT10101010
Dieses 10 stufige Experiment wird insgesamt n=300 mal durchgeführt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel den
eingezeichneten Weg einschlägt ?
10P(rllrrlrrll) 0,5=
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Bernoulli-Versuch n=10 p=0,5 („rechts“)
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel in dem
Topf T5 landet ?
TTTT0 0 0 0 TTTT1111 TTTT2 2 2 2 TTTT3333 TTTT4444 TTTT5 5 5 5 TTTT6 6 6 6 TTTT7777 TTTT8888 TTTT9 9 9 9 TTTT10101010
Dieses 10 stufige Experiment wird insgesamt n=300 mal durchgeführt.
10P(rllrrlrrll) 0,5=
Zu dem Topf führen alle Pfade bei denen 5 mal r und 5 mal l vorkommen.
Da es solcher Pfade gibt: 10
5
105
10P(T ) 0,5 0,246 24,6%
5
= ⋅ = =
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Bernoulli-Versuch n=10 p=0,5 („rechts“)
TTTT0 0 0 0 TTTT1111 TTTT2 2 2 2 TTTT3333 TTTT4444 TTTT5 5 5 5 TTTT6 6 6 6 TTTT7777 TTTT8888 TTTT9 9 9 9 TTTT10101010
Dieses 10 stufige Experiment wird insgesamt n=300 mal durchgeführt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel in dem
Topf Tk 0<=k<=10 landet ?Zu dem Topf führen alle Pfade bei denen k mal r und (10-k) mal l vorkommen.
Da es solcher Pfade gibt: 10
k
10k
10P(T ) 0,5 0,246
k
= ⋅ =
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Bernoulli-Versuch n=10 p=0,5 („rechts“)
TTTT0 0 0 0 TTTT1111 TTTT2 2 2 2 TTTT3333 TTTT4444 TTTT5 5 5 5 TTTT6 6 6 6 TTTT7777 TTTT8888 TTTT9 9 9 9 TTTT10101010
Dieses 10 stufige Experiment wird insgesamt n=300 mal durchgeführt.
10k
10P(T ) 0,5 0,246
k
= ⋅ =
Für das Ereignis „k-mal Erfolg“ schreiben wir in Zukunft X=k
Die Zufallsvariable X bezeichnet dabei die Anzahl der Erfolge
bei einem n-Stufigen Bernoulli-Experiment.
1010P( ) 0,5
kX k
= ⋅
=
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Bernoulli-Versuch n=10 p=0,5 („rechts“)
TTTT0 0 0 0 TTTT1111 TTTT2 2 2 2 TTTT3333 TTTT4444 TTTT5 5 5 5 TTTT6 6 6 6 TTTT7777 TTTT8888 TTTT9 9 9 9 TTTT10101010
Dieses 10 stufige Experiment wird insgesamt n=300 mal durchgeführt.
Rechnet man alle Wahrscheinlichkeiten aus, so erhält man die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieses Versuchs.
1010P( ) 0,5
kX k
= ⋅
=
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Bernoulli-Versuch n=10 p=0,5 („rechts“)
TTTT0 0 0 0 TTTT1111 TTTT2 2 2 2 TTTT3333 TTTT4444 TTTT5 5 5 5 TTTT6 6 6 6 TTTT7777 TTTT8888 TTTT9 9 9 9 TTTT10101010
1010P( ) 0,5
kX k
= ⋅
=
BINOMIALVERTEILUNG n=10 p=0,5
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
K
P(X
=k)
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Bernoulli-Versuch n=10 p=0,5 („rechts“)
BINOMIALVERTEILUNG n=10 p=0,5
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0,300
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
K
P(X
=k)
1010P( ) 0,5
kX k
= ⋅
=
Wie viele Kugeln erwarten wir damit in den einzelnen Töpfen?Wie viele Kugeln erwarten wir damit in den einzelnen Töpfen?Wie viele Kugeln erwarten wir damit in den einzelnen Töpfen?Wie viele Kugeln erwarten wir damit in den einzelnen Töpfen?10 100 440 1170 2050 2460 2050 1170 440 100 10
Simulation mit Galton.exeGalton.exeGalton.exeGalton.exe
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10 Stufiges Bernoulli-Experiment p=0,4 q=(1-p)=0,6
Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung wenn p und q unterschiedlich sind?
Galton.exeGalton.exeGalton.exeGalton.exe
k 10 k10P( ) 0,4 0,6
kX k −
= ⋅ ⋅
=
1010P( ) 0,5 falls p 0,5 und q (1 pk ) 0,5X
k
= ⋅ = = − =
=
EXCEL
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n Stufiges Bernoulli-Experiment Erfolgswahrscheinlichkeit p
k n knP( ) p (1 p)
kX k −
= ⋅ ⋅ −
=
Bei einem n stufigen Bernoulli-Experiment mit der Erfolgs-wahrscheinlichkeit p und der Misserfolgswahrscheinlichkeit q=(1-p) hat man für das Ereignis X=k („k Erfolge“) die Wahrscheinlichkeitsverteilung
Galton.exeGalton.exeGalton.exeGalton.exeEXCEL
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Binomialverteilungen bei gleichem n
Binomialverteilung n=100 p= 0,3 ; 0,4 ; 0,5
0,000
0,010
0,020
0,030
0,040
0,050
0,060
0,070
0,080
0,090
0,100
22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64
symmetrischsymmetrischsymmetrischsymmetrisch
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Der Erwartungswert
Binomialverteilung n=100 p= 0,3 ; 0,4 ; 0,5
0,000
0,010
0,020
0,030
0,040
0,050
0,060
0,070
0,080
0,090
0,100
22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64
symmetrischsymmetrischsymmetrischsymmetrisch
µ
E(X) n p= ⋅
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Binomialverteilungen bei gleichem p (n variabel)
Start
n=100 n=500
µ µ
p=0,2
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Binomialverteilungen bei gleichem n (p variabel)
http://www.learnhttp://www.learnhttp://www.learnhttp://www.learn----line.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/koelnproj4/grundlagen/grundline.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/koelnproj4/grundlagen/grundline.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/koelnproj4/grundlagen/grundline.nrw.de/angebote/selma/foyer/projekte/koelnproj4/grundlagen/grund----mumumumu----sigmasigmasigmasigma----b.htmb.htmb.htmb.htm
Außer dem Erwartungswert E(X) benötigen wir noch ein Maß für die Breite der Verteilung :
(x) n p q q 1 pσ = ⋅ ⋅ = −
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Faustregel 1 für 90%-Umgebungen
E(X) n pµ= = ⋅n p qσ = ⋅ ⋅
µk1=? k2=?
Wie muss ich k1 und k2 wählen, damit die Anzahl der Erfolge mit 90%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens k1 und höchstens k2 beträgt.
Schätzen und mit
EXCEL überprüfen.
EXCEL
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Faustregel 1 für 90%-Umgebungen
n-stufiges Bernoulli-Experimentmit der Erfolgswahrschein-lichkeit p und dem Erwartungswert
und der Standardabweichung
E(X) n pµ= = ⋅
n p qσ = ⋅ ⋅
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% liegt die Anzahl der Erfolge in dem Intervall [ 1,64 ; 1,64 ]µ σ µ σ− + ℕ
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Beispiel für die Faustregel 1
n 100 p 0,4 np 40µ= = ⇒ = =
90%
npq 40 0,6 4,9
1, 64 8,03
U [32 ; 48 ]
σσ
= = ⋅ ≈⋅ ≈=
1,64µ σ− ⋅ 1,64µ σ+ ⋅µ
In 90% aller Fälle liegt das Ergebnis dieses Zufalls-versuchs im Bereich von 32 bis 48 Erfolgen!
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Faustregeln
Die folgenden FaustregelnFaustregelnFaustregelnFaustregeln für Binomialverteilungen gelten umso genauer, je größer
n ist, insbesondere falls die Laplace-Bedingung erfüllt ist.n p q 3σ = ⋅ ⋅ >
Radius der Umgebung
Wahrscheinlichkeit der Umgebung
Wahrscheinlichkeit der Umgebung
Radius der Umgebung
68% 90%
95,5% 95%
99,7% 99%
σ
3σ
2σ
1, 6 4 σ⋅
1,9 6 σ⋅
2,5 6 σ⋅
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Beispiel für die Faustregeln
n 100 p 0,4 np 40µ= = ⇒ = =npq 40 0,6 4,9σ = = ⋅ ≈
1,64µ σ− ⋅ 1,64µ σ+ ⋅µ
1, 64 8,03 1,96 9,6 2,56 12,54σ σ σ⋅ ≈ ⋅ ≈ ⋅ ≈
90% 95% 90%U [32 ; 48 ] U [31; 49 ] U [28 ;52]= = =
2,56µ σ+ ⋅2,56µ σ− ⋅
1,96µ σ− ⋅ 1,96µ σ− ⋅